Πώς να λύσετε Παραδείγματα λύσεων λογαρίθμων. Πρόβλημα Β7 - Μετατροπή λογαριθμικών και εκθετικών παραστάσεων

βασικές ιδιότητες.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ίδιους λόγους

log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

4. Οπου .

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά αφού οι λογάριθμοι δεν είναι πραγματικά συνηθισμένους αριθμούς, υπάρχουν κανόνες εδώ, που λέγονται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - χωρίς αυτούς, ούτε ένας σοβαρός λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε λογαριθμική έκφρασηακόμη και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη του (δείτε το μάθημα «Τι είναι λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Με βάση αυτό το γεγονός πολλοί χαρτιά δοκιμής. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι είναι παραδείγματα λύσεων.

Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτές οι φόρμουλες σπάνια βρίσκονται σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η κύρια λογαριθμική ταυτότηταμερικές φορές είναι η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση α δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια τέτοια ισχύ x () στην οποία η ισότητα είναι αληθής

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Οι παραπάνω ιδιότητες πρέπει να είναι γνωστές, αφού, στη βάση τους, σχεδόν όλα τα προβλήματα και τα παραδείγματα επιλύονται βάσει λογαρίθμων. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν με μαθηματικούς χειρισμούς με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντώνται αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι έστω και δέκα, εκθετική ή δευτερεύουσα.
Ο λογάριθμος της βάσης δέκα ονομάζεται συνήθως λογάριθμος βάσης δέκα και συμβολίζεται απλώς lg(x).

Από την καταγραφή φαίνεται ότι τα βασικά δεν γράφονται στο αρχείο. Για παράδειγμα

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο εκθέτης (συμβολίζεται ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος βάσης δύο είναι

Η παράγωγος του λογάριθμου της συνάρτησης ισούται με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από την εξάρτηση

Το παραπάνω υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για λόγους κατανόησης του υλικού, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς των λογαρίθμων, έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση που χρησιμοποιεί μια σειρά κανόνων απλοποιείται στη φόρμα

Εύρεση τιμών λογαρίθμου

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό εφαρμόζουμε τις ιδιότητες 5 και 13 μέχρι τον τελευταίο όρο

Αντικαταστήστε στο δίσκο και θρηνήστε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Πάρτε τον λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψετε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτήσατε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας για ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες ...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Μετάβαση σε νέα βάση

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Τι είναι ο λογάριθμος;

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι είναι ο λογάριθμος; Πώς να λύσετε λογάριθμους; Αυτά τα ερωτήματα μπερδεύουν πολλούς απόφοιτους. Παραδοσιακά, το θέμα των λογαρίθμων θεωρείται περίπλοκο, ακατανόητο και τρομακτικό. Ειδικά - εξισώσεις με λογάριθμους.

Αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Απολύτως! Δεν πιστεύεις; Πρόστιμο. Τώρα, για περίπου 10 - 20 λεπτά:

1. Κατανοήστε τι είναι λογάριθμος.

2. Μάθετε να λύνετε μια ολόκληρη τάξη εκθετικές εξισώσεις. Ακόμα κι αν δεν τα έχετε ακούσει.

3. Μάθετε να υπολογίζετε απλούς λογάριθμους.

Επιπλέον, για αυτό θα χρειαστεί να γνωρίζετε μόνο τον πίνακα πολλαπλασιασμού και πώς ένας αριθμός αυξάνεται σε δύναμη ...

Αισθάνομαι ότι αμφιβάλλετε ... Λοιπόν, κρατήστε χρόνο! Πηγαίνω!

Πρώτα, λύστε την ακόλουθη εξίσωση στο μυαλό σας:

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Με αυτό το βίντεο, ξεκινάω μια μεγάλη σειρά μαθημάτων σχετικά με τις λογαριθμικές εξισώσεις. Τώρα έχετε τρία παραδείγματα ταυτόχρονα, με βάση τα οποία θα μάθουμε να λύνουμε τα περισσότερα απλές εργασίες, που ονομάζονται πρωτόζωα.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Να σας υπενθυμίσω ότι η απλούστερη λογαριθμική εξίσωση είναι η εξής:

log a f(x) = b

Είναι σημαντικό η μεταβλητή x να υπάρχει μόνο μέσα στο όρισμα, δηλαδή μόνο στη συνάρτηση f(x). Και οι αριθμοί a και b είναι απλώς αριθμοί, και σε καμία περίπτωση δεν είναι συναρτήσεις που περιέχουν τη μεταβλητή x.

Βασικές μέθοδοι λύσης

Υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης τέτοιων δομών. Για παράδειγμα, οι περισσότεροι δάσκαλοι στο σχολείο προτείνουν τον εξής τρόπο: Εκφράστε αμέσως τη συνάρτηση f ( x ) χρησιμοποιώντας τον τύπο φά( x) = α β . Δηλαδή, όταν συναντήσετε την πιο απλή κατασκευή, μπορείτε να προχωρήσετε αμέσως στη λύση χωρίς πρόσθετες ενέργειες και κατασκευές.

Ναι, φυσικά, η απόφαση θα αποδειχθεί σωστή. Ωστόσο, το πρόβλημα με αυτόν τον τύπο είναι ότι οι περισσότεροι μαθητές δεν καταλαβαίνω, από πού προέρχεται και γιατί ακριβώς ανεβάζουμε το γράμμα α στο γράμμα β.

Ως αποτέλεσμα, παρατηρώ συχνά πολύ προσβλητικά λάθη, όταν, για παράδειγμα, αυτά τα γράμματα ανταλλάσσονται. Αυτή η φόρμουλα πρέπει είτε να γίνει κατανοητή είτε να απομνημονευτεί, και η δεύτερη μέθοδος οδηγεί σε σφάλματα στις πιο ακατάλληλες και πιο κρίσιμες στιγμές: σε εξετάσεις, τεστ κ.λπ.

Γι' αυτό προτείνω σε όλους τους μαθητές μου να εγκαταλείψουν τον τυπικό σχολικό τύπο και να χρησιμοποιήσουν τη δεύτερη προσέγγιση για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, η οποία, όπως πιθανότατα μαντέψατε από το όνομα, ονομάζεται κανονική μορφή.

Η ιδέα της κανονικής μορφής είναι απλή. Ας δούμε ξανά την εργασία μας: στα αριστερά έχουμε το log a , ενώ το γράμμα a σημαίνει ακριβώς τον αριθμό και σε καμία περίπτωση τη συνάρτηση που περιέχει τη μεταβλητή x. Επομένως, αυτό το γράμμα υπόκειται σε όλους τους περιορισμούς που επιβάλλονται στη βάση του λογαρίθμου. και συγκεκριμένα:

1 ≠ a > 0

Από την άλλη πλευρά, από την ίδια εξίσωση, βλέπουμε ότι ο λογάριθμος πρέπει να είναι ισούται με τον αριθμόβ , και δεν επιβάλλονται περιορισμοί σε αυτό το γράμμα, επειδή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε αξία - θετική και αρνητική. Όλα εξαρτώνται από τις τιμές που παίρνει η συνάρτηση f(x).

Και εδώ θυμόμαστε τον υπέροχο κανόνα μας ότι οποιοσδήποτε αριθμός b μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος στη βάση a από το a στη δύναμη του b:

b = log a a b

Πώς να θυμάστε αυτόν τον τύπο; Ναι, πολύ απλό. Ας γράψουμε την παρακάτω κατασκευή:

b = b 1 = b log a a

Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση προκύπτουν όλοι οι περιορισμοί που καταγράψαμε στην αρχή. Και τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα του λογάριθμου, και ας εισάγουμε τον παράγοντα b ως δύναμη του a. Παίρνουμε:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ως αποτέλεσμα, η αρχική εξίσωση θα ξαναγραφεί με την ακόλουθη μορφή:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Αυτό είναι όλο. Η νέα συνάρτηση δεν περιέχει πλέον λογάριθμο και λύνεται με τυπικές αλγεβρικές τεχνικές.

Φυσικά, κάποιος θα αντιταχθεί τώρα: γιατί ήταν απαραίτητο να καταλήξουμε σε κάποιο είδος κανονικής φόρμουλας, γιατί να εκτελέσουμε δύο επιπλέον περιττά βήματα, εάν ήταν δυνατό να μεταβούμε αμέσως από την αρχική κατασκευή στον τελικό τύπο; Ναι, έστω και μόνο επειδή οι περισσότεροι μαθητές δεν καταλαβαίνουν από πού προέρχεται αυτός ο τύπος και, ως αποτέλεσμα, κάνουν τακτικά λάθη κατά την εφαρμογή του.

Αλλά μια τέτοια ακολουθία ενεργειών, που αποτελείται από τρία βήματα, σας επιτρέπει να λύσετε την αρχική λογαριθμική εξίσωση, ακόμα κι αν δεν καταλαβαίνετε από πού προέρχεται αυτός ο τελικός τύπος. Παρεμπιπτόντως, αυτή η καταχώρηση ονομάζεται κανονικός τύπος:

log a f(x) = log a a β

Η ευκολία της κανονικής μορφής έγκειται επίσης στο γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μιας πολύ ευρείας κατηγορίας λογαριθμικών εξισώσεων, και όχι μόνο των απλούστερων που εξετάζουμε σήμερα.

Παραδείγματα λύσεων

Τώρα ας δούμε πραγματικά παραδείγματα. Ας αποφασίσουμε λοιπόν:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Ας το ξαναγράψουμε ως εξής:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Πολλοί μαθητές βιάζονται και προσπαθούν να ανεβάσουν αμέσως τον αριθμό 0,5 στην ισχύ που μας ήρθε από το αρχικό πρόβλημα. Και πράγματι, όταν είστε ήδη καλά εκπαιδευμένοι στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων, μπορείτε να εκτελέσετε αμέσως αυτό το βήμα.

Ωστόσο, εάν τώρα μόλις αρχίζετε να μελετάτε αυτό το θέμα, είναι καλύτερα να μην βιαστείτε πουθενά για να μην κάνετε προσβλητικά λάθη. Έχουμε λοιπόν την κανονική μορφή. Εχουμε:

3x - 1 = 0,5 -3

Αυτή δεν είναι πλέον μια λογαριθμική εξίσωση, αλλά μια γραμμική σε σχέση με τη μεταβλητή x. Για να το λύσουμε, ας ασχοληθούμε πρώτα με τον αριθμό 0,5 στη δύναμη του −3. Σημειώστε ότι το 0,5 είναι 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Ολα δεκαδικάμετατρέψτε σε κανονική όταν λύνετε μια λογαριθμική εξίσωση.

Ξαναγράφουμε και παίρνουμε:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Το μόνο που πήραμε την απάντηση. Η πρώτη εργασία λύθηκε.

Δεύτερη εργασία

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη εργασία:

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτή η εξίσωση δεν είναι πλέον η απλούστερη. Μόνο και μόνο επειδή η διαφορά είναι στα αριστερά, και όχι ένας λογάριθμος σε μία βάση.

Επομένως, πρέπει με κάποιο τρόπο να απαλλαγείτε από αυτή τη διαφορά. Σε αυτή την περίπτωση, όλα είναι πολύ απλά. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στις βάσεις: στα αριστερά είναι ο αριθμός κάτω από τη ρίζα:

Γενική σύσταση: σε όλες τις λογαριθμικές εξισώσεις, προσπαθήστε να απαλλαγείτε από ρίζες, δηλ. καταχωρήσεις με ρίζες και προχωρήστε στο λειτουργίες ισχύος, απλώς και μόνο επειδή οι εκθέτες αυτών των δυνάμεων αφαιρούνται εύκολα από το πρόσημο του λογαρίθμου και στο τέλος, μια τέτοια σημείωση απλοποιεί και επιταχύνει πολύ τους υπολογισμούς. Ας το γράψουμε ως εξής:

Τώρα υπενθυμίζουμε την αξιοσημείωτη ιδιότητα του λογάριθμου: από το όρισμα, καθώς και από τη βάση, μπορείτε να βγάλετε μοίρες. Στην περίπτωση των βάσεων συμβαίνουν τα εξής:

log a k b = 1/k λογα β

Με άλλα λόγια, ο αριθμός που στάθηκε στη μοίρα της βάσης φέρεται μπροστά και ταυτόχρονα αναποδογυρίζεται, γίνεται δηλαδή το αντίστροφο του αριθμού. Στην περίπτωσή μας, υπήρχε ένας βαθμός βάσης με δείκτη 1/2. Επομένως, μπορούμε να το βγάλουμε ως 2/1. Παίρνουμε:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Παρακαλώ σημειώστε: σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να απαλλαγείτε από τους λογάριθμους σε αυτό το βήμα. Σκεφτείτε ξανά την τάξη 4-5 των μαθηματικών και τη σειρά των πράξεων: πρώτα εκτελείται ο πολλαπλασιασμός και μόνο μετά γίνεται η πρόσθεση και η αφαίρεση. Σε αυτήν την περίπτωση, αφαιρούμε ένα από τα ίδια στοιχεία από 10 στοιχεία:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Τώρα η εξίσωσή μας μοιάζει όπως θα έπρεπε. Αυτή είναι η απλούστερη κατασκευή και την λύνουμε χρησιμοποιώντας την κανονική μορφή:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Αυτό είναι όλο. Το δεύτερο πρόβλημα λύνεται.

Τρίτο παράδειγμα

Ας προχωρήσουμε στην τρίτη εργασία:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Θυμηθείτε τον ακόλουθο τύπο:

log b = log 10 b

Εάν για κάποιο λόγο μπερδεύεστε γράφοντας lg b , τότε όταν κάνετε όλους τους υπολογισμούς, μπορείτε απλά να γράψετε το log 10 b . Μπορείτε να εργαστείτε με δεκαδικούς λογάριθμους με τον ίδιο τρόπο όπως και με άλλους: αφαιρέστε δυνάμεις, προσθέστε και αντιπροσωπεύστε οποιονδήποτε αριθμό ως lg 10.

Αυτές ακριβώς οι ιδιότητες θα χρησιμοποιήσουμε τώρα για να λύσουμε το πρόβλημα, αφού δεν είναι η απλούστερη που σημειώσαμε στην αρχή του μαθήματός μας.

Αρχικά, σημειώστε ότι ο συντελεστής 2 πριν από το lg 5 μπορεί να εισαχθεί και γίνεται δύναμη της βάσης 5. Επιπλέον, ο ελεύθερος όρος 3 μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος - αυτό είναι πολύ εύκολο να το παρατηρήσουμε από τη σημειογραφία μας.

Κρίνετε μόνοι σας: οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως αρχείο καταγραφής στη βάση 10:

3 = ημερολόγιο 10 10 3 = ημερολόγιο 10 3

Ας ξαναγράψουμε το αρχικό πρόβλημα λαμβάνοντας υπόψη τις ληφθείσες αλλαγές:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Μπροστά μας είναι πάλι η κανονική μορφή, και την αποκτήσαμε παρακάμπτοντας το στάδιο των μετασχηματισμών, δηλαδή, η απλούστερη λογαριθμική εξίσωση δεν εμφανίστηκε πουθενά μαζί μας.

Αυτό έλεγα στην αρχή του μαθήματος. Η κανονική μορφή επιτρέπει την επίλυση μιας ευρύτερης κατηγορίας προβλημάτων από την τυπική σχολική φόρμουλα, η οποία δίνεται από τους περισσότερους δασκάλους.

Αυτό είναι όλο, απαλλαγούμε από το πρόσημο του δεκαδικού λογάριθμου και παίρνουμε μια απλή γραμμική κατασκευή:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Ολα! Το πρόβλημα λύθηκε.

Μια σημείωση για το πεδίο εφαρμογής

Εδώ θα ήθελα να κάνω μια σημαντική παρατήρηση σχετικά με τον τομέα του ορισμού. Σίγουρα τώρα υπάρχουν μαθητές και δάσκαλοι που θα πουν: «Όταν λύνουμε εκφράσεις με λογάριθμους, είναι επιτακτική ανάγκη να θυμόμαστε ότι το όρισμα f (x) πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν!» Από αυτή την άποψη, τίθεται ένα λογικό ερώτημα: γιατί σε κανένα από τα εξεταζόμενα προβλήματα δεν απαιτήσαμε να ικανοποιηθεί αυτή η ανισότητα;

Μην ανησυχείς. Δεν θα εμφανιστούν επιπλέον ρίζες σε αυτές τις περιπτώσεις. Και αυτό είναι ένα άλλο υπέροχο κόλπο που σας επιτρέπει να επιταχύνετε τη λύση. Απλώς ξέρετε ότι εάν στο πρόβλημα η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο σε ένα μέρος (ακριβέστερα στο ένα και μοναδικό όρισμα του ενός και μοναδικού λογαρίθμου), και πουθενά αλλού στην περίπτωσή μας δεν εμφανίζεται η μεταβλητή x, τότε γράψτε τον τομέα δεν χρειάζεταιγιατί θα τρέξει αυτόματα.

Κρίνετε μόνοι σας: στην πρώτη εξίσωση, πήραμε ότι το 3x - 1, δηλαδή το όρισμα πρέπει να είναι ίσο με 8. Αυτό σημαίνει αυτόματα ότι το 3x - 1 θα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Με την ίδια επιτυχία, μπορούμε να γράψουμε ότι στη δεύτερη περίπτωση, το x πρέπει να είναι ίσο με 5 2, δηλαδή είναι σίγουρα μεγαλύτερο από το μηδέν. Και στην τρίτη περίπτωση, όπου x + 3 = 25.000, δηλ. πάλι, προφανώς μεγαλύτερο από το μηδέν. Με άλλα λόγια, το εύρος είναι αυτόματο, αλλά μόνο εάν το x εμφανίζεται μόνο στο όρισμα ενός μόνο λογάριθμου.

Αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε για να λύσετε απλά προβλήματα. Αυτός ο κανόνας από μόνος του, μαζί με τους κανόνες μετασχηματισμού, θα σας επιτρέψει να λύσετε μια πολύ ευρεία κατηγορία προβλημάτων.

Αλλά ας είμαστε ειλικρινείς: για να κατανοήσουμε τελικά αυτήν την τεχνική, για να μάθουμε πώς να εφαρμόζουμε την κανονική μορφή της λογαριθμικής εξίσωσης, δεν αρκεί να παρακολουθήσουμε μόνο ένα μάθημα βίντεο. Επομένως, αμέσως τώρα, κατεβάστε τις επιλογές για μια ανεξάρτητη λύση που επισυνάπτονται σε αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο και ξεκινήστε να λύνετε τουλάχιστον μία από αυτές τις δύο ανεξάρτητες εργασίες.

Θα σας πάρει μόλις λίγα λεπτά. Αλλά το αποτέλεσμα μιας τέτοιας εκπαίδευσης θα είναι πολύ υψηλότερο σε σύγκριση με το αν παρακολουθούσατε μόλις αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τις λογαριθμικές εξισώσεις. Εφαρμόστε την κανονική μορφή, απλοποιήστε τις εκφράσεις χρησιμοποιώντας τους κανόνες για την εργασία με λογάριθμους - και δεν θα φοβάστε καμία εργασία. Και αυτό είναι το μόνο που έχω για σήμερα.

Εξέταση πεδίου εφαρμογής

Τώρα ας μιλήσουμε για το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης, καθώς και για το πώς αυτό επηρεάζει τη λύση των λογαριθμικών εξισώσεων. Σκεφτείτε μια κατασκευή της φόρμας

log a f(x) = b

Μια τέτοια έκφραση ονομάζεται η απλούστερη - έχει μόνο μία συνάρτηση και οι αριθμοί a και b είναι απλώς αριθμοί και σε καμία περίπτωση δεν είναι συνάρτηση που εξαρτάται από τη μεταβλητή x. Λύνεται πολύ απλά. Απλά πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

b = log a a b

Αυτός ο τύπος είναι μια από τις βασικές ιδιότητες του λογάριθμου και όταν αντικαθιστούμε στην αρχική μας έκφραση, λαμβάνουμε τα εξής:

log a f(x) = log a a β

f(x) = a β

Αυτή είναι ήδη μια γνωστή φόρμουλα από τα σχολικά εγχειρίδια. Πολλοί μαθητές θα έχουν πιθανώς μια ερώτηση: δεδομένου ότι η συνάρτηση f ( x) στην αρχική έκφραση βρίσκεται κάτω από το σύμβολο καταγραφής, επιβάλλονται σε αυτήν οι ακόλουθοι περιορισμοί:

f(x) > 0

Αυτός ο περιορισμός ισχύει επειδή ο λογάριθμος του αρνητικούς αριθμούςδεν υπάρχει. Λοιπόν, ίσως λόγω αυτού του περιορισμού, θα έπρεπε να εισαγάγετε έναν έλεγχο για απαντήσεις; Ίσως πρέπει να αντικατασταθούν στην πηγή;

Όχι, στις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις, ένας επιπλέον έλεγχος είναι περιττός. Και για αυτο. Ρίξτε μια ματιά στον τελικό μας τύπο:

f(x) = a β

Το γεγονός είναι ότι ο αριθμός a σε κάθε περίπτωση είναι μεγαλύτερος από το 0 - αυτή η απαίτηση επιβάλλεται επίσης από τον λογάριθμο. Ο αριθμός α είναι η βάση. Στην περίπτωση αυτή δεν επιβάλλονται περιορισμοί στον αριθμό β. Αλλά αυτό δεν έχει σημασία, γιατί ανεξάρτητα από το βαθμό που ανεβάζουμε έναν θετικό αριθμό, θα έχουμε και πάλι έναν θετικό αριθμό στην έξοδο. Έτσι, η απαίτηση f (x) > 0 εκπληρώνεται αυτόματα.

