Εισάγαμε την εξίσωση παραπάνω στην § 7. Αρχικά, υπενθυμίζουμε τι είναι μια ορθολογική έκφραση. Αυτή είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς και τη μεταβλητή x χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και εκθέσεως με φυσικό εκθέτη.

Αν το r(x) είναι ορθολογική έκφραση, τότε η εξίσωση r(x) = 0 ονομάζεται ορθολογική εξίσωση.

Ωστόσο, στην πράξη είναι πιο βολικό να χρησιμοποιηθεί μια κάπως ευρύτερη ερμηνεία του όρου "ορθολογική εξίσωση": αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής h(x) = q(x), όπου τα h(x) και q(x) είναι ορθολογικές εκφράσεις.

Μέχρι τώρα, δεν μπορούσαμε να λύσουμε καμία ορθολογική εξίσωση, αλλά μόνο μια που, ως αποτέλεσμα διαφόρων μετασχηματισμών και συλλογισμών, περιορίστηκε σε γραμμική εξίσωση. Τώρα οι δυνατότητές μας είναι πολύ μεγαλύτερες: θα είμαστε σε θέση να λύσουμε μια ορθολογική εξίσωση, η οποία μειώνει όχι μόνο σε γραμμική
mu, αλλά και στην τετραγωνική εξίσωση.

Θυμηθείτε πώς λύσαμε ορθολογικές εξισώσεις νωρίτερα και προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν αλγόριθμο λύσης.

Παράδειγμα 1λύσει την εξίσωση

Λύση. Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα

Σε αυτήν την περίπτωση, ως συνήθως, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι οι ισότητες A \u003d B και A - B \u003d 0 εκφράζουν την ίδια σχέση μεταξύ A και B. Αυτό μας επέτρεψε να μεταφέρουμε τον όρο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης με αντίθετο σημάδι.

Ας κάνουμε μετασχηματισμούς της αριστερής πλευράς της εξίσωσης. Εχουμε

Θυμηθείτε τις συνθήκες ισότητας κλάσματαμηδέν: αν και μόνο αν ικανοποιούνται ταυτόχρονα δύο σχέσεις:

1) ο αριθμητής του κλάσματος είναι μηδέν (a = 0). 2) ο παρονομαστής του κλάσματος είναι διαφορετικός από το μηδέν).
Εξισώνοντας με το μηδέν τον αριθμητή του κλάσματος στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης (1), παίρνουμε

Απομένει να ελέγξουμε την εκπλήρωση της δεύτερης προϋπόθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Ο λόγος σημαίνει για την εξίσωση (1) ότι . Οι τιμές x 1 = 2 και x 2 = 0,6 ικανοποιούν τις υποδεικνυόμενες σχέσεις και επομένως χρησιμεύουν ως ρίζες της εξίσωσης (1) και ταυτόχρονα ως ρίζες της δεδομένης εξίσωσης.

1) Ας μετατρέψουμε την εξίσωση σε μορφή

2) Ας εκτελέσουμε τους μετασχηματισμούς της αριστερής πλευράς αυτής της εξίσωσης:

(Ταυτόχρονα άλλαξε τα σημάδια στον αριθμητή και
κλάσματα).
Με αυτόν τον τρόπο, δεδομένη εξίσωσηπαίρνει τη μορφή

3) Λύστε την εξίσωση x 2 - 6x + 8 = 0. Να βρείτε

4) Για τις τιμές που βρέθηκαν, ελέγξτε τη συνθήκη . Ο αριθμός 4 ικανοποιεί αυτήν την προϋπόθεση, αλλά ο αριθμός 2 όχι. Άρα το 4 είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης και το 2 είναι μια ξένη ρίζα.
Απάντηση: 4.

2. Λύση ορθολογικές εξισώσειςμέθοδος εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής

Η μέθοδος εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής είναι γνωστή σε εσάς, την έχουμε χρησιμοποιήσει περισσότερες από μία φορές. Ας δείξουμε με παραδείγματα πώς χρησιμοποιείται στην επίλυση ορθολογικών εξισώσεων.

Παράδειγμα 3Λύστε την εξίσωση x 4 + x 2 - 20 = 0.

Λύση. Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή y \u003d x 2. Εφόσον x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, τότε η δεδομένη εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί με τη μορφή

y 2 + y - 20 = 0.

Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση, τις ρίζες της οποίας θα βρούμε χρησιμοποιώντας το γνωστό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι; παίρνουμε y 1 = 4, y 2 = - 5.
Αλλά y \u003d x 2, που σημαίνει ότι το πρόβλημα έχει περιοριστεί στην επίλυση δύο εξισώσεων:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Απάντηση: .
Μια εξίσωση της μορφής ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ονομάζεται διτετραγωνική εξίσωση ("bi" - δύο, δηλαδή, όπως ήταν, μια εξίσωση "διπλάσια τετραγωνική"). Η εξίσωση που μόλις λύθηκε ήταν ακριβώς διτετραγωνική. Οποιαδήποτε διτετραγωνική εξίσωση επιλύεται με τον ίδιο τρόπο όπως η εξίσωση από το παράδειγμα 3: εισάγεται μια νέα μεταβλητή y \u003d x 2, η προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση λύνεται σε σχέση με τη μεταβλητή y και στη συνέχεια επιστρέφει στη μεταβλητή x.

Παράδειγμα 4λύσει την εξίσωση

Λύση. Σημειώστε ότι η ίδια έκφραση x 2 + 3x εμφανίζεται δύο φορές εδώ. Ως εκ τούτου, είναι λογικό να εισαχθεί μια νέα μεταβλητή y = x 2 + Zx. Αυτό θα μας επιτρέψει να ξαναγράψουμε την εξίσωση σε πιο απλή και ευχάριστη μορφή (που, στην πραγματικότητα, είναι ο σκοπός της εισαγωγής μιας νέας μεταβλητός- και η εγγραφή είναι πιο εύκολη
και η δομή της εξίσωσης γίνεται πιο ξεκάθαρη):

Και τώρα θα χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για την επίλυση μιας ορθολογικής εξίσωσης.

1) Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης σε ένα μέρος:

= 0
2) Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης

Έτσι, έχουμε μετατρέψει τη δεδομένη εξίσωση σε μορφή

3) Από την εξίσωση - 7y 2 + 29y -4 = 0 βρίσκουμε (έχουμε ήδη λύσει πολλές τετραγωνικές εξισώσεις, οπότε μάλλον δεν αξίζει να δίνουμε πάντα λεπτομερείς υπολογισμούς στο σχολικό βιβλίο).

4) Ας ελέγξουμε τις ρίζες που βρέθηκαν χρησιμοποιώντας τη συνθήκη 5 (y - 3) (y + 1). Και οι δύο ρίζες ικανοποιούν αυτήν την προϋπόθεση.
Άρα, λύνεται η τετραγωνική εξίσωση για τη νέα μεταβλητή y:
Δεδομένου ότι το y \u003d x 2 + Zx και το y, όπως έχουμε καθορίσει, παίρνει δύο τιμές: 4 και, - πρέπει ακόμα να λύσουμε δύο εξισώσεις: x 2 + Zx \u003d 4. x 2 + Zx \u003d. Οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είναι οι αριθμοί 1 και - 4, οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης είναι οι αριθμοί

Στα παραδείγματα που εξετάστηκαν, η μέθοδος εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής ήταν, όπως θέλουν να λένε οι μαθηματικοί, επαρκής για την κατάσταση, δηλαδή αντιστοιχούσε καλά σε αυτήν. Γιατί; Ναι, επειδή η ίδια έκφραση συναντήθηκε ξεκάθαρα στην εγγραφή της εξίσωσης αρκετές φορές και ήταν λογικό να χαρακτηριστεί αυτή η έκφραση με ένα νέο γράμμα. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα, μερικές φορές μια νέα μεταβλητή "εμφανίζεται" μόνο στη διαδικασία των μετασχηματισμών. Αυτό ακριβώς θα συμβεί στο επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 5λύσει την εξίσωση
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Λύση. Εχουμε
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Άρα η δεδομένη εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Τώρα "εμφανίστηκε" μια νέα μεταβλητή: y = x 2 - Zx.

Με τη βοήθειά της, η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί με τη μορφή y (y + 2) \u003d 24 και στη συνέχεια y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 4 και -6.

Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή x, λαμβάνουμε δύο εξισώσεις x 2 - Zx \u003d 4 και x 2 - Zx \u003d - 6. Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: 4, - 1.

Περιεχόμενο μαθήματος περίληψη μαθήματοςυποστήριξη πλαισίων παρουσίασης μαθήματος επιταχυντικές μέθοδοι διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις εργαστήρια αυτοεξέτασης, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης για το σπίτι ρητορικές ερωτήσειςαπό μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες γραφικά, πίνακες, σχήματα χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, κόμικ, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα τσιπ για περιπετειώδη cheat sheets σχολικά βιβλία βασικά και πρόσθετο γλωσσάρι όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τεμαχίου στο σχολικό βιβλίο στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα αντικαθιστώντας τις απαρχαιωμένες γνώσεις με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματαημερολογιακό σχέδιο για το έτος Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα

Κλασματικές εξισώσεις. ODZ.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις εξισώσεις. Γνωρίζουμε ήδη πώς να δουλεύουμε με γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. Η τελευταία άποψη παραμένει κλασματικές εξισώσεις. Ή ονομάζονται επίσης πολύ πιο στερεά - κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις. Αυτό είναι το ίδιο.

Κλασματικές εξισώσεις.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές οι εξισώσεις περιέχουν απαραίτητα κλάσματα. Όχι όμως μόνο κλάσματα, αλλά κλάσματα που έχουν άγνωστο στον παρονομαστή. Τουλάχιστον σε ένα. Για παράδειγμα:

Να σας υπενθυμίσω, αν μόνο στους παρονομαστές αριθμοί, αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις.

Πώς να αποφασίσετε κλασματικές εξισώσεις? Πρώτα απ' όλα, ξεφορτωθείτε τα κλάσματα! Μετά από αυτό, η εξίσωση, τις περισσότερες φορές, μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική. Και μετά ξέρουμε τι πρέπει να κάνουμε... Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να μετατραπεί σε ταυτότητα, όπως 5=5 ή σε λανθασμένη έκφραση, όπως 7=2. Αλλά αυτό συμβαίνει σπάνια. Παρακάτω θα το αναφέρω.

Πώς όμως να απαλλαγείτε από τα κλάσματα!; Πολύ απλό. Εφαρμόζοντας όλους τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς.

Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με την ίδια έκφραση. Για να μειωθούν όλοι οι παρονομαστές! Όλα θα γίνουν αμέσως πιο εύκολα. Το εξηγώ με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:

Πώς διδάσκονταν στο δημοτικό; Μεταφέρουμε τα πάντα προς μια κατεύθυνση, τα ανάγουμε σε έναν κοινό παρονομαστή κ.λπ. Ξέχνα πώς εφιάλτης! Αυτό πρέπει να κάνετε όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλασματικές εκφράσεις. Ή να εργαστείς με τις ανισότητες. Και στις εξισώσεις, πολλαπλασιάζουμε αμέσως και τα δύο μέρη με μια έκφραση που θα μας δώσει την ευκαιρία να μειώσουμε όλους τους παρονομαστές (δηλαδή, στην ουσία, με έναν κοινό παρονομαστή). Και ποια είναι αυτή η έκφραση;

Στην αριστερή πλευρά, για να μειώσετε τον παρονομαστή, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με x+2. Και στα δεξιά, απαιτείται πολλαπλασιασμός με το 2. Άρα, η εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2 (x+2). Πολλαπλασιάζουμε:

Αυτός είναι ο συνηθισμένος πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, αλλά θα γράψω αναλυτικά:

Σημειώστε ότι δεν ανοίγω ακόμα την παρένθεση. (x + 2)! Το γράφω λοιπόν στο σύνολό του:

Στην αριστερή πλευρά, μειώνεται εντελώς (x+2), και στα δεξιά 2. Όπως απαιτείται! Μετά τη μείωση παίρνουμε γραμμικόςη εξίσωση:

Οποιοσδήποτε μπορεί να λύσει αυτήν την εξίσωση! x = 2.

Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα, λίγο πιο περίπλοκο:

Αν θυμηθούμε ότι 3 = 3/1, και 2x = 2x/ 1 μπορεί να γραφτεί:

Και πάλι απαλλαγούμε από αυτό που δεν μας αρέσει πραγματικά - από τα κλάσματα.

Βλέπουμε ότι για να μειωθεί ο παρονομαστής με x, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με (x - 2). Και οι μονάδες δεν αποτελούν εμπόδιο για εμάς. Λοιπόν, ας πολλαπλασιάσουμε. Ολααριστερή πλευρά και όλασωστη πλευρα:

Πάλι αγκύλες (x - 2)Δεν αποκαλύπτω. Δουλεύω με την αγκύλη στο σύνολό της, σαν να είναι ένας αριθμός! Αυτό πρέπει να γίνεται πάντα, διαφορετικά δεν θα μειωθεί τίποτα.

Με αίσθημα βαθιάς ικανοποίησης κόβουμε (x - 2)και παίρνουμε την εξίσωση χωρίς κλάσματα, σε χάρακα!

Και τώρα ανοίγουμε τις αγκύλες:

Δίνουμε παρόμοια, μεταφέρουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και παίρνουμε:

Αλλά πριν από αυτό, θα μάθουμε να λύνουμε άλλα προβλήματα. Για ενδιαφέρον. Αυτές οι τσουγκράνες, παρεμπιπτόντως!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Ας εξοικειωθούμε με ορθολογικές και κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, δώσουμε τον ορισμό τους, δώσουμε παραδείγματα και επίσης να αναλύσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ορθολογική Εξίσωση: Ορισμός και Παραδείγματα

Η γνωριμία με τις ορθολογικές εκφράσεις ξεκινά από την 8η τάξη του σχολείου. Αυτή τη στιγμή, στα μαθήματα άλγεβρας, οι μαθητές αρχίζουν όλο και περισσότερο να αντιμετωπίζουν εργασίες με εξισώσεις που περιέχουν ορθολογικές εκφράσεις στις σημειώσεις τους. Ας φρεσκάρουμε τη μνήμη μας για το τι είναι.

Ορισμός 1

ορθολογική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία και οι δύο πλευρές περιέχουν ορθολογικές εκφράσεις.

Σε διάφορα εγχειρίδια, μπορείτε να βρείτε άλλη διατύπωση.

Ορισμός 2

ορθολογική εξίσωση- αυτή είναι μια εξίσωση, η εγγραφή της αριστερής πλευράς της οποίας περιέχει μια ορθολογική έκφραση και η δεξιά περιέχει το μηδέν.

Οι ορισμοί που δώσαμε για τις ορθολογικές εξισώσεις είναι ισοδύναμοι, αφού σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Η ορθότητα των λόγων μας επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι για τυχόν ορθολογικές εκφράσεις Πκαι Qεξισώσεις P=Qκαι P − Q = 0θα είναι ισοδύναμες εκφράσεις.

Τώρα ας στραφούμε σε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Ορθολογικές εξισώσεις:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Οι ορθολογικές εξισώσεις, όπως και οι εξισώσεις άλλων τύπων, μπορούν να περιέχουν οποιονδήποτε αριθμό μεταβλητών από 1 έως πολλές. Αρχικά, θα εξετάσουμε απλά παραδείγματα, στο οποίο οι εξισώσεις θα περιέχουν μόνο μία μεταβλητή. Και τότε αρχίζουμε να περιπλέκουμε σταδιακά το έργο.

Οι ορθολογικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες: ακέραιο και κλασματικό. Ας δούμε ποιες εξισώσεις θα ισχύουν για κάθε μία από τις ομάδες.

Ορισμός 3

Μια ορθολογική εξίσωση θα είναι ακέραιος εάν η εγγραφή του αριστερού και του δεξιού μέρους της περιέχει ολόκληρες ορθολογικές εκφράσεις.

Ορισμός 4

Μια ορθολογική εξίσωση θα είναι κλασματική εάν το ένα ή και τα δύο μέρη της περιέχουν ένα κλάσμα.

Οι κλασματικά ορθολογικές εξισώσεις περιέχουν αναγκαστικά διαίρεση με μια μεταβλητή ή η μεταβλητή είναι παρούσα στον παρονομαστή. Δεν υπάρχει τέτοια διαίρεση στη σύνταξη ακέραιων εξισώσεων.

Παράδειγμα 2

3 x + 2 = 0και (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5είναι ολόκληρες ορθολογικές εξισώσεις. Εδώ και τα δύο μέρη της εξίσωσης αντιπροσωπεύονται από ακέραιες εκφράσεις.

1 x - 1 = x 3 και x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5είναι κλασματικά ορθολογικές εξισώσεις.

Ολόκληρες οι ορθολογικές εξισώσεις περιλαμβάνουν γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ακέραιων εξισώσεων

Η λύση τέτοιων εξισώσεων συνήθως ανάγεται στη μετατροπή τους σε ισοδύναμες αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί πραγματοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς των εξισώσεων σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:

• πρώτα παίρνουμε το μηδέν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, γι 'αυτό είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε την έκφραση που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή της πλευρά και να αλλάξουμε το πρόσημο.
• τότε μετατρέπουμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης σε πολυώνυμο τυπικής μορφής.

Πρέπει να πάρουμε μια αλγεβρική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση θα είναι ισοδύναμη σε σχέση με την αρχική εξίσωση. Οι εύκολες περιπτώσεις μας επιτρέπουν να λύσουμε το πρόβλημα μειώνοντας ολόκληρη την εξίσωση σε γραμμική ή τετραγωνική. Στη γενική περίπτωση, λύνουμε μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n.

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες ολόκληρης της εξίσωσης 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Λύση

Ας μετασχηματίσουμε την αρχική έκφραση για να λάβουμε μια αλγεβρική εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε την έκφραση που περιέχεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά και θα αλλάξουμε το πρόσημο στο αντίθετο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Τώρα θα μετατρέψουμε την έκφραση στην αριστερή πλευρά σε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής και θα εκτελέσουμε τις απαραίτητες ενέργειες με αυτό το πολυώνυμο:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Καταφέραμε να αναγάγουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης στη λύση μιας τετραγωνικής εξίσωσης της μορφής x 2 − 5 x − 6 = 0. Η διάκριση αυτής της εξίσωσης είναι θετική: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες. Ας τις βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ή x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ή x 2 = - 1

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των ριζών της εξίσωσης που βρήκαμε στην πορεία της λύσης. Για αυτόν τον αριθμό, που λάβαμε, αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3και 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Στην πρώτη περίπτωση 63 = 63 , στο δεύτερο 0 = 0 . Ρίζες x=6και x = − 1είναι πράγματι οι ρίζες της εξίσωσης που δίνεται στη συνθήκη του παραδείγματος.

Απάντηση: 6 , − 1 .

Ας δούμε τι σημαίνει «δύναμη όλης της εξίσωσης». Θα συναντήσουμε συχνά αυτόν τον όρο σε εκείνες τις περιπτώσεις που χρειάζεται να αναπαραστήσουμε μια ολόκληρη εξίσωση με τη μορφή αλγεβρικής. Ας ορίσουμε την έννοια.

Ορισμός 5

Βαθμός ακέραιας εξίσωσηςείναι ο βαθμός μιας αλγεβρικής εξίσωσης που ισοδυναμεί με την αρχική εξίσωση.

Αν κοιτάξετε τις εξισώσεις από το παραπάνω παράδειγμα, μπορείτε να καθορίσετε: ο βαθμός όλης αυτής της εξίσωσης είναι ο δεύτερος.

Εάν το μάθημά μας περιοριζόταν στην επίλυση εξισώσεων δεύτερου βαθμού, τότε η εξέταση του θέματος θα μπορούσε να ολοκληρωθεί εδώ. Αλλά δεν είναι όλα τόσο απλά. Η επίλυση εξισώσεων τρίτου βαθμού είναι γεμάτη δυσκολίες. Και για εξισώσεις πάνω από τον τέταρτο βαθμό, δεν υπάρχει καθόλου γενικούς τύπουςρίζες. Από αυτή την άποψη, η λύση ολόκληρων εξισώσεων του τρίτου, τέταρτου και άλλων βαθμών απαιτεί από εμάς να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από άλλες τεχνικές και μεθόδους.

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη προσέγγιση για την επίλυση ολόκληρων ορθολογικών εξισώσεων βασίζεται στη μέθοδο παραγοντοποίησης. Ο αλγόριθμος των ενεργειών σε αυτή την περίπτωση είναι ο εξής:

• μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά έτσι ώστε το μηδέν να παραμείνει στη δεξιά πλευρά της εγγραφής.
• αντιπροσωπεύουμε την έκφραση στην αριστερή πλευρά ως γινόμενο παραγόντων και μετά προχωράμε σε ένα σύνολο από πολλές απλούστερες εξισώσεις.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη λύση της εξίσωσης (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Λύση

Μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά της εγγραφής στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Η μετατροπή της αριστερής πλευράς σε πολυώνυμο της τυπικής μορφής δεν είναι πρακτική λόγω του γεγονότος ότι αυτό θα μας δώσει μια αλγεβρική εξίσωση τέταρτου βαθμού: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Η ευκολία του μετασχηματισμού δεν δικαιολογεί όλες τις δυσκολίες με την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης.

Είναι πολύ πιο εύκολο να πάμε αντίστροφα: αφαιρούμε τον κοινό παράγοντα x 2 − 10 x + 13 .Έτσι καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Τώρα αντικαθιστούμε την εξίσωση που προκύπτει με ένα σύνολο δύο τετραγωνικών εξισώσεων x 2 − 10 x + 13 = 0και x 2 − 2 x − 1 = 0και να βρείτε τις ρίζες τους μέσα από τη διάκριση: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Απάντηση: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Ομοίως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής. Αυτή η μέθοδος μας επιτρέπει να περάσουμε σε ισοδύναμες εξισώσεις με δυνάμεις μικρότερες από αυτές στην αρχική ολόκληρη εξίσωση.

Παράδειγμα 5

Έχει ρίζες η εξίσωση; (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Λύση

Αν τώρα προσπαθήσουμε να αναγάγουμε μια ολόκληρη ορθολογική εξίσωση σε αλγεβρική, θα πάρουμε μια εξίσωση βαθμού 4, η οποία δεν έχει ορθολογικές ρίζες. Επομένως, θα είναι ευκολότερο για εμάς να πάμε αντίθετα: εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή y, η οποία θα αντικαταστήσει την έκφραση στην εξίσωση x 2 + 3 x.

Τώρα θα δουλέψουμε με ολόκληρη την εξίσωση (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Μεταφέρουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και πραγματοποιούμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς. Παίρνουμε: y 2 + 4 y + 3 = 0. Ας βρούμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης: y = − 1και y = − 3.

Τώρα ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Παίρνουμε δύο εξισώσεις x 2 + 3 x = − 1και x 2 + 3 x = - 3 .Ας τα ξαναγράψουμε ως x 2 + 3 x + 1 = 0 και x 2 + 3 x + 3 = 0. Χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης για να βρούμε τις ρίζες της πρώτης εξίσωσης που προέκυψε: - 3 ± 5 2 . Η διάκριση της δεύτερης εξίσωσης είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Απάντηση:- 3 ± 5 2

Ακέραιες εξισώσεις υψηλών βαθμών συναντώνται σε προβλήματα αρκετά συχνά. Δεν υπάρχει λόγος να τους φοβάστε. Πρέπει να είστε έτοιμοι να εφαρμόσετε μια μη τυπική μέθοδο επίλυσής τους, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων τεχνητών μετασχηματισμών.

Επίλυση κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων

Ξεκινάμε την εξέταση αυτού του υποθέματος με έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 , όπου p(x)και q(x)είναι ακέραιες ορθολογικές εκφράσεις. Η λύση άλλων κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων μπορεί πάντα να αναχθεί στη λύση των εξισώσεων της υποδεικνυόμενης μορφής.

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων p (x) q (x) = 0 βασίζεται στην ακόλουθη πρόταση: αριθμητικό κλάσμα u v, όπου vείναι ένας αριθμός που είναι διαφορετικός από το μηδέν, ίσος με μηδέν μόνο στις περιπτώσεις που ο αριθμητής του κλάσματος είναι ίσος με μηδέν. Ακολουθώντας τη λογική της παραπάνω δήλωσης, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η λύση της εξίσωσης p (x) q (x) = 0 μπορεί να αναχθεί στην εκπλήρωση δύο συνθηκών: p(x)=0και q(x) ≠ 0. Πάνω σε αυτό, κατασκευάζεται ένας αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0:

• βρίσκουμε τη λύση ολόκληρης της ορθολογικής εξίσωσης p(x)=0;
• ελέγχουμε αν η συνθήκη ικανοποιείται για τις ρίζες που βρέθηκαν κατά τη διάρκεια της λύσης q(x) ≠ 0.

Εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε η ρίζα που βρέθηκε, Αν όχι, τότε η ρίζα δεν είναι λύση στο πρόβλημα.

Παράδειγμα 6

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Λύση

Έχουμε να κάνουμε με μια κλασματική ορθολογική εξίσωση της μορφής p (x) q (x) = 0 , στην οποία p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Ας αρχίσουμε να λύνουμε τη γραμμική εξίσωση 3 x - 2 = 0. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης θα είναι x = 2 3.

Ας ελέγξουμε τη ρίζα που βρέθηκε, αν ικανοποιεί την προϋπόθεση 5 x 2 - 2 ≠ 0. Αυτό το αντικαθιστούμε αριθμητική αξίασε έκφραση. Παίρνουμε: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Η προϋπόθεση πληρούται. Αυτό σημαίνει ότι x = 2 3είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: 2 3 .

Υπάρχει μια άλλη επιλογή για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων p (x) q (x) = 0 . Θυμηθείτε ότι αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ολόκληρη την εξίσωση p(x)=0στο εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x της αρχικής εξίσωσης. Αυτό μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο για την επίλυση των εξισώσεων p(x) q(x) = 0:

• λύσει την εξίσωση p(x)=0;
• βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x .
• παίρνουμε τις ρίζες που βρίσκονται στην περιοχή των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x ως τις επιθυμητές ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 7

Λύστε την εξίσωση x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Λύση

Αρχικά, ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση x 2 − 2 x − 11 = 0. Για να υπολογίσουμε τις ρίζες του, χρησιμοποιούμε τον τύπο ρίζας για έναν άρτιο δεύτερο συντελεστή. Παίρνουμε D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12και x = 1 ± 2 3 .

Τώρα μπορούμε να βρούμε το ODV του x για την αρχική εξίσωση. Αυτοί είναι όλοι αριθμοί για τους οποίους x 2 + 3 x ≠ 0. Είναι το ίδιο με x (x + 3) ≠ 0, από όπου x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Τώρα ας ελέγξουμε αν οι ρίζες x = 1 ± 2 3 που ελήφθησαν στο πρώτο στάδιο της λύσης βρίσκονται εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x. Βλέπουμε τι μπαίνει. Αυτό σημαίνει ότι η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση έχει δύο ρίζες x = 1 ± 2 3 .

Απάντηση: x = 1 ± 2 3

Η δεύτερη μέθοδος λύσης που περιγράφεται ευκολότερο από το πρώτοσε περιπτώσεις όπου είναι εύκολο να βρεθεί το εμβαδόν των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x και οι ρίζες της εξίσωσης p(x)=0παράλογος. Για παράδειγμα, 7 ± 4 26 9 . Οι ρίζες μπορεί να είναι ορθολογικές, αλλά με μεγάλο αριθμητή ή παρονομαστή. Για παράδειγμα, 127 1101 και − 31 59 . Αυτό εξοικονομεί χρόνο για τον έλεγχο της κατάστασης. q(x) ≠ 0: είναι πολύ πιο εύκολο να αποκλείσετε ρίζες που δεν ταιριάζουν, σύμφωνα με την ODZ.

Όταν οι ρίζες της εξίσωσης p(x)=0είναι ακέραιοι, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί ο πρώτος από τους περιγραφόμενους αλγόριθμους για την επίλυση εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 . Βρίσκοντας τις ρίζες μιας ολόκληρης εξίσωσης πιο γρήγορα p(x)=0και, στη συνέχεια, ελέγξτε εάν πληρούται η προϋπόθεση για αυτούς q(x) ≠ 0, και να μην βρείτε το ODZ, και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση p(x)=0σε αυτό το ODZ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε τέτοιες περιπτώσεις είναι συνήθως πιο εύκολο να κάνετε έλεγχο παρά να βρείτε το ODZ.

Παράδειγμα 8

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Λύση

Ξεκινάμε εξετάζοντας ολόκληρη την εξίσωση (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0και να βρει τις ρίζες του. Για να γίνει αυτό, εφαρμόζουμε τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης. Αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο τεσσάρων εξισώσεων 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, εκ των οποίων οι τρεις είναι γραμμικές και το ένα είναι τετράγωνο. Βρίσκουμε τις ρίζες: από την πρώτη εξίσωση x = 1 2, από το δεύτερο x=6, από το τρίτο - x \u003d 7, x \u003d - 2, από το τέταρτο - x = − 1.

Ας ελέγξουμε τις αποκτηθείσες ρίζες. Είναι δύσκολο για εμάς να προσδιορίσουμε το ODZ σε αυτή την περίπτωση, αφού για αυτό θα πρέπει να λύσουμε μια αλγεβρική εξίσωση πέμπτου βαθμού. Θα είναι ευκολότερο να ελέγξετε την συνθήκη σύμφωνα με την οποία ο παρονομαστής του κλάσματος, που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, δεν πρέπει να εξαφανιστεί.

Στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις ρίζες στη θέση της μεταβλητής x στην παράσταση x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112και υπολογίστε την τιμή του:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≥;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Η επαλήθευση που πραγματοποιήθηκε μας επιτρέπει να διαπιστώσουμε ότι οι ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης είναι 1 2 , 6 και − 2 .

Απάντηση: 1 2 , 6 , - 2

Παράδειγμα 9

Να βρείτε τις ρίζες της κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Λύση

Ας ξεκινήσουμε με την εξίσωση (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Ας βρούμε τις ρίζες του. Είναι ευκολότερο για εμάς να αναπαραστήσουμε αυτήν την εξίσωση ως συνδυασμό τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων 5 x 2 - 7 x - 1 = 0και x − 2 = 0.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης για να βρούμε τις ρίζες. Παίρνουμε δύο ρίζες x = 7 ± 69 10 από την πρώτη εξίσωση και από τη δεύτερη x=2.

Η αντικατάσταση της τιμής των ριζών στην αρχική εξίσωση για να ελέγξουμε τις συνθήκες θα είναι αρκετά δύσκολη για εμάς. Θα είναι ευκολότερο να προσδιοριστεί το LPV της μεταβλητής x. Σε αυτήν την περίπτωση, το DPV της μεταβλητής x είναι όλοι οι αριθμοί, εκτός από αυτούς για τους οποίους η συνθήκη ικανοποιείται x 2 + 5 x − 14 = 0. Παίρνουμε: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Τώρα ας ελέγξουμε αν οι ρίζες που βρήκαμε ανήκουν στο εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x.

Οι ρίζες x = 7 ± 69 10 - ανήκουν, επομένως, είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, και x=2- δεν ανήκει, επομένως, είναι εξωγενής ρίζα.

Απάντηση: x = 7 ± 69 10 .

Ας εξετάσουμε χωριστά τις περιπτώσεις που ο αριθμητής μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης της μορφής p (x) q (x) = 0 περιέχει έναν αριθμό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, εάν ο αριθμητής περιέχει έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες. Εάν αυτός ο αριθμός είναι ίσος με μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης θα είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το ODZ.

Παράδειγμα 10

Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Λύση

Αυτή η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες, αφού ο αριθμητής του κλάσματος από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης περιέχει έναν μη μηδενικό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι για οποιεσδήποτε τιμές του x η τιμή του κλάσματος που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος δεν θα είναι ίση με μηδέν.

Απάντηση:χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα 11

Λύστε την εξίσωση 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Λύση

Εφόσον ο αριθμητής του κλάσματος είναι μηδέν, η λύση της εξίσωσης θα είναι οποιαδήποτε τιμή του x από τη μεταβλητή ODZ x.

Τώρα ας ορίσουμε το ODZ. Θα περιλαμβάνει όλες τις τιμές x για τις οποίες x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Λύσεις εξισώσεων x 4 + 5 x 3 = 0είναι 0 και − 5 , αφού αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 3 (x + 5) = 0, και αυτό, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμο με το σύνολο δύο εξισώσεων x 3 = 0 και x + 5 = 0όπου φαίνονται αυτές οι ρίζες. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το επιθυμητό εύρος αποδεκτών τιμών είναι οποιαδήποτε x, εκτός x=0και x = -5.

Αποδεικνύεται ότι η κλασματική ορθολογική εξίσωση 0 x 4 + 5 x 3 = 0 έχει έναν άπειρο αριθμό λύσεων, οι οποίες είναι οποιοιδήποτε αριθμοί εκτός από το μηδέν και το - 5.

Απάντηση: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Τώρα ας μιλήσουμε για κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις μιας αυθαίρετης μορφής και μεθόδους επίλυσής τους. Μπορούν να γραφτούν ως r(x) = s(x), όπου r(x)και s(x)είναι ορθολογικές εκφράσεις και τουλάχιστον μία από αυτές είναι κλασματική. Η λύση τέτοιων εξισώσεων ανάγεται στη λύση των εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 .

Γνωρίζουμε ήδη ότι μπορούμε να πάρουμε μια ισοδύναμη εξίσωση μεταφέροντας την έκφραση από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση r(x) = s(x)ισοδυναμεί με την εξίσωση r (x) − s (x) = 0. Έχουμε ήδη συζητήσει πώς να μετατρέψουμε μια ορθολογική έκφραση σε ορθολογικό κλάσμα. Χάρη σε αυτό, μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε την εξίσωση r (x) − s (x) = 0στο πανομοιότυπο ορθολογικό του κλάσμα της μορφής p (x) q (x) .

Έτσι κινούμαστε από την αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση r(x) = s(x)σε μια εξίσωση της μορφής p (x) q (x) = 0 , την οποία έχουμε ήδη μάθει πώς να λύνουμε.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι όταν κάνετε μεταβάσεις από r (x) − s (x) = 0σε p (x) q (x) = 0 και μετά σε p(x)=0ενδέχεται να μην λάβουμε υπόψη την επέκταση του εύρους των έγκυρων τιμών της μεταβλητής x.

Είναι αρκετά ρεαλιστικό ότι η αρχική εξίσωση r(x) = s(x)και εξίσωση p(x)=0ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, θα πάψουν να είναι ισοδύναμοι. Στη συνέχεια η λύση της εξίσωσης p(x)=0μπορεί να μας δώσει ρίζες που θα είναι ξένες r(x) = s(x). Από αυτή την άποψη, σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητο να διενεργείται έλεγχος με οποιαδήποτε από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω.

Για να σας διευκολύνουμε να μελετήσετε το θέμα, έχουμε γενικεύσει όλες τις πληροφορίες σε έναν αλγόριθμο για την επίλυση μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης της μορφής r(x) = s(x):

• μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και παίρνουμε μηδέν στα δεξιά.
• μετατρέπουμε την αρχική έκφραση σε ορθολογικό κλάσμα p (x) q (x) εκτελώντας διαδοχικά ενέργειες με κλάσματα και πολυώνυμα.
• λύσει την εξίσωση p(x)=0;
• αποκαλύπτουμε ξένες ρίζες ελέγχοντας ότι ανήκουν στο ODZ ή αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση.

Οπτικά, η αλυσίδα των ενεργειών θα μοιάζει με αυτό:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → εγκατάλειψη r o n d e r o o n s

Παράδειγμα 12

Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση x x + 1 = 1 x + 1 .

Λύση

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Ας μετατρέψουμε την κλασματική ορθολογική έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη μορφή p (x) q (x) .

Για να γίνει αυτό, πρέπει να μειώσουμε τα ορθολογικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και να απλοποιήσουμε την έκφραση:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Για να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση − 2 x − 1 = 0. Παίρνουμε μια ρίζα x = - 1 2.

Απομένει να κάνουμε τον έλεγχο με οποιαδήποτε από τις μεθόδους. Ας τα εξετάσουμε και τα δύο.

Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση. Παίρνουμε - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Φτάσαμε στη σωστή αριθμητική ισότητα − 1 = − 1 . Αυτό σημαίνει ότι x = − 1 2είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Τώρα θα ελέγξουμε μέσω του ODZ. Ας προσδιορίσουμε την περιοχή των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x. Αυτό θα είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών, εκτός από το − 1 και το 0 (όταν x = − 1 και x = 0, οι παρονομαστές των κλασμάτων εξαφανίζονται). Η ρίζα που πήραμε x = − 1 2ανήκει στην ΟΔΖ. Αυτό σημαίνει ότι είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: − 1 2 .

Παράδειγμα 13

Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Λύση

Έχουμε να κάνουμε με μια κλασματική ορθολογική εξίσωση. Επομένως, θα ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο.

Ας μετακινήσουμε την παράσταση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Ας πραγματοποιήσουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Φτάνουμε στην εξίσωση x=0. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι μηδέν.

Ας ελέγξουμε αν αυτή η ρίζα είναι ξένη για την αρχική εξίσωση. Αντικαταστήστε την τιμή στην αρχική εξίσωση: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση που προκύπτει δεν έχει νόημα. Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι μια ξένη ρίζα και η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση:χωρίς ρίζες.

Εάν δεν έχουμε συμπεριλάβει άλλους ισοδύναμους μετασχηματισμούς στον αλγόριθμο, αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο αλγόριθμος είναι καθολικός, αλλά έχει σχεδιαστεί για να βοηθά, όχι να περιορίζει.

Παράδειγμα 14

Λύστε την εξίσωση 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Λύση

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να λύσετε τη δεδομένη κλασματική ορθολογική εξίσωση σύμφωνα με τον αλγόριθμο. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος. Ας το αναλογιστούμε.

Αφαιρούμε από το δεξί και το αριστερό μέρος 7, παίρνουμε: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έκφραση στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς πρέπει να είναι ίση με τον αντίστροφο αριθμό του αριθμού από τη δεξιά πλευρά, δηλαδή 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Αφαιρέστε και από τα δύο μέρη 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Κατ' αναλογία 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, από όπου 1 5 - x 2 \u003d 1 3, και περαιτέρω 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Ας ελέγξουμε για να διαπιστώσουμε εάν οι ρίζες που βρέθηκαν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: x = ± 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

T. Kosyakova,
σχολείο N№ 80, Κρασνοντάρ

Επίλυση τετραγωνικών και κλασματικών-ορθολογικών εξισώσεων που περιέχουν παραμέτρους

Μάθημα 4

Θέμα μαθήματος:

Σκοπός του μαθήματος:να σχηματίσουν την ικανότητα επίλυσης κλασματικών-ορθολογικών εξισώσεων που περιέχουν παραμέτρους.

Τύπος μαθήματος:εισαγωγή νέου υλικού.

1. (Προφορικά.) Λύστε τις εξισώσεις:

Παράδειγμα 1. Λύστε την Εξίσωση

Λύση.

Βρείτε μη έγκυρες τιμές ένα:

Απάντηση. Αν ένα αν ένα = – 19 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα 2. Λύστε την Εξίσωση

Λύση.

Βρείτε μη έγκυρες τιμές παραμέτρων ένα :

10 – ένα = 5, ένα = 5;

10 – ένα = ένα, ένα = 5.

Απάντηση. Αν ένα ένα = 5 ένα № 5 , έπειτα x=10– ένα .

Παράδειγμα 3. Σε ποιες τιμές της παραμέτρου σι την εξίσωση Εχει:

α) δύο ρίζες β) η μόνη ρίζα;

Λύση.

1) Βρείτε μη έγκυρες τιμές παραμέτρων σι :

x= σι, σι 2 (σι 2 – 1) – 2σι 3 + σι 2 = 0, σι 4 – 2σι 3 = 0,
σι= 0 ή σι = 2;
x = 2, 4( σι 2 – 1) – 4σι 2 + σι 2 = 0, σι 2 – 4 = 0, (σι – 2)(σι + 2) = 0,
σι= 2 ή σι = – 2.

2) Λύστε την εξίσωση x 2 ( σι 2 – 1) – 2σι 2x+ σι 2 = 0:

D=4 σι 4 – 4σι 2 (σι 2 – 1), D = 4 σι 2 .

ένα)

Εξαίρεση μη έγκυρων τιμών παραμέτρων σι , παίρνουμε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, αν σι № – 2, σι № – 1, σι № 0, σι № 1, σι № 2 .

σι) 4σι 2 = 0, σι = 0, αλλά αυτή είναι μια μη έγκυρη τιμή παραμέτρου σι ; αν σι 2 –1=0 , δηλ. σι=1 ή.

Απάντηση: α) αν σι № –2 , σι № –1, σι № 0, σι № 1, σι № 2 , μετά δύο ρίζες? β) εάν σι=1 ή b=-1 , τότε η μόνη ρίζα.

Ανεξάρτητη εργασία

Επιλογή 1

Λύστε τις εξισώσεις:

Επιλογή 2

Λύστε τις εξισώσεις:

Απαντήσεις

ΣΕ 1. κι αν ένα=3 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν β) εάν εάν ένα № 2 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες.

ΣΤΟ 2.Αν ένα ένα=2 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν ένα=0 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν
β) εάν ένα=– 1 , τότε η εξίσωση χάνει το νόημά της. αν τοτε δεν υπαρχουν ριζες?
αν

Εργασία για το σπίτι.

Λύστε τις εξισώσεις:

Απαντήσεις: α) Αν ένα № –2 , έπειτα x= ένα ; αν ένα=–2 , τότε δεν υπάρχουν λύσεις? β) εάν ένα № –2 , έπειτα x=2; αν ένα=–2 , τότε δεν υπάρχουν λύσεις? γ) εάν ένα=–2 , έπειτα Χ- οποιονδήποτε αριθμό εκτός από 3 ; αν ένα № –2 , έπειτα x=2; δ) εάν ένα=–8 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν ένα=2 , τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν

Μάθημα 5

Θέμα μαθήματος:«Επίλυση Κλασματικών-Ορθολογικών Εξισώσεων Περιεχομένων Παραμέτρων».

Στόχοι μαθήματος:

εκμάθηση επίλυσης εξισώσεων με μη τυπική συνθήκη.
συνειδητή αφομοίωση από τους μαθητές των αλγεβρικών εννοιών και των σχέσεων μεταξύ τους.

Τύπος μαθήματος:συστηματοποίηση και γενίκευση.

Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.

Παράδειγμα 1. Λύστε την Εξίσωση

α) σε σχέση με το x; β) σε σχέση με το y.

Λύση.

α) Βρείτε μη έγκυρες τιμές y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– μη έγκυρη τιμή παραμέτρου y.

Αν ένα y№ 0 , έπειτα x=y-2; αν y=0, τότε η εξίσωση χάνει το νόημά της.

β) Βρείτε μη έγκυρες τιμές παραμέτρων Χ: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– μη έγκυρη τιμή παραμέτρου Χ; y(2+x-y)=0, y=0ή y=2+x;

y=0δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση y(y–x)№ 0 .

Απάντηση: α) αν y=0, τότε η εξίσωση χάνει το νόημά της. αν y№ 0 , έπειτα x=y-2; β) εάν x=0 Χ№ 0 , έπειτα y=2+x .

Παράδειγμα 2. Για ποιες ακέραιες τιμές της παραμέτρου a είναι οι ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα

D = (3 ένα + 2) 2 – 4ένα(ένα+ 1) 2 = 9 ένα 2 + 12ένα + 4 – 8ένα 2 – 8ένα,

D = ( ένα + 2) 2 .

Αν ένα ένα № 0 ή ένα № – 1 , έπειτα

Απάντηση: 5 .

Παράδειγμα 3. Βρείτε σχετικά Χολόκληρες λύσεις της εξίσωσης

Απάντηση. Αν ένα y=0, τότε η εξίσωση δεν έχει νόημα. αν y=–1, έπειτα Χ- οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός εκτός από το μηδέν. αν y# 0, y# – 1, τότε δεν υπάρχουν λύσεις.

Παράδειγμα 4Λύστε την Εξίσωση με παραμέτρους ένα και σι .

Αν ένα ένα№ – β , έπειτα

Απάντηση. Αν ένα α= 0 ή b= 0 , τότε η εξίσωση χάνει το νόημά της. αν ένα№ 0,β№ 0, a=-b , έπειτα Χ- οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν. αν ένα№ 0,β№ 0,α№ -σι έπειτα x=-a, x=-b .

Παράδειγμα 5. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε μη μηδενική τιμή της παραμέτρου n, η εξίσωση έχει μια ρίζα ίση με – n .

Λύση.

δηλ. x=-n, που έπρεπε να αποδειχτεί.

Εργασία για το σπίτι.

1. Βρείτε ολόκληρες λύσεις της εξίσωσης

2. Σε ποιες τιμές της παραμέτρου ντοτην εξίσωση Εχει:
α) δύο ρίζες β) η μόνη ρίζα;

3. Βρείτε όλες τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης αν έναΟ Ν .

4. Λύστε την εξίσωση 3xy - 5x + 5y = 7:α) σχετικά y; β) σχετικά Χ .

1. Η εξίσωση ικανοποιείται από οποιεσδήποτε ακέραιες ίσες τιμές x και y εκτός από το μηδέν.
2. α) Πότε
β) στο ή
3. – 12; – 9; 0 .
4. α) Αν τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν
β) αν τότε δεν υπάρχουν ρίζες? αν

Δοκιμή

Επιλογή 1

1. Προσδιορίστε το είδος της εξίσωσης 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 σε: α) c=-3; σι) c=2 ;σε) c=4 .

2. Λύστε τις εξισώσεις: α) x 2 –bx=0;σι) cx 2 –6x+1=0; σε)

3. Λύστε την εξίσωση 3x-xy-2y=1:

α) σχετικά Χ ;
β) σχετικά y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,γνωρίζοντας ότι η παράμετρος n παίρνει μόνο ακέραιες τιμές.

5. Για ποιες τιμές του b κάνει η εξίσωση Εχει:

α) δύο ρίζες
β) η μόνη ρίζα;

Επιλογή 2

1. Προσδιορίστε το είδος της εξίσωσης 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0σε: α) c=-4;σι) c=7 ;σε) c=1 .

2. Λύστε τις εξισώσεις: α) y 2 +cy=0 ;σι) ny2 –8y+2=0;σε)

3. Λύστε την εξίσωση 6x-xy+2y=5:

α) σχετικά Χ ;
β) σχετικά y .

4. Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης nx 2 -22x+2n=0,γνωρίζοντας ότι η παράμετρος n παίρνει μόνο ακέραιες τιμές.

5. Για ποιες τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση Εχει:

α) δύο ρίζες
β) η μόνη ρίζα;

Απαντήσεις

ΣΕ 1. 1. α) Γραμμική εξίσωση.
β) ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. γ) μια τετραγωνική εξίσωση.
2. α) Αν b=0, έπειτα x=0; αν b#0, έπειτα x=0, x=b;
σι) αν cО (9;+Ґ ), τότε δεν υπάρχουν ρίζες.
γ) εάν ένα=–4 , τότε η εξίσωση χάνει το νόημά της. αν ένα№ –4 , έπειτα x=- ένα .
3. α) Αν y=3, τότε δεν υπάρχουν ρίζες. αν);
σι) ένα=–3, ένα=1.

Πρόσθετες εργασίες

Λύστε τις εξισώσεις:

Βιβλιογραφία

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Σχετικά με τις παραμέτρους από την αρχή. - Φροντιστήριο, Αρ. 2/1991, σελ. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Απαραίτητες προϋποθέσεις σε εργασίες με παραμέτρους. – Kvant, Αρ. 11/1991, σελ. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Επίλυση προβλήματος, που περιέχει παραμέτρους. Μέρος 2. - Μ., Προοπτική, 1990, σελ. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Πεντακόσιες δεκατέσσερις εργασίες με παραμέτρους. - Βόλγκογκραντ, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Εργασίες με παραμέτρους. - Μ., Εκπαίδευση, 1986.

Παρουσίαση και μάθημα με θέμα: "Ορθολογικές εξισώσεις. Αλγόριθμος και παραδείγματα επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την τάξη 8
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Makarychev Yu.N. Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Mordkovich A.G.

Εισαγωγή στις παράλογες εξισώσεις

Παιδιά, μάθαμε πώς να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Όμως τα μαθηματικά δεν περιορίζονται σε αυτά. Σήμερα θα μάθουμε πώς να λύνουμε ορθολογικές εξισώσεις. Η έννοια των ορθολογικών εξισώσεων είναι από πολλές απόψεις παρόμοια με την έννοια των ρητών αριθμών. Μόνο που εκτός από τους αριθμούς, τώρα έχουμε εισαγάγει κάποια μεταβλητή $x$. Και έτσι παίρνουμε μια έκφραση στην οποία υπάρχουν πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αύξησης σε μια ακέραια δύναμη.

Έστω $r(x)$ ορθολογική έκφραση. Μια τέτοια έκφραση μπορεί να είναι ένα απλό πολυώνυμο στη μεταβλητή $x$ ή μια αναλογία πολυωνύμων (εισάγεται η λειτουργία της διαίρεσης, όπως για τους ρητούς αριθμούς).
Καλείται η εξίσωση $r(x)=0$ ορθολογική εξίσωση.
Οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής $p(x)=q(x)$, όπου η $p(x)$ και η $q(x)$ είναι ορθολογικές εκφράσεις, θα είναι επίσης ορθολογική εξίσωση.

Εξετάστε παραδείγματα επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων.

Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Λύση.
Ας μετακινήσουμε όλες τις παραστάσεις στην αριστερή πλευρά: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Αν παριστάνονταν η αριστερή πλευρά της εξίσωσης κανονικούς αριθμούς, τότε θα φέρναμε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Ας κάνουμε αυτό: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Πήραμε την εξίσωση: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ένα κλάσμα είναι μηδέν αν και μόνο αν ο αριθμητής του κλάσματος είναι μηδέν και ο παρονομαστής είναι μη μηδέν. Στη συνέχεια, εξισώστε χωριστά τον αριθμητή με το μηδέν και βρείτε τις ρίζες του αριθμητή.
$3(x^2+2x-3)=0$ ή $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Τώρα ας ελέγξουμε τον παρονομαστή του κλάσματος: $(x-3)*x≠0$.
Το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι ίσος με μηδέν. Τότε: $x≠0$ ή $x-3≠0$.
$x≠0$ ή $x≠3$.
Οι ρίζες που λαμβάνονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή δεν ταιριάζουν. Ως απάντηση, λοιπόν, γράφουμε και τις δύο ρίζες του αριθμητή.
Απάντηση: $x=1$ ή $x=-3$.

Εάν ξαφνικά, μια από τις ρίζες του αριθμητή συμπίπτει με τη ρίζα του παρονομαστή, τότε θα πρέπει να εξαιρεθεί. Τέτοιες ρίζες ονομάζονται εξωγενείς!

Αλγόριθμος για την επίλυση ορθολογικών εξισώσεων:

1. Όλες οι εκφράσεις που περιέχονται στην εξίσωση πρέπει να μεταφερθούν σε αριστερή πλευράαπό το σύμβολο του ίσου.
2. Μετατρέψτε αυτό το μέρος της εξίσωσης σε αλγεβρικό κλάσμα: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Εξισώστε τον αριθμητή που προκύπτει με μηδέν, δηλαδή λύστε την εξίσωση $p(x)=0$.
4. Εξισώστε τον παρονομαστή με μηδέν και λύστε την εξίσωση που προκύπτει. Εάν οι ρίζες του παρονομαστή συμπίπτουν με τις ρίζες του αριθμητή, τότε θα πρέπει να εξαιρεθούν από την απάντηση.

Παράδειγμα 2
Λύστε την εξίσωση: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Λύση.
Θα λύσουμε σύμφωνα με τα σημεία του αλγορίθμου.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Εξισώστε τον αριθμητή με μηδέν: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Εξισώστε τον παρονομαστή με μηδέν:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ και $x=-1$.
Μία από τις ρίζες $x=1$ συνέπεσε με τη ρίζα του αριθμητή, τότε δεν τη γράφουμε ως απάντηση.
Απάντηση: $x=-1$.

Είναι βολικό να λύνουμε ορθολογικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητών. Ας το αποδείξουμε.

Παράδειγμα 3
Λύστε την εξίσωση: $x^4+12x^2-64=0$.

Λύση.
Εισάγουμε μια αντικατάσταση: $t=x^2$.
Τότε η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:
Η $t^2+12t-64=0$ είναι μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Ας εισάγουμε μια αντίστροφη αντικατάσταση: $x^2=4$ ή $x^2=-16$.
Οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είναι ένα ζεύγος αριθμών $x=±2$. Το δεύτερο δεν έχει ρίζες.
Απάντηση: $x=±2$.

Παράδειγμα 4
Λύστε την εξίσωση: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Λύση.
Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή: $t=x^2+x+1$.
Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: $t=\frac(15)(t+2)$.
Στη συνέχεια, θα ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - οι ρίζες δεν ταιριάζουν.
Εισάγουμε μια αντίστροφη αντικατάσταση.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Ας λύσουμε κάθε εξίσωση χωριστά:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - όχι ρίζες.
Και η δεύτερη εξίσωση: $x^2+x-2=0$.
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί $x=-2$ και $x=1$.
Απάντηση: $x=-2$ και $x=1$.

Παράδειγμα 5
Λύστε την εξίσωση: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Λύση.
Εισάγουμε μια αντικατάσταση: $t=x+\frac(1)(x)$.
Επειτα:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ή $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Πήραμε την εξίσωση: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι το ζεύγος:
$t=-3$ και $t=2$.
Ας εισάγουμε την αντίστροφη αντικατάσταση:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Θα αποφασίσουμε χωριστά.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός $x=1$.
Απάντηση: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Επίλυση εξισώσεων:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.