Αν οι εκθέτες είναι ίσοι, τότε οι βάσεις. εκθετικές εξισώσεις

Εξοπλισμός:

• ένας υπολογιστής,
• προβολέας πολυμέσων,
• οθόνη,
• Συνημμένο 1(παρουσίαση διαφανειών σε PowerPoint) «Μέθοδοι επίλυσης εκθετικές εξισώσεις”
• Παράρτημα 2(Λύση μιας εξίσωσης όπως "Τρεις διαφορετικές βάσεις μοιρών" στο Word)
• Παράρτημα 3(φυλλάδιο στο Word για πρακτική εργασία).
• Παράρτημα 4(φυλλάδιο στο Word για εργασία για το σπίτι).

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτικό στάδιο

• μήνυμα του θέματος του μαθήματος (γραμμένο στον πίνακα),
• η ανάγκη για ένα γενικευτικό μάθημα στις τάξεις 10-11:

Το στάδιο της προετοιμασίας των μαθητών για την ενεργητική αφομοίωση της γνώσης

Επανάληψη

Ορισμός.

Μια εκθετική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει μια μεταβλητή στον εκθέτη (ο μαθητής απαντά).

Σημείωμα δασκάλου. Οι εκθετικές εξισώσεις ανήκουν στην κατηγορία των υπερβατικών εξισώσεων. Αυτό το δύσκολα προφερόμενο όνομα υποδηλώνει ότι τέτοιες εξισώσεις, σε γενικές γραμμές, δεν μπορούν να λυθούν με τη μορφή τύπων.

Μπορούν να επιλυθούν μόνο με περίπου αριθμητικές μεθόδους σε υπολογιστές. Τι γίνεται όμως με τις ερωτήσεις των εξετάσεων; Το όλο κόλπο είναι ότι ο εξεταστής συνθέτει το πρόβλημα με τέτοιο τρόπο που απλώς παραδέχεται μια αναλυτική λύση. Με άλλα λόγια, μπορείτε (και πρέπει!) να κάνετε τέτοιους ίδιους μετασχηματισμούς που ανάγουν τη δεδομένη εκθετική εξίσωση στην απλούστερη εκθετική εξίσωση. Αυτή είναι η απλούστερη εξίσωση και ονομάζεται: η απλούστερη εκθετική εξίσωση. Λύνεται λογάριθμος.

Η κατάσταση με τη λύση μιας εκθετικής εξίσωσης μοιάζει με ένα ταξίδι μέσα από έναν λαβύρινθο, το οποίο επινοήθηκε ειδικά από τον μεταγλωττιστή του προβλήματος. Από αυτές τις πολύ γενικές σκέψεις, ακολουθούν πολύ συγκεκριμένες συστάσεις.

Για να λύσετε επιτυχώς εκθετικές εξισώσεις, πρέπει:

1. Όχι μόνο γνωρίζει ενεργά όλες τις εκθετικές ταυτότητες, αλλά βρίσκει και σύνολα τιμών της μεταβλητής στην οποία ορίζονται αυτές οι ταυτότητες, έτσι ώστε όταν χρησιμοποιεί κανείς αυτές τις ταυτότητες, να μην αποκτά περιττές ρίζες και, ακόμη περισσότερο, να μην χάνει λύσεις της εξίσωσης.

2. Γνωρίζουν ενεργά όλες τις εκθετικές ταυτότητες.

3. Ξεκάθαρα, αναλυτικά και χωρίς λάθη, πραγματοποιήστε μαθηματικούς μετασχηματισμούς εξισώσεων (μεταφέρετε όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, χωρίς να ξεχνάτε να αλλάξετε το πρόσημο, να μειώσετε το κλάσμα σε κοινό παρονομαστή κ.λπ.). Αυτό ονομάζεται μαθηματική κουλτούρα. Ταυτόχρονα, οι ίδιοι οι υπολογισμοί θα πρέπει να γίνονται αυτόματα με τα χέρια και ο επικεφαλής πρέπει να σκεφτεί το γενικό νήμα καθοδήγησης της λύσης. Είναι απαραίτητο να κάνετε μετασχηματισμούς όσο το δυνατόν πιο προσεκτικά και λεπτομερώς. Μόνο αυτό θα εγγυηθεί μια σωστή, χωρίς σφάλματα λύση. Και να θυμάστε: ένα μικρό αριθμητικό λάθος μπορεί απλά να δημιουργήσει μια υπερβατική εξίσωση που, κατ' αρχήν, δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Αποδεικνύεται ότι έχασες το δρόμο σου και έτρεξες στον τοίχο του λαβυρίνθου.

4. Να γνωρίζουν τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων (δηλαδή να γνωρίζουν όλα τα μονοπάτια μέσα από τον λαβύρινθο της λύσης). Για σωστό προσανατολισμό σε κάθε στάδιο, θα πρέπει (συνειδητά ή διαισθητικά!):

• καθορίζω τύπος εξίσωσης;
• θυμηθείτε τον αντίστοιχο τύπο μέθοδος λύσηςκαθήκοντα.

Το στάδιο γενίκευσης και συστηματοποίησης του μελετημένου υλικού.

Ο δάσκαλος, μαζί με τους μαθητές, με τη συμμετοχή υπολογιστή, πραγματοποιεί μια επισκόπηση επανάληψης όλων των τύπων εκθετικών εξισώσεων και μεθόδων επίλυσής τους και συντάσσει ένα γενικό σχήμα. (Χρησιμοποιώντας ένα σεμινάριο πρόγραμμα υπολογιστή L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", ο συγγραφέας της παρουσίασης στο PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

Ρύζι. ένας.Το σχήμα δείχνει ένα γενικό σχήμα όλων των τύπων εκθετικών εξισώσεων.

Όπως φαίνεται από αυτό το διάγραμμα, η στρατηγική για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων είναι να ανάγεται αυτή η εκθετική εξίσωση στην εξίσωση, πρώτα απ' όλα, με τις ίδιες βάσεις , και μετά - και με τους ίδιους εκθέτες.

Έχοντας αποκτήσει μια εξίσωση με τις ίδιες βάσεις και εκθέτες, αντικαθιστάτε αυτόν τον βαθμό με μια νέα μεταβλητή και παίρνετε μια απλή αλγεβρική εξίσωση (συνήθως κλασματική ορθολογική ή τετραγωνική) σε σχέση με αυτήν τη νέα μεταβλητή.

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση και κάνοντας μια αντίστροφη αντικατάσταση, καταλήγετε σε ένα σύνολο απλών εκθετικών εξισώσεων που λύνονται σε γενική εικόναχρησιμοποιώντας λογάριθμους.

Ξεχωρίζουν οι εξισώσεις στις οποίες εμφανίζονται μόνο προϊόντα (ιδιωτικών) δυνάμεων. Χρησιμοποιώντας εκθετικές ταυτότητες, είναι δυνατό να φέρουμε αυτές τις εξισώσεις αμέσως σε μία βάση, ιδιαίτερα στην απλούστερη εκθετική εξίσωση.

Σκεφτείτε πώς λύνεται μια εκθετική εξίσωση με τρεις διαφορετικές βάσεις μοιρών.

(Εάν ο δάσκαλος έχει ένα πρόγραμμα διδασκαλίας υπολογιστή από τον L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", τότε φυσικά εργαζόμαστε με το δίσκο, αν όχι, μπορείτε να εκτυπώσετε αυτόν τον τύπο εξίσωσης για κάθε γραφείο από αυτό, που παρουσιάζεται παρακάτω .)

Ρύζι. 2.Σχέδιο λύσης εξίσωσης.

Ρύζι. 3.Έναρξη επίλυσης της εξίσωσης

Ρύζι. τέσσερις.Το τέλος της λύσης της εξίσωσης.

Κάνοντας πρακτική δουλειά

Να προσδιορίσετε το είδος της εξίσωσης και να το λύσετε.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Συνοψίζοντας το μάθημα

Βαθμολόγηση ενός μαθήματος.

τέλος του μαθήματος

Για τον δάσκαλο

Σχέδιο απαντήσεων πρακτικής εργασίας.

Ασκηση:από τη λίστα των εξισώσεων, επιλέξτε τις εξισώσεις του καθορισμένου τύπου (βάλτε τον αριθμό της απάντησης στον πίνακα):

1. Τρεις διαφορετικές βάσεις
2. Δύο διαφορετικές βάσεις - διαφορετικοί εκθέτες
3. Βάσεις δυνάμεων - δυνάμεις ενός αριθμού
4. Ίδιες βάσεις, διαφορετικοί εκθέτες
5. Ίδιες βάσεις εκθετών - ίδιοι εκθέτες
6. Προϊόν των δυνάμεων
7. Δύο διαφορετικές βάσεις βαθμών - οι ίδιοι δείκτες
8. Οι απλούστερες εκθετικές εξισώσεις

1. (προϊόν εξουσιών)

2. (ίδιες βάσεις - διαφορετικοί εκθέτες)

Τι είναι η εκθετική εξίσωση; Παραδείγματα.

Λοιπόν, μια εκθετική εξίσωση... Ένα νέο μοναδικό έκθεμα στη γενική μας έκθεση μεγάλης ποικιλίας εξισώσεων!) Όπως συμβαίνει σχεδόν πάντα, η λέξη-κλειδί κάθε νέου μαθηματικού όρου είναι το αντίστοιχο επίθετο που τον χαρακτηρίζει. Έτσι κι εδώ. λέξη-κλειδίστον όρο «εκθετική εξίσωση» είναι η λέξη "εκδηλωτικός". Τι σημαίνει? Αυτή η λέξη σημαίνει ότι το άγνωστο (x) είναι ως προς οποιοδήποτε πτυχίο.Και μόνο εκεί! Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό.

Για παράδειγμα, αυτές οι απλές εξισώσεις:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ή ακόμα και αυτά τα τέρατα:

2 αμαρτία x = 0,5

Σας ζητώ να δώσετε αμέσως προσοχή σε ένα σημαντικό πράγμα: στο λόγουςμοίρες (κάτω) - μόνο αριθμοί. Αλλά σε δείκτεςμοίρες (πάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με x. Απολύτως οποιαδήποτε.) Όλα εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη εξίσωση. Εάν, ξαφνικά, το x βγει στην εξίσωση κάπου αλλού, εκτός από τον δείκτη (ας πούμε, 3 x \u003d 18 + x 2), τότε μια τέτοια εξίσωση θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου . Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες επίλυσης. Επομένως, σε αυτό το μάθημαδεν θα τα εξετάσουμε. Προς χαρά των μαθητών.) Εδώ θα εξετάσουμε μόνο τις εκθετικές εξισώσεις σε «καθαρή» μορφή.

