Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά στην άλγεβρα, και μάλιστα σε όλα τα μαθηματικά, είναι το πτυχίο. Φυσικά, στον 21ο αιώνα, όλοι οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν σε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αλλά είναι καλύτερο να μάθετε πώς να το κάνετε μόνοι σας για την ανάπτυξη του εγκεφάλου.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τα πιο σημαντικά ζητήματα σχετικά με αυτόν τον ορισμό. Δηλαδή, θα καταλάβουμε τι είναι γενικά και ποιες είναι οι κύριες λειτουργίες του, ποιες ιδιότητες υπάρχουν στα μαθηματικά.

Ας δούμε παραδείγματα για το πώς φαίνεