Τα σχήματα στο σχήμα 175, α και β αποτελούνται από ίσο αριθμό πανομοιότυπων κύβων. Σχετικά με τέτοια στοιχεία μπορεί να ειπωθεί ότι τους τόμουςείναι ίσα. Τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα που φαίνονται στο Σχήμα 175, c και d, αποτελούνται από 18 και 9 πανομοιότυπους κύβους, αντίστοιχα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι ο όγκος του πρώτου από αυτούς είναι διπλάσιος από τον όγκο του δεύτερου.
Με μια τέτοια ποσότητα όπως ο όγκος, συναντάτε συχνά μέσα Καθημερινή ζωή: όγκος δεξαμενής καυσίμου, όγκος πισίνας, όγκος τάξης, δείκτες κατανάλωσης αερίου ή νερού σε μετρητές κ.λπ.
Η εμπειρία σας λέει ότι ίσα δοχεία έχουν ίσους όγκους. Για παράδειγμα, τα ίδια βαρέλια έχουν ίσους όγκους.
Εάν το δοχείο χωρίζεται σε πολλά μέρη, τότε ο όγκος ολόκληρου του δοχείου είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των μερών του. Για παράδειγμα, ο όγκος ενός ψυγείου δύο θαλάμων είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των θαλάμων του.
Αυτά τα παραδείγματα επεξηγούν τα ακόλουθα ιδιότητες όγκου σχήματος.
1) Οι ίσοι αριθμοί έχουν ίσους όγκους.
2) Ο όγκος ενός σχήματος είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των σχημάτων από τα οποία αποτελείται.
Όπως και στην περίπτωση άλλων ποσοτήτων (μήκος, εμβαδόν), πρέπει να εισαγάγετε τη μονάδα όγκου.
Για τη μονάδα μέτρησης όγκου, επιλέγω έναν κύβο, η άκρη του οποίου είναι ίση με ένα τμήμα μονάδας. Ένας τέτοιος κύβος ονομάζεται μονόκλινο.
κυβικό χιλιοστό. Γράφουν 1 mm 3.
Ο όγκος ενός κύβου με ακμή 1 cm ονομάζεται κυβικό εκατοστό. Γράφουν 1 cm 3.
Ο όγκος ενός κύβου με ακμή 1 mm ονομάζεται κυβικό δεκατόμετρο. Γράφουν 1 dm 3.
Κατά τη μέτρηση όγκων υγρών και αερίων, ονομάζεται 1 dm 3 λίτρο. Γράψτε: 1 λ. Άρα, 1 l \u003d 1 dm 3.
Εάν ο όγκος του κόκκινου κύβου (βλ. Εικ. 175, ε) ληφθεί ως μονάδα, τότε οι όγκοι των σχημάτων στο Σχήμα 175, a, b, c και d, αντίστοιχα, είναι 5, 5, 18 και 9 κυβικά μονάδες.
Εάν το μήκος, το πλάτος και το ύψος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι αντίστοιχα 5 cm, 6 cm, 4 cm, τότε αυτό το παραλληλεπίπεδο μπορεί να χωριστεί σε κύβους 5 * 6 * 4 μονάδων (Εικ. 176). Επομένως, ο όγκος του είναι 5 * 6 * 4 = 120 cm 3.
Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με το γινόμενο των τριών διαστάσεων του.
V=abc
όπου V είναι ο όγκος, a, b και c είναι οι μετρήσεις του κυβοειδούς που εκφράζονται στις ίδιες μονάδες.
Δεδομένου ότι όλες οι άκρες ενός κύβου είναι ίσες, ο όγκος του υπολογίζεται από τον τύπο:
V = a 3
όπου a είναι το μήκος της άκρης του κύβου. Γι' αυτό η τρίτη δύναμη ενός αριθμού ονομάζεται κύβος ενός αριθμού.
Το γινόμενο του μήκους a και του πλάτους b ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσο με το εμβαδόν S της βάσης του: S=ab(Εικ. 177). Ας υποδηλώσουμε το ύψος του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με το γράμμα h. Τότε ο όγκος V του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι V=abh.
V = abh = (ab)h = Sh.
Έτσι, έχουμε έναν ακόμη τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου:
V = Sh
Ο όγκος ενός κυβοειδούς είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
Παράδειγμα.Ποιο πρέπει να είναι το ύψος της δεξαμενής, που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, ώστε ο όγκος της να είναι 324 dm 3 και το εμβαδόν του πυθμένα 54 dm 2;
Λύση. Από τον τύπο V = Sh προκύπτει ότι h = V: S. Τότε το επιθυμητό ύψος h της δεξαμενής μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
h = 324: 54 = 6 (dm).
Απάντηση: 6 dm.
Οποιοδήποτε γεωμετρικό σώμα μπορεί να χαρακτηριστεί από εμβαδόν επιφάνειας (S) και όγκο (V). Το εμβαδόν και ο όγκος δεν είναι το ίδιο πράγμα. Ένα αντικείμενο μπορεί να έχει ένα σχετικά μικρό V και ένα μεγάλο S, για παράδειγμα, έτσι λειτουργεί ο ανθρώπινος εγκέφαλος. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστούν αυτοί οι δείκτες για απλά γεωμετρικά σχήματα.
Παραλληλεπίπεδο: ορισμός, τύποι και ιδιότητες
Ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα τετράγωνο πρίσμα με ένα παραλληλόγραμμο στη βάση του. Γιατί μπορεί να χρειάζεστε έναν τύπο για να βρείτε τον όγκο ενός σχήματος; Παρόμοιο σχήμα έχουν και βιβλία, κουτιά συσκευασίας και πολλά άλλα πράγματα από την καθημερινή ζωή. Τα δωμάτια σε κτίρια κατοικιών και γραφείων, κατά κανόνα, είναι ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. Για να εγκαταστήσετε εξαερισμό, κλιματισμό και να καθορίσετε τον αριθμό των θερμαντικών στοιχείων σε ένα δωμάτιο, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του δωματίου.
Το σχήμα έχει 6 όψεις - παραλληλόγραμμα και 12 άκρες, δύο αυθαίρετα επιλεγμένες όψεις ονομάζονται βάσεις. Το παραλληλεπίπεδο μπορεί να είναι πολλών τύπων. Οι διαφορές οφείλονται στις γωνίες μεταξύ των παρακείμενων άκρων. Οι τύποι για την εύρεση των V-s διαφόρων πολυγώνων είναι ελαφρώς διαφορετικοί.
Αν 6 πρόσωπα γεωμετρικό σχήμαείναι ορθογώνια, λέγεται και ορθογώνια. Ένας κύβος είναι μια ειδική περίπτωση ενός παραλληλεπίπεδου στο οποίο και οι 6 όψεις είναι ίσα τετράγωνα. Σε αυτήν την περίπτωση, για να βρείτε το V, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος μόνο μιας πλευράς και να το ανεβάσετε στην τρίτη δύναμη.
Για να λύσετε προβλήματα, θα χρειαστείτε γνώση όχι μόνο των έτοιμων τύπων, αλλά και των ιδιοτήτων του σχήματος. Η λίστα των βασικών ιδιοτήτων ενός ορθογώνιου πρίσματος είναι μικρή και πολύ εύκολα κατανοητή:
- Οι απέναντι όψεις του σχήματος είναι ίσες και παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι οι νευρώσεις που βρίσκονται απέναντι έχουν το ίδιο μήκος και γωνία κλίσης.
- Όλες οι πλευρικές όψεις ενός ορθού παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια.
- Οι τέσσερις κύριες διαγώνιοι ενός γεωμετρικού σχήματος τέμνονται σε ένα σημείο και το χωρίζουν στη μέση.
- Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων του σχήματος (ακολουθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα).
Πυθαγόρειο θεώρημαλέει ότι το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια ορθογώνιο τρίγωνο, ισούται με το εμβαδόν ενός τριγώνου χτισμένου στην υποτείνουσα του ίδιου τριγώνου.
Η απόδειξη της τελευταίας ιδιοκτησίας φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η πορεία επίλυσης του προβλήματος είναι απλή και δεν απαιτεί λεπτομερείς εξηγήσεις.
Ο τύπος για τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου
Ο τύπος για την εύρεση για όλους τους τύπους γεωμετρικών σχημάτων είναι ο ίδιος: V=S*h, όπου V είναι ο επιθυμητός όγκος, S είναι το εμβαδόν της βάσης του παραλληλεπιπέδου, h το ύψος που έχει χαμηλώσει από την αντίθετη κορυφή και κάθετα στη βάση. Σε ένα ορθογώνιο, το h συμπίπτει με μία από τις πλευρές του σχήματος, επομένως για να βρείτε τον όγκο ενός ορθογώνιου πρίσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τρεις μετρήσεις.
Ο όγκος συνήθως εκφράζεται σε cm3. Γνωρίζοντας και τις τρεις τιμές a, b και c, η εύρεση του όγκου του σχήματος δεν είναι καθόλου δύσκολη. Ο πιο συνηθισμένος τύπος προβλήματος στη ΧΡΗΣΗ είναι η αναζήτηση για τον όγκο ή τη διαγώνιο ενός παραλληλεπίπεδου. Λύστε πολλά κοινά ΧΡΗΣΗ Εργασιώνχωρίς τύπο για τον όγκο ενός ορθογωνίου - είναι αδύνατο. Ένα παράδειγμα μιας εργασίας και ο σχεδιασμός της λύσης της φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Σημείωση 1. Η επιφάνεια ενός ορθογώνιου πρίσματος μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας επί 2 το άθροισμα των εμβαδών των τριών όψεων του σχήματος: της βάσης (ab) και των δύο γειτονικών πλευρικών όψεων (bc + ac).
Σημείωση 2. Η επιφάνεια των πλευρικών όψεων μπορεί εύκολα να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας την περίμετρο της βάσης με το ύψος του παραλληλεπιπέδου.
Με βάση την πρώτη ιδιότητα των παραλληλεπίπεδων, AB = A1B1, και η όψη B1D1 = BD. Σύμφωνα με τις συνέπειες του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το άθροισμα όλων των γωνιών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με 180 ° και το σκέλος απέναντι από τη γωνία των 30 ° είναι ίσο με την υποτείνουσα. Εφαρμόζοντας αυτή τη γνώση για ένα τρίγωνο, μπορούμε εύκολα να βρούμε το μήκος των πλευρών ΑΒ και ΑΔ. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τις λαμβανόμενες τιμές και υπολογίζουμε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
Ο τύπος για την εύρεση του όγκου ενός λοξού κουτιού
Για να βρείτε τον όγκο ενός κεκλιμένου παραλληλεπίπεδου, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε το εμβαδόν της βάσης του σχήματος με το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτή τη βάση από την αντίθετη γωνία.
Έτσι, το επιθυμητό V μπορεί να αναπαρασταθεί ως h - ο αριθμός των φύλλων με εμβαδόν S της βάσης, οπότε ο όγκος της τράπουλας αποτελείται από τα Vs όλων των φύλλων.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Οι εργασίες της ενιαίας εξέτασης πρέπει να ολοκληρωθούν εντός ορισμένου χρόνου. Οι τυπικές εργασίες, κατά κανόνα, δεν περιέχουν ένας μεγάλος αριθμόςυπολογισμούς και μιγαδικά κλάσματα. Συχνά προσφέρεται σε έναν μαθητή πώς να βρει τον όγκο ενός ακανόνιστου γεωμετρικού σχήματος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να θυμάστε τον απλό κανόνα ότι ο συνολικός όγκος είναι ίσος με το άθροισμα των V-s των συστατικών μερών.
Όπως μπορείτε να δείτε από το παράδειγμα στην παραπάνω εικόνα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Οι εργασίες από πιο σύνθετες ενότητες απαιτούν γνώση του Πυθαγόρειου θεωρήματος και των συνεπειών του, καθώς και του τύπου για το μήκος της διαγωνίου ενός σχήματος. Για να επιλύσετε με επιτυχία δοκιμαστικές εργασίες, αρκεί να εξοικειωθείτε εκ των προτέρων με δείγματα τυπικών εργασιών.
ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:
Από την πέμπτη τάξη, γνωρίζουμε τον τύπο για την εύρεση του όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου. Σήμερα θα θυμηθούμε αυτόν τον τύπο και θα αποδείξουμε το θεώρημα "Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου"
Ας αποδείξουμε το θεώρημα: Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με το γινόμενο των τριών διαστάσεων του.
Δίνεται: παραλληλεπίπεδο
α, β, γ είναι οι μετρήσεις του.
V είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου.
Απόδειξη: V = abc.
Απόδειξη:
1. Έστω τα a, b, c πεπερασμένα δεκαδικά, όπου ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων είναι το πολύ n (n > 1).
Τότε οι αριθμοί α. 10n, β. 10n, γ. Τα 10n είναι ακέραιοι.
Χωρίζουμε κάθε άκρη του παραλληλεπίπεδου σε ίσα τμήματα μήκους και σχεδιάζουμε επίπεδα κάθετα στις ακμές μέσα από τα διαχωριστικά σημεία.
Το παραλληλεπίπεδο θα χωριστεί σε abc.103n ίσους κύβους με ακμή. Ας βρούμε ότι ο όγκος κάθε μικρού κύβου θα είναι ίσος με το ένα διαιρούμενο με το δέκα προς την nη δύναμη, σε κύβους. Αυξάνοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή στον κύβο, παίρνουμε (ένας κύβος ισούται με ένα, και το 10 στην ντη δύναμη ισούται με 10 στη δύναμη του 3n) το πηλίκο της μονάδας και το 10 με τη δύναμη του 3n.
Επειδή ο όγκος κάθε τέτοιου κύβου είναι ίσος και ο αριθμός αυτών των κύβων είναι πολλαπλάσιο abc, τότε ο όγκος του κυβοειδούς βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των κύβων με τον όγκο του μικρού κύβου. .
Μειώνουμε κατά 10 στη δύναμη του 3n, παίρνουμε ότι ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το abc ή το γινόμενο των τριών του διαστάσεων.
Άρα V=abc.
2. Ας αποδείξουμε ότι αν τουλάχιστον μία από τις διαστάσεις a, b, c είναι άπειρο δεκαδικό κλάσμα, τότε και ο όγκος του παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο των τριών του διαστάσεων.
Έστω an, bn, cn τελικά δεκαδικά κλάσματα που λαμβάνονται από τους αριθμούς a, b, με απόρριψη σε καθένα από αυτά όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή, ξεκινώντας από το (n + 1). Τότε το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με a με δείκτη και μικρότερο ή ίσο με a με δείκτη n διαδρομή
ένα< a < an",
όπου μια ν η διαδρομή είναι ίση με το άθροισμα ενός ντος και η μονάδα διαιρείται με το δέκα στην ν η δύναμη =
για τα b και c, να γράψετε παρόμοιες ανισώσεις και να τις γράψετε τη μία κάτω από την άλλη
ένα< a < an"
bn< b < bn"
cn< c < cn",
Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις τρεις ανισώσεις, παίρνουμε: το γινόμενο του abc είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το γινόμενο του ένα nth επί β nth και c nth και μικρότερο ή ίσο με ένα nth διάδρομο με b nth διαδρομή και c nοη διαδρομή:
anbncn abc< an"bn"cn". (1)
Σύμφωνα με όσα αποδείχθηκαν στην παράγραφο 1, η αριστερή πλευρά είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου με πλευρές anbncn , δηλαδή Vn, και η δεξιά πλευρά είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου με πλευρές "bn" cn, δηλαδή, Vn".
Επειδή το κουτί P, δηλαδή το κουτί με τις διαστάσεις a, b, c, περιέχει το κουτί Pn, δηλαδή το κουτί με πλευρές an, bn, cn, και το ίδιο περιέχεται στο πλαίσιο Pn», δηλαδή στο κουτί με πλευρές an", bn", cn" τότε ο όγκος V του παραλληλεπίπεδου P περικλείεται μεταξύ Vn = anbncn και Vn "= an"bn"cn",
εκείνοι. anbncn< V < an"bn"cn". (2)
Με μια απεριόριστη αύξηση στο n, ο αριθμός των πηλίκων της μονάδας και του 10 στη δύναμη του 3n θα γίνει αυθαίρετα μικρός, και επομένως οι αριθμοί anbncn και an"bn"cn θα διαφέρουν αυθαίρετα ελάχιστα μεταξύ τους. Επομένως, ο αριθμός V διαφέρει αυθαίρετα ελάχιστα από τον αριθμό abc. Άρα είναι ίσοι:
V=abc. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συμπέρασμα 1. Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
Η βάση ενός κυβοειδούς είναι ένα ορθογώνιο. Έστω το μήκος του παραλληλογράμμου a και το πλάτος b, ας συμβολίσουμε το ύψος ως h=c. Στη συνέχεια, αναζητούμε την περιοχή του ορθογωνίου χρησιμοποιώντας τον τύπο. Αντικαθιστούμε στον τύπο για την εύρεση του όγκου V = abc αντί για το γινόμενο που γράφουμε. Παίρνουμε τον τύπο
Συμπέρασμα 2. Ο όγκος ενός ορθού πρίσματος του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
Με δεδομένο ένα ορθογώνιο πρίσμα, η γωνία Α στη βάση είναι ορθή. Ας οικοδομήσουμε ένα ορθογώνιο πρίσμα σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (βλ. σχέδιο). Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αποτελείται από δύο ορθογώνια πρίσματα που είναι ίσα επειδή έχουν ίσους λόγουςκαι ύψη. Αντίστοιχα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με δύο εμβαδά ορθογώνιων τριγώνων ABC. Επομένως, ο όγκος ενός ορθογώνιου πρίσματος είναι ίσος με το ήμισυ του όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου (όταν πολλαπλασιάζεται) ή το γινόμενο της βάσης ενός ορθογωνίου τρίγωνο κατά το ύψος.
Εργασία 1. Βρείτε τον όγκο του πολυέδρου που φαίνεται στο σχήμα (όλα διεδρικές γωνίεςίσιες γραμμές).
Αναζητούμε τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με τον τύπο:
Το σχήμα αυτό αποτελείται από δύο ορθογώνια παραλληλεπίπεδα.
Έστω ο όγκος ενός πλήρους παραλληλεπίπεδου με διαστάσεις 4, 3, 3. Τότε αυτός είναι ο όγκος ενός μικρού «κομμένου» παραλληλεπίπεδου με διαστάσεις 3, 1, 1.
Για να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου, πρέπει να βρείτε τη διαφορά μεταξύ των όγκων V1 και V2
Βρίσκουμε τον όγκο V1 ως γινόμενο των μετρήσεών του, τους συμβολίζουμε ως a1, b1, c1, παίρνουμε τον όγκο του ίσο με
Για ένα μικρό "κομμένο" παραλληλεπίπεδο, ο όγκος V2 είναι ίσος με το γινόμενο των μετρήσεών του, τα συμβολίζουμε ως a2, b2, c2, τότε παίρνουμε
Τώρα βρίσκουμε τον όγκο του πολυέδρου V ως τη διαφορά μεταξύ V1 και V2, παίρνουμε V=
Απάντηση: Το V του πολύεδρου είναι 33
ΟΓΚΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟΥ Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο των τριών διαστάσεων του, δηλ. του τύπου
Άσκηση 1 Τα άκρα ενός κυβοειδούς που βγαίνει από μια κορυφή είναι 1, 2, 3. Βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Απάντηση: 6.
Άσκηση 2 Δύο ακμές κυβοειδούς που εξέρχονται από την ίδια κορυφή είναι ίσες με 1, 2. Ο όγκος του κυβοειδούς είναι 3. Βρείτε την τρίτη ακμή του κυβοειδούς που εξέρχεται από την ίδια κορυφή. Απάντηση: 1, 5.
Άσκηση 3 Το εμβαδόν μιας όψης κυβοειδούς είναι 2. Η κάθετη άκρη σε αυτήν την όψη είναι 3. Βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Απάντηση: 6.
Άσκηση 4 Δύο ακμές κυβοειδούς που βγαίνουν από την ίδια κορυφή είναι ίσες με 1, 2. Η διαγώνιος του κυβοειδούς είναι 3. Να βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Απάντηση: 4.
Άσκηση 6 Πόσες φορές θα αυξηθεί ο όγκος ενός κύβου αν διπλασιαστεί η άκρη του; Απάντηση: 8 φορές.
Άσκηση 9 Δύο άκρες κυβοειδούς που βγαίνουν από την ίδια κορυφή είναι 1, 2. Η επιφάνεια του κυβοειδούς είναι 10. Βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Απάντηση: 2.
Άσκηση 10 Η άκρη του κυβοειδούς είναι 1. Η διαγώνιος είναι 3. Η επιφάνεια του κυβοειδούς είναι 16. Βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Απάντηση: 4.
Άσκηση 12 Τα εμβαδά τριών όψεων ενός κυβοειδούς είναι 1, 2, 3. Βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Ο όγκος του παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με την Απάντηση:
Άσκηση 19 Ένα κυβοειδές περιγράφεται γύρω από έναν κύλινδρο του οποίου η ακτίνα βάσης και το ύψος είναι 1. Να βρείτε τον όγκο του κυβοειδούς. Λύση: Τα άκρα του παραλληλεπίπεδου είναι 2, 2 και 1. Ο όγκος του είναι 4.
Άσκηση 20 Το παραλληλεπίπεδο περιγράφεται γύρω από μια μοναδιαία σφαίρα. Βρείτε τον όγκο του. Λύση: Οι ακμές του παραλληλεπίπεδου είναι 2. Ο όγκος του είναι 8.
Άσκηση 21 Να βρείτε τον όγκο ενός κύβου που είναι εγγεγραμμένος σε ένα μοναδιαίο οκτάεδρο. Λύση: Η άκρη του κύβου είναι ίση με Ο όγκος του κύβου είναι
Άσκηση 22 Να βρείτε τον όγκο ενός κύβου που περικλείεται σε μονάδα οκτάεδρου. Λύση: Η άκρη του κύβου είναι ίση με Ο όγκος του κύβου είναι
Άσκηση 23 Να βρείτε τον όγκο ενός κύβου που είναι εγγεγραμμένος σε ένα μοναδιαίο δωδεκάεδρο. Λύση: Η άκρη του κύβου είναι ίση με Ο όγκος του κύβου είναι
Άσκηση 24 Μπορούν τα εμβαδά όλων των όψεων του κουτιού να είναι μικρότερα από 1 και ο όγκος του κουτιού να είναι μεγαλύτερος από 100; Απάντηση: Όχι, η ένταση θα είναι μικρότερη από 1.
Άσκηση 25 Μπορεί τα εμβαδά όλων των όψεων του κουτιού να είναι μεγαλύτερα από 100 και ο όγκος του κουτιού μικρότερος από 1; Απάντηση: Ναι.
Άσκηση 27 Οι τέσσερις όψεις του κουτιού είναι ορθογώνια με πλευρές 1 και 2. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος όγκος που μπορεί να έχει αυτό το κουτί; Λύση. Το επιθυμητό παραλληλεπίπεδο είναι κυβοειδές, του οποίου οι δύο υπόλοιπες όψεις είναι τετράγωνα με πλευρά 2. Ο όγκος του είναι 4. Απάντηση: 4.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος όγκος ενός παραλληλεπίπεδου εγγεγραμμένου σε δεξιό κύλινδρο του οποίου η ακτίνα και το ύψος βάσης είναι ίσα με 1; Απάντηση: 2.