Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Εξίσωση εφαπτομένης

$f\backslash colon\; U(x\_0)\; \backslash subset\; \backslash mathbb(R)\; \backslash to\; \backslash mathbb(R)$ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου $x\_0\backslash \sigma \epsilon \; \backslash mathbb(R)$, και είναι διαφοροποιήσιμο σε αυτό: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$ονομάζεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης, που δίνεται από την εξίσωση $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash \tau \epsilon \tau \rho ά\gamma \omega \nu o\; x\backslash \sigma \epsilon \; \backslash mathbb(R)$.

Εάν η συνάρτηση $\phi ά$έχει στο σημείο $x\_0$άπειρη παράγωγος $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$τότε η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο είναι η κάθετη γραμμή που δίνεται από την εξίσωση $x\; =\; x\_0.$

Σχόλιο

Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι η γραφική παράσταση της εφαπτομένης διέρχεται από το σημείο $(x\_0,f(x\_0))$. Γωνία $\backslash ά\lambda \phi \alpha$μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης και του άξονα x ικανοποιεί την εξίσωση

$\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

όπου $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)$σημαίνει εφαπτομένη και $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή\; (k)$- συντελεστής κλίσης εφαπτομένης. Παράγωγο σε ένα σημείο $x\_0$ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y\; =\; f(x)$σε αυτό το σημείο.

Εφαπτομένη ως η οριακή θέση μιας τομής

Αφήνω $f\backslash \; ά\nu \omega \; \kappa \alpha \iota \; \kappa ά\tau \omega \; \tau \epsilon \lambda \epsilon ί\alpha \; U(x\_0)\; \backslash \sigma \epsilon \; \backslash R$και $x\_1\backslash \sigma \epsilon \; U(x\_0).$Στη συνέχεια μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $(x\_0,f(x\_0))$και $(x\_1,f(x\_1))$δίνεται από την εξίσωση

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Αυτή η γραμμή διέρχεται από το σημείο $(x\_0,f(x\_0))$Για οποιονδηποτε $x\_1\backslash \sigma \epsilon \; U(x\_0),$και η γωνία κλίσης του $\backslash alpha(x\_1)$ικανοποιεί την εξίσωση

$\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

Λόγω της ύπαρξης της παραγώγου της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0,$περνώντας στο όριο στο $x\_1\backslash \; έ\omega \varsigma \; x\_0,$καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει ένα όριο

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash έ\omega \varsigma \; x\_0)\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

και λόγω της συνέχειας της εφαπτομένης του τόξου και της οριακής γωνίας

$\backslash alpha\; =\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Μια γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο $(x\_0,f(x\_0))$και έχοντας οριακή γωνία κλίσης που ικανοποιεί $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$δίνεται από την εφαπτομενική εξίσωση:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Εφαπτομένη στον κύκλο

Μια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο και βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με αυτόν ονομάζεται εφαπτομένη στον κύκλο.

Ιδιότητες

1. Η εφαπτομένη στον κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής.
2. Τα τμήματα των εφαπτομένων στον κύκλο που σχεδιάζονται από ένα σημείο είναι ίσα και κάνουν ίσες γωνίες με την ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και το κέντρο του κύκλου.
3. Το μήκος του τμήματος της εφαπτομένης που σύρεται σε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας, που λαμβάνεται μεταξύ του σημείου εφαπτομένης και του σημείου τομής της εφαπτομένης με την ακτίνα που τραβιέται από το κέντρο του κύκλου, είναι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ αυτής της ακτίνας και την κατεύθυνση από το κέντρο του κύκλου προς το σημείο εφαπτομένης. "Tangens" από το λατ. εφαπτόμενες- "εφαπτομένη".

Παραλλαγές και γενικεύσεις

Μονόπλευρες ημι-εφαπτομένες

• Αν υπάρχει σωστή παράγωγος έπειτα δεξιός ημιεφαπτομενοςστο γράφημα της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Αν υπάρχει αριστερή παράγωγος έπειτα αριστερός ημιεφαπτομενοςστο γράφημα της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Αν υπάρχει άπειρη δεξιά παράγωγος $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Αν υπάρχει άπειρη αριστερή παράγωγος $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$τότε η δεξιά ημιεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

δείτε επίσης

• Κανονικό, διφυσιολογικό

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Tangent Line"

Βιβλιογραφία

• Toponogov V. A.Διαφορική γεωμετρία καμπυλών και επιφανειών. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron: σε 86 τόμους (82 τόμοι και 4 επιπλέον). - Αγία Πετρούπολη. , 1890-1907.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει την εφαπτομένη

- Σε μέρη! - φώναξε ένας νεαρός αξιωματικός στους στρατιώτες που ήταν συγκεντρωμένοι γύρω από τον Πιέρ. Αυτός ο νεαρός αξιωματικός, προφανώς, εκτέλεσε τη θέση του για πρώτη ή δεύτερη φορά, και ως εκ τούτου αντιμετώπισε τόσο τους στρατιώτες όσο και τον διοικητή με ιδιαίτερη ευκρίνεια και ομοιομορφία.
Οι ακανόνιστες πυροβολισμοί κανονιών και τουφεκιών εντάθηκαν σε όλο το πεδίο, ειδικά προς τα αριστερά, όπου ήταν τα φλας του Bagration, αλλά λόγω του καπνού των βολών από το μέρος όπου βρισκόταν ο Pierre, ήταν σχεδόν αδύνατο να φανεί τίποτα. Επιπλέον, οι παρατηρήσεις για το πώς, όπως ήταν, ένας οικογενειακός (χωρισμένος από όλους τους άλλους) κύκλος ανθρώπων που ήταν στην μπαταρία, απορρόφησαν όλη την προσοχή του Pierre. Ο πρώτος του ασυνείδητα χαρούμενος ενθουσιασμός, που παρήχθη από το θέαμα και τους ήχους του πεδίου μάχης, αντικαταστάθηκε τώρα, ειδικά μετά τη θέα αυτού του μοναχικού στρατιώτη που κείτονταν στο λιβάδι, από ένα άλλο συναίσθημα. Καθισμένος τώρα στην πλαγιά της τάφρου, παρακολουθούσε τα πρόσωπα γύρω του.
Μέχρι τις δέκα η ώρα, είκοσι άτομα είχαν ήδη παρασυρθεί από την μπαταρία. δύο όπλα έσπασαν, όλο και περισσότερες οβίδες χτυπούσαν την μπαταρία και πετούσαν, βουίζοντας και σφυρίζοντας, σφαίρες μεγάλης εμβέλειας. Αλλά οι άνθρωποι που ήταν στη μπαταρία δεν φάνηκε να το προσέχουν αυτό. εύθυμη κουβέντα και αστεία ακούστηκαν από όλες τις πλευρές.
- Τσινένκο! - φώναξε ο στρατιώτης στην πλησιάζοντας, σφυρίζοντας χειροβομβίδα. - ΟΧΙ εδω! Στο πεζικό! - πρόσθεσε ένας άλλος γελώντας, παρατηρώντας ότι η χειροβομβίδα πέταξε πάνω και χτύπησε τις τάξεις του εξωφύλλου.
- Τι φίλος? - γέλασε ένας άλλος στρατιώτης στον σκυμμένο χωρικό κάτω από την ιπτάμενη οβίδα.
Αρκετοί στρατιώτες μαζεύτηκαν στον προμαχώνα, κοιτάζοντας τι συνέβαινε μπροστά.
«Και έβγαλαν την αλυσίδα, βλέπετε, γύρισαν πίσω», είπαν, δείχνοντας πάνω από τον άξονα.
«Κοιτάξτε την επιχείρησή σας», τους φώναξε ο γέρος υπαξιωματικός. - Πήγαν πίσω, που σημαίνει ότι υπάρχει δουλειά πίσω. - Και ο υπαξιωματικός, παίρνοντας από τον ώμο έναν από τους στρατιώτες, τον έσπρωξε με το γόνατό του. Ακούστηκαν γέλια.
- Κυλήστε στο πέμπτο όπλο! φώναξε από τη μια πλευρά.
«Μαζί, πιο φιλικά, στο μπουρλάτσκι», ακούστηκαν οι χαρούμενες κραυγές όσων άλλαξαν το όπλο.
«Ε, κόντεψα να ρίξω το καπέλο του κυρίου μας», γέλασε ο κοκκινοπρόσωπος τζόκερ στον Πιέρ, δείχνοντας τα δόντια του. «Ω, αδέξια», πρόσθεσε επιδοκιμαστικά στη μπάλα που είχε πέσει στον τροχό και στο πόδι ενός άνδρα.
- Λοιπόν, αλεπούδες! ένας άλλος γέλασε με τους στριμωγμένους πολιτοφύλακες που έμπαιναν στην μπαταρία για τους τραυματίες.
- Αλ δεν είναι νόστιμο κουάκερ; Αχ, κοράκια, ταλαντεύτηκαν! - φώναξαν στην πολιτοφυλακή, που δίσταζε μπροστά σε έναν στρατιώτη με κομμένο πόδι.
«Κάτι τέτοιο, μικρέ», μιμήθηκαν οι χωρικοί. - Δεν τους αρέσει το πάθος.
Ο Pierre παρατήρησε πώς μετά από κάθε σουτ που χτυπούσε, μετά από κάθε απώλεια, μια γενική αναζωπύρωση φούντωνε όλο και περισσότερο.
Σαν από ένα προοδευμένο κεραυνό, όλο και πιο συχνά, όλο και πιο λαμπερές έλαμπαν στα πρόσωπα όλων αυτών των ανθρώπων (σαν απόκρουση αυτού που συνέβαινε) κεραυνοί κρυμμένης, φλογερής φωτιάς.
Ο Πιέρ δεν κοίταξε μπροστά στο πεδίο της μάχης και δεν ενδιαφερόταν να μάθει τι συνέβαινε εκεί: ήταν εντελώς απορροφημένος στη σκέψη αυτής της, ολοένα και πιο φλεγόμενης φωτιάς, η οποία με τον ίδιο τρόπο (αισθάνθηκε) φούντωσε στην ψυχή του.
Στις δέκα η ώρα οι στρατιώτες του πεζικού, που ήταν μπροστά από τη μπαταρία στους θάμνους και κατά μήκος του ποταμού Kamenka, υποχώρησαν. Από τη μπαταρία ήταν ορατό πώς έτρεξαν πίσω από αυτό, κρατώντας τους τραυματίες στα όπλα τους. Κάποιος στρατηγός με τη συνοδεία του μπήκε στο ανάχωμα και, αφού μίλησε με τον συνταγματάρχη, κοιτάζοντας θυμωμένα τον Πιέρ, κατέβηκε πάλι, διέταξε το κάλυμμα του πεζικού, που στεκόταν πίσω από τη μπαταρία, να ξαπλώσει για να είναι λιγότερο εκτεθειμένο σε πυροβολισμούς. Κατόπιν αυτού, στις τάξεις του πεζικού, στα δεξιά της μπαταρίας, ακούστηκε ένα τύμπανο, κραυγές εντολής, και από τη μπαταρία φάνηκε πώς προχωρούσαν οι τάξεις του πεζικού.
Ο Πιερ κοίταξε πάνω από τον άξονα. Ένα πρόσωπο συγκεκριμένα τράβηξε το μάτι του. Ήταν ένας αξιωματικός που, με χλωμό νεανικό πρόσωπο, περπατούσε προς τα πίσω, κρατώντας ένα χαμηλωμένο σπαθί και κοίταζε γύρω του ανήσυχα.
Οι τάξεις των στρατιωτών του πεζικού χάθηκαν στους καπνούς, ακούστηκε η πολύωρη κραυγή τους και οι συχνοί πυροβολισμοί των όπλων. Λίγα λεπτά αργότερα από εκεί πέρασαν πλήθη τραυματιών και φορείων. Τα κοχύλια άρχισαν να χτυπούν την μπαταρία ακόμα πιο συχνά. Αρκετοί άνθρωποι ξάπλωσαν ακάθαρτοι. Κοντά στα κανόνια, οι στρατιώτες κινούνταν πιο απασχολημένοι και πιο ζωηροί. Κανείς δεν έδινε πια σημασία στον Πιέρ. Μία ή δύο φορές τον φώναξαν θυμωμένα επειδή ήταν στο δρόμο. Ο ανώτερος αξιωματικός, με ένα συνοφρυωμένο πρόσωπο, μετακινήθηκε με μεγάλα, γρήγορα βήματα από το ένα όπλο στο άλλο. Ο νεαρός αξιωματικός, αναψοκοκκινισμένος ακόμη περισσότερο, διέταξε τους στρατιώτες ακόμη πιο επιμελώς. Οι στρατιώτες πυροβόλησαν, γύρισαν, φόρτωσαν και έκαναν τη δουλειά τους με έντονο πάθος. Αναπηδούσαν στην πορεία, σαν πάνω σε ελατήρια.

Ορισμός. Εφαπτομένη σε κύκλο είναι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο που έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με τον κύκλο.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

Κύκλος με κέντρο Οαγγίζει μια ευθεία γραμμή μεγάλοστο σημείο ΕΝΑ Από οπουδήποτε ΜΑκριβώς δύο εφαπτομένες μπορούν να σχεδιαστούν έξω από τον κύκλο διαφορά μεταξύ εφαπτομένης μεγάλο, τέμνουσα προ ΧΡΙΣΤΟΥκαι άμεση Μ, που δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο

Αυτό θα μπορούσε να είναι το τέλος, αλλά η πρακτική δείχνει ότι δεν αρκεί απλώς να απομνημονεύσετε τον ορισμό - πρέπει να μάθετε να βλέπετε τις εφαπτομένες στα σχέδια, να γνωρίζετε τις ιδιότητές τους και, επιπλέον, πώς να εξασκείτε στη χρήση αυτών των ιδιοτήτων κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων . Με όλα αυτά θα ασχοληθούμε σήμερα.

Βασικές ιδιότητες των εφαπτομένων

Για να λύσετε τυχόν προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε τέσσερις βασικές ιδιότητες. Δύο από αυτά περιγράφονται σε οποιοδήποτε βιβλίο αναφοράς / εγχειρίδιο, αλλά τα δύο τελευταία κατά κάποιο τρόπο έχουν ξεχαστεί, αλλά μάταια.

1. Τα τμήματα των εφαπτομένων που σχεδιάζονται από ένα σημείο είναι ίσα

Λίγο πιο πάνω, μιλήσαμε ήδη για δύο εφαπτομένες που τραβήχτηκαν από ένα σημείο M. Άρα:

Τα τμήματα των εφαπτομένων στον κύκλο, που σύρονται από ένα σημείο, είναι ίσα.

Τμήματα ΕΙΜΑΙκαι BMίσος

2. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής

Ας δούμε ξανά την παραπάνω εικόνα. Ας σχεδιάσουμε τις ακτίνες ΟΑκαι OB, μετά από το οποίο διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες ΕΙΜΑΙκαι OBM- ευθεία.

Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Αυτό το γεγονός μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη σε οποιοδήποτε πρόβλημα:

Οι ακτίνες που έλκονται στο σημείο εφαπτομένης είναι κάθετες στις εφαπτόμενες

Παρεμπιπτόντως, σημειώστε: εάν σχεδιάσετε ένα τμήμα ΟΜ, τότε παίρνουμε δύο ίσα τρίγωνα: ΕΙΜΑΙκαι OBM.

3. Σχέση εφαπτομένης και τέμνουσας

Αλλά αυτό είναι ένα πιο σοβαρό γεγονός, και οι περισσότεροι μαθητές δεν το γνωρίζουν. Θεωρήστε μια εφαπτομένη και μια τομή που διέρχονται από το ίδιο κοινό σημείο Μ. Φυσικά, η τομή θα μας δώσει δύο τμήματα: μέσα στον κύκλο (τμήμα προ ΧΡΙΣΤΟΥ- λέγεται επίσης συγχορδία) και έξω (λέγεται έτσι - το εξωτερικό μέρος MC).

Το γινόμενο ολόκληρης της τομής κατά το εξωτερικό της τμήμα είναι ίσο με το τετράγωνο του εφαπτομενικού τμήματος

Σχέση τομής και εφαπτομένης

4. Γωνία μεταξύ εφαπτομένης και χορδής

Ένα ακόμη πιο προηγμένο γεγονός που χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Συνιστώ ανεπιφύλακτα να το πάρετε εν πλω.

Η γωνία μεταξύ μιας εφαπτομένης και μιας χορδής είναι ίση με την εγγεγραμμένη γωνία που βασίζεται σε αυτή τη χορδή.

Από πού προέρχεται η τελεία σι? Σε πραγματικά προβλήματα, συνήθως «σκάει» κάπου στην κατάσταση. Επομένως, είναι σημαντικό να μάθετε να αναγνωρίζετε αυτή τη διαμόρφωση στα σχέδια.

Μερικές φορές εξακολουθεί να ισχύει :)

Στόχοι μαθήματος

• Εκπαιδευτικό - επανάληψη, γενίκευση και δοκιμή γνώσεων σχετικά με το θέμα: "Εφαπτομένη σε κύκλο". ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων.
• Αναπτυξιακή - ανάπτυξη της προσοχής, της επιμονής, της επιμονής των μαθητών, λογική σκέψη, μαθηματικός λόγος.
• Εκπαιδευτικό - μέσα από ένα μάθημα, να καλλιεργήσει μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλο, να ενσταλάξει την ικανότητα να ακούει τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια, την ανεξαρτησία.
• Εισάγετε την έννοια της εφαπτομένης, ενός σημείου επαφής.
• Εξετάστε την ιδιότητα της εφαπτομένης και του πρόσημου της και δείξτε την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων στη φύση και την τεχνολογία.

Στόχοι μαθήματος

• Να σχηματίσουν δεξιότητες στην κατασκευή εφαπτομένων χρησιμοποιώντας έναν χάρακα κλίμακας, ένα μοιρογνωμόνιο και ένα τρίγωνο σχεδίασης.
• Ελέγξτε την ικανότητα των μαθητών να επιλύουν προβλήματα.
• Εξασφαλίστε γνώση των βασικών αλγοριθμικών τεχνικών για την κατασκευή μιας εφαπτομένης σε έναν κύκλο.
• Να διαμορφώσει την ικανότητα εφαρμογής της θεωρητικής γνώσης στην επίλυση προβλημάτων.
• Να αναπτύξει τη σκέψη και το λόγο των μαθητών.
• Εργαστείτε για το σχηματισμό δεξιοτήτων παρατήρησης, παρατήρησης μοτίβων, γενίκευσης, αιτιολογίας κατ' αναλογία.
• Καλλιεργήστε το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά.

Πλάνο μαθήματος

1. Η εμφάνιση της έννοιας της εφαπτομένης.
2. Το ιστορικό της εμφάνισης της εφαπτομένης.
3. Γεωμετρικοί ορισμοί.
4. Βασικά θεωρήματα.
5. Κατασκευή εφαπτομένης σε κύκλο.
6. Ενοποίηση.

Η εμφάνιση της έννοιας της εφαπτομένης

Η έννοια της εφαπτομένης είναι μια από τις παλαιότερες στα μαθηματικά. Στη γεωμετρία, μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο ορίζεται ως μια ευθεία γραμμή που έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με αυτόν τον κύκλο. Οι αρχαίοι, με τη βοήθεια μιας πυξίδας και μιας ευθύγραμμης γραμμής, ήταν σε θέση να σχεδιάσουν εφαπτόμενες σε έναν κύκλο και αργότερα σε κωνικές τομές: ελλείψεις, υπερβολές και παραβολές.

Το ιστορικό της εμφάνισης της εφαπτομένης

Το ενδιαφέρον για τις εφαπτομένες αναβίωσε στη σύγχρονη εποχή. Τότε ανακαλύφθηκαν καμπύλες που δεν ήταν γνωστές στους επιστήμονες της αρχαιότητας. Για παράδειγμα, ο Γαλιλαίος εισήγαγε το κυκλοειδές και ο Ντεκάρτ και ο Φερμά κατασκεύασαν μια εφαπτομένη σε αυτό. Στο πρώτο τρίτο του XVII αιώνα. Άρχισαν να καταλαβαίνουν ότι μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή, «πιο κοντά» σε μια καμπύλη σε μια μικρή γειτονιά ενός δεδομένου σημείου. Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς μια κατάσταση όπου είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο (σχήμα).

Γεωμετρικοί ορισμοί

Κύκλος- ο τόπος των σημείων του επιπέδου, σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται κέντρο του.

κύκλος.

Σχετικοί ορισμοί

• Το τμήμα που συνδέει το κέντρο του κύκλου με οποιοδήποτε σημείο του (και επίσης το μήκος αυτού του τμήματος) ονομάζεται ακτίνα κύκλουκύκλους.
• Το τμήμα του επιπέδου που οριοθετείται από κύκλο ονομάζεται περίπου.
• Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεται χορδή. Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου ονομάζεται διάμετρος.
• Οποιαδήποτε δύο σημεία που δεν συμπίπτουν στον κύκλο τον χωρίζουν σε δύο μέρη. Κάθε ένα από αυτά τα μέρη ονομάζεται τόξοκύκλους. Το μέτρο ενός τόξου μπορεί να είναι το μέτρο της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας του. Ένα τόξο ονομάζεται ημικύκλιο εάν το τμήμα που συνδέει τα άκρα του έχει διάμετρο.
• Μια ευθεία που έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται εφαπτομένοςστον κύκλο, και το κοινό τους σημείο ονομάζεται σημείο επαφής της ευθείας και του κύκλου.
• Μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία ενός κύκλου ονομάζεται διατέμνων.
• Μια κεντρική γωνία σε έναν κύκλο είναι μια επίπεδη γωνία με μια κορυφή στο κέντρο της.
• Μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε έναν κύκλο και της οποίας οι πλευρές τέμνουν τον κύκλο ονομάζεται εγγεγραμένη γωνία.
• Δύο κύκλοι που έχουν κοινό κέντρο λέγονται ομόκεντρος.

Εφαπτόμενη γραμμή- ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο της καμπύλης και συμπίπτει με αυτό σε αυτό το σημείο μέχρι την πρώτη τάξη.

Εφαπτομένη σε κύκλοΜια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται.

Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο κύκλου στο ίδιο επίπεδο κάθετο στην ακτίνα που σύρεται σε αυτό το σημείο, που ονομάζεται εφαπτομένη. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό το σημείο του κύκλου ονομάζεται σημείο επαφής.

Όπου στην περίπτωσή μας το "a" είναι μια ευθεία που εφάπτεται στον δεδομένο κύκλο, το σημείο "Α" είναι το σημείο επαφής. Σε αυτή την περίπτωση, a ⊥ OA (η ευθεία a είναι κάθετη στην ακτίνα OA).

Λένε ότι δύο κύκλοι αγγίζουναν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται εφαπτομενικό σημείο των κύκλων. Μέσω ενός εφαπτομενικού σημείου, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια εφαπτομένη σε έναν από τους κύκλους, η οποία είναι επίσης εφαπτομένη στον άλλο κύκλο. Η εφαπτομένη των κύκλων είναι εσωτερική και εξωτερική.

Μια εφαπτομένη ονομάζεται εσωτερική εάν τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ίδια πλευρά της εφαπτομένης.

Μια εφαπτομένη λέγεται ότι είναι εξωτερική εάν τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό εφαπτομένη

Το a είναι μια κοινή εφαπτομένη σε δύο κύκλους, το K είναι ένα σημείο επαφής.

Βασικά θεωρήματα

Θεώρημασχετικά με την εφαπτομένη και την τέμνουσα

Εάν μια εφαπτομένη και μια τομή σχεδιάζονται από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, τότε το τετράγωνο του μήκους της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενοτέμνεται στο εξωτερικό του τμήμα: MC 2 = MA MB.

Θεώρημα.Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης του κύκλου είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Θεώρημα.Αν η ακτίνα είναι κάθετη στην ευθεία στο σημείο τομής του κύκλου, τότε αυτή η ευθεία εφάπτεται σε αυτόν τον κύκλο.

Απόδειξη.

Για να αποδείξουμε αυτά τα θεωρήματα, πρέπει να θυμόμαστε τι είναι η κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία. Αυτή είναι η μικρότερη απόσταση από αυτό το σημείο σε αυτή τη γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι η ΟΑ δεν είναι κάθετη στην εφαπτομένη, αλλά υπάρχει μια ευθεία γραμμή OC κάθετη στην εφαπτομένη. Το μήκος του ΛΣ περιλαμβάνει το μήκος της ακτίνας και ένα ορισμένο τμήμα BC, το οποίο είναι σίγουρα μεγαλύτερο από την ακτίνα. Έτσι, μπορεί κανείς να αποδείξει για οποιαδήποτε γραμμή. Συμπεραίνουμε ότι η ακτίνα, η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής, είναι η μικρότερη απόσταση στην εφαπτομένη από το σημείο Ο, δηλ. Το OS είναι κάθετο στην εφαπτομένη. Στην απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης, θα προχωρήσουμε από το γεγονός ότι η εφαπτομένη έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Έστω η δεδομένη ευθεία να έχει ένα ακόμη κοινό σημείο Β με τον κύκλο. Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και οι δύο πλευρές του είναι ίσες με ακτίνες, κάτι που δεν μπορεί να είναι. Έτσι, παίρνουμε ότι η δεδομένη ευθεία δεν έχει άλλα κοινά σημεία με τον κύκλο εκτός από το σημείο Α, δηλ. είναι εφαπτομένη.

Θεώρημα.Τα τμήματα των εφαπτομένων που σχεδιάζονται από ένα σημείο στον κύκλο είναι ίσα και η ευθεία γραμμή που συνδέει αυτό το σημείο με το κέντρο του κύκλου διαιρεί τη γωνία μεταξύ των εφαπτομένων σε χτυπήματα.

Απόδειξη.

Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα, βεβαιώνουμε ότι το OB είναι κάθετο στο AB και το OS είναι κάθετο στο AC. Τα ορθογώνια τρίγωνα ABO και ACO είναι ίσα ως προς το σκέλος και την υποτείνουσα (OB = OS - ακτίνες, AO - σύνολο). Επομένως, τα σκέλη τους AB = AC και οι γωνίες OAC και OAB είναι επίσης ίσα.

Θεώρημα.Η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη και μια χορδή που έχει κοινό σημείο σε έναν κύκλο είναι ίση με το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου που περικλείεται μεταξύ των πλευρών του.

Απόδειξη.

Θεωρήστε τη γωνία NAB που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τη χορδή. Σχεδιάστε τη διάμετρο AC. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στη διάμετρο που τραβιέται στο σημείο επαφής, επομένως, ∠CAN=90 o. Γνωρίζοντας το θεώρημα, βλέπουμε ότι η γωνία άλφα (α) είναι ίση με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου BC ή με το μισό της γωνίας BOC. ∠NAB=90 o -a, άρα παίρνουμε ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB ή = το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου BA. h.t.d.

Θεώρημα.Εάν μια εφαπτομένη και μια τομή τραβηχτούν από ένα σημείο σε έναν κύκλο, τότε το τετράγωνο του τμήματος της εφαπτομένης από το δεδομένο σημείο στο σημείο της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των τμημάτων της τομής από το δεδομένο δείχνει στα σημεία τομής του με τον κύκλο.

Απόδειξη.

Στο σχήμα, αυτό το θεώρημα μοιάζει με αυτό: MA 2 \u003d MV * MS. Ας το αποδείξουμε. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η γωνία MAC είναι ίση με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου AC, αλλά και η γωνία ABC είναι ίση με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου AC, σύμφωνα με το θεώρημα, επομένως, αυτές οι γωνίες είναι ίσες με ο ένας τον άλλον. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι τα τρίγωνα AMC και VMA έχουν κοινή γωνία στην κορυφή Μ, δηλώνουμε την ομοιότητα αυτών των τριγώνων σε δύο γωνίες (το δεύτερο πρόσημο). Από την ομοιότητα έχουμε: MA / MB = MC / MA, από την οποία παίρνουμε MA 2 \u003d MB * MC

Κατασκευή εφαπτομένων σε κύκλο

Και τώρα ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε και να μάθουμε τι πρέπει να γίνει για να οικοδομήσουμε μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο.

Σε αυτή την περίπτωση, κατά κανόνα, δίνεται ένας κύκλος και ένα σημείο στο πρόβλημα. Και εσείς και εγώ πρέπει να φτιάξουμε μια εφαπτομένη στον κύκλο έτσι ώστε αυτή η εφαπτομένη να περνά από ένα δεδομένο σημείο.

Σε περίπτωση που δεν γνωρίζουμε τη θέση του σημείου, τότε ας εξετάσουμε τις περιπτώσεις της πιθανής θέσης των σημείων.

Πρώτον, το σημείο μπορεί να βρίσκεται μέσα σε έναν κύκλο που οριοθετείται από τον δεδομένο κύκλο. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη μέσω αυτού του κύκλου.

Στη δεύτερη περίπτωση, το σημείο βρίσκεται σε έναν κύκλο, και μπορούμε να φτιάξουμε μια εφαπτομένη τραβώντας μια κάθετη γραμμή στην ακτίνα, η οποία σύρεται στο σημείο που μας είναι γνωστό.

Τρίτον, ας υποθέσουμε ότι το σημείο είναι έξω από τον κύκλο, ο οποίος οριοθετείται από έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, πριν κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη, είναι απαραίτητο να βρούμε ένα σημείο στον κύκλο από το οποίο πρέπει να περάσει η εφαπτομένη.

Με την πρώτη περίπτωση, ελπίζω να καταλαβαίνετε τα πάντα, αλλά για να λύσουμε τη δεύτερη επιλογή, πρέπει να δημιουργήσουμε ένα τμήμα στην ευθεία γραμμή στην οποία βρίσκεται η ακτίνα. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι ίσο με την ακτίνα και το τμήμα που βρίσκεται στον κύκλο, στην αντίθετη πλευρά.

Εδώ βλέπουμε ότι ένα σημείο σε έναν κύκλο είναι το μέσο ενός τμήματος που είναι ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας. Το επόμενο βήμα είναι να σχεδιάσετε δύο κύκλους. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων θα είναι ίσες με τη διπλάσια ακτίνα του αρχικού κύκλου, με κέντρα στα άκρα του τμήματος, που είναι ίση με τη διπλάσια ακτίνα. Τώρα μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω οποιουδήποτε σημείου τομής αυτών των κύκλων και ενός δεδομένου σημείου. Μια τέτοια ευθεία είναι η μέση κάθετη στην ακτίνα του κύκλου, η οποία σχεδιάστηκε στην αρχή. Έτσι, βλέπουμε ότι αυτή η ευθεία είναι κάθετη στον κύκλο και από αυτό προκύπτει ότι είναι εφαπτομένη στον κύκλο.

Στην τρίτη επιλογή, έχουμε ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, το οποίο οριοθετείται από έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, κατασκευάζουμε πρώτα ένα τμήμα που θα συνδέει το κέντρο του παρεχόμενου κύκλου και το δεδομένο σημείο. Και μετά βρίσκουμε τη μέση του. Αλλά για αυτό πρέπει να δημιουργήσετε μια κάθετη διχοτόμο. Και ξέρετε ήδη πώς να το φτιάξετε. Στη συνέχεια, πρέπει να σχεδιάσουμε έναν κύκλο, ή τουλάχιστον ένα μέρος του. Τώρα βλέπουμε ότι το σημείο τομής του δεδομένου κύκλου και του νεοκατασκευασμένου είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη. Περνάει επίσης από το σημείο που προσδιορίστηκε από την συνθήκη του προβλήματος. Και τέλος, μέσα από τα δύο σημεία που ήδη γνωρίζετε, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη γραμμή.

Και τέλος, για να αποδείξετε ότι η ευθεία που κατασκευάσαμε είναι εφαπτομένη, πρέπει να δώσετε προσοχή στη γωνία που σχηματίστηκε από την ακτίνα του κύκλου και το τμήμα που είναι γνωστό από την συνθήκη και συνδέει το σημείο τομής του κύκλους με το σημείο που δίνει η συνθήκη του προβλήματος. Τώρα βλέπουμε ότι η γωνία που προκύπτει στηρίζεται σε ένα ημικύκλιο. Και από αυτό προκύπτει ότι αυτή η γωνία είναι σωστή. Επομένως, η ακτίνα θα είναι κάθετη στη νέα γραμμή και αυτή η ευθεία είναι η εφαπτομένη.

Κατασκευή εφαπτομένης.

Η κατασκευή των εφαπτομένων είναι ένα από εκείνα τα προβλήματα που οδήγησαν στη γέννηση του διαφορικού λογισμού. Η πρώτη δημοσιευμένη εργασία σχετικά με τον διαφορικό λογισμό, που γράφτηκε από τον Leibniz, είχε τον τίτλο "Μια νέα μέθοδος μεγίστων και ελαχίστων, καθώς και εφαπτομένων, για τις οποίες ούτε τα κλασματικά ούτε τα παράλογα μεγέθη αποτελούν εμπόδιο, και ένα ειδικό είδος λογισμού για αυτό."

Γεωμετρικές γνώσεις των αρχαίων Αιγυπτίων.

Αν δεν λάβουμε υπόψη την πολύ μέτρια συμβολή των αρχαίων κατοίκων της κοιλάδας μεταξύ του Τίγρη και του Ευφράτη και της Μικράς Ασίας, τότε η γεωμετρία προήλθε από Αρχαία Αίγυπτοςπριν από το 1700 π.Χ Κατά την περίοδο των τροπικών βροχών, ο Νείλος αναπλήρωσε την παροχή νερού και πλημμύρισε. Το νερό κάλυπτε τμήματα καλλιεργούμενης γης και για φορολογικούς σκοπούς ήταν απαραίτητο να καθοριστεί πόση γη χάθηκε. Οι τοπογράφοι χρησιμοποίησαν ένα σφιχτά τεντωμένο σχοινί ως εργαλείο μέτρησης. Ένα άλλο κίνητρο για τη συσσώρευση γεωμετρικών γνώσεων από τους Αιγύπτιους ήταν οι δραστηριότητές τους όπως η κατασκευή πυραμίδων και οι καλές τέχνες.

Το επίπεδο της γεωμετρικής γνώσης μπορεί να κριθεί από αρχαία χειρόγραφα, τα οποία είναι ειδικά αφιερωμένα στα μαθηματικά και είναι κάτι σαν σχολικά βιβλία, ή μάλλον, προβληματικά βιβλία, όπου δίνονται λύσεις σε διάφορα πρακτικά προβλήματα.

Το παλαιότερο μαθηματικό χειρόγραφο των Αιγυπτίων αντιγράφηκε από κάποιον μαθητή μεταξύ 1800 - 1600. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. από παλαιότερο κείμενο. Ο πάπυρος βρέθηκε από τον Ρώσο Αιγυπτιολόγο Βλαντιμίρ Σεμένοβιτς Γκολενίστσεφ. Φυλάσσεται στη Μόσχα - στο Μουσείο Καλών Τεχνών που φέρει το όνομα του A.S. Πούσκιν, και ονομάζεται πάπυρος της Μόσχας.

Ένας άλλος μαθηματικός πάπυρος, γραμμένος διακόσια ή τριακόσια χρόνια αργότερα από τη Μόσχα, φυλάσσεται στο Λονδίνο. Ονομάζεται: «Οδηγίες για το πώς να επιτύχετε γνώση όλων των σκοτεινών πραγμάτων, όλων των μυστικών που κρύβουν τα πράγματα μέσα τους... Σύμφωνα με τα παλιά μνημεία, ο γραμματέας Αχμές έγραψε αυτό.» και αγόρασε αυτόν τον πάπυρο στην Αίγυπτο. Ο Πάπυρος του Ahmes δίνει τη λύση 84 προβλημάτων για διάφορους υπολογισμούς που μπορεί να χρειαστούν στην πράξη.

Το άρθρο δίνει λεπτομερής εξήγησηορισμούς, τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου με γραφική σημειογραφία. Η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας θα εξεταστεί με παραδείγματα, θα βρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτομένης σε καμπύλες 2ης τάξης.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ορισμός 1

Η γωνία κλίσης της ευθείας y \u003d k x + b ονομάζεται γωνία α, η οποία μετράται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα x στην ευθεία γραμμή y \u003d k x + b στη θετική κατεύθυνση.

Στο σχήμα, η κατεύθυνση βόδι υποδεικνύεται με ένα πράσινο βέλος και ένα πράσινο τόξο και η γωνία κλίσης με ένα κόκκινο τόξο. Η μπλε γραμμή αναφέρεται σε μια ευθεία γραμμή.

Ορισμός 2

Η κλίση της ευθείας y \u003d k x + b ονομάζεται αριθμητικός συντελεστής k.

Η κλίση είναι ίση με την κλίση της ευθείας, με άλλα λόγια k = t g α .

• Η κλίση της ευθείας είναι 0 μόνο όταν το o x είναι παράλληλο και η κλίση ισούται με μηδέν, επειδή η εφαπτομένη του μηδέν είναι 0. Άρα, η μορφή της εξίσωσης θα είναι y = b.
• Αν η γωνία κλίσης της ευθείας y = k x + b είναι έντονη, τότε οι συνθήκες 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , και υπάρχει μια αύξηση στο γράφημα.
• Εάν α \u003d π 2, τότε η θέση της ευθείας είναι κάθετη στο x. Η ισότητα καθορίζεται από την ισότητα x = c με την τιμή c να είναι πραγματικός αριθμός.
• Αν η γωνία κλίσης της ευθείας y = k x + b είναι αμβλεία, τότε αντιστοιχεί στις συνθήκες π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Ορισμός 3

Τομή είναι μια ευθεία που διέρχεται από 2 σημεία της συνάρτησης f (x). Με άλλα λόγια, τομή είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιαδήποτε δύο σημεία στο γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει ότι το A B είναι μια τομή και η f (x) είναι μια μαύρη καμπύλη, το α είναι ένα κόκκινο τόξο, που δείχνει τη γωνία κλίσης της τομής.

Όταν η κλίση μιας ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης, είναι σαφές ότι η εφαπτομένη από ένα ορθογώνιο τρίγωνο A B C μπορεί να βρεθεί σε σχέση με το αντίθετο σκέλος προς το διπλανό.

Ορισμός 4

Παίρνουμε τον τύπο για την εύρεση της τομής της φόρμας:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , όπου τα τετμημένα των σημείων A και B είναι οι τιμές x A , x B , και f (x A), f (x Β) είναι οι συναρτήσεις τιμών σε αυτά τα σημεία.

Προφανώς, η κλίση της τομής ορίζεται χρησιμοποιώντας την ισότητα k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ή k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, και η εξίσωση πρέπει να γραφτεί ως y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ή
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Η τομή χωρίζει οπτικά το γράφημα σε 3 μέρη: στα αριστερά του σημείου Α, από το Α στο Β, στα δεξιά του Β. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι υπάρχουν τρεις διατομές που θεωρούνται ίδιες, δηλαδή είναι ρυθμίστε χρησιμοποιώντας παρόμοια εξίσωση.

Εξ ορισμού, είναι σαφές ότι η γραμμή και η τομή της συμπίπτουν σε αυτήν την περίπτωση.

Μια τομή μπορεί να τέμνει το γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης πολλές φορές. Εάν υπάρχει μια εξίσωση της μορφής y \u003d 0 για τη διατομή, τότε ο αριθμός των σημείων τομής με το ημιτονοειδές είναι άπειρος.

Ορισμός 5

Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) στο σημείο x 0 ; f (x 0) ονομάζεται ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο x 0. f (x 0) , με την παρουσία ενός τμήματος που έχει πολλές τιμές x κοντά στο x 0 .

Παράδειγμα 1

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο παρακάτω παράδειγμα. Τότε φαίνεται ότι η ευθεία που δίνεται από τη συνάρτηση y = x + 1 θεωρείται ότι εφάπτεται στο y = 2 x στο σημείο με συντεταγμένες (1 ; 2) . Για λόγους σαφήνειας, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη γραφήματα με τιμές κοντά στο (1; 2). Η συνάρτηση y = 2 x σημειώνεται με μαύρο χρώμα, η μπλε γραμμή είναι η εφαπτομένη, η κόκκινη τελεία είναι το σημείο τομής.

Προφανώς, το y \u003d 2 x συγχωνεύεται με τη γραμμή y \u003d x + 1.

Για να προσδιορίσουμε την εφαπτομένη, θα πρέπει να εξετάσουμε τη συμπεριφορά της εφαπτομένης Α Β καθώς το σημείο Β πλησιάζει άπειρα το σημείο Α. Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε ένα σχήμα.

Η τομή Α Β, που υποδεικνύεται από την μπλε γραμμή, τείνει στη θέση της ίδιας της εφαπτομένης και η γωνία κλίσης της τομής α θα αρχίσει να πλησιάζει τη γωνία κλίσης της ίδιας της εφαπτομένης α x.

Ορισμός 6

Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) στο σημείο A είναι η οριακή θέση της τομής A B στο B που τείνει προς το A, δηλαδή B → A.

Τώρα στραφούμε στην εξέταση της γεωμετρικής σημασίας της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Ας προχωρήσουμε στη θεώρηση της διατομής A B για τη συνάρτηση f (x), όπου A και B με συντεταγμένες x 0, f (x 0) και x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), και ∆ Το x συμβολίζεται ως προσαύξηση του ορίσματος. Τώρα η συνάρτηση θα πάρει τη μορφή ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Για λόγους σαφήνειας, ας πάρουμε μια φωτογραφία ως παράδειγμα.

Εξετάστε το προκύπτον ορθογώνιο τρίγωνο A B C. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εφαπτομένης για τη λύση, δηλαδή παίρνουμε τον λόγο Δ y ∆ x = t g α . Από τον ορισμό της εφαπτομένης προκύπτει ότι lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Σύμφωνα με τον κανόνα της παραγώγου σε ένα σημείο, έχουμε ότι η παράγωγος f (x) στο σημείο x 0 ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, όπου Δ x → 0, τότε συμβολίζεται με f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Έπεται ότι f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, όπου το k x συµβολίζεται ως η κλίση της εφαπτοµένης.

Δηλαδή, παίρνουμε ότι η f ' (x) μπορεί να υπάρχει στο σημείο x 0 και, καθώς και η εφαπτομένη στη δεδομένη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο επαφής ίση με x 0 , f 0 (x 0) , όπου η τιμή της κλίσης της εφαπτομένης στο σημείο είναι ίση με την παράγωγο στο σημείο x 0 . Τότε παίρνουμε ότι k x = f "(x 0) .

γεωμετρική αίσθησηπαράγωγο συνάρτησης σε σημείο στο οποίο δίνεται η έννοια της ύπαρξης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση στο ίδιο σημείο.

Για να γράψουμε την εξίσωση οποιασδήποτε ευθείας στο επίπεδο, είναι απαραίτητο να έχουμε μια κλίση με το σημείο από το οποίο διέρχεται. Ο χαρακτηρισμός του λαμβάνεται ως x 0 στη διασταύρωση.

Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) στο σημείο x 0, f 0 (x 0) παίρνει τη μορφή y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Αυτό σημαίνει ότι τελική αξίαπαράγωγο f "(x 0) μπορείτε να προσδιορίσετε τη θέση της εφαπτομένης, δηλαδή κατακόρυφα υπό την συνθήκη lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ και lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ή η απουσία καθόλου όταν συνθήκη lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Η θέση της εφαπτομένης εξαρτάται από την τιμή της κλίσης της k x \u003d f "(x 0). Όταν είναι παράλληλη με τον άξονα x, παίρνουμε ότι k k \u003d 0, όταν είναι παράλληλη με περίπου y - k x \u003d ∞ και το μορφή της εφαπτομένης εξίσωσης x \u003d x 0 αυξάνεται με k x > 0 , μειώνεται ως k x< 0 .

Παράδειγμα 2

Να συντάξετε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 σε σημείο με συντεταγμένες (1; 3) με τον ορισμό της γωνίας κλίση.

Λύση

Με την υπόθεση, έχουμε ότι η συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Παίρνουμε ότι το σημείο με τις συντεταγμένες που καθορίζονται από τη συνθήκη (1 ; 3) είναι το σημείο επαφής, τότε x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Είναι απαραίτητο να βρείτε την παράγωγο στο σημείο με τιμή - 1 . Το καταλαβαίνουμε

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Η τιμή του f’ (x) στο σημείο επαφής είναι η κλίση της εφαπτομένης, η οποία είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης.

Τότε k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Έπεται ότι α x = a r c t g 3 3 = π 6

Απάντηση:η εφαπτομενική εξίσωση παίρνει τη μορφή

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Για λόγους σαφήνειας, δίνουμε ένα παράδειγμα σε μια γραφική απεικόνιση.

Το μαύρο χρώμα χρησιμοποιείται για την γραφική παράσταση της αρχικής λειτουργίας, Μπλε χρώμα- η εικόνα της εφαπτομένης, η κόκκινη κουκκίδα - το σημείο επαφής. Το σχήμα στα δεξιά δείχνει μια μεγεθυμένη προβολή.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την ύπαρξη εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης
y = 3 x - 1 5 + 1 στο σημείο με συντεταγμένες (1 ; 1) . Γράψτε μια εξίσωση και προσδιορίστε τη γωνία κλίσης.

Λύση

Με την υπόθεση, έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της δεδομένης συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της παραγώγου

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Αν x 0 = 1 , τότε η f ' (x) δεν ορίζεται, αλλά τα όρια γράφονται ως lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ και lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , που σημαίνει ύπαρξη κάθετης εφαπτομένης στο σημείο (1 ; 1) .

Απάντηση:η εξίσωση θα πάρει τη μορφή x \u003d 1, όπου η γωνία κλίσης θα είναι ίση με π 2.

Ας το γράψουμε για σαφήνεια.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης συνάρτησης y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , όπου

1. Η εφαπτομένη δεν υπάρχει.
2. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στο x.
3. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y = 8 5 x + 4 .

Λύση

Είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στον τομέα του ορισμού. Με την υπόθεση, έχουμε ότι η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Αναπτύξτε τη μονάδα και λύστε το σύστημα με διαστήματα x ∈ - ∞ ; 2 και [-2; +∞) . Το καταλαβαίνουμε

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Η συνάρτηση πρέπει να διαφοροποιηθεί. Το έχουμε αυτό

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Όταν x = - 2, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει επειδή τα μονόπλευρα όρια δεν είναι ίσα σε αυτό το σημείο:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x \u003d - 2, όπου το παίρνουμε

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, δηλαδή η εφαπτομένη στο το σημείο (- 2; - 2) δεν θα υπάρχει.
2. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στο x όταν η κλίση είναι μηδέν. Τότε k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Δηλαδή, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι τιμές αυτού του x όταν η παράγωγος της συνάρτησης τη μετατρέψει στο μηδέν. Δηλαδή, οι τιμές του f ' (x) και θα είναι σημεία επαφής, όπου η εφαπτομένη είναι παράλληλη περίπου x .

Όταν x ∈ - ∞ ; - 2 , μετά - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , και για x ∈ (- 2 ; + ∞) παίρνουμε 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Υπολογίζουμε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Ως εκ τούτου - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 θεωρούνται τα επιθυμητά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Σκεφτείτε γραφική εικόναλύσεις.

Η μαύρη γραμμή είναι το γράφημα της συνάρτησης, οι κόκκινες κουκκίδες είναι τα σημεία επαφής.

1. Όταν οι γραμμές είναι παράλληλες, οι κλίσεις είναι ίσες. Τότε είναι απαραίτητο να αναζητήσετε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, όπου η κλίση θα είναι ίση με την τιμή 8 5 . Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να λύσετε μια εξίσωση της μορφής y "(x) = 8 5. Τότε, αν x ∈ - ∞; - 2, παίρνουμε ότι - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, και αν x ∈ ( - 2 ; + ∞) , τότε 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες γιατί η διάκριση λιγότερο από το μηδέν. Ας το γράψουμε αυτό

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Μια άλλη εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, λοιπόν

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση των τιμών της συνάρτησης. Το καταλαβαίνουμε

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Πόντοι με τιμές - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 είναι τα σημεία όπου οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στην ευθεία y = 8 5 x + 4 .

Απάντηση:μαύρη γραμμή - γράφημα της συνάρτησης, κόκκινη γραμμή - γράφημα y \u003d 8 5 x + 4, μπλε γραμμή - εφαπτομένες στα σημεία - 1. 4 15 , 5 ; 8 3 .

Είναι δυνατή η ύπαρξη άπειρου αριθμού εφαπτομένων για δεδομένες συναρτήσεις.

Παράδειγμα 5

Να γράψετε τις εξισώσεις όλων των διαθέσιμων εφαπτομένων της συνάρτησης y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , οι οποίες είναι κάθετες στην ευθεία y = - 2 x + 1 2 .

Λύση

Για να συντάξουμε την εφαπτομενική εξίσωση, είναι απαραίτητο να βρούμε τον συντελεστή και τις συντεταγμένες του σημείου επαφής, με βάση την συνθήκη της καθετότητας των ευθειών. Ο ορισμός ακούγεται ως εξής: το γινόμενο των κλίσεων που είναι κάθετες στις ευθείες είναι ίσο με - 1, δηλαδή γράφεται ως k x · k ⊥ = - 1. Από την προϋπόθεση ότι η κλίση είναι κάθετη στην ευθεία και ισούται με k ⊥ = - 2, τότε k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Τώρα πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής. Πρέπει να βρείτε το x, μετά το οποίο η τιμή του για μια δεδομένη συνάρτηση. Σημειώστε ότι από τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου στο σημείο
x 0 παίρνουμε ότι k x \u003d y "(x 0) . Από αυτήν την ισότητα, βρίσκουμε τις τιμές x για τα σημεία επαφής.

Το καταλαβαίνουμε

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

το τριγωνομετρική εξίσωσηθα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τεταγμένων των σημείων επαφής.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ή 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ή 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ή x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z είναι το σύνολο των ακεραίων.

Βρέθηκαν x σημεία επαφής. Τώρα πρέπει να μεταβείτε στην αναζήτηση για τις τιμές y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ή y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ή y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ή y 0 = - 4 5 + 1 3

Από εδώ παίρνουμε ότι 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 είναι σημεία επαφής.

Απάντηση:οι απαραίτητες εξισώσεις θα γραφούν ως

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Για οπτική εικόναθεωρήστε μια συνάρτηση και μια εφαπτομένη στη γραμμή συντεταγμένων.

Το σχήμα δείχνει ότι η θέση της συνάρτησης βρίσκεται στο διάστημα [ - 10 ; 10 ] , όπου η μαύρη γραμμή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, οι μπλε γραμμές είναι εφαπτομένες που είναι κάθετες στη δεδομένη ευθεία της μορφής y = - 2 x + 1 2 . Οι κόκκινες κουκκίδες είναι σημεία επαφής.

Οι κανονικές εξισώσεις καμπυλών 2ης τάξης δεν είναι συναρτήσεις μονής τιμής. Οι εφαπτομενικές εξισώσεις για αυτές συντάσσονται σύμφωνα με γνωστά σχήματα.

Εφαπτομένη στον κύκλο

Για να ορίσετε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο x c e n t e r ; y c e n t e r και ακτίνα R, χρησιμοποιείται ο τύπος x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Αυτή η ισότητα μπορεί να γραφτεί ως η ένωση δύο συναρτήσεων:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Η πρώτη συνάρτηση βρίσκεται στο επάνω μέρος και η δεύτερη στο κάτω μέρος, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να συντάξετε μια εξίσωση κύκλου σε σημείο x 0 ; y 0 , που βρίσκεται στο επάνω ή κάτω ημικύκλιο, θα πρέπει να βρείτε την εξίσωση του γραφήματος συνάρτησης της μορφής y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ή y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r στο καθορισμένο σημείο.

Όταν στα σημεία x c e n t e r ; y c e n t e r + R και x c e n t e r ; Οι εφαπτομένες y c e n t e r - R μπορούν να δοθούν από τις εξισώσεις y = y c e n t e r + R και y = y c e n t e r - R , και στα σημεία x c e n t e r + R ; y c e n t e r και
x c e n t e r - R ; Το y c e n t e r θα είναι παράλληλο για το y, τότε θα πάρουμε εξισώσεις της μορφής x = x c e n t e r + R και x = x c e n t e r - R .

Εφαπτομένη στην Έλειψη

Όταν η έλλειψη είναι κεντραρισμένη στο x c e n t e r ; y c e n t e r με ημιάξονες a και b , τότε μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Μια έλλειψη και ένας κύκλος μπορούν να υποδηλωθούν συνδυάζοντας δύο συναρτήσεις, δηλαδή την άνω και την κάτω ημιέλλειψη. Τότε το καταλαβαίνουμε

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Αν οι εφαπτομένες βρίσκονται στις κορυφές της έλλειψης, τότε είναι παράλληλες περίπου x ή περίπου y. Για λόγους σαφήνειας, λάβετε υπόψη το παρακάτω σχήμα.

Παράδειγμα 6

Γράψτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 σε σημεία με τιμές x ίσες με x = 2 .

Λύση

Είναι απαραίτητο να βρείτε σημεία επαφής που αντιστοιχούν στην τιμή x = 2. Κάνουμε μια αντικατάσταση στην υπάρχουσα εξίσωση της έλλειψης και την παίρνουμε

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Τότε 2 ; 5 3 2 + 5 και 2 ; - 5 3 2 + 5 είναι τα εφαπτομενικά σημεία που ανήκουν στην άνω και κάτω ημιέλλειψη.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση και επίλυση της εξίσωσης μιας έλλειψης ως προς το y. Το καταλαβαίνουμε

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Είναι προφανές ότι η άνω ημι-έλλειψη καθορίζεται χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση της μορφής y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , και η κάτω y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Εφαρμόζουμε τον τυπικό αλγόριθμο για να διατυπώσουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Γράφουμε ότι η εξίσωση για την πρώτη εφαπτομένη στο σημείο 2 ; Το 5 3 2 + 5 θα μοιάζει

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Παίρνουμε ότι η εξίσωση της δεύτερης εφαπτομένης με την τιμή στο σημείο
2; - 5 3 2 + 5 γίνεται

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Γραφικά, οι εφαπτομένες συμβολίζονται ως εξής:

Εφαπτομένη στην υπερβολή

Όταν η υπερβολή έχει κέντρο στο σημείο x c e n t e r ; y c e n t e r και κορυφές x c e n t e r + α ; y c e n t e r and x c e n t e r - α ; y c e n t e r , δίνεται η ανισότητα x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 αν με κορυφές x c e n t e r ; y c e n t e r + b και x c e n t e r ; Το y c e n t e r - b δίνεται τότε από την ανισότητα x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Μια υπερβολή μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύο συνδυασμένες συναρτήσεις της φόρμας

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ή y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y a r x e ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Στην πρώτη περίπτωση, έχουμε ότι οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στο y και στη δεύτερη, είναι παράλληλες στο x.

Επομένως, για να βρεθεί η εξίσωση μιας εφαπτομένης σε μια υπερβολή, είναι απαραίτητο να βρεθεί σε ποια συνάρτηση ανήκει το εφαπτομενικό σημείο. Για να προσδιορίσετε αυτό, είναι απαραίτητο να κάνετε μια αντικατάσταση στις εξισώσεις και να ελέγξετε την ταυτότητά τους.

Παράδειγμα 7

Γράψτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην υπερβολή x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 στο σημείο 7; - 3 3 - 3 .

Λύση

Είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε την εγγραφή της λύσης εύρεσης της υπερβολής χρησιμοποιώντας 2 συναρτήσεις. Το καταλαβαίνουμε

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ή y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Είναι απαραίτητο να βρούμε σε ποια συνάρτηση ανήκει το δεδομένο σημείο με συντεταγμένες 7. - 3 3 - 3 .

Προφανώς, για να ελέγξετε την πρώτη συνάρτηση, χρειάζεστε y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , τότε το σημείο δεν ανήκει στο γράφημα, αφού η ισότητα δεν ικανοποιείται.

Για τη δεύτερη συνάρτηση, έχουμε ότι y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , που σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη δεδομένη γραφική παράσταση. Από εδώ θα πρέπει να βρείτε τον συντελεστή κλίσης.

Το καταλαβαίνουμε

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Απάντηση:η εφαπτομενική εξίσωση μπορεί να παρασταθεί ως

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Οραματίζεται ως εξής:

Εφαπτομένη στην παραβολή

Για να συνθέσετε την εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή y \u003d a x 2 + b x + c στο σημείο x 0, y (x 0) , πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τυπικό αλγόριθμο, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Μια τέτοια εφαπτομένη στην κορυφή είναι παράλληλη προς το x.

Η παραβολή x = a y 2 + b y + c θα πρέπει να οριστεί ως η ένωση δύο συναρτήσεων. Επομένως, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση για το y. Το καταλαβαίνουμε

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Ας το παραθέσουμε ως εξής:

Για να μάθετε εάν ένα σημείο x 0 , y (x 0) ανήκει σε μια συνάρτηση, ακολουθήστε προσεκτικά τον τυπικό αλγόριθμο. Μια τέτοια εφαπτομένη θα είναι παράλληλη στο y ως προς την παραβολή.

Παράδειγμα 8

Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στο γράφημα x - 2 y 2 - 5 y + 3 όταν έχουμε κλίση εφαπτομένης 150 °.

Λύση

Ξεκινάμε τη λύση αναπαριστώντας την παραβολή ως δύο συναρτήσεις. Το καταλαβαίνουμε

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Η τιμή της κλίσης είναι ίση με την τιμή της παραγώγου στο σημείο x 0 αυτής της συνάρτησης και είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης.

Παίρνουμε:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Από εδώ προσδιορίζουμε την τιμή του x για τα σημεία επαφής.

Η πρώτη συνάρτηση θα γραφτεί ως

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Προφανώς δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, αφού πήραμε αρνητική τιμή. Συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη με γωνία 150 ° για μια τέτοια συνάρτηση.

Η δεύτερη συνάρτηση θα γραφτεί ως

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Έχουμε ότι τα σημεία επαφής - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Απάντηση:η εφαπτομενική εξίσωση παίρνει τη μορφή

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Ας το παραθέσουμε ως εξής:

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter