Αφήστε τις γραμμές να δίνονται στο διάστημα μεγάλοκαι Μ. Μέσα από κάποιο σημείο Α του χώρου χαράσσουμε ευθείες γραμμές μεγάλο 1 || μεγάλοκαι Μ 1 || Μ(Εικ. 138).
Σημειώστε ότι το σημείο Α μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα, συγκεκριμένα, μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δεδομένες γραμμές. Αν ευθεία μεγάλοκαι Μτέμνονται, τότε το Α μπορεί να ληφθεί ως σημείο τομής αυτών των γραμμών ( μεγάλο 1 = λκαι Μ 1 = m).
Γωνία μεταξύ μη παράλληλων γραμμών μεγάλοκαι Μείναι η τιμή της μικρότερης από τις παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από τεμνόμενες ευθείες γραμμές μεγάλο 1 και Μ 1 (μεγάλο 1 || μεγάλο, Μ 1 || Μ). Η γωνία μεταξύ των παράλληλων ευθειών θεωρείται ότι είναι μηδέν.
Γωνία μεταξύ των γραμμών μεγάλοκαι Μσυμβολίζεται με \(\widehat((l;m)) \). Από τον ορισμό προκύπτει ότι αν μετρηθεί σε μοίρες, τότε 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° και αν σε ακτίνια, τότε 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Μια εργασία.Δίνεται ο κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Εικ. 139).
Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1 .
Ευθεία διασταύρωση AB και DC 1. Εφόσον η ευθεία DC είναι παράλληλη προς την ευθεία AB, η γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι ίση με \(\widehat(C_(1)DC)\).
Επομένως \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Απευθείας μεγάλοκαι Μπου ονομάζεται κάθετος, εάν \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Για παράδειγμα, σε έναν κύβο
Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ των γραμμών.
Το πρόβλημα του υπολογισμού της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως στο επίπεδο. Να συμβολίσετε με φ τη γωνία μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2, και μέσω ψ - η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ένα και σι αυτές τις ευθείες γραμμές.
Τότε αν
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Εικ. 206.6), μετά φ = 180° - ψ. Είναι προφανές ότι και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα cos φ = |cos ψ|. Σύμφωνα με τον τύπο (το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των μη μηδενικών διανυσμάτων a και b είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων διαιρούμενο με το γινόμενο των μηκών τους) έχουμε
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
Συνεπώς,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Αφήστε τις γραμμές να δίνονται από τις δικές τους κανονικές εξισώσεις
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; και \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Στη συνέχεια, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Εάν μία από τις γραμμές (ή και οι δύο) δίνεται από μη κανονικές εξισώσεις, τότε για να υπολογίσετε τη γωνία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (1).
Εργασία 1.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;και\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών έχουν συντεταγμένες:
a \u003d (-√2; √2; -2), σι = (√3 ; √3 ; √6 ).
Με τον τύπο (1) βρίσκουμε
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 60°.
Εργασία 2.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών
$$ \begin(περιπτώσεις)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(περιπτώσεις) και \begin(περιπτώσεις)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(περιπτώσεις) $$
Πίσω από το διάνυσμα οδηγού ένα την πρώτη ευθεία παίρνουμε το διανυσματικό γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων n 1 = (3; 0; -12) και n 2 = (1; 1; -3) επίπεδα που ορίζουν αυτή τη γραμμή. Με τον τύπο \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) παίρνουμε
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Ομοίως, βρίσκουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεύτερης ευθείας:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Αλλά ο τύπος (1) υπολογίζει το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 90°.
Εργασία 3.Στην τριγωνική πυραμίδα MAVS, οι άκρες MA, MB και MC είναι αμοιβαία κάθετες, (Εικ. 207).
τα μήκη τους είναι αντίστοιχα ίσα με 4, 3, 6. Το σημείο D είναι το μέσο [MA]. Βρείτε τη γωνία φ μεταξύ των ευθειών CA και DB.
Έστω SA και DB τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών SA και DB.
Ας πάρουμε το σημείο Μ ως αρχή των συντεταγμένων. Από τη συνθήκη εργασίας, έχουμε A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Επομένως \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Χρησιμοποιούμε τον τύπο (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Σύμφωνα με τον πίνακα συνημιτόνων, βρίσκουμε ότι η γωνία μεταξύ των ευθειών CA και DB είναι περίπου 72 °.
