Ορισμός 7.1.Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 είναι δεδομένη σταθερή τιμή ονομάζεται έλλειψη.
Ο ορισμός της έλλειψης δίνει την ακόλουθη μέθοδο γεωμετρικής κατασκευής της. Καθορίζουμε δύο σημεία F 1 και F 2 στο επίπεδο και συμβολίζουμε μια μη αρνητική σταθερή τιμή με 2a. Έστω η απόσταση μεταξύ των σημείων F 1 και F 2 είναι 2c. Ας φανταστούμε ότι ένα μη εκτατό νήμα μήκους 2a στερεώνεται στα σημεία F 1 και F 2, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας δύο βελόνες. Είναι σαφές ότι αυτό είναι δυνατό μόνο για ≥ c. Αφού τραβήξετε το νήμα με ένα μολύβι, τραβήξτε μια γραμμή, η οποία θα είναι μια έλλειψη (Εικ. 7.1).
Άρα, το περιγραφόμενο σύνολο δεν είναι κενό εάν a ≥ c. Όταν a = c, η έλλειψη είναι ένα τμήμα με άκρα F 1 και F 2, και όταν c = 0, δηλ. Εάν τα σταθερά σημεία που καθορίζονται στον ορισμό μιας έλλειψης συμπίπτουν, είναι ένας κύκλος ακτίνας a. Απορρίπτοντας αυτές τις εκφυλισμένες περιπτώσεις, θα υποθέσουμε περαιτέρω, κατά κανόνα, ότι a > c > 0.
Τα σταθερά σημεία F 1 και F 2 στον ορισμό 7.1 της έλλειψης (βλ. Εικ. 7.1) ονομάζονται εστίες έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους, που υποδεικνύεται με 2c, - εστιακό μήκοςκαι τα τμήματα F 1 M και F 2 M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M στην έλλειψη με τις εστίες του είναι εστιακές ακτίνες.
Το σχήμα της έλλειψης καθορίζεται πλήρως από την εστιακή απόσταση |F 1 F 2 | = 2c και παράμετρος a, και η θέση της στο επίπεδο - ένα ζεύγος σημείων F 1 και F 2.
Από τον ορισμό της έλλειψης προκύπτει ότι είναι συμμετρική ως προς την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες F 1 και F 2, καθώς και ως προς την ευθεία που διαιρεί το τμήμα F 1 F 2 στο μισό και είναι κάθετο σε αυτό (Εικ. 7.2, α). Αυτές οι γραμμές ονομάζονται άξονες έλλειψης. Το σημείο Ο της τομής τους είναι το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης, και λέγεται το κέντρο της έλλειψης, και τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες συμμετρίας (σημεία Α, Β, Γ και Δ στο Σχ. 7.2, α) - κορυφές της έλλειψης.
Ο αριθμός α ονομάζεται ημικύριος άξονας της έλλειψης, και b = √(a 2 - c 2) - του μικρός άξονας. Είναι εύκολο να δούμε ότι για c > 0, ο ημι-κύριος άξονας a είναι ίσος με την απόσταση από το κέντρο της έλλειψης σε εκείνες των κορυφών της που βρίσκονται στον ίδιο άξονα με τις εστίες της έλλειψης (κορυφές Α και Β στο Σχ. 7.2, α), και ο ημιμικρός άξονας b είναι ίσος με την απόσταση από την κεντρική έλλειψη έως τις δύο άλλες κορυφές της (κορυφές C και D στο Σχ. 7.2, α).
Εξίσωση έλλειψης.Ας εξετάσουμε κάποια έλλειψη στο επίπεδο με εστίες στα σημεία F 1 και F 2, κύριος άξονας 2a. Έστω 2c η εστιακή απόσταση, 2c = |F 1 F 2 |
Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με το κέντρο της έλλειψης και οι εστίες του να είναι άξονας x(Εικ. 7.2, β). Ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται κανονικόςγια την εν λόγω έλλειψη, και οι αντίστοιχες μεταβλητές είναι κανονικός.
Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, οι εστίες έχουν συντεταγμένες F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ των σημείων, γράφουμε την συνθήκη |F 1 M| + |F 2 M| = 2a σε συντεταγμένες:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Αυτή η εξίσωση δεν είναι βολική γιατί περιέχει δύο τετράγωνες ρίζες. Ας το μεταμορφώσουμε λοιπόν. Ας μετακινήσουμε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης (7.2) στη δεξιά πλευρά και ας την τετραγωνίσουμε:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις και φέρουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
όπου ε = c/a. Επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία τετραγωνισμού για να αφαιρέσουμε τη δεύτερη ρίζα: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ή, λαμβάνοντας υπόψη την τιμή της εισαγόμενης παραμέτρου ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Αφού a 2 - c 2 = b 2 > 0, τότε
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Η εξίσωση (7.4) ικανοποιείται από τις συντεταγμένες όλων των σημείων που βρίσκονται στην έλλειψη. Αλλά κατά την εξαγωγή αυτής της εξίσωσης, χρησιμοποιήθηκαν μη ισοδύναμοι μετασχηματισμοί της αρχικής εξίσωσης (7.2) - δύο τετραγωνισμοί που αφαιρούν τις τετράγωνες ρίζες. Ο τετραγωνισμός μιας εξίσωσης είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός εάν και οι δύο πλευρές έχουν ποσότητες με το ίδιο πρόσημο, αλλά δεν το ελέγξαμε αυτό στους μετασχηματισμούς μας.
Μπορούμε να αποφύγουμε τον έλεγχο της ισοδυναμίας των μετασχηματισμών αν λάβουμε υπόψη τα ακόλουθα. Ένα ζεύγος σημείων F 1 και F 2, |F 1 F 2 | = 2c, στο επίπεδο ορίζει μια οικογένεια ελλείψεων με εστίες σε αυτά τα σημεία. Κάθε σημείο του επιπέδου, εκτός από τα σημεία του τμήματος F 1 F 2, ανήκει σε κάποια έλλειψη της υποδεικνυόμενης οικογένειας. Στην περίπτωση αυτή, δεν τέμνονται δύο ελλείψεις, αφού το άθροισμα των εστιακών ακτίνων καθορίζει μοναδικά μια συγκεκριμένη έλλειψη. Έτσι, η περιγραφόμενη οικογένεια ελλείψεων χωρίς τομές καλύπτει ολόκληρο το επίπεδο, εκτός από τα σημεία του τμήματος F 1 F 2. Ας εξετάσουμε ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (7.4) με μια δεδομένη τιμή της παραμέτρου α. Μπορεί αυτό το σύνολο να κατανεμηθεί σε πολλές ελλείψεις; Μερικά από τα σημεία του συνόλου ανήκουν σε έλλειψη με ημικύριο άξονα α. Ας υπάρχει ένα σημείο σε αυτό το σύνολο που βρίσκεται σε μια έλλειψη με ημικύριο άξονα α. Τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου υπακούουν στην εξίσωση
εκείνοι. οι εξισώσεις (7.4) και (7.5) έχουν γενικές λύσεις. Ωστόσο, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το σύστημα
για ã ≠ a δεν έχει λύσεις. Για να γίνει αυτό, αρκεί να εξαιρέσουμε, για παράδειγμα, το x από την πρώτη εξίσωση:
που μετά από μετασχηματισμούς οδηγεί στην εξίσωση
που δεν έχει λύσεις για ã ≠ a, αφού . Άρα, (7.4) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης με ημι-κύριο άξονα a > 0 και ημι-μικρό άξονα b =√(a 2 - c 2) > 0. Ονομάζεται κανονική εξίσωση έλλειψης.
Άποψη έλλειψης.Η γεωμετρική μέθοδος κατασκευής μιας έλλειψης που συζητήθηκε παραπάνω δίνει μια επαρκή ιδέα εμφάνισηέλλειψη. Αλλά το σχήμα της έλλειψης μπορεί επίσης να μελετηθεί χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση (7.4). Για παράδειγμα, μπορείτε, υποθέτοντας y ≥ 0, να εκφράσετε το y μέσω του x: y = b√(1 - x 2 /a 2) και, έχοντας μελετήσει αυτή τη συνάρτηση, να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση της. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κατασκευάσετε μια έλλειψη. Ένας κύκλος ακτίνας a με κέντρο στην αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων της έλλειψης (7.4) περιγράφεται από την εξίσωση x 2 + y 2 = a 2. Αν συμπιέζεται με συντελεστή a/b > 1 κατά μήκος άξονας y, τότε παίρνετε μια καμπύλη που περιγράφεται από την εξίσωση x 2 + (ya/b) 2 = a 2, δηλ. μια έλλειψη.
Παρατήρηση 7.1.Αν ο ίδιος κύκλος συμπιέζεται από έναν παράγοντα α/β
Έκλειψη εκκεντρικότητα. Ο λόγος της εστιακής απόστασης μιας έλλειψης προς τον κύριο άξονά της ονομάζεται εκκεντρικότητα της έλλειψηςκαι συμβολίζεται με ε. Για μια έλλειψη που δίνεται
κανονική εξίσωση (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Αν στο (7.4) οι παράμετροι a και b σχετίζονται με την ανίσωση a
Όταν c = 0, όταν η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο, και ε = 0. Σε άλλες περιπτώσεις, 0
Η εξίσωση (7.3) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (7.4), αφού οι εξισώσεις (7.4) και (7.2) είναι ισοδύναμες. Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης είναι επίσης (7.3). Επιπλέον, η σχέση (7.3) είναι ενδιαφέρουσα γιατί δίνει έναν απλό τύπο χωρίς ρίζες για το μήκος |F 2 M| μία από τις εστιακές ακτίνες του σημείου M(x; y) της έλλειψης: |F 2 M| = a + εx.
Ένας παρόμοιος τύπος για τη δεύτερη εστιακή ακτίνα μπορεί να ληφθεί από εκτιμήσεις συμμετρίας ή επαναλαμβανόμενους υπολογισμούς στους οποίους, πριν από τον τετραγωνισμό της εξίσωσης (7.2), η πρώτη ρίζα μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και όχι η δεύτερη. Έτσι, για οποιοδήποτε σημείο M(x; y) στην έλλειψη (βλ. Εικ. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
και καθεμία από αυτές τις εξισώσεις είναι μια εξίσωση μιας έλλειψης.
Παράδειγμα 7.1.Ας βρούμε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης με ημικύριο άξονα 5 και εκκεντρότητα 0,8 και ας την κατασκευάσουμε.
Γνωρίζοντας τον ημι-κύριο άξονα της έλλειψης a = 5 και την εκκεντρότητα ε = 0,8, θα βρούμε τον ημι-μικρό άξονά της b. Αφού b = √(a 2 - c 2), και c = εa = 4, τότε b = √(5 2 - 4 2) = 3. Άρα η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Για την κατασκευή μιας έλλειψης, είναι βολικό να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο με κέντρο στην αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, οι πλευρές του οποίου είναι παράλληλες με τους άξονες συμμετρίας της έλλειψης και ίσες με τους αντίστοιχους άξονές της (Εικ. 7.4). Αυτό το ορθογώνιο τέμνεται με
οι άξονες της έλλειψης στις κορυφές της A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), και η ίδια η έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε αυτήν. Στο Σχ. Το 7.4 δείχνει επίσης τις εστίες F 1.2 (±4; 0) της έλλειψης.
Γεωμετρικές ιδιότητες της έλλειψης.Ας ξαναγράψουμε την πρώτη εξίσωση στο (7.6) ως |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Σημειώστε ότι η τιμή a/ε - x για a > c είναι θετική, αφού η εστία F 1 δεν ανήκει στην έλλειψη. Αυτή η τιμή αντιπροσωπεύει την απόσταση από την κατακόρυφη γραμμή d: x = a/ε από το σημείο M(x; y) που βρίσκεται στα αριστερά αυτής της γραμμής. Η εξίσωση έλλειψης μπορεί να γραφτεί ως
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Σημαίνει ότι αυτή η έλλειψη αποτελείται από εκείνα τα σημεία M(x; y) του επιπέδου για τα οποία ο λόγος του μήκους της εστιακής ακτίνας F 1 M προς την απόσταση από την ευθεία γραμμή d είναι σταθερή τιμή ίση με ε (Εικ. 7.5).
Η ευθεία γραμμή d έχει ένα «διπλό» - την κατακόρυφη ευθεία γραμμή d, συμμετρική προς το d σε σχέση με το κέντρο της έλλειψης, η οποία δίνεται από την εξίσωση x = -a/ε. Σε σχέση με d, η έλλειψη περιγράφεται στο όπως και σε σχέση με το δ. Καλούνται και οι δύο γραμμές d και d". κατευθύνσεις της έλλειψης. Οι κατευθύνσεις της έλλειψης είναι κάθετες στον άξονα συμμετρίας της έλλειψης στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της και απέχουν από το κέντρο της έλλειψης σε απόσταση a/ε = a 2 /c (βλ. Εικ. 7.5).
Η απόσταση p από την ευθεία προς την εστία που βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτήν ονομάζεται εστιακή παράμετρος της έλλειψης. Αυτή η παράμετρος είναι ίση με
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Η έλλειψη έχει μια άλλη σημαντική γεωμετρική ιδιότητα: οι εστιακές ακτίνες F 1 M και F 2 M είναι ίσες με την εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο M ίσες γωνίες(Εικ. 7.6).
Αυτό το ακίνητο έχει σαφή φυσική έννοια. Εάν μια πηγή φωτός τοποθετηθεί στην εστία F 1, τότε η ακτίνα που αναδύεται από αυτήν την εστία, μετά την ανάκλαση από την έλλειψη, θα πάει κατά μήκος της δεύτερης εστιακής ακτίνας, αφού μετά την ανάκλαση θα βρίσκεται στην ίδια γωνία με την καμπύλη όπως πριν από την ανάκλαση. Έτσι, όλες οι ακτίνες που αναδύονται από την εστία F 1 θα συγκεντρωθούν στη δεύτερη εστία F 2 και αντίστροφα. Με βάση αυτή την ερμηνεία, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται οπτική ιδιότητα της έλλειψης.
Γραμμές δεύτερης τάξης.
Η έλλειψη και η κανονική της εξίσωση. Κύκλος
Μετά από ενδελεχή μελέτη ευθείες γραμμές στο επίπεδοΣυνεχίζουμε να μελετάμε τη γεωμετρία του δισδιάστατου κόσμου. Τα στοιχήματα διπλασιάζονται και σας προσκαλώ να επισκεφτείτε μια γραφική γκαλερί ελλείψεων, υπερβολών, παραβολών, που είναι τυπικοί εκπρόσωποι γραμμές δεύτερης τάξης. Η εκδρομή έχει ήδη ξεκινήσει, και πρώτα σύντομες πληροφορίεςγια ολόκληρη την έκθεση σε διάφορους ορόφους του μουσείου:
Η έννοια της αλγεβρικής γραμμής και η σειρά της
Μια γραμμή σε ένα επίπεδο ονομάζεται αλγεβρικός, εάν μέσα συγγενικό σύστημα συντεταγμένωνη εξίσωσή του έχει τη μορφή , όπου είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από όρους της μορφής ( – πραγματικός αριθμός, – μη αρνητικοί ακέραιοι).
Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση μιας αλγεβρικής γραμμής δεν περιέχει ημίτονο, συνημίτονο, λογάριθμους και άλλα συναρτησιακά beau monde. Μόνο τα Χ και Υ είναι μέσα μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίβαθμούς.
Γραμμική παραγγελίαίση με τη μέγιστη τιμή των όρων που περιλαμβάνονται σε αυτό.
Σύμφωνα με το αντίστοιχο θεώρημα, η έννοια μιας αλγεβρικής γραμμής, καθώς και η σειρά της, δεν εξαρτώνται από την επιλογή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων, επομένως, για ευκολία ύπαρξης, υποθέτουμε ότι όλοι οι επόμενοι υπολογισμοί πραγματοποιούνται στο Καρτεσιανές συντεταγμένες.
Γενική εξίσωσηη δεύτερη γραμμή παραγγελίας έχει τη μορφή , όπου 
– αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί (Συνηθίζεται να το γράφουμε με συντελεστή δύο), και οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.
Αν , τότε η εξίσωση απλοποιείται σε 
, και αν οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα, τότε αυτό ακριβώς είναι γενική εξίσωση μιας «επίπεδης» γραμμής, που αντιπροσωπεύει γραμμή πρώτης παραγγελίας.
Πολλοί έχουν καταλάβει την έννοια των νέων όρων, αλλά, παρόλα αυτά, για να κατακτήσουμε 100% το υλικό, βάζουμε τα δάχτυλά μας στην υποδοχή. Για να προσδιορίσετε τη σειρά γραμμής, πρέπει να κάνετε επανάληψη όλους τους όρουςτις εξισώσεις του και βρείτε για καθένα από αυτά άθροισμα βαθμώνεισερχόμενες μεταβλητές.
Για παράδειγμα:
ο όρος περιέχει "x" στην 1η δύναμη.
ο όρος περιέχει "Y" στην 1η δύναμη.
Δεν υπάρχουν μεταβλητές στον όρο, επομένως το άθροισμα των δυνάμεών τους είναι μηδέν.
Τώρα ας καταλάβουμε γιατί η εξίσωση ορίζει τη γραμμή δεύτεροςΣειρά:
ο όρος περιέχει "x" στη 2η δύναμη.
το άθροισμα έχει το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών: 1 + 1 = 2;
ο όρος περιέχει "Y" στη 2η δύναμη.
όλοι οι άλλοι όροι - πιο λιγοβαθμούς.
Μέγιστη τιμή: 2
Εάν προσθέσουμε επιπλέον, ας πούμε, στην εξίσωσή μας, τότε θα καθορίσει ήδη γραμμή τρίτης τάξης. Είναι προφανές ότι η γενική μορφή της εξίσωσης γραμμής 3ης τάξης περιέχει ένα «πλήρες σύνολο» όρων, το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών στις οποίες είναι ίσο με τρεις:
, όπου οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.
Σε περίπτωση που προσθέσετε έναν ή περισσότερους κατάλληλους όρους που περιέχουν 
, τότε θα μιλήσουμε ήδη Γραμμές 4ης παραγγελίας, και τα λοιπά.
Θα πρέπει να συναντήσουμε αλγεβρικές γραμμές της 3ης, 4ης και υψηλότερης τάξης περισσότερες από μία φορές, ιδίως όταν εξοικειωθούμε με πολικό σύστημα συντεταγμένων.
Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στη γενική εξίσωση και ας θυμηθούμε τις πιο απλές σχολικές παραλλαγές της. Ως παράδειγμα, μια παραβολή προτείνεται, η εξίσωση της οποίας μπορεί εύκολα να αναχθεί σε γενική εμφάνιση, και μια υπερβολή με την ισοδύναμη εξίσωση . Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο ομαλά...
Ένα σημαντικό μειονέκτημα της γενικής εξίσωσης είναι ότι σχεδόν πάντα δεν είναι σαφές ποια γραμμή ορίζει. Ακόμη και στην πιο απλή περίπτωση, δεν θα συνειδητοποιήσετε αμέσως ότι πρόκειται για υπερβολή. Τέτοιες διατάξεις είναι καλές μόνο σε μια μεταμφίεση, οπότε προσέξτε αναλυτική γεωμετρίαθεωρείται ένα τυπικό πρόβλημα φέρνοντας την εξίσωση γραμμής 2ης τάξης σε κανονική μορφή.
Ποια είναι η κανονική μορφή μιας εξίσωσης;
Αυτή είναι η γενικά αποδεκτή τυπική μορφή μιας εξίσωσης, όταν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα γίνεται σαφές ποιο γεωμετρικό αντικείμενο ορίζει. Επιπλέον, η κανονική μορφή είναι πολύ βολική για την επίλυση πολλών πρακτικές εργασίες. Έτσι, για παράδειγμα, σύμφωνα με κανονική εξίσωση «επίπεδη» ευθεία, πρώτον, είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια ευθεία γραμμή, και δεύτερον, το σημείο που ανήκει σε αυτήν και το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι εύκολα ορατά.
Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε γραμμή 1ης παραγγελίαςείναι μια ευθεία γραμμή. Στον δεύτερο όροφο, δεν μας περιμένει πλέον ο φύλακας, αλλά μια πολύ πιο διαφορετική παρέα από εννέα αγάλματα:
Ταξινόμηση γραμμών δεύτερης τάξης
Χρησιμοποιώντας ένα ειδικό σύνολο ενεργειών, οποιαδήποτε εξίσωση μιας γραμμής δεύτερης τάξης μειώνεται σε μία από τις ακόλουθες μορφές:
(και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί)
1) 
– κανονική εξίσωση της έλλειψης.
2) – κανονική εξίσωση υπερβολής.
3) 
– κανονική εξίσωση παραβολής.
4) – φανταστικοέλλειψη;
5) - ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών.
6) – ζεύγος φανταστικοτεμνόμενες γραμμές (με ένα μόνο έγκυρο σημείο τομής στην αρχή).
7) – ένα ζευγάρι παράλληλων γραμμών.
8) – ζεύγος φανταστικοπαράλληλες γραμμές;
9) – ένα ζευγάρι συμπίπτουσες γραμμές.
Ορισμένοι αναγνώστες μπορεί να έχουν την εντύπωση ότι η λίστα είναι ελλιπής. Για παράδειγμα, στο σημείο Νο. 7, η εξίσωση καθορίζει το ζεύγος απευθείας, παράλληλη προς τον άξονα, και τίθεται το ερώτημα: πού βρίσκεται η εξίσωση που καθορίζει τις ευθείες παράλληλες στον άξονα τεταγμένων; Απάντησέ το δεν θεωρείται κανονική. Οι ευθείες γραμμές αντιπροσωπεύουν την ίδια τυπική περίπτωση, περιστρέφεται κατά 90 μοίρες και η πρόσθετη καταχώριση στην ταξινόμηση είναι περιττή, καθώς δεν φέρνει τίποτα ουσιαστικά νέο.
Έτσι υπάρχουν εννέα και μόνο εννέα διάφοροι τύποιγραμμές 2ης τάξης, αλλά στην πράξη βρίσκονται πιο συχνά έλλειψη, υπερβολή και παραβολή.
Ας δούμε πρώτα την έλλειψη. Ως συνήθως, επικεντρώνομαι σε εκείνα τα σημεία που έχουν μεγάλης σημασίαςγια να λύσετε προβλήματα και εάν χρειάζεστε λεπτομερή παραγωγή τύπων, αποδείξεις θεωρημάτων, ανατρέξτε, για παράδειγμα, στο εγχειρίδιο των Bazylev/Atanasyan ή Aleksandrov.
Η έλλειψη και η κανονική της εξίσωση
Ορθογραφία... παρακαλώ μην επαναλάβετε τα λάθη ορισμένων χρηστών του Yandex που ενδιαφέρονται για το "πώς να φτιάξετε μια έλλειψη", "τη διαφορά μεταξύ μιας έλλειψης και ενός οβάλ" και "η εκκεντρότητα μιας έλλειψης".
Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή , όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, και . Θα διατυπώσω τον ίδιο τον ορισμό της έλλειψης αργότερα, αλλά προς το παρόν είναι ώρα να κάνουμε ένα διάλειμμα από το κατάστημα που μιλάει και να λύσουμε ένα κοινό πρόβλημα:
Πώς να φτιάξετε μια έλλειψη;
Ναι, απλά πάρτε το και απλώς ζωγραφίστε το. Η εργασία γίνεται συχνά και ένα σημαντικό μέρος των μαθητών δεν αντιμετωπίζει σωστά το σχέδιο:
Παράδειγμα 1
Κατασκευάστε μια έλλειψη, δίνεται από την εξίσωση
Λύση: Αρχικά, ας φέρουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή: 
Γιατί να φέρεις; Ένα από τα πλεονεκτήματα της κανονικής εξίσωσης είναι ότι σας επιτρέπει να προσδιορίσετε αμέσως κορυφές της έλλειψης, τα οποία βρίσκονται σε σημεία. Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες καθενός από αυτά τα σημεία ικανοποιούν την εξίσωση.
Σε αυτήν την περίπτωση : 
Ευθύγραμμο τμήμαπου ονομάζεται κύριος άξοναςέλλειψη;
ευθύγραμμο τμήμα – μικρός άξονας;
αριθμός 
που ονομάζεται ημι-κύριος άξοναςέλλειψη;
αριθμός 
– μικρός άξονας.
στο παράδειγμά μας: .
Για να φανταστείτε γρήγορα πώς μοιάζει μια συγκεκριμένη έλλειψη, απλά κοιτάξτε τις τιμές του «a» και του «be» της κανονικής της εξίσωσης.
Όλα είναι καλά, ομαλά και όμορφα, αλλά υπάρχει μια προειδοποίηση: έφτιαξα το σχέδιο χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα. Και μπορείτε να κάνετε το σχέδιο χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εφαρμογή. Ωστόσο, στη σκληρή πραγματικότητα, υπάρχει ένα καρό χαρτί στο τραπέζι και τα ποντίκια χορεύουν κυκλικά στα χέρια μας. Άνθρωποι με καλλιτεχνικό ταλέντο, φυσικά, μπορούν να μαλώσουν, αλλά έχετε και ποντίκια (αν και μικρότερα). Δεν είναι μάταιο ότι η ανθρωπότητα επινόησε τον χάρακα, την πυξίδα, το μοιρογνωμόνιο και άλλες απλές συσκευές για το σχέδιο.
Για το λόγο αυτό, είναι απίθανο να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε με ακρίβεια μια έλλειψη γνωρίζοντας μόνο τις κορυφές. Είναι εντάξει αν η έλλειψη είναι μικρή, για παράδειγμα, με ημιάξονες. Εναλλακτικά, μπορείτε να μειώσετε την κλίμακα και, κατά συνέπεια, τις διαστάσεις του σχεδίου. Αλλά σε γενικές γραμμές, είναι πολύ επιθυμητό να βρείτε επιπλέον σημεία.
Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την κατασκευή μιας έλλειψης - γεωμετρική και αλγεβρική. Δεν μου αρέσει η κατασκευή με πυξίδα και χάρακα, επειδή ο αλγόριθμος δεν είναι ο συντομότερος και το σχέδιο είναι σημαντικά ακατάστατο. Σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πολύ πιο λογικό να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία της άλγεβρας. Από την εξίσωση της έλλειψης στο προσχέδιο εκφράζουμε γρήγορα: 
Στη συνέχεια, η εξίσωση αναλύεται σε δύο συναρτήσεις: 
– ορίζει το άνω τόξο της έλλειψης. 
– ορίζει το κάτω τόξο της έλλειψης.
Η έλλειψη που ορίζεται από την κανονική εξίσωση είναι συμμετρική ως προς τους άξονες συντεταγμένων, καθώς και ως προς την αρχή. Και αυτό είναι υπέροχο - η συμμετρία είναι σχεδόν πάντα προάγγελος δωρεάν. Προφανώς, αρκεί να ασχοληθούμε με το 1ο τέταρτο συντεταγμένων, οπότε χρειαζόμαστε τη συνάρτηση 
. Παρακαλεί να βρεθούν επιπλέον πόντους με τετμημένα 
. Ας πατήσουμε τρία μηνύματα SMS στην αριθμομηχανή: 
Φυσικά, είναι επίσης ωραίο ότι εάν γίνει ένα σοβαρό λάθος στους υπολογισμούς, θα γίνει αμέσως σαφές κατά την κατασκευή.
Ας σημειώσουμε σημεία στο σχέδιο (κόκκινο), συμμετρικά σημεία στα υπόλοιπα τόξα ( Μπλε χρώμα) και συνδέστε προσεκτικά ολόκληρη την εταιρεία με μια γραμμή: 
Είναι καλύτερα να σχεδιάσετε το αρχικό σκίτσο πολύ λεπτά και μόνο τότε να ασκήσετε πίεση με ένα μολύβι. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μια αρκετά αξιοπρεπής έλλειψη. Παρεμπιπτόντως, θα θέλατε να μάθετε ποια είναι αυτή η καμπύλη;
Ορισμός έλλειψης. Εστίες έλλειψης και εκκεντρικότητα έλλειψης
Η έλλειψη είναι μια ειδική περίπτωση οβάλ. Η λέξη «οβάλ» δεν πρέπει να κατανοηθεί με τη φιλισταϊκή έννοια («το παιδί ζωγράφισε ένα οβάλ» κ.λπ.). Αυτός είναι ένας μαθηματικός όρος που έχει λεπτομερή διατύπωση. Σκοπός αυτό το μάθημαδεν αποτελεί εξέταση της θεωρίας των ωοειδών και των διάφορων τύπων τους, στα οποία πρακτικά δεν δίνεται προσοχή στο τυπικό μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας. Και, σύμφωνα με περισσότερα τρέχουσες ανάγκες, προχωράμε αμέσως στον αυστηρό ορισμό της έλλειψης:
Ελλειψηείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων σε καθένα από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται κόλπαέλλειψη, είναι μια σταθερή ποσότητα, αριθμητικά ίση με το μήκος του κύριου άξονα αυτής της έλλειψης: .
Σε αυτήν την περίπτωση, οι αποστάσεις μεταξύ των εστιών είναι μικρότερες από αυτήν την τιμή: .
Τώρα όλα θα γίνουν πιο ξεκάθαρα: 
Φανταστείτε ότι η μπλε κουκκίδα «ταξιδεύει» κατά μήκος μιας έλλειψης. Έτσι, ανεξάρτητα από το σημείο της έλλειψης, το άθροισμα των μηκών των τμημάτων θα είναι πάντα το ίδιο:
Ας βεβαιωθούμε ότι στο παράδειγμά μας η τιμή του αθροίσματος είναι πραγματικά ίση με οκτώ. Τοποθετήστε διανοητικά το σημείο "um" στη δεξιά κορυφή της έλλειψης, στη συνέχεια: , που είναι αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.
Μια άλλη μέθοδος σχεδίασής του βασίζεται στον ορισμό της έλλειψης. Τα ανώτερα μαθηματικά είναι μερικές φορές η αιτία της έντασης και του άγχους, οπότε ήρθε η ώρα να κάνετε μια άλλη συνεδρία αποφόρτισης. Πάρτε χαρτί Whatman ή ένα μεγάλο φύλλο χαρτονιού και καρφώστε το στο τραπέζι με δύο καρφιά. Αυτά θα είναι κόλπα. Δέστε μια πράσινη κλωστή στις κεφαλές των νυχιών που προεξέχουν και τραβήξτε την μέχρι το τέλος με ένα μολύβι. Το καλώδιο μολυβιού θα καταλήξει σε ένα ορισμένο σημείο που ανήκει στην έλλειψη. Τώρα ξεκινήστε να μετακινείτε το μολύβι κατά μήκος του χαρτιού, κρατώντας την πράσινη κλωστή τεντωμένη. Συνεχίστε τη διαδικασία μέχρι να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης... υπέροχο... το σχέδιο μπορεί να ελεγχθεί από τον γιατρό και τον δάσκαλο =)
Πώς να βρείτε τις εστίες μιας έλλειψης;
Στο παραπάνω παράδειγμα, απεικόνισα «έτοιμα» εστιακά σημεία και τώρα θα μάθουμε πώς να τα εξάγουμε από τα βάθη της γεωμετρίας.
Εάν μια έλλειψη δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε οι εστίες της έχουν συντεταγμένες 
, που είναι απόσταση από κάθε εστία έως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης.
Οι υπολογισμοί είναι απλούστεροι από απλοί: 
! Οι συγκεκριμένες συντεταγμένες των εστιών δεν μπορούν να ταυτιστούν με την έννοια του «tse»!Επαναλαμβάνω ότι αυτό είναι ΑΠΟΣΤΑΣΗ από κάθε εστίαση στο κέντρο(που στη γενική περίπτωση δεν χρειάζεται να βρίσκεται ακριβώς στην προέλευση).
Και, επομένως, η απόσταση μεταξύ των εστιών επίσης δεν μπορεί να συνδεθεί με την κανονική θέση της έλλειψης. Με άλλα λόγια, η έλλειψη μπορεί να μετακινηθεί σε άλλο μέρος και η τιμή θα παραμείνει αμετάβλητη, ενώ οι εστίες θα αλλάξουν φυσικά τις συντεταγμένες τους. Παρακαλώ λάβετε υπ'όψιν αυτή τη στιγμήκατά την περαιτέρω μελέτη του θέματος.
Η εκκεντρικότητα της έλλειψης και η γεωμετρική της σημασία
Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μια αναλογία που μπορεί να λάβει τιμές εντός του εύρους.
Στην περίπτωσή μας:
Ας μάθουμε πώς το σχήμα μιας έλλειψης εξαρτάται από την εκκεντρότητά της. Για αυτό διορθώστε την αριστερή και τη δεξιά κορυφήτης υπό εξέταση έλλειψης, δηλαδή, η τιμή του ημιμείζονος άξονα θα παραμείνει σταθερή. Τότε ο τύπος της εκκεντρικότητας θα έχει τη μορφή: .
Ας αρχίσουμε να φέρνουμε την τιμή της εκκεντρικότητας πιο κοντά στην ενότητα. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν . Τι σημαίνει? ...θυμηθείτε τα κόλπα 
. Αυτό σημαίνει ότι οι εστίες της έλλειψης θα «απομακρυνθούν» κατά μήκος του άξονα της τετμημένης προς τις πλευρικές κορυφές. Και, δεδομένου ότι "τα πράσινα τμήματα δεν είναι καουτσούκ", η έλλειψη θα αρχίσει αναπόφευκτα να ισοπεδώνεται, μετατρέποντας σε ένα λεπτότερο και λεπτότερο λουκάνικο αρδευόμενο σε έναν άξονα.
Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας της έλλειψης στη μονάδα, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη.
Τώρα ας μοντελοποιήσουμε την αντίθετη διαδικασία: τις εστίες της έλλειψης 
περπάτησαν ο ένας προς τον άλλο πλησιάζοντας προς το κέντρο. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή του «ce» γίνεται όλο και μικρότερη και, κατά συνέπεια, η εκκεντρότητα τείνει στο μηδέν: .
Σε αυτή την περίπτωση, τα «πράσινα τμήματα» αντίθετα θα «συνωστιστούν» και θα αρχίσουν να «σπρώχνουν» τη γραμμή έλλειψης πάνω-κάτω.
Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας στο μηδέν, τόσο πιο παρόμοια είναι η έλλειψη... κοιτάξτε την περιοριστική περίπτωση όταν οι εστίες επανενώνονται με επιτυχία στην αρχή:
Ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης
Πράγματι, στην περίπτωση της ισότητας των ημιαξόνων, η κανονική εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή , η οποία μετατρέπεται αντανακλαστικά στην εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή της ακτίνας «a», πολύ γνωστή από το σχολείο.
Στην πράξη, ο συμβολισμός με το «ομιλούμενο» γράμμα «er» χρησιμοποιείται συχνότερα: . Η ακτίνα είναι το μήκος ενός τμήματος, με κάθε σημείο του κύκλου να αφαιρείται από το κέντρο κατά μια απόσταση ακτίνας.
Σημειώστε ότι ο ορισμός της έλλειψης παραμένει απόλυτα σωστός: οι εστίες συμπίπτουν και το άθροισμα των μηκών των συμπίπτοντων τμημάτων για κάθε σημείο του κύκλου είναι σταθερά. Αφού η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι , λοιπόν η εκκεντρότητα οποιουδήποτε κύκλου είναι μηδέν.
Η κατασκευή ενός κύκλου είναι εύκολη και γρήγορη, απλά χρησιμοποιήστε μια πυξίδα. Ωστόσο, μερικές φορές είναι απαραίτητο να μάθουμε τις συντεταγμένες ορισμένων από τα σημεία του, σε αυτήν την περίπτωση ακολουθούμε τον γνωστό τρόπο - φέρνουμε την εξίσωση στη χαρούμενη μορφή Matanov:
– λειτουργία του άνω ημικυκλίου.
– λειτουργία του κάτω ημικυκλίου.
Μετά την οποία βρίσκουμε απαιτούμενες τιμές, διαφοροποιούν, ενσωματώνουνκαι κάνε άλλα καλά πράγματα.
Το άρθρο, φυσικά, είναι μόνο για αναφορά, αλλά πώς μπορείτε να ζήσετε στον κόσμο χωρίς αγάπη; Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη λύση
Παράδειγμα 2
Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν είναι γνωστή μια από τις εστίες και ο ημιμικρός άξονάς της (το κέντρο βρίσκεται στην αρχή). Βρείτε κορυφές, πρόσθετα σημεία και σχεδιάστε μια γραμμή στο σχέδιο. Υπολογίστε την εκκεντρικότητα.
Λύση και σχέδιο στο τέλος του μαθήματος
Ας προσθέσουμε μια ενέργεια:
Περιστροφή και παράλληλη μετάφραση μιας έλλειψης
Ας επιστρέψουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης, δηλαδή, στην κατάσταση, το μυστήριο της οποίας βασανίζει τα αδιάκριτα μυαλά από την πρώτη αναφορά αυτής της καμπύλης. Έτσι κοιτάξαμε την έλλειψη 
, αλλά δεν είναι δυνατό στην πράξη να ικανοποιηθεί η εξίσωση 
? Άλλωστε κι εδώ φαίνεται να είναι έλλειψη!
Αυτό το είδος εξίσωσης είναι σπάνιο, αλλά συναντάται. Και στην πραγματικότητα ορίζει μια έλλειψη. Ας απομυθοποιήσουμε: 
Ως αποτέλεσμα της κατασκευής, λήφθηκε η μητρική μας έλλειψη, περιστρεφόμενη κατά 90 μοίρες. Αυτό είναι, 
- Αυτό μη κανονική καταχώρησηέλλειψη 
. Ρεκόρ!- η εξίσωση 
δεν ορίζει καμία άλλη έλλειψη, αφού δεν υπάρχουν σημεία (εστίες) στον άξονα που να ικανοποιούν τον ορισμό της έλλειψης.
Μια έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία F_1, και το F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a) μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών δοθέντες πόντους(Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης.
Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης
Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μεσαίο Ο του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (ανάλογα, ο αριθμός α είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες του ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M. Το τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης.
Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - τη γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση της έλλειψης:
Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36γ). Παίρνουμε το κέντρο Ο της έλλειψης ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων. παίρνουμε την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (εστιακός άξονας ή πρώτος άξονας της έλλειψης) ως άξονας της τετμημένης (η θετική κατεύθυνση σε αυτήν είναι από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). ας πάρουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης) ως άξονα τεταγμένης (η κατεύθυνση στον άξονα τεταγμένης επιλέγεται έτσι ώστε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες Oxy αποδείχθηκε ότι ήταν σωστό).
Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την έλλειψη χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Μετακινούμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και φέρνουμε παρόμοιους όρους:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Έχοντας ορίσει b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό.
Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36,6), αφού a=b. Σε αυτή την περίπτωση, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο θα είναι κανονικό O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Ο και ακτίνα ίση με a.
Εκτελώντας τον συλλογισμό με αντίστροφη σειρά, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49), και μόνο αυτά, ανήκουν στον τόπο των σημείων που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός μιας έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης.
Διευθυντική ιδιότητα μιας έλλειψης
Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που εκτείνονται παράλληλες στον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Στο c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις βρίσκονται στο άπειρο).
Έλειψη με εκκεντρότητα 0
Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37,6) η συνθήκη \frac(r_2)(\rho_2)=eμπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τον σκηνοθέτη d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων
Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ. 3.37, c και 3.37 (2)) έχει τη μορφή
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης.
Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi), σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a. Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ.):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση)
Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Εκφράστε την πολική ακτίνα r και κάντε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης
Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές της έλλειψης). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm α. Επομένως, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περιέχεται στο εσωτερικό της έλλειψης είναι ίσο με 2a. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός a είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας x=0, παίρνουμε y=\pm b. Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b είναι ο ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.
Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται λόγος συμπίεσης έλλειψης.
Σημειώσεις 3.9
1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, στο εσωτερικό του οποίου υπάρχει έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α).
2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συμπίεση ενός κύκλου στη διάμετρό του.
