Ορισμός 7.1.Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 είναι δεδομένη σταθερά λέγεται έλλειψη.
Ο ορισμός της έλλειψης δίνει τον ακόλουθο τρόπο κατασκευής της γεωμετρικά. Καθορίζουμε δύο σημεία F 1 και F 2 στο επίπεδο και συμβολίζουμε μια μη αρνητική σταθερή τιμή με 2a. Έστω η απόσταση μεταξύ των σημείων F 1 και F 2 ίση με 2c. Φανταστείτε ότι ένα μη εκτάσιμο νήμα μήκους 2a στερεώνεται στα σημεία F 1 και F 2, για παράδειγμα, με τη βοήθεια δύο βελόνων. Είναι σαφές ότι αυτό είναι δυνατό μόνο για ≥ c. Τραβώντας το νήμα με ένα μολύβι, τραβήξτε μια γραμμή, η οποία θα είναι μια έλλειψη (Εικ. 7.1).
Άρα, το περιγραφόμενο σύνολο δεν είναι κενό εάν a ≥ c. Όταν a = c, η έλλειψη είναι ένα τμήμα με άκρα F 1 και F 2, και όταν c = 0, δηλ. αν τα σταθερά σημεία που καθορίζονται στον ορισμό της έλλειψης συμπίπτουν, είναι κύκλος ακτίνας a. Απορρίπτοντας αυτές τις εκφυλισμένες περιπτώσεις, θα υποθέσουμε περαιτέρω, κατά κανόνα, ότι a > c > 0.
Τα σταθερά σημεία F 1 και F 2 στον ορισμό 7.1 της έλλειψης (βλ. Εικ. 7.1) ονομάζονται κόλπα ελλείψεων, η απόσταση μεταξύ τους, που συμβολίζεται με 2c, - εστιακό μήκος, και τα τμήματα F 1 M και F 2 M, που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M στην έλλειψη με τις εστίες του, - εστιακές ακτίνες.
Η μορφή της έλλειψης καθορίζεται πλήρως από την εστιακή απόσταση |F 1 F 2 | = 2с και παράμετρος a, και η θέση της στο επίπεδο - από ένα ζεύγος σημείων F 1 και F 2 .
Από τον ορισμό της έλλειψης προκύπτει ότι είναι συμμετρική ως προς μια ευθεία που διέρχεται από τις εστίες F 1 και F 2, καθώς και για μια ευθεία γραμμή που διαιρεί το τμήμα F 1 F 2 στο μισό και είναι κάθετη σε αυτό (Εικ. 7.2, α). Αυτές οι γραμμές ονομάζονται άξονες έλλειψης. Το σημείο Ο της τομής τους είναι το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης, και λέγεται το κέντρο της έλλειψης, και τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες συμμετρίας (σημεία Α, Β, Γ και Δ στο Σχ. 7.2, α) - οι κορυφές της έλλειψης.
Ο αριθμός α ονομάζεται ημι-κύριος άξονας μιας έλλειψης, και b = √ (a 2 - c 2) - του ημιμικρός άξονας. Είναι εύκολο να δούμε ότι για c > 0, ο κύριος ημιάξονας a είναι ίσος με την απόσταση από το κέντρο της έλλειψης σε εκείνες των κορυφών της που βρίσκονται στον ίδιο άξονα με τις εστίες της έλλειψης (κορυφές Α και Β στο Σχήμα 7.2, a), και ο δευτερεύων ημιάξονας b είναι ίσος με την απόσταση από την κεντρική έλλειψη έως τις άλλες δύο κορυφές της (κορυφές C και D στο Σχ. 7.2, a).
Εξίσωση έλλειψης.Θεωρήστε κάποια έλλειψη στο επίπεδο με εστίες στα σημεία F 1 και F 2 , κύριος άξονας 2a. Έστω 2c η εστιακή απόσταση, 2c = |F 1 F 2 |
Επιλέγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με το κέντρο της έλλειψης και οι εστίες να βρίσκονται τετμημένη(Εικ. 7.2, β). Αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται κανονικόςγια την υπό εξέταση έλλειψη και οι αντίστοιχες μεταβλητές είναι κανονικός.
Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, οι εστίες έχουν συντεταγμένες F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ των σημείων, γράφουμε την συνθήκη |F 1 M| + |F 2 M| = 2a σε συντεταγμένες:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Αυτή η εξίσωση δεν είναι βολική γιατί περιέχει δύο τετράγωνες ρίζες. Ας το μεταμορφώσουμε λοιπόν. Μεταφέρουμε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης (7.2) στη δεξιά πλευρά και την τετραγωνίζουμε:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και μειώσουμε τους ομοίους όρους, παίρνουμε
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
όπου ε = c/a. Επαναλαμβάνουμε την πράξη τετραγωνισμού για να αφαιρέσουμε και τη δεύτερη ρίζα: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ή, δεδομένης της τιμής της εισαγόμενης παραμέτρου ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Αφού a 2 - c 2 = b 2 > 0, τότε
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Η εξίσωση (7.4) ικανοποιείται από τις συντεταγμένες όλων των σημείων που βρίσκονται στην έλλειψη. Αλλά κατά την εξαγωγή αυτής της εξίσωσης, χρησιμοποιήθηκαν μη ισοδύναμοι μετασχηματισμοί της αρχικής εξίσωσης (7.2) - δύο τετραγωνισμοί που αφαιρούν τις τετράγωνες ρίζες. Ο τετραγωνισμός μιας εξίσωσης είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός εάν και οι δύο πλευρές περιέχουν ποσότητες με το ίδιο πρόσημο, αλλά δεν το ελέγξαμε αυτό στους μετασχηματισμούς μας.
Μπορεί να μην ελέγξουμε την ισοδυναμία των μετασχηματισμών αν λάβουμε υπόψη τα ακόλουθα. Ένα ζεύγος σημείων F 1 και F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, στο επίπεδο ορίζει μια οικογένεια ελλείψεων με εστίες σε αυτά τα σημεία. Κάθε σημείο του επιπέδου, εκτός από τα σημεία του τμήματος F 1 F 2 , ανήκει σε κάποια έλλειψη της καθορισμένης οικογένειας. Στην περίπτωση αυτή, δεν τέμνονται δύο ελλείψεις, αφού το άθροισμα των εστιακών ακτίνων καθορίζει μοναδικά μια συγκεκριμένη έλλειψη. Έτσι, η περιγραφόμενη οικογένεια ελλείψεων χωρίς τομές καλύπτει ολόκληρο το επίπεδο, εκτός από τα σημεία του τμήματος F 1 F 2 . Θεωρήστε ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (7.4) με μια δεδομένη τιμή της παραμέτρου α. Μπορεί αυτό το σύνολο να κατανεμηθεί σε πολλές ελλείψεις; Μερικά από τα σημεία του συνόλου ανήκουν σε έλλειψη με ημικύριο άξονα α. Ας υπάρχει ένα σημείο σε αυτό το σύνολο που βρίσκεται σε μια έλλειψη με έναν ημι-κύριο άξονα α. Τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου υπακούουν στην εξίσωση
εκείνοι. οι εξισώσεις (7.4) και (7.5) έχουν γενικές λύσεις. Ωστόσο, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το σύστημα
για ã ≠ a δεν έχει λύσεις. Για να γίνει αυτό, αρκεί να εξαιρέσουμε, για παράδειγμα, το x από την πρώτη εξίσωση:
που μετά από μετασχηματισμούς οδηγεί στην εξίσωση
χωρίς λύσεις για το ã ≠ a, γιατί . Άρα, (7.4) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης με τον ημικύριο άξονα a > 0 και τον δευτερεύοντα ημιάξονα b = √ (a 2 - c 2) > 0. Ονομάζεται η κανονική εξίσωση της έλλειψης.
Άποψη έλλειψης.Η γεωμετρική μέθοδος κατασκευής μιας έλλειψης που εξετάστηκε παραπάνω δίνει μια επαρκή ιδέα εμφάνισηέλλειψη. Αλλά η μορφή μιας έλλειψης μπορεί επίσης να διερευνηθεί με τη βοήθεια της κανονικής της εξίσωσης (7.4). Για παράδειγμα, θεωρώντας το y ≥ 0, μπορείτε να εκφράσετε το y ως x: y = b√(1 - x 2 /a 2) και, έχοντας εξετάσει αυτή τη συνάρτηση, να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση της. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κατασκευάσετε μια έλλειψη. Ένας κύκλος ακτίνας a με κέντρο την αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων της έλλειψης (7.4) περιγράφεται από την εξίσωση x 2 + y 2 = a 2 . Αν συμπιέζεται με τον συντελεστή a/b > 1 κατά μήκος άξονας y, τότε λαμβάνετε μια καμπύλη που περιγράφεται από την εξίσωση x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, δηλαδή μια έλλειψη.
Παρατήρηση 7.1.Αν ο ίδιος κύκλος συμπιεστεί με τον συντελεστή α/β
Έκλειψη εκκεντρικότητα. Ο λόγος της εστιακής απόστασης μιας έλλειψης προς τον κύριο άξονά της ονομάζεται έλλειψη εκκεντρικότηταςκαι συμβολίζεται με ε. Για μια έλλειψη που δίνεται
κανονική εξίσωση (7.4), ε = 2c/2a = σ/a. Αν στο (7.4) οι παράμετροι a και b σχετίζονται με την ανίσωση a
Για c = 0, όταν η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο, και ε = 0. Σε άλλες περιπτώσεις, 0
Η εξίσωση (7.3) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (7.4) επειδή οι εξισώσεις (7.4) και (7.2) είναι ισοδύναμες. Επομένως, η (7.3) είναι επίσης μια εξίσωση έλλειψης. Επιπλέον, η σχέση (7.3) είναι ενδιαφέρουσα καθώς δίνει έναν απλό τύπο χωρίς ρίζες για το μήκος |F 2 M| μία από τις εστιακές ακτίνες του σημείου M(x; y) της έλλειψης: |F 2 M| = a + εx.
Ένας παρόμοιος τύπος για τη δεύτερη εστιακή ακτίνα μπορεί να ληφθεί από εκτιμήσεις συμμετρίας ή επαναλαμβανόμενους υπολογισμούς στους οποίους, πριν από τον τετραγωνισμό της εξίσωσης (7.2), η πρώτη ρίζα μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και όχι η δεύτερη. Έτσι, για οποιοδήποτε σημείο M(x; y) στην έλλειψη (βλ. Εικ. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
και καθεμία από αυτές τις εξισώσεις είναι μια εξίσωση έλλειψης.
Παράδειγμα 7.1.Ας βρούμε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης με ημικύριο άξονα 5 και εκκεντρότητα 0,8 και ας την κατασκευάσουμε.
Γνωρίζοντας τον κύριο ημιάξονα της έλλειψης a = 5 και την εκκεντρότητα ε = 0,8, βρίσκουμε τον δευτερεύοντα ημιάξονά της b. Αφού b \u003d √ (a 2 - c 2), και c \u003d εa \u003d 4, τότε b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Άρα η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Για την κατασκευή μιας έλλειψης, είναι βολικό να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο με κέντρο στην αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, οι πλευρές του οποίου είναι παράλληλες με τους άξονες συμμετρίας της έλλειψης και ίσες με αυτήν αντίστοιχους άξονες (Εικ. 7.4). Αυτό το ορθογώνιο τέμνεται με
οι άξονες της έλλειψης στις κορυφές της A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), και η ίδια η έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε αυτήν. Στο σχ. Το 7.4 δείχνει επίσης τις εστίες F 1.2 (±4; 0) της έλλειψης.
Γεωμετρικές ιδιότητες μιας έλλειψης.Ας ξαναγράψουμε την πρώτη εξίσωση στο (7.6) ως |F 1 M| = (α/ε - x)ε. Σημειώστε ότι η τιμή του a / ε - x για a > c είναι θετική, αφού η εστία F 1 δεν ανήκει στην έλλειψη. Αυτή η τιμή είναι η απόσταση από την κατακόρυφη γραμμή d: x = a/ε από το σημείο M(x; y) στα αριστερά αυτής της ευθείας. Η εξίσωση έλλειψης μπορεί να γραφτεί ως
|F 1 M|/(α/ε - x) = ε
Σημαίνει ότι αυτή η έλλειψη αποτελείται από εκείνα τα σημεία M (x; y) του επιπέδου για τα οποία ο λόγος του μήκους της εστιακής ακτίνας F 1 M προς την απόσταση από την ευθεία γραμμή d είναι σταθερή τιμή ίση με ε (Εικ. 7.5).
Η γραμμή d έχει μια "διπλή" - μια κατακόρυφη γραμμή d", συμμετρική ως προς το d ως προς το κέντρο της έλλειψης, η οποία δίνεται από την εξίσωση x \u003d -a / ε. Σε σχέση με d", η έλλειψη είναι περιγράφεται με τον ίδιο τρόπο όπως σε σχέση με το δ. Καλούνται και οι δύο γραμμές d και d". ελλείψεις κατευθύνσεις. Οι κατευθύνσεις της έλλειψης είναι κάθετες στον άξονα συμμετρίας της έλλειψης, στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της, και χωρίζονται από το κέντρο της έλλειψης κατά απόσταση a / ε \u003d a 2 / c (βλ. Εικ. 7.5) .
Η απόσταση p από την ευθεία προς την εστία που βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτήν ονομάζεται εστιακή παράμετρος της έλλειψης. Αυτή η παράμετρος είναι ίση με
p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c
Η έλλειψη έχει μια άλλη σημαντική γεωμετρική ιδιότητα: οι εστιακές ακτίνες F 1 M και F 2 M εφάπτονται στην έλλειψη στο σημείο M ίσες γωνίες(Εικ. 7.6).
Αυτό το ακίνητο έχει σαφή φυσική έννοια. Εάν μια πηγή φωτός τοποθετηθεί στην εστία F 1, τότε η δέσμη που αναδύεται από αυτήν την εστία, μετά την ανάκλαση από την έλλειψη, θα πάει κατά μήκος της δεύτερης εστιακής ακτίνας, αφού μετά την ανάκλαση θα βρίσκεται στην ίδια γωνία με την καμπύλη όπως πριν από την ανάκλαση . Έτσι, όλες οι ακτίνες που φεύγουν από την εστία F 1 θα συγκεντρωθούν στη δεύτερη εστία F 2 και αντίστροφα. Με βάση αυτή την ερμηνεία, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται οπτική ιδιότητα μιας έλλειψης.
11.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Εξετάστε τις ευθείες που ορίζονται από εξισώσεις δεύτερου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες συντεταγμένες
Οι συντελεστές της εξίσωσης είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς Α, Β ή Γ είναι μη μηδενικός. Τέτοιες γραμμές ονομάζονται γραμμές (καμπύλες) δεύτερης τάξης. Θα καθοριστεί παρακάτω ότι η εξίσωση (11.1) ορίζει έναν κύκλο, έλλειψη, υπερβολή ή παραβολή στο επίπεδο. Πριν προχωρήσουμε σε αυτόν τον ισχυρισμό, ας μελετήσουμε τις ιδιότητες των απαριθμούμενων καμπυλών.
11.2. Κύκλος
Η απλούστερη καμπύλη δεύτερης τάξης είναι ένας κύκλος. Θυμηθείτε ότι ένας κύκλος ακτίνας R με κέντρο σε ένα σημείο είναι το σύνολο όλων των σημείων Μ του επιπέδου που ικανοποιούν την συνθήκη . Έστω ένα σημείο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να έχει συντεταγμένες x 0, y 0 a - ένα αυθαίρετο σημείο του κύκλου (βλ. Εικ. 48).
Τότε από τη συνθήκη παίρνουμε την εξίσωση
(11.2)
Η εξίσωση (11.2) ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου του δεδομένου κύκλου και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στον κύκλο.
Καλείται η εξίσωση (11.2). η κανονική εξίσωση του κύκλου
Συγκεκριμένα, υποθέτοντας και , λαμβάνουμε την εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο την αρχή 
.
Η κυκλική εξίσωση (11.2) μετά από απλούς μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή . Κατά τη σύγκριση αυτής της εξίσωσης με τη γενική εξίσωση (11.1) μιας καμπύλης δεύτερης τάξης, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ικανοποιούνται δύο προϋποθέσεις για την εξίσωση ενός κύκλου:
1) οι συντελεστές στα x 2 και y 2 είναι ίσοι μεταξύ τους.
2) δεν υπάρχει μέλος που να περιέχει το γινόμενο xy των τρεχουσών συντεταγμένων.
Ας εξετάσουμε το αντίστροφο πρόβλημα. Βάζοντας στην εξίσωση (11.1) τις τιμές και λαμβάνουμε
Ας μετατρέψουμε αυτήν την εξίσωση:
(11.4)
Από αυτό προκύπτει ότι η εξίσωση (11.3) ορίζει έναν κύκλο υπό την συνθήκη 
. Το κέντρο του βρίσκεται στο σημείο 
και την ακτίνα
.
Αν 
, τότε η εξίσωση (11.3) έχει τη μορφή
.
Ικανοποιείται από τις συντεταγμένες ενός μόνο σημείου 
. Σε αυτή την περίπτωση, λένε: "ο κύκλος έχει εκφυλιστεί σε ένα σημείο" (έχει μηδενική ακτίνα).
Αν ένα 
, τότε η εξίσωση (11.4) και ως εκ τούτου η ισοδύναμη εξίσωση (11.3), δεν θα καθορίσει καμία ευθεία, αφού η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (11.4) είναι αρνητική και η αριστερή πλευρά δεν είναι αρνητική (ας πούμε: "φανταστικός κύκλος").
11.3. Ελλειψη
Κανονική εξίσωση έλλειψης
Ελλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζεται κόλπα , είναι μια σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.
Σημειώστε τις εστίες με F1και F2, η απόσταση μεταξύ τους σε 2 ντοκαι το άθροισμα των αποστάσεων από ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης έως τις εστίες - έως το 2 ένα(βλ. εικ. 49). Εξ ορισμού 2 ένα > 2ντο, δηλ. ένα
> ντο.
Για να εξαγάγουμε την εξίσωση μιας έλλειψης, επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι εστίες F1και F2βρίσκονται στον άξονα και η αρχή συμπίπτει με το μέσο του τμήματος F 1 F 2. Τότε οι εστίες θα έχουν τις εξής συντεταγμένες: και .
Έστω ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Στη συνέχεια, σύμφωνα με ορισμός μιας έλλειψης, , δηλ.
Αυτή, στην πραγματικότητα, είναι η εξίσωση μιας έλλειψης.
Μετατρέπουμε την εξίσωση (11.5) σε περισσότερα κοινή θέαμε τον εξής τρόπο:
Επειδή ένα>Με, έπειτα . Ας βάλουμε
(11.6)
Τότε η τελευταία εξίσωση παίρνει τη μορφή ή
(11.7)
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (11.7) είναι ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση. Λέγεται η κανονική εξίσωση της έλλειψης .
Η έλλειψη είναι μια καμπύλη δεύτερης τάξης.
Μελέτη του σχήματος μιας έλλειψης σύμφωνα με την εξίσωσή της
Ας καθορίσουμε το σχήμα της έλλειψης χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση.
1. Η εξίσωση (11.7) περιέχει x και y μόνο σε ζυγές δυνάμεις, οπότε αν ένα σημείο ανήκει σε μια έλλειψη, τότε τα σημεία ,, ανήκουν επίσης σε αυτήν. Από αυτό προκύπτει ότι η έλλειψη είναι συμμετρική ως προς τους άξονες και , καθώς και ως προς το σημείο , που ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.
2. Να βρείτε τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες συντεταγμένων. Βάζοντας , βρίσκουμε δύο σημεία και , στα οποία ο άξονας τέμνει την έλλειψη (βλ. Εικ. 50). Βάζοντας στην εξίσωση (11.7), βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα: και . σημεία ΕΝΑ 1 ,
Α2 , Β1, Β2που ονομάζεται οι κορυφές της έλλειψης. Τμήματα ΕΝΑ 1 Α2και Β1 Β2, καθώς και τα μήκη τους 2 ένακαι 2 σικαλούνται αντίστοιχα μεγάλους και δευτερεύοντες άξονεςέλλειψη. Αριθμοί ένακαι σιονομάζονται μεγάλα και μικρά αντίστοιχα. άξονεςέλλειψη.
3. Από την εξίσωση (11.7) προκύπτει ότι κάθε όρος στην αριστερή πλευρά δεν υπερβαίνει τον έναν, δηλ. υπάρχουν ανισότητες και ή και . Επομένως, όλα τα σημεία της έλλειψης βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις ευθείες γραμμές.
4. Στην εξίσωση (11.7), το άθροισμα των μη αρνητικών όρων και είναι ίσο με ένα. Κατά συνέπεια, όσο αυξάνεται ο ένας όρος, θα μειώνεται ο άλλος, δηλαδή αν αυξάνεται, τότε μειώνεται και το αντίστροφο.
Από όσα ειπώθηκαν, προκύπτει ότι η έλλειψη έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 50 (οβάλ κλειστή καμπύλη).
Επιπλέον πληροφορίεςσχετικά με την έλλειψη
Το σχήμα της έλλειψης εξαρτάται από την αναλογία. Όταν η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο, η εξίσωση έλλειψης (11.7) παίρνει τη μορφή . Ως χαρακτηριστικό του σχήματος μιας έλλειψης, η αναλογία χρησιμοποιείται συχνότερα. Ο λόγος του μισού της απόστασης μεταξύ των εστιών προς τον ημι-κύριο άξονα της έλλειψης ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και το o6o συμβολίζεται με το γράμμα ε ("έψιλον"):
με 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Αυτό δείχνει ότι όσο μικρότερη είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης, τόσο λιγότερο πεπλατυσμένη θα είναι η έλλειψη. αν βάλουμε ε = 0, τότε η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο.
Έστω M(x; y) ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης με εστίες F 1 και F 2 (βλ. Εικ. 51). Τα μήκη των τμημάτων F 1 M=r 1 και F 2 M = r 2 ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M. Προφανώς,
Υπάρχουν τύποι
Οι ευθείες γραμμές λέγονται
Θεώρημα 11.1.Αν είναι η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης σε κάποια εστία, d είναι η απόσταση από το ίδιο σημείο έως την ευθεία που αντιστοιχεί σε αυτήν την εστία, τότε ο λόγος είναι μια σταθερή τιμή ίση με την εκκεντρότητα της έλλειψης:
Από την ισότητα (11.6) προκύπτει ότι . Αν , τότε η εξίσωση (11.7) ορίζει μια έλλειψη, ο κύριος άξονας της οποίας βρίσκεται στον άξονα Oy και ο δευτερεύων άξονας βρίσκεται στον άξονα Ox (βλ. Εικ. 52). Οι εστίες μιας τέτοιας έλλειψης βρίσκονται στα σημεία και , όπου 
.
11.4. Υπερβολή
Κανονική εξίσωση υπερβολής
Υπερβολή ονομάζεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το μέτρο της διαφοράς των αποστάσεων από το καθένα από τα οποία σε δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζεται κόλπα , είναι μια σταθερή τιμή, μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.
Σημειώστε τις εστίες με F1και F2την απόσταση μεταξύ τους 2s, και το μέτρο της διαφοράς αποστάσεων από κάθε σημείο της υπερβολής έως τις διαμπερείς εστίες 2α. Εξ ορισμού 2α < 2s, δηλ. ένα < ντο.
Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της υπερβολής, επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι εστίες F1και F2βρίσκονται στον άξονα και η αρχή συνέπεσε με το μέσο του τμήματος F 1 F 2(βλ. εικ. 53). Τότε οι εστίες θα έχουν συντεταγμένες και
Έστω ένα αυθαίρετο σημείο της υπερβολής. Τότε σύμφωνα με τον ορισμό της υπερβολής 
ή , δηλ. Μετά από απλοποιήσεις, όπως έγινε κατά την εξαγωγή της εξίσωσης έλλειψης, παίρνουμε
κανονική εξίσωση μιας υπερβολής
(11.9)
(11.10)
Μια υπερβολή είναι μια γραμμή δεύτερης τάξης.
Διερεύνηση της μορφής μιας υπερβολής σύμφωνα με την εξίσωσή της
Ας καθορίσουμε το σχήμα της υπερβολής χρησιμοποιώντας την κακωνική της εξίσωση.
1. Η εξίσωση (11.9) περιέχει x και y μόνο σε ζυγές δυνάμεις. Επομένως, η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς τους άξονες και , καθώς και ως προς το σημείο , το οποίο ονομάζεται το κέντρο της υπερβολής.
2. Να βρείτε τα σημεία τομής της υπερβολής με τους άξονες συντεταγμένων. Βάζοντας στην εξίσωση (11.9), βρίσκουμε δύο σημεία τομής της υπερβολής με τον άξονα : και . Βάζοντας μέσα (11.9), λαμβάνουμε , το οποίο δεν μπορεί να είναι. Επομένως, η υπερβολή δεν τέμνει τον άξονα y.
Τα σημεία και καλούνται κορυφές υπερβολές και το τμήμα
πραγματικός άξονας , ευθύγραμμο τμήμα - πραγματικός ημιάξονας υπερβολή.
Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία ονομάζεται φανταστικός άξονας , αριθμός β - φανταστικός άξονας . Ορθογώνιο με πλευρές 2ακαι 2βπου ονομάζεται το κύριο ορθογώνιο μιας υπερβολής .
3. Από την εξίσωση (11.9) προκύπτει ότι το minuend δεν είναι μικρότερο από ένα, δηλ. ότι ή . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται στα δεξιά της ευθείας (ο δεξιός κλάδος της υπερβολής) και στα αριστερά της ευθείας (ο αριστερός κλάδος της υπερβολής).
4. Από την εξίσωση (11.9) της υπερβολής φαίνεται ότι όταν αυτή αυξάνεται, τότε αυξάνεται και αυτή. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η διαφορά διατηρεί σταθερή τιμή ίση με ένα.
Από όσα ειπώθηκαν προκύπτει ότι η υπερβολή έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχήμα 54 (μια καμπύλη που αποτελείται από δύο απεριόριστους κλάδους).
Ασύμπτωτες υπερβολής
Η ευθεία L ονομάζεται ασύμπτωτη 
μιας απεριόριστης καμπύλης Κ αν η απόσταση d από το σημείο Μ της καμπύλης Κ σε αυτήν την ευθεία τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης Κ απεριόριστα από την αρχή. Το Σχήμα 55 απεικονίζει την έννοια μιας ασύμπτωτης: η ευθεία L είναι μια ασύμπτωτη για την καμπύλη K.
Ας δείξουμε ότι η υπερβολή έχει δύο ασύμπτωτες:
(11.11)
Εφόσον οι ευθείες (11.11) και η υπερβολή (11.9) είναι συμμετρικές ως προς τους άξονες συντεταγμένων, αρκεί να ληφθούν υπόψη μόνο εκείνα τα σημεία των υποδεικνυόμενων γραμμών που βρίσκονται στο πρώτο τεταρτημόριο.
Πάρτε σε ευθεία ένα σημείο N που έχει την ίδια τετμημένη x με ένα σημείο υπερβολής 
(βλ. Εικ. 56), και βρείτε τη διαφορά ΜN μεταξύ των τεταγμένων της ευθείας γραμμής και του κλάδου της υπερβολής:
Όπως μπορείτε να δείτε, καθώς το x αυξάνεται, ο παρονομαστής του κλάσματος αυξάνεται. ο αριθμητής είναι μια σταθερή τιμή. Επομένως, το μήκος του τμήματος 
Το ΜΝ τείνει στο μηδέν. Εφόσον το ΜN είναι μεγαλύτερο από την απόσταση d από το σημείο Μ έως την ευθεία, τότε το d ακόμη περισσότερο τείνει στο μηδέν. Έτσι, οι γραμμές είναι ασύμπτωτες της υπερβολής (11.9).
Κατά την κατασκευή μιας υπερβολής (11.9), συνιστάται να κατασκευάσετε πρώτα το κύριο ορθογώνιο της υπερβολής (βλ. Εικ. 57), να σχεδιάσετε γραμμές που διέρχονται από τις απέναντι κορυφές αυτού του ορθογωνίου - τις ασύμπτωτες της υπερβολής και να σημειώσετε τις κορυφές και την υπερβολή .
Η εξίσωση μιας ισόπλευρης υπερβολής.
των οποίων οι ασύμπτωτες είναι οι συντεταγμένοι άξονες
Η υπερβολή (11.9) ονομάζεται ισόπλευρη αν οι ημιάξονές της είναι ίσοι (). Η κανονική του εξίσωση
(11.12)
Οι ασύμπτωτες μιας ισόπλευρης υπερβολής έχουν εξισώσεις και επομένως είναι διχοτόμοι των γωνιών συντεταγμένων.
Εξετάστε την εξίσωση αυτής της υπερβολής σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων (βλ. Εικ. 58), που λαμβάνεται από το παλιό περιστρέφοντας τους άξονες συντεταγμένων κατά γωνία. Χρησιμοποιούμε τους τύπους για την περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων:
Αντικαθιστούμε τις τιμές των x και y στην εξίσωση (11.12):
Η εξίσωση μιας ισόπλευρης υπερβολής, για την οποία οι άξονες Ox και Oy είναι ασύμπτωτοι, θα έχει τη μορφή .
Περισσότερα για την υπερβολή
εκκεντρικότητα υπερβολή (11.9) είναι ο λόγος της απόστασης μεταξύ των εστιών προς την τιμή του πραγματικού άξονα της υπερβολής, που συμβολίζεται με ε:
Επειδή για μια υπερβολή , η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι μεγαλύτερη από μία: . Η εκκεντρικότητα χαρακτηρίζει το σχήμα μιας υπερβολής. Πράγματι, από την ισότητα (11.10) προκύπτει ότι δηλ. και 
.
Αυτό δείχνει ότι όσο μικρότερη είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής, τόσο μικρότερη είναι η αναλογία - των ημιαξόνων της, που σημαίνει ότι τόσο περισσότερο εκτείνεται το κύριο ορθογώνιό της.
Η εκκεντρότητα μιας ισόπλευρης υπερβολής είναι . Πραγματικά,
Εστιακές ακτίνες 
και 
για τα σημεία του δεξιού κλάδου της υπερβολής έχουν τη μορφή και , και για το αριστερό - 
και 
.
Οι ευθείες γραμμές ονομάζονται κατευθύνσεις μιας υπερβολής. Αφού για την υπερβολή ε > 1, τότε . Αυτό σημαίνει ότι η δεξιά κατεύθυνση βρίσκεται μεταξύ του κέντρου και της δεξιάς κορυφής της υπερβολής, η αριστερή ευθεία είναι μεταξύ του κέντρου και της αριστερής κορυφής.
Οι κατευθύνσεις μιας υπερβολής έχουν την ίδια ιδιότητα με τις κατευθύνσεις μιας έλλειψης.
Η καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση είναι επίσης μια υπερβολή, ο πραγματικός άξονας 2b της οποίας βρίσκεται στον άξονα Oy και ο φανταστικός άξονας 2 ένα- στον άξονα Ox. Στο Σχήμα 59, εμφανίζεται ως διακεκομμένη γραμμή.
Προφανώς, οι υπερβολές και έχουν κοινές ασύμπτωτες. Τέτοιες υπερβολές ονομάζονται συζυγείς.
11.5. Παραβολή
Κανονική εξίσωση παραβολής
Παραβολή είναι το σύνολο όλων των σημείων σε ένα επίπεδο, καθένα από τα οποία απέχει εξίσου από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται εστία, και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή. Η απόσταση από την εστία F στον προσανατολισμό ονομάζεται παράμετρος της παραβολής και συμβολίζεται με p (p > 0).
Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της παραβολής, επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων Oxy έτσι ώστε ο άξονας Oxy να διέρχεται από την εστία F κάθετα προς την κατεύθυνση προς την κατεύθυνση από την ευθεία προς την F, και η αρχή O να βρίσκεται στη μέση μεταξύ της εστίας και της ευθείας (βλ. Εικ. 60). Στο επιλεγμένο σύστημα, η εστίαση F έχει συντεταγμένες και η εξίσωση κατευθύνσεων έχει τη μορφή , ή .
1. Στην εξίσωση (11.13), η μεταβλητή y περιλαμβάνεται σε άρτιο βαθμό, που σημαίνει ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Ox. ο άξονας x είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής.
2. Επειδή ρ > 0, προκύπτει από την (11.13) ότι . Επομένως, η παραβολή βρίσκεται στα δεξιά του άξονα y.
3. Όταν έχουμε y \u003d 0. Επομένως, η παραβολή διέρχεται από την αρχή.
4. Με απεριόριστη αύξηση στο x, η ενότητα y αυξάνεται επίσης απεριόριστα. Η παραβολή έχει τη μορφή (σχήμα) που φαίνεται στο σχήμα 61. Το σημείο O (0; 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής, το τμήμα FM \u003d r ονομάζεται εστιακή ακτίνα του σημείου M.
Εξισώσεις , , ( p>0) ορίζουν επίσης παραβολές, φαίνονται στο Σχήμα 62
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η γραφική παράσταση ενός τετράγωνου τριωνύμου, όπου , B και C είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, είναι παραβολή με την έννοια του παραπάνω ορισμού.
11.6. Γενική εξίσωση γραμμών δεύτερης τάξης
Εξισώσεις καμπυλών δεύτερης τάξης με άξονες συμμετρίας παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων
Ας βρούμε πρώτα την εξίσωση μιας έλλειψης με κέντρο ένα σημείο του οποίου οι άξονες συμμετρίας είναι παράλληλοι με τους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy και οι ημιάξονες είναι αντίστοιχα ίσοι με ένακαι σι. Ας τοποθετήσουμε στο κέντρο της έλλειψης O 1 την αρχή του νέου συστήματος συντεταγμένων , του οποίου οι άξονες και οι ημιάξονες ένακαι σι(βλ. εικ. 64):
Και τέλος, οι παραβολές που φαίνονται στο Σχήμα 65 έχουν αντίστοιχες εξισώσεις.
Η εξίσωση
Οι εξισώσεις μιας έλλειψης, υπερβολής, παραβολής και η εξίσωση ενός κύκλου μετά από μετασχηματισμούς (ανοιχτές αγκύλες, μετακινήστε όλους τους όρους της εξίσωσης προς μια κατεύθυνση, φέρτε όμοιους όρους, εισαγάγετε νέα σημείωση για τους συντελεστές) μπορούν να γραφούν χρησιμοποιώντας μια ενιαία εξίσωση η μορφή
όπου οι συντελεστές Α και Γ δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν.
Τίθεται το ερώτημα: κάποια εξίσωση της μορφής (11.14) καθορίζει μια από τις καμπύλες (κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή) δεύτερης τάξης; Η απάντηση δίνεται από το παρακάτω θεώρημα.
Θεώρημα 11.2. Η εξίσωση (11.14) ορίζει πάντα: είτε έναν κύκλο (για A = C), είτε μια έλλειψη (για A C > 0), είτε μια υπερβολή (για A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Γενική εξίσωση δεύτερης τάξης
Εξετάστε τώρα τη γενική εξίσωση του δεύτερου βαθμού με δύο άγνωστους:
Διαφέρει από την εξίσωση (11.14) από την παρουσία ενός όρου με το γινόμενο των συντεταγμένων (B1 0). Είναι δυνατόν, περιστρέφοντας τους άξονες των συντεταγμένων κατά μια γωνία α, να μετασχηματιστεί αυτή η εξίσωση έτσι ώστε ο όρος με το γινόμενο των συντεταγμένων να απουσιάζει σε αυτήν.
Χρήση τύπων για άξονες στροφής
Ας εκφράσουμε τις παλιές συντεταγμένες ως προς τις νέες:
Επιλέγουμε τη γωνία a έτσι ώστε ο συντελεστής στο x "y" να εξαφανιστεί, δηλ. έτσι ώστε η ισότητα
Έτσι, όταν οι άξονες περιστρέφονται μέσω μιας γωνίας α που ικανοποιεί την συνθήκη (11.17), η εξίσωση (11.15) ανάγεται στην εξίσωση (11.14).
συμπέρασμα: η γενική εξίσωση δεύτερης τάξης (11.15) ορίζει στο επίπεδο (εκτός από τις περιπτώσεις εκφυλισμού και φθοράς) τις ακόλουθες καμπύλες: κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή.
Σημείωση: Αν A = C, τότε η εξίσωση (11.17) χάνει τη σημασία της. Σε αυτή την περίπτωση cos2α = 0 (βλ. (11.16)), τότε 2α = 90°, δηλ. α = 45°. Έτσι, στο A = C, το σύστημα συντεταγμένων θα πρέπει να περιστραφεί κατά 45 °.
Μια έλλειψη είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία F_1, και το F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a), μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών δοθέντες πόντους(Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης.
Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης
Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η μεταξύ τους απόσταση 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μέσο O του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (αντίστοιχα, ο αριθμός α είναι ο κύριος ημιάξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες της ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M . Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης.
Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Γεωμετρικός ορισμός έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - μια γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης:
Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36, γ). Ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων λαμβάνεται το κέντρο Ο της έλλειψης. την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (τον εστιακό άξονα ή τον πρώτο άξονα της έλλειψης), θα πάρουμε ως άξονα της τετμημένης (τη θετική κατεύθυνση σε αυτήν από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). μια ευθεία γραμμή κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης), θα πάρουμε ως άξονα y (η κατεύθυνση στον άξονα y επιλέγεται έτσι ώστε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες Oxy αποδείχθηκε ότι ήταν σωστό).
Ας διατυπώσουμε την εξίσωση μιας έλλειψης χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Μεταφέρουμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και δίνουμε παρόμοιους όρους:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Δηλώνοντας b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε κανονική εξίσωσηέλλειψη:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό.
Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36.6), αφού a=b. Στην περίπτωση αυτή, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα a .
Με το αντίστροφο συλλογισμό, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49) και μόνο αυτά ανήκουν στον τόπο των σημείων, που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός μιας έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης.
Ιδιότητα καταλόγου μιας έλλειψης
Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που διέρχονται παράλληλα με τον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Για c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις έχουν αφαιρεθεί άπειρα).
Έλειψη με εκκεντρότητα 0
Πράγματι, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37.6) η συνθήκη \frac(r_2)(\rho_2)=eμπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τη διεύθυνση d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Εξίσωση έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες
Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ.3.37,c και 3.37(2)) έχει τη μορφή
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης.
Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi) , σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a . Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ. ):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση)
Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και δίνουμε παρόμοιους όρους:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Εκφράζουμε την πολική ακτίνα r και κάνουμε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης
Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37, α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές των zllips). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm a . Επομένως, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περικλείεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2a. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός a είναι ο κύριος ημιάξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας το x=0 , παίρνουμε y=\pm b . Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περικλείεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b ονομάζεται δευτερεύων ημιάξονας της έλλειψης.
Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0 όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται συντελεστής συστολής της έλλειψης.
Παρατηρήσεις 3.9
1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, μέσα στο οποίο βρίσκεται η έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α).
2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συστολή ενός κύκλου στη διάμετρό του.
Πράγματι, έστω στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy η κυκλική εξίσωση έχει τη μορφή x^2+y^2=a^2 . Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0 \begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις) Αντικαθιστώντας x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση του κύκλου, λαμβάνουμε μια εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x ,y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. 3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας. Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία M"(x,-y) και M""(-x,y) , συμμετρικά προς το σημείο M ως προς τους άξονες των συντεταγμένων. 4. Από την εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία της εστιακής παραμέτρου - αυτό είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα (r = p στο \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Η εκκεντρότητα e χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ έλλειψης και κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκη είναι η έλλειψη και όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι το e, τόσο πιο κοντά στον κύκλο είναι η έλλειψη (Εικ. 3.38, α). Πράγματι, δεδομένου ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2 , παίρνουμε e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\αριστερά(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} όπου k είναι ο συντελεστής συστολής της έλλειψης, 0 6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1για ένα 7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο το σημείο O "(x_0, y_0) , της οποίας οι άξονες είναι παράλληλοι με τους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36). Για a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) . Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (3.49), φτάνουμε στη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1. Παράδειγμα 3.20.σχεδίαση έλλειψης \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy . Βρείτε ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, λόγο διαστάσεων, εστιακή παράμετρο, εξισώσεις κατευθύνσεων. Λύση.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ο κύριος ημιάξονας, b=1 - ο δευτερεύων ημιάξονας της έλλειψης. Χτίζουμε το κύριο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2a=4,~2b=2 κεντραρισμένες στην αρχή (Εικ.3.39). Δεδομένης της συμμετρίας της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας το x=1 στην εξίσωση έλλειψης, παίρνουμε \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν σε έλλειψη. Υπολογίστε την αναλογία συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακό μήκος 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Μια έλλειψη είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία F_1, και το F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a), μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών των δεδομένων σημείων (Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης. Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η μεταξύ τους απόσταση 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μέσο O του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (αντίστοιχα, ο αριθμός α είναι ο κύριος ημιάξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες της ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M . Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης. Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Γεωμετρικός ορισμός έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - μια γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης: Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36, γ). Ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων λαμβάνεται το κέντρο Ο της έλλειψης. την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (τον εστιακό άξονα ή τον πρώτο άξονα της έλλειψης), θα πάρουμε ως άξονα της τετμημένης (τη θετική κατεύθυνση σε αυτήν από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). η ευθεία κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης) λαμβάνεται ως άξονας y (η κατεύθυνση στον άξονα y επιλέγεται έτσι ώστε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να είναι ορθό ). Ας διατυπώσουμε την εξίσωση μιας έλλειψης χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε: \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Μεταφέρουμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και δίνουμε παρόμοιους όρους: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx. Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης: A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). Δηλώνοντας b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τα δύο μέρη με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό. Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36.6), αφού a=b. Στην περίπτωση αυτή, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα a . Με το αντίστροφο συλλογισμό, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49) και μόνο αυτά ανήκουν στον τόπο των σημείων, που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός μιας έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης. Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που διέρχονται παράλληλα με τον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Για c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις έχουν αφαιρεθεί άπειρα). Έλειψη με εκκεντρότητα 0 Πράγματι, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37.6) η συνθήκη \frac(r_2)(\rho_2)=eμπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τη διεύθυνση d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e. Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ.3.37,c και 3.37(2)) έχει τη μορφή R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης. Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi) , σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a . Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ. σημείο 2 των παρατηρήσεων 2.8): \begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση) Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και δίνουμε παρόμοιους όρους: R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. Εκφράζουμε την πολική ακτίνα r και κάνουμε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Q.E.D. Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37, α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές των zllips). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm a . Επομένως, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περικλείεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2a. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός a είναι ο κύριος ημιάξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας το x=0 , παίρνουμε y=\pm b . Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περικλείεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b ονομάζεται δευτερεύων ημιάξονας της έλλειψης. Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0 όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται συντελεστής συστολής της έλλειψης. Παρατηρήσεις 3.9 1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, μέσα στο οποίο βρίσκεται η έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α). 2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συστολή ενός κύκλου στη διάμετρό του. Πράγματι, έστω στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy η κυκλική εξίσωση έχει τη μορφή x^2+y^2=a^2 . Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0 \begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις) Αντικαθιστώντας x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση του κύκλου, λαμβάνουμε μια εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x ,y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. 3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας. Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία M"(x,-y) και M""(-x,y) , συμμετρικά προς το σημείο M ως προς τους άξονες των συντεταγμένων. 4. Από την εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία της εστιακής παραμέτρου - αυτό είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Η εκκεντρότητα e χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ έλλειψης και κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκη είναι η έλλειψη και όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι το e, τόσο πιο κοντά στον κύκλο είναι η έλλειψη (Εικ. 3.38, α). Πράγματι, δεδομένου ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2 , παίρνουμε E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} όπου k είναι ο συντελεστής συστολής της έλλειψης, 0 6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1για ένα
7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο το σημείο O "(x_0, y_0) , της οποίας οι άξονες είναι παράλληλοι με τους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36). Για a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) . Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με την εξίσωση (3.49), καταλήγουμε στη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1 . Παράδειγμα 3.20.σχεδίαση έλλειψης \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy . Βρείτε ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, λόγο διαστάσεων, εστιακή παράμετρο, εξισώσεις κατευθύνσεων. Λύση.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ο κύριος ημιάξονας, b=1 - ο δευτερεύων ημιάξονας της έλλειψης. Χτίζουμε το κύριο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2a=4,~2b=2 κεντραρισμένες στην αρχή (Εικ.3.39). Δεδομένης της συμμετρίας της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας το x=1 στην εξίσωση έλλειψης, παίρνουμε \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν σε έλλειψη. Υπολογίστε την αναλογία συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακό μήκος 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Παραμετρική εξίσωση έλλειψης
Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης
Ιδιότητα καταλόγου μιας έλλειψης
Εξίσωση έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες
Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης
Παραμετρική εξίσωση έλλειψης
Τα στοιχεία ελέγχου ActiveX πρέπει να είναι ενεργοποιημένα για να κάνετε υπολογισμούς!