Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς πώς μείωση του κλάσματος. Αρχικά, ας μιλήσουμε για αυτό που ονομάζεται μείωση κλασμάτων. Μετά από αυτό, ας μιλήσουμε για τη μείωση ενός αναγώγιμου κλάσματος σε μια μη αναγώγιμη μορφή. Στη συνέχεια, παίρνουμε τον κανόνα για τη μείωση των κλασμάτων και, τέλος, εξετάζουμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;
Γνωρίζουμε ότι τα συνηθισμένα κλάσματα υποδιαιρούνται σε αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα. Από τα ονόματα, μπορείτε να μαντέψετε ότι τα αναγώγιμα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, αλλά τα μη αναγώγιμα όχι.
Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος; Μειώστε το κλάσμα- αυτό σημαίνει διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του με το θετικό και το μη ένα. Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα της αναγωγής του κλάσματος, λαμβάνεται ένα νέο κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή και, λόγω της κύριας ιδιότητας του κλάσματος, το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσο με το αρχικό.
Για παράδειγμα, ας μειώσουμε το κοινό κλάσμα 8/24 διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με το 2. Με άλλα λόγια, ας μειώσουμε το κλάσμα 8/24 κατά 2. Αφού 8:2=4 και 24:2=12, ως αποτέλεσμα αυτής της αναγωγής, προκύπτει το κλάσμα 4/12, το οποίο είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα 8/24 (βλ. ίσα και άνισα κλάσματα). Ως αποτέλεσμα, έχουμε .
Αναγωγή συνηθισμένων κλασμάτων σε μη αναγώγιμη μορφή
Συνήθως, ο τελικός στόχος της αναγωγής του κλάσματος είναι να ληφθεί ένα μη αναγώγιμο κλάσμα που να είναι ίσο με το αρχικό αναγώγιμο κλάσμα. Αυτός ο στόχος μπορεί να επιτευχθεί με τη μείωση του αρχικού μειωμένου κλάσματος με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του. Αυτή η μείωση οδηγεί πάντα σε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα. Πράγματι, κλάσμα 
είναι μη αναγώγιμη, αφού είναι γνωστό ότι 
Και 
- . Εδώ λέμε ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός με τον οποίο μπορεί να μειωθεί αυτό το κλάσμα.
Ετσι, αναγωγή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφήσυνίσταται στη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του αρχικού μειωμένου κλάσματος με το GCD τους.
Ας αναλύσουμε ένα παράδειγμα, για το οποίο επιστρέφουμε στο κλάσμα 8/24 και το μειώνουμε με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 8 και 24, που ισούται με 8. Αφού 8:8=1 και 24:8=3, φτάνουμε στο μη αναγώγιμο κλάσμα 1/3. Ετσι, .
Σημειώστε ότι η φράση "μείωση του κλάσματος" συχνά σημαίνει μείωση του αρχικού κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή. Με άλλα λόγια, η μείωση του κλάσματος αναφέρεται πολύ συχνά ως διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους (και όχι με κανέναν από τους κοινούς διαιρέτες τους).
Πώς να μειώσετε ένα κλάσμα; Κανόνας και παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων
Απομένει μόνο να αναλύσουμε τον κανόνα για τη μείωση των κλασμάτων, ο οποίος εξηγεί πώς να μειώσετε αυτό το κλάσμα.
Κανόνας μείωσης κλασμάτωναποτελείται από δύο βήματα:
- Πρώτον, βρίσκεται το GCD του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος.
- δεύτερον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρούνται με το GCD τους, το οποίο δίνει ένα μη αναγώγιμο κλάσμα ίσο με το αρχικό.
Ας αναλύσουμε Παράδειγμα μείωσης κλασμάτωνσύμφωνα με τον δεδομένο κανόνα.
Παράδειγμα.
Μειώστε το κλάσμα 182/195.
Λύση.
Ας κάνουμε και τα δύο βήματα που ορίζονται από τον κανόνα μείωσης κλασμάτων.
Πρώτα βρίσκουμε το gcd(182, 195) . Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (βλ.): 195=182 1+13 , 182=13 14 , δηλαδή gcd(182, 195)=13 .
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος 182/195 με το 13, ενώ παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 14/15, το οποίο είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα. Αυτό ολοκληρώνει τη μείωση του κλάσματος.
Εν συντομία, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Απάντηση:
Σε αυτό, με τη μείωση των κλασμάτων, μπορείτε να ολοκληρώσετε. Αλλά για να συμπληρώσετε την εικόνα, εξετάστε δύο ακόμη τρόπους μείωσης των κλασμάτων, που συνήθως χρησιμοποιούνται σε ήπιες περιπτώσεις.
Μερικές φορές ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός μειωμένου κλάσματος είναι εύκολος. Η μείωση του κλάσματος σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ απλή: απλά πρέπει να αφαιρέσετε όλους τους κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος προκύπτει άμεσα από τον κανόνα της μείωσης του κλάσματος, αφού το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ίσο με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους.
Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα παράδειγμα λύσης.
Παράδειγμα.
Μειώστε το κλάσμα 360/2940.
Λύση.
Ας αναλύσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρωταρχικούς παράγοντες: 360=2 2 2 3 3 5 και 2 940=2 2 3 5 7 7 . Ετσι, 
.
Τώρα απαλλαγούμε από τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή, για ευκολία, απλώς τους διαγράφουμε: 
.
Τέλος, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές: , και ολοκληρώνεται η αναγωγή του κλάσματος.
Εδώ σύντομη είσοδοςλύσεις: 
.
Απάντηση:
Εξετάστε έναν άλλο τρόπο μείωσης ενός κλάσματος, ο οποίος συνίσταται στη διαδοχική αναγωγή. Εδώ, σε κάθε βήμα, το κλάσμα μειώνεται από κάποιον κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος είναι είτε προφανής είτε εύκολα προσδιοριζόμενος χρησιμοποιώντας
Διαίρεσηκαι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης, που είναι διαφορετικό από την ενότητα, λέγεται μείωση του κλάσματος.
Για να μειώσετε ένα κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.
Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.
Τα παρακάτω είναι πιθανά έντυπα αρχείου αποφάσεωνΠαραδείγματα αναγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.
Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.
Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.
διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).
Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7.
Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.
Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.
Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4)
επί 5 7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή που λαμβάνονται στη δύναμη με τον μικρότερο εκθέτη.
Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε απλούς παράγοντες.
Παίρνουμε: 756=2² 3³ 7Και 1176=2³ 3 7².
Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .
Αυτό είναι το προϊόν των κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους μικρότερους εκθέτες.
gcd(756; 1176)= 2² 3 7.
Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το GCD τους, δηλ. 2² 3 7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14
.
Και ήταν δυνατόν να γραφτούν οι επεκτάσεις του αριθμητή και του παρονομαστή ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια του βαθμού, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όταν δεν υπάρχουν πανομοιότυποι παράγοντες, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .
Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας τα σημάδια της διαίρεσης των αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Σκεφτείτε ως εξής: αριθμοί 756 Και 1176 τέλος άρτιο ψηφίο, άρα και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του νέου κλάσματος είναι αριθμοί 378 Και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 είναι περίεργο και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε το πρόσημο της διαιρετότητας των αριθμών 189 Και 294 επί 3 .
Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 Και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Περαιτέρω, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Οχι. Επανάληψη έναντι άλλων πρωταρχικών παραγόντων. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και πάρτε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .
Φτάσαμε λοιπόν στη μείωση. Εδώ εφαρμόζεται η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. ΑΛΛΑ! Όχι τόσο απλό. Με πολλά κλάσματα (συμπεριλαμβανομένων αυτών από το σχολικό μάθημα), είναι πολύ πιθανό να τα βγάλεις πέρα. Και αν πάρεις κλάσματα «πιο απότομα»; Ας μάθουμε περισσότερα!Συνιστώ να κοιτάξετε υλικά με κλάσματα.Έτσι, γνωρίζουμε ήδη ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν θα αλλάξει από αυτό. Εξετάστε τρεις προσεγγίσεις:
Πρώτη προσέγγιση.
Για μείωση, διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν κοινό διαιρέτη. Εξετάστε παραδείγματα:
Ας συντομεύσουμε:
Στα παραπάνω παραδείγματα, βλέπουμε αμέσως ποιους διαιρέτες να πάρουμε για αναγωγή. Η διαδικασία είναι απλή - επαναλαμβάνουμε πάνω από 2,3.4,5 και ούτω καθεξής. Στα περισσότερα παραδείγματα σχολικών μαθημάτων, αυτό είναι αρκετά. Αν όμως υπάρχει κλάσμα:
Εδώ η διαδικασία με την επιλογή των διαχωριστικών μπορεί να διαρκέσει για μεγάλο χρονικό διάστημα;). Φυσικά, τέτοια παραδείγματα βρίσκονται εκτός του σχολικού προγράμματος σπουδών, αλλά πρέπει να είστε σε θέση να τα αντιμετωπίσετε. Ας ρίξουμε μια ματιά στο πώς γίνεται αυτό παρακάτω. Στο μεταξύ, επιστρέψτε στη διαδικασία μείωσης.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να μειώσουμε το κλάσμα, πραγματοποιήσαμε τη διαίρεση με τον κοινό διαιρέτη που ορίσαμε. Ολα είναι σωστά! Αρκεί να προσθέσουμε πρόσημα διαιρετότητας των αριθμών:
Αν ο αριθμός είναι ζυγός τότε διαιρείται με το 2.
- αν ο αριθμός των δύο τελευταίων ψηφίων διαιρείται με το 4, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 4.
- αν το άθροισμα των ψηφίων που απαρτίζουν τον αριθμό διαιρείται με το 3, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 3. Για παράδειγμα, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Το δώδεκα διαιρείται με το 3, άρα το 123031 διαιρείται με το 3.
- αν ο αριθμός τελειώνει με 5 ή 0, τότε ο αριθμός διαιρείται με το 5.
- αν το άθροισμα των ψηφίων που απαρτίζουν τον αριθμό διαιρείται με το 9, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 9. Για παράδειγμα 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Το δεκαοκτώ διαιρείται με το 9, άρα το 623032 διαιρείται με το 9.
Δεύτερη προσέγγιση.
Εν ολίγοις, η ουσία, τότε στην πραγματικότητα η όλη δράση καταλήγει στην αποσύνθεση του αριθμητή και του παρονομαστή σε παράγοντες και στη συνέχεια στη μείωση των ίσων παραγόντων στον αριθμητή και στον παρονομαστή (αυτή η προσέγγιση είναι συνέπεια της πρώτης προσέγγισης):
Οπτικά για να μην μπερδευτούμε και να μην κάνουμε λάθος απλά διαγράφονται ίσοι πολλαπλασιαστές. Το ερώτημα είναι πώς να παραγοντοποιήσετε έναν αριθμό; Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν με απαρίθμηση όλοι οι διαιρέτες. Αυτό είναι ένα ξεχωριστό θέμα, είναι απλό, δείτε τις πληροφορίες σε ένα σχολικό βιβλίο ή στο Διαδίκτυο. Δεν θα συναντήσετε μεγάλα προβλήματα με την παραγοντοποίηση των αριθμών που υπάρχουν στα κλάσματα του σχολικού μαθήματος.
Επίσημα, η αρχή της μείωσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Τρίτη προσέγγιση.
Εδώ είναι το πιο ενδιαφέρον για προχωρημένους και όσους θέλουν να γίνουν αυτοί. Ας μειώσουμε το κλάσμα 143/273. Δοκιμάστε το μόνοι σας! Λοιπόν, πόσο γρήγορα έγινε; Και τώρα κοίτα!
Το αναποδογυρίζουμε (ο αριθμητής και ο παρονομαστής εναλλάσσονται). Διαιρούμε το κλάσμα που προκύπτει σε έναν μικτό αριθμό με μια γωνία, δηλαδή επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος:
Ήδη πιο εύκολο. Βλέπουμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να μειωθούν κατά 13:
Και τώρα μην ξεχάσετε να γυρίσετε ξανά το κλάσμα, ας γράψουμε ολόκληρη την αλυσίδα:
Ελεγμένο - χρειάζεται λιγότερος χρόνος από την αναζήτηση και τον έλεγχο διαιρετών. Ας επιστρέψουμε στα δύο παραδείγματά μας:
Πρώτα. Διαιρούμε με μια γωνία (όχι σε μια αριθμομηχανή), παίρνουμε:
Αυτό το κλάσμα είναι φυσικά πιο απλό, αλλά υπάρχει και πάλι πρόβλημα με τη μείωση. Τώρα αναλύουμε ξεχωριστά το κλάσμα 1273/1463, το αναποδογυρίζουμε:
Είναι ήδη πιο εύκολο εδώ. Μπορούμε να θεωρήσουμε έναν τέτοιο διαιρέτη ως 19. Οι υπόλοιποι δεν χωρούν, φαίνεται: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ωραία! Ας γράψουμε:
Επόμενο παράδειγμα. Ας κόψουμε 88179/2717.
Χωρίζουμε, παίρνουμε:
Ξεχωριστά, αναλύουμε το κλάσμα 1235/2717, το αναποδογυρίζουμε:
Μπορούμε να θεωρήσουμε έναν τέτοιο διαιρέτη ως 13 (μέχρι 13 δεν είναι κατάλληλοι):
Αριθμητής 247:13=19 Παρονομαστής 1235:13=95
*Στην πορεία είδαμε έναν άλλο διαιρέτη ίσο με 19. Αποδεικνύεται ότι:
Τώρα γράψτε τον αρχικό αριθμό:
Και δεν έχει σημασία τι θα είναι περισσότερο στο κλάσμα - ο αριθμητής ή ο παρονομαστής, αν είναι ο παρονομαστής, τότε αναποδογυρίζουμε και ενεργούμε όπως περιγράφεται. Έτσι, μπορούμε να μειώσουμε οποιοδήποτε κλάσμα, η τρίτη προσέγγιση μπορεί να ονομαστεί καθολική.
Φυσικά, τα δύο παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω δεν είναι απλά παραδείγματα. Ας δοκιμάσουμε αυτήν την τεχνολογία στα «απλά» κλάσματα που έχουμε ήδη εξετάσει:
Δύο τέταρτα.
Εβδομήντα δύο εξήντα. Ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, δεν χρειάζεται να αναστρέψετε:
Φυσικά, η τρίτη προσέγγιση εφαρμόστηκε σε τέτοια απλά παραδείγματααπλώς ως εναλλακτική. Η μέθοδος, όπως ήδη αναφέρθηκε, είναι καθολική, αλλά όχι βολική και σωστή για όλα τα κλάσματα, ειδικά για τα απλά.
Η ποικιλία των κλασμάτων είναι μεγάλη. Είναι σημαντικό να μάθετε ακριβώς τις αρχές. Απλώς δεν υπάρχει αυστηρός κανόνας για την εργασία με κλάσματα. Ψάξαμε, καταλάβαμε πώς θα ήταν πιο βολικό να δράσουμε και να προχωρήσουμε. Με την εξάσκηση, θα έρθει το skill και θα τα πατήσετε σαν σπόροι.
Συμπέρασμα:
Αν δείτε έναν κοινό διαιρέτη(-ους) για τον αριθμητή και τον παρονομαστή, χρησιμοποιήστε τους για μείωση.
Εάν ξέρετε πώς να παραγοντοποιείτε γρήγορα έναν αριθμό, τότε αποσυνθέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και μετά μειώστε.
Εάν δεν μπορείτε να προσδιορίσετε τον κοινό διαιρέτη με κανέναν τρόπο, χρησιμοποιήστε την τρίτη προσέγγιση.
*Για να μειώσετε τα κλάσματα, είναι σημαντικό να μάθετε τις αρχές της αναγωγής, να κατανοήσετε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, να γνωρίζετε τις προσεγγίσεις για την επίλυση και να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό.
Και θυμήσου! Συνηθίζεται να ανάγουμε ένα κλάσμα στο στοπ, δηλαδή να το μειώνουμε ενώ υπάρχει κοινός διαιρέτης.
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
Η μείωση των κλασμάτων είναι απαραίτητη για να αυξηθεί το κλάσμα κοινή θέα, για παράδειγμα, στην απάντηση που λήφθηκε ως αποτέλεσμα της επίλυσης της έκφρασης.
Αναγωγή κλασμάτων, ορισμός και τύπος.
Τι είναι η μείωση του κλάσματος; Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;
Ορισμός:
Αναγωγή κλασμάτων- αυτή είναι η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος με τον ίδιο θετικό αριθμό που δεν ισούται με μηδέν και ένα. Ως αποτέλεσμα της αναγωγής, προκύπτει ένα κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή, ίσο με το προηγούμενο κλάσμα σύμφωνα με.
Τύπος μείωσης κλασμάτωνβασική ιδιότητα των ρητών αριθμών.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα \(\frac(9)(15)\)
Λύση:
Μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ένα κλάσμα σε πρώτους παράγοντες και να μειώσουμε τους κοινούς παράγοντες.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Απάντηση: μετά την αναγωγή πήραμε το κλάσμα \(\frac(3)(5)\). Σύμφωνα με την κύρια ιδιότητα των ρητών αριθμών, το αρχικό και το προκύπτον κλάσμα είναι ίσα.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Πώς να μειώσετε τα κλάσματα; Αναγωγή κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή.
Για να πάρουμε ως αποτέλεσμα ένα μη αναγώγιμο κλάσμα, χρειαζόμαστε βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (gcd)για τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εύρεσης του GCD, θα χρησιμοποιήσουμε την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες στο παράδειγμα.
Λάβετε το μη αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(48)(136)\).
Λύση:
Βρείτε το GCD(48, 136). Ας γράψουμε τους αριθμούς 48 και 136 σε πρώτους παράγοντες.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \ φορές 2 \ φορές 3) (\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Ο κανόνας για την αναγωγή ενός κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή.
- Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
- Πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη ως αποτέλεσμα της διαίρεσης για να λάβετε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.
Παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα \(\frac(152)(168)\).
Λύση:
Βρείτε το GCD(152, 168). Ας γράψουμε τους αριθμούς 152 και 168 σε πρώτους παράγοντες.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(κόκκινο) (6) \times 19)(\color(κόκκινο) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Απάντηση: Το \(\frac(19)(21)\) είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.
Συντομογραφία ακατάλληλου κλάσματος.
Πώς να κόψετε ακατάλληλο κλάσμα?
Οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων για σωστά και ακατάλληλα κλάσματα είναι οι ίδιοι.
Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(44)(32)\).
Λύση:
Ας γράψουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες. Και μετά μειώνουμε τους κοινούς παράγοντες.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 11)(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 2 \ φορές 2 \ φορές 2 )=\frac(11)(2 \φορές 2 \φόρες 2)=\frac(11)(8)\)
Μείωση μικτών κλασμάτων.
Τα μικτά κλάσματα ακολουθούν τους ίδιους κανόνες με τα συνηθισμένα κλάσματα. Η μόνη διαφορά είναι ότι μπορούμε μην αγγίζετε ολόκληρο το μέρος, αλλά μειώνετε το κλασματικό μέροςή Μετατρέψτε ένα μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα, μειώστε και μετατρέψτε ξανά σε σωστό κλάσμα.
Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το μικτό κλάσμα \(2\frac(30)(45)\).
Λύση:
Ας το λύσουμε με δύο τρόπους:
Πρώτος τρόπος:
Θα γράψουμε το κλασματικό μέρος σε πρώτους παράγοντες και δεν θα αγγίξουμε το ακέραιο μέρος.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Δεύτερος τρόπος:
Πρώτα μεταφράζουμε σε ακατάλληλο κλάσμα και μετά το γράφουμε σε πρώτους παράγοντες και το μειώνουμε. Μετατρέψτε το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει σε σωστό.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(κόκκινο) (5 \φορές 3) \ φορές 2 \ φορές 2) (3 \ φορές \ χρώμα (κόκκινο) (3 \ φορές 5)) =\ frac (2 \ φορές 2 \ φορές 2) (3) =\ frac (8) (3)= 2\frac(2)(3)\)
Σχετικές ερωτήσεις:
Μπορούν τα κλάσματα να μειωθούν κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση;
Απάντηση: όχι, πρέπει πρώτα να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα σύμφωνα με τους κανόνες και μόνο στη συνέχεια να μειώσετε. Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Αξιολογήστε την έκφραση \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Λύση:
Συχνά κάνουν το λάθος να κόψουν ίδιοι αριθμοίστον αριθμητή και στον παρονομαστή στην περίπτωσή μας, ο αριθμός είναι 20, αλλά δεν μπορούν να μειωθούν μέχρι να κάνετε πρόσθεση και αφαίρεση.
\(\frac(50+\color(κόκκινο) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Με ποιον αριθμό μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη ή τον συνήθη διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(100)(150)\).
Ας γράψουμε τους αριθμούς 100 και 150 σε πρώτους παράγοντες.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης θα είναι ο αριθμός των gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Πήραμε το μη αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(2)(3)\).
Αλλά δεν είναι απαραίτητο να διαιρείτε πάντα με GCD, δεν χρειάζεται πάντα ένα μη αναγώγιμο κλάσμα, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα με έναν απλό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή. Για παράδειγμα, ο αριθμός 100 και 150 έχουν κοινό διαιρέτη 2. Ας μειώσουμε το κλάσμα \(\frac(100)(150)\) κατά 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Πήραμε το μειωμένο κλάσμα \(\frac(50)(75)\).
Ποια κλάσματα μπορούν να μειωθούν;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινό διαιρέτη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(4)(8)\). Οι αριθμοί 4 και 8 έχουν έναν αριθμό με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο με αυτόν τον αριθμό 2. Επομένως, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά τον αριθμό 2.
Παράδειγμα:
Συγκρίνετε δύο κλάσματα \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(8)(12)\).
Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ίσα. Εξετάστε το κλάσμα \(\frac(8)(12)\) λεπτομερώς:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Από εδώ παίρνουμε, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Δύο κλάσματα είναι ίσα αν και μόνο αν ένα από αυτά προκύπτει αναγωγή του άλλου κλάσματος με έναν κοινό παράγοντα του αριθμητή και του παρονομαστή.
Παράδειγμα:
Μειώστε τα ακόλουθα κλάσματα αν είναι δυνατόν: α) \(\frac(90)(65)\) β) \(\frac(27)(63)\) γ) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)
Λύση:
α) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ φορές 3 \ φορές 3)(13)=\frac(18)(13)\)
β) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(κόκκινο) (3 \ φορές 3) \times 3)(\color(κόκκινο) (3 \φορές 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
γ) \(\frac(17)(100)\) μη αναγώγιμο κλάσμα
δ) \(\frac(100)(250)=\frac(\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 2) (\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 5)=\frac(2)(5)\)
Αριθμομηχανή σε απευθείας σύνδεση αποδίδει μείωση αλγεβρικών κλασμάτωνσύμφωνα με τον κανόνα μείωσης του κλάσματος: αντικατάσταση του αρχικού κλάσματος με ίσο κλάσμα, αλλά με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή, δηλ. ταυτόχρονη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον κοινό μέγιστο κοινό διαιρέτη τους (GCD). Η αριθμομηχανή εμφανίζει επίσης μια λεπτομερή λύση που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τη σειρά της μείωσης.
Δεδομένος:
Λύση:
Κάνοντας μείωση κλασμάτων
επαλήθευση της δυνατότητας εκτέλεσης της αναγωγής ενός αλγεβρικού κλάσματος
1) Προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος
προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (gcd) του αριθμητή και του παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος
2) Μείωση αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος
μείωση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος
3) Επιλογή του ακέραιου μέρους του κλάσματος
εξαγωγή του ακέραιου μέρους ενός αλγεβρικού κλάσματος
4) Μετατροπή αλγεβρικού κλάσματος σε δεκαδικό κλάσμα
μετατροπή αλγεβρικού κλάσματος σε δεκαδικός
Βοήθεια για την ανάπτυξη του έργου του ιστότοπου
Αγαπητέ επισκέπτη του ιστότοπου.
Εάν δεν μπορούσατε να βρείτε αυτό που ψάχνατε - φροντίστε να γράψετε για αυτό στα σχόλια, τι λείπει τώρα από τον ιστότοπο. Αυτό θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε προς ποια κατεύθυνση πρέπει να προχωρήσουμε περαιτέρω, και οι άλλοι επισκέπτες θα μπορούν σύντομα να λάβουν το απαραίτητο υλικό.
Εάν ο ιστότοπος αποδείχθηκε χρήσιμος για εσάς, δωρίστε τον ιστότοπο στο έργο μόνο 2 ₽και θα ξέρουμε ότι κινούμαστε προς τη σωστή κατεύθυνση.
Σας ευχαριστώ που δεν περάσατε!
I. Η διαδικασία για τη μείωση ενός αλγεβρικού κλάσματος με μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή:
- Για να μειώσετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, εισαγάγετε τις τιμές του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος στα κατάλληλα πεδία. Αν το κλάσμα είναι ανακατεμένο, τότε συμπληρώστε επίσης το πεδίο που αντιστοιχεί στο ακέραιο μέρος του κλάσματος. Εάν το κλάσμα είναι απλό, τότε αφήστε το πεδίο του ακέραιου μέρους κενό.
- Για να καθορίσετε ένα αρνητικό κλάσμα, βάλτε ένα σύμβολο μείον στο ακέραιο μέρος του κλάσματος.
- Ανάλογα με το δεδομένο αλγεβρικό κλάσμα, εκτελείται αυτόματα η ακόλουθη σειρά ενεργειών:
- προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος;
- μείωση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος κατά gcd;
- εξαγωγή του ακέραιου μέρους ενός κλάσματοςαν ο αριθμητής του τελικού κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
- μετατρέποντας το τελικό αλγεβρικό κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμαστρογγυλεμένο στα εκατοστά.
II. Για αναφορά:
Κλάσμα είναι ένας αριθμός που αποτελείται από ένα ή περισσότερα μέρη (κλάσματα) μιας μονάδας. Κοινό κλάσμα(απλό κλάσμα) γράφεται ως δύο αριθμοί (ο αριθμητής του κλάσματος και ο παρονομαστής του κλάσματος) που χωρίζονται από μια οριζόντια ράβδο (κλασματική ράβδος) που δηλώνει το πρόσημο της διαίρεσης. Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ο αριθμός πάνω από τη γραμμή του κλάσματος. Ο αριθμητής δείχνει πόσα μέρη ελήφθησαν από το σύνολο. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι ο αριθμός κάτω από την κλασματική ράβδο. Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται το σύνολο. Ένα απλό κλάσμα είναι ένα κλάσμα που δεν έχει ακέραιο μέρος. Ένα απλό κλάσμα μπορεί να είναι σωστό ή λάθος. Σωστό κλάσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, άρα ένα σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από ένα. Παράδειγμα σωστών κλασμάτων: 8/7, 19/11, 16/17. Ακατάλληλο κλάσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή, επομένως ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του ενός. Ένα παράδειγμα ακατάλληλων κλασμάτων: 7/6, 8/7, 13/13. μικτό κλάσμα - ένας αριθμός που περιλαμβάνει έναν ακέραιο και ένα σωστό κλάσμα και δηλώνει το άθροισμα αυτού του ακέραιου και ενός κατάλληλου κλάσματος. Οποιοδήποτε μικτό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε ακατάλληλο απλό κλάσμα. Παράδειγμα μικτών κλασμάτων: 1¼, 2½, 4¾.
III. Σημείωση:
- Επισημαίνεται το μπλοκ δεδομένων πηγής κίτρινος , Το μπλοκ ενδιάμεσων υπολογισμών επισημαίνεται μπλε χρώμα , μπλοκ διαλύματος επισημαίνεται με πράσινο.
- Για να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε και να διαιρέσετε συνηθισμένα ή μικτά κλάσματα, χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή κλασμάτων με αναλυτική λύση.