Αυτό που αξίζει πραγματικά να ελέγξετε είναι το εύρος της λειτουργίας κάτω από το σύμβολο καταγραφής. Μπορεί να υπάρχουν αρκετά περίπλοκα σχέδια και στη διαδικασία επίλυσής τους, πρέπει οπωσδήποτε να τα ακολουθήσετε. Ας ρίξουμε μια ματιά.

Πρώτη εργασία:

Πρώτο βήμα: μετατρέψτε το κλάσμα στα δεξιά. Παίρνουμε:

Απαλλαγούμε από το πρόσημο του λογαρίθμου και παίρνουμε τη συνηθισμένη παράλογη εξίσωση:

Από τις ρίζες που αποκτήθηκαν, μόνο η πρώτη μας ταιριάζει, αφού η δεύτερη ρίζα λιγότερο από το μηδέν. Η μόνη απάντηση θα είναι ο αριθμός 9. Αυτό ήταν, το πρόβλημα λύθηκε. Δεν απαιτούνται πρόσθετοι έλεγχοι ότι η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από 0, επειδή δεν είναι απλώς μεγαλύτερη από 0, αλλά από την συνθήκη της εξίσωσης είναι ίση με 2. Επομένως, η απαίτηση "μεγαλύτερο από μηδέν" είναι αυτόματα πληρούνται.

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη εργασία:

Ολα είναι ίδια εδώ. Ξαναγράφουμε την κατασκευή, αντικαθιστώντας το τριπλό:

Απαλλαγούμε από τα σημάδια του λογαρίθμου και παίρνουμε μια παράλογη εξίσωση:

Τετραγωνίζουμε και τα δύο μέρη, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς, και παίρνουμε:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει μέσω της διάκρισης:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Αλλά το x = −6 δεν μας ταιριάζει, γιατί αν αντικαταστήσουμε αυτόν τον αριθμό στην ανισότητα μας, παίρνουμε:

−6 + 4 = −2 < 0

Στην περίπτωσή μας, απαιτείται να είναι μεγαλύτερο από 0 ή, σε ακραίες περιπτώσεις, ίσο. Αλλά x = −1 μας ταιριάζει:

−1 + 4 = 3 > 0

Η μόνη απάντηση στην περίπτωσή μας είναι x = −1. Αυτή είναι όλη η λύση. Ας επιστρέψουμε στην αρχή των υπολογισμών μας.

Το κύριο συμπέρασμα από αυτό το μάθημα είναι ότι δεν απαιτείται έλεγχος των ορίων για μια συνάρτηση στις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις. Γιατί στη διαδικασία επίλυσης όλοι οι περιορισμοί εκτελούνται αυτόματα.

Ωστόσο, αυτό σε καμία περίπτωση δεν σημαίνει ότι μπορείτε να ξεχάσετε εντελώς την επαλήθευση. Κατά τη διαδικασία εργασίας σε μια λογαριθμική εξίσωση, μπορεί κάλλιστα να μετατραπεί σε μια παράλογη, η οποία θα έχει τους δικούς της περιορισμούς και απαιτήσεις για τη δεξιά πλευρά, που έχουμε δει σήμερα σε δύο διαφορετικά παραδείγματα.

Μη διστάσετε να λύσετε τέτοια προβλήματα και να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί εάν υπάρχει ρίζα στο επιχείρημα.

Λογαριθμικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις

Συνεχίζουμε να μελετάμε τις λογαριθμικές εξισώσεις και να αναλύουμε δύο ακόμη αρκετά ενδιαφέροντα κόλπα με τα οποία είναι της μόδας να λύνουμε πιο περίπλοκες δομές. Αλλά πρώτα, ας θυμηθούμε πώς επιλύονται οι απλούστερες εργασίες:

log a f(x) = b

Σε αυτόν τον συμβολισμό, τα a και b είναι απλώς αριθμοί, και στη συνάρτηση f (x) πρέπει να υπάρχει η μεταβλητή x και μόνο εκεί, δηλαδή, το x πρέπει να είναι μόνο στο όρισμα. Θα μετασχηματίσουμε τέτοιες λογαριθμικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας την κανονική μορφή. Για αυτό, σημειώνουμε ότι

b = log a a b

Και το β είναι απλώς ένα επιχείρημα. Ας ξαναγράψουμε αυτή την έκφραση ως εξής:

log a f(x) = log a a β

Αυτό ακριβώς προσπαθούμε να πετύχουμε, ώστε τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά να υπάρχει ένας λογάριθμος στη βάση α. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε, μεταφορικά μιλώντας, να διαγράψουμε τα σημάδια του log και από την άποψη των μαθηματικών, μπορούμε να πούμε ότι απλώς εξισώνουμε τα επιχειρήματα:

f(x) = a β

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια νέα έκφραση που θα λυθεί πολύ πιο εύκολα. Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον κανόνα στις εργασίες μας σήμερα.

Το πρώτο σχέδιο λοιπόν:

Πρώτα από όλα, σημειώνω ότι υπάρχει ένα κλάσμα στα δεξιά, ο παρονομαστής του οποίου είναι log. Όταν βλέπετε μια έκφραση όπως αυτή, αξίζει να θυμάστε την υπέροχη ιδιότητα των λογαρίθμων:

Μεταφρασμένο στα ρωσικά, αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε λογάριθμος μπορεί να αναπαρασταθεί ως πηλίκο δύο λογαρίθμων με οποιαδήποτε βάση c. Φυσικά, 0< с ≠ 1.

Έτσι: αυτός ο τύπος έχει μια υπέροχη ειδική περίπτωση όταν η μεταβλητή c είναι ίση με τη μεταβλητή σι. Σε αυτή την περίπτωση, παίρνουμε μια κατασκευή της φόρμας:

Είναι αυτή η κατασκευή που παρατηρούμε από το σύμβολο στα δεξιά στην εξίσωσή μας. Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την κατασκευή με το log a b , παίρνουμε:

Με άλλα λόγια, σε σύγκριση με την αρχική εργασία, έχουμε ανταλλάξει το όρισμα και τη βάση του λογάριθμου. Αντίθετα, έπρεπε να αναστρέψουμε το κλάσμα.

Υπενθυμίζουμε ότι οποιοδήποτε πτυχίο μπορεί να αφαιρεθεί από τη βάση σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Με άλλα λόγια, ο συντελεστής k, που είναι ο βαθμός της βάσης, βγαίνει ως ανεστραμμένο κλάσμα. Ας το βγάλουμε ως ανεστραμμένο κλάσμα:

Ο κλασματικός παράγοντας δεν μπορεί να μείνει μπροστά, γιατί σε αυτήν την περίπτωση δεν θα μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτό το λήμμα ως κανονική μορφή (εξάλλου, στην κανονική μορφή, δεν υπάρχει πρόσθετος παράγοντας μπροστά από τον δεύτερο λογάριθμο). Επομένως, ας βάλουμε το κλάσμα 1/4 στο όρισμα ως δύναμη:

Τώρα εξισώνουμε τα επιχειρήματα των οποίων οι βάσεις είναι ίδιες (και έχουμε πραγματικά τις ίδιες βάσεις) και γράφουμε:

x + 5 = 1

x = −4

Αυτό είναι όλο. Πήραμε την απάντηση στην πρώτη λογαριθμική εξίσωση. Προσοχή: στο αρχικό πρόβλημα, η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο σε ένα αρχείο καταγραφής και βρίσκεται στο όρισμά της. Επομένως, δεν χρειάζεται να ελέγξουμε τον τομέα και ο αριθμός μας x = −4 είναι πράγματι η απάντηση.

Τώρα ας προχωρήσουμε στη δεύτερη έκφραση:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Εδώ, εκτός από τους συνηθισμένους λογάριθμους, θα πρέπει να δουλέψουμε και με το lg f (x). Πώς να λύσετε μια τέτοια εξίσωση; Μπορεί σε έναν απροετοίμαστο μαθητή να φαίνεται ότι πρόκειται για κάποιο είδος κασσίτερου, αλλά στην πραγματικότητα όλα λύνονται στοιχειωδώς.

Δείτε προσεκτικά τον όρο lg 2 log 2 7. Τι μπορούμε να πούμε για αυτόν; Οι βάσεις και τα επιχειρήματα του log και του lg είναι τα ίδια, και αυτό θα πρέπει να δώσει κάποιες ενδείξεις. Ας θυμηθούμε για άλλη μια φορά πώς αφαιρούνται οι μοίρες κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου:

log a b n = nlog a b

Με άλλα λόγια, η ισχύς του αριθμού b στο όρισμα γίνεται παράγοντας μπροστά από το ίδιο το log. Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο στην έκφραση lg 2 log 2 7. Μην φοβάστε το lg 2 - αυτή είναι η πιο κοινή έκφραση. Μπορείτε να το ξαναγράψετε ως εξής:

Για αυτόν ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για οποιονδήποτε άλλο λογάριθμο. Συγκεκριμένα, ο παράγοντας μπροστά μπορεί να εισαχθεί στη δύναμη του επιχειρήματος. Ας γράψουμε:

Πολύ συχνά, οι μαθητές σε κενό σημείο δεν βλέπουν αυτήν την ενέργεια, επειδή δεν είναι καλό να εισάγετε ένα αρχείο καταγραφής κάτω από το σημάδι ενός άλλου. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα εγκληματικό σε αυτό. Επιπλέον, παίρνουμε έναν τύπο που είναι εύκολο να υπολογιστεί αν θυμάστε έναν σημαντικό κανόνα:

Αυτός ο τύπος μπορεί να θεωρηθεί τόσο ως ορισμός όσο και ως μία από τις ιδιότητές του. Σε κάθε περίπτωση, εάν μετατρέψετε μια λογαριθμική εξίσωση, θα πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον τύπο με τον ίδιο τρόπο όπως την αναπαράσταση οποιουδήποτε αριθμού με τη μορφή ημερολογίου.

Επιστρέφουμε στο καθήκον μας. Το ξαναγράφουμε λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι ο πρώτος όρος στα δεξιά του πρόσημου ίσου θα είναι απλώς ίσος με lg 7. Έχουμε:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Ας μετακινήσουμε το lg 7 προς τα αριστερά, παίρνουμε:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Αφαιρούμε τις εκφράσεις στα αριστερά γιατί έχουν την ίδια βάση:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην εξίσωση που έχουμε. Είναι πρακτικά η κανονική μορφή, αλλά υπάρχει ένας παράγοντας −3 στα δεξιά. Ας το βάλουμε στο σωστό επιχείρημα της lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Μπροστά μας βρίσκεται η κανονική μορφή της λογαριθμικής εξίσωσης, οπότε διαγράφουμε τα πρόσημα του lg και εξισώνουμε τα επιχειρήματα:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Αυτό είναι όλο! Έχουμε λύσει τη δεύτερη λογαριθμική εξίσωση. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν απαιτούνται πρόσθετοι έλεγχοι, επειδή στο αρχικό πρόβλημα το x υπήρχε μόνο σε ένα όρισμα.

Θα απαριθμήσω ξανά βασικά σημείααυτό το μάθημα.

Ο κύριος τύπος που μελετάται σε όλα τα μαθήματα αυτής της σελίδας που είναι αφιερωμένα στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων είναι η κανονική μορφή. Και μην αποθαρρύνεστε από το γεγονός ότι τα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια σας διδάσκουν πώς να λύνετε με διαφορετικό τρόπο αυτού του είδους τα προβλήματα. Αυτό το εργαλείο λειτουργεί πολύ αποτελεσματικά και σας επιτρέπει να λύσετε μια πολύ ευρύτερη κατηγορία προβλημάτων από τα πιο απλά που μελετήσαμε στην αρχή του μαθήματός μας.

Επιπλέον, για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, θα είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τις βασικές ιδιότητες. Και συγκεκριμένα:

Ο τύπος για τη μετάβαση σε μία βάση και μια ειδική περίπτωση όταν αναστρέψουμε το αρχείο καταγραφής (αυτό μας ήταν πολύ χρήσιμο στην πρώτη εργασία).
Ο τύπος για την εισαγωγή και εξαγωγή δυνάμεων κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Εδώ, πολλοί μαθητές κολλάνε και δεν βλέπουν ότι η τροφοδοσία που αφαιρέθηκε και εισήχθη μπορεί να περιέχει το ίδιο το αρχείο καταγραφής f (x). Τίποτα λάθος με αυτό. Μπορούμε να εισάγουμε ένα κούτσουρο σύμφωνα με το πρόσημο ενός άλλου και ταυτόχρονα να απλοποιήσουμε σημαντικά τη λύση του προβλήματος, όπως παρατηρούμε στη δεύτερη περίπτωση.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να προσθέσω ότι δεν απαιτείται έλεγχος του εύρους σε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις, επειδή παντού η μεταβλητή x υπάρχει μόνο σε ένα πρόσημο log και ταυτόχρονα βρίσκεται στο όρισμά της. Κατά συνέπεια, όλες οι απαιτήσεις τομέα πληρούνται αυτόματα.

Προβλήματα με μεταβλητή βάση

Σήμερα θα εξετάσουμε λογαριθμικές εξισώσεις, οι οποίες για πολλούς μαθητές φαίνονται μη τυπικές, αν όχι εντελώς άλυτες. Μιλάμε για εκφράσεις που δεν βασίζονται σε αριθμούς, αλλά σε μεταβλητές και άρτιες συναρτήσεις. Θα λύσουμε τέτοιες κατασκευές χρησιμοποιώντας την τυπική μας τεχνική, δηλαδή μέσω της κανονικής μορφής.

Αρχικά, ας θυμηθούμε πώς λύνονται τα πιο απλά προβλήματα, τα οποία βασίζονται σε συνηθισμένους αριθμούς. Έτσι, η απλούστερη κατασκευή ονομάζεται

log a f(x) = b

Για να λύσουμε τέτοια προβλήματα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο:

b = log a a b

Ξαναγράφουμε την αρχική μας έκφραση και παίρνουμε:

log a f(x) = log a a β

Στη συνέχεια, εξισώνουμε τα ορίσματα, δηλ. γράφουμε:

f(x) = a β

Έτσι, απαλλαγούμε από το σήμα καταγραφής και λύνουμε το συνηθισμένο πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες που λαμβάνονται στη λύση θα είναι οι ρίζες της αρχικής λογαριθμικής εξίσωσης. Επιπλέον, η εγγραφή, όταν και το αριστερό και το δεξί βρίσκονται στον ίδιο λογάριθμο με την ίδια βάση, ονομάζεται κανονική μορφή. Σε αυτό το ρεκόρ θα προσπαθήσουμε να μειώσουμε τις σημερινές κατασκευές. Λοιπόν πάμε.

Πρώτη εργασία:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Αντικαταστήστε το 1 με το log x − 2 (x − 2) 1 . Ο βαθμός που παρατηρούμε στο όρισμα είναι, στην πραγματικότητα, ο αριθμός b , ο οποίος βρισκόταν στα δεξιά του πρόσημου ίσου. Ας ξαναγράψουμε λοιπόν την έκφρασή μας. Παίρνουμε:

ημερολόγιο x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ημερολόγιο x - 2 (x - 2)

Τι βλέπουμε; Μπροστά μας είναι η κανονική μορφή της λογαριθμικής εξίσωσης, ώστε να μπορούμε να εξισώσουμε με ασφάλεια τα επιχειρήματα. Παίρνουμε:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Όμως η λύση δεν τελειώνει εκεί, γιατί αυτή η εξίσωση δεν είναι ισοδύναμη με την αρχική. Εξάλλου, η κατασκευή που προκύπτει αποτελείται από συναρτήσεις που ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και οι αρχικοί μας λογάριθμοι δεν ορίζονται παντού και όχι πάντα.

Επομένως, πρέπει να γράψουμε χωριστά τον τομέα ορισμού. Ας μην είμαστε σοφότεροι και γράψτε πρώτα όλες τις απαιτήσεις:

Πρώτον, το όρισμα καθενός από τους λογάριθμους πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Δεύτερον, η βάση δεν πρέπει να είναι μόνο μεγαλύτερη από 0, αλλά και διαφορετική από 1:

x − 2 ≠ 1

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το σύστημα:

Αλλά μην ανησυχείτε: κατά την επεξεργασία λογαριθμικών εξισώσεων, ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να απλοποιηθεί πολύ.

Κρίνετε μόνοι σας: αφενός, απαιτείται η τετραγωνική συνάρτηση να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, και αφετέρου, αυτή η τετραγωνική συνάρτηση εξισώνεται με κάποια γραμμική έκφραση, η οποία επίσης απαιτείται να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Σε αυτήν την περίπτωση, εάν απαιτήσουμε ότι x − 2 > 0, τότε η απαίτηση 2x 2 − 13x + 18 > 0 θα ικανοποιηθεί αυτόματα. Επομένως, μπορούμε με ασφάλεια να διαγράψουμε την ανισότητα που περιέχει μια τετραγωνική συνάρτηση. Έτσι, ο αριθμός των εκφράσεων που περιέχονται στο σύστημά μας θα μειωθεί σε τρεις.

Φυσικά, θα μπορούσαμε επίσης να διαγράψουμε γραμμική ανισότητα, δηλ. διαγράψτε x − 2 > 0 και απαιτήστε ότι 2x 2 − 13x + 18 > 0. Αλλά πρέπει να συμφωνήσετε ότι είναι πολύ πιο γρήγορο και πιο εύκολο να λυθεί η απλούστερη γραμμική ανισότητα από αυτό το σύστημα που έχουμε τις ίδιες ρίζες.

Γενικά, προσπαθήστε να βελτιστοποιήσετε τους υπολογισμούς όποτε είναι δυνατόν. Και στην περίπτωση των λογαριθμικών εξισώσεων, διαγράψτε τις πιο δύσκολες ανισότητες.

Ας ξαναγράψουμε το σύστημά μας:

Εδώ είναι ένα τέτοιο σύστημα τριών εκφράσεων, δύο από τις οποίες, στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη καταλάβει. Ας γράψουμε χωριστά τετραγωνική εξίσωσηκαι λύστε το:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Μπροστά μας υπάρχει ένα μειωμένο τετράγωνο τριώνυμο και, επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους Vieta. Παίρνουμε:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Τώρα, πίσω στο σύστημά μας, διαπιστώνουμε ότι το x = 2 δεν μας ταιριάζει, γιατί απαιτείται να έχουμε x αυστηρά μεγαλύτερο από 2.

Αλλά το x \u003d 5 μας ταιριάζει αρκετά: ο αριθμός 5 είναι μεγαλύτερος από 2 και ταυτόχρονα το 5 δεν ισούται με 3. Επομένως, η μόνη λύση σε αυτό το σύστημα θα είναι το x \u003d 5.

Όλα, το έργο επιλύεται, συμπεριλαμβανομένου του ODZ. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη εξίσωση. Εδώ περιμένουμε πιο ενδιαφέροντες και ουσιαστικούς υπολογισμούς:

Το πρώτο βήμα: όπως και την τελευταία φορά, φέραμε όλη αυτή τη δουλειά σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 9 ως εξής:

Η βάση με τη ρίζα δεν μπορεί να αγγιχτεί, αλλά είναι καλύτερο να μεταμορφωθεί το επιχείρημα. Ας περάσουμε από τη ρίζα στη δύναμη με έναν ορθολογικό εκθέτη. Ας γράψουμε:

Επιτρέψτε μου να μην ξαναγράψω ολόκληρη τη μεγάλη λογαριθμική μας εξίσωση, αλλά απλώς να εξισώσω αμέσως τα επιχειρήματα:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Μπροστά μας είναι το και πάλι μειωμένο τετράγωνο τριώνυμο, θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους Vieta και θα γράψουμε:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Έτσι, πήραμε τις ρίζες, αλλά κανείς δεν μας εγγυήθηκε ότι θα ταιριάζουν στην αρχική λογαριθμική εξίσωση. Εξάλλου, οι πινακίδες καταγραφής επιβάλλουν πρόσθετους περιορισμούς (εδώ θα έπρεπε να γράψουμε το σύστημα, αλλά λόγω της δυσκινησίας της όλης κατασκευής, αποφάσισα να υπολογίσω τον τομέα ορισμού ξεχωριστά).

