Κλάσματα. Σύγκριση κλασμάτων

Σχέδιο περιγράμματος μάθημα μαθηματικών στην 6η τάξη

Θέμα μαθήματος: "Σύγκριση μικτών αριθμών"

Σκοπός του μαθήματος: μάθετε τους κανόνες για τη σύγκριση μικτών αριθμών. για την εδραίωση των δεξιοτήτων και των δεξιοτήτων σύγκρισης συνηθισμένα κλάσματακαι μεικτούς αριθμούς κατά την επίλυση προβλημάτων.

Καθήκοντα:

να γενικεύσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με τα συνηθισμένα κλάσματα και τους μικτούς αριθμούς, να σχηματίσει την ικανότητα σύγκρισης συνηθισμένων κλασμάτων και μικτών αριθμών.

συνεχίσει το έργο ανάπτυξης λογική σκέψη, μνήμη, φαντασία, σχηματισμός μαθηματικά εγγράμματου λόγου.

να εμφυσήσει στους μαθητές το αίσθημα της ευθύνης, να βελτιώσει τις δεξιότητες της ανεξάρτητης δραστηριότητας.

Τύπος μαθήματος: μάθημα εκμάθησης νέων γνώσεων.

Εξοπλισμός: προβολέας, διαδραστικός πίνακας, Φυλλάδιο.

Δομή μαθήματος:

1. Οργάνωση χρόνου(3 λεπτά).

2. Πραγματοποίηση γνώσης (10 λεπτά).

3. Εκμάθηση νέου υλικού (8 λεπτά).

4. Φυσική αγωγή (1 λεπτό).

5. Ενοποίηση περασμένων (15min).

6. Εργασία για το σπίτι(1 λεπτό).

7. Περίληψη του μαθήματος (2 λεπτά).

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

ΕΓΩ. Οργάνωση χρόνου . (Διαφάνεια #2)

Παιδιά, ανοίξτε τετράδια, σημειώστε την ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος "Σύγκριση μικτών αριθμών".

Σήμερα θα μελετήσουμε ένα νέο θέμα, θα μάθουμε πώς να συγκρίνουμε μεικτούς αριθμούς. Αλλά πριν από αυτό, πρέπει να επαναλάβουμε ένα σημαντικό θέμα. Και τι, θα ξέρετε ανλύσε το παζλ :

( κλάσμα )

II. Ενημέρωση γνώσης. προφορική εργασία .

1) - Κοιτάξτε την οθόνη (διαφάνεια αριθμός 3 ).

- Ποιο μέρος του σχήματος είναι σκιασμένο; γράψτε ένα κλάσμα (3/8)

Ποιο είναι το όνομα του αριθμού κάτω από τη γραμμή; (παρονομαστής )

Τι δείχνει ο παρονομαστής ενός κλάσματος; (Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται το σύνολο. )

Ποιο είναι το όνομα του αριθμού πάνω από τη γραμμή; (αριθμητής )

Τι δείχνει ο αριθμητής ενός κλάσματος; (ο αριθμητής δείχνει πόσα μέρη έχουν ληφθεί )

2) - Η επόμενη εργασία "Βρείτε το επιπλέον "(αριθμός διαφάνειας 4) :

Α) αριθμητής άθροισμα; παρονομαστής; κλάσμα.

Β) ;. ()

Γιατί είναι περιττό; (δεν είναι κατάλληλο κλάσμα, τα υπόλοιπα είναι σωστά. )

Ποια κλάσματα είναι σωστά; (τα σωστά κλάσματα έχουν αριθμητή μικρότερο από παρονομαστή)

- Ποια κλάσματα ονομάζονται ακατάλληλα; (Για ακατάλληλα κλάσματα, ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή)

ΣΕ) ;. ()

Γιατί είναι περιττό; (είναι ένας μεικτός αριθμός) Γράφω στον πίνακα

Ποια είναι τα μέρη ενός μικτού αριθμού; (από έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα ή ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος )

3) Ανεξάρτητη εργασίασε κάρτες.

Τώρα ας θυμηθούμε πώς συγκρίνονται τα συνηθισμένα κλάσματα. Για να γίνει αυτό, θα το εκτελέσουμεανεξάρτητη εργασία . Καταγράφουμε τις λύσεις στα φύλλα με τις εργασίες:

…. ; …. ;

…. ; …. ;

…. ; …. .

Ας ελέγξουμε τις λύσεις σας. Όποιος έχει δίκιο, χωρίς λάθη - βάλε "5", ποιος έχει 1-2 λάθη - "4", ποιος έχει 3 ή περισσότερα - "3".

Αυτοεξέταση (απαντήσεις στη διαφάνεια 5)

Ποιοι είναι οι κανόνες σύγκρισης κοινών κλασμάτων;(με κανόνες σύγκρισης συνηθισμένων κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές και τους ίδιους αριθμητές)

Ας διαβάσουμε μαζί δυνατά τους κανόνες σύγκρισης:

Κανόνας 1: (Διαφάνεια #6)

Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, τόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα με ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος .

Κανόνας 2: (Διαφάνεια #6)

Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, τόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα με παρονομαστής λιγότερο .

Μελετώντας νέο θέμα « Σύγκριση μικτών αριθμών »

Κατά τη σύγκριση μεικτών αριθμών, μπορεί να υπάρχουν δύο περιπτώσεις σύγκρισης.

Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση. Κοιτάξτε την οθόνηΑριθμός διαφάνειας 7 ).

Ποιοι μικτοί αριθμοί εμφανίζονται στην οθόνη; (Και )

Σημειώστε τα στο σημειωματάριό σας:

Ονομάστε το ακέραιο μέρος κάθε αριθμού. (3 και 2)

Είναι τα ολόκληρα μέρη ίδια ή διαφορετικά; (διαφορετικός )

Ποιος μικτός αριθμός έχει το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος; (Κατά την πρώτη )

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος; ()

-Τι μπορούμε να συμπεράνουμε; Να συνεχίσει …

Που σημαίνειγια να συγκρίνετε μεικτούς αριθμούς, συγκρίνετε πρώτα τα ολόκληρα μέρη.

συμπέρασμα : Από δύο μεικτούς αριθμούς, τόσο μεγαλύτερος είναι αυτός στον οποίο ολόκληρο μέρος…..περισσότερα .

Παραδείγματα ενοποίησης (Αριθμός διαφάνειας 8)

- Κάνε προφορικά τα εξής:

Διαβάστε και συγκρίνετε τους αριθμούς: και; Και; Και. Οτι περισσότερα?

Συνέχισε και μαθαίνοντας ένα νέο θέμα

Ας εξετάσουμε τη δεύτερη περίπτωση. Ποιοι μικτοί αριθμοί εμφανίζονται στην επόμενη διαφάνεια;(Αριθμός διαφάνειας 9)

Γράψτε μεικτούς αριθμούς στο τετράδιό σας

Τι μπορεί να ειπωθεί για τα ακέραια μέρη αυτών των μικτών αριθμών; (είναι πανομοιότυπα )

Πώς πιστεύετε πώς να συγκρίνετε δύο μεικτούς αριθμούς με τα ίδια ακέραια μέρη; (κοιτάξτε τα κλασματικά μέρη ή τα κλάσματα )

Ποιο είναι μεγαλύτερο ¾ ή ¼; (¾)

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος; ()

- Αν λοιπόν τα ακέραια μέρη είναι ίδια, τότε κοιτάξτε τα κλασματικά μέρη

ΣΕ συμπέρασμα: (Αριθμός διαφάνειας 8) Συνέχεια …

Από δύο μεικτούς αριθμούς με τα ίδια ακέραια μέρη, ο μεγαλύτερος αριθμός είναι ποιόν κλασματικό μέρος……περισσότερα .

Φυσική αγωγή (αριθμός διαφάνειας 9).

Μια φορά - σηκώθηκε, τεντώθηκε.

Δύο - σκυφτός, άκαμπτος.

Τρία - στα χέρια τριών παλαμάκια,

Τρία νεύματα κεφαλιού.

Τέσσερις - φαρδύτεροι βραχίονες.

Πέντε - κουνήστε τα χέρια σας.

Έξι - καθίστε ήσυχα στο γραφείο.

v. Ενοποίηση των μελετηθέντων .

1 ) Εργασία με το σχολικό βιβλίο .

Άνοιγμα σχολικών βιβλίωνΣελίδα 84 αποφασίζω № 317 (2)

Πηγαίνει στον πίνακα ... .., και οι υπόλοιποι αποφασίζουν σε τετράδια.

2) - Λύστε το πρόβλημα προφορικά (στη Διαφάνεια #10) .

Η Μάσα έχει ένα πορτοκάλι, η Αλένα έχει ένα πορτοκάλι, η Olya έχει ένα πορτοκάλι. Ποιος έχει περισσότερο πορτοκαλί; Ποιος έχει λιγότερο πορτοκαλί;

3) Παιχνίδι "Μαθηματικές χάντρες".

Χάντρες σχεδιάζονται στον πίνακα. Πρέπει να πηγαίνετε εναλλάξ στον πίνακα, να σκέφτεστε και να γράφετε σε κύκλουςμικτούς αριθμούς με αύξουσα σειρά .

VI. Περίληψη μαθήματος .

Ποιο θέμα μελετήσατε σήμερα στην τάξη;

Πώς να συγκρίνετε μεικτούς αριθμούς με διαφορετικά ακέραια μέρη;

Πώς να συγκρίνετε μεικτούς αριθμούς με τα ίδια ακέραια μέρη;

- Βαθμοί ανά μάθημα : .

Σας ευχαριστούμε για τη δουλειά σας!

VI Εγώ . Εργασία για το σπίτι : Αρ. 320 σελ. 85. (συγκρίνετε ανάμεικτα)

Πρόσθετη εργασία για ανεξάρτητη εργασία (στο τέλος του μαθήματος):

Επιλογή 1.

Συγκρίνετε αριθμούς:

…. ; … ; 10 ….. 10

…. ; … ; ….. 3

Ανεξάρτητη εργασία (για 3 λεπτά)

Επιλογή 1

…. ; …. ;

…. ; …. ;

…. ; …. .

Συνεχίζουμε να μελετάμε τα κλάσματα. Σήμερα θα μιλήσουμε για τη σύγκριση τους. Το θέμα είναι ενδιαφέρον και χρήσιμο. Θα επιτρέψει στον αρχάριο να νιώσει σαν επιστήμονας με λευκό παλτό.

Η ουσία της σύγκρισης κλασμάτων είναι να ανακαλύψουμε ποιο από τα δύο κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο.

Για να απαντήσετε στην ερώτηση ποιο από τα δύο κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, χρησιμοποιήστε όπως περισσότερα (>) ή μικρότερα (<).

Οι μαθηματικοί έχουν ήδη φροντίσει για έτοιμους κανόνες που σας επιτρέπουν να απαντήσετε αμέσως στην ερώτηση ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο. Αυτοί οι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν με ασφάλεια.

Θα εξετάσουμε όλους αυτούς τους κανόνες και θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Περιεχόμενο μαθήματος

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Τα προς σύγκριση κλάσματα συναντώνται διαφορετικά. Η πιο επιτυχημένη περίπτωση είναι όταν τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές, αλλά διαφορετικούς αριθμητές. Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν επόμενος κανόνας:

Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή. Και κατά συνέπεια, θα είναι το μικρότερο κλάσμα, στο οποίο ο αριθμητής είναι μικρότερος.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε κλάσματα και ας απαντήσουμε ποιο από αυτά τα κλάσματα είναι μεγαλύτερο. Εδώ οι παρονομαστές είναι ίδιοι, αλλά οι αριθμητές είναι διαφορετικοί. Ένα κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμητή από ένα κλάσμα. Άρα το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από . Απαντάμε λοιπόν. Απαντήστε χρησιμοποιώντας το εικονίδιο περισσότερα (>)

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε τις πίτσες που χωρίζονται σε τέσσερα μέρη. περισσότερες πίτσες από πίτσες:

Σύγκριση κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή

Η επόμενη περίπτωση που μπορούμε να μπούμε είναι όταν οι αριθμητές των κλασμάτων είναι ίδιοι, αλλά οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. Για τέτοιες περιπτώσεις προβλέπεται ο ακόλουθος κανόνας:

Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο. Το κλάσμα με τον μεγαλύτερο παρονομαστή είναι επομένως μικρότερο.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή. Ένα κλάσμα έχει μικρότερο παρονομαστή από ένα κλάσμα. Άρα το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα. Απαντάμε λοιπόν:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε τις πίτσες που χωρίζονται σε τρία και τέσσερα μέρη. περισσότερες πίτσες από πίτσες:

Όλοι θα συμφωνήσουν ότι η πρώτη πίτσα είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη.

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές

Συμβαίνει συχνά να πρέπει να συγκρίνετε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές.

Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα και . Για να απαντήσετε στην ερώτηση ποιο από αυτά τα κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Τότε θα είναι εύκολο να προσδιοριστεί ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο.

Ας φέρουμε τα κλάσματα στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Βρείτε (LCM) τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων και αυτός ο αριθμός είναι 6.

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 6 με το 2, παίρνουμε έναν επιπλέον παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα ας βρούμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 6 με το 3, παίρνουμε έναν επιπλέον παράγοντα 2. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να συγκρίνουμε τέτοια κλάσματα. Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή:

Ο κανόνας είναι ο κανόνας, και θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί περισσότερο από . Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το ακέραιο μέρος στο κλάσμα. Δεν χρειάζεται να επιλέξετε τίποτα στο κλάσμα, αφού αυτό το κλάσμα είναι ήδη κανονικό.

Αφού επιλέξουμε το ακέραιο μέρος του κλάσματος, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση:

Τώρα μπορείτε εύκολα να καταλάβετε γιατί περισσότερο από . Ας σχεδιάσουμε αυτά τα κλάσματα με τη μορφή πίτσας:

2 ολόκληρες πίτσες και πίτσες, περισσότερες από πίτσες.

Αφαίρεση μικτών αριθμών. Δύσκολες περιπτώσεις.

Όταν αφαιρείτε μεικτούς αριθμούς, μερικές φορές διαπιστώνετε ότι τα πράγματα δεν πάνε τόσο ομαλά όσο θα θέλατε. Συμβαίνει συχνά όταν λύνετε ένα παράδειγμα, η απάντηση να μην είναι αυτή που θα έπρεπε να είναι.

Κατά την αφαίρεση αριθμών, το minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend. Μόνο σε αυτή την περίπτωση θα ληφθεί κανονική απάντηση.

Για παράδειγμα, 10−8=2

10 - μειωμένο

8 - αφαιρείται

2 - διαφορά

Το μείον 10 είναι μεγαλύτερο από το αφαιρούμενο 8, οπότε πήραμε την κανονική απάντηση 2.

Τώρα ας δούμε τι θα συμβεί αν το minuend είναι μικρότερο από το subtrahend. Παράδειγμα 5−7=−2

5 - μειωμένο

7 - αφαιρείται

−2 είναι η διαφορά

Σε αυτή την περίπτωση, ξεπερνάμε τους αριθμούς που έχουμε συνηθίσει και βρισκόμαστε στον κόσμο των αρνητικών αριθμών, όπου είναι πολύ νωρίς για να περπατήσουμε και μάλιστα επικίνδυνο. Για να δουλέψω με αρνητικούς αριθμούς, χρειαζόμαστε ένα κατάλληλο μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο δεν έχουμε λάβει ακόμη.

Εάν, όταν λύνετε παραδείγματα για αφαίρεση, διαπιστώσετε ότι το minuend είναι μικρότερο από το subtrahend, τότε μπορείτε να παραλείψετε ένα τέτοιο παράδειγμα προς το παρόν. Επιτρέπεται η εργασία με αρνητικούς αριθμούς μόνο αφού τους μελετήσετε.

Η κατάσταση είναι ίδια με τα κλάσματα. Το minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend. Μόνο σε αυτή την περίπτωση θα είναι δυνατό να ληφθεί μια κανονική απάντηση. Και για να καταλάβετε αν το μειωμένο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το αφαιρούμενο, πρέπει να μπορείτε να συγκρίνετε αυτά τα κλάσματα.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα παράδειγμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αφαίρεσης. Για να το λύσετε, πρέπει να ελέγξετε αν το μειωμένο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το αφαιρούμενο. περισσότερο από

ώστε να επιστρέψουμε με ασφάλεια στο παράδειγμα και να το λύσουμε:

Τώρα ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα

Ελέγξτε αν το μειωμένο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το αφαιρούμενο. Διαπιστώνουμε ότι είναι λιγότερο:

Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο λογικό να σταματήσετε και να μην συνεχίσετε τον περαιτέρω υπολογισμό. Θα επιστρέψουμε σε αυτό το παράδειγμα όταν μελετήσουμε τους αρνητικούς αριθμούς.

Είναι επίσης επιθυμητό να ελέγξετε τους μικτούς αριθμούς πριν αφαιρέσετε. Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης .

Αρχικά, ελέγξτε αν ο μειωμένος μεικτός αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αφαιρεθέντα. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε μεικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Πήραμε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές. Για να συγκρίνετε τέτοια κλάσματα, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή. Δεν θα περιγράψουμε λεπτομερώς πώς να το κάνουμε αυτό. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα, φροντίστε να επαναλάβετε.

Αφού ανιώσουμε τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση:

Τώρα πρέπει να συγκρίνουμε κλάσματα και . Πρόκειται για κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή.

Ένα κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμητή από ένα κλάσμα. Άρα το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα.

Αυτό σημαίνει ότι το minuend είναι μεγαλύτερο από το subtrahend.

Μπορούμε λοιπόν να επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας και να το λύσουμε με τόλμη:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Ελέγξτε αν το minuend είναι μεγαλύτερο από το subtrahend.

Μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα:

Πήραμε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και διαφορετικούς παρονομαστές. Φέρνουμε αυτά τα κλάσματα στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή:

Τώρα ας συγκρίνουμε τα κλάσματα και . Ένα κλάσμα έχει αριθμητή μικρότερο από ένα κλάσμα, άρα το κλάσμα είναι μικρότερο από το κλάσμα

ΟΧΙ μονο πρώτοι αριθμοίΜπορείτε να συγκρίνετε, αλλά και τα κλάσματα. Εξάλλου, ένα κλάσμα είναι ο ίδιος αριθμός με, για παράδειγμα, τους φυσικούς αριθμούς. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε τους κανόνες με τους οποίους συγκρίνονται τα κλάσματα.

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.

Εάν δύο κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές, τότε είναι εύκολο να συγκρίνουμε τέτοια κλάσματα.

Για να συγκρίνετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να συγκρίνετε τους αριθμητές τους. Το μεγαλύτερο κλάσμα έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Συγκρίνετε τα κλάσματα \(\frac(7)(26)\) και \(\frac(13)(26)\).

Οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων είναι ίδιοι, ίσοι με 26, οπότε συγκρίνουμε τους αριθμητές. Ο αριθμός 13 είναι μεγαλύτερος από το 7. Παίρνουμε:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Σύγκριση κλασμάτων με ίσους αριθμητές.

Αν ένα κλάσμα έχει τον ίδιο αριθμητή, τότε το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή.

Μπορείτε να κατανοήσετε αυτόν τον κανόνα εάν δώσετε ένα παράδειγμα από τη ζωή. Έχουμε τούρτα. 5 ή 11 επισκέπτες μπορούν να έρθουν να μας επισκεφτούν. Αν έρθουν 5 καλεσμένοι, τότε θα κόψουμε την τούρτα σε 5 ίσα κομμάτια και αν έρθουν 11 καλεσμένοι, θα τη χωρίσουμε σε 11 ίσα κομμάτια. Τώρα σκεφτείτε σε ποια περίπτωση ένας καλεσμένος θα έχει ένα κομμάτι κέικ μεγαλύτερο μέγεθος? Φυσικά, όταν έρθουν 5 καλεσμένοι, το κομμάτι της τούρτας θα είναι μεγαλύτερο.

Ή άλλο παράδειγμα. Έχουμε 20 καραμέλες. Μπορούμε να μοιράσουμε ομοιόμορφα καραμέλες σε 4 φίλους ή να μοιράσουμε ομοιόμορφα τις καραμέλες σε 10 φίλους. Σε ποια περίπτωση κάθε φίλος θα έχει περισσότερες καραμέλες; Φυσικά, όταν διαιρούμε μόνο με 4 φίλους, ο αριθμός των καραμελών που κάθε φίλος θα έχει περισσότερα. Ας ελέγξουμε αυτό το πρόβλημα μαθηματικά.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Αν λύσουμε αυτά τα κλάσματα μέχρι, τότε παίρνουμε τους αριθμούς \(\frac(20)(4) = 5\) και \(\frac(20)(10) = 2\). Παίρνουμε ότι 5 > 2

Αυτός είναι ο κανόνας για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα.

Συγκρίνετε κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή \(\frac(1)(17)\) και \(\frac(1)(15)\) .

Εφόσον οι αριθμητές είναι ίδιοι, τόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα όπου ο παρονομαστής είναι μικρότερος.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και αριθμητές.

Για να συγκρίνετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να σμικρύνετε τα κλάσματα και στη συνέχεια να συγκρίνετε τους αριθμητές.

Συγκρίνετε τα κλάσματα \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(5)(7)\).

Αρχικά, βρείτε τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων. Αυτός θα ισούται με τον αριθμό 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \χρόνες 3)(7 \χρόνες 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(στοίχιση)\)

Στη συνέχεια προχωράμε στη σύγκριση αριθμητών. Κανόνας σύγκρισης κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Σύγκριση.

Ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα σωστό.Επειδή ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1 και ένα σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από 1.

Παράδειγμα:
Συγκρίνετε τα κλάσματα \(\frac(11)(13)\) και \(\frac(8)(7)\).

Το κλάσμα \(\frac(8)(7)\) δεν είναι σωστό και είναι μεγαλύτερο από 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Το κλάσμα \(\frac(11)(13)\) είναι σωστό και μικρότερο από 1. Συγκρίνετε:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Παίρνουμε, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς συγκρίνετε τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: είναι απαραίτητο να φέρουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να συγκρίνουμε τους αριθμητές τους.

Πώς να συγκρίνετε τα κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα πρέπει να αποφασίσετε σε ποια κατηγορία ανήκουν τα κλάσματα: έχουν κοινό παρονομαστή, έχουν κοινό αριθμητή, δεν έχουν κοινό παρονομαστή και αριθμητή ή έχετε σωστό και ακατάλληλο κλάσμα. Αφού ταξινομήσετε τα κλάσματα, εφαρμόστε τον κατάλληλο κανόνα σύγκρισης.

Ποια είναι η σύγκριση των κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές;
Απάντηση: Αν τα κλάσματα έχουν τους ίδιους αριθμητές, το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή.

Παράδειγμα #1:
Συγκρίνετε τα κλάσματα \(\frac(11)(12)\) και \(\frac(13)(16)\).

Λύση:
Εφόσον δεν υπάρχουν πανομοιότυποι αριθμητές ή παρονομαστές, εφαρμόζουμε τον κανόνα σύγκρισης με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρέπει να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι ίσος με 96. Ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή. Πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα \(\frac(11)(12)\) με έναν επιπλέον παράγοντα 8 και πολλαπλασιάστε το δεύτερο κλάσμα \(\frac(13)(16)\) με 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \χρόνες 6)(16 \χρόνες 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(στοίχιση)\)

Συγκρίνουμε κλάσματα με αριθμητές, εκείνο το κλάσμα είναι μεγαλύτερο στο οποίο ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \ \end(στοίχιση)\)

Παράδειγμα #2:
Συγκρίνετε ένα σωστό κλάσμα με μια μονάδα;

Λύση:
Κάθε σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από 1.

Εργασία #1:
Πατέρας και γιος έπαιξαν ποδόσφαιρο. Ο γιος των 10 προσεγγίσεων χτύπησε την πύλη 5 φορές. Και ο μπαμπάς χτύπησε την πύλη 3 φορές από τις 5 προσεγγίσεις. Ποιανού το αποτέλεσμα είναι καλύτερο;

Λύση:
Ο γιος χτύπησε από τις 10 πιθανές προσεγγίσεις 5 φορές. Γράφουμε ως κλάσμα \(\frac(5)(10) \).
Ο μπαμπάς χτύπησε από τις 5 πιθανές προσεγγίσεις 3 φορές. Γράφουμε ως κλάσμα \(\frac(3)(5) \).

Συγκρίνετε κλάσματα. Έχουμε διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές, ας το φέρουμε στον ίδιο παρονομαστή. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Απάντηση: Το αποτέλεσμα του μπαμπά είναι καλύτερο.

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμεσχετικά με σύγκριση μικτών αριθμών. Αρχικά, θα καταλάβουμε ποιοι μικτοί αριθμοί λέγονται ίσοι και ποιοι άνισοι. Στη συνέχεια, θα δώσουμε έναν κανόνα για τη σύγκριση άνισων μικτών αριθμών, ο οποίος σας επιτρέπει να μάθετε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος και ποιος μικρότερος και εξετάστε παραδείγματα. Τέλος, θα επικεντρωθούμε στη σύγκριση μεικτών αριθμών με φυσικούς αριθμούς και κοινά κλάσματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ίσοι και άνισοι μικτοί αριθμοί

Πρώτα πρέπει να ξέρετε ποιοι μικτοί αριθμοί λέγονται ίσοι και ποιοι άνισοι. Ας δώσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς.

Ορισμός.

Ίσο Μικτές Αριθμοίείναι μικτοί αριθμοί που έχουν τα ίδια ολόκληρα και κλασματικά μέρη.

Με άλλα λόγια, δύο μικτοί αριθμοί λέγονται ίσοι εάν οι καταχωρήσεις τους είναι ακριβώς οι ίδιες. Εάν οι καταχωρήσεις των μικτών αριθμών διαφέρουν, τότε αυτοί οι μικτές αριθμοί ονομάζονται άνισοι.

Ορισμός.

Ανισοί μικτοί αριθμοίείναι μικτοί αριθμοί των οποίων οι εγγραφές είναι διαφορετικές.

Οι φωνητικοί ορισμοί σάς επιτρέπουν να προσδιορίσετε με μια ματιά εάν οι συγκεκριμένοι μικτές αριθμοί είναι ίσοι ή όχι. Για παράδειγμα, μικτοί αριθμοί και ίσοι, αφού οι εγγραφές τους είναι ακριβώς ίδιες. Αυτοί οι αριθμοί έχουν ίσα ακέραια και ίσα κλασματικά μέρη. Και οι μικτές αριθμοί και είναι άνισοι, αφού έχουν άνισα ακέραια μέρη. Άλλα παραδείγματα άνισων μικτών αριθμών είναι και , καθώς και και .

Μερικές φορές καθίσταται απαραίτητο να μάθουμε ποιος από δύο άνισους μικτούς αριθμούς είναι μεγαλύτερος από τον άλλο και ποιος είναι μικρότερος. Πώς γίνεται αυτό, θα εξετάσουμε στην επόμενη παράγραφο.

Σύγκριση μικτών αριθμών

Η σύγκριση μεικτών αριθμών μπορεί να μειωθεί στη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μετατρέψετε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε έναν μικτό αριθμό και έναν μικτό αριθμό, παρουσιάζοντάς τους ως ακατάλληλα κλάσματα. Έχουμε και . Έτσι η σύγκριση των αρχικών μικτών αριθμών ανάγεται στη σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και . Από τότε .

Η σύγκριση μικτών αριθμών με σύγκριση των ίσων κλασμάτων τους δεν είναι καλύτερη λύση. Είναι πολύ πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνας σύγκρισης μικτών αριθμών: περισσότερος είναι ο μεικτός αριθμός, του οποίου το ακέραιο μέρος είναι μεγαλύτερο, αλλά αν τα ακέραια μέρη είναι ίσα, τότε τόσο μεγαλύτερος είναι ο μεικτός αριθμός, του οποίου το κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο.

Σκεφτείτε πώς γίνεται η σύγκριση των μικτών αριθμών σύμφωνα με τον εκφρασμένο κανόνα. Για να γίνει αυτό, θα αναλύσουμε τις λύσεις των παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Ποιοι από τους μικτούς αριθμούς και όχι μόνο;

Λύση.

Τα ακέραια μέρη των συγκριτικών μικτών αριθμών είναι ίσα, επομένως η σύγκριση ανάγεται στη σύγκριση των κλασματικών μερών και . Από τότε . Άρα ο μεικτός αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον μικτό αριθμό.

Απάντηση:

Σύγκριση μικτού και φυσικού αριθμού

Ας μάθουμε πώς να συγκρίνουμε έναν μικτό αριθμό και φυσικός αριθμός.

Δίκαιο κανόνας σύγκρισης μικτού αριθμού με φυσικό αριθμό: εάν το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού είναι μικρότερο από τον δεδομένο φυσικό αριθμό, τότε ο μεικτός αριθμός είναι μικρότερος από τον δεδομένο φυσικό αριθμό και εάν το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τον δεδομένο μικτό αριθμό, τότε ο μεικτός αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεδομένο φυσικό αριθμό.

Ας δούμε παραδείγματα σύγκρισης μικτού και φυσικού αριθμού.

Παράδειγμα.

Συγκρίνετε τους αριθμούς 6 και .

Λύση.

ολόκληρο μέροςο μεικτός αριθμός είναι 9. Εφόσον είναι μεγαλύτερος από τον φυσικό αριθμό 6, τότε .

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Δεδομένου ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού 34, ποιος αριθμός είναι μικρότερος;

Λύση.

Το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού είναι μικρότερο από 34 (11<34 ), поэтому .

Απάντηση:

Ο μεικτός αριθμός είναι μικρότερος από τον αριθμό 34 .

Παράδειγμα.

Κάντε μια σύγκριση μεταξύ του αριθμού 5 και του μικτού αριθμού.

Λύση.

Το ακέραιο μέρος αυτού του μικτού αριθμού είναι ίσο με τον φυσικό αριθμό 5, επομένως, αυτός ο μεικτός αριθμός είναι μεγαλύτερος από 5.

Απάντηση:

Για να ολοκληρώσουμε αυτήν την υποενότητα, σημειώνουμε ότι οποιοσδήποτε μικτός αριθμός είναι μεγαλύτερος του ενός. Αυτή η δήλωση προκύπτει από τον κανόνα για τη σύγκριση ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού, καθώς και από το γεγονός ότι το ακέραιο μέρος οποιουδήποτε μικτού αριθμού είναι είτε μεγαλύτερο από 1 είτε ίσο με 1.

Σύγκριση μικτού αριθμού και κοινού κλάσματος

Αρχικά, ας μιλήσουμε για συγκρίνοντας έναν μικτό αριθμό και ένα σωστό κλάσμα. Οποιοδήποτε σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από 1 (βλ. σωστά και ακατάλληλα κλάσματα), επομένως κάθε σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από οποιονδήποτε μικτό αριθμό (καθώς οποιοσδήποτε μικτός αριθμός είναι μεγαλύτερος από 1).

Οι κανόνες για τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων εξαρτώνται από τον τύπο του κλάσματος (κατάλληλο, ακατάλληλο, μικτό κλάσμα) και από το σημαντικό (ίδιο ή διαφορετικό) των συγκριτικών κλασμάτων.

Αυτή η ενότητα εξετάζει επιλογές για τη σύγκριση κλασμάτων που έχουν τον ίδιο αριθμητή ή παρονομαστή.

Κανόνας. Για να συγκρίνετε δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να συγκρίνετε τους αριθμητές τους. Περισσότερα (λιγότερο) είναι το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος (λιγότερος).

Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα:

Κανόνας. Για να συγκρίνετε σωστά κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, πρέπει να συγκρίνετε τους παρονομαστές τους. Περισσότερα (λιγότερο) είναι το κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι μικρότερος (μεγαλύτερος).

Για παράδειγμα, συγκρίνετε κλάσματα:

Σύγκριση σωστών, ακατάλληλων και μικτών κλασμάτων μεταξύ τους

Κανόνας. Τα ακατάλληλα και μικτά κλάσματα είναι πάντα μεγαλύτερα από οποιοδήποτε σωστό κλάσμα.

Ένα σωστό κλάσμα είναι, εξ ορισμού, μικρότερο από 1, επομένως τα ακατάλληλα και μικτά κλάσματα (που έχουν αριθμό ίσο ή μεγαλύτερο από 1) είναι μεγαλύτερα από ένα σωστό κλάσμα.

Κανόνας. Από δύο μικτά κλάσματα, το μεγαλύτερο (λιγότερο) είναι αυτό στο οποίο το ακέραιο μέρος του κλάσματος είναι μεγαλύτερο (λιγότερο). Όταν τα ακέραια μέρη των μικτών κλασμάτων είναι ίσα, το κλάσμα με το μεγαλύτερο (λιγότερο) κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο (λιγότερο).