Στη γεωμετρία, οι βασικές έννοιες είναι το επίπεδο, το σημείο, η ευθεία και η γωνία. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους όρους, μπορεί να περιγραφεί οποιοδήποτε γεωμετρικό σχήμα. Τα πολύεδρα περιγράφονται συνήθως με όρους απλούστερων σχημάτων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, όπως κύκλος, τρίγωνο, τετράγωνο, ορθογώνιο κ.λπ. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τι είναι ένα παραλληλεπίπεδο, θα περιγράψουμε τους τύπους παραλληλεπίπεδων, τις ιδιότητές του, από ποια στοιχεία αποτελείται και θα δώσουμε επίσης τους βασικούς τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού και του όγκου για κάθε τύπο παραλληλεπίπεδου.
Ορισμός
Ένα παραλληλεπίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο είναι ένα πρίσμα, του οποίου όλες οι πλευρές είναι παραλληλόγραμμα. Κατά συνέπεια, μπορεί να έχει μόνο τρία ζεύγη παραλληλόγραμμων ή έξι όψεις.
Για να απεικονίσετε το κουτί, φανταστείτε ένα κανονικό τυπικό τούβλο. τούβλο - Καλό παράδειγμαορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που μπορεί να φανταστεί και ένα παιδί. Άλλα παραδείγματα είναι πολυώροφα προκατασκευασμένα σπίτια, ντουλάπια, κατάλληλα διαμορφωμένα δοχεία αποθήκευσης τροφίμων κ.λπ.
Ποικιλίες του σχήματος
Υπάρχουν μόνο δύο τύποι παραλληλεπίπεδων:
- Ορθογώνιο, του οποίου όλες οι πλευρικές όψεις έχουν γωνία 90 o ως προς τη βάση και είναι ορθογώνια.
- Κεκλιμένα, οι πλευρικές όψεις των οποίων βρίσκονται σε μια ορισμένη γωνία ως προς τη βάση.
Σε ποια στοιχεία μπορεί να χωριστεί αυτό το σχήμα;
- Όπως και σε κάθε άλλο γεωμετρικό σχήμα, σε ένα παραλληλεπίπεδο, όσες όψεις έχουν κοινή ακμή λέγονται γειτονικές και όσες δεν το έχουν παράλληλες (με βάση την ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου που έχει κατά ζεύγη παράλληλες απέναντι πλευρές).
- Οι κορυφές ενός παραλληλεπιπέδου που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη ονομάζονται αντίθετες κορυφές.
- Το τμήμα που συνδέει τέτοιες κορυφές είναι διαγώνιο.
- Τα μήκη των τριών άκρων ενός κυβοειδούς που ενώνονται σε μία κορυφή είναι οι διαστάσεις του (δηλαδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος του).
Ιδιότητες σχήματος
- Χτίζεται πάντα συμμετρικά ως προς το μέσο της διαγώνιου.
- Το σημείο τομής όλων των διαγωνίων χωρίζει κάθε διαγώνιο σε δύο ίσα τμήματα.
- Οι αντίθετες όψεις είναι ίσες σε μήκος και βρίσκονται σε παράλληλες γραμμές.
- Εάν προσθέσετε τα τετράγωνα όλων των διαστάσεων του πλαισίου, η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο του μήκους της διαγώνιας.
Τύποι υπολογισμού
Οι τύποι για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση παραλληλεπίπεδου θα είναι διαφορετικοί.
Για ένα αυθαίρετο παραλληλεπίπεδο, ισχύει ο ισχυρισμός ότι ο όγκος του είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του τριπλού βαθμωτού γινόμενου των διανυσμάτων τριών πλευρών που προέρχονται από μια κορυφή. Ωστόσο, δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός αυθαίρετου παραλληλεπίπεδου.
Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
- V=a*b*c;
- Sb=2*c*(a+b);
- Sp=2*(a*b+b*c+a*c).
- V είναι ο όγκος του σχήματος.
- Sb - πλευρική επιφάνεια.
- Sp - συνολική επιφάνεια.
- α - μήκος?
- β - πλάτος;
- γ - ύψος.
Μια άλλη ειδική περίπτωση παραλληλεπίπεδου στο οποίο όλες οι πλευρές είναι τετράγωνες είναι ένας κύβος. Εάν οποιαδήποτε από τις πλευρές του τετραγώνου συμβολίζεται με το γράμμα a, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι τύποι για την επιφάνεια και τον όγκο αυτού του σχήματος:
- S=6*a*2;
- V=3*a.
- ΜΙΚΡΟ- περιοχή σχήματος,
- V είναι ο όγκος του σχήματος,
- α - το μήκος του προσώπου του σχήματος.
Το τελευταίο είδος παραλληλεπίπεδου που εξετάζουμε είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ κυβοειδούς και κυβοειδούς, ρωτάτε. Το γεγονός είναι ότι η βάση ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου μπορεί να είναι οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο και η βάση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να είναι μόνο ένα ορθογώνιο. Αν ορίσουμε την περίμετρο της βάσης, ίση με το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών, ως Po, και προσδιορίσουμε το ύψος ως h, έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους για να υπολογίσουμε τον όγκο και τα εμβαδά του πλήρους και του πλάγιου επιφάνειες.
Σε αυτό το μάθημα, όλοι θα μπορούν να μελετήσουν το θέμα "Ορθογώνιο κουτί". Στην αρχή του μαθήματος, θα επαναλάβουμε τι είναι τα αυθαίρετα και ευθύγραμμα παραλληλεπίπεδα, υπενθυμίζουμε τις ιδιότητες των απέναντι όψεών τους και τις διαγώνιες του παραλληλεπίπεδου. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τι είναι ένα κυβοειδές και θα συζητήσουμε τις κύριες ιδιότητές του.
Θέμα: Καθετότητα ευθειών και επιπέδων
Μάθημα: Κυβοειδές
Μια επιφάνεια που αποτελείται από δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 και τέσσερα παραλληλόγραμμα ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ονομάζεται παραλληλεπίπεδο(Εικ. 1).
Ρύζι. 1 Παραλληλεπίπεδο
Δηλαδή: έχουμε δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 (βάσεις), βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε πλαϊνά πλευρά AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 είναι παράλληλα. Έτσι, μια επιφάνεια που αποτελείται από παραλληλόγραμμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο.
Έτσι, η επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα όλων των παραλληλόγραμμων που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.
1. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.
(οι αριθμοί είναι ίσοι, δηλαδή μπορούν να συνδυαστούν με επικάλυψη)
Για παράδειγμα:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (ίσα παραλληλόγραμμα εξ ορισμού),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 B 1 B και DD 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 D 1 D και BB 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου).
2. Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούν το σημείο αυτό.
Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B τέμνονται σε ένα σημείο O, και κάθε διαγώνιος διαιρείται στο μισό με αυτό το σημείο (Εικ. 2).
Ρύζι. 2 Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνουν και διχοτομούν το σημείο τομής.
3. Υπάρχουν τρία τετραπλά ίσα και παράλληλα άκρα του παραλληλεπιπέδου: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Ορισμός. Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις.
Αφήστε το πλευρικό άκρο AA 1 να είναι κάθετο στη βάση (Εικ. 3). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ΑΑ 1 είναι κάθετη στις ευθείες ΑΔ και ΑΒ, που βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης. Και, επομένως, τα ορθογώνια βρίσκονται στις πλευρικές όψεις. Και οι βάσεις είναι αυθαίρετα παραλληλόγραμμα. Σημειώστε, ∠BAD = φ, η γωνία φ μπορεί να είναι οποιαδήποτε.
Ρύζι. 3 Δεξί κουτί
Έτσι, ένα δεξιό κουτί είναι ένα κουτί στο οποίο οι πλευρικές άκρες είναι κάθετες στις βάσεις του κουτιού.
