Κεφάλαιο IV. Γραμμές και επίπεδα στο διάστημα. Πολύεδρα
§ 55. Περιοχή προβολής πολυγώνου.
Θυμηθείτε ότι η γωνία μεταξύ μιας γραμμής και ενός επιπέδου είναι η γωνία μεταξύ μιας δεδομένης γραμμής και της προβολής της στο επίπεδο (Εικ. 164).
Θεώρημα. Το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής του πολυγώνου στο επίπεδο είναι ίσο με το εμβαδόν του προβαλλόμενου πολυγώνου πολλαπλασιαζόμενο με το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από το επίπεδο του πολυγώνου και το επίπεδο προβολής.
Κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων είναι ίσο με το εμβαδόν του πολυγώνου. Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα για ένα τρίγωνο.
Αφήνω /\
Το ABC προβάλλεται σε ένα επίπεδο R. Εξετάστε δύο περιπτώσεις:
α) ένα από τα μέρη /\
Το ABC είναι παράλληλο στο επίπεδο R;
β) κανένα από τα μέρη /\
Το ABC δεν είναι παράλληλο R.
Σκεφτείτε πρώτη περίπτωση: έστω [AB] || R.
Σχεδιάστε το επίπεδο (AB). R 1 || Rκαι προβάλλετε ορθογώνια /\
ABC ενεργό R 1 και μετά R(Εικ. 165); παίρνουμε /\
ABC 1 και /\
Α"Β"Σ".
Με την ιδιότητα προβολής, έχουμε /\
ABC 1 /\
Α"Β"Γ", και ως εκ τούτου
μικρό /\ ABC1=S /\ ΑΛΦΑΒΗΤΟ"
Ας σχεδιάσουμε _|_ και το τμήμα D 1 C 1 . Τότε _|_ , a = φ είναι η γωνία μεταξύ του επιπέδου /\ ABC και αεροπλάνο R 1 . Να γιατί
μικρό /\ ABC1 = 1 / 2 | ΑΒ | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | ΑΒ | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
και ως εκ τούτου S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση δεύτερη περίπτωση. Σχεδιάστε ένα αεροπλάνο R 1 || Rπάνω από εκείνη την κορυφή /\
ABC, η απόσταση από την οποία στο αεροπλάνο Rτο μικρότερο (ας είναι κορυφή Α).
Θα σχεδιάσουμε /\
ABC σε ένα αεροπλάνο R 1 και R(Εικ. 166); ας είναι οι προβολές του αντίστοιχα /\
AB 1 C 1 και /\
Α"Β"Σ".
Αφήστε (ήλιο) Π 1 = Δ. Τότε
μικρό /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Εργο.Ένα επίπεδο σύρεται από την πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος σε γωνία φ = 30° ως προς το επίπεδο της βάσης του. Βρείτε την περιοχή του προκύπτοντος τμήματος αν είναι η πλευρά της βάσης του πρίσματος ΕΝΑ= 6 cm.
Ας απεικονίσουμε την τομή αυτού του πρίσματος (Εικ. 167). Αφού το πρίσμα είναι σωστό, τότε είναι πλαϊνά πλευράκάθετο στο επίπεδο βάσης. Που σημαίνει, /\ Το ABC είναι μια προβολή /\ ADC, λοιπόν
Θυμηθείτε ότι η γωνία μεταξύ μιας γραμμής και ενός επιπέδου είναι η γωνία μεταξύ μιας δεδομένης γραμμής και της προβολής της στο επίπεδο (Εικ. 164).
Θεώρημα. Το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής του πολυγώνου στο επίπεδο είναι ίσο με το εμβαδόν του προβαλλόμενου πολυγώνου πολλαπλασιαζόμενο με το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από το επίπεδο του πολυγώνου και το επίπεδο προβολής.
Κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων είναι ίσο με το εμβαδόν του πολυγώνου. Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα για ένα τρίγωνο.
Αφήστε το \(\Delta\)ABC να προβληθεί στο επίπεδο R. Εξετάστε δύο περιπτώσεις:
α) μία από τις πλευρές \(\Δέλτα\)ABC είναι παράλληλη στο επίπεδο R;
β) καμία από τις πλευρές \(\Delta\)ABC δεν είναι παράλληλη R.
Σκεφτείτε πρώτη περίπτωση: έστω [AB] || R.
Σχεδιάστε το επίπεδο (AB). R 1 || Rκαι προβάλλετε ορθογώνια στο \(\Delta\)ABC R 1 και μετά R(Εικ. 165); παίρνουμε \(\Delta\)ABC 1 και \(\Delta\)ABC.
Με την ιδιότητα προβολής, έχουμε \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC, και επομένως
S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC
Ας σχεδιάσουμε το ⊥ και το τμήμα D 1 C 1 . Τότε ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ είναι η γωνία μεταξύ του επιπέδου \(\Δέλτα\) ABC και του επιπέδου R 1 . Να γιατί
S \(\Δέλτα\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |AB| | CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
και επομένως S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση δεύτερη περίπτωση. Σχεδιάστε ένα αεροπλάνο R 1 || Rμέσω αυτής της κορυφής \(\Δέλτα\)ABC, η απόσταση από την οποία στο επίπεδο Rτο μικρότερο (ας είναι κορυφή Α).
Ας σχεδιάσουμε το \(\Delta\)ABC στο επίπεδο R 1 και R(Εικ. 166); έστω \(\Delta\)AB 1 C 1 και \(\Delta\)ABC αντίστοιχα οι προβολές του.
Έστω (BC) \(\cap \) Π 1 = Δ. Τότε
S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
Εργο.Ένα επίπεδο σύρεται από την πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος σε γωνία φ = 30° ως προς το επίπεδο της βάσης του. Βρείτε την περιοχή του προκύπτοντος τμήματος αν είναι η πλευρά της βάσης του πρίσματος ΕΝΑ= 6 cm.
Ας απεικονίσουμε την τομή αυτού του πρίσματος (Εικ. 167). Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στο επίπεδο της βάσης. Επομένως, \(\Delta\)ABC είναι η προβολή του \(\Delta\)ADC, άρα
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
ή
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$
Λεπτομερής απόδειξη του θεωρήματος της ορθογώνιας προβολής του πολυγώνου
Εάν - προβολή ενός διαμερίσματος n -Gon σε ένα επίπεδο, λοιπόν, πού είναι η γωνία μεταξύ των επιπέδων των πολυγώνων και. Με άλλα λόγια, η περιοχή προβολής ενός επίπεδου πολυγώνου είναι ίση με το γινόμενο του εμβαδού του προβαλλόμενου πολυγώνου και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του επιπέδου προβολής και του επιπέδου του προβαλλόμενου πολυγώνου.
Απόδειξη. Εγώ στάδιο. Ας κάνουμε πρώτα την απόδειξη για το τρίγωνο. Ας εξετάσουμε 5 περιπτώσεις.
1 περίπτωση. βρίσκονται στο επίπεδο προβολής .
Έστω οι προβολές των σημείων στο επίπεδο, αντίστοιχα. Στην περίπτωσή μας. Ας υποθέσουμε ότι. Έστω - ύψος, τότε με το θεώρημα τριών καθέτων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι - ύψος (- η προβολή του κεκλιμένου, - η βάση του και η ευθεία διέρχεται από τη βάση του κεκλιμένου, επιπλέον).
Σκεφτείτε. Είναι ορθογώνιο. Εξ ορισμού του συνημίτονου:
Από την άλλη πλευρά, δεδομένου ότι και, στη συνέχεια, εξ ορισμού, είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας που σχηματίζεται από τα ημιεπίπεδα των επιπέδων και με την οριακή γραμμή, και, επομένως, το μέτρο της είναι επίσης το μέτρο της γωνίας μεταξύ τα επίπεδα προβολής του τριγώνου και το ίδιο το τρίγωνο, δηλαδή.
Βρείτε την αναλογία του εμβαδού προς:
Σημειώστε ότι ο τύπος παραμένει αληθής ακόμα και όταν . Σε αυτήν την περίπτωση
2η περίπτωση. Βρίσκεται μόνο στο επίπεδο προβολής και είναι παράλληλο με το επίπεδο προβολής .
Έστω οι προβολές των σημείων στο επίπεδο, αντίστοιχα. Στην περίπτωσή μας.
Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από το σημείο. Στην περίπτωσή μας, η ευθεία τέμνει το επίπεδο προβολής, που σημαίνει, με το λήμμα, η ευθεία τέμνει επίσης το επίπεδο προβολής. Έστω σε σημείο Αφού, τότε τα σημεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, και εφόσον είναι παράλληλο με το επίπεδο προβολής, προκύπτει από το πρόσημο της παραλληλίας της ευθείας και του επιπέδου που. Επομένως, είναι ένα παραλληλόγραμμο. Σκεφτείτε και. Είναι ίσες σε τρεις πλευρές (- κοινές, όπως οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου). Σημειώστε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο και είναι ίσο (κατά μήκος του σκέλους και της υποτείνουσας), επομένως, είναι ίσο σε τρεις πλευρές. Να γιατί.
Για 1 περίπτωση ισχύει:, δηλ.
3η περίπτωση. Βρίσκεται μόνο στο επίπεδο προβολής και δεν είναι παράλληλο με το επίπεδο προβολής .
Έστω το σημείο το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο προβολής. Ας σημειώσουμε ότι i. Σε 1 περίπτωση: i. Έτσι το καταλαβαίνουμε
4 περίπτωση. Οι κορυφές δεν βρίσκονται στο επίπεδο προβολής . Εξετάστε τις κάθετες. Πάρτε τη μικρότερη από αυτές τις καθέτους. Αφήστε το να είναι κάθετο. Μπορεί να αποδειχθεί ότι είτε μόνο, είτε μόνο. Τότε το παίρνουμε ακόμα.
Ας αφήσουμε στην άκρη ένα σημείο από ένα σημείο σε ένα τμήμα, έτσι ώστε και από ένα σημείο σε ένα τμήμα, ένα σημείο, έτσι ώστε. Μια τέτοια κατασκευή είναι δυνατή, αφού - η μικρότερη από τις κάθετες. Σημειώστε ότι είναι μια προβολή και, κατά κατασκευή. Ας το αποδείξουμε και είμαστε ίσοι.
Ας εξετάσουμε ένα τετράπλευρο. Κατά συνθήκη - κάθετες σε ένα επίπεδο, επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα, επομένως. Δεδομένου ότι από την κατασκευή, λοιπόν, με βάση ένα παραλληλόγραμμο (σε παράλληλες και ίσες απέναντι πλευρές), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι - ένα παραλληλόγραμμο. Που σημαίνει, . Ομοίως αποδεικνύεται ότι, . Ως εκ τούτου, και είναι ίσοι σε τρεις πλευρές. Να γιατί. Σημειώστε ότι και, ως αντίθετες πλευρές παραλληλογραμμών, επομένως, με βάση τον παραλληλισμό των επιπέδων, . Δεδομένου ότι αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλα, σχηματίζουν την ίδια γωνία με το επίπεδο προβολής.
Για τις προηγούμενες περιπτώσεις ισχύουν:
5 περίπτωση. Το επίπεδο προβολής τέμνει τις πλευρές . Ας δούμε τις ευθείες γραμμές. Είναι κάθετοι στο επίπεδο προβολής, άρα από το θεώρημα είναι παράλληλοι. Σε συνκατευθυνόμενες ακτίνες με απαρχές σε σημεία, παραμερίζουμε αντίστοιχα ίσα τμήματα, έτσι ώστε οι κορυφές να βρίσκονται εκτός του επιπέδου προβολής. Σημειώστε ότι είναι μια προβολή και, κατά κατασκευή. Ας δείξουμε ότι είναι ίσο.
Από και, από κατασκευή, τότε. Επομένως, με βάση ένα παραλληλόγραμμο (σε δύο ίσες και παράλληλες πλευρές), - ένα παραλληλόγραμμο. Μπορεί να αποδειχθεί ομοίως ότι και είναι παραλληλόγραμμα. Αλλά τότε, και (ως απέναντι πλευρές), επομένως, είναι ίσο σε τρεις πλευρές. Που σημαίνει, .
Επιπλέον, και, επομένως, με βάση τον παραλληλισμό των επιπέδων. Δεδομένου ότι αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλα, σχηματίζουν την ίδια γωνία με το επίπεδο προβολής.
Για την ισχύουσα περίπτωση 4:.
II στάδιο. Ας χωρίσουμε ένα επίπεδο πολύγωνο σε τρίγωνα χρησιμοποιώντας διαγώνιες που προέρχονται από την κορυφή: Στη συνέχεια, σύμφωνα με τις προηγούμενες περιπτώσεις για τρίγωνα: .