ένα. Ας δοθούν δύο ευθείες: Αυτές οι γραμμές, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1, σχηματίζουν διάφορες θετικές και αρνητικές γωνίες, οι οποίες μπορεί να είναι είτε οξείες είτε αμβλείες. Γνωρίζοντας μία από αυτές τις γωνίες, μπορούμε εύκολα να βρούμε οποιαδήποτε άλλη.
Παρεμπιπτόντως, για όλες αυτές τις γωνίες, η αριθμητική τιμή της εφαπτομένης είναι η ίδια, η διαφορά μπορεί να είναι μόνο στο πρόσημο
Εξισώσεις γραμμών. Οι αριθμοί είναι οι προβολές των κατευθυντικών διανυσμάτων της πρώτης και της δεύτερης ευθείας.Η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μία από τις γωνίες που σχηματίζονται από ευθείες γραμμές. Επομένως, το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, παίρνουμε
Για απλότητα, μπορούμε να συμφωνήσουμε σε μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών για να κατανοήσουμε μια οξεία θετική γωνία (όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 53).
Τότε η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι πάντα θετική. Έτσι, εάν ληφθεί ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του τύπου (1), τότε πρέπει να το απορρίψουμε, δηλαδή να διατηρήσουμε μόνο την απόλυτη τιμή.
Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών
Με τον τύπο (1) έχουμε
Με. Αν υποδεικνύεται ποια από τις πλευρές της γωνίας είναι η αρχή και ποια το τέλος της, τότε, μετρώντας πάντα την φορά της γωνίας αριστερόστροφα, μπορούμε να εξαγάγουμε κάτι περισσότερο από τους τύπους (1). Όπως φαίνεται εύκολα από το Σχ. 53 το πρόσημο που λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά του τύπου (1) θα υποδεικνύει ποια - οξεία ή αμβλεία - η γωνία σχηματίζει τη δεύτερη γραμμή με την πρώτη.
(Πράγματι, από το Σχ. 53 βλέπουμε ότι η γωνία μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου διανύσματος κατεύθυνσης είναι είτε ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των γραμμών είτε διαφέρει από αυτήν κατά ±180°.)
ρε. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε παράλληλα είναι και τα διανύσματα κατεύθυνσής τους Εφαρμόζοντας την συνθήκη παραλληλισμού δύο διανυσμάτων παίρνουμε!
Αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι δύο ευθείες παράλληλες.
Παράδειγμα. Απευθείας
είναι παράλληλες γιατί
μι. Αν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι επίσης κάθετα. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων, προκύπτει η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών, δηλαδή
Παράδειγμα. Απευθείας
κάθετη γιατί
Σε σχέση με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας, θα λύσουμε τα ακόλουθα δύο προβλήματα.
φά. Σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία μέσα από ένα σημείο
Η απόφαση λαμβάνεται έτσι. Εφόσον η επιθυμητή γραμμή είναι παράλληλη με τη δεδομένη, τότε για το κατευθυντικό της διάνυσμα μπορούμε να πάρουμε το ίδιο με αυτό της δεδομένης γραμμής, δηλαδή ένα διάνυσμα με προβολές Α και Β. Και τότε θα γραφεί η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής στη μορφή (§ 1)
Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (1; 3) παράλληλο σε ευθεία
θα είναι το επόμενο!
σολ. Σχεδιάστε μια ευθεία σε ένα σημείο κάθετο στη δεδομένη ευθεία
Εδώ, δεν είναι πλέον κατάλληλο να παίρνουμε ένα διάνυσμα με προβολές Α και ως κατευθυντικό διάνυσμα, αλλά είναι απαραίτητο να κερδίσουμε ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Οι προβολές αυτού του διανύσματος πρέπει επομένως να επιλέγονται σύμφωνα με την προϋπόθεση ότι και τα δύο διανύσματα είναι κάθετα, δηλ. σύμφωνα με τη συνθήκη
Αυτή η συνθήκη μπορεί να εκπληρωθεί με άπειρους τρόπους, αφού εδώ υπάρχει μία εξίσωση με δύο αγνώστους.Αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να την πάρουμε.Τότε η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής θα γραφεί με τη μορφή
Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (-7; 2) σε κάθετη ευθεία
θα είναι το εξής (σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο)!
η. Στην περίπτωση που οι γραμμές δίνονται με εξισώσεις της μορφής
Εάν δύο αυθαίρετα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) σημειώνονται σε ευθεία γραμμή στο χώρο, τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του ευθεία γραμμή που λήφθηκε παραπάνω:
Επιπλέον, για το σημείο Μ 1 μπορούμε να γράψουμε:
.
Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί, παίρνουμε:
.
Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του χώρου.
Γενικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.
Η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να θεωρηθεί ως η εξίσωση μιας ευθείας τομής δύο επιπέδων.
Γενικές εξισώσεις ευθείας σε μορφή συντεταγμένων:
Ένα πρακτικό πρόβλημα συχνά συνίσταται στη μείωση των εξισώσεων των γραμμών σε γενική εικόναστην κανονική μορφή.
Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή και τους αριθμούς m, n, p.
Σε αυτή την περίπτωση, το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής μπορεί να βρεθεί ως διανυσματικό γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων στα δεδομένα επίπεδα.
Παράδειγμα.Βρείτε την κανονική εξίσωση αν η ευθεία δίνεται με τη μορφή:
Για να βρούμε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή, ας πάρουμε τη συντεταγμένη του x = 0, και στη συνέχεια να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στο δεδομένο σύστημα εξισώσεων.
Εκείνοι. Α(0, 2, 1).
Βρίσκουμε τις συνιστώσες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας.
Τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας:
Παράδειγμα.Φέρτε στην κανονική μορφή την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, που δίνεται με τη μορφή:
Για να βρούμε ένα αυθαίρετο σημείο της ευθείας, που είναι η ευθεία τομής των παραπάνω επιπέδων, παίρνουμε z = 0. Τότε:
;
2x - 9x - 7 = 0;
Παίρνουμε: A(-1; 3; 0).
Άμεση διάνυσμα κατεύθυνσης: 
.
Γωνία μεταξύ των επιπέδων.
|
|
Η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων στο χώρο σχετίζεται με τη γωνία μεταξύ των κανονικών σε αυτά τα επίπεδα 1 με τη σχέση: = 1 ή = 180 0 - 1, δηλ.
cos = cos 1 .
Ας ορίσουμε τη γωνία 1 . Είναι γνωστό ότι τα επίπεδα μπορούν να οριστούν από τις σχέσεις:
, όπου
(A 1 , B 1 , C 1 ), (A 2 , B 2 , C 2). Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων από το βαθμωτό γινόμενο τους:
.
Έτσι, η γωνία μεταξύ των επιπέδων βρίσκεται από τον τύπο:
Η επιλογή του πρόσημου του συνημιτόνου εξαρτάται από το ποια γωνία μεταξύ των επιπέδων θα πρέπει να βρεθεί - οξεία ή αμβλεία δίπλα σε αυτό.
Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας επιπέδων.
Με βάση τον παραπάνω τύπο για την εύρεση της γωνίας μεταξύ των επιπέδων, μπορείτε να βρείτε τις προϋποθέσεις για παραλληλισμό και καθετότητα των επιπέδων.
Για να είναι τα επίπεδα κάθετα, είναι απαραίτητο και αρκετό το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επιπέδων να είναι ίσο με μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται εάν:
Τα επίπεδα είναι παράλληλα, τα κανονικά διανύσματα συγγραμμικά: .Αυτή η προϋπόθεση πληρούται αν: 
.
Γωνία μεταξύ των γραμμών στο διάστημα.
Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα. Οι παραμετρικές τους εξισώσεις είναι:
Η γωνία μεταξύ των ευθειών και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων διεύθυνσης αυτών των ευθειών σχετίζονται με τη σχέση: = 1 ή = 180 0 - 1 . Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης βρίσκεται από το βαθμωτό γινόμενο. Με αυτόν τον τρόπο:
.
Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών στο χώρο.
Για να είναι δύο ευθείες παράλληλες, είναι απαραίτητο και αρκετό τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών να είναι συγγραμμικά, δηλ. οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους ήταν ανάλογες.
γωνίαμεταξύ ευθειών στο χώρο θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου παράλληλου στα δεδομένα.
Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα:
Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε
Οι συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών είναι ισοδύναμες με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και:
Δύο ευθείες είναι παράλληλεςεάν και μόνο εάν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλ. μεγάλο 1 παράλληλος μεγάλο 2 αν και μόνο αν είναι παράλληλη 
.
Δύο ευθείες κάθετοςαν και μόνο αν το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντελεστών είναι ίσο με μηδέν: .
Στο στόχος μεταξύ γραμμής και επιπέδου
Αφήστε τη γραμμή ρε- όχι κάθετο στο επίπεδο θ.
ρε′− προβολή ευθείας γραμμής ρεστο επίπεδο θ?
Η μικρότερη από τις γωνίες μεταξύ ευθειών ρεκαι ρε"θα καλέσουμε γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.
Ας το συμβολίσουμε ως φ=( ρε,θ)
Αν ένα ρε⊥θ , τότε ( ρε,θ)=π/2
Oi→ι→κ→− ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες.
Επίπεδη εξίσωση:
θ: Τσεκούρι+Με+cz+ρε=0
Θεωρούμε ότι η ευθεία δίνεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης: ρε[Μ 0,Π→]
Διάνυσμα n→(ΕΝΑ,σι,ντο)⊥θ
Στη συνέχεια, μένει να μάθουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων n→ και Π→, συμβολίστε το ως γ=( n→,Π→).
Αν η γωνία γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Αν η γωνία γ>π/2 , τότε η ζητούμενη γωνία φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Επειτα, γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδουμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Απ 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √ΕΝΑ 2+σι 2+ντο 2√Π 21+Π 22+Π 23
Ερώτηση 29. Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Το πρόσημο-ορισμότητα των τετραγωνικών μορφών.
Τετραγωνική μορφή j (x 1, x 2, ..., x n) n πραγματικές μεταβλητές x 1, x 2, ..., x nονομάζεται άθροισμα της μορφής 
, (1)
όπου aij είναι κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να το υποθέσουμε aij = ένα τζι.
Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται έγκυρος,αν aij
О GR. Πίνακας τετραγωνικής μορφήςονομάζεται ο πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές του. Η τετραγωνική μορφή (1) αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό συμμετρικό πίνακα 
δηλ. Α Τ = Α. Επομένως, η τετραγωνική μορφή (1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα j ( Χ) = x T Ah, όπου x Τ = (Χ 1 Χ 2 … x n). (2)
Και αντίστροφα, οποιοσδήποτε συμμετρικός πίνακας (2) αντιστοιχεί σε μια μοναδική τετραγωνική μορφή μέχρι τη σημείωση των μεταβλητών.
Η κατάταξη της τετραγωνικής μορφήςονομάζεται κατάταξη του πίνακα του. Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται μη εκφυλισμένος,αν ο πίνακας του είναι μη μοναδικός ΑΛΛΑ. (θυμηθείτε ότι η μήτρα ΑΛΛΑονομάζεται μη εκφυλισμένος αν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική). Διαφορετικά, η τετραγωνική μορφή είναι εκφυλισμένη.
θετική οριστική(ή αυστηρά θετικό) εάν
j ( Χ) > 0 , Για οποιονδηποτε Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), εκτός Χ = (0, 0, …, 0).
Μήτρα ΑΛΛΑθετική οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) ονομάζεται και θετική οριστική. Επομένως, μια θετική οριστική τετραγωνική μορφή αντιστοιχεί σε μια μοναδική θετική οριστική μήτρα και αντίστροφα.
Ο τετραγωνικός τύπος (1) ονομάζεται αρνητική οριστική(ή αυστηρά αρνητικό) αν
j ( Χ) < 0, для любого Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), Εκτός Χ = (0, 0, …, 0).
Ομοίως όπως παραπάνω, ένας αρνητικός-ορισμένος τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται επίσης αρνητικός-ορισμένος.
Επομένως, μια θετικά (αρνητικά) οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) φτάνει στην ελάχιστη (μέγιστη) τιμή j ( Χ*) = 0 για Χ* = (0, 0, …, 0).
Σημειώστε ότι τα περισσότερα απόΟι τετραγωνικοί τύποι δεν είναι πρόσημο-ορισμένοι, δηλαδή δεν είναι ούτε θετικοί ούτε αρνητικοί. Τέτοιες τετραγωνικές μορφές εξαφανίζονται όχι μόνο στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, αλλά και σε άλλα σημεία.
Πότε n> 2, απαιτούνται ειδικά κριτήρια για τον έλεγχο της προσήμου-οριστικότητας μιας τετραγωνικής μορφής. Ας τα εξετάσουμε.
Μείζονες ανήλικοιΗ τετραγωνική μορφή λέγεται ανήλικα:
δηλαδή πρόκειται για ανηλίκους της τάξης 1, 2, …, nμήτρες ΑΛΛΑ, που βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία, το τελευταίο συμπίπτει με την ορίζουσα του πίνακα ΑΛΛΑ.
Κριτήριο θετικής βεβαιότητας (κριτήριο Sylvester)
Χ) = x T Ahείναι θετική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα ΑΛΛΑήταν θετικά, δηλαδή: Μ 1 > 0, Μ 2 > 0, …, M n > 0. Κριτήριο αρνητικής βεβαιότητας Για τον τετραγωνικό τύπο j ( Χ) = x T Ahείναι αρνητική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές οι κύριες ελάσσονες άρτιες τάξεις να είναι θετικές και αυτές της περιττής τάξης αρνητικές, δηλ.: Μ 1 < 0, Μ 2 > 0, Μ 3 < 0, …, (–1)n
Αυτό το υλικό είναι αφιερωμένο σε μια έννοια όπως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών. Στην πρώτη παράγραφο, θα εξηγήσουμε τι είναι και θα το δείξουμε σε εικονογραφήσεις. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε πώς μπορείτε να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο αυτής της γωνίας και την ίδια τη γωνία (θα εξετάσουμε χωριστά περιπτώσεις με επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο), θα δώσουμε τους απαραίτητους τύπους και θα δείξουμε με παραδείγματα πώς ακριβώς εφαρμόζονται στην πράξη.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Για να καταλάβουμε τι είναι μια γωνία που σχηματίζεται στη τομή δύο ευθειών, πρέπει να θυμηθούμε τον ίδιο τον ορισμό μιας γωνίας, της καθετότητας και ενός σημείου τομής.
Ορισμός 1
Καλούμε δύο ευθείες που τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο τομής των δύο ευθειών.
Κάθε ευθεία χωρίζεται από το σημείο τομής σε ακτίνες. Σε αυτή την περίπτωση και οι δύο γραμμές σχηματίζουν 4 γωνίες, εκ των οποίων οι δύο είναι κάθετες και οι δύο γειτονικές. Αν γνωρίζουμε το μέτρο ενός από αυτά, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε και τα άλλα που έχουν απομείνει.
Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι μία από τις γωνίες είναι ίση με α. Σε μια τέτοια περίπτωση, η γωνία που είναι κάθετη προς αυτήν θα είναι επίσης ίση με α. Για να βρούμε τις υπόλοιπες γωνίες, πρέπει να υπολογίσουμε τη διαφορά 180 ° - α . Αν το α είναι ίσο με 90 μοίρες, τότε όλες οι γωνίες θα είναι ορθές. Οι ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία ονομάζονται κάθετες (ένα ξεχωριστό άρθρο είναι αφιερωμένο στην έννοια της καθετότητας).
Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:
Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του κύριου ορισμού.
Ορισμός 2
Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι το μέτρο της μικρότερης από τις 4 γωνίες που σχηματίζουν αυτές τις δύο ευθείες.
Ένα σημαντικό συμπέρασμα πρέπει να εξαχθεί από τον ορισμό: το μέγεθος της γωνίας σε αυτή την περίπτωση θα εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό στο διάστημα (0 , 90 ] . Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε η γωνία μεταξύ τους θα είναι σε κάθε περίπτωση ίσο με 90 μοίρες.
Η ικανότητα εύρεσης του μέτρου της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι χρήσιμη για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Η μέθοδος λύσης μπορεί να επιλεγεί από πολλές επιλογές.
Για αρχή, μπορούμε να πάρουμε γεωμετρικές μεθόδους. Αν γνωρίζουμε κάτι για πρόσθετες γωνίες, τότε μπορούμε να τις συνδέσουμε με τη γωνία που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ίσων ή παρόμοιων σχημάτων. Για παράδειγμα, εάν γνωρίζουμε τις πλευρές ενός τριγώνου και πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στις οποίες βρίσκονται αυτές οι πλευρές, τότε το θεώρημα συνημιτόνου είναι κατάλληλο για επίλυση. Αν έχουμε στην κατάσταση ορθογώνιο τρίγωνο, τότε για τους υπολογισμούς θα χρειαστούμε και γνώση του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης της γωνίας.
Η μέθοδος συντεταγμένων είναι επίσης πολύ βολική για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου. Ας εξηγήσουμε πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά.
Έχουμε ένα ορθογώνιο (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων O x y με δύο ευθείες γραμμές. Ας τα συμβολίσουμε με τα γράμματα α και β. Σε αυτή την περίπτωση, οι ευθείες γραμμές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας οποιεσδήποτε εξισώσεις. Οι αρχικές γραμμές έχουν σημείο τομής M . Πώς να προσδιορίσετε την επιθυμητή γωνία (ας τη συμβολίσουμε α) μεταξύ αυτών των γραμμών;
Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση της βασικής αρχής της εύρεσης γωνίας υπό δεδομένες συνθήκες.
Γνωρίζουμε ότι έννοιες όπως η κατεύθυνση και το κανονικό διάνυσμα σχετίζονται στενά με την έννοια της ευθείας γραμμής. Αν έχουμε την εξίσωση κάποιας ευθείας γραμμής, μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων από αυτήν. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό για δύο τεμνόμενες ευθείες ταυτόχρονα.
Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες γραμμές μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας:
- γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.
- γωνία μεταξύ κανονικών διανυσμάτων.
- τη γωνία μεταξύ του κανονικού διανύσματος της μιας ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης της άλλης.
Τώρα ας δούμε κάθε μέθοδο ξεχωριστά.
1. Έστω ότι έχουμε μια ευθεία με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) και μια ευθεία b με διάνυσμα κατεύθυνσης b → (b x , b y) . Τώρα ας αφήσουμε στην άκρη δύο διανύσματα a → και b → από το σημείο τομής. Μετά από αυτό, θα δούμε ότι ο καθένας θα βρίσκεται στη δική του γραμμή. Τότε έχουμε τέσσερις επιλογές για τη σχετική τους θέση. Δείτε την εικόνα:
Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν είναι αμβλεία, τότε θα είναι η γωνία που χρειαζόμαστε μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b. Εάν είναι αμβλεία, τότε η επιθυμητή γωνία θα είναι ίση με τη γωνία δίπλα στη γωνία a → , b → ^ . Έτσι, α = a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° , και α = 180 ° - a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .
Από τα συνημίτονα ίσες γωνίεςείναι ίσες, μπορούμε να ξαναγράψουμε τις ισότητες που προκύπτουν ως εξής: cos α = cos a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .
Στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν τύποι αναγωγής. Με αυτόν τον τρόπο,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Ας γράψουμε τον τελευταίο τύπο με λέξεις:
Ορισμός 3
Το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες θα είναι ίσο με το μέτρο συνημίτονος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής του.
Η γενική μορφή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων a → = (a x, a y) και b → = (b x, b y) μοιάζει με αυτό:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Από αυτό μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο δεδομένων ευθειών:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Στη συνέχεια, η ίδια η γωνία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Εδώ a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος.
Παράδειγμα 1
Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, δύο τεμνόμενες ευθείες a και b δίνονται στο επίπεδο. Μπορούν να περιγραφούν με παραμετρικές εξισώσεις x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R και x 5 = y - 6 - 3 . Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.
Λύση
Έχουμε μια παραμετρική εξίσωση στη συνθήκη, που σημαίνει ότι για αυτήν την ευθεία μπορούμε να γράψουμε αμέσως τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής της. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε τις τιμές των συντελεστών στην παράμετρο, δηλ. η ευθεία x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R θα έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (4 , 1) .
Η δεύτερη ευθεία περιγράφεται χρησιμοποιώντας την κανονική εξίσωση x 5 = y - 6 - 3 . Εδώ μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες από τους παρονομαστές. Έτσι, αυτή η ευθεία έχει διάνυσμα κατεύθυνσης b → = (5 , - 3) .
Στη συνέχεια, προχωράμε απευθείας στην εύρεση της γωνίας. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αντικαταστήστε τις διαθέσιμες συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων στον παραπάνω τύπο α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Παίρνουμε τα εξής:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Απάντηση: Αυτές οι γραμμές σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.
Μπορούμε να λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων. Αν έχουμε μια ευθεία a με κανονικό διάνυσμα n a → = (n a x , n a y) και μια ευθεία b με κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) , τότε η μεταξύ τους γωνία θα είναι ίση με τη γωνία μεταξύ n a → και n b → ή τη γωνία που θα είναι δίπλα στο n a → , n b → ^ . Αυτή η μέθοδος φαίνεται στην εικόνα:
Οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών και αυτής της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων μοιάζουν με αυτό:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Εδώ τα n a → και n b → δηλώνουν τα κανονικά διανύσματα δύο δεδομένων γραμμών.
Παράδειγμα 2
Δίνονται δύο ευθείες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 3 x + 5 y - 30 = 0 και x + 4 y - 17 = 0 . Βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας και το μέγεθος αυτής της ίδιας της γωνίας.
Λύση
Οι αρχικές ευθείες δίνονται χρησιμοποιώντας κανονικές ευθείες εξισώσεις της μορφής A x + B y + C = 0 . Δηλώστε το κανονικό διάνυσμα n → = (A , B) . Ας βρούμε τις συντεταγμένες του πρώτου κανονικού διανύσματος για μια ευθεία και ας τις γράψουμε: n a → = (3 , 5) . Για τη δεύτερη ευθεία x + 4 y - 17 = 0 το κανονικό διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες n b → = (1 , 4) . Τώρα προσθέστε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο και υπολογίστε το σύνολο:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Αν γνωρίζουμε το συνημίτονο μιας γωνίας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της χρησιμοποιώντας το βασικό τριγωνομετρική ταυτότητα. Δεδομένου ότι η γωνία α που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές δεν είναι αμβλεία, τότε sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
Στην περίπτωση αυτή, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Απάντηση: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Ας αναλύσουμε την τελευταία περίπτωση - βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των ευθειών, αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της μιας ευθείας και του κανονικού διανύσματος της άλλης.
Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία a έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) , και η ευθεία b έχει ένα κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) . Πρέπει να αναβάλουμε αυτά τα διανύσματα από το σημείο τομής και να εξετάσουμε όλες τις επιλογές για τη σχετική τους θέση. Δείτε εικόνα:
Εάν η γωνία μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων δεν είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες, αποδεικνύεται ότι θα συμπληρώσει τη γωνία μεταξύ a και b σε ορθή γωνία.
a → , n b → ^ = 90 ° - α εάν a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Αν είναι μικρότερη από 90 μοίρες, τότε παίρνουμε τα εξής:
a → , n b → ^ > 90 ° , μετά a → , n b → ^ = 90 ° + α
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της ισότητας των συνημιτόνων ίσων γωνιών, γράφουμε:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = αμαρτία α για a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 ° .
Με αυτόν τον τρόπο,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^, a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Ας διατυπώσουμε ένα συμπέρασμα.
Ορισμός 4
Για να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται σε ένα επίπεδο, πρέπει να υπολογίσετε το συντελεστή του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και του κανονικού διανύσματος της δεύτερης.
Ας γράψουμε απαραίτητες φόρμουλες. Εύρεση του ημιτόνου μιας γωνίας:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Βρίσκοντας την ίδια τη γωνία:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Εδώ a → είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και n b → είναι το κανονικό διάνυσμα της δεύτερης.
Παράδειγμα 3
Δύο τεμνόμενες ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις x - 5 = y - 6 3 και x + 4 y - 17 = 0 . Βρείτε τη γωνία τομής.
Λύση
Παίρνουμε τις συντεταγμένες του κατευθυνόμενου και του κανονικού διανύσματος από τις δοσμένες εξισώσεις. Αποδεικνύεται a → = (- 5 , 3) και n → b = (1 , 4) . Παίρνουμε τον τύπο α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 και θεωρούμε:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Σημειώστε ότι πήραμε τις εξισώσεις από το προηγούμενο πρόβλημα και πήραμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά με διαφορετικό τρόπο.
Απάντηση:α = a r c sin 7 2 34
Εδώ είναι ένας άλλος τρόπος για να βρείτε την επιθυμητή γωνία χρησιμοποιώντας τους συντελεστές κλίσης δεδομένων γραμμών.
Έχουμε μια ευθεία a , η οποία ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας την εξίσωση y = k 1 · x + b 1 , και μια ευθεία b , που ορίζεται ως y = k 2 · x + b 2 . Αυτές είναι εξισώσεις ευθειών με κλίση. Για να βρείτε τη γωνία τομής, χρησιμοποιήστε τον τύπο:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , όπου k 1 και k 2 είναι οι κλίσεις των δεδομένων γραμμών. Για να ληφθεί αυτή η εγγραφή, χρησιμοποιήθηκαν τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων.
Παράδειγμα 4
Υπάρχουν δύο ευθείες που τέμνονται στο επίπεδο, που δίνονται από τις εξισώσεις y = - 3 5 x + 6 και y = - 1 4 x + 17 4 . Υπολογίστε τη γωνία τομής.
Λύση
Οι κλίσεις των γραμμών μας είναι ίσες με k 1 = - 3 5 και k 2 = - 1 4 . Ας τα προσθέσουμε στον τύπο α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 και υπολογίσουμε:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Απάντηση:α = a r c cos 23 2 34
Στα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τύποι για την εύρεση της γωνίας που δίνονται εδώ δεν χρειάζεται να μάθουν από πάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των οδηγών και/ή τα κανονικά διανύσματα των δεδομένων γραμμών και να μπορούμε να τις προσδιορίσουμε από ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙεξισώσεις. Αλλά οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημίτονος μιας γωνίας είναι καλύτερο να θυμάστε ή να καταγράψετε.
Πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών στο χώρο
Ο υπολογισμός μιας τέτοιας γωνίας μπορεί να μειωθεί στον υπολογισμό των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης και στον προσδιορισμό του μεγέθους της γωνίας που σχηματίζουν αυτά τα διανύσματα. Για τέτοια παραδείγματα, χρησιμοποιούμε τον ίδιο συλλογισμό που δώσαμε προηγουμένως.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε τρισδιάστατο χώρο. Περιέχει δύο ευθείες a και b με το σημείο τομής M . Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης, πρέπει να γνωρίζουμε τις εξισώσεις αυτών των γραμμών. Να χαρακτηρίσετε τα διανύσματα κατεύθυνσης a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Για να βρούμε την ίδια τη γωνία, χρειαζόμαστε αυτόν τον τύπο:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Παράδειγμα 5
Έχουμε μια ευθεία που ορίζεται στον τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Είναι γνωστό ότι τέμνεται με τον άξονα O z. Να υπολογίσετε τη γωνία τομής και το συνημίτονο αυτής της γωνίας.
Λύση
Ας συμβολίσουμε τη γωνία που θα υπολογιστεί με το γράμμα α. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης για την πρώτη ευθεία - a → = (1 , - 3 , - 2) . Για τον άξονα εφαρμογής, μπορούμε να πάρουμε ως οδηγό το διάνυσμα συντεταγμένων k → = (0 , 0 , 1). Έχουμε λάβει τα απαραίτητα δεδομένα και μπορούμε να τα προσθέσουμε στον επιθυμητό τύπο:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Ως αποτέλεσμα, καταλάβαμε ότι η γωνία που χρειαζόμαστε θα είναι ίση με a r c cos 1 2 = 45 °.
Απάντηση: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter