Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα, ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοιες εργασίες περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, τη γραμμική και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικό και τετραγωνικές ανισότητες, κλασματικές εξισώσειςκαι εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικό. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τις παραπάνω εργασίες είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί σε ποιον τύπο ανήκει το πρόβλημα που επιλύεται, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Προφανώς, η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.
Μια διαφορετική κατάσταση παρουσιάζεται με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.
Με εμφάνισηεξισώσεις μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.
Για να λύσουμε την τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσουμε:
1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις "ίδιες γωνίες".
2. Φέρτε την εξίσωση στις "ίδιες συναρτήσεις"?
3. παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.
Σκεφτείτε βασικές μέθοδοι λύσης τριγωνομετρικές εξισώσεις.
I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Να εκφράσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση με γνωστές συνιστώσες.
Βήμα 2Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τύπους:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n τόξο a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Βήμα 3Βρείτε μια άγνωστη μεταβλητή.
Παράδειγμα.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Λύση.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Μεταβλητή αντικατάσταση
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Φέρτε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με ένα από τα τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Βήμα 2Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).
Βήμα 3Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.
Βήμα 4Κάντε αντίστροφη αντικατάσταση.
Βήμα 5Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Παράδειγμα.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Λύση.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
Το t = 1 ή το e = -3/2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.
4) αμαρτία (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης ισχύος:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Βήμα 2Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.
Παράδειγμα.
cos2x + cos2x = 5/4.
Λύση.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ομογενείς εξισώσεις
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Φέρτε αυτή την εξίσωση στη φόρμα
α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)
ή στη θέα
β) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).
Βήμα 2Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
α) cos x ≠ 0;
β) cos 2 x ≠ 0;
και πάρτε την εξίσωση για tg x:
α) a tg x + b = 0;
β) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Βήμα 3Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Λύση.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Έστω tg x = t, τότε
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 ή t = -4, άρα
tg x = 1 ή tg x = -4.
Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλα τα είδη τριγωνομετρικών τύπων, φέρτε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που μπορεί να λυθεί με τις μεθόδους I, II, III, IV.
Βήμα 2Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Λύση.
1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;
Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.
Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ως αποτέλεσμα, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Απάντηση: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Η ικανότητα και οι δεξιότητες επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ 
σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.
Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων περιέχει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται κατά τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις παίρνουν σημαντικό μέροςστη διαδικασία διδασκαλίας των μαθηματικών και της ανάπτυξης της προσωπικότητας γενικότερα.
Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Η λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας καταλήγει τελικά στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και σε αυτό, ο τριγωνομετρικός κύκλος αποδεικνύεται και πάλι ο καλύτερος βοηθός.
Θυμηθείτε τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου.
Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου σε κύκλος μονάδας, που αντιστοιχεί στην περιστροφή μέσω της δεδομένης γωνίας .
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί σε περιστροφή κατά μια δεδομένη γωνία.
Η θετική φορά κίνησης κατά μήκος του τριγωνομετρικού κύκλου θεωρείται ότι είναι κίνηση αριστερόστροφα. Μια περιστροφή 0 μοιρών (ή 0 ακτίνων) αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1; 0)
Χρησιμοποιούμε αυτούς τους ορισμούς για να λύσουμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.
1. Λύστε την εξίσωση
Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από όλες αυτές τις τιμές της γωνίας περιστροφής, που αντιστοιχούν στα σημεία του κύκλου, η τεταγμένη του οποίου είναι ίση με .
Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τεταγμένη στον άξονα y:
Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή παράλληλη στον άξονα x μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Θα πάρουμε δύο πόντους που βρίσκονται σε έναν κύκλο και έχουν μια τεταγμένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής και ακτίνων:
Αν, έχοντας αφήσει το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο, γυρίσουμε έναν πλήρη κύκλο, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο και θα έχει την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή, αυτή η γωνία περιστροφής ικανοποιεί και την εξίσωσή μας. Μπορούμε να κάνουμε όσες «ρελαντί» στροφές θέλουμε, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο και όλες αυτές οι τιμές γωνίας θα ικανοποιήσουν την εξίσωσή μας. Ο αριθμός των "αδρανών" περιστροφών συμβολίζεται με το γράμμα (ή). Εφόσον μπορούμε να κάνουμε αυτές τις περιστροφές τόσο προς θετικές όσο και προς αρνητικές κατευθύνσεις, (ή ) μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.