Πράγματι, έστω x^2+y^2=a^2 η εξίσωση ενός κύκλου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0 \begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις) Αντικαθιστώντας τους κύκλους x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση, λαμβάνουμε την εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x,y ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. 3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας. Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία Μ"(x,-y) και Μ""(-x,y), συμμετρικά προς το σημείο Μ ως προς τους άξονες των συντεταγμένων. 4. Από την εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), αποδεικνύεται γεωμετρική σημασίαεστιακή παράμετρος είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα (r=p στο \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Η εκκεντρότητα ε χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη, και όσο πιο κοντά το e είναι το μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι η έλλειψη σε έναν κύκλο (Εικ. 3.38a). Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2, παίρνουμε e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\αριστερά(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} όπου k είναι ο λόγος συμπίεσης της έλλειψης, 0 6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1σε ένα 7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο στο σημείο Ο"(x_0,y_0), οι άξονες της οποίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36). Όταν a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) . Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με την εξίσωση (3.49), φτάνουμε στην κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1. Παράδειγμα 3.20.Σχεδιάστε μια έλλειψη \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Βρείτε τις εξισώσεις ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, αναλογία συμπίεσης, εστιακή παράμετρος, εξισώσεις κατευθύνσεων. Λύση.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ημι-κύριος άξονας, b=1 - ημι-μικρός άξονας της έλλειψης. Χτίζουμε το κύριο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2a=4,~2b=2 με το κέντρο στην αρχή (Εικ. 3.39). Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίστε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση της έλλειψης, παίρνουμε \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν στην έλλειψη. Υπολογισμός του λόγου συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακό μήκος 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Καμπύλες δεύτερης τάξηςσε ένα επίπεδο είναι γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή συντεταγμένες ΧΚαι yπεριέχονται στον δεύτερο βαθμό. Αυτά περιλαμβάνουν την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή. Η γενική μορφή της εξίσωσης καμπύλης δεύτερης τάξης είναι η εξής: Οπου A, B, C, D, E, F- αριθμούς και τουλάχιστον έναν από τους συντελεστές Α, Β, Γόχι ίσο με μηδέν. Κατά την επίλυση προβλημάτων με καμπύλες δεύτερης τάξης, λαμβάνονται υπόψη οι κανονικές εξισώσεις της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Είναι εύκολο να προχωρήσουμε σε αυτές από τις γενικές εξισώσεις· το παράδειγμα 1 των προβλημάτων με τις ελλείψεις θα αφιερωθεί σε αυτό. Ορισμός έλλειψης.Έλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία που ονομάζονται εστίες είναι σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών. Οι εστίες υποδεικνύονται όπως στο παρακάτω σχήμα. Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή: Οπου έναΚαι σι (ένα > σι) - τα μήκη των ημι-αξόνων, δηλ., τα μισά μήκη των τμημάτων που κόβονται από την έλλειψη στους άξονες συντεταγμένων. Η ευθεία που διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης είναι ο άξονας συμμετρίας της. Ένας άλλος άξονας συμμετρίας μιας έλλειψης είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος κάθετου σε αυτό το τμήμα. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕη τομή αυτών των γραμμών χρησιμεύει ως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης ή απλώς το κέντρο της έλλειψης. Ο άξονας της τετμημένης της έλλειψης τέμνεται στα σημεία ( ένα, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ) Και (- ένα, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ), και ο άξονας τεταγμένων είναι σε σημεία ( σι, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ) Και (- σι, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ). Αυτά τα τέσσερα σημεία ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών της έλλειψης στον άξονα x ονομάζεται κύριος άξονας και στον άξονα τεταγμένης - δευτερεύων άξονά του. Τα τμήματα τους από την κορυφή έως το κέντρο της έλλειψης ονομάζονται ημιάξονες. Αν ένα = σι, τότε η εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή . Αυτή είναι η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ένα, και ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο ακτίνας ένα, εάν το συμπιέσετε σε ένα/σιφορές κατά μήκος του άξονα Oy
. Παράδειγμα 1.Ελέγξτε εάν μια γραμμή που δίνεται από μια γενική εξίσωση είναι Λύση. Μετασχηματίζουμε τη γενική εξίσωση. Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά του ελεύθερου όρου στη δεξιά πλευρά, τη διαίρεση όρου προς όρο της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και τη μείωση των κλασμάτων: Απάντηση. Η εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. Επομένως, αυτή η γραμμή είναι έλλειψη. Παράδειγμα 2.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι ημιάξονες της είναι 5 και 4, αντίστοιχα. Λύση. Εξετάζουμε τον τύπο για την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης και υποκαθιστούμε: ο ημικύριος άξονας είναι ένα= 5, ο ημικατώτερος άξονας είναι σι= 4. Λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης: Σημεία και , υποδεικνύονται με πράσινο χρώμα στον κύριο άξονα, όπου λέγονται κόλπα. που ονομάζεται εκκεντρικότηταέλλειψη. Στάση σι/έναχαρακτηρίζει την «απλότητα» της έλλειψης. Όσο μικρότερη είναι αυτή η αναλογία, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται η έλλειψη κατά μήκος του κύριου άξονα. Ωστόσο, ο βαθμός επιμήκυνσης μιας έλλειψης εκφράζεται συχνότερα μέσω της εκκεντρότητας, ο τύπος της οποίας δίνεται παραπάνω. Για διαφορετικές ελλείψεις, η εκκεντρότητα κυμαίνεται από 0 έως 1, παραμένοντας πάντα μικρότερη από τη μονάδα. Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8 και του κύριου άξονα είναι 10. Λύση. Ας βγάλουμε μερικά απλά συμπεράσματα: Αν ο κύριος άξονας είναι ίσος με 10, τότε το μισό του, δηλαδή ο ημιάξονας ένα = 5
, Εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8, τότε ο αριθμός ντοτων εστιακών συντεταγμένων ισούται με 4. Αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε: Το αποτέλεσμα είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης: Παράδειγμα 4.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν ο κύριος άξονάς της είναι 26 και η εκκεντρότητά της είναι . Λύση. Όπως προκύπτει τόσο από το μέγεθος του κύριου άξονα όσο και από την εξίσωση της εκκεντρότητας, ο ημικύριος άξονας της έλλειψης ένα= 13. Από την εξίσωση της εκκεντρότητας εκφράζουμε τον αριθμό ντο, που απαιτείται για τον υπολογισμό του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα: Υπολογίζουμε το τετράγωνο του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα: Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης: Παράδειγμα 5.Να προσδιορίσετε τις εστίες της έλλειψης που δίνονται από την κανονική εξίσωση. Λύση. Βρείτε τον αριθμό ντο, που καθορίζει τις πρώτες συντεταγμένες των εστιών της έλλειψης: Παίρνουμε τις εστίες της έλλειψης: Παράδειγμα 6.Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα Βόδισυμμετρικά ως προς την προέλευση. Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης αν: 1) η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 30 και ο κύριος άξονας είναι 34 2) μικρός άξονας 24, και μία από τις εστίες είναι στο σημείο (-5; 0) 3) εκκεντρικότητα και μία από τις εστίες βρίσκεται στο σημείο (6; 0) Αν είναι ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης (υποδεικνύεται με πράσινο χρώμα στο πάνω δεξιά μέρος της έλλειψης στο σχέδιο) και είναι η απόσταση σε αυτό το σημείο από τις εστίες, τότε οι τύποι για τις αποστάσεις είναι οι εξής: Για κάθε σημείο που ανήκει στην έλλειψη, το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες είναι σταθερή τιμή ίση με 2 ένα. Γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις λέγονται διευθυντέςέλλειψη (στο σχέδιο υπάρχουν κόκκινες γραμμές κατά μήκος των άκρων). Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης όπου και είναι οι αποστάσεις αυτού του σημείου προς τις κατευθύνσεις και . Παράδειγμα 7.Δίνεται έλλειψη. Να γράψετε μια εξίσωση για τις κατευθύνσεις του. Λύση. Εξετάζουμε την εξίσωση της ευθείας και διαπιστώνουμε ότι πρέπει να βρούμε την εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλ. Έχουμε όλα τα δεδομένα για αυτό. Υπολογίζουμε: Λαμβάνουμε την εξίσωση των κατευθύνσεων της έλλειψης: Παράδειγμα 8.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι εστίες της είναι σημεία και οι κατευθύνσεις ευθείες. Ορισμός. Έλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων καθενός από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή (με την προϋπόθεση ότι αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών) . Ας υποδηλώσουμε τις εστίες με την απόσταση μεταξύ τους - με , και τη σταθερή τιμή ίση με το άθροισμα των αποστάσεων από κάθε σημείο της έλλειψης στις εστίες με (κατά συνθήκη). Ας κατασκευάσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι εστίες να βρίσκονται στον άξονα της τετμημένης και η αρχή των συντεταγμένων να συμπίπτει με το μέσο του τμήματος (Εικ. 44). Τότε οι εστίες θα έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: αριστερή εστίαση και δεξιά εστίαση. Ας εξαγάγουμε την εξίσωση της έλλειψης στο σύστημα συντεταγμένων που επιλέξαμε. Για το σκοπό αυτό, εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Εξ ορισμού της έλλειψης, το άθροισμα των αποστάσεων από αυτό το σημείο έως τις εστίες είναι ίσο με: Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, λαμβάνουμε Για να απλοποιήσουμε αυτή την εξίσωση, τη γράφουμε στη μορφή Στη συνέχεια, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε ή, μετά από προφανείς απλοποιήσεις: Τώρα τετραγωνίζουμε ξανά και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, μετά από την οποία έχουμε: ή, μετά από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς: Αφού, σύμφωνα με την συνθήκη στον ορισμό της έλλειψης, τότε ο αριθμός είναι θετικός. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία Τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή: Με τον ορισμό μιας έλλειψης, οι συντεταγμένες οποιουδήποτε από τα σημεία της ικανοποιούν την εξίσωση (26). Αλλά η εξίσωση (29) είναι συνέπεια της εξίσωσης (26). Κατά συνέπεια, ικανοποιείται και από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της έλλειψης. Μπορεί να φανεί ότι οι συντεταγμένες των σημείων που δεν βρίσκονται στην έλλειψη δεν ικανοποιούν την εξίσωση (29). Έτσι, η εξίσωση (29) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης. Ονομάζεται κανονική εξίσωση της έλλειψης. Ας καθορίσουμε το σχήμα της έλλειψης χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση. Αρχικά, ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι αυτή η εξίσωση περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις των x και y. Αυτό σημαίνει ότι αν οποιοδήποτε σημείο ανήκει σε έλλειψη, τότε περιέχει επίσης ένα σημείο συμμετρικό με το σημείο σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης και ένα σημείο συμμετρικό με το σημείο σε σχέση με τον άξονα τεταγμένης. Έτσι, η έλλειψη έχει δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συμμετρίας, οι οποίοι στο επιλεγμένο μας σύστημα συντεταγμένων συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων. Στο εξής θα ονομάζουμε άξονες συμμετρίας της έλλειψης άξονες της έλλειψης και το σημείο τομής τους κέντρο της έλλειψης. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της έλλειψης (στην περίπτωση αυτή ο άξονας της τετμημένης) ονομάζεται εστιακός άξονας. Ας προσδιορίσουμε πρώτα το σχήμα της έλλειψης στο πρώτο τέταρτο. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση (28) για το y: Είναι προφανές ότι εδώ , αφού το y παίρνει φανταστικές τιμές. Καθώς αυξάνετε από το 0 στο a, το y μειώνεται από το b στο 0. Το τμήμα της έλλειψης που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο θα είναι ένα τόξο που οριοθετείται από τα σημεία B (0; b) και βρίσκεται στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 45). Χρησιμοποιώντας τώρα τη συμμετρία της έλλειψης, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η έλλειψη έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 45. Τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Από τη συμμετρία της έλλειψης προκύπτει ότι, εκτός από τις κορυφές, η έλλειψη έχει δύο ακόμη κορυφές (βλ. Εικ. 45). Τα τμήματα και οι συνδετικές απέναντι κορυφές της έλλειψης, καθώς και τα μήκη τους, ονομάζονται κύριος και δευτερεύων άξονες της έλλειψης, αντίστοιχα. Οι αριθμοί a και b ονομάζονται μείζον και μικρότερο ημιάξονες της έλλειψης, αντίστοιχα. Ο λόγος του μισού της απόστασης μεταξύ των εστιών προς τον ημι-κύριο άξονα της έλλειψης ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα: Επειδή , η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μικρότερη από τη μονάδα: Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης. Πράγματι, από τον τύπο (28) προκύπτει ότι όσο μικρότερη είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης, τόσο λιγότερο ο ημιμικρότερος άξονάς της b διαφέρει από τον ημι-κύριο άξονα α, δηλαδή, τόσο λιγότερο επιμήκης είναι η έλλειψη (κατά μήκος του εστιακού άξονα). Στην οριακή περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ένας κύκλος ακτίνας a: , ή . Ταυτόχρονα, οι εστίες της έλλειψης φαίνεται να συγχωνεύονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η εκκεντρότητα του κύκλου είναι μηδέν: Η σύνδεση μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου μπορεί να εδραιωθεί από άλλη σκοπιά. Ας δείξουμε ότι μια έλλειψη με ημιάξονες a και b μπορεί να θεωρηθεί ως προβολή κύκλου ακτίνας a. Ας εξετάσουμε δύο επίπεδα P και Q, που σχηματίζουν μεταξύ τους μια τέτοια γωνία α, για την οποία (Εικ. 46). Ας κατασκευάσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο P και στο επίπεδο Q ένα σύστημα Oxy με κοινή αρχή Ο και κοινό άξονα τετμημένης που συμπίπτει με τη γραμμή τομής των επιπέδων. Θεωρήστε έναν κύκλο στο επίπεδο P με κέντρο στην αρχή και ακτίνα ίση με α. Έστω ένα αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο στον κύκλο, η προβολή του στο επίπεδο Q και έστω η προβολή του σημείου M στον άξονα Ox. Ας δείξουμε ότι το σημείο βρίσκεται σε μια έλλειψη με ημιάξονες a και b.Παραμετρική εξίσωση έλλειψης
Έλειψη που δίνεται από την κανονική εξίσωση
, έλλειψη.
.
.
Ας συνεχίσουμε να λύνουμε προβλήματα έλλειψης μαζί
,
.
