Με βάση την κύρια ιδιότητά τους: αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με το ίδιο μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε θα προκύψει ένα κλάσμα ίσο με αυτό.
Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές!
Τα μέλη των πολυωνύμων δεν μπορούν να μειωθούν!
Για να μειωθεί ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να συνυπολογιστούν τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή.
Εξετάστε παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων.
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι μονώνυμα. Αντιπροσωπεύουν δουλειά(αριθμοί, μεταβλητές και οι βαθμοί τους), πολλαπλασιαστέςμπορούμε να μειώσουμε.
Μειώνουμε τους αριθμούς από τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους, δηλαδή με τον μεγαλύτερο αριθμό με τον οποίο διαιρείται καθένας από τους δεδομένους αριθμούς. Για 24 και 36, αυτό είναι 12. Μετά τη μείωση από 24, μένουν 2, από 36 - 3.
Μειώνουμε τις μοίρες κατά το βαθμό με τον μικρότερο δείκτη. Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο διαιρέτη και να αφαιρούμε τους εκθέτες.
Τα a2 και a7 μειώνονται κατά a2. Ταυτόχρονα, ένα παραμένει στον αριθμητή από το a² (γράφουμε 1 μόνο αν μετά τη μείωση δεν έχουν μείνει άλλοι παράγοντες. Από το 24 παραμένει το 2, οπότε δεν γράφουμε το 1 που απομένει από το a²). Από το a7 μετά τη μείωση παραμένει το a5.
Τα b και b συντομεύονται με b, οι μονάδες που προκύπτουν δεν γράφονται.
Τα c3º και c5 μειώνονται κατά c5. Από c³º, c25 παραμένει, από c5 - μονάδα (δεν το γράφουμε). Ετσι,
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυτού του αλγεβρικού κλάσματος είναι πολυώνυμα. Είναι αδύνατο να μειωθούν οι όροι των πολυωνύμων! (δεν μπορεί να μειωθεί, για παράδειγμα, 8x² και 2x!). Για να μειωθεί αυτό το κλάσμα, είναι απαραίτητο. Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 4x. Ας το βγάλουμε από αγκύλες:
Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο παράγοντα (2x-3). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτόν τον παράγοντα. Πήραμε 4x στον αριθμητή, 1 στον παρονομαστή Σύμφωνα με 1 ιδιότητα των αλγεβρικών κλασμάτων, το κλάσμα είναι 4x.
Μπορείτε να μειώσετε μόνο τους παράγοντες (δεν μπορείτε να μειώσετε ένα δεδομένο κλάσμα κατά 25x²!). Επομένως, τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος πρέπει να συνυπολογίζονται.
Στον αριθμητή - πλήρες τετράγωνοαθροίσματα, ο παρονομαστής είναι η διαφορά των τετραγώνων. Μετά την επέκταση με τους τύπους του συντετμημένου πολλαπλασιασμού, παίρνουμε:
Μειώνουμε το κλάσμα κατά (5x + 1) (για να το κάνετε αυτό, διαγράψτε τα δύο στον αριθμητή ως εκθέτη, από (5x + 1) ² θα φύγει (5x + 1)):
Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 2, ας τον βγάλουμε από αγκύλες. Στον παρονομαστή - ο τύπος για τη διαφορά των κύβων:
Ως αποτέλεσμα της επέκτασης στον αριθμητή και στον παρονομαστή, πήραμε τον ίδιο παράγοντα (9 + 3a + a²). Μειώνουμε το κλάσμα σε αυτό:
Το πολυώνυμο στον αριθμητή αποτελείται από 4 όρους. ο πρώτος όρος με τον δεύτερο, ο τρίτος με τον τέταρτο και βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x² από τις πρώτες αγκύλες. Αποσυνθέτουμε τον παρονομαστή σύμφωνα με τον τύπο για το άθροισμα των κύβων:
Στον αριθμητή, βγάζουμε τον κοινό παράγοντα (x + 2) από αγκύλες:
Μειώνουμε το κλάσμα κατά (x + 2):
Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση, θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται με το 4, δηλ. παραμένει το υπόλοιπο της διαίρεσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).
Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός ο αριθμός είναι 124. Και, τέλος, το τελευταίο στοιχείο, το οποίο δεν είναι in τακτική διαίρεση, - υπόλοιπο. Όταν δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο. χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.
Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.
Μπορείτε να ελέγξετε κατά τη διαίρεση πολλαπλασιάζοντας. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.
Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a \u003d b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.
Το πηλίκο διαίρεσης των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.
Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.
Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".
Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Οι παρακάτω κανόνες είναι σωστοί:
Για να πάρετε ένα κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.
Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.
Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.
Για να βρείτε ένα σύνολο με το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.
Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.
Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μείωση του κλάσματος.
Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε μια τέτοια ενέργεια ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.
Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. μικτούς αριθμούς
Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4) \) σημαίνει τα τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης ενότητας, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να δηλώσουν μέρος ενός συνόλου. ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗπροτείνει ότι το μέρος πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το σύνολο, αλλά τότε τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5) \) ή \(\frac(8)(5) \); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς ονομάζονται τέτοια κλάσματα, στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή. ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, λέγονται κατάλληλα κλάσματα.
Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος "ακατάλληλο κλάσμα" δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι αυτό το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο ή ίσο με τον παρονομαστή του.
Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.
Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.
Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει και όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο με την πρώτη ματιά να προσδιορίσουμε εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.
Ενέργειες με κλάσματα. Πρόσθεση κλασμάτων.
Με τους κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Βρείτε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7) \) και \(\frac(3)(7) \). Είναι εύκολο να δούμε ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Αν θέλετε να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.
Προσθήκη μικτών κλασμάτων
Οι εγγραφές όπως \(2\frac(2)(3) \) καλούνται μικτά κλάσματα. Ο αριθμός 2 ονομάζεται ολόκληρο μέρος μικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3) \) είναι του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3) \) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".
Η διαίρεση του αριθμού 8 με τον αριθμό 3 δίνει δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3) \) και \(2\frac(2)(3) \). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)
Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3) \) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3) \). Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ακατάλληλο κλάσμα ξεχώρισε το σύνολο.
Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)
Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, καθώς και των φυσικών, προσδιορίζεται με βάση την ενέργεια πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)
Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσουμε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος του ακατάλληλου κλάσματος.
Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.
Διαίρεση κλασμάτων
Πάρτε το κλάσμα \(\frac(2)(3) \) και «αναποδογυρίστε» το ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2) \). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3) \).
Αν τώρα «αντιστρέφουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2) \), τότε παίρνουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3) \). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3) \) και \(\frac(3)(2) \) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7) \).
Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)
Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, η διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να μειωθεί σε πολλαπλασιασμό.
Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.
Διαίρεσηκαι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης, που είναι διαφορετικό από την ενότητα, λέγεται μείωση του κλάσματος.
Για να μειώσετε ένα κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.
Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.
Τα παρακάτω είναι πιθανά έντυπα αρχείου αποφάσεωνπαραδείγματα συντομογραφίας συνηθισμένα κλάσματα.
Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.
Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.
Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.
διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).
Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7.
Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.
Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.
Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4)
επί 5 7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή που λαμβάνονται στη δύναμη με τον μικρότερο εκθέτη.
Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε πρωταρχικούς παράγοντες.
Παίρνουμε: 756=2² 3³ 7Και 1176=2³ 3 7².
Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .
Αυτό είναι το προϊόν των κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους μικρότερους εκθέτες.
gcd(756; 1176)= 2² 3 7.
Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το GCD τους, δηλ. 2² 3 7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14
.
Και ήταν δυνατόν να γραφτούν οι επεκτάσεις του αριθμητή και του παρονομαστή ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια του βαθμού, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όταν δεν υπάρχουν πανομοιότυποι παράγοντες, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .
Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας τα σημάδια της διαίρεσης των αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Σκεφτείτε ως εξής: αριθμοί 756 Και 1176 τέλος άρτιο ψηφίο, άρα και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του νέου κλάσματος είναι αριθμοί 378 Και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 είναι περίεργο και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε το πρόσημο της διαιρετότητας των αριθμών 189 Και 294 επί 3 .
Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 Και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Περαιτέρω, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Οχι. Επανάληψη έναντι άλλων πρωταρχικών παραγόντων. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και πάρτε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .
Για να κατανοήσουμε πώς να μειώσουμε τα κλάσματα, ας δούμε πρώτα ένα παράδειγμα.
Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο. Και το 360 και το 420 τελειώνουν σε έναν αριθμό, οπότε μπορούμε να μειώσουμε αυτό το κλάσμα κατά 2. Στο νέο κλάσμα, και το 180 και το 210 διαιρούνται επίσης με το 2, μειώνουμε αυτό το κλάσμα κατά 2. Στους αριθμούς 90 και 105, το άθροισμα των τα ψηφία διαιρούνται με το 3, άρα και οι δύο αυτοί αριθμοί διαιρούνται με το 3, μειώνουμε το κλάσμα κατά 3. Στο νέο κλάσμα, το 30 και το 35 τελειώνουν σε 0 και 5, που σημαίνει ότι και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με το 5, οπότε μειώνουμε το κλάσμα κατά 5. Το κλάσμα που προκύπτει, έξι έβδομα, είναι μη αναγώγιμο. Αυτή είναι η τελική απάντηση.
Μπορούμε να καταλήξουμε στην ίδια απάντηση με διαφορετικό τρόπο.
Και το 360 και το 420 τελειώνουν σε μηδέν, που σημαίνει ότι διαιρούνται με το 10. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 10. Στο νέο κλάσμα, και ο αριθμητής 36 και ο παρονομαστής 42 διαιρούνται με το 2. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2. Στο επόμενο κλάσμα, τόσο ο αριθμητής 18 όσο και ο παρονομαστής 21 διαιρούνται με το 3, πράγμα που σημαίνει ότι μειώνουμε το κλάσμα κατά 3. Φτάσαμε στο αποτέλεσμα - έξι έβδομα.
Και μια ακόμα λύση.
Την επόμενη φορά θα εξετάσουμε παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων.
Χωρίς να γνωρίζουμε πώς να μειώνουμε ένα κλάσμα και να έχουμε σταθερή ικανότητα στην επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, είναι πολύ δύσκολο να μελετήσουμε την άλγεβρα στο σχολείο. Όσο περισσότερο, τόσο περισσότερες νέες πληροφορίες υπερτίθενται στις βασικές γνώσεις για τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων. Πρώτα υπάρχουν οι μοίρες, μετά οι παράγοντες, που αργότερα γίνονται πολυώνυμα.
Πώς να μην μπερδευτείτε εδώ; Ενοποιήστε προσεκτικά τις δεξιότητες σε προηγούμενα θέματα και προετοιμαστείτε σταδιακά για γνώσεις σχετικά με τον τρόπο μείωσης ενός κλάσματος, το οποίο γίνεται πιο περίπλοκο από χρόνο σε χρόνο.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ
Χωρίς αυτά, δεν θα είναι δυνατό να ανταπεξέλθετε σε εργασίες οποιουδήποτε επιπέδου. Για να καταλάβετε, πρέπει να κατανοήσετε δύο απλά σημεία. Πρώτον, μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές. Αυτή η απόχρωση αποδεικνύεται πολύ σημαντική όταν εμφανίζονται πολυώνυμα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Στη συνέχεια, πρέπει να διακρίνετε ξεκάθαρα πού βρίσκεται ο πολλαπλασιαστής και πού βρίσκεται ο όρος.
Το δεύτερο σημείο λέει ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως παράγοντες. Επιπλέον, το αποτέλεσμα της αναγωγής είναι ένα τέτοιο κλάσμα, του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν μπορούν πλέον να μειωθούν.
Κανόνες για τη μείωση κοινών κλασμάτων
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να ελέγξετε είναι αν ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή ή το αντίστροφο. Τότε είναι με αυτόν τον αριθμό που πρέπει να μειώσετε. Αυτή είναι η πιο εύκολη επιλογή.
Το δεύτερο είναι η ανάλυση εμφάνισηαριθμοί. Αν και τα δύο τελειώνουν με ένα ή περισσότερα μηδενικά, τότε μπορούν να μειωθούν κατά 10, 100 ή χίλια. Εδώ μπορείτε να δείτε αν οι αριθμοί είναι ζυγοί. Αν ναι, τότε μπορείτε να μειώσετε με ασφάλεια κατά δύο.
Ο τρίτος κανόνας για το πώς να μειωθεί ένα κλάσμα είναι η αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες του αριθμητή και του παρονομαστή. Αυτή τη στιγμή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ενεργά όλες τις γνώσεις σχετικά με τα σημάδια της διαιρετότητας των αριθμών. Μετά από μια τέτοια αποσύνθεση, μένει μόνο να βρούμε όλα τα επαναλαμβανόμενα, να τα πολλαπλασιάσουμε και να μειώσουμε κατά τον αριθμό που προκύπτει.
Τι γίνεται αν το κλάσμα περιέχει μια αλγεβρική έκφραση;
Εδώ εμφανίζονται οι πρώτες δυσκολίες. Γιατί εδώ εμφανίζονται οι όροι, οι οποίοι μπορεί να είναι πανομοιότυποι με παράγοντες. Θέλω πολύ να τα κόψω, αλλά δεν μπορώ. Για να μπορέσει να μειωθεί ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει να μετατραπεί έτσι ώστε να έχει συντελεστές.
Αυτό θα απαιτήσει πολλά βήματα. Ίσως χρειαστεί να τα περάσετε όλα, ή ίσως το πρώτο να δώσει μια κατάλληλη επιλογή.
Ελέγξτε εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ή οποιαδήποτε έκφραση σε αυτά διαφέρουν κατά πρόσημο. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να βγάλετε τα στηρίγματα μείον ένα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα πανομοιότυπους πολλαπλασιαστές που μπορούν να μειωθούν.
Δείτε αν ο κοινός παράγοντας μπορεί να αγνοηθεί από το πολυώνυμο. Ίσως αυτό θα αποδειχθεί ότι είναι ένα βραχίονα, το οποίο μπορεί επίσης να μειωθεί ή θα είναι ένα μονώνυμο που έχει αφαιρεθεί.
Προσπαθήστε να πραγματοποιήσετε μια ομαδοποίηση μονωνύμων για να βγάλετε στη συνέχεια έναν κοινό παράγοντα σε αυτά. Μετά από αυτό, μπορεί να αποδειχθεί ότι θα υπάρξουν παράγοντες που μπορούν να μειωθούν ή να τεθούν ξανά σε αγκύλες κοινά στοιχεία.
Προσπαθήστε να εξετάσετε γραπτώς τον τύπο του συντετμημένου πολλαπλασιασμού. Με τη βοήθειά τους, θα είναι εύκολο να μετατρέψετε ένα πολυώνυμο σε παράγοντες.
Ακολουθία ενεργειών με κλάσματα με δυνάμεις
Για να κατανοήσετε εύκολα το ερώτημα πώς να μειώσετε ένα κλάσμα με μοίρες, πρέπει να θυμάστε σταθερά τις βασικές ενέργειες με αυτές. Το πρώτο από αυτά συνδέεται με τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Σε αυτή την περίπτωση, εάν οι βάσεις είναι ίδιες, πρέπει να προστεθούν οι δείκτες.
Το δεύτερο είναι η διαίρεση. Και πάλι, για όσους έχουν την ίδια βάση, οι δείκτες θα πρέπει να αφαιρεθούν. Επιπλέον, πρέπει να αφαιρέσετε από τον αριθμό που είναι στο μέρισμα και όχι το αντίστροφο.
Το τρίτο είναι η εκθετικότητα. Σε αυτή την περίπτωση, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται.
Η επιτυχής μείωση θα απαιτήσει επίσης τη δυνατότητα να φέρεις πτυχία στις ίδιες βάσεις. Δηλαδή να δούμε ότι το τέσσερα είναι δύο στο τετράγωνο. Ή 27 είναι ο κύβος των τριών. Γιατί το κόψιμο 9 σε τετράγωνο και 3 σε κύβους είναι δύσκολο. Αλλά αν μετατρέψουμε την πρώτη παράσταση ως (3 2) 2, τότε η αναγωγή θα πετύχει.