Σε γενικές γραμμές, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται ξεκάθαρα σε όλες τις περιπτώσεις και όχι πάντα. Αλλά ανάμεσα στην πλούσια ποικιλία των εκθετικών εξισώσεων, υπάρχουν ορισμένοι τύποιπου μπορεί και πρέπει να αντιμετωπιστεί. Είναι αυτοί οι τύποι εξισώσεων που θα εξετάσουμε μαζί σας. Και σίγουρα θα λύσουμε τα παραδείγματα.) Τακτοποιούμαστε λοιπόν άνετα και - στο δρόμο! Όπως και στους υπολογιστές «σκοπευτές», το ταξίδι μας θα περάσει μέσα από τα επίπεδα.) Από δημοτικό σε απλό, από απλό σε μεσαίο και από μεσαίο σε σύνθετο. Στην πορεία, θα περιμένετε επίσης ένα μυστικό επίπεδο - κόλπα και μεθόδους για την επίλυση μη τυπικών παραδειγμάτων. Αυτά για τα οποία δεν θα διαβάσετε στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια... Λοιπόν, στο τέλος, φυσικά, το τελικό αφεντικό σας περιμένει με τη μορφή εργασίας.)

Επίπεδο 0. Ποια είναι η απλούστερη εκθετική εξίσωση; Λύση των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων.

Αρχικά, ας δούμε μερικά ειλικρινή δημοτικά. Πρέπει να ξεκινήσεις από κάπου, σωστά; Για παράδειγμα, αυτή η εξίσωση:

2 x = 2 2

Έστω και χωρίς καμία θεωρία, με απλή λογική και ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗείναι ξεκάθαρο ότι x = 2. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος, σωστά; Καμία άλλη τιμή του x δεν είναι καλή... Τώρα ας στρέψουμε την προσοχή μας αρχείο απόφασηςαυτή η δροσερή εκθετική εξίσωση:

2 x = 2 2

X = 2

Τι μας συνέβη; Και έγινε το εξής. Εμείς, μάλιστα, πήραμε και ... απλώς πετάξαμε τις ίδιες βάσεις (δύο)! Εντελώς πεταμένο. Και, ό,τι ευχαριστεί, χτυπήστε το μάτι!

Ναι, πράγματι, αν στην εκθετική εξίσωση αριστερά και δεξιά είναι το ίδιοαριθμοί σε οποιοδήποτε βαθμό, τότε αυτοί οι αριθμοί μπορούν να απορριφθούν και απλώς να εξισώσουν τους εκθέτες. Τα μαθηματικά επιτρέπουν.) Και τότε μπορείτε να δουλέψετε χωριστά με δείκτες και να λύσετε μια πολύ πιο απλή εξίσωση. Είναι υπέροχο, σωστά;

Εδώ είναι η βασική ιδέα για την επίλυση οποιασδήποτε (ναι, ακριβώς οποιασδήποτε!) εκθετικής εξίσωσης: με τη βοήθεια πανομοιότυπων μετασχηματισμών, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι το αριστερό και το δεξί στην εξίσωση είναι το ίδιο αριθμοί βάσης σε διάφορους βαθμούς. Και τότε μπορείτε να αφαιρέσετε με ασφάλεια τις ίδιες βάσεις και να εξισώσετε τους εκθέτες. Και δουλέψτε με μια απλούστερη εξίσωση.

Και τώρα θυμόμαστε τον σιδερένιο κανόνα: είναι δυνατό να αφαιρεθούν οι ίδιες βάσεις εάν και μόνο εάν στην εξίσωση στα αριστερά και στα δεξιά οι αριθμοί βάσης είναι στην περήφανη μοναξιά.

Τι σημαίνει, σε υπέροχη απομόνωση; Αυτό σημαίνει χωρίς γείτονες και συντελεστές. Εξηγώ.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε τρίδυμα! Γιατί; Γιατί στα αριστερά δεν έχουμε απλώς ένα μοναχικό τρίποντο στο πτυχίο, αλλά δουλειά 3 3 x-5 . Ένα επιπλέον τριπλό παρεμποδίζει: ένας συντελεστής, καταλαβαίνετε.)

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για την εξίσωση

5 3 x = 5 2 x +5 x

Και εδώ όλες οι βάσεις είναι ίδιες - πέντε. Όμως στα δεξιά δεν έχουμε ούτε έναν βαθμό πέντε: υπάρχει το άθροισμα των βαθμών!

Εν ολίγοις, έχουμε το δικαίωμα να αφαιρέσουμε τις ίδιες βάσεις μόνο όταν η εκθετική μας εξίσωση μοιάζει με αυτό και μόνο ως εξής:

έναφά (Χ) = ένα ζ (Χ)

Αυτός ο τύπος εκθετικής εξίσωσης ονομάζεται το πιο απλό. Ή επιστημονικά, κανονικός . Και όποια κι αν είναι η στριμμένη εξίσωση που έχουμε μπροστά μας, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θα την αναγάγουμε σε μια τόσο απλή (κανονική) μορφή. Ή, σε ορισμένες περιπτώσεις, να αδρανήεξισώσεις αυτού του είδους. Τότε η απλούστερη εξίσωσή μας μπορεί να ξαναγραφτεί σε γενική μορφή ως εξής:

F(x) = g(x)

Και αυτό είναι όλο. Αυτός θα είναι ο ισοδύναμος μετασχηματισμός. Ταυτόχρονα, απολύτως οποιεσδήποτε εκφράσεις με x μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως f(x) και g(x). Ο, τι να 'ναι.

Ίσως ένας ιδιαίτερα περίεργος μαθητής θα ρωτήσει: γιατί στο καλό πετάμε τόσο εύκολα και απλά τις ίδιες βάσεις αριστερά και δεξιά και εξισώνουμε τους εκθέτες; Η διαίσθηση είναι διαίσθηση, αλλά ξαφνικά, σε κάποια εξίσωση και για κάποιο λόγο, αυτή η προσέγγιση θα αποδειχθεί λάθος; Είναι πάντα νόμιμο να πετάμε τις ίδιες βάσεις;Δυστυχώς, για μια αυστηρή μαθηματική απάντηση σε αυτό ενδιαφέρον Ρωτήστεπρέπει να εμβαθύνετε και σοβαρά στη γενική θεωρία της δομής και της συμπεριφοράς των συναρτήσεων. Και λίγο πιο συγκεκριμένα - στο φαινόμενο αυστηρή μονοτονία.Συγκεκριμένα, η αυστηρή μονοτονία εκθετικη συναρτηση y= ένα x. Επειδή είναι η εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της που αποτελούν τη βάση της λύσης των εκθετικών εξισώσεων, ναι.) Μια λεπτομερής απάντηση σε αυτήν την ερώτηση θα δοθεί σε ένα ξεχωριστό ειδικό μάθημα αφιερωμένο στην επίλυση σύνθετων μη τυπικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μονοτονία διαφορετικών συναρτήσεων.)

Το να εξηγήσουμε αυτό το σημείο λεπτομερώς τώρα είναι απλώς να βγάλουμε τον εγκέφαλο ενός μέσου μαθητή και να τον τρομάξουμε εκ των προτέρων με μια ξερή και βαριά θεωρία. δεν θα το κάνω αυτό.) Για το κύριο μας αυτή τη στιγμήμια εργασία - μάθε να λύνεις εκθετικές εξισώσεις!Το πιο απλό! Επομένως, μέχρι να ιδρώσουμε και να πετάξουμε με τόλμη τους ίδιους λόγους. το μπορώ, πάρε το λόγο μου!) Και τότε λύνουμε ήδη την ισοδύναμη εξίσωση f (x) = g (x). Κατά κανόνα, είναι απλούστερο από το αρχικό εκθετικό.

Υποτίθεται, φυσικά, ότι οι άνθρωποι γνωρίζουν ήδη πώς να λύνουν τουλάχιστον , και εξισώσεις, ήδη χωρίς x σε δείκτες.) Όσοι δεν γνωρίζουν ακόμα πώς, μη διστάσετε να κλείσετε αυτήν τη σελίδα, να περπατήσετε στους κατάλληλους συνδέσμους και να συμπληρώσετε τα παλιά κενά. Διαφορετικά, θα δυσκολευτείτε, ναι…

Σιωπώ για παράλογες, τριγωνομετρικές και άλλες βάναυσες εξισώσεις που μπορούν επίσης να προκύψουν στη διαδικασία εξάλειψης των βάσεων. Αλλά μην ανησυχείτε, προς το παρόν δεν θα εξετάσουμε τον ειλικρινή κασσίτερο όσον αφορά τους βαθμούς: είναι πολύ νωρίς. Θα προπονηθούμε μόνο στο μέγιστο απλές εξισώσεις.)

Τώρα εξετάστε τις εξισώσεις που απαιτούν πρόσθετη προσπάθεια για να τις μειώσετε στο απλούστερο. Για να τα ξεχωρίσουμε, ας τα φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις. Ας περάσουμε λοιπόν στο επόμενο επίπεδο!

Επίπεδο 1. Απλές εκθετικές εξισώσεις. Αναγνωρίστε πτυχία! φυσικούς δείκτες.

Οι βασικοί κανόνες για την επίλυση οποιωνδήποτε εκθετικών εξισώσεων είναι κανόνες για την αντιμετώπιση πτυχίων. Χωρίς αυτές τις γνώσεις και δεξιότητες, τίποτα δεν θα λειτουργήσει. Αλίμονο. Οπότε, αν υπάρχουν προβλήματα με τα πτυχία, τότε για αρχή είστε ευπρόσδεκτοι. Επιπλέον, χρειαζόμαστε επίσης. Αυτοί οι μετασχηματισμοί (όσο και δύο!) αποτελούν τη βάση για την επίλυση όλων των εξισώσεων των μαθηματικών γενικά. Και όχι μόνο βιτρίνες. Όποιος ξέχασε λοιπόν, κάνε μια βόλτα στο link: τα έβαλα για κάποιο λόγο.

Αλλά μόνο ενέργειες με δυνάμεις και ταυτόσημους μετασχηματισμούς δεν αρκούν. Απαιτεί επίσης προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Χρειαζόμαστε τους ίδιους λόγους, έτσι δεν είναι; Εξετάζουμε λοιπόν το παράδειγμα και τα αναζητούμε σε ρητή ή συγκαλυμμένη μορφή!

Για παράδειγμα, αυτή η εξίσωση:

3 2x – 27x +2 = 0

Πρώτη ματιά στο λόγους. Είναι διαφορετικοί! Τρεις και είκοσι επτά. Είναι όμως πολύ νωρίς για να πανικοβληθείτε και να πέσετε σε απόγνωση. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

27 = 3 3

Οι αριθμοί 3 και 27 είναι συγγενείς στο βαθμό! Επιπλέον, συγγενείς.) Επομένως, έχουμε κάθε δικαίωμα να γράψουμε:

27 x +2 = (3 3) x+2

Και τώρα συνδέουμε τις γνώσεις μας για δράσεις με πτυχία(και σας προειδοποίησα!). Υπάρχει μια τέτοια πολύ χρήσιμη φόρμουλα:

(am) n = a mn

Τώρα, αν το εκτελέσετε στην πορεία, γενικά αποδεικνύεται μια χαρά:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Το αρχικό παράδειγμα μοιάζει τώρα με αυτό:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Ωραία, οι βάσεις των μοιρών έχουν ευθυγραμμιστεί. Αυτό που προσπαθούσαμε. Η μισή δουλειά έχει ολοκληρωθεί.) Και τώρα ξεκινάμε τον βασικό μετασχηματισμό ταυτότητας - μεταφέρουμε 3 3 (x +2) στα δεξιά. Κανείς δεν ακύρωσε τις στοιχειώδεις ενέργειες των μαθηματικών, ναι.) Παίρνουμε:

3 2 x = 3 3(x +2)

Τι μας δίνει αυτό το είδος εξίσωσης; Και το ότι τώρα η εξίσωσή μας είναι μειωμένη σε κανονική μορφή: στέκεται δεξιά και αριστερά ίδιοι αριθμοί(τριπλασιάζεται) σε δυνάμεις. Και τα δύο τρίδυμα - σε υπέροχη απομόνωση. Αφαιρούμε με τόλμη τα τρίδυμα και παίρνουμε:

2x = 3(x+2)

Το λύνουμε και παίρνουμε:

Χ=-6

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Αυτή είναι η σωστή απάντηση.)

Και τώρα καταλαβαίνουμε την πορεία της απόφασης. Τι μας έσωσε σε αυτό το παράδειγμα; Μας έσωσε η γνώση των βαθμών του τριπλού. Πώς ακριβώς; Εμείς αναγνωρισθείςνούμερο 27 κρυπτογραφημένο τρία! Αυτό το κόλπο (κωδικοποιεί την ίδια βάση κάτω από διαφορετικούς αριθμούς) είναι ένα από τα πιο δημοφιλή στις εκθετικές εξισώσεις! Εκτός κι αν είναι το πιο δημοφιλές. Ναι, και επίσης, παρεμπιπτόντως. Γι' αυτό η παρατήρηση και η ικανότητα αναγνώρισης δυνάμεων άλλων αριθμών σε αριθμούς είναι τόσο σημαντική στις εκθετικές εξισώσεις!

Πρακτικές συμβουλές:

Πρέπει να γνωρίζετε τις δυνάμεις των δημοφιλών αριθμών. Στο ΠΡΟΣΩΠΟ!

Φυσικά, ο καθένας μπορεί να ανεβάσει δύο στην έβδομη δύναμη ή τρεις στην πέμπτη. Όχι στο μυαλό μου, έτσι τουλάχιστον σε ένα προσχέδιο. Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, είναι πολύ πιο συχνά απαραίτητο να μην ανεβαίνετε σε μια ισχύ, αλλά, αντίθετα, να μάθετε ποιος αριθμός και σε ποιο βαθμό κρύβεται πίσω από τον αριθμό, ας πούμε, 128 ή 243. Και αυτό είναι ήδη περισσότερο περίπλοκη παρά απλή εκθετικότητα, βλέπετε. Νιώστε τη διαφορά, όπως λένε!

Δεδομένου ότι η ικανότητα αναγνώρισης βαθμών στο πρόσωπο είναι χρήσιμη όχι μόνο σε αυτό το επίπεδο, αλλά και στα ακόλουθα, εδώ είναι μια μικρή εργασία για εσάς:

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και ποιοι αριθμοί είναι οι αριθμοί:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Απαντήσεις (σκόρπιες, φυσικά):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ναι ναι! Μην εκπλαγείτε που υπάρχουν περισσότερες απαντήσεις από εργασίες. Για παράδειγμα, τα 2 8 , 4 4 και 16 2 είναι όλα 256.

Επίπεδο 2. Απλές εκθετικές εξισώσεις. Αναγνωρίστε πτυχία! Αρνητικούς και κλασματικούς εκθέτες.

Σε αυτό το επίπεδο, χρησιμοποιούμε ήδη στο έπακρο τις γνώσεις μας για τα πτυχία. Δηλαδή, εμπλέκουμε αρνητικούς και κλασματικούς δείκτες σε αυτή τη συναρπαστική διαδικασία! Ναι ναι! Πρέπει να χτίσουμε δύναμη, σωστά;

Για παράδειγμα, αυτή η τρομερή εξίσωση:

Και πάλι, πρώτα κοιτάξτε τα θεμέλια. Οι βάσεις είναι διαφορετικές! Και αυτή τη φορά δεν μοιάζουν καθόλου μεταξύ τους! 5 και 0,04... Και για να εξαλειφθούν οι βάσεις χρειάζονται οι ίδιες... Τι να κάνουμε;

Είναι εντάξει! Στην πραγματικότητα, όλα είναι ίδια, απλώς η σύνδεση μεταξύ του πέντε και του 0,04 είναι οπτικά ελάχιστα ορατή. Πώς βγαίνουμε; Και ας προχωρήσουμε στον αριθμό 0,04 έως συνηθισμένο κλάσμα! Και εκεί, βλέπετε, διαμορφώνονται τα πάντα.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ουάου! Αποδεικνύεται ότι το 0,04 είναι 1/25! Λοιπόν, ποιος θα το φανταζόταν!)

Λοιπόν, πώς; Τώρα είναι πιο εύκολο να φανεί η σύνδεση μεταξύ των αριθμών 5 και 1/25; Αυτό είναι...

Και τώρα, σύμφωνα με τους κανόνες λειτουργίας με εξουσίες με αρνητικός δείκτηςμπορεί να γραφτεί με σταθερό χέρι:

Αυτό είναι υπέροχο. Έτσι φτάσαμε στην ίδια βάση - πέντε. Τώρα αντικαθιστούμε τον άβολο αριθμό 0,04 στην εξίσωση με 5 -2 και παίρνουμε:

Και πάλι, σύμφωνα με τους κανόνες λειτουργίας με εξουσίες, μπορούμε τώρα να γράψουμε:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Για κάθε ενδεχόμενο, υπενθυμίζω (ξαφνικά, ποιος δεν ξέρει) ότι οι βασικοί κανόνες για ενέργειες με πτυχία ισχύουν για όποιοςδείκτες! Συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών.) Επομένως, μη διστάσετε να πάρετε και να πολλαπλασιάσετε τους δείκτες (-2) και (x-1) σύμφωνα με τον αντίστοιχο κανόνα. Η εξίσωσή μας γίνεται όλο και καλύτερη:

Τα παντα! Εκτός από τις μοναχικές πεντάδες στις μοίρες αριστερά και δεξιά, δεν υπάρχει τίποτα άλλο. Η εξίσωση ανάγεται σε κανονική μορφή. Και μετά - κατά μήκος της στριμωγμένης διαδρομής. Αφαιρούμε τα πέντε και εξισώνουμε τους δείκτες:

Χ 2 –6 Χ+5=-2(Χ-1)

Το παράδειγμα έχει σχεδόν τελειώσει. Τα στοιχειώδη μαθηματικά των μεσαίων τάξεων παραμένουν - ανοίγουμε (σωστά!) τις αγκύλες και μαζεύουμε τα πάντα στα αριστερά:

Χ 2 –6 Χ+5 = -2 Χ+2

Χ 2 –4 Χ+3 = 0

Το λύνουμε και παίρνουμε δύο ρίζες:

Χ 1 = 1; Χ 2 = 3

Αυτό είναι όλο.)

Τώρα ας το ξανασκεφτούμε. Σε αυτό το παράδειγμα, έπρεπε και πάλι να αναγνωρίσουμε τον ίδιο αριθμό σε διάφορους βαθμούς! Δηλαδή, για να δείτε την κρυπτογραφημένη πεντάδα στον αριθμό 0,04. Και αυτή τη φορά, μέσα αρνητικός βαθμός!Πώς το κάναμε; Εν κινήσει - δεν υπάρχει περίπτωση. Όμως μετά τη μετάβαση από δεκαδικό κλάσμα 0,04 σε συνηθισμένο κλάσμα 1/25, όλα τονίστηκαν! Και τότε η όλη απόφαση πήγε σαν ρολόι.)

Επομένως, μια άλλη πράσινη πρακτική συμβουλή.

Αν υπάρχουν δεκαδικά κλάσματα στην εκθετική εξίσωση, τότε πάμε από δεκαδικά κλάσματαστο συνηθισμένο. ΣΤΟ κοινά κλάσματαείναι πολύ πιο εύκολο να αναγνωρίσετε τις δυνάμεις πολλών δημοφιλών αριθμών! Μετά την αναγνώριση, περνάμε από κλάσματα σε δυνάμεις με αρνητικούς εκθέτες.

Λάβετε υπόψη ότι μια τέτοια προσποίηση στις εκθετικές εξισώσεις συμβαίνει πολύ, πολύ συχνά! Και το άτομο δεν είναι στο θέμα. Κοιτάζει, για παράδειγμα, τους αριθμούς 32 και 0,125 και αναστατώνεται. Του είναι άγνωστο ότι πρόκειται για το ίδιο δίδυμο, μόνο σε διαφορετικούς βαθμούς ... Αλλά είστε ήδη στο θέμα!)

Λύστε την εξίσωση:

Σε! Μοιάζει με ήσυχο τρόμο... Ωστόσο, τα φαινόμενα απατούν. Αυτή είναι η απλούστερη εκθετική εξίσωση, παρά την τρομακτική της εμφάνιση. Και τώρα θα σας το δείξω.)

Αρχικά, ασχολούμαστε με όλους τους αριθμούς που κάθονται στις βάσεις και στους συντελεστές. Είναι προφανώς διαφορετικά, ναι. Αλλά και πάλι παίρνουμε το ρίσκο και προσπαθούμε να τα φτιάξουμε το ίδιο! Ας προσπαθήσουμε να φτάσουμε τον ίδιο αριθμό σε διαφορετικούς βαθμούς. Και, κατά προτίμηση, ο αριθμός των μικρότερων δυνατών. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε την αποκρυπτογράφηση!

Λοιπόν, όλα είναι ξεκάθαρα με τα τέσσερα ταυτόχρονα - είναι 2 2 . Λοιπόν, ήδη κάτι.)

Με κλάσμα 0,25 - δεν είναι ακόμη σαφές. Χρειάζεται έλεγχος. Χρησιμοποιούμε πρακτικές συμβουλές - πηγαίνετε από το δεκαδικό στο συνηθισμένο:

0,25 = 25/100 = 1/4

Ήδη πολύ καλύτερα. Προς το παρόν είναι ήδη ορατό ότι το 1/4 είναι 2 -2. Υπέροχο, και ο αριθμός 0,25 μοιάζει επίσης με ένα δυάρι.)

Μέχρι εδώ καλά. Αλλά ο χειρότερος αριθμός από όλους παραμένει - η τετραγωνική ρίζα των δύο!Τι να το κάνεις αυτό το πιπέρι; Μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως δύναμη δύο; Και ποιος ξέρει...

Λοιπόν, πάλι σκαρφαλώνουμε στο θησαυροφυλάκιο των γνώσεών μας για τα πτυχία! Αυτή τη φορά συνδέουμε επιπλέον τις γνώσεις μας σχετικά με τις ρίζες. Από το μάθημα της 9ης τάξης, εσύ κι εγώ έπρεπε να αντέξουμε ότι οποιαδήποτε ρίζα, αν θέλεις, μπορεί πάντα να μετατραπεί σε πτυχίο με κλάσμα.

Σαν αυτό:

Στην περίπτωσή μας:

Πως! Αποδεικνύεται ότι η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι 2 1/2. Αυτό είναι!

Είναι εντάξει! Όλοι οι άβολοι αριθμοί μας στην πραγματικότητα αποδείχτηκαν κρυπτογραφημένοι.) Δεν διαφωνώ, κάπου πολύ περίπλοκα κρυπτογραφημένοι. Αλλά αυξάνουμε επίσης τον επαγγελματισμό μας στην επίλυση τέτοιων κρυπτογράφησης! Και τότε όλα είναι ήδη προφανή. Αντικαθιστούμε τους αριθμούς 4, 0,25 και τη ρίζα του δύο στην εξίσωσή μας με δύναμη δύο:

Τα παντα! Οι βάσεις όλων των βαθμών στο παράδειγμα έχουν γίνει ίδιες - δύο. Και τώρα χρησιμοποιούνται οι τυπικές ενέργειες με βαθμούς:

είμαιa n = είμαι + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Για την αριστερή πλευρά παίρνετε:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Για τη δεξιά πλευρά θα είναι:

Και τώρα η κακή μας εξίσωση άρχισε να μοιάζει με αυτό:

Για όσους δεν έχουν καταλάβει πώς ακριβώς προέκυψε αυτή η εξίσωση, τότε το ερώτημα δεν αφορά τις εκθετικές εξισώσεις. Το ερώτημα αφορά ενέργειες με εξουσίες. Ζήτησα επειγόντως να επαναλάβω σε όσους έχουν προβλήματα!

Εδώ είναι η γραμμή του τερματισμού! Λαμβάνεται η κανονική μορφή της εκθετικής εξίσωσης! Λοιπόν, πώς; Σας έπεισα ότι δεν είναι τόσο τρομακτικό; ;) Αφαιρούμε τα deuces και εξισώνουμε τους δείκτες:

Απομένει μόνο να λυθεί αυτή η γραμμική εξίσωση. Πως? Με τη βοήθεια πανομοιότυπων μετασχηματισμών, φυσικά.) Λύστε αυτό που υπάρχει ήδη! Πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη επί δύο (για να αφαιρέσετε το κλάσμα 3/2), μετακινήστε τους όρους με Xs προς τα αριστερά, χωρίς Xs προς τα δεξιά, φέρτε σαν ένα, μετρήστε - και θα είστε ευχαριστημένοι!

Όλα πρέπει να γίνουν όμορφα:

X=4

Τώρα ας ξανασκεφτούμε την απόφαση. Σε αυτό το παράδειγμα, σωθήκαμε από τη μετάβαση από τετραγωνική ρίζα προς την βαθμός με εκθέτη 1/2. Επιπλέον, μόνο μια τέτοια πονηρή μεταμόρφωση μας βοήθησε να φτάσουμε παντού στην ίδια βάση (deuce), που έσωσε την κατάσταση! Και, αν όχι για αυτό, τότε θα είχαμε κάθε ευκαιρία να παγώσουμε για πάντα και να μην αντιμετωπίσουμε ποτέ αυτό το παράδειγμα, ναι ...

Επομένως, δεν αμελούμε τις ακόλουθες πρακτικές συμβουλές:

Εάν υπάρχουν ρίζες στην εκθετική εξίσωση, τότε μετακινούμαστε από ρίζες σε δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες. Πολύ συχνά, μόνο ένας τέτοιος μετασχηματισμός ξεκαθαρίζει την περαιτέρω κατάσταση.

Φυσικά, οι αρνητικές και οι κλασματικές δυνάμεις είναι ήδη πολύ πιο περίπλοκες από τις φυσικές δυνάμεις. Τουλάχιστον όσον αφορά την οπτική αντίληψη και, κυρίως, την αναγνώριση από δεξιά προς τα αριστερά!

Είναι σαφές ότι η άμεση αύξηση, για παράδειγμα, ενός δύο στη δύναμη του -3 ή ενός τεσσάρου στη δύναμη του -3/2 δεν είναι τόσο μεγάλο πρόβλημα. Για όσους ξέρουν.)

Αλλά πηγαίνετε, για παράδειγμα, συνειδητοποιήστε αμέσως αυτό

0,125 = 2 -3

Ή

Εδώ κυριαρχεί μόνο η πρακτική και η πλούσια εμπειρία, ναι. Και, φυσικά, μια καθαρή άποψη, Τι είναι αρνητικός και κλασματικός εκθέτης.Και επίσης - πρακτικές συμβουλές! Ναι, ναι, αυτά πράσινος.) Ελπίζω ωστόσο ότι θα σας βοηθήσουν να πλοηγηθείτε καλύτερα σε όλη την ετερόκλητη ποικιλία βαθμών και να αυξήσουν σημαντικά τις πιθανότητες επιτυχίας σας! Ας μην τα παραμελούμε λοιπόν. Δεν είμαι μάταιος σε πράσινοΓράφω μερικές φορές.)

Από την άλλη πλευρά, αν γίνετε «εσύ» ακόμα και με τέτοιες εξωτικές δυνάμεις όπως αρνητικές και κλασματικές, τότε οι δυνατότητές σας στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων θα επεκταθούν πάρα πολύ και θα είστε ήδη σε θέση να χειριστείτε σχεδόν κάθε τύπο εκθετικών εξισώσεων. Λοιπόν, αν όχι καμία, τότε το 80 τοις εκατό όλων των εκθετικών εξισώσεων - σίγουρα! Ναι, ναι, δεν κάνω πλάκα!

Έτσι, το πρώτο μέρος της γνωριμίας μας με τις εκθετικές εξισώσεις έφτασε στο λογικό του συμπέρασμα. Και, ως ενδιάμεση προπόνηση, προτείνω παραδοσιακά να λύσετε λίγο μόνοι σας.)

Ασκηση 1.

Για να μην είναι μάταια τα λόγια μου για την αποκρυπτογράφηση αρνητικών και κλασματικών βαθμών, προτείνω να παίξουμε ένα μικρό παιχνίδι!

Εκφράστε τον αριθμό ως δύναμη δύο:

Απαντήσεις (σε αταξία):

Συνέβη; Εξοχος! Στη συνέχεια, κάνουμε μια αποστολή μάχης - λύνουμε τις πιο απλές και απλές εκθετικές εξισώσεις!

Εργασία 2.

Λύστε εξισώσεις (όλες οι απαντήσεις είναι χάλια!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Απαντήσεις:

x=16

Χ 1 = -1; Χ 2 = 2

Χ = 5

Συνέβη; Πράγματι, πολύ πιο εύκολο!

Στη συνέχεια λύνουμε το παρακάτω παιχνίδι:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Απαντήσεις:

Χ 1 = -2; Χ 2 = 2

Χ = 0,5

Χ 1 = 3; Χ 2 = 5

Και αυτά τα παραδείγματα μιας αριστεράς; Εξοχος! Μεγαλώνεις! Στη συνέχεια, εδώ είναι μερικά ακόμη παραδείγματα για να τσιμπήσετε:

Απαντήσεις:

Χ = 6

Χ = 13/31

Χ = -0,75

Χ 1 = 1; Χ 2 = 8/3

Και αποφασίζεται; Λοιπόν, σεβασμός! Βγάζω το καπέλο μου.) Έτσι, το μάθημα δεν ήταν μάταιο και το αρχικό επίπεδο επίλυσης εκθετικών εξισώσεων μπορεί να θεωρηθεί επιτυχώς κατακτημένο. Μπροστά - τα επόμενα επίπεδα και πιο σύνθετες εξισώσεις! Και νέες τεχνικές και προσεγγίσεις. Και μη τυποποιημένα παραδείγματα. Και νέες εκπλήξεις.) Όλα αυτά - στο επόμενο μάθημα!

Κάτι δεν λειτούργησε; Άρα, πιθανότατα, τα προβλήματα βρίσκονται στο . Ή σε . Ή και τα δύο ταυτόχρονα. Εδώ είμαι ανίσχυρος. Μπορεί μέσα πάλιπροσφέρετε μόνο ένα πράγμα - μην είστε τεμπέλης και κάντε μια βόλτα στους συνδέσμους.)

Συνεχίζεται.)

Παραδείγματα:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις

Όταν λύνουμε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, προσπαθούμε να τη φέρουμε στη μορφή \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) και στη συνέχεια να κάνουμε τη μετάβαση στην ισότητα των δεικτών, δηλαδή:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Για παράδειγμα:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Σπουδαίος! Από την ίδια λογική, ακολουθούν δύο απαιτήσεις για μια τέτοια μετάβαση:
- αριθμός μέσα αριστερά και δεξιά πρέπει να είναι ίδια.
- οι μοίρες αριστερά και δεξιά πρέπει να είναι "καθαρές", δηλαδή να μην υπάρχουν, πολλαπλασιασμοί, διαιρέσεις κ.λπ.

Για παράδειγμα:

Για να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή \(a^(f(x))=a^(g(x))\) και χρησιμοποιούνται.

Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Λύση:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Γνωρίζουμε ότι \(27 = 3^3\). Με αυτό κατά νου, μετασχηματίζουμε την εξίσωση.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Με την ιδιότητα της ρίζας \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) παίρνουμε ότι \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα βαθμού \((a^b)^c=a^(bc)\), λαμβάνουμε \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Γνωρίζουμε επίσης ότι \(a^b a^c=a^(b+c)\). Εφαρμόζοντας αυτό στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Τώρα θυμηθείτε ότι: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί αντίστροφα: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Τότε \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Εφαρμόζοντας την ιδιότητα \((a^b)^c=a^(bc)\) στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Και τώρα έχουμε τις βάσεις ίσες και δεν υπάρχουν παρεμβαλλόμενοι συντελεστές κ.λπ. Μπορούμε λοιπόν να κάνουμε τη μετάβαση.
		Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Λύση: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Και πάλι χρησιμοποιούμε την ιδιότητα βαθμού \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) προς την αντίθετη κατεύθυνση. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Τώρα θυμηθείτε ότι \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού, μετασχηματίζουμε: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Εξετάζουμε προσεκτικά την εξίσωση και βλέπουμε ότι η αντικατάσταση \(t=2^x\) προτείνεται εδώ. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Ωστόσο, βρήκαμε τις τιμές \(t\) και χρειαζόμαστε \(x\). Επιστρέφουμε στο Χ, κάνοντας την αντίστροφη αλλαγή. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Μετασχηματίστε τη δεύτερη εξίσωση χρησιμοποιώντας την ιδιότητα αρνητικής ισχύος... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...και λύστε μέχρι την απάντηση. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Απάντηση : \(-1; 1\). Το ερώτημα παραμένει - πώς να καταλάβετε πότε να εφαρμόσετε ποια μέθοδο; Έρχεται με εμπειρία. Στο μεταξύ, δεν το έχετε κερδίσει, χρησιμοποιήστε γενική σύστασηγια να λύσετε σύνθετα προβλήματα - «αν δεν ξέρετε τι να κάνετε - κάντε ό,τι μπορείτε». Δηλαδή, ψάξτε πώς μπορείτε να μεταμορφώσετε την εξίσωση κατ' αρχήν και προσπαθήστε να το κάνετε - και αν βγει; Το κύριο πράγμα είναι να κάνουμε μόνο μαθηματικά αιτιολογημένους μετασχηματισμούς. εκθετικές εξισώσεις χωρίς λύσεις Ας δούμε δύο ακόμη καταστάσεις που συχνά μπερδεύουν τους μαθητές: - ένας θετικός αριθμός στη δύναμη ισούται με μηδέν, για παράδειγμα, \(2^x=0\); - ένας θετικός αριθμός στη δύναμη είναι ίσος με έναν αρνητικό αριθμό, για παράδειγμα, \(2^x=-4\). Ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε με ωμή βία. Εάν το x είναι θετικός αριθμός, τότε καθώς το x αυξάνεται, ολόκληρη η ισχύς \(2^x\) θα αυξάνεται μόνο: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Επίσης παρελθόν. Υπάρχουν αρνητικά x. Απομνημονεύοντας την ιδιότητα \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), ελέγχουμε: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Παρά το γεγονός ότι ο αριθμός γίνεται μικρότερος με κάθε βήμα, δεν θα φτάσει ποτέ στο μηδέν. Δεν μας έσωσε λοιπόν ούτε ο αρνητικός βαθμός. Καταλήγουμε σε ένα λογικό συμπέρασμα: Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη θα παραμείνει θετικός αριθμός. Έτσι, και οι δύο παραπάνω εξισώσεις δεν έχουν λύσεις. εκθετικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις Στην πράξη, μερικές φορές υπάρχουν εκθετικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις που δεν είναι αναγώγιμες μεταξύ τους, και ταυτόχρονα με τους ίδιους εκθέτες. Μοιάζουν με αυτό: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), όπου τα \(a\) και \(b\) είναι θετικοί αριθμοί. Για παράδειγμα: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Τέτοιες εξισώσεις μπορούν εύκολα να λυθούν διαιρώντας με οποιοδήποτε από τα μέρη της εξίσωσης (συνήθως διαιρώντας με τη δεξιά πλευρά, δηλαδή με \ (b ^ (f (x)) \). Μπορείτε να διαιρέσετε με αυτόν τον τρόπο, επειδή ένα θετικό Ο αριθμός είναι θετικός σε οποιοδήποτε βαθμό (δηλαδή, δεν διαιρούμε με το μηδέν.) Παίρνουμε: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Λύση: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Εδώ δεν μπορούμε να μετατρέψουμε ένα πέντε σε τρία ή το αντίστροφο (τουλάχιστον χωρίς χρήση). Άρα δεν μπορούμε να φτάσουμε στη μορφή \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Ταυτόχρονα, οι δείκτες είναι ίδιοι. Ας διαιρέσουμε την εξίσωση με τη δεξιά πλευρά, δηλαδή με το \(3^(x+7)\) (μπορούμε να το κάνουμε αυτό, γιατί ξέρουμε ότι το τριπλό δεν θα είναι μηδέν σε καμία μοίρα). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Τώρα θυμηθείτε την ιδιότητα \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) και χρησιμοποιήστε την από τα αριστερά προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στα δεξιά, απλώς μειώνουμε το κλάσμα. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Δεν φαινόταν να γίνεται καλύτερο. Αλλά θυμηθείτε μια άλλη ιδιότητα του βαθμού: \(a^0=1\), με άλλα λόγια: "οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με \(1\)". Το αντίστροφο ισχύει επίσης: "μια μονάδα μπορεί να αναπαρασταθεί ως οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωμένος στη δύναμη του μηδέν." Το χρησιμοποιούμε κάνοντας τη βάση στα δεξιά ίδια με αυτή στα αριστερά. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Απαλλαγούμε από τα θεμέλια. Γράφουμε την απάντηση. Απάντηση : \(-7\). Μερικές φορές η «ομοιότητα» των εκθετών δεν είναι εμφανής, αλλά η επιδέξια χρήση των ιδιοτήτων του πτυχίου λύνει αυτό το ζήτημα. Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Λύση: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Η εξίσωση φαίνεται αρκετά θλιβερή... Όχι μόνο οι βάσεις δεν μπορούν να μειωθούν στον ίδιο αριθμό (το επτά δεν θα είναι ίσο με \(\frac(1)(3)\)), αλλά και οι δείκτες είναι διαφορετικοί... Ωστόσο, ας χρησιμοποιήσουμε τον αριστερό εκθέτη. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Έχοντας υπόψη την ιδιότητα \((a^b)^c=a^(b c)\) , μετασχηματίστε στα αριστερά: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Τώρα, θυμόμαστε την ιδιότητα αρνητικής ισχύος \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), μετασχηματίζουμε στα δεξιά: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Αλληλούια! Οι βαθμολογίες είναι ίδιες! Ενεργώντας σύμφωνα με το ήδη γνωστό σε εμάς σχήμα, αποφασίζουμε πριν από την απάντηση. Απάντηση : \(2\).

Αυτό το μάθημα προορίζεται για όσους μόλις αρχίζουν να μαθαίνουν εκθετικές εξισώσεις. Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό και απλά παραδείγματα.

Εάν διαβάζετε αυτό το μάθημα, τότε υποπτεύομαι ότι έχετε ήδη τουλάχιστον μια ελάχιστη κατανόηση των απλούστερων εξισώσεων - γραμμικών και τετραγωνικών: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ κ.λπ. Για να μπορέσετε να λύσετε τέτοιες κατασκευές είναι απολύτως απαραίτητο για να μην "κολλήσετε" στο θέμα που θα συζητηθεί τώρα.

Λοιπόν, εκθετικές εξισώσεις. Επιτρέψτε μου να σας δώσω μερικά παραδείγματα:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Κάποια από αυτά μπορεί να σας φαίνονται πιο περίπλοκα, μερικά από αυτά, αντίθετα, είναι πολύ απλά. Όλα όμως ενώνονται με ένα σημαντικό χαρακτηριστικό: περιέχουν μια εκθετική συνάρτηση $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Έτσι εισάγουμε τον ορισμό:

Εκθετική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει μια εκθετική συνάρτηση, δηλ. μια έκφραση της μορφής $((a)^(x))$. Εκτός από την καθορισμένη συνάρτηση, τέτοιες εξισώσεις μπορούν να περιέχουν οποιεσδήποτε άλλες αλγεβρικές κατασκευές - πολυώνυμα, ρίζες, τριγωνομετρία, λογάριθμους κ.λπ.

Εντάξει τότε. Κατάλαβε τον ορισμό. Τώρα το ερώτημα είναι: πώς να λύσετε όλα αυτά τα χάλια; Η απάντηση είναι απλή και σύνθετη ταυτόχρονα.

Ας ξεκινήσουμε με τα καλά νέα: από την εμπειρία μου με πολλούς μαθητές, μπορώ να πω ότι για τους περισσότερους από αυτούς, οι εκθετικές εξισώσεις είναι πολύ πιο εύκολες από τους ίδιους λογάριθμους και ακόμη περισσότερο την τριγωνομετρία.

Αλλά υπάρχουν και άσχημα νέα: μερικές φορές οι συντάκτες προβλημάτων για κάθε είδους σχολικά βιβλία και εξετάσεις επισκέπτονται «έμπνευση» και ο φλεγμονώδης εγκέφαλος τους αρχίζει να παράγει τόσο βάναυσες εξισώσεις που γίνεται προβληματικό όχι μόνο για τους μαθητές να τα λύσουν - ακόμη και πολλοί δάσκαλοι κολλάνε σε τέτοια προβλήματα.

Ωστόσο, ας μην μιλάμε για θλιβερά πράγματα. Και ας επιστρέψουμε στις τρεις αυτές εξισώσεις που δόθηκαν στην αρχή κιόλας της ιστορίας. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε καθένα από αυτά.

Πρώτη εξίσωση: $((2)^(x))=4$. Λοιπόν, σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί ο αριθμός 2 για να πάρει τον αριθμό 4; Ίσως το δεύτερο; Άλλωστε, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — και έχουμε λάβει τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. πράγματι $x=2$. Λοιπόν, ευχαριστώ, καπάκι, αλλά αυτή η εξίσωση ήταν τόσο απλή που ακόμη και η γάτα μου μπορούσε να τη λύσει. :)

Ας δούμε την παρακάτω εξίσωση:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Εδώ όμως είναι λίγο πιο δύσκολο. Πολλοί μαθητές γνωρίζουν ότι $((5)^(2))=25$ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Μερικοί επίσης υποψιάζονται ότι ο ορισμός είναι ουσιαστικά ο $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ αρνητικές δυνάμεις(κατ' αναλογία με τον τύπο $((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))$).

Τέλος, μόνο λίγοι μαντεύουν ότι αυτά τα γεγονότα μπορούν να συνδυαστούν και το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Έτσι, η αρχική μας εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Και τώρα αυτό έχει ήδη λυθεί πλήρως! Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αυτές πουθενά αλλού. Ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να "απορρίψετε" τις βάσεις και να εξισώσετε ανόητα τους δείκτες:

Πήραμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση που μπορεί να λύσει κάθε μαθητής σε μερικές μόνο γραμμές. Εντάξει, σε τέσσερις γραμμές:

\[\αρχή(στοίχιση)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλάβατε τι συνέβαινε στις τελευταίες τέσσερις γραμμές, φροντίστε να επιστρέψετε στο θέμα "γραμμικές εξισώσεις" και να το επαναλάβετε. Διότι χωρίς σαφή αφομοίωση αυτού του θέματος, είναι πολύ νωρίς για εσάς να αναλάβετε εκθετικές εξισώσεις.

\[((9)^(x))=-3\]

Λοιπόν, πώς αποφασίζεις; Πρώτη σκέψη: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, οπότε η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=-3\]

Στη συνέχεια, υπενθυμίζουμε ότι κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=(3)^(2x))\Δεξί βέλος ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Και για μια τέτοια απόφαση, παίρνουμε ένα ειλικρινά άξιο δόγμα. Γιατί εμείς, με την ισοτιμία ενός Pokémon, στείλαμε το σύμβολο μείον μπροστά από τα τρία στη δύναμη αυτού του τριών. Και δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Και για αυτο. Ρίξε μια ματιά στο διαφορετικούς βαθμούςτρίδυμα:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(μήτρα)\]

Συγκεντρώνοντας αυτό το tablet, δεν διαστρέβλωσα αμέσως μόλις το έκανα: Θεώρησα θετικούς βαθμούς και αρνητικούς, ακόμη και κλασματικούς ... καλά, πού είναι τουλάχιστον ένας αρνητικός αριθμός εδώ; Δεν είναι! Και δεν μπορεί να είναι, γιατί η εκθετική συνάρτηση $y=((a)^(x))$, πρώτον, παίρνει πάντα μόνο θετικές αξίες(όσο και αν πολλαπλασιάσετε ένα ή διαιρέσετε με δύο, θα εξακολουθεί να είναι θετικός αριθμός), και δεύτερον, η βάση μιας τέτοιας συνάρτησης - ο αριθμός $a$ - είναι εξ ορισμού ένας θετικός αριθμός!

Λοιπόν, πώς να λύσουμε τότε την εξίσωση $((9)^(x))=-3$; Όχι, δεν υπάρχουν ρίζες. Και από αυτή την άποψη, οι εκθετικές εξισώσεις μοιάζουν πολύ με τις τετραγωνικές - μπορεί επίσης να μην υπάρχουν ρίζες. Αλλά αν στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις ο αριθμός των ριζών καθορίζεται από τη διάκριση (η διάκριση είναι θετική - 2 ρίζες, αρνητική - χωρίς ρίζες), τότε στις εκθετικές εξισώσεις όλα εξαρτώνται από το τι βρίσκεται στα δεξιά του πρόσημου ίσου.

Έτσι, διατυπώνουμε το βασικό συμπέρασμα: η απλούστερη εκθετική εξίσωση της μορφής $((a)^(x))=b$ έχει ρίζα αν και μόνο αν $b>0$. Γνωρίζοντας αυτό το απλό γεγονός, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση που σας προτείνεται έχει ρίζες ή όχι. Εκείνοι. αξίζει να το λύσετε καθόλου ή γράψτε αμέσως ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Αυτή η γνώση θα μας βοηθήσει πολλές φορές όταν πρέπει να λύσουμε πιο περίπλοκα προβλήματα. Στο μεταξύ, αρκετοί στίχοι - ήρθε η ώρα να μελετήσετε τον βασικό αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε το πρόβλημα. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εκθετική εξίσωση:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Σύμφωνα με τον "αφελή" αλγόριθμο που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε τον αριθμό $b$ ως δύναμη του αριθμού $a$:

Επιπλέον, εάν αντί για τη μεταβλητή $x$ υπάρχει κάποια έκφραση, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση, η οποία μπορεί ήδη να λυθεί. Για παράδειγμα:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Δεξί βέλος ((3)^(-x))=((3)^(4))\Δεξί βέλος -x=4\Δεξί βέλος x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Δεξί βέλος ((5)^(2x))=(5)^(3))\Δεξί βέλος 2x=3\Δεξί βέλος x=\frac(3)( 2). \\\end(στοίχιση)\]

Και παραδόξως, αυτό το σχήμα λειτουργεί στο 90% περίπου των περιπτώσεων. Τι γίνεται με το άλλο 10% τότε; Το υπόλοιπο 10% είναι ελαφρώς «σχιζοφρενικές» εκθετικές εξισώσεις της μορφής:

\[((2)^(x))=3;\τετράγωνο ((5)^(x))=15;\τετράγωνο ((4)^(2x))=11\]

Σε ποια δύναμη χρειάζεται να σηκώσεις 2 για να πάρεις 3; Κατά την πρώτη? Αλλά όχι: $((2)^(1))=2$ δεν είναι αρκετό. Στο δεύτερο; Κανένα από τα δύο: $((2)^(2))=4$ είναι πάρα πολύ. Τι τότε?

Οι γνώστες μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μαντέψει: σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν είναι αδύνατο να λυθεί "όμορφα", το "βαρύ πυροβολικό" συνδέεται με την υπόθεση - λογάριθμους. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι χρησιμοποιώντας λογάριθμους, οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη οποιουδήποτε άλλου θετικού αριθμού (με εξαίρεση τον ένα):

Θυμάστε αυτόν τον τύπο; Όταν λέω στους μαθητές μου για τους λογάριθμους, τους προειδοποιώ πάντα: αυτός ο τύπος (είναι και ο κύριος λογαριθμική ταυτότηταή, αν θέλετε, ο ορισμός του λογάριθμου) θα σας στοιχειώσει για πολύ καιρό και θα «αναδυθεί» στα πιο απροσδόκητα μέρη. Λοιπόν, αυτή βγήκε στην επιφάνεια. Ας δούμε την εξίσωσή μας και αυτόν τον τύπο:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Αν υποθέσουμε ότι ο $a=3$ είναι ο αρχικός μας αριθμός στα δεξιά και το $b=2$ είναι η ίδια η βάση της εκθετικής συνάρτησης στην οποία θέλουμε να μειώσουμε τη δεξιά πλευρά, έχουμε το εξής:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Δεξί βέλος ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Δεξί βέλος x=( (\log )_(2))3. \\\end(στοίχιση)\]

Λάβαμε μια ελαφρώς περίεργη απάντηση: $x=((\log )_(2))3$. Σε κάποια άλλη εργασία, με μια τέτοια απάντηση, πολλοί θα αμφισβητούσαν και θα άρχιζαν να επανεξετάζουν τη λύση τους: τι θα γινόταν αν υπήρχε κάπου λάθος; Σπεύδω να σας ευχαριστήσω: δεν υπάρχει σφάλμα εδώ και οι λογάριθμοι στις ρίζες των εκθετικών εξισώσεων είναι μια τυπική κατάσταση. Συνηθίστε το λοιπόν. :)

Τώρα λύνουμε αναλογικά τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Δεξί βέλος ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Δεξί βέλος x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Δεξί βέλος ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Δεξί βέλος 2x=( (\log )_(4))11\Δεξί βέλος x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Παρεμπιπτόντως, η τελευταία απάντηση μπορεί να γραφτεί διαφορετικά:

Εμείς εισαγάγαμε τον πολλαπλασιαστή στο όρισμα του λογαρίθμου. Αλλά κανείς δεν μας εμποδίζει να προσθέσουμε αυτόν τον παράγοντα στη βάση:

Σε αυτήν την περίπτωση, και οι τρεις επιλογές είναι σωστές - είναι απλά διαφορετικές μορφέςαρχεία του ίδιου αριθμού. Ποιο να επιλέξετε και να σημειώσετε σε αυτήν την απόφαση εξαρτάται από εσάς.

Έτσι, μάθαμε να λύνουμε τυχόν εκθετικές εξισώσεις της μορφής $((a)^(x))=b$, όπου οι αριθμοί $a$ και $b$ είναι αυστηρά θετικοί. Ωστόσο, η σκληρή πραγματικότητα του κόσμου μας είναι τέτοια απλές εργασίεςθα σε συναντήσω πολύ, πολύ σπάνια. Πιο συχνά θα συναντήσετε κάτι σαν αυτό:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, πώς αποφασίζεις; Μπορεί αυτό να λυθεί καθόλου; Και αν ναι, πώς;

Κανένας πανικός. Όλες αυτές οι εξισώσεις γρήγορα και εύκολα μειώνονται σε απλοί τύποιπου έχουμε ήδη εξετάσει. Απλά πρέπει να ξέρετε να θυμάστε μερικά κόλπα από το μάθημα της άλγεβρας. Και φυσικά, δεν υπάρχουν κανόνες για την εργασία με πτυχία εδώ. Θα μιλήσω για όλα αυτά τώρα. :)

Μετασχηματισμός εκθετικών εξισώσεων

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη μπορεί να είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο πρέπει να περιοριστεί στις απλούστερες εξισώσεις - σε αυτές που έχουμε ήδη εξετάσει και τις οποίες ξέρουμε πώς να λύσουμε. Με άλλα λόγια, το σχήμα για την επίλυση οποιασδήποτε εκθετικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

1. Καταγράψτε την αρχική εξίσωση. Για παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Κάνε μια βλακεία. Ή έστω κάποια χάλια που λέγεται "μετασχηματίστε την εξίσωση"?
3. Στην έξοδο, λάβετε τις απλούστερες εκφράσεις όπως $((4)^(x))=4$ ή κάτι άλλο παρόμοιο. Επιπλέον, μια αρχική εξίσωση μπορεί να δώσει πολλές τέτοιες εκφράσεις ταυτόχρονα.

Με το πρώτο σημείο, όλα είναι ξεκάθαρα - ακόμα και η γάτα μου μπορεί να γράψει την εξίσωση σε ένα φύλλο. Και με το τρίτο σημείο, όπως φαίνεται, είναι λίγο πολύ ξεκάθαρο - έχουμε ήδη λύσει μια ολόκληρη δέσμη τέτοιων εξισώσεων παραπάνω.

Τι γίνεται όμως με το δεύτερο σημείο; Ποιες είναι οι μεταμορφώσεις; Τι να μετατρέψω σε τι; Και πως?

Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. Καταρχήν θα ήθελα να επισημάνω το εξής. Όλες οι εκθετικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους:

1. Η εξίσωση αποτελείται από εκθετικές συναρτήσεις με την ίδια βάση. Παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Ο τύπος περιέχει εκθετικές συναρτήσεις με διαφορετικές βάσεις. Παραδείγματα: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ και $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις του πρώτου τύπου - είναι οι πιο εύκολο να λυθούν. Και στη λύση τους θα μας βοηθήσει μια τέτοια τεχνική όπως η επιλογή σταθερών εκφράσεων.

Επισήμανση μιας σταθερής έκφρασης

Ας δούμε ξανά αυτήν την εξίσωση:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Τι βλέπουμε; Τα τέσσερα ανυψώνονται σε διαφορετικούς βαθμούς. Αλλά όλες αυτές οι δυνάμεις είναι απλά αθροίσματα της μεταβλητής $x$ με άλλους αριθμούς. Επομένως, είναι απαραίτητο να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, η πρόσθεση εκθετών μπορεί να μετατραπεί σε γινόμενο δυνάμεων και η αφαίρεση μετατρέπεται εύκολα σε διαίρεση. Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους στις δυνάμεις από την εξίσωσή μας:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(στοίχιση)\]

Ξαναγράφουμε την αρχική εξίσωση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και, στη συνέχεια, συλλέγουμε όλους τους όρους στα αριστερά:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -έντεκα; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(στοίχιση)\]

Οι πρώτοι τέσσερις όροι περιέχουν το στοιχείο $((4)^(x))$ — ας το βγάλουμε από την αγκύλη:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(στοίχιση)\]

Απομένει να διαιρεθούν και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το κλάσμα $-\frac(11)(4)$, δηλ. ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε με το ανεστραμμένο κλάσμα - $-\frac(4)(11)$. Παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Μειώσαμε την αρχική εξίσωση στην απλούστερη και πήραμε την τελική απάντηση.

Ταυτόχρονα, στη διαδικασία επίλυσης, ανακαλύψαμε (και μάλιστα βγάλαμε από την αγκύλη) τον κοινό παράγοντα $((4)^(x))$ - αυτή είναι η σταθερή έκφραση. Μπορεί να οριστεί ως νέα μεταβλητή ή μπορείτε απλά να την εκφράσετε με ακρίβεια και να λάβετε μια απάντηση. Σε κάθε περίπτωση, η βασική αρχή της λύσης είναι η εξής:

Βρείτε στην αρχική εξίσωση μια σταθερή έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή που διακρίνεται εύκολα από όλες τις εκθετικές συναρτήσεις.

Τα καλά νέα είναι ότι σχεδόν κάθε εκθετική εξίσωση δέχεται μια τόσο σταθερή έκφραση.

Υπάρχουν όμως και άσχημα νέα: τέτοιες εκφράσεις μπορεί να είναι πολύ δύσκολες και μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να τις ξεχωρίσεις. Ας δούμε λοιπόν ένα άλλο πρόβλημα:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ίσως κάποιος θα έχει τώρα μια ερώτηση: «Πάσα, σε λιθοβολούν; Εδώ είναι διαφορετικές βάσεις - 5 και 0,2. Ας προσπαθήσουμε όμως να μετατρέψουμε μια ισχύ με βάση το 0,2. Για παράδειγμα, ας απαλλαγούμε από το δεκαδικό κλάσμα, φέρνοντάς το στο συνηθισμένο:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)) )\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 5 εξακολουθεί να εμφανίζεται, αν και στον παρονομαστή. Ταυτόχρονα, ο δείκτης ξαναγράφηκε ως αρνητικός. Και τώρα θυμόμαστε ένα από αυτά βασικούς κανόνεςεργασία με πτυχία:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Εδώ βέβαια απάτησα λίγο. Γιατί για να κατανοήσουμε πλήρως τη φόρμουλα για να απαλλαγούμε από αρνητικών δεικτώνέπρεπε να γραφτεί έτσι:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(5)(1) \ δεξιά))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Από την άλλη πλευρά, τίποτα δεν μας εμπόδισε να δουλέψουμε μόνο με ένα κλάσμα:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((5)^(\αριστερά(-1 \δεξιά)\cdot \αριστερά(-\αριστερά(x+1 \δεξιά) \δεξιά) ))=((5)^(x+1))\]

Αλλά σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να μπορείτε να ανεβάσετε έναν βαθμό σε άλλο βαθμό (σας υπενθυμίζω: σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες αθροίζονται). Αλλά δεν χρειάστηκε να "αναποδογυρίσω" τα κλάσματα - ίσως για κάποιον θα είναι πιο εύκολο. :)

Σε κάθε περίπτωση, η αρχική εκθετική εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι ακόμη πιο εύκολη στην επίλυση από την προηγουμένως θεωρημένη: εδώ δεν χρειάζεται καν να ξεχωρίσετε μια σταθερή έκφραση - όλα έχουν μειωθεί από μόνα τους. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι $1=((5)^(0))$, από όπου παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η όλη λύση! Πήραμε την τελική απάντηση: $x=-2$. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να σημειώσω ένα τέχνασμα που απλοποίησε σημαντικά όλους τους υπολογισμούς για εμάς:

Στις εκθετικές εξισώσεις, φροντίστε να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα, μεταφράστε τα σε συνηθισμένα. Αυτό θα σας επιτρέψει να δείτε τις ίδιες βάσεις των μοιρών και να απλοποιήσετε πολύ τη λύση.

Τώρα ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν διαφορετικές βάσεις, οι οποίες γενικά δεν είναι αναγώγιμες μεταξύ τους χρησιμοποιώντας δυνάμεις.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα εκθέτη

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε δύο πιο σκληρές εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(στοίχιση)\]

Η κύρια δυσκολία εδώ είναι ότι δεν είναι ξεκάθαρο σε τι και σε ποια βάση να οδηγήσει. Οπου σετ εκφράσεων? Πού είναι τα κοινά σημεία; Δεν υπάρχει τίποτα από αυτά.

Αλλά ας προσπαθήσουμε να πάμε από την άλλη. Εάν δεν υπάρχουν έτοιμες πανομοιότυπες βάσεις, μπορείτε να προσπαθήσετε να τις βρείτε συνυπολογίζοντας τις διαθέσιμες βάσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Δεξί βέλος ((21)^(3x))=((\αριστερά(7\cdot 3 \δεξιά))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(στοίχιση)\]

Αλλά τελικά, μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - σχηματίστε τον αριθμό 21 από τους αριθμούς 7 και 3. Είναι ιδιαίτερα εύκολο να το κάνετε αυτό στα αριστερά, καθώς οι δείκτες και των δύο βαθμών είναι οι ίδιοι:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Βγάλατε τον εκθέτη από το γινόμενο και πήρατε αμέσως μια όμορφη εξίσωση που μπορεί να λυθεί σε μερικές γραμμές.

Τώρα ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση. Εδώ όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Σε αυτή την περίπτωση, τα κλάσματα αποδείχθηκαν μη αναγώγιμα, αλλά αν κάτι μπορούσε να μειωθεί, φροντίστε να το μειώσετε. Αυτό συχνά οδηγεί σε ενδιαφέροντες λόγους με τους οποίους μπορείτε ήδη να εργαστείτε.

Δυστυχώς, δεν έχουμε καταλήξει σε τίποτα. Αλλά βλέπουμε ότι οι εκθέτες στα αριστερά στο γινόμενο είναι αντίθετοι:

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: για να απαλλαγείτε από το σύμβολο μείον στον εκθέτη, πρέπει απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα. Ας ξαναγράψουμε λοιπόν την αρχική εξίσωση:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(στοίχιση)\]

Στη δεύτερη γραμμή, απλώς τοποθετήσαμε το σύνολο από το προϊόν σύμφωνα με τον κανόνα $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, και στο τελευταίο απλώς πολλαπλασίασαν τον αριθμό 100 με ένα κλάσμα.

Τώρα σημειώστε ότι οι αριθμοί στα αριστερά (στη βάση) και στα δεξιά είναι κάπως παρόμοιοι. Πως? Ναι, προφανώς: είναι ισάριθμες δυνάμεις! Εχουμε:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \δεξιά))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\αριστερά(\frac(3)(10) \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \δεξιά))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \δεξιά))^(3\αριστερά(x-1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(10)(3) \δεξιά))^(3x-3))\]

Ταυτόχρονα, στα δεξιά, μπορείτε επίσης να πάρετε έναν βαθμό με την ίδια βάση, για τον οποίο αρκεί απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Τέλος, η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η όλη λύση. Η βασική του ιδέα συνοψίζεται στο γεγονός ότι ακόμη και με διαφορετικά εδάφη, προσπαθούμε με γάντζο ή με στραβό να μειώσουμε αυτά τα εδάφη στο ίδιο. Σε αυτό μας βοηθούν οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί των εξισώσεων και οι κανόνες εργασίας με δυνάμεις.

Αλλά ποιους κανόνες και πότε να χρησιμοποιήσετε; Πώς να καταλάβετε ότι σε μια εξίσωση πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με κάτι και σε μια άλλη - να παραγοντοποιήσετε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα έρθει με την εμπειρία. Δοκιμάστε τις δυνάμεις σας στην αρχή σε απλές εξισώσεις και στη συνέχεια περιπλέκετε σταδιακά τις εργασίες - και πολύ σύντομα οι δεξιότητές σας θα είναι αρκετές για να λύσετε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση από την ίδια ΧΡΗΣΗ ή οποιαδήποτε ανεξάρτητη / δοκιμαστική εργασία.

Και για να σας βοηθήσω σε αυτό το δύσκολο έργο, προτείνω να κατεβάσετε ένα σύνολο εξισώσεων στον ιστότοπό μου για μια ανεξάρτητη λύση. Όλες οι εξισώσεις έχουν απαντήσεις, ώστε να μπορείτε πάντα να ελέγχετε τον εαυτό σας.

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι εκθετική εξίσωση? Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις μαζί τους δείκτεςκάποιους βαθμούς. Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Εδώ είσαι παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:

3 x 2 x = 8 x + 3

Σημείωση! Στις βάσεις των μοιρών (κάτω) - μόνο αριθμοί. ΣΤΟ δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με x. Εάν, ξαφνικά, εμφανιστεί ένα x στην εξίσωση κάπου διαφορετικό από τον δείκτη, για παράδειγμα:

αυτή θα είναι μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες επίλυσης. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Εδώ θα ασχοληθούμε επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστην πιο αγνή του μορφή.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα καθαρά. Υπάρχουν όμως ορισμένοι τύποι εκθετικών εξισώσεων που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Αυτοί είναι οι τύποι που θα εξετάσουμε.

Λύση των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων.

Ας ξεκινήσουμε με κάτι πολύ βασικό. Για παράδειγμα:

Ακόμη και χωρίς καμία θεωρία, με απλή επιλογή είναι σαφές ότι x = 2. Τίποτα περισσότερο, σωστά! Δεν υπάρχουν άλλα ρολά αξίας x. Και τώρα ας δούμε τη λύση αυτής της δύσκολης εκθετικής εξίσωσης:

Τι καναμε? Στην πραγματικότητα, απλώς πετάξαμε τους ίδιους πάτους (τριπλούς). Εντελώς πεταμένο. Και, ό,τι ευχαριστεί, χτυπήστε το σημάδι!

Πράγματι, αν στην εκθετική εξίσωση στα αριστερά και στα δεξιά είναι το ίδιοαριθμοί σε οποιοδήποτε βαθμό, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν και να ισοδυναμούν με εκθέτες. Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Μένει να λύσουμε μια πολύ απλούστερη εξίσωση. Είναι καλό, σωστά;)

Ωστόσο, ας θυμηθούμε ειρωνικά: Μπορείτε να αφαιρέσετε τις βάσεις μόνο όταν οι αριθμοί βάσης στα αριστερά και στα δεξιά βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση!Χωρίς γείτονες και συντελεστές. Ας πούμε στις εξισώσεις:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ή

Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε τα διπλά!

Λοιπόν, έχουμε κατακτήσει το πιο σημαντικό πράγμα. Πώς να απομακρυνθείτε από το κακό εκθετικές εκφράσειςσε απλούστερες εξισώσεις.

«Εδώ είναι εκείνες οι στιγμές!» - λες. «Ποιος θα δώσει τέτοιο πρωτόγονο στον έλεγχο και τις εξετάσεις!;»

Αναγκάστηκε να συμφωνήσει. Κανείς δεν θα το κάνει. Αλλά τώρα ξέρετε πού να πάτε όταν λύνετε μπερδεμένα παραδείγματα. Είναι απαραίτητο να το θυμάστε, όταν ο ίδιος αριθμός βάσης βρίσκεται στα αριστερά - στα δεξιά. Τότε όλα θα είναι πιο εύκολα. Στην πραγματικότητα, αυτά είναι τα κλασικά των μαθηματικών. Παίρνουμε το αρχικό παράδειγμα και το μετατρέπουμε στο επιθυμητό μαςμυαλό. Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, φυσικά.

Εξετάστε παραδείγματα που απαιτούν πρόσθετη προσπάθεια για να τα φέρετε στο απλούστερο. Ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, οι κύριοι κανόνες είναι δράσεις με εξουσίες.Χωρίς γνώση αυτών των ενεργειών, τίποτα δεν θα λειτουργήσει.

Στις ενέργειες με βαθμούς, πρέπει κανείς να προσθέσει προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Χρειαζόμαστε τους ίδιους αριθμούς βάσης; Τα αναζητούμε λοιπόν στο παράδειγμα σε ρητή ή κρυπτογραφημένη μορφή.

Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη;

Ας μας δώσουμε ένα παράδειγμα:

2 2x - 8 x+1 = 0

Πρώτη ματιά στο λόγους.Αυτοί... Είναι διαφορετικοί! Δύο και οκτώ. Αλλά είναι πολύ νωρίς για να αποθαρρυνόμαστε. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

Δύο και οκτώ είναι συγγενείς στο βαθμό.) Είναι πολύ πιθανό να γράψουμε:

8 x+1 = (2 3) x+1

Αν θυμηθούμε τον τύπο από ενέργειες με δυνάμεις:

(a n) m = a nm,

γενικά λειτουργεί τέλεια:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Το αρχικό παράδειγμα μοιάζει με αυτό:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Μεταφέρουμε 2 3 (x+1)προς τα δεξιά (κανείς δεν ακύρωσε τις στοιχειώδεις ενέργειες των μαθηματικών!), έχουμε:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Αυτό είναι πρακτικά όλο. Αφαίρεση βάσεων:

Λύνουμε αυτό το τέρας και παίρνουμε

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Σε αυτό το παράδειγμα, η γνώση των δυνάμεων των δύο μας βοήθησε. Εμείς αναγνωρισθείςστα οκτώ, το κρυπτογραφημένο δυάρι. Αυτή η τεχνική (κωδικοποίηση κοινών βάσεων κάτω από διαφορετικούς αριθμούς) είναι ένα πολύ δημοφιλές κόλπο στις εκθετικές εξισώσεις! Ναι, ακόμα και σε λογάριθμους. Κάποιος πρέπει να μπορεί να αναγνωρίσει τις δυνάμεις άλλων αριθμών σε αριθμούς. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Το γεγονός είναι ότι η αύξηση οποιουδήποτε αριθμού σε οποιαδήποτε δύναμη δεν είναι πρόβλημα. Πολλαπλασιάστε, έστω και σε ένα κομμάτι χαρτί, και αυτό είναι όλο. Για παράδειγμα, ο καθένας μπορεί να ανεβάσει 3 στην πέμπτη δύναμη. Το 243 θα προκύψει αν γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού.) Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, είναι πολύ πιο συχνά απαραίτητο να μην αυξάνεται σε μια ισχύ, αλλά αντίστροφα ... ποιος αριθμός σε ποιο βαθμόκρύβεται πίσω από τον αριθμό 243, ή, ας πούμε, 343... Δεν θα σας βοηθήσει κανένας υπολογιστής εδώ.

Πρέπει να ξέρετε τις δυνάμεις ορισμένων αριθμών με την όραση, ναι... Να εξασκηθούμε;

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και ποιοι αριθμοί είναι οι αριθμοί:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Απαντήσεις (σε χάος, φυσικά!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ένα περίεργο γεγονός. Υπάρχουν περισσότερες απαντήσεις παρά ερωτήσεις! Λοιπόν, συμβαίνει... Για παράδειγμα, το 2 6 , 4 3 , 8 2 είναι όλα 64.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε σημειώσει τις πληροφορίες σχετικά με τη γνωριμία με τους αριθμούς.) Να σας υπενθυμίσω επίσης ότι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων εφαρμόζουμε ΟΛΟΚΛΗΡΟαπόθεμα μαθηματικών γνώσεων. Συμπεριλαμβανομένων των κατώτερων-μεσαίων τάξεων. Δεν πήγες κατευθείαν στο λύκειο, σωστά;

Για παράδειγμα, κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, η τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων βοηθά πολύ συχνά (γεια σας στον βαθμό 7!). Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Και πάλι, η πρώτη ματιά - στο έδαφος! Οι βάσεις των μοιρών είναι διαφορετικές ... Τρεις και εννιά. Και θέλουμε να είναι το ίδιο. Λοιπόν, σε αυτήν την περίπτωση, η επιθυμία είναι αρκετά εφικτή!) Επειδή:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες για ενέργειες με πτυχία:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Είναι υπέροχο, μπορείτε να γράψετε:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Λοιπόν, τι ακολουθεί! Τρεις δεν μπορούν να πεταχτούν έξω ... Αδιέξοδο;

Καθόλου. Θυμόμαστε τον πιο καθολικό και ισχυρό κανόνα απόφασης όλαμαθηματικές εργασίες:

Αν δεν ξέρεις τι να κάνεις, κάνε ό,τι μπορείς!

Κοιτάς, όλα σχηματίζονται).

Τι υπάρχει σε αυτή την εκθετική εξίσωση μπορώκάνω? Ναι, η αριστερή πλευρά ζητά απευθείας παρενθέσεις! Ο κοινός συντελεστής 3 2x υποδηλώνει ξεκάθαρα αυτό. Ας προσπαθήσουμε και μετά θα δούμε:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Το παράδειγμα γίνεται όλο και καλύτερο!

Υπενθυμίζουμε ότι για να εξαλειφθούν οι βάσεις χρειαζόμαστε καθαρό πτυχίο, χωρίς συντελεστές. Ο αριθμός 70 μας ενοχλεί. Άρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 70, παίρνουμε:

Οπ-πα! Όλα πήγαν καλά!

Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Συμβαίνει, ωστόσο, να επιτυγχάνεται τροχοδρόμηση για τους ίδιους λόγους, αλλά όχι η εκκαθάρισή τους. Αυτό συμβαίνει σε εκθετικές εξισώσεις άλλου τύπου. Ας πάρουμε αυτό το είδος.

Αλλαγή μεταβλητής στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Πρώτα - ως συνήθως. Ας προχωρήσουμε στη βάση. Στο δίδυμο.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Και εδώ θα κολλήσουμε. Τα προηγούμενα κόλπα δεν θα λειτουργήσουν, όπως και να το γυρίσετε. Θα πρέπει να βγούμε από το οπλοστάσιο ενός άλλου ισχυρού και ευέλικτου τρόπου. Λέγεται μεταβλητή αντικατάσταση.

Η ουσία της μεθόδου είναι εκπληκτικά απλή. Αντί για ένα σύνθετο εικονίδιο (στην περίπτωσή μας, 2 x), γράφουμε ένα άλλο, πιο απλό (για παράδειγμα, t). Μια τέτοια φαινομενικά ανούσια αντικατάσταση οδηγεί σε εκπληκτικά αποτελέσματα!) Όλα γίνονται ξεκάθαρα και κατανοητά!

Ας λοιπόν

Στη συνέχεια 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Αντικαθιστούμε στην εξίσωσή μας όλες τις δυνάμεις με x με t:

Λοιπόν, ξημερώνει;) Τετραγωνικές εξισώσειςδεν το ξέχασες ακόμα; Επιλύουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:

Εδώ, το κύριο πράγμα είναι να μην σταματήσουμε, όπως συμβαίνει ... Αυτή δεν είναι η απάντηση ακόμα, χρειαζόμαστε x, όχι t. Επιστρέφουμε στα Xs, δηλ. κάνοντας αντικατάσταση. Πρώτα για το t 1:

Αυτό είναι,

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο, από το t 2:

Χμ... Αριστερά 2 x, Δεξιά 1... Ένα πρόβλημα; Ναι, καθόλου! Αρκεί να θυμόμαστε (από πράξεις με βαθμούς, ναι...) ότι μια ενότητα είναι όποιοςαριθμός στο μηδέν. Οποιος. Ό,τι χρειαστείτε, θα το βάλουμε. Χρειαζόμαστε δύο. Που σημαίνει:

Τώρα αυτό είναι όλο. Έχει 2 ρίζες:

Αυτή είναι η απάντηση.

Στο επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστο τέλος, μερικές φορές επιτυγχάνεται κάποια άβολη έκφραση. Τύπος:

Από τα επτά, ένα δίπλωμα μέσω ενός απλού πτυχίου δεν λειτουργεί. Δεν είναι συγγενείς... Πώς μπορώ να είμαι εδώ; Κάποιος μπορεί να μπερδευτεί ... Αλλά το άτομο που διάβασε σε αυτόν τον ιστότοπο το θέμα "Τι είναι ο λογάριθμος;" , χαμογελάστε μόνο με φειδώ και γράψτε με σταθερό χέρι την απολύτως σωστή απάντηση:

Δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια απάντηση στις εργασίες "Β" στην εξέταση. Εκεί συγκεκριμένο αριθμόαπαιτείται. Αλλά στις εργασίες "C" - εύκολα.

Αυτό το μάθημα παρέχει παραδείγματα επίλυσης των πιο κοινών εκθετικών εξισώσεων. Ας επισημάνουμε το κύριο.

Πρακτικές Συμβουλές:

1. Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε λόγουςβαθμούς. Ας δούμε αν δεν μπορούν να γίνουν το ίδιο.Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας ενεργά δράσεις με εξουσίες.Μην ξεχνάτε ότι οι αριθμοί χωρίς x μπορούν επίσης να μετατραπούν σε μοίρες!

2. Προσπαθούμε να φέρουμε την εκθετική εξίσωση στη μορφή όταν το αριστερό και το δεξί είναι το ίδιοαριθμούς σε οποιοδήποτε βαθμό. Χρησιμοποιούμε δράσεις με εξουσίεςκαι παραγοντοποίηση.Τι μπορεί να μετρηθεί σε αριθμούς - μετράμε.

3. Εάν η δεύτερη συμβουλή δεν λειτούργησε, προσπαθούμε να εφαρμόσουμε την αντικατάσταση της μεταβλητής. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια εξίσωση που λύνεται εύκολα. Τις περισσότερες φορές - τετράγωνο. Ή κλασματική, η οποία επίσης μειώνεται σε τετράγωνο.

4. Για να λύσετε επιτυχώς εκθετικές εξισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε τις μοίρες ορισμένων αριθμών "από όψη".

Ως συνήθως, στο τέλος του μαθήματος καλείστε να λύσετε λίγο.) Μόνοι σας. Από απλό σε σύνθετο.

Λύστε εκθετικές εξισώσεις:

Πιο δύσκολο:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Βρείτε το προϊόν των ριζών:

2 3-x + 2 x = 9

Συνέβη;

Λοιπόν, τότε το πιο περίπλοκο παράδειγμα (λύνεται, ωστόσο, στο μυαλό ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Τι είναι πιο ενδιαφέρον; Τότε είναι ένα κακό παράδειγμα για εσάς. Αρκετά τράβηγμα σε αυξημένη δυσκολία. Θα υπενθυμίσω ότι σε αυτό το παράδειγμα, η εφευρετικότητα και ο πιο καθολικός κανόνας για την επίλυση όλων των μαθηματικών εργασιών εξοικονομεί.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ένα παράδειγμα είναι πιο απλό, για χαλάρωση):

9 2 x - 4 3 x = 0

Και για επιδόρπιο. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ναι ναι! Αυτή είναι μια εξίσωση μικτού τύπου! Το οποίο δεν λάβαμε υπόψη σε αυτό το μάθημα. Και τι να τα εξετάσουμε, πρέπει να λυθούν!) Αυτό το μάθημα είναι αρκετό για να λύσει την εξίσωση. Λοιπόν, χρειάζεται ευρηματικότητα ... Και ναι, η έβδομη τάξη θα σας βοηθήσει (αυτό είναι μια υπόδειξη!).

Απαντήσεις (σε αταξία, διαχωρισμένες με ερωτηματικά):

ένας; 2; 3; τέσσερα? δεν υπαρχουν λυσεις? 2; -2; -5; τέσσερα? 0.

Είναι όλα επιτυχημένα; Εξοχος.

Υπάρχει ένα πρόβλημα? Κανένα πρόβλημα! Στην Ειδική Ενότητα 555, όλες αυτές οι εκθετικές εξισώσεις επιλύονται με λεπτομερείς εξηγήσεις. Τι, γιατί και γιατί. Και, φυσικά, υπάρχουν πρόσθετες πολύτιμες πληροφορίες σχετικά με την εργασία με κάθε είδους εκθετικές εξισώσεις. Όχι μόνο με αυτά.)

Μια τελευταία διασκεδαστική ερώτηση που πρέπει να εξετάσετε. Σε αυτό το μάθημα, δουλέψαμε με εκθετικές εξισώσεις. Γιατί δεν είπα λέξη για την ODZ εδώ;Στις εξισώσεις, αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό πράγμα, παρεμπιπτόντως ...

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.