Πώς να λύσετε απλές ανισότητες. ανισότητες

Δεν ξέρουν όλοι πώς να λύνουν ανισότητες που, από τη δομή τους, έχουν παρόμοια και χαρακτηριστικά γνωρίσματαμε εξισώσεις. Η εξίσωση είναι μια άσκηση που αποτελείται από δύο μέρη, μεταξύ των οποίων υπάρχει πρόσημο ίσου, και μεταξύ των μερών της ανισότητας μπορεί να υπάρχει πρόσημο μεγαλύτερο ή μικρότερο από. Έτσι, πριν βρούμε μια λύση σε μια συγκεκριμένη ανισότητα, πρέπει να καταλάβουμε ότι αξίζει να εξετάσουμε το πρόσημο του αριθμού (θετικό ή αρνητικό) εάν καταστεί απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη με οποιαδήποτε έκφραση. Το ίδιο γεγονός θα πρέπει να ληφθεί υπόψη εάν απαιτείται τετραγωνισμός για την επίλυση της ανισότητας, αφού ο τετραγωνισμός πραγματοποιείται με πολλαπλασιασμό.

Πώς να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων

Είναι πολύ πιο δύσκολο να λυθούν συστήματα ανισοτήτων από τις συνηθισμένες ανισότητες. Πώς να λύσετε ανισότητες κατηγορίας 9, σκεφτείτε συγκεκριμένα παραδείγματα. Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι πριν αποφασίσει τετραγωνικές ανισότητες(συστήματα) ή οποιοδήποτε άλλο σύστημα ανισοτήτων, είναι απαραίτητο να λυθεί κάθε ανισότητα χωριστά και στη συνέχεια να συγκριθούν. Η λύση στο σύστημα της ανισότητας θα είναι είτε θετική είτε αρνητική απάντηση (είτε το σύστημα έχει λύση είτε όχι).

Το καθήκον είναι να λύσουμε ένα σύνολο ανισοτήτων:

Ας λύσουμε κάθε ανισότητα ξεχωριστά

Χτίζουμε μια αριθμητική γραμμή στην οποία απεικονίζουμε το σύνολο των λύσεων

Δεδομένου ότι το σύνολο είναι η ένωση συνόλων λύσεων, αυτό το σύνολο στην αριθμητική γραμμή πρέπει να υπογραμμίζεται τουλάχιστον με μία γραμμή.

Επίλυση ανισώσεων με συντελεστή

Αυτό το παράδειγμα θα δείξει πώς να λύσετε ανισότητες με συντελεστή. Έχουμε λοιπόν έναν ορισμό:

Πρέπει να λύσουμε την ανισότητα:

Πριν λύσετε μια τέτοια ανισότητα, είναι απαραίτητο να απαλλαγείτε από τη μονάδα (σημάδι)

Γράφουμε, με βάση τα δεδομένα του ορισμού:

Τώρα είναι απαραίτητο να λύσουμε κάθε ένα από τα συστήματα ξεχωριστά.

Ας κατασκευάσουμε μια αριθμητική γραμμή, στην οποία θα απεικονίσουμε τα σύνολα των λύσεων.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε μια συλλογή που συνδυάζει πολλές λύσεις.

Επίλυση Τετραγωνικών Ανισώσεων

Χρησιμοποιώντας την αριθμητική γραμμή, εξετάστε το παράδειγμα επίλυσης τετραγωνικών ανισώσεων. Έχουμε μια ανισότητα:

Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι παραβολή. Γνωρίζουμε επίσης ότι οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω αν a>0.

x2-3x-4< 0

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, βρίσκουμε τις ρίζες x 1 = - 1; x 2 = 4

Ας σχεδιάσουμε μια παραβολή, ή μάλλον, το σκίτσο της.

Έτσι, ανακαλύψαμε ότι οι τιμές του τετραγωνικού τριωνύμου θα είναι μικρότερες από 0 στο τμήμα από -1 έως 4.

Πολλοί άνθρωποι έχουν ερωτήσεις όταν λύνουν διπλές ανισότητες όπως g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυση ανισώσεων, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια γραφική μέθοδο για να λύσετε σύνθετες ανισώσεις.

Επίλυση κλασματικών ανισώσεων

Απαιτείται πιο προσεκτική προσέγγιση κλασματικές ανισώσεις. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κατά τη διαδικασία επίλυσης ορισμένων κλασματικών ανισώσεων, το πρόσημο μπορεί να αλλάξει. Πριν λύσετε κλασματικές ανισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε ότι για την επίλυσή τους χρησιμοποιείται η μέθοδος του διαστήματος. Η κλασματική ανισότητα πρέπει να αναπαρίσταται με τέτοιο τρόπο ώστε η μία πλευρά του σημείου να μοιάζει με μια κλασματική ορθολογική έκφραση και η άλλη - "- 0". Μετασχηματίζοντας την ανισότητα με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε ως αποτέλεσμα f(x)/g(x) > (.

Επίλυση ανισώσεων με τη μέθοδο του διαστήματος

Η τεχνική του διαστήματος βασίζεται στη μέθοδο της πλήρους επαγωγής, δηλαδή είναι απαραίτητο να περάσει από όλα πιθανές επιλογές. Αυτή η μέθοδοςΜπορεί να μην απαιτούνται λύσεις για τους μαθητές της 8ης τάξης, καθώς θα πρέπει να γνωρίζουν πώς να λύνουν τις ανισότητες της 8ης τάξης, που είναι οι απλούστερες ασκήσεις. Αλλά για μεγαλύτερες τάξεις, αυτή η μέθοδος είναι απαραίτητη, καθώς βοηθά στην επίλυση κλασματικών ανισοτήτων. Η λύση των ανισοτήτων χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική βασίζεται επίσης σε μια τέτοια ιδιότητα συνεχούς συνάρτησης όπως η διατήρηση του πρόσημου μεταξύ των τιμών στις οποίες μετατρέπεται σε 0.

Ας σχεδιάσουμε ένα πολυώνυμο. Αυτή είναι μια συνεχής συνάρτηση που παίρνει την τιμή 0 3 φορές, δηλαδή, η f(x) θα είναι ίση με 0 στα σημεία x 1 , x 2 και x 3 , τις ρίζες του πολυωνύμου. Μεταξύ αυτών των σημείων διατηρείται το πρόσημο της συνάρτησης.

Εφόσον χρειαζόμαστε το πρόσημο της συνάρτησης για να λύσουμε την ανίσωση f(x)>0, περνάμε στη γραμμή συντεταγμένων, αφήνοντας το γράφημα.

f(x)>0 για x(x 1 ; x 2) και για x(x 3 ;)

f (x) x (-; x 1) και για x (x 2; x 3)

Το γράφημα δείχνει καθαρά τις λύσεις των ανισώσεων f(x)f(x)>0 (η λύση για την πρώτη ανισότητα είναι με μπλε και η λύση για τη δεύτερη με κόκκινο). Προσδιορισμός Για να προσδιορίσετε το πρόσημο μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα, αρκεί να γνωρίζετε το πρόσημο της συνάρτησης σε ένα από τα σημεία. Αυτή η τεχνική σάς επιτρέπει να επιλύετε γρήγορα ανισότητες στις οποίες παραγοντοποιείται η αριστερή πλευρά, επειδή σε τέτοιες ανισότητες είναι αρκετά εύκολο να βρείτε τις ρίζες.

Ένα από τα θέματα που απαιτεί τη μέγιστη προσοχή και επιμονή από τους μαθητές είναι η επίλυση των ανισοτήτων. Τόσο παρόμοια με τις εξισώσεις και ταυτόχρονα πολύ διαφορετική από αυτές. Γιατί η λύση τους απαιτεί ειδική προσέγγιση.

Ιδιότητες που απαιτούνται για να βρεθεί η απάντηση

Όλα χρησιμοποιούνται για την αντικατάσταση μιας υπάρχουσας καταχώρισης με μια αντίστοιχη. Τα περισσότερα από αυτά είναι παρόμοια με αυτά που υπήρχαν στις εξισώσεις. Υπάρχουν όμως και διαφορές.