Q.E.D.
Σκεφτείτε το αεροπλάνο Π και η ευθεία που το τέμνει . Αφήνω ΕΝΑ είναι ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο. Σχεδιάστε μια γραμμή μέσα από αυτό το σημείο , παράλληλα με τη γραμμή . Αφήνω . Τελεία ονομάζεται σημειακή προβολή ΕΝΑστο αεροπλάνο Πσε παράλληλη σχεδίαση κατά μήκος μιας δεδομένης γραμμής . Επίπεδο Π , πάνω στα οποία προβάλλονται τα σημεία του χώρου ονομάζεται επίπεδο προβολής.
p - επίπεδο προβολής.
- άμεσος σχεδιασμός ;
; ; ;
Ορθογώνιος σχεδιασμόςαποτελεί ειδική περίπτωση παράλληλου σχεδιασμού. Η ορθογώνια προβολή είναι μια παράλληλη προβολή στην οποία η γραμμή προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής. Η ορθογώνια προβολή χρησιμοποιείται ευρέως στο τεχνικό σχέδιο, όπου μια εικόνα προβάλλεται σε τρία επίπεδα - οριζόντια και δύο κάθετα.
Ορισμός:
Ορθογραφική προβολή σημείου Μστο αεροπλάνο Πονομάζεται η βάση Μ 1κάθετος ΜΜ 1, χαμηλωμένο από το σημείο Μστο αεροπλάνο Π.
Ονομασία: , 
, .
Ορισμός: Ορθογραφική προβολή του σχήματος φάστο αεροπλάνο Πείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που είναι ορθογώνιες προβολές του συνόλου των σημείων του σχήματος φάστο αεροπλάνο Π.
Ο ορθογώνιος σχεδιασμός, ως ειδική περίπτωση παράλληλου σχεδιασμού, έχει τις ίδιες ιδιότητες:
p - επίπεδο προβολής.
- άμεσος σχεδιασμός ;
1) ;
2) , .
- Οι προβολές των παράλληλων ευθειών είναι παράλληλες.
ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΦΙΓΟΥΡΑΣ
Θεώρημα: Το εμβαδόν της προβολής ενός επίπεδου πολυγώνου σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο είναι ίσο με το εμβαδόν του προβαλλόμενου πολυγώνου πολλαπλασιαζόμενο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου του πολυγώνου και του επιπέδου προβολής.
Στάδιο 1: Το προβαλλόμενο σχήμα είναι ένα τρίγωνο ABC, η πλευρά του οποίου AC βρίσκεται στο επίπεδο προβολής a (παράλληλο με το επίπεδο προβολής a).
Δεδομένος:
Αποδεικνύω:
Απόδειξη:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Σύμφωνα με το θεώρημα των τριών καθέτων.
ВD - ύψος; Σε 1 D - ύψος?
5. - γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας.
6. ; ; ; 
;
Στάδιο 2: Το προβαλλόμενο σχήμα είναι ένα τρίγωνο ABC, του οποίου καμία πλευρά δεν βρίσκεται στο επίπεδο προβολής a και δεν είναι παράλληλη με αυτό.
Δεδομένος:
Αποδεικνύω:
Απόδειξη:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Στάδιο 1);
5. ; ; ;
(Στάδιο 1);
Στάδιο: Το σχεδιασμένο σχήμα είναι ένα αυθαίρετο πολύγωνο.
Απόδειξη:
Το πολύγωνο διαιρείται με διαγώνιους που σχεδιάζονται από μια κορυφή σε έναν πεπερασμένο αριθμό τριγώνων, για καθένα από τα οποία το θεώρημα είναι αληθές. Επομένως, το θεώρημα θα ισχύει και για το άθροισμα των εμβαδών όλων των τριγώνων των οποίων τα επίπεδα σχηματίζουν την ίδια γωνία με το επίπεδο προβολής.
Σχόλιο: Το αποδεδειγμένο θεώρημα ισχύει για κάθε επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από κλειστή καμπύλη.
Γυμνάσια:
1. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου το επίπεδο είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο προβολής υπό γωνία, εάν η προβολή του είναι κανονικό τρίγωνο με πλευρά α.
2. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου το επίπεδο είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο προβολής υπό γωνία, εάν η προβολή του είναι ισοσκελές τρίγωνο με πλευρά 10 cm και βάση 12 cm.
3. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου το επίπεδο είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο προβολής υπό γωνία, εάν η προβολή του είναι τρίγωνο με πλευρές 9, 10 και 17 cm.
4. Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς, το επίπεδο του οποίου είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο προβολής υπό γωνία, εάν η προβολή του είναι ισοσκελές τραπέζιο, του οποίου η μεγαλύτερη βάση είναι 44 cm, η πλευρά είναι 17 cm και η διαγώνιος είναι 39 εκ.
5. Υπολογίστε την περιοχή προβολής ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρά 8 cm, το επίπεδο του οποίου είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο προβολής υπό γωνία.
6. Ένας ρόμβος με πλευρά 12 cm και οξεία γωνία σχηματίζει γωνία με δεδομένο επίπεδο. Υπολογίστε το εμβαδόν της προβολής του ρόμβου σε αυτό το επίπεδο.
7. Ένας ρόμβος με πλευρά 20 cm και διαγώνιο 32 cm σχηματίζει γωνία με ένα δεδομένο επίπεδο. Υπολογίστε το εμβαδόν της προβολής του ρόμβου σε αυτό το επίπεδο.
8. Η προβολή του θόλου σε οριζόντιο επίπεδο είναι ορθογώνιο με πλευρές και . Βρείτε την περιοχή της προεξοχής εάν οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ορθογώνιακλίση προς το οριζόντιο επίπεδο υπό γωνία και το μεσαίο τμήμα του θόλου είναι ένα τετράγωνο παράλληλο προς το επίπεδο προβολής.
11. Ασκήσεις με θέμα «Γραμμές και επίπεδα στο διάστημα»:
Οι πλευρές του τριγώνου είναι 20 εκ., 65 εκ., 75 εκ. Από την κορυφή της μεγαλύτερης γωνίας του τριγώνου προς το επίπεδό του τραβιέται μια κάθετη ίση με 60 εκ. Βρείτε την απόσταση από τα άκρα της κάθετης προς τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου.
2. Από ένα σημείο που χωρίζεται από το επίπεδο σε απόσταση cm, σχεδιάζονται δύο κεκλιμένα, σχηματίζοντας γωνίες με το επίπεδο ίσο με , και μεταξύ τους - ορθή γωνία. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων τομής του κεκλιμένου επιπέδου.
3. Η πλευρά ενός κανονικού τριγώνου είναι 12 εκ. Το σημείο Μ επιλέγεται έτσι ώστε τα τμήματα που συνδέουν το σημείο Μ με όλες τις κορυφές του τριγώνου να σχηματίζουν γωνίες με το επίπεδό του. Βρείτε την απόσταση από το σημείο Μ έως τις κορυφές και τις πλευρές του τριγώνου.
4. Ένα επίπεδο σχεδιάζεται από την πλευρά του τετραγώνου υπό γωνία ως προς τη διαγώνιο του τετραγώνου. Βρείτε τις γωνίες στις οποίες δύο πλευρές του τετραγώνου είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο.
5. Ισοσκελές πόδι ορθογώνιο τρίγωνοκλίση προς το επίπεδο a που διέρχεται από την υποτείνουσα υπό γωνία . Να αποδείξετε ότι η γωνία μεταξύ του επιπέδου α και του επιπέδου του τριγώνου είναι .
6. Η διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων των τριγώνων ABC και DBC είναι . Βρείτε AD αν AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Ερωτήσεις ελέγχου με θέμα "Γραμμές και επίπεδα στο διάστημα"
1. Να αναφέρετε τις βασικές έννοιες της στερεομετρίας. Να διατυπώσετε τα αξιώματα της στερεομετρίας.
2. Να αποδείξετε τις συνέπειες των αξιωμάτων.
3. Τι είναι αμοιβαία διευθέτησηδύο γραμμές στο διάστημα; Ορίστε τεμνόμενες, παράλληλες, τεμνόμενες ευθείες.
4. Να αποδείξετε το κριτήριο για τεμνόμενες ευθείες.
5. Ποια είναι η σχετική θέση της ευθείας και του επιπέδου; Δώστε ορισμούς τεμνόμενων, παράλληλων ευθειών και επιπέδων.
6. Να αποδείξετε το πρόσημο της παραλληλίας ευθείας και επιπέδου.
7. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο επιπέδων;
8. Ορίστε παράλληλα επίπεδα. Να αποδείξετε ένα κριτήριο για τον παραλληλισμό δύο επιπέδων. Να διατυπώσετε θεωρήματα για παράλληλα επίπεδα.
9. Καθορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών.
10. Να αποδείξετε το πρόσημο της καθετότητας μιας ευθείας και ενός επιπέδου.
11. Δώστε ορισμούς της βάσης της κάθετης, της βάσης της πλάγιας, της προβολής της πλάγιας σε επίπεδο. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες της κάθετης και της πλάγιας, χαμηλωμένη στο επίπεδο από ένα σημείο.
12. Καθορίστε τη γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου.
13. Να αποδείξετε το θεώρημα σε τρεις καθέτους.
14. Δώστε ορισμούς για διεδρική γωνία, γραμμική γωνία διεδρικής γωνίας.
15. Να αποδείξετε το πρόσημο της καθετότητας δύο επιπέδων.
16. Καθορίστε την απόσταση μεταξύ δύο διαφορετικών σημείων.
17. Καθορίστε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία.
18. Καθορίστε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.
19. Ορίστε την απόσταση μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου παράλληλου προς αυτήν.
20. Ορίστε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων.
21. Καθορίστε την απόσταση μεταξύ λοξών γραμμών.
22. Ορίστε την ορθογώνια προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.
23. Να ορίσετε την ορθογώνια προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο.
24. Διατυπώστε τις ιδιότητες των προβολών σε ένα επίπεδο.
25. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ένα θεώρημα για την περιοχή προβολής ενός επίπεδου πολυγώνου.
ΣΕ Πρόσφαταστην εργασία Γ2 υπάρχουν προβλήματα στα οποία είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα τμήμα ενός πολυέδρου από ένα επίπεδο και να βρεθεί το εμβαδόν του. Μια τέτοια εργασία προτείνεται στην έκδοση επίδειξης. Συχνά είναι βολικό να βρείτε το εμβαδόν μιας τομής μέσα από την περιοχή της ορθογώνιας προβολής της. Η παρουσίαση παρέχει μια φόρμουλα για μια τέτοια λύση και λεπτομερής ανάλυσηεργασία, η οποία συνοδεύεται από μια σειρά σχεδίων.
Κατεβάστε:
Προεπισκόπηση:
Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό για τον εαυτό σας ( λογαριασμός) Google και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση - 2014 στα μαθηματικά. Εύρεση του εμβαδού της διατομής μέσω του εμβαδού της ορθογώνιας προβολής του. Εργασία Γ2 Καθηγητής μαθηματικών MBOU δευτεροβάθμια εκπαίδευση Νο 143 του Krasnoyarsk Knyazkina T.V.
Εξετάστε τη λύση ενός τέτοιου προβλήματος: κυβοειδές, . Το τμήμα του παραλληλεπίπεδου διέρχεται από τα σημεία Β και Δ και σχηματίζει γωνία με το επίπεδο ΑΒΓ. Βρείτε την περιοχή τομής. Συχνά είναι βολικό να βρείτε το εμβαδόν μιας τομής μέσα από την περιοχή της ορθογώνιας προβολής της. Η εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου ως προς το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής του φαίνεται εύκολα από το παρακάτω σχήμα:
Το CH είναι το ύψος του τριγώνου ABC , το C 'H είναι το ύψος του τριγώνου ABC " , το οποίο είναι μια ορθογώνια προβολή του τριγώνου ABC . Από ένα ορθογώνιο τρίγωνο CHC " : Το εμβαδόν του τριγώνου ABC " είναι το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ABC διαιρούμενο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επιπέδων του τριγώνου ABC και του τριγώνου ABC», που είναι η ορθογώνια προβολή του τριγώνου ABC.
Δεδομένου ότι το εμβαδόν οποιουδήποτε πολυγώνου μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων, το εμβαδόν ενός πολυγώνου ισούται με το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής του σε ένα επίπεδο διαιρούμενο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του επίπεδα του πολυγώνου και η προβολή του. Χρησιμοποιούμε αυτό το γεγονός για να λύσουμε το πρόβλημά μας (δείτε τη διαφάνεια 2) Το σχέδιο λύσης είναι το εξής: Α) Κατασκευάζουμε μια ενότητα. Β) Να βρείτε την ορθογώνια προβολή του στο επίπεδο της βάσης. Γ) Να βρείτε το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής. Δ) Να βρείτε το εμβαδόν της διατομής.
1. Πρώτα πρέπει να δημιουργήσουμε αυτό το τμήμα. Προφανώς, το τμήμα BD ανήκει στο επίπεδο τομής και στο επίπεδο βάσης, δηλαδή ανήκει στη γραμμή τομής των επιπέδων:
Η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων είναι η γωνία μεταξύ δύο κάθετων που έλκονται στη γραμμή τομής των επιπέδων και βρίσκονται σε αυτά τα επίπεδα. Έστω το σημείο Ο το σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης. OC - κάθετη στη γραμμή τομής των επιπέδων, η οποία βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης:
2. Προσδιορίστε τη θέση της κάθετης, που βρίσκεται στο επίπεδο τομής. (Θυμηθείτε ότι αν μια ευθεία είναι κάθετη στην προβολή μιας πλάγιας, τότε είναι και στην πιο πλάγια. Ψάχνουμε για μια πλάγια από την προβολή της (OC) και τη γωνία μεταξύ της προβολής και της πλάγιας ένας). Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας COC 1 μεταξύ OC 1 και OC
Επομένως, η γωνία μεταξύ του επιπέδου τομής και του επιπέδου βάσης είναι μεγαλύτερη από ότι μεταξύ OC1 και OC. Δηλαδή, το τμήμα βρίσκεται κάπως έτσι: K είναι το σημείο τομής του OP και του A1C1, LM||B1D1.
Λοιπόν, εδώ είναι η ενότητα μας: 3. Βρείτε την προβολή του τμήματος BLMD στο επίπεδο βάσης. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τις προβολές των σημείων L και M .
Το τετράπλευρο BL1M1D είναι η προβολή του τμήματος στο επίπεδο της βάσης. 4. Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου BL 1M1D . Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε την περιοχή του τριγώνου L 1 CM1 από την περιοχή του τριγώνου BCD Βρείτε την περιοχή του τριγώνου L 1 CM1 . Το τρίγωνο L1CM1 είναι παρόμοιο με το τρίγωνο BCD. Ας βρούμε τον συντελεστή ομοιότητας.
Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε m τρίγωνα OPC και OKK1 : Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου L1CM1 είναι 4/25 του εμβαδού του τριγώνου BCD (ο λόγος των εμβαδών παρόμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του συντελεστής ομοιότητας). Τότε το εμβαδόν του τετράπλευρου BL1M1D είναι ίσο με 1-4/25=21/25 του εμβαδού του τριγώνου BCD και είναι ίσο με
5. Τώρα βρείτε το 6 . Και τέλος, παίρνουμε: Απάντηση: 112
Με θέμα: μεθοδολογικές εξελίξεις, παρουσιάσεις και σημειώσεις
Η εργασία επαλήθευσης στον κλάδο "Μηχανικά γραφικά υπολογιστών" αποτελείται από τέσσερις δοκιμαστικές εργασίες για τη διαπίστωση της συμμόρφωσης. Θα έχετε 15-20 λεπτά για να ολοκληρώσετε τις εργασίες....
Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση-2014 στα μαθηματικά. Η χρήση παραγώγου και αντιπαραγώγου (πρωτότυπα B8 από την ανοιχτή τράπεζα εργασιών USE)
Παρουσίαση με σύντομο μάθημαθεωρία και λύσεις διαφόρων πρωτοτύπων Β8 από ανοιχτή τράπεζαΧΡΗΣΗ Εργασιών. Πιθανή αίτηση για διαδραστικός ασπροπίνακαςή φοιτητές Η/Υ για αυτοδιδασκαλία....
Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση-2014 στα μαθηματικά. Λύση της εργασίας Γ1.
Το υλικό παρέχει λύσεις στην εργασία C1 (τριγωνομετρική εξίσωση) και 4 μεθόδους για την επιλογή ριζών που ανήκουν στο διάστημα: χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικός κύκλος, χρησιμοποιώντας το γράφημα συνάρτησης, απαρίθμηση...