Πρώτα απ 'όλα, να θυμάστε ότι τα ορίσματα πρέπει να είναι μεγαλύτερα από 0, δηλαδή:

Αυτές είναι οι απαιτήσεις που επιβάλλει ο τομέας ορισμού.

Σημειώνουμε αμέσως ότι αφού εξισώνουμε τις δύο πρώτες εκφράσεις του συστήματος μεταξύ τους, μπορούμε να διαγράψουμε οποιαδήποτε από αυτές. Ας διαγράψουμε το πρώτο γιατί φαίνεται πιο απειλητικό από το δεύτερο.

Επιπλέον, σημειώστε ότι οι λύσεις της δεύτερης και της τρίτης ανισότητας θα είναι τα ίδια σύνολα (ο κύβος κάποιου αριθμού είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, εάν αυτός ο ίδιος αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν· ομοίως με τη ρίζα του τρίτου βαθμού - αυτές οι ανισότητες είναι εντελώς παρόμοια, οπότε ένα από αυτά μπορούμε να το διαγράψουμε).

Αλλά με την τρίτη ανισότητα, αυτό δεν θα λειτουργήσει. Ας απαλλαγούμε από το σημάδι του ριζικού στα αριστερά, για το οποίο ανεβάζουμε και τα δύο μέρη σε έναν κύβο. Παίρνουμε:

Έτσι έχουμε τις ακόλουθες απαιτήσεις:

−2 ≠ x > −3

Ποια από τις ρίζες μας: x 1 = -3 ή x 2 = -1 πληροί αυτές τις απαιτήσεις; Προφανώς, μόνο x = −1, γιατί το x = −3 δεν ικανοποιεί την πρώτη ανισότητα (γιατί η ανισότητα μας είναι αυστηρή). Συνολικά, επιστρέφοντας στο πρόβλημά μας, παίρνουμε μία ρίζα: x = −1. Αυτό είναι, το πρόβλημα λύθηκε.

Για άλλη μια φορά, τα βασικά σημεία αυτής της εργασίας:

Μη διστάσετε να εφαρμόσετε και να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας κανονική μορφή. Οι μαθητές που κάνουν μια τέτοια εγγραφή, και δεν πηγαίνουν απευθείας από το αρχικό πρόβλημα σε μια κατασκευή όπως το log a f ( x ) = b , κάνουν πολύ λιγότερα λάθη από εκείνους που βιάζονται κάπου, παρακάμπτοντας τα ενδιάμεσα βήματα των υπολογισμών.
Μόλις εμφανιστεί μια μεταβλητή βάση στον λογάριθμο, το πρόβλημα παύει να είναι το απλούστερο. Επομένως, κατά την επίλυσή του, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το πεδίο ορισμού: τα ορίσματα πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν και οι βάσεις δεν πρέπει να είναι μόνο μεγαλύτερες από 0, αλλά και να μην είναι ίσες με 1.

Μπορείτε να επιβάλετε τις τελευταίες απαιτήσεις στις τελικές απαντήσεις με διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, είναι δυνατή η επίλυση ενός ολόκληρου συστήματος που περιέχει όλες τις απαιτήσεις τομέα. Από την άλλη πλευρά, μπορείτε πρώτα να λύσετε το ίδιο το πρόβλημα και, στη συνέχεια, να θυμηθείτε τον τομέα ορισμού, να το επεξεργαστείτε ξεχωριστά με τη μορφή συστήματος και να το εφαρμόσετε στις ρίζες που έχετε αποκτήσει.

Ποιος τρόπος να επιλέξετε κατά την επίλυση μιας συγκεκριμένης λογαριθμικής εξίσωσης εξαρτάται από εσάς. Σε κάθε περίπτωση, η απάντηση θα είναι η ίδια.

Σήμερα θα μιλήσουμε για λογαριθμικούς τύπουςκαι κάντε επίδειξη παραδείγματα λύσεων.

Από μόνες τους, υπονοούν μοτίβα λύσεων σύμφωνα με τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Πριν εφαρμόσουμε τους τύπους λογαρίθμων στη λύση, υπενθυμίζουμε για εσάς, πρώτα όλες τις ιδιότητες:

Τώρα, με βάση αυτούς τους τύπους (ιδιότητες), δείχνουμε παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων με βάση τύπους.

Λογάριθμοςένας θετικός αριθμός b στη βάση a (σημειώνεται log a b) είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί το a για να ληφθεί b, με b > 0, a > 0 και 1.

Σύμφωνα με τον ορισμό log a b = x, που ισοδυναμεί με a x = b, άρα log a a x = x.

Λογάριθμοι, παραδείγματα:

log 2 8 = 3, επειδή 2 3 = 8

log 7 49 = 2 επειδή 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, επειδή 5 -1 = 1/5

Δεκαδικός λογάριθμοςείναι ένας συνηθισμένος λογάριθμος, η βάση του οποίου είναι 10. Συμβολίζεται ως lg.

log 10 100 = 2 επειδή 10 2 = 100

φυσικός λογάριθμος- επίσης ο συνηθισμένος λογάριθμος λογάριθμος, αλλά με τη βάση e (e \u003d 2,71828 ... - ένας παράλογος αριθμός). Αναφέρεται ως ln.

Είναι επιθυμητό να θυμόμαστε τους τύπους ή τις ιδιότητες των λογαρίθμων, γιατί θα τους χρειαστούμε αργότερα κατά την επίλυση λογαρίθμων, λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Ας δουλέψουμε ξανά κάθε τύπο με παραδείγματα.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα
α ημερολόγιο α β = β
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Λογάριθμος του πηλίκου ισούται με τη διαφοράλογαρίθμων
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Ιδιότητες του βαθμού ενός λογαριθμήσιμου αριθμού και της βάσης του λογαρίθμου
Ο εκθέτης ενός λογαριθμικού αριθμού log a b m = mlog a b

Εκθέτης της βάσης του λογαρίθμου log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

αν m = n, παίρνουμε log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Μετάβαση σε νέα βάση
log a b = log c b / log c a,
αν c = b, παίρνουμε το log b b = 1

τότε log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Όπως μπορείτε να δείτε, οι τύποι λογαρίθμων δεν είναι τόσο περίπλοκοι όσο φαίνονται. Τώρα, έχοντας εξετάσει παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων, μπορούμε να προχωρήσουμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων με περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο: "". Μην χάσετε!

Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις σχετικά με τη λύση, γράψτε τις στα σχόλια του άρθρου.

Σημείωση: αποφάσισε να λάβει μια εκπαίδευση άλλης τάξης σπουδές στο εξωτερικό ως επιλογή.

Ας ξεκινήσουμε με ιδιότητες του λογάριθμου της ενότητας. Η διατύπωσή του έχει ως εξής: ο λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή καταγράψτε ένα 1=0για οποιαδήποτε a>0 , a≠1 . Η απόδειξη είναι απλή: αφού a 0 =1 για κάθε a που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες a>0 και a≠1, τότε το αποδεδειγμένο log ισότητας a 1=0 προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του λογαρίθμου.

Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της εξεταζόμενης ιδιότητας: log 3 1=0 , lg1=0 και .

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο ακίνητο: λογάριθμος ενός αριθμού ίσο με τη βάση, ισούται με ένα, αυτό είναι, καταγραφή a a=1για a>0, a≠1. Πράγματι, αφού a 1 =a για οποιοδήποτε a , τότε με τον ορισμό του λογαρίθμου log a a=1 .

Παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων είναι log 5 5=1 , log 5.6 5.6 και lne=1 .

Για παράδειγμα, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 και .

Λογάριθμος του γινομένου δύο θετικών αριθμών x και y είναι ίσο με το γινόμενολογάριθμοι αυτών των αριθμών: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Ας αποδείξουμε την ιδιότητα του λογαρίθμου του γινομένου. Λόγω των ιδιοτήτων του πτυχίου a log a x+log a y =a log a x a log a y, και δεδομένου ότι από την κύρια λογαριθμική ταυτότητα ένα log a x =x και ένα log a y =y , τότε ένα log a x a log a y =x y . Έτσι, a log a x+log a y =x y , από όπου η απαιτούμενη ισότητα ακολουθεί ο ορισμός του λογάριθμου.

Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας του λογάριθμου του γινομένου: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 και .

Η ιδιότητα του λογάριθμου γινομένου μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού n θετικών αριθμών x 1 , x 2 , …, x n ως log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Αυτή η ισότητα αποδεικνύεται εύκολα.

Για παράδειγμα, ο φυσικός λογάριθμος ενός προϊόντος μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα των τριών φυσικούς λογάριθμουςαριθμοί 4 , ε , και .

Λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών x και y ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. Η ιδιότητα του πηλίκου του λογάριθμου αντιστοιχεί σε έναν τύπο της μορφής , όπου a>0 , a≠1 , x και y είναι κάποιοι θετικοί αριθμοί. Η εγκυρότητα αυτού του τύπου αποδεικνύεται όπως ο τύπος για τον λογάριθμο του γινομένου: αφού , τότε με τον ορισμό του λογάριθμου .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας του λογάριθμου: .

Ας προχωρήσουμε στο ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού. Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και το λογάριθμο του συντελεστή μέτρησης της βάσης αυτού του βαθμού. Γράφουμε αυτήν την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού με τη μορφή ενός τύπου: log a b p =p log a |b|, όπου a>0 , a≠1 , b και p είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο βαθμός του b p έχει νόημα και ο b p >0 .

Αρχικά αποδεικνύουμε αυτή την ιδιότητα για θετικό b . Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά b p =(a log a b) p , και η παράσταση που προκύπτει, λόγω της ιδιότητας ισχύος, είναι ίση με a p log a b . Φτάνουμε λοιπόν στην ισότητα b p =a p log a b , από την οποία, με τον ορισμό του λογάριθμου, συμπεραίνουμε ότι log a b p =p log a b .

Απομένει να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα για αρνητικό b . Εδώ σημειώνουμε ότι η έκφραση log a b p για αρνητικό b έχει νόημα μόνο για άρτιους εκθέτες p (καθώς η τιμή του βαθμού b p πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, διαφορετικά ο λογάριθμος δεν θα έχει νόημα), και σε αυτή την περίπτωση b p =|b| Π . Επειτα b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, απ' όπου log a b p =p log a |b| .

Για παράδειγμα, και ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Προκύπτει από το προηγούμενο ακίνητο ιδιότητα του λογάριθμου από τη ρίζα: ο λογάριθμος της ρίζας του nου βαθμού είναι ίσος με το γινόμενο του κλάσματος 1/n και τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης, δηλαδή, , όπου a>0 , a≠1 , n – φυσικός αριθμός, μεγαλύτερο από ένα, b>0 .

Η απόδειξη βασίζεται στην ισότητα (βλ. ), που ισχύει για κάθε θετικό b , και στην ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας: .

Τώρα ας αποδείξουμε τύπος μετατροπής στη νέα βάση του λογαρίθμουείδος . Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδειχθεί η εγκυρότητα του log ισότητας c b=log a b log c a . Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά το log c b=log c a log a b . Απομένει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: log c a log a b = log a b log c α. Έτσι, αποδεικνύεται το log ισότητας c b=log a b log c a, που σημαίνει ότι αποδεικνύεται και ο τύπος για τη μετάβαση σε νέα βάση του λογάριθμου.

Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων: και .

Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση σάς επιτρέπει να προχωρήσετε στην εργασία με λογάριθμους που έχουν «βολική» βάση. Για παράδειγμα, με τη βοήθειά του μπορείτε να μεταβείτε σε φυσικό ή δεκαδικούς λογάριθμουςώστε να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή του λογαρίθμου από τον πίνακα των λογαρίθμων. Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου επιτρέπει επίσης σε ορισμένες περιπτώσεις την εύρεση της τιμής ενός δεδομένου λογαρίθμου, όταν είναι γνωστές οι τιμές ορισμένων λογαρίθμων με άλλες βάσεις.

Συχνά χρησιμοποιείται μια ειδική περίπτωση του τύπου για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου για c=b της μορφής . Αυτό δείχνει ότι το log a b και το log b a – . Π.χ, .

Επίσης συχνά χρησιμοποιείται η φόρμουλα , το οποίο είναι χρήσιμο για την εύρεση τιμών λογαρίθμου. Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται η τιμή του λογάριθμου της φόρμας χρησιμοποιώντας αυτήν. Εχουμε . Για να αποδείξουμε τον τύπο αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μετάβασης στη νέα βάση του λογάριθμου α: .

Μένει να αποδείξουμε τις ιδιότητες σύγκρισης των λογαρίθμων.

Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς b 1 και b 2 , b 1 log a b 2 , και για a>1, η ανισότητα log a b 1

Τέλος, μένει να αποδείξουμε την τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των λογαρίθμων. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη του πρώτου μέρους του, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι αν ένα 1 >1 , ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b>log a 2 b . Οι υπόλοιπες δηλώσεις αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων αποδεικνύονται με παρόμοια αρχή.

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι για ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 log a 1 b≤log a 2 b είναι αληθές. Με τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτές οι ανισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν ως Και αντίστοιχα, και από αυτά προκύπτει ότι το log b a 1 ≤log b a 2 και το log b a 1 ≥log b a 2, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, από τις ιδιότητες των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, πρέπει να ικανοποιούνται οι ισότητες b log b a 1 ≥b log b a 2 και b log b a 1 ≥b log b a 2, δηλαδή a 1 ≥a 2 . Έτσι, καταλήξαμε σε μια αντίφαση με την συνθήκη a 1

Βιβλιογραφία.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).