Δηλαδή, η πρώτη σειρά λύσεων στην αρχική εξίσωση έχει τη μορφή:
, , - σύνολο ακεραίων αριθμών (1)
Ομοίως, η δεύτερη σειρά λύσεων έχει τη μορφή:
, όπου , . (2)
Όπως μαντέψατε, αυτή η σειρά λύσεων βασίζεται στο σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά .
Αυτές οι δύο σειρές λύσεων μπορούν να συνδυαστούν σε μία καταχώρηση:
Αν λάβουμε αυτό το λήμμα (δηλαδή, ζυγό), τότε θα πάρουμε την πρώτη σειρά λύσεων.
Αν πάρουμε αυτό το λήμμα (δηλαδή το μονό), τότε θα πάρουμε τη δεύτερη σειρά λύσεων.
2. Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση
Δεδομένου ότι η τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου λαμβάνεται με περιστροφή της γωνίας, σημειώνουμε στον άξονα ένα σημείο με την τετμημένη:
Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή παράλληλη προς τον άξονα μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Θα πάρουμε δύο πόντους ξαπλωμένοι σε κύκλο και έχοντας μια τετμημένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής και ακτίνια. Θυμηθείτε ότι όταν κινούμαστε δεξιόστροφα, έχουμε αρνητική γωνία περιστροφής:
Καταγράφουμε δύο σειρές λύσεων:
,
,
(Φτάνουμε στο σωστό σημείο περνώντας από τον κύριο πλήρη κύκλο, δηλαδή.
Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μια ανάρτηση:
3. Λύστε την εξίσωση
Η ευθεία των εφαπτομένων διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,0) του μοναδιαίου κύκλου παράλληλο προς τον άξονα OY
Σημειώστε ένα σημείο πάνω του με τεταγμένη ίση με 1 (ψάχνουμε την εφαπτομένη της οποίας οι γωνίες είναι 1):
Συνδέστε αυτό το σημείο στην αρχή με μια ευθεία γραμμή και σημειώστε τα σημεία τομής της ευθείας με τον μοναδιαίο κύκλο. Τα σημεία τομής της ευθείας και του κύκλου αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής επί και :
Δεδομένου ότι τα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής που ικανοποιούν την εξίσωσή μας βρίσκονται σε απόσταση ακτίνων, μπορούμε να γράψουμε τη λύση ως εξής:
4. Λύστε την εξίσωση
Η ευθεία των συνεφαπτομένων διέρχεται από το σημείο με τις συντεταγμένες του μοναδιαίου κύκλου παράλληλες προς τον άξονα.
Σημειώνουμε ένα σημείο με την τετμημένη -1 στη γραμμή των συνεφαπτομένων:
Συνδέστε αυτό το σημείο στην αρχή της ευθείας γραμμής και συνεχίστε το μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Αυτή η ευθεία θα τέμνει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής και ακτίνια:
Δεδομένου ότι αυτά τα σημεία χωρίζονται μεταξύ τους με απόσταση ίση με , τότε κοινή απόφασηΜπορούμε να γράψουμε αυτή την εξίσωση ως εξής:
Στα παραδείγματα που δίνονται, απεικονίζοντας τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιήθηκαν πινακικές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ωστόσο, εάν υπάρχει μια τιμή εκτός πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, τότε αντικαθιστούμε την τιμή στη γενική λύση της εξίσωσης:
ΕΙΔΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ:
Σημειώστε σημεία στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι 0:
Σημειώστε ένα μόνο σημείο στον κύκλο, η τεταγμένη του οποίου είναι ίση με 1:
Σημειώστε ένα μόνο σημείο στον κύκλο, η τεταγμένη του οποίου είναι ίση με -1:
Δεδομένου ότι είναι συνηθισμένο να υποδεικνύουμε τις τιμές που πλησιάζουν στο μηδέν, γράφουμε τη λύση ως εξής:
Σημειώστε τα σημεία του κύκλου, του οποίου η τετμημένη είναι 0:
5.
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο, του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 1:
Σημειώστε ένα μόνο σημείο στον κύκλο, του οποίου η τετμημένη είναι ίση με -1:
Και μερικά πιο περίπλοκα παραδείγματα:
1.
Το ημίτονο είναι ένα εάν το επιχείρημα είναι
Το επιχείρημα του ημιτονοειδούς μας είναι , οπότε παίρνουμε:
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
Απάντηση:
2.
Το συνημίτονο είναι μηδέν εάν το όρισμα συνημιτόνου είναι
Το όρισμα του συνημίτονος μας είναι , οπότε παίρνουμε:
Εκφράζουμε , για αυτό κινούμαστε πρώτα προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:
Απλοποιήστε τη δεξιά πλευρά:
Διαιρέστε και τα δύο μέρη με -2:
Σημειώστε ότι το πρόσημο πριν από τον όρο δεν αλλάζει, αφού το k μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.
Απάντηση:
Και εν κατακλείδι, παρακολουθήστε το εκπαιδευτικό βίντεο "Επιλογή ριζών σε τριγωνομετρική εξίσωση με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου"
Αυτό ολοκληρώνει τη συζήτηση για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το πώς θα λύσουμε.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις δεν είναι το πιο εύκολο θέμα. Οδυνηρά είναι διαφορετικοί.) Για παράδειγμα, αυτά:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Και τα λοιπά...
Όμως αυτά (και όλα τα άλλα) τριγωνομετρικά τέρατα έχουν δύο κοινά και υποχρεωτικά χαρακτηριστικά. Πρώτον - δεν θα το πιστέψετε - υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις στις εξισώσεις.) Δεύτερον: όλες οι εκφράσεις με x είναι μέσα σε αυτές τις ίδιες λειτουργίες.Και μόνο εκεί! Αν κάπου εμφανίζεται το x εξω απο,για παράδειγμα, sin2x + 3x = 3,αυτή θα είναι η εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις απαιτούν ατομική προσέγγιση. Εδώ δεν θα τα εξετάσουμε.
Δεν θα λύσουμε κακές εξισώσεις ούτε σε αυτό το μάθημα.) Εδώ θα ασχοληθούμε οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.Γιατί; Ναι, γιατί η απόφαση όποιοςΟι τριγωνομετρικές εξισώσεις αποτελούνται από δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, η εξίσωση του κακού μειώνεται σε απλή με διάφορους μετασχηματισμούς. Στη δεύτερη - λύνεται αυτή η απλούστερη εξίσωση. Κανένας άλλος τρόπος.
Έτσι, εάν έχετε προβλήματα στο δεύτερο στάδιο, το πρώτο στάδιο δεν έχει πολύ νόημα.)
Πώς μοιάζουν οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις;
sinx = α
cosx = α
tgx = α
ctgx = α
Εδώ ένα σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό. Οποιος.
Παρεμπιπτόντως, μέσα στη συνάρτηση μπορεί να μην υπάρχει καθαρό x, αλλά κάποιο είδος έκφρασης, όπως:
cos(3x+π /3) = 1/2
και τα λοιπά. Αυτό περιπλέκει τη ζωή, αλλά δεν επηρεάζει τη μέθοδο επίλυσης της τριγωνομετρικής εξίσωσης.
Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος: χρήση λογικής και τριγωνομετρικού κύκλου. Θα εξερευνήσουμε αυτό το μονοπάτι εδώ. Ο δεύτερος τρόπος - χρησιμοποιώντας μνήμη και τύπους - θα εξεταστεί στο επόμενο μάθημα.
Ο πρώτος τρόπος είναι σαφής, αξιόπιστος και δύσκολος να ξεχαστεί.) Είναι καλός για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, ανισώσεων και όλων των ειδών δύσκολων μη τυπικών παραδειγμάτων. Η λογική είναι πιο δυνατή από τη μνήμη!
Λύνουμε εξισώσεις χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικό κύκλο.
Περιλαμβάνουμε τη στοιχειώδη λογική και τη δυνατότητα χρήσης τριγωνομετρικού κύκλου. Δεν μπορείς!? Ωστόσο... Θα σας δυσκολέψει στην τριγωνομετρία...) Αλλά δεν πειράζει. Ρίξτε μια ματιά στα μαθήματα "Τριγωνομετρικός κύκλος ...... Τι είναι;" και «Μετρώντας γωνίες σε τριγωνομετρικό κύκλο». Όλα είναι απλά εκεί. Σε αντίθεση με τα σχολικά βιβλία...)
Α, ξέρεις! Και μάλιστα κατακτήστε «Πρακτική εργασία με τριγωνομετρικό κύκλο»!; Δεχτείτε συγχαρητήρια. Αυτό το θέμα θα σας είναι κοντινό και κατανοητό.) Αυτό που είναι ιδιαίτερα ευχάριστο είναι ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος δεν ενδιαφέρεται ποια εξίσωση θα λύσετε. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη - όλα είναι ίδια γι 'αυτόν. Η αρχή της λύσης είναι η ίδια.
Παίρνουμε λοιπόν οποιαδήποτε στοιχειώδη τριγωνομετρική εξίσωση. Τουλάχιστον αυτό:
cosx = 0,5
Πρέπει να βρω το Χ. Μιλώντας στην ανθρώπινη γλώσσα, χρειάζεστε Να βρείτε τη γωνία (x) της οποίας το συνημίτονο είναι 0,5.
Πώς χρησιμοποιούσαμε τον κύκλο πριν; Σχεδιάσαμε μια γωνία πάνω του. Σε μοίρες ή ακτίνια. Και αμέσως δει τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτής της γωνίας. Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο. Σχεδιάστε ένα συνημίτονο ίσο με 0,5 στον κύκλο και αμέσως θα δούμε γωνία. Μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση.) Ναι, ναι!
Σχεδιάζουμε έναν κύκλο και σημειώνουμε το συνημίτονο ίσο με 0,5. Στον άξονα συνημιτόνου, φυσικά. Σαν αυτό:
Τώρα ας σχεδιάσουμε τη γωνία που μας δίνει αυτό το συνημίτονο. Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα σε ένα tablet) και βλέπωαυτή η ίδια γωνιά Χ.
Ποια γωνία έχει συνημίτονο 0,5;
x \u003d π / 3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Μερικοί άνθρωποι θα γκρινιάζουν δύσπιστα, ναι... Λένε, άξιζε τον κόπο να περιφράξουμε τον κύκλο, όταν ούτως ή άλλως όλα είναι ξεκάθαρα... Μπορείτε, φυσικά, να γκρινιάξετε...) Αλλά το γεγονός είναι ότι πρόκειται για λάθος απάντηση. Ή μάλλον ανεπαρκής. Οι γνώστες του κύκλου καταλαβαίνουν ότι υπάρχει ακόμα ένα σωρό γωνίες που δίνουν επίσης συνημίτονο ίσο με 0,5.
Εάν περιστρέψετε την κινητή πλευρά ΟΑ για μια πλήρη στροφή, το σημείο Α θα επιστρέψει στην αρχική του θέση. Με το ίδιο συνημίτονο ίσο με 0,5. Εκείνοι. η γωνία θα αλλάξει 360° ή 2π ακτίνια, και συνημίτονο δεν είναι.Η νέα γωνία 60° + 360° = 420° θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωσή μας, επειδή
Υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων πλήρους περιστροφών... Και όλες αυτές οι νέες γωνίες θα είναι λύσεις στην τριγωνομετρική μας εξίσωση. Και όλα πρέπει να γραφτούν με κάποιο τρόπο. Ολα.Διαφορετικά, η απόφαση δεν λαμβάνεται υπόψη, ναι ...)
Τα μαθηματικά μπορούν να το κάνουν αυτό απλά και κομψά. Σε μια σύντομη απάντηση, γράψτε άπειρο σύνολολύσεις. Εδώ είναι πώς φαίνεται για την εξίσωσή μας:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
θα αποκρυπτογραφήσω. Γράψε ακόμα με νόημαπιο ωραίο από το να ζωγραφίζεις ανόητα μερικά μυστηριώδη γράμματα, σωστά;)
π /3 είναι η ίδια γωνία με εμάς είδεστον κύκλο και προσδιορίζεταισύμφωνα με τον πίνακα συνημιτόνων.
2π είναι μια πλήρης στροφή σε ακτίνια.
n - αυτός είναι ο αριθμός των πλήρων, δηλ. ολόκληροςεπαναστάσεις. Είναι ξεκάθαρο ότι n μπορεί να είναι 0, ±1, ±2, ±3.... και ούτω καθεξής. Τι υποδεικνύεται σύντομη σημείωση:
n ∈ Z
n ανήκει ( ∈ ) στο σύνολο των ακεραίων ( Ζ ). Παρεμπιπτόντως, αντί για το γράμμα n μπορούν να χρησιμοποιηθούν γράμματα κ, μ, τ και τα λοιπά.
Αυτή η σημείωση σημαίνει ότι μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε ακέραιο n . Τουλάχιστον -3, τουλάχιστον 0, τουλάχιστον +55. Εσυ τι θελεις. Εάν συνδέσετε αυτόν τον αριθμό στην απάντησή σας, θα έχετε μια συγκεκριμένη γωνία, η οποία είναι βέβαιο ότι θα είναι η λύση στην σκληρή μας εξίσωση.)
Ή, με άλλα λόγια, x \u003d π / 3 είναι η μόνη ρίζα ενός άπειρου συνόλου. Για να λάβετε όλες τις άλλες ρίζες, αρκεί να προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό πλήρων στροφών στο π / 3 ( n ) σε ακτίνια. Εκείνοι. 2πn ακτίνιο.
Τα παντα? Οχι. Τεντώνω συγκεκριμένα την ευχαρίστηση. Για να θυμόμαστε καλύτερα.) Λάβαμε μόνο ένα μέρος των απαντήσεων στην εξίσωσή μας. Θα γράψω αυτό το πρώτο μέρος της λύσης ως εξής:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - όχι μία ρίζα, είναι μια ολόκληρη σειρά από ρίζες, γραμμένες σε σύντομη μορφή.
Υπάρχουν όμως και άλλες γωνίες που δίνουν και συνημίτονο ίσο με 0,5!
Ας επιστρέψουμε στην εικόνα μας, σύμφωνα με την οποία γράψαμε την απάντηση. Εκεί είναι:
Μετακινήστε το ποντίκι πάνω από την εικόνα και βλέπωμια άλλη γωνιά που δίνει επίσης συνημίτονο 0,5.Τι πιστεύετε ότι ισούται; Τα τρίγωνα είναι ίδια... Ναι! Αυτός ίσο με τη γωνία Χ , σχεδιάστηκε μόνο προς την αρνητική κατεύθυνση. Αυτή είναι η γωνία -Χ. Αλλά έχουμε ήδη υπολογίσει το x. π /3 ή 60°. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια:
x 2 \u003d - π / 3
Και, φυσικά, προσθέτουμε όλες τις γωνίες που επιτυγχάνονται με πλήρεις στροφές:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Αυτό είναι όλο τώρα.) Σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, εμείς είδε(ποιος καταλαβαίνει φυσικά)) όλαγωνίες που δίνουν συνημίτονο ίσο με 0,5. Και κατέγραψαν αυτές τις γωνίες σε μια σύντομη μαθηματική μορφή. Η απάντηση είναι δύο άπειρες σειρές ριζών:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Αυτή είναι η σωστή απάντηση.
Ελπίζω, γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνμε τη βοήθεια ενός κύκλου είναι κατανοητό. Σημειώνουμε στον κύκλο το συνημίτονο (ημιτονοειδές, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) από δεδομένη εξίσωση, σχεδιάστε τις γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτό και σημειώστε την απάντηση.Φυσικά, πρέπει να καταλάβετε τι είδους γωνίες είμαστε είδεστον κύκλο. Μερικές φορές δεν είναι τόσο προφανές. Λοιπόν, όπως είπα, εδώ απαιτείται λογική.)
Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε μια άλλη τριγωνομετρική εξίσωση:
Παρακαλώ σημειώστε ότι ο αριθμός 0,5 δεν είναι ο μόνος δυνατός αριθμός στις εξισώσεις!) Απλώς είναι πιο βολικό για μένα να τον γράφω από τις ρίζες και τα κλάσματα.
Δουλεύουμε σύμφωνα με τη γενική αρχή. Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σημειώνουμε (στον ημιτονοειδή άξονα, φυσικά!) 0,5. Σχεδιάζουμε ταυτόχρονα όλες τις γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτό το ημίτονο. Παίρνουμε αυτή την εικόνα:
Ας ασχοληθούμε πρώτα με τη γωνία. Χ στο πρώτο τρίμηνο. Ανακαλούμε τον πίνακα των ημιτόνων και προσδιορίζουμε την τιμή αυτής της γωνίας. Το θέμα είναι απλό:
x \u003d π / 6
Θυμόμαστε τις πλήρεις επαναστάσεις και, με καθαρή συνείδηση, γράφουμε την πρώτη σειρά απαντήσεων:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Η μισή δουλειά έχει γίνει. Τώρα πρέπει να ορίσουμε δεύτερη γωνία...Αυτό είναι πιο δύσκολο από ό,τι στα συνημίτονα, ναι... Αλλά η λογική θα μας σώσει! Πώς να προσδιορίσετε τη δεύτερη γωνία μέσω x; Ναι Εύκολα! Τα τρίγωνα στην εικόνα είναι τα ίδια και η κόκκινη γωνία Χ ίσο με τη γωνία Χ . Μόνο που μετράται από τη γωνία π στην αρνητική κατεύθυνση. Γι' αυτό είναι κόκκινο.) Και για την απάντηση, χρειαζόμαστε μια γωνία μετρημένη σωστά από τον θετικό ημιάξονα OX, δηλ. από γωνία 0 μοιρών.
Τοποθετήστε το δείκτη του ποντικιού πάνω από την εικόνα και δείτε τα πάντα. Αφαίρεσα την πρώτη γωνία για να μην περιπλέκω την εικόνα. Η γωνία που μας ενδιαφέρει (με πράσινο χρώμα) θα είναι ίση με:
π - x
x το ξέρουμε π /6 . Άρα η δεύτερη γωνία θα είναι:
π - π /6 = 5π /6
Και πάλι, θυμόμαστε την προσθήκη πλήρων περιστροφών και γράφουμε τη δεύτερη σειρά απαντήσεων:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Αυτό είναι όλο. Μια πλήρης απάντηση αποτελείται από δύο σειρές ριζών:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Οι εξισώσεις με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μπορούν εύκολα να λυθούν χρησιμοποιώντας την ίδια γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Εκτός, φυσικά, αν ξέρετε πώς να σχεδιάσετε την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.
Στα παραπάνω παραδείγματα, χρησιμοποίησα την τιμή του πίνακα του ημιτόνου και του συνημιτόνου: 0,5. Εκείνοι. μια από αυτές τις έννοιες που γνωρίζει ο μαθητής πρέπει.Τώρα ας επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας σε όλες τις άλλες αξίες.Αποφασίστε, αποφασίστε λοιπόν!)
Λοιπόν, ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε την ακόλουθη τριγωνομετρική εξίσωση:
Δεν υπάρχει τέτοια τιμή του συνημιτόνου στους σύντομους πίνακες. Αγνοούμε ψύχραιμα αυτό το τρομερό γεγονός. Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σημειώνουμε τα 2/3 στον άξονα συνημιτόνου και σχεδιάζουμε τις αντίστοιχες γωνίες. Παίρνουμε αυτή την εικόνα.
Καταλαβαίνουμε, για αρχή, με γωνία στο πρώτο τέταρτο. Για να ξέρουν με τι ισούται το x, θα έγραφαν αμέσως την απάντηση! Δεν ξέρουμε... Αποτυχία!; Ηρεμία! Τα μαθηματικά δεν αφήνουν τους δικούς τους σε μπελάδες! Εφηύρε συνημίτονα τόξου για αυτή την περίπτωση. Δεν ξέρω? Μάταια. Μάθετε. Είναι πολύ πιο εύκολο από όσο νομίζετε. Σύμφωνα με αυτόν τον σύνδεσμο, δεν υπάρχει ούτε ένα δύσκολο ξόρκι για "αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις" ... Είναι περιττό σε αυτό το θέμα.
Εάν γνωρίζετε, απλώς πείτε στον εαυτό σας, "Το X είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι 2/3". Και αμέσως, καθαρά εξ ορισμού της αρκοσίνης, μπορούμε να γράψουμε:
Θυμόμαστε πρόσθετες περιστροφές και καταγράφουμε ήρεμα την πρώτη σειρά ριζών της τριγωνομετρικής μας εξίσωσης:
x 1 = τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Η δεύτερη σειρά ριζών γράφεται επίσης σχεδόν αυτόματα, για τη δεύτερη γωνία. Όλα είναι ίδια, μόνο το x (arccos 2/3) θα είναι με ένα μείον:
x 2 = - τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Και όλα τα πράγματα! Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Ακόμα πιο εύκολο από ό,τι με τιμές σε πίνακα. Δεν χρειάζεται να θυμάστε τίποτα.) Παρεμπιπτόντως, οι πιο προσεκτικοί θα παρατηρήσουν ότι αυτή η εικόνα με τη λύση μέσω του συνημιτόνου τόξου ουσιαστικά δεν διαφέρει από την εικόνα για την εξίσωση cosx = 0,5.
Ακριβώς! Γενική αρχήγι' αυτό είναι σύνηθες! Συγκεκριμένα σχεδίασα δύο σχεδόν ίδιες εικόνες. Ο κύκλος μας δείχνει τη γωνία Χ από το συνημίτονό του. Είναι πίνακας συνημίτονο, ή όχι - ο κύκλος δεν γνωρίζει. Τι είδους γωνία είναι αυτή, π / 3, ή τι είδους συνημίτονο τόξου εξαρτάται από εμάς να αποφασίσουμε.
Με μια ημιτονία το ίδιο τραγούδι. Για παράδειγμα:
Και πάλι σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σημειώνουμε το ημίτονο ίσο με το 1/3, σχεδιάζουμε τις γωνίες. Αποδεικνύεται αυτή η εικόνα:
Και πάλι η εικόνα είναι σχεδόν ίδια με την εξίσωση sinx = 0,5.Και πάλι ξεκινάμε από τη γωνία στο πρώτο δεκάλεπτο. Τι ισούται με το x αν το ημίτονο του είναι 1/3; Κανένα πρόβλημα!
Έτσι το πρώτο πακέτο ριζών είναι έτοιμο:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ας ρίξουμε μια ματιά στη δεύτερη γωνία. Στο παράδειγμα με τιμή πίνακα 0,5, ήταν ίση με:
π - x
Εδώ λοιπόν θα είναι ακριβώς το ίδιο! Μόνο το x είναι διαφορετικό, arcsin 1/3. Και λοιπόν!? Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια το δεύτερο πακέτο ριζών:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Αυτή είναι μια απολύτως σωστή απάντηση. Αν και δεν φαίνεται πολύ οικείο. Αλλά είναι κατανοητό, ελπίζω.)
Έτσι λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας έναν κύκλο. Αυτή η διαδρομή είναι ξεκάθαρη και κατανοητή. Είναι αυτός που αποθηκεύει σε τριγωνομετρικές εξισώσεις με την επιλογή των ριζών σε ένα δεδομένο διάστημα, σε τριγωνομετρικές ανισότητες - γενικά λύνονται σχεδόν πάντα σε κύκλο. Εν ολίγοις, σε οποιεσδήποτε εργασίες είναι λίγο πιο περίπλοκες από τις τυπικές.
Κάνοντας τη γνώση στην πράξη;
Λύστε τριγωνομετρικές εξισώσεις:
Στην αρχή είναι πιο απλό, απευθείας σε αυτό το μάθημα.
Τώρα είναι πιο δύσκολο.
Συμβουλή: εδώ πρέπει να σκεφτείτε τον κύκλο. Προσωπικά.)
Και τώρα εξωτερικά ανεπιτήδευτα ... Λέγονται και ειδικές περιπτώσεις.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Συμβουλή: εδώ πρέπει να καταλάβετε σε έναν κύκλο πού υπάρχουν δύο σειρές απαντήσεων και πού υπάρχει μία ... Και πώς να γράψετε μία αντί για δύο σειρές απαντήσεων. Ναι, για να μην χαθεί ούτε μια ρίζα από έναν άπειρο αριθμό!)
Λοιπόν, πολύ απλό):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Συμβουλή: εδώ πρέπει να ξέρετε τι είναι το arcsine, arccosine; Τι είναι η εφαπτομένη τόξου, η εφαπτομένη τόξου; Οι απλούστεροι ορισμοί. Αλλά δεν χρειάζεται να θυμάστε τιμές σε πίνακα!)
Οι απαντήσεις είναι, φυσικά, αταίριαστες):
x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Διαβάστε ξανά το μάθημα. Μόνο σκεπτικώς(υπάρχει τέτοια ξεπερασμένη λέξη...) Και ακολουθήστε τους συνδέσμους. Οι κύριοι σύνδεσμοι αφορούν τον κύκλο. Χωρίς αυτό στην τριγωνομετρία - πώς να διασχίσετε το δρόμο με δεμένα μάτια. Μερικές φορές λειτουργεί.)
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Τι προσωπικές πληροφορίεςσυλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε στους υπαλλήλους μας πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Απαιτεί γνώση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας - το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, η έκφραση της εφαπτομένης μέσω του ημιτόνου και του συνημιτόνου και άλλα. Για όσους τα έχουν ξεχάσει ή δεν τα γνωρίζουν, συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο "".
Έτσι, γνωρίζουμε τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, ήρθε η ώρα να τους κάνουμε πράξη. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνμε τη σωστή προσέγγιση, είναι μια αρκετά συναρπαστική δραστηριότητα, όπως, για παράδειγμα, η επίλυση ενός κύβου του Ρούμπικ.
Με βάση το ίδιο το όνομα, είναι σαφές ότι μια τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Υπάρχουν οι λεγόμενες απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Δείτε πώς μοιάζουν: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Σκεφτείτε, πώς να λύσετε τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, για λόγους σαφήνειας, θα χρησιμοποιήσουμε τον ήδη γνωστό τριγωνομετρικό κύκλο.
sinx = α
cos x = α
ταν x = α
κούνια x = α
Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση λύνεται σε δύο στάδια: φέρνουμε την εξίσωση στην απλούστερη μορφή και στη συνέχεια την λύνουμε ως την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Υπάρχουν 7 βασικές μέθοδοι με τις οποίες λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις.
Μεταβλητή υποκατάσταση και μέθοδος αντικατάστασης
Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης
Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση
Επίλυση εξισώσεων, μέσω της μετάβασης σε μισή γωνία
Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας
Λύστε την εξίσωση 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0
Χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης παίρνουμε:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Ας αντικαταστήσουμε το cos(x + /6) με το y για απλότητα και πάρουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση:
2 ετών 2 – 3 ετών + 1 + 0
Οι ρίζες των οποίων y 1 = 1, y 2 = 1/2
Τώρα ας πάμε πίσω
Αντικαθιστούμε τις τιμές του y που βρέθηκαν και παίρνουμε δύο απαντήσεις:
Πώς να λύσετε την εξίσωση sin x + cos x = 1;
Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά, ώστε το 0 να παραμείνει στα δεξιά:
sin x + cos x - 1 = 0
Χρησιμοποιούμε τις παραπάνω ταυτότητες για να απλοποιήσουμε την εξίσωση:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Ας κάνουμε την παραγοντοποίηση:
2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Παίρνουμε δύο εξισώσεις
Μια εξίσωση είναι ομοιογενής ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο εάν όλοι οι όροι της ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο είναι του ίδιου βαθμού της ίδιας γωνίας. Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, προχωρήστε ως εξής:
α) μεταφέρει όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.
β) βάζετε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων.
γ) εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με 0.
δ) σε αγκύλες, προκύπτει μια ομοιογενής εξίσωση μικρότερου βαθμού, η οποία, με τη σειρά της, διαιρείται με ένα ημίτονο ή συνημίτονο σε υψηλότερο βαθμό.
ε) να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει για το tg.
Λύστε την εξίσωση 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο sin 2 x + cos 2 x = 1 και ας απαλλαγούμε από τα ανοιχτά δύο στα δεξιά:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Διαιρέστε με cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Αντικαθιστούμε το tg x με το y και παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση:
y 2 + 4y +3 = 0 των οποίων οι ρίζες είναι y 1 =1, y 2 = 3
Από εδώ βρίσκουμε δύο λύσεις στην αρχική εξίσωση:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Λύστε την εξίσωση 3sin x - 5cos x = 7
Ας προχωρήσουμε στο x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Μετατόπιση όλων προς τα αριστερά:
2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Διαιρέστε με συν(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0
Για εξέταση, ας πάρουμε μια εξίσωση της μορφής: a sin x + b cos x \u003d c,
όπου a, b, c είναι κάποιοι αυθαίρετοι συντελεστές και το x είναι ένα άγνωστο.
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:
Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης σύμφωνα με τριγωνομετρικούς τύπουςέχουν τις ιδιότητες του sin και του cos, δηλαδή: το μέτρο τους δεν είναι μεγαλύτερο από 1 και το άθροισμα των τετραγώνων = 1. Ας τα συμβολίσουμε αντίστοιχα ως cos και sin, όπου είναι η λεγόμενη βοηθητική γωνία. Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
ή sin(x + ) = C
Η λύση σε αυτή την απλή τριγωνομετρική εξίσωση είναι
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, όπου
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι ονομασίες cos και sin είναι εναλλάξιμες.
Λύστε την εξίσωση sin 3x - cos 3x = 1
Σε αυτή την εξίσωση, οι συντελεστές είναι:
a \u003d, b \u003d -1, οπότε διαιρούμε και τα δύο μέρη με \u003d 2