Μια συνάρτηση που ορίζεται στο DPV, ή οποιοσδήποτε αριθμός, μπορεί να προστεθεί και στα δύο μέρη της αρχικής ανισότητας.
Ομοίως, ο πολλαπλασιασμός είναι δυνατός, αλλά μόνο με μια θετική συνάρτηση ή αριθμό.
Εάν αυτή η ενέργεια εκτελείται με αρνητική συνάρτηση ή αριθμό, τότε το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αντιστραφεί.
Οι συναρτήσεις που δεν είναι αρνητικές μπορούν να αυξηθούν σε θετική ισχύ.

Μερικές φορές η επίλυση των ανισοτήτων συνοδεύεται από ενέργειες που δίνουν εξωγενείς απαντήσεις. Πρέπει να εξαλειφθούν συγκρίνοντας την περιοχή ODZ και το σύνολο των λύσεων.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απόστασης

Η ουσία του είναι να μειώσει την ανισότητα σε μια εξίσωση στην οποία το μηδέν βρίσκεται στη δεξιά πλευρά.

Προσδιορίστε την περιοχή όπου βρίσκονται οι επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών, δηλαδή το ODZ.
Μετασχηματίστε την ανισότητα χρησιμοποιώντας μαθηματικές πράξεις έτσι ώστε η δεξιά πλευρά της να είναι μηδέν.
Αντικαταστήστε το πρόσημο της ανισότητας με "=" και λύστε την αντίστοιχη εξίσωση.
Στον αριθμητικό άξονα, σημειώστε όλες τις απαντήσεις που προέκυψαν κατά τη διάρκεια της λύσης, καθώς και τα διαστήματα του ODZ. Σε περίπτωση αυστηρής ανισότητας, τα σημεία πρέπει να σχεδιάζονται τρυπημένα. Εάν υπάρχει σύμβολο ίσου, τότε υποτίθεται ότι είναι βαμμένα.
Προσδιορίστε το πρόσημο της αρχικής συνάρτησης σε κάθε διάστημα που προκύπτει από τα σημεία του ODZ και τις απαντήσεις που το διαιρούν. Αν το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει κατά τη διέλευση από ένα σημείο, τότε εισάγει την απάντηση. Διαφορετικά, αποκλείεται.
Τα οριακά σημεία για το ODZ πρέπει να ελέγχονται επιπλέον και μόνο τότε να περιλαμβάνονται ή όχι ως απάντηση.
Η απάντηση που λαμβάνεται πρέπει να γράφεται με τη μορφή ενιαίων συνόλων.

Λίγο για τις διπλές ανισότητες

Χρησιμοποιούν δύο σημάδια ανισότητας στο αρχείο ταυτόχρονα. Δηλαδή, κάποια λειτουργία περιορίζεται από συνθήκες δύο φορές ταυτόχρονα. Τέτοιες ανισότητες επιλύονται ως σύστημα δύο, όταν η αρχική χωρίζεται σε μέρη. Και στη μέθοδο των διαστημάτων υποδεικνύονται οι απαντήσεις από τη λύση και των δύο εξισώσεων.

Για την επίλυσή τους, επιτρέπεται επίσης η χρήση των ιδιοτήτων που αναφέρονται παραπάνω. Με τη βοήθειά τους, είναι βολικό να μειωθεί η ανισότητα στο μηδέν.

Τι γίνεται με τις ανισότητες που έχουν συντελεστή;

Σε αυτή την περίπτωση, η λύση των ανισώσεων χρησιμοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες ισχύουν για μια θετική τιμή "a".

Εάν το "x" παίρνει μια αλγεβρική παράσταση, τότε ισχύουν οι ακόλουθες αντικαταστάσεις:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > a στο x< -a или х >ένα.

Αν οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές, τότε αληθεύουν και οι τύποι, μόνο που σε αυτούς, εκτός από το μεγαλύτερο ή μικρότερο πρόσημο, εμφανίζεται και το «=».

Πώς λύνεται το σύστημα των ανισοτήτων;

Αυτή η γνώση θα απαιτηθεί σε εκείνες τις περιπτώσεις που δίνεται μια τέτοια εργασία ή υπάρχει εγγραφή διπλής ανισότητας ή εμφανίζεται μια ενότητα στην εγγραφή. Σε μια τέτοια κατάσταση, η λύση θα είναι τέτοιες τιμές των μεταβλητών που θα ικανοποιούσαν όλες τις ανισότητες στην εγγραφή. Εάν δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Το σχέδιο σύμφωνα με το οποίο πραγματοποιείται η επίλυση του συστήματος των ανισοτήτων:

λύστε το καθένα ξεχωριστά.
απεικονίζουν όλα τα διαστήματα στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίζουν τις τομές τους.
γράψτε την απάντηση του συστήματος, η οποία θα είναι η ένωση αυτού που συνέβη στη δεύτερη παράγραφο.

Τι γίνεται με τις κλασματικές ανισότητες;

Εφόσον κατά την επίλυσή τους μπορεί να χρειαστεί να αλλάξει το πρόσημο της ανισότητας, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε όλα τα σημεία του σχεδίου πολύ προσεκτικά και προσεκτικά. Διαφορετικά, μπορεί να λάβετε την αντίθετη απάντηση.

Η επίλυση κλασματικών ανισώσεων χρησιμοποιεί επίσης τη μέθοδο του διαστήματος. Και το σχέδιο δράσης θα είναι:

Χρησιμοποιώντας τις περιγραφόμενες ιδιότητες, δώστε στο κλάσμα τέτοια μορφή που να παραμένει μόνο το μηδέν στα δεξιά του πρόσημου.
Αντικαταστήστε την ανισότητα με "=" και προσδιορίστε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση θα είναι ίση με το μηδέν.
Σημειώστε τα στον άξονα συντεταγμένων. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί που προκύπτουν από τους υπολογισμούς στον παρονομαστή θα διαγράφονται πάντα. Όλα τα άλλα βασίζονται στην συνθήκη της ανισότητας.
Προσδιορίστε διαστήματα σταθερότητας.
Σε απάντηση, γράψτε την ένωση των διαστημάτων των οποίων το πρόσημο αντιστοιχεί σε αυτό που ήταν στην αρχική ανισότητα.

Καταστάσεις που ο παραλογισμός εμφανίζεται στην ανισότητα

Με άλλα λόγια, υπάρχει μια μαθηματική ρίζα στο αρχείο. Αφού στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας τα περισσότερα απόΟι εργασίες αφορούν την τετραγωνική ρίζα, τότε θα ληφθούν υπόψη.

Η λύση των παράλογων ανισοτήτων καταλήγει στο να πάρουμε ένα σύστημα δύο ή τριών που θα είναι ισοδύναμο με το αρχικό.

Αρχική ανισότητα	κατάσταση	ισοδύναμο σύστημα
√ n(x)< m(х)	Το m(x) είναι μικρότερο ή ίσο με 0	χωρίς λύσεις
√ n(x)< m(х)	Το m(x) είναι μεγαλύτερο από 0	Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		Το m(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 Το m(x) είναι μικρότερο από 0
√n(х) ≤ m(х)	Το m(x) είναι μικρότερο από 0	χωρίς λύσεις
√n(х) ≤ m(х)	Το m(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0	Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(x) ≥ m(x)		Το m(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 Το m(x) είναι μικρότερο από 0
√ n(x)< √ m(х)		Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0 Το n(x) είναι μικρότερο από το m(x)
√n(x) * m(x)< 0		Το n(x) είναι μεγαλύτερο από 0 Το m(x) είναι μικρότερο από 0
√n(x) * m(x) > 0		Το n(x) είναι μεγαλύτερο από 0 Το m(x) είναι μεγαλύτερο από 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		Το n(x) είναι μεγαλύτερο από 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		Το n(x) είναι 0 m(x) -οποιοσδήποτε
√n(x) * m(x) ≥ 0		Το n(x) είναι μεγαλύτερο από 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		Το n(x) είναι 0 m(x) -οποιοσδήποτε

Παραδείγματα επίλυσης διαφορετικών τύπων ανισοτήτων

Προκειμένου να προστεθεί σαφήνεια στη θεωρία για την επίλυση ανισοτήτων, δίνονται παραδείγματα παρακάτω.

Πρώτο παράδειγμα. 2x - 4 > 1 + x

Λύση: Για τον προσδιορισμό του DHS, χρειάζεται μόνο να εξετάσουμε προσεκτικά την ανισότητα. Σχηματίζεται από γραμμικές συναρτήσεις, επομένως ορίζεται για όλες τις τιμές της μεταβλητής.

Τώρα και από τις δύο πλευρές της ανισότητας πρέπει να αφαιρέσετε (1 + x). Αποδεικνύεται: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Αφού ανοίξουν οι αγκύλες και δοθούν παρόμοιοι όροι, η ανισότητα θα πάρει την εξής μορφή: x - 5 > 0.

Εξισώνοντάς το με το μηδέν, είναι εύκολο να βρεθεί η λύση του: x = 5.

Τώρα αυτό το σημείο με τον αριθμό 5 πρέπει να σημειωθεί στη δέσμη συντεταγμένων. Στη συνέχεια ελέγξτε τα σημάδια της αρχικής λειτουργίας. Στο πρώτο διάστημα από το μείον το άπειρο έως το 5, μπορείτε να πάρετε τον αριθμό 0 και να τον αντικαταστήσετε στην ανισότητα που προκύπτει μετά τους μετασχηματισμούς. Μετά από υπολογισμούς προκύπτει -7 >0. κάτω από το τόξο του διαστήματος πρέπει να υπογράψετε ένα σύμβολο μείον.

Στο επόμενο διάστημα από το 5 έως το άπειρο, μπορείτε να επιλέξετε τον αριθμό 6. Τότε αποδεικνύεται ότι 1 > 0. Το σύμβολο «+» υπογράφεται κάτω από το τόξο. Αυτό το δεύτερο διάστημα θα είναι η απάντηση στην ανισότητα.

Απάντηση: το x βρίσκεται στο διάστημα (5; ∞).

Δεύτερο παράδειγμα. Απαιτείται η επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων: 3x + 3 ≤ 2x + 1 και 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Λύση. Το ODZ αυτών των ανισώσεων βρίσκεται επίσης στην περιοχή οποιωνδήποτε αριθμών, αφού δίνονται γραμμικές συναρτήσεις.

Η δεύτερη ανισότητα θα πάρει τη μορφή της ακόλουθης εξίσωσης: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Μετά το μετασχηματισμό: -x - 4 =0. Παράγει μια τιμή για τη μεταβλητή ίση με -4.

Αυτοί οι δύο αριθμοί πρέπει να σημειωθούν στον άξονα, δείχνοντας τα διαστήματα. Δεδομένου ότι η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, όλα τα σημεία πρέπει να είναι σκιασμένα. Το πρώτο διάστημα είναι από μείον άπειρο έως -4. Αφήστε τον αριθμό -5 να επιλεγεί. Η πρώτη ανισότητα θα δώσει την τιμή -3 και η δεύτερη 1. Άρα αυτό το διάστημα δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση.

Το δεύτερο διάστημα είναι από -4 έως -2. Μπορείτε να επιλέξετε τον αριθμό -3 και να τον αντικαταστήσετε και στις δύο ανισώσεις. Στο πρώτο και στο δεύτερο προκύπτει η τιμή -1. Έτσι, κάτω από το τόξο "-".

Στο τελευταίο διάστημα από το -2 έως το άπειρο, το μηδέν είναι ο καλύτερος αριθμός. Πρέπει να το αντικαταστήσετε και να βρείτε τις τιμές των ανισοτήτων. Στο πρώτο από αυτά προκύπτει ένας θετικός αριθμός και στο δεύτερο μηδέν. Αυτό το διάστημα θα πρέπει επίσης να εξαιρεθεί από την απάντηση.

Από τα τρία διαστήματα, μόνο ένα είναι η λύση της ανισότητας.

Απάντηση: το x ανήκει στο [-4; -2].

Τρίτο παράδειγμα. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Λύση. Το πρώτο βήμα είναι να προσδιοριστούν τα σημεία στα οποία εξαφανίζονται οι συναρτήσεις. Για το αριστερό, ο αριθμός αυτός θα είναι 2, για το δεξί - 1. Πρέπει να σημειωθούν στη δοκό και να καθοριστούν τα διαστήματα σταθερότητας.

Στο πρώτο διάστημα, από μείον άπειρο έως 1, η συνάρτηση από την αριστερή πλευρά της ανισότητας παίρνει θετικές αξίες, και από τα δεξιά - αρνητικό. Κάτω από το τόξο, πρέπει να γράψετε δύο σημάδια "+" και "-" το ένα δίπλα στο άλλο.

Το επόμενο διάστημα είναι από το 1 έως το 2. Σε αυτό, και οι δύο συναρτήσεις παίρνουν θετικές τιμές. Έτσι, υπάρχουν δύο πλεονεκτήματα κάτω από το τόξο.

Το τρίτο διάστημα από το 2 έως το άπειρο θα δώσει το εξής αποτέλεσμα: η αριστερή συνάρτηση είναι αρνητική, η δεξιά είναι θετική.

Λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια που προκύπτουν, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι τιμές ανισότητας για όλα τα διαστήματα.

Στην πρώτη, προκύπτει η ακόλουθη ανισότητα: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Το μείον πριν από τα δύο στη δεύτερη ανισότητα οφείλεται στο γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι αρνητική.

Μετά τον μετασχηματισμό, η ανισότητα μοιάζει με αυτό: x > 0. Δίνει αμέσως τις τιμές της μεταβλητής. Δηλαδή, από αυτό το διάστημα, μόνο το διάστημα από το 0 έως το 1 θα πάει σε απόκριση.

Στο δεύτερο: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Οι μετασχηματισμοί θα δώσουν μια τέτοια ανισότητα: -3x + 4 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Το μηδέν του θα είναι η τιμή x = 4/3. Λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο της ανισότητας, προκύπτει ότι το x πρέπει να είναι μικρότερο από αυτόν τον αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το διάστημα μειώνεται στο διάστημα από 1 έως 4/3.

Το τελευταίο δίνει την ακόλουθη εγγραφή ανισότητας: - (2 - x) > 2 (x - 1). Ο μετασχηματισμός του οδηγεί σε αυτό: -x > 0. Δηλαδή, η εξίσωση ισχύει για x μικρότερο από μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η ανισότητα δεν δίνει λύσεις στο απαιτούμενο διάστημα.

Στα δύο πρώτα διαστήματα, ο οριακός αριθμός ήταν 1. Πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά. Δηλαδή, αντικαταστήστε την αρχική ανισότητα. Αποδεικνύεται: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Η μέτρηση δίνει ότι το 1 είναι μεγαλύτερο από το 0. Αυτή είναι μια αληθινή πρόταση, επομένως ένα περιλαμβάνεται στην απάντηση.

Απάντηση: το x βρίσκεται στο διάστημα (0; 4/3).

Είναι ευκολότερο να πούμε ότι πρόκειται για ανισότητες στις οποίες υπάρχει μια μεταβλητή μόνο στον πρώτο βαθμό και δεν είναι στον παρονομαστή του κλάσματος.

Παραδείγματα:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Παραδείγματα μη γραμμικών ανισοτήτων:

\(3>-2\) - δεν υπάρχουν μεταβλητές εδώ, μόνο αριθμοί, άρα αυτή η αριθμητική ανισότητα
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) είναι μια μεταβλητή στον παρονομαστή, είναι
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - υπάρχει μια μεταβλητή στο δεύτερο βαθμό, αυτή

Επίλυση γραμμικών ανισώσεων

Λύση ανισότηταςθα υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός του οποίου η αντικατάσταση μιας μεταβλητής θα κάνει την ανισότητα αληθινή. Λύστε την ανισότητασημαίνει να βρεις όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για παράδειγμα, για την ανισότητα \(x-2>0\), ο αριθμός \(5\) θα είναι η λύση, επειδή όταν αντικαθιστούμε πέντε αντί για x, παίρνουμε το σωστό αριθμητικό: \(3>0\). Αλλά ο αριθμός \(1\) δεν θα είναι λύση, καθώς η αντικατάσταση θα έχει ως αποτέλεσμα μια εσφαλμένη αριθμητική ανισότητα: \(-1>0\) . Αλλά η λύση στην ανισότητα δεν θα είναι μόνο πέντε, αλλά και \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) και ένας άπειρος αριθμός αριθμών: οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος από δύο.