Ορισμός. Το παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ορθογώνιο,αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση. Οι βάσεις είναι ορθογώνιες.
Το παραλληλεπίπεδο АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 είναι ορθογώνιο (Εικ. 4) εάν:
1. AA 1 ⊥ ABCD (το πλευρικό άκρο είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης, δηλαδή ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο).
2. ∠BAD = 90°, δηλ. η βάση είναι ορθογώνιο.
Ρύζι. 4 Κυβοειδές
Ένα ορθογώνιο κουτί έχει όλες τις ιδιότητες ενός αυθαίρετου κουτιού.Υπάρχουν όμως πρόσθετες ιδιότητες που προέρχονται από τον ορισμό του κυβοειδούς.
Ετσι, κυβοειδέςείναι ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση. Η βάση ενός κυβοειδούς είναι ένα ορθογώνιο.
1. Σε ένα κυβοειδές, και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια.
Το ABCD και το A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνια εξ ορισμού.
2. Οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες στη βάση. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις ενός κυβοειδούς είναι ορθογώνια.
3. Όλες οι δίεδρες γωνίες ενός κυβοειδούς είναι ορθές.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη διεδρική γωνία ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με ακμή ΑΒ, δηλαδή τη διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων ABB 1 και ABC.
Το AB είναι μια ακμή, το σημείο A 1 βρίσκεται σε ένα επίπεδο - στο επίπεδο ABB 1, και το σημείο D στο άλλο - στο επίπεδο A 1 B 1 C 1 D 1. Τότε η εξεταζόμενη διεδρική γωνία μπορεί επίσης να συμβολιστεί ως εξής: ∠А 1 АВD.
Πάρτε το σημείο Α στην άκρη ΑΒ. Το AA 1 είναι κάθετο στο άκρο AB στο επίπεδο ABB-1, το AD είναι κάθετο στο άκρο AB στο επίπεδο ABC. Έτσι, ∠A 1 μ.Χ. γραμμική γωνίαδεδομένη διεδρική γωνία. ∠A 1 AD \u003d 90 °, που σημαίνει ότι η διεδρική γωνία στο άκρο AB είναι 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι οποιεσδήποτε δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.
Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός κυβοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του.
Σημείωση. Τα μήκη των τριών άκρων που προέρχονται από την ίδια κορυφή του κυβοειδούς είναι οι μετρήσεις του κυβοειδούς. Μερικές φορές ονομάζονται μήκος, πλάτος, ύψος.
Δίνεται: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Εικ. 5).
Απόδειξη: .
Ρύζι. 5 Κυβοειδές
Απόδειξη:
Η ευθεία CC 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ABC και ως εκ τούτου στην ευθεία AC. Άρα το τρίγωνο CC 1 A είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Σκεφτείτε ορθογώνιο τρίγωνοΑΛΦΑΒΗΤΟ. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Αλλά π.Χ. και μ.Χ. είναι οι αντίθετες πλευρές του ορθογωνίου. Άρα π.Χ. = μ.Χ. Επειτα:
Επειδή , ένα , έπειτα. Αφού CC 1 = AA 1, τότε τι έπρεπε να αποδειχθεί.
Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.
Ας ορίσουμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου ABC ως a, b, c (βλ. Εικ. 6), μετά AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Στόχοι μαθήματος:
1. Εκπαιδευτικά:
Εισάγετε την έννοια του παραλληλεπίπεδου και τους τύπους του.
- να διατυπώσει (χρησιμοποιώντας την αναλογία με ένα παραλληλόγραμμο και ένα ορθογώνιο) και να αποδείξει τις ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου και ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου.
- επαναλάβετε ερωτήσεις που σχετίζονται με την παραλληλία και την καθετότητα στο χώρο.
2. Ανάπτυξη:
Συνεχίστε να αναπτύσσετε σε μαθητές όπως γνωστικές διαδικασίεςως αντίληψη, κατανόηση, σκέψη, προσοχή, μνήμη.
- να προωθήσει την ανάπτυξη στοιχείων στους μαθητές δημιουργική δραστηριότηταως ιδιότητες της σκέψης (διαίσθηση, χωρική σκέψη).
- να διαμορφώσει στους μαθητές την ικανότητα εξαγωγής συμπερασμάτων, συμπεριλαμβανομένης της αναλογίας, η οποία βοηθά στην κατανόηση των ενδοθεματικών συνδέσεων στη γεωμετρία.
3. Εκπαιδευτικά:
Συμβολή στην εκπαίδευση της οργάνωσης, στη συνήθεια της συστηματικής εργασίας.
- να προωθήσει τη διαμόρφωση αισθητικών δεξιοτήτων στην προετοιμασία δίσκων, την εκτέλεση σχεδίων.
Είδος μαθήματος: νέο υλικό μαθήματος (2 ώρες).
Δομή μαθήματος:
1. Οργανωτική στιγμή.
2. Πραγματοποίηση της γνώσης.
3. Εκμάθηση νέου υλικού.
4. Σύνοψη και ρύθμιση της εργασίας.
Εξοπλισμός: αφίσες (διαφάνειες) με στοιχεία, μακέτες διαφόρων γεωμετρικών σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων όλων των τύπων παραλληλεπίπεδων, προβολέας γραφημάτων.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
1. Οργανωτική στιγμή.
2. Πραγματοποίηση της γνώσης.
Αναφορά του θέματος του μαθήματος, διατύπωση στόχων και στόχων μαζί με τους μαθητές, επίδειξη της πρακτικής σημασίας της μελέτης του θέματος, επανάληψη θεμάτων που έχουν μελετηθεί προηγουμένως σχετικά με αυτό το θέμα.
3. Εκμάθηση νέου υλικού.
3.1. Παραλληλεπίπεδο και οι τύποι του.
Τα μοντέλα παραλληλεπίπεδων επιδεικνύονται με τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τους που βοηθούν στη διατύπωση του ορισμού ενός παραλληλεπίπεδου χρησιμοποιώντας την έννοια του πρίσματος.
Ορισμός:
ΠαραλληλεπίπεδοΈνα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται.
Σχεδιάζεται ένα παραλληλεπίπεδο (Εικόνα 1), τα στοιχεία του παραλληλεπίπεδου παρατίθενται ως ειδική περίπτωση πρίσματος. Εμφανίζεται η διαφάνεια 1.
Σχηματική σημειογραφία του ορισμού:
Τα συμπεράσματα εξάγονται από τον ορισμό:
1) Αν το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι πρίσμα και το ABCD είναι παραλληλόγραμμο, τότε το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι παραλληλεπίπεδο.
2) Εάν ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - παραλληλεπίπεδο, τότε το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ένα πρίσμα και το ABCD είναι ένα παραλληλόγραμμο.
3) Εάν το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 δεν είναι πρίσμα ή το ABCD δεν είναι παραλληλόγραμμο, τότε
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - όχι παραλληλεπίπεδο.
τέσσερα). Εάν το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 δεν είναι παραλληλεπίπεδο, τότε το ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 δεν είναι πρίσμα ή το ABCD δεν είναι παραλληλόγραμμο.
Περαιτέρω, εξετάζονται ειδικές περιπτώσεις παραλληλεπίπεδου με την κατασκευή ενός σχήματος ταξινόμησης (βλ. Εικ. 3), παρουσιάζονται μοντέλα και διακρίνονται οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός ευθύγραμμου και ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, διατυπώνονται οι ορισμοί τους.
Ορισμός:
Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση.
Ορισμός:
Το παραλληλεπίπεδο λέγεται ορθογώνιος, αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση και η βάση είναι ορθογώνιο (βλ. Εικόνα 2).
Αφού γραφτούν οι ορισμοί σε σχηματική μορφή, διατυπώνονται τα συμπεράσματα από αυτούς.
3.2. Ιδιότητες παραλληλεπίπεδων.
Αναζήτηση επιπεδομετρικών σχημάτων, τα χωρικά ανάλογα των οποίων είναι ένα παραλληλεπίπεδο και ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (παραλληλόγραμμο και παραλληλόγραμμο). Στην περίπτωση αυτή, έχουμε να κάνουμε με την οπτική ομοιότητα των μορφών. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα συμπερασμάτων κατ' αναλογία, οι πίνακες συμπληρώνονται.
Κανόνας συμπερασμάτων κατ' αναλογία:
1. Επιλέξτε ανάμεσα σε προηγουμένως μελετημένα φιγούρες σχήμαπαρόμοιο με αυτό.
2. Διατυπώστε μια ιδιότητα του επιλεγμένου σχήματος.
3. Διατυπώστε μια παρόμοια ιδιότητα του αρχικού σχήματος.
4. Να αποδείξετε ή να αντικρούσετε τη διατυπωμένη δήλωση.
Μετά τη διαμόρφωση των ιδιοτήτων, η απόδειξη καθεμιάς από αυτές πραγματοποιείται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:
- συζήτηση του σχεδίου απόδειξης·
- επίδειξη διαφανειών απόδειξης (διαφάνειες 2-6).
- καταχώρηση τεκμηρίων σε τετράδια από μαθητές.
3.3 Ο κύβος και οι ιδιότητές του.
Ορισμός: Ένας κύβος είναι ένα κυβοειδές με και τις τρεις διαστάσεις ίσες.
Κατ' αναλογία με ένα παραλληλεπίπεδο, οι μαθητές κάνουν ανεξάρτητα μια σχηματική καταγραφή του ορισμού, αντλούν συνέπειες από αυτόν και διατυπώνουν τις ιδιότητες του κύβου.
4. Σύνοψη και ρύθμιση της εργασίας.
Εργασία για το σπίτι:
- Χρησιμοποιώντας το περίγραμμα του μαθήματος, σύμφωνα με το εγχειρίδιο γεωμετρίας για τις τάξεις 10-11, Λ.Σ. Atanasyan και άλλοι, μελέτη κεφ.1, §4, σ.13, κεφ.2, §3, σ.24.
- Να αποδείξετε ή να καταρρίψετε την ιδιότητα του παραλληλεπίπεδου, στοιχείο 2 του πίνακα.
- Απάντησε σε ερωτήσεις ασφαλείας.
Ερωτήσεις τεστ.
1. Είναι γνωστό ότι μόνο δύο πλευρικές όψεις ενός παραλληλεπιπέδου είναι κάθετες στη βάση. Τι τύπος παραλληλεπίπεδου;
2. Πόσες πλευρικές όψεις ορθογώνιου σχήματος μπορεί να έχει ένα παραλληλεπίπεδο;
3. Είναι δυνατόν να έχουμε παραλληλεπίπεδο με μία μόνο πλευρική όψη:
1) κάθετα στη βάση.
2) έχει σχήμα ορθογωνίου.
4. Σε ορθό παραλληλεπίπεδο όλες οι διαγώνιοι είναι ίσες. Είναι ορθογώνιο;
5. Είναι αλήθεια ότι σε ορθό παραλληλεπίπεδο τα διαγώνια τμήματα είναι κάθετα στα επίπεδα της βάσης;
6. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα αντίστροφο προς το θεώρημα στο τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου.
7. Ποια πρόσθετα χαρακτηριστικά διακρίνουν έναν κύβο από έναν κυβοειδή;
8. Θα είναι ένας κύβος ένα παραλληλεπίπεδο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες σε μία από τις κορυφές;
9. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα στο τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου για την περίπτωση ενός κύβου.
Παραλληλόγραμμο σημαίνει επίπεδο στα ελληνικά. Παραλληλεπίπεδο είναι ένα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο. Υπάρχουν πέντε τύποι παραλληλογραμμών: πλάγιο, ευθύ και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Ο κύβος και το ρομβοέδρο ανήκουν επίσης στο παραλληλεπίπεδο και αποτελούν την ποικιλία του.
Πριν προχωρήσουμε στις βασικές έννοιες, ας δώσουμε ορισμένους ορισμούς:
- Η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ένα τμήμα που ενώνει τις κορυφές του παραλληλεπίπεδου που είναι απέναντι.
- Αν δύο όψεις έχουν κοινή ακμή, τότε μπορούμε να τις ονομάσουμε γειτονικές ακμές. Εάν δεν υπάρχει κοινή άκρη, τότε οι όψεις ονομάζονται απέναντι.
- Δύο κορυφές που δεν βρίσκονται στο ίδιο πρόσωπο ονομάζονται αντίθετες.
Ποιες είναι οι ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου;
- Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου που βρίσκεται σε αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες μεταξύ τους και ίσες μεταξύ τους.
- Εάν σχεδιάσετε διαγώνιες από τη μια κορυφή στην άλλη, τότε το σημείο τομής αυτών των διαγωνίων θα τις χωρίσει στη μέση.
- Οι πλευρές ενός παραλληλεπίπεδου που βρίσκεται στην ίδια γωνία με τη βάση θα είναι ίσες. Με άλλα λόγια, οι γωνίες των πλευρών συνκατεύθυνσης θα είναι ίσες μεταξύ τους.
Ποιοι είναι οι τύποι παραλληλεπίπεδων;
Τώρα ας καταλάβουμε τι είναι τα παραλληλεπίπεδα. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, υπάρχουν διάφοροι τύποι αυτού του σχήματος: ένα ίσιο, ορθογώνιο, λοξό παραλληλεπίπεδο, καθώς και ένας κύβος και ένα ρομβοέδρο. Σε τι διαφέρουν μεταξύ τους; Είναι όλα σχετικά με τα επίπεδα που τα σχηματίζουν και τις γωνίες που σχηματίζουν.
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε έναν από τους αναφερόμενους τύπους παραλληλεπίπεδων.
- Όπως υποδηλώνει το όνομα, ένα κεκλιμένο κουτί έχει κεκλιμένες όψεις, δηλαδή, εκείνες τις όψεις που δεν βρίσκονται σε γωνία 90 μοιρών σε σχέση με τη βάση.
- Αλλά για ένα ορθό παραλληλεπίπεδο, η γωνία μεταξύ της βάσης και του προσώπου είναι μόλις ενενήντα μοίρες. Αυτός είναι ο λόγος που αυτός ο τύπος παραλληλεπίπεδου έχει ένα τέτοιο όνομα.
- Εάν όλες οι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι τα ίδια τετράγωνα, τότε αυτό το σχήμα μπορεί να θεωρηθεί κύβος.
- Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο πήρε το όνομά του λόγω των επιπέδων που το σχηματίζουν. Αν είναι όλα ορθογώνια (συμπεριλαμβανομένης της βάσης), τότε είναι κυβοειδές. Αυτός ο τύπος παραλληλεπίπεδου δεν είναι τόσο συνηθισμένος. Στα ελληνικά ρομβοέδρο σημαίνει πρόσωπο ή βάση. Αυτό είναι το όνομα μιας τρισδιάστατης φιγούρας, στην οποία τα πρόσωπα είναι ρόμβοι.
Βασικοί τύποι για παραλληλεπίπεδο
Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του κάθετου στη βάση.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας θα είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους.
Γνωρίζοντας τους βασικούς ορισμούς και τύπους, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή βάσης και τον όγκο. Μπορείτε να επιλέξετε τη βάση της επιλογής σας. Ωστόσο, κατά κανόνα, ένα ορθογώνιο χρησιμοποιείται ως βάση.