Κατεβάστε(απευθείας σύνδεσμος) : analitgeometr1997.pdf Προηγούμενο 1 .. 29 > .. >> Επόμενο
1°. Αριθμητική ακολουθία. Αφήστε όλους φυσικός αριθμός n=1,2,3,...σύμφωνα με κάποιο νόμο αποδίδεται ο αριθμός xn. Τότε λέμε ότι αυτό ορίζει μια ακολουθία αριθμών Xi, X2, xs, . . . ή, εν συντομία, η ακολουθία (xn) = (xi, X"2, xs, .
2°. Όριο ακολουθίας (όριο μεταβλητής). Ο αριθμός a ονομάζεται όριο της ακολουθίας (xn) ή όριο της μεταβλητής Xn (που συμβολίζεται με Xn - Y a), εάν για κάθε є > 0 υπάρχει ένας αριθμός n0 που εξαρτάται από το є έτσι ώστε \xn - ένα\< є для всех натуральных п >Το διάστημα (a - є, a + є) ονομάζεται є-γειτονιά του αριθμού a (ή του σημείου a). Έτσι, Xn - Y a σημαίνει ότι για κάθε є > 0 υπάρχει ένας αριθμός n0 τέτοιος ώστε για όλους τους n > n0 οι αριθμοί Xn να βρίσκονται στη γειτονιά του a.
3°. Όριο λειτουργίας. Έστω η συνάρτηση f(x) που ορίζεται σε κάποια γειτονιά є του σημείου a, εκτός ίσως από το ίδιο το σημείο a. Λέγεται ότι ο αριθμός b είναι το όριο της συνάρτησης f(x) για X - Y a (γράφουν f (x) - Y b για X - Y a ή Hm f (x) = b) αν για οποιοδήποτε є > 0 υπάρχει
Χ -
αριθμός S > 0 ανάλογα με το є έτσι ώστε \ f(x) - b\< є при 0 < \х - а\ < S.
Ομοίως, Hm f(x) = b, εάν για οποιοδήποτε є > 0 υπάρχει εξάρτηση
ένας αριθμός N, που εξαρτάται από το є, έτσι ώστε \f(x) - b\< є при \х\ >Ν. Χρησιμοποιούμε επίσης τον συμβολισμό Hm f(x) = w, που σημαίνει ότι για οποιονδήποτε αριθμό
Χ-
A > 0 υπάρχει ένας αριθμός S που εξαρτάται από το A έτσι ώστε |/(x)| > Α στο Ο< \х - а\ < S.
Αν X - Y a και ταυτόχρονα x< а, то пишут х -ї а - 0; аналогично, если X -У а и при этом х >a, τότε γράφουν x - Y a + 0. Οι αριθμοί f (a - 0) \u003d \u003d Hm f (x) και f (a + 0) \u003d Hm f (x) ονομάζονται προ-
x^-a - O x->a + 0
το αριστερό χέρι της συνάρτησης f(x) στο σημείο α και το δεξί όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο α. Για την ύπαρξη ορίου της συνάρτησης f (x) στο x - Y a, είναι απαραίτητο και αρκετό f (a - 0) = f (a + 0). Αντί για x -y 0 - 0 και x -y 0 + 0 γράψτε x -y -0 και x -y +0 αντίστοιχα.
4°. Άπειρα μικρό. Αν Hm a(x) = 0, δηλ. εάν |a(x)|< є
Χ-
στο 0< Iж - аI < S(e), то функция а(х) называется бесконечно малой при X -)>ΕΝΑ. Το απείρως μικρό a(x) ορίζεται αναλόγως για το x - Y ω.
5°. Άπειρα μεγάλο. Αν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μεγάλο αριθμό N υπάρχει ένα S(N) τέτοιο ώστε στο 0< \х - а\ < S(N) выполнено равенство |/(ж)| >N, τότε η συνάρτηση f(x) ονομάζεται απείρως μεγάλη για X -)> a. Το απείρως μεγάλο f(x) ορίζεται αναλόγως ως X - Y co.
94
Κεφάλαιο 5 Εισαγωγή στην Ανάλυση
702. Υποθέτοντας ra = 0, 1, 2, 3, ..., γράψτε ακολουθίες τιμών μεταβλητών:
1 1 (Ι
α=-, α=--, α=-
2p 2p \ 2
Ξεκινώντας από τι ha το μέτρο κάθε μιας από τις μεταβλητές γίνεται και παραμένει μικρότερο από 0,001, μικρότερο από το δεδομένο θετικό є;
703. Γράψτε μια ακολουθία τιμών για τη μεταβλητή x = (-1)n
= 1-|--. Ξεκινώντας από το τι m γίνεται ο συντελεστής της διαφοράς x - 1 και
2ga + 1
θα παραμείνει μικρότερο από 0,01, μικρότερο από ένα δεδομένο θετικό є;
704. Προσθέτοντας στο 3 (ή αφαιρώντας από το 3) πρώτα 1, μετά 0,1, μετά 0,01 κ.λπ., γράψτε τις «δεκαδικές» ακολουθίες προσέγγισης της μεταβλητής στο όριο: Xn -> 3 + 0, Xn -> 3 - 0.
705. Γράψε με «δεκαδικές» ακολουθίες προσέγγισης μεταβλητών στα όρια: Xn -> 5 + 0, Xn -> 5 - 0, Xn -> -> - 2 + 0, xn -> - 2 - 0, xn - > 1 + 0 , xn -> 1 - 0, xn -> 1, 2 + 0, xn -> 1, 2 - 0.
706. Να αποδείξετε ότι Hm x2 = 4. Εξηγήστε με πίνακες τιμών
707. Να αποδείξετε ότι Hm (2x - 1) = 5. Για έναν δεδομένο αριθμό, є > 0
x->3
Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό 8 > 0 έτσι ώστε για οποιοδήποτε x από την ^-γειτονιά του αριθμού 3, η τιμή της συνάρτησης y = 2x - 1 να αποδεικνύεται ότι βρίσκεται στη γειτονιά є του αριθμού 5. Εξηγήστε γραφικά.
708. Να αποδείξετε ότι Hm (3 - 2x - x2) = 4.
X-y - 1
Η τιμή του x πρέπει να ληφθεί στη γειτονιά w του αριθμού -1 έτσι ώστε η τιμή της συνάρτησης y = 3 - 2x - x2 να διαφέρει από το όριό της κατά λιγότερο από є = 0,0001;
709. Να αποδείξετε ότι η αμαρτία α είναι απείρως μικρή όσο a -> 0.
Εντολή. Κάντε ένα σχέδιο και δείξτε ότι |sina|< \a\.
710. Να αποδείξετε ότι Hm sin x = αμαρτία α.
x^ra
Εντολή. Βάζοντας x \u003d a + a, κάντε τη διαφορά sin x - sin a και μετά βάλτε a - Y 0.
Zzh + 4
711. Να αποδείξετε ότι Hm - = 3. Εξηγήστε με πίνακες τις τιμές
Zzh + 4
τιμές w και - σε w = 1, 10, 100, 1000, ...
και
4zh - 3
712. Να αποδείξετε ότι Hm - = 2. Για ποιες τιμές
f-»oo 2f + 1
οι συναρτήσεις θα διαφέρουν από το όριο τους κατά λιγότερο από 0,001;
2. Όρια και συναρτήσεις ακολουθίας
95
,. 1 - 2zh2
713. Να αποδείξετε ότι hm-- = -0,5. Σε ποιες αξίες
χ->οο
2 + 4 γρ
οι συναρτήσεις θα διαφέρουν από το όριο τους κατά λιγότερο από 0,01;
714. Αποδείξτε ότι Hm 0,333...3 = - κάνοντας τη διαφορά--
p-Yuo 4 -- "Z 3
n χαρακτήρες
- 0,3; i - 0,33; ^ - 0,333; ... ^- 0,333^3.
n χαρακτήρες
715. Γράψε τις ακολουθίες:
χα χα (-1)φα
1) xp - . δ) 2j Xn - ¦ -, 3) Xn - ¦ - , ha+1 ha+1 ha+1
_ 8cosra(7r/2)- _ 2ha+ (-!)"_
4J Xn - ¦ - , Oj Xn - ,
εκτάρια + 4 εκτάρια
6) Xn = 2~nacosmr. Υπάρχει Hm Xn σε κάθε παράδειγμα και με τι ισούται;
Έστω x μια διατεταγμένη μεταβλητή (για παράδειγμα, μια αριθμητική ακολουθία).
Ορισμός.
σταθερός αριθμόςέναονομάζεται όριο της μεταβλητής x, εάν υπάρχει αυθαίρετα μικρός θετικός αριθμός δεν λάβαμε, μπορείτε να καθορίσετε μια τέτοια τιμή της μεταβλητής x ώστε όλες οι επόμενες τιμές της μεταβλητής να ικανοποιούν την ανισότητα Χ-ΕΝΑ .
Συμβολικά αυτό γράφεται xa ή limx = a (από το λατινικό limes - limit).
ΓεωμετρικάΑυτός ο ορισμός σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το πόσο μικρή - η γειτονιά του σημείου a λαμβάνουμε, όλες οι επόμενες τιμές του x μετά από κάποια θα βρίσκονται σε αυτήν τη γειτονιά.
Μπορεί να φανεί από το σχήμα ότι η ανισότητα 
σημαίνει ότι η απόσταση από το σημείο x στο a είναι μικρότερη από . Και αυτό είναι το εσωτερικό της γειτονιάς. Το σημείο x ικανοποιεί προφανώς τη διπλή ανισότητα a- 
και είναι ισοδύναμα.
ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 
ορισμός:Για μια αριθμητική ακολουθία (x n ), το a είναι το όριο εάν, σύμφωνα με 
μπορείτε να καθορίσετε έναν αριθμό N έτσι ώστε για όλους 
Για τα μέλη της ακολουθίας, όλες οι τιμές x N , x N +1 και πέρα βρίσκονται μέσα 
- Η γειτονιά είναι ότι πρέπει.
Μια μεταβλητή x της οποίας οι τιμές σχηματίζουν μια αριθμητική ακολουθία x 1 , x 2 ,…, x n γράφεται συχνά ως μέλος της ακολουθίας x=x n ή (x n ). Για παράδειγμα, (1/n). Αυτή είναι μια μεταβλητή ή μια ακολουθία με κοινό όρο x n =1/n: 1,1/2,1/3…
Παράδειγμα: Έστω η μεταβλητή x διαδοχικές τιμές: x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… δηλ. σχηματίζουν μια αριθμητική ακολουθία. Ας το αποδείξουμε 
.
Ας πάρουμε 
.
. Μόλις γίνει ο αριθμός 
, θα το πάρουμε ως Ν. Τότε η ανισότητα θα διαρκέσει 
. Αλλά τότε όλα αποδεικνύονται.
Θεώρημα 1:το όριο μιας σταθεράς είναι ίσο με αυτή τη σταθερά. Απόδειξη:Μια σταθερή τιμή είναι μια ειδική περίπτωση μιας μεταβλητής - όλες οι τιμές της \u003d c: x \u003d c / Αλλά, στη συνέχεια limc \u003d c.
Θεώρημα 2:Η μεταβλητή x δεν μπορεί να έχει δύο όρια.
Απόδειξη:Ας πούμε limx=a και limx=b. Επειτα 
Και 
μετά από κάποια τιμή του x. Αλλά στη συνέχεια
Επειδή 
αυθαίρετα μικρό, τότε η ανισότητα είναι δυνατή μόνο για a=b
Σημείωση:Η μεταβλητή μπορεί να μην έχει όριο: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. Η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο a από τις τιμές του -1,+1 δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 1/2 
(-1) n δεν έχει όριο.
Υποθέσαμε ότι το α είναι ένας αριθμός. Αλλά η μεταβλητή x μπορεί επίσης να τείνει στο άπειρο.
Ορισμός:Η μεταβλητή x τείνει στο άπειρο εάν για 
ξεκινώντας από κάποια τιμή x, οι υπόλοιπες τιμές ικανοποιούν την ανισότητα 
. Η μεταβλητή x τείνει να 
, εάν υπό τις ίδιες συνθήκες ικανοποιείται η ανίσωση x>M και k - 
, αν υπό τις ίδιες συνθήκες η ανίσωση x<-M.
Если переменная X
стремится к бесконечности, то её называют
απείρως μεγάλοκαι γράψε 
Παράδειγμα: x=xn=n2. Ας πάρουμε 
>0. Πρέπει να εκτελεστεί n 2 >M. n> 
. Μόλις το n ικανοποιήσει αυτήν την ανισότητα, τότε για όλα τα x n =n 2 ισχύει η ανισότητα. Ν 2 λοιπόν 
, ή μάλλον ν 2 
.
§3. Όριο λειτουργίας.
Θα υποθέσουμε ότι το όρισμα x της συνάρτησης y=f(x) τείνει στο x 0 ή .
Εξετάστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης y σε αυτές τις περιπτώσεις.
Ορισμός.
Έστω η συνάρτηση y=f(x) να οριστεί σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 . Ο αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης στο xx 0 αν για οποιοδήποτε , αυθαίρετα μικρό, μπορείτε να καθορίσετε έναν τέτοιο αριθμό ώστε για όλα τα xx 0 και ικανοποιώντας την ανίσωση x-x 0 την ανίσωση f (x)-A.
Αν Α είναι το όριο της συνάρτησης f(x), τότε γράφουμε 
ή f(x)A σε xx 0.
ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 
Ο ορισμός μπορεί να απεικονιστεί με αυτόν τον τρόπο γεωμετρικά.
Αν A είναι το όριο της f (x) στο xx 0, τότε λαμβάνοντας οποιαδήποτε -γειτονιά του σημείου A, μπορούμε πάντα να υποδεικνύουμε μια τέτοια - γειτονιά του σημείου x 0 που για όλα τα x από αυτό το - γειτονιές της τιμής της συνάρτησης f (x) διαχωρίζονται από το A όχι περισσότερο από το , δηλ. εμπίπτουν στην επιλεγμένη -γειτονιά του σημείου A, ή, ούτως ή άλλως, το τμήμα του γραφήματος που αντιστοιχεί στα σημεία x από τη γειτονιά βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε μια λωρίδα πλάτους 2.
Μπορεί να φανεί ότι όσο μικρότερο , τόσο μικρότερο θα πρέπει να είναι .
Ορισμός.
Έστω το όρισμα x τείνει στο σημείο x 0, παίρνοντας συνεχώς τις τιμές xx 0 xx 0 Στη συνέχεια, ο αριθμός A 1 (A 2), στον οποίο τείνει η συνάρτηση f (x), ονομάζεται όριο της συνάρτησης f (x) στο σημείο x 0 δεξιά (αριστερά) ή δεξιόστροφη (αριστερόστροφη).
Γράφεται: lim x x0 + 0 f (x) \u003d A 1, (lim x x0-0 f (x) \u003d A 2).
Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν υπάρχει το όριο lim x x0 f(x)=A, τότε υπάρχουν και τα δύο μονόπλευρα όρια σε αυτό το σημείο και είναι ίσα, A 1 =A 2 =A. Αντίστροφα: Αν υπάρχουν μονόπλευρα όρια και είναι ίσα, τότε υπάρχει κοινό όριο. Αν τουλάχιστον ένα δεν υπάρχει ή δεν είναι ίσα, τότε το όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει.
Παράδειγμα.
Να αποδείξετε ότι η f(x)=3x-2 έχει όριο στο x1 ίσο με 1.
Οποιοδήποτε , x 3.
Ως μπορείτε να πάρετε οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς /3. 0</3.
Αποδείξαμε ότι για οποιοδήποτε αρκεί να πάρουμε το /3 έτσι ώστε από 0х f(х)-1, αλλά αυτό σημαίνει ότι το lim X ( 3x-2)=1.
Ορισμός.
H 
λέξη Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης y = f (x) στο x, αν για οποιοδήποτε (αυθαίρετα μικρό) μπορείτε να καθορίσετε έναν θετικό αριθμό P έτσι ώστε για όλες τις τιμές του x που ικανοποιούν την ανισότητα xP, η ανίσωση f(x)-A.
Γράψτε lim x f(x)=A.
Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε η γραφική παράσταση της συνάρτησης για xp και x-p βρίσκεται σε μια λωρίδα με πλάτος 2.
Παράδειγμα.
f(x)=1/x στο x, f(x)0.
Ό,τι και να ληφθεί 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης στα xP και x-P θα βρίσκεται σε μια λωρίδα με πλάτος 2.
1/х, 1/х, x1/, Р=1/.
Ομοίως, ορίζονται και 
f(x)=A 1 και 
f (x) \u003d A 2. Στην πρώτη περίπτωση, η ανίσωση f(x)-A 1 για xP πρέπει να ικανοποιηθεί, στη δεύτερη περίπτωση f(x)-A 2 για x-P (P0 .
Ετσι, 
1/x=0 και 
1/x=0. Η ισότητά τους μας επιτρέπει να εξετάσουμε το γενικό όριο 
1/x=0.
Το όριο είναι μια από τις πιο θεμελιώδεις έννοιες των ανώτερων μαθηματικών. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξετάσουμε δύο βασικούς τύπους ορίων: 1) το όριο μιας μεταβλητής. 2) όριο λειτουργίας.
Αφήνω Χ – μεταβλητός. Αυτό σημαίνει ότι η αξία Χαλλάζει τις αξίες του. Σε αυτό είναι θεμελιωδώς διαφορετικό από οποιοδήποτε σταθερή τιμή ΕΝΑ, το οποίο δεν αλλάζει τη σταθερή του τιμή. Για παράδειγμα, το ύψος μιας κολόνας είναι μια σταθερή τιμή και το ύψος ενός ζωντανού αναπτυσσόμενου δέντρου είναι μια μεταβλητή τιμή.
μεταβλητός Χθεωρείται δεδομένη αν η ακολουθία
Τα νοήματά του. Δηλαδή αυτές τις αξίες Χ 1; Χ 2; Χ 3;…, που διαδοχικά, το ένα μετά το άλλο, παίρνει στη διαδικασία της αλλαγής του. Υποθέτουμε ότι αυτή η διαδικασία αλλαγής από την τιμή Χοι τιμές του δεν σταματούν σε κανένα στάδιο (η μεταβλητή Χδεν παγώνει ποτέ, είναι «πάντα ζωντανή»). Και αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία (1.1) έχει άπειρο αριθμό τιμών, που υποδεικνύεται στο (1.1) με έλλειψη.
Φυσικά, προκύπτει ενδιαφέρον σχετικά με τη φύση της μεταβολής της αξίας Χτις αξίες τους. Δηλαδή, τίθεται το ερώτημα: αλλάζουν αυτές οι αξίες τυχαία, χαοτικά ή με κάποιο τρόπο σκόπιμα.
Το κύριο ενδιαφέρον είναι φυσικά η δεύτερη επιλογή. Δηλαδή, αφήστε τις τιμές xn μεταβλητός Χόσο αυξάνεται ο αριθμός τους Νπλησιάζει επ' αόριστον ( Προσπαθώ) σε κάποιο συγκεκριμένο αριθμό ΕΝΑ. Αυτό σημαίνει ότι η διαφορά (απόσταση) μεταξύ των τιμών xn μεταβλητός Χκαι αριθμός ΕΝΑμειώνεται, τείνει να αυξάνεται Ν(στο ) στο μηδέν. Αντικαθιστώντας τη λέξη "αγωνίζεται" με ένα βέλος, τα παραπάνω μπορούν να γραφούν ως εξής:
Στο<=>στο (1.2)
Αν ισχύει το (1.2), τότε το λέμε Η μεταβλητή x τείνει στον αριθμό α. Αυτός ο αριθμός ΕΝΑπου ονομάζεται Μεταβλητό όριοΧ. Και γράφεται ως εξής:
<=> (1.3)
Διαβάζει: ΟριοΧισοδυναμείΕΝΑ (Χτείνει ναΕΝΑ).
Μεταβλητή αναρρόφησης Χστα όριά σου ΕΝΑ
Μπορεί να απεικονιστεί οπτικά σε μια αριθμητική γραμμή. 
Το ακριβές μαθηματικό νόημα αυτής της φιλοδοξίας ΧΠρος την ΕΝΑσυνίσταται στο γεγονός ότι όσο μικρός κι αν ληφθεί ένας θετικός αριθμός, και επομένως, όσο μικρό κι αν είναι το διάστημα 
ούτε γύρω από τον αριθμό του άξονα αριθμών ΕΝΑ, σε αυτό το διάστημα (στη λεγόμενη -γειτονιά του αριθμού ΕΝΑ) θα πέσει ξεκινώντας από κάποιο αριθμό Ν, όλες τις αξίες xn
μεταβλητός Χ. Ειδικότερα, στο σχ. 3.1 στην εικονιζόμενη -γειτονιά του αριθμού ΕΝΑπεριλαμβάνονται όλες οι τιμές xn
μεταβλητός Χ, ξεκινώντας από τον αριθμό .
Μεταβλητός Χ, που έχει ως όριο το μηδέν (δηλαδή τείνει στο μηδέν) λέγεται Απειροελάχιστος. Μια μεταβλητή Χ, που αυξάνεται απεριόριστα σε απόλυτη τιμή, ονομάζεται απείρως μεγάλο(το μέτρο του τείνει στο άπειρο).
Αν λοιπόν, τότε Χείναι μια απειροελάχιστη μεταβλητή, και αν , τότε Χείναι μια απείρως μεγάλη μεταβλητή. Ειδικότερα, εάν ή , τότε Χείναι μια απείρως μεγάλη μεταβλητή.
Αν τότε 
. Και το αντίστροφο αν 
, Οτι . Από αυτό προκύπτει η ακόλουθη σημαντική σύνδεση μεταξύ της μεταβλητής Χκαι το όριο του ΕΝΑ:
Σημειώστε ότι όχι κάθε μεταβλητή Χέχει ένα όριο. Πολλές μεταβλητές δεν έχουν όριο. Το αν υπάρχει ή όχι εξαρτάται από το ποια είναι η ακολουθία (1.1) τιμών αυτής της μεταβλητής.
Παράδειγμα 1 . Αφήνω
Εδώ, προφανώς, , δηλαδή, .
Παράδειγμα 2 . Αφήνω
Χ- απείρως μικρό.
Παράδειγμα 3 . Αφήνω
Εδώ, προφανώς, , δηλαδή, . Η μεταβλητή λοιπόν Χ- απείρως μεγάλο.
Παράδειγμα 4 . Αφήνω
Εδώ, προφανώς, η μεταβλητή Χδεν επιδιώκει τίποτα. Δηλαδή δεν έχει όριο (δεν υπάρχει).
Παράδειγμα 5 . Αφήνω
Εδώ είναι η κατάσταση με το όριο μεταβλητής Χδεν είναι τόσο προφανές όσο στα προηγούμενα τέσσερα παραδείγματα. Για να διευκρινίσουμε αυτήν την κατάσταση, μετασχηματίζουμε τις τιμές xnμεταβλητός Χ:
Είναι προφανές ότι στις . Που σημαίνει,
στο .
Και αυτό σημαίνει ότι, δηλαδή.
Παράδειγμα 6 . Αφήνω
Εδώ η σειρά ( xn) μεταβλητές τιμές Χείναι μια άπειρη γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή Q. Επομένως, το όριο της μεταβλητής Χείναι το όριο μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου.
Α) Αν , τότε, προφανώς, για . Και αυτό σημαίνει ότι ().