Να γιατί γραμμικές ανισότητεςδεν λύνονται με απαρίθμηση και αντικατάσταση τιμών. Αντίθετα, χρησιμοποιώντας τα οδηγεί σε ένα από τα ακόλουθα:

\(Χ c\), \(x\leqc\), \(x\geqc\), όπου \(c\) είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Μετά από αυτό, η απάντηση σημειώνεται στον αριθμητικό άξονα και καταγράφεται στη φόρμα (ονομάζεται επίσης διάστημα).

Γενικά, αν ξέρετε πώς να λύνετε, τότε οι γραμμικές ανισότητες είναι μέσα σας, γιατί η διαδικασία επίλυσης είναι πολύ παρόμοια. Υπάρχει μόνο μια σημαντική προσθήκη:

Παράδειγμα. Λύστε την ανίσωση \(2(x+1)-1<7+8x\)
Λύση:

Απάντηση: \(x\in(-1;\infty)\)

Ειδική περίπτωση #1: η λύση της ανίσωσης είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Στις γραμμικές ανισώσεις, μια κατάσταση είναι δυνατή όταν απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός θα πάει ως λύση - ακέραιος, κλασματικός, αρνητικός, θετικός, μηδέν ... Για παράδειγμα, μια τέτοια ανισότητα \ (x + 2> x \) θα ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του x. Λοιπόν, πώς θα μπορούσε να είναι διαφορετικά, γιατί ένα δίδυμο προστέθηκε στο Χ στα αριστερά, αλλά όχι στα δεξιά. Φυσικά, θα ληφθεί μεγαλύτερος αριθμός στα αριστερά, ανεξάρτητα από το x που πάρουμε.

Παράδειγμα. Λύστε την ανίσωση \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Λύση:

Απάντηση: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Ειδική περίπτωση #2: η ανισότητα δεν έχει λύσεις

Η αντίθετη κατάσταση είναι επίσης δυνατή, όταν μια γραμμική ανισότητα δεν έχει καθόλου λύσεις, δηλαδή κανένα x δεν θα την κάνει αληθινή. Για παράδειγμα, το \(x-2>x\) δεν θα είναι ποτέ αληθές, επειδή το δύο αφαιρείται από το x στα αριστερά, αλλά όχι στα δεξιά. Αυτό σημαίνει ότι η αριστερά θα είναι πάντα λιγότερη, όχι περισσότερη.

Παράδειγμα. Λύστε την ανισότητα \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Λύση:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Μας ενοχλούν οι παρονομαστές. Τα ξεφορτωθούμε αμέσως πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την ανισότητα με τον κοινό παρονομαστή όλων , δηλαδή επί 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -ένας\)\()\)		Ας ανοίξουμε τις αγκύλες
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Μειώστε ό,τι μπορεί να μειωθεί
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		Αριστερά ανοίγουμε την αγκύλη και δεξιά παρουσιάζουμε σαν όρους
\(3x-15>3x-4\)		Ας μετακινηθούμε \(3x\) προς τα αριστερά και \(-15\) προς τα δεξιά, αλλάζοντας τα σημάδια
\(3x-3x>-4+15\)		Φέρνουμε πάλι παρόμοιους όρους
		Πήραμε λάθος αριθμητική ανισότητα. Και θα είναι λάθος για οποιοδήποτε x, γιατί δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο την προκύπτουσα ανισότητα. Επομένως, οποιαδήποτε τιμή του x δεν θα είναι λύση.

Απάντηση: \(x\in\varnothing\)

Η έννοια της μαθηματικής ανισότητας προέκυψε στην αρχαιότητα. Αυτό συνέβη όταν πρωτόγονος άνθρωποςχρειαζόταν μέτρηση και ενέργειες με διάφορα αντικείμενα για σύγκριση του αριθμού και του μεγέθους τους. Από την αρχαιότητα, οι ανισότητες χρησιμοποιήθηκαν στο συλλογισμό τους από τον Αρχιμήδη, τον Ευκλείδη και άλλους διάσημους επιστήμονες: μαθηματικούς, αστρονόμους, σχεδιαστές και φιλοσόφους.

Αλλά, κατά κανόνα, χρησιμοποιούσαν λεκτική ορολογία στα έργα τους. Για πρώτη φορά, σύγχρονες πινακίδες που υποδηλώνουν τις έννοιες «περισσότερο» και «λιγότερο» με τη μορφή που κάθε μαθητής γνωρίζει σήμερα επινοήθηκαν και εφαρμόστηκαν στην Αγγλία. Ο μαθηματικός Thomas Harriot προσέφερε μια τέτοια υπηρεσία στους απογόνους. Και συνέβη πριν από περίπου τέσσερις αιώνες.

Υπάρχουν πολλά είδη ανισοτήτων. Μεταξύ αυτών είναι απλές, που περιέχουν μία, δύο ή περισσότερες μεταβλητές, τετράγωνες, κλασματικές, μιγαδικές αναλογίες και ακόμη και αντιπροσωπεύονται από ένα σύστημα εκφράσεων. Και για να κατανοήσετε πώς να λύσετε τις ανισότητες, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε διάφορα παραδείγματα.

Μην χάσετε το τρένο

Πρώτον, φανταστείτε ότι ένας κάτοικος εξοχήσπεύδει στον σιδηροδρομικό σταθμό, που βρίσκεται σε απόσταση 20 χλμ. από το χωριό του. Για να μην χάσει το τρένο που φεύγει στις 11, πρέπει να φύγει από το σπίτι στην ώρα του. Σε ποια ώρα πρέπει να γίνει αυτό αν η ταχύτητα της κίνησής του είναι 5 km/h; Η λύση αυτής της πρακτικής εργασίας περιορίζεται στην εκπλήρωση των προϋποθέσεων της έκφρασης: 5 (11 - X) ≥ 20, όπου X είναι η ώρα αναχώρησης.

Αυτό είναι κατανοητό, γιατί η απόσταση που πρέπει να ξεπεράσει ένας χωρικός μέχρι το σταθμό είναι ίση με την ταχύτητα κίνησης πολλαπλασιασμένη με τον αριθμό των ωρών στο δρόμο. Ένα άτομο μπορεί να φτάσει νωρίτερα, αλλά δεν μπορεί να αργήσει. Γνωρίζοντας πώς να λύνουμε ανισότητες και εφαρμόζοντας τις δεξιότητές μας στην πράξη, τελικά θα πάρουμε X ≤ 7, που είναι η απάντηση. Αυτό σημαίνει ότι ο χωρικός πρέπει να πάει στο σιδηροδρομικό σταθμό στις επτά το πρωί ή λίγο νωρίτερα.

Αριθμητικά κενά στη γραμμή συντεταγμένων

Τώρα ας μάθουμε πώς να αντιστοιχίσουμε τις περιγραφόμενες σχέσεις στην ανισότητα που λήφθηκε παραπάνω δεν είναι αυστηρή. Σημαίνει ότι η μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές μικρότερες από 7 και μπορεί να είναι ίση με αυτόν τον αριθμό. Ας δώσουμε άλλα παραδείγματα. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε προσεκτικά τα τέσσερα σχήματα παρακάτω.

Στο πρώτο μπορείτε να δείτε γραφική εικόνα span [-7; 7]. Αποτελείται από ένα σύνολο αριθμών που βρίσκονται στη γραμμή συντεταγμένων και βρίσκονται μεταξύ -7 και 7, συμπεριλαμβανομένων των ορίων. Σε αυτήν την περίπτωση, τα σημεία στο γράφημα εμφανίζονται ως γεμάτοι κύκλοι και το διάστημα καταγράφεται χρησιμοποιώντας

Το δεύτερο σχήμα είναι μια γραφική αναπαράσταση της αυστηρής ανισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, οι οριακές αριθμοί -7 και 7, που εμφανίζονται με τρυπημένες (μη γεμάτες) τελείες, δεν περιλαμβάνονται στο καθορισμένο σύνολο. Και το ίδιο το διάστημα καταγράφεται σε παρένθεση ως εξής: (-7; 7).

Δηλαδή, έχοντας καταλάβει πώς να λύσουμε ανισότητες αυτού του τύπου και έχοντας λάβει παρόμοια απάντηση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αποτελείται από αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ των εξεταζόμενων ορίων, εκτός από το -7 και το 7. Οι επόμενες δύο περιπτώσεις πρέπει να αξιολογηθούν με παρόμοιο τρόπο. Το τρίτο σχήμα δείχνει τις εικόνες των κενών (-∞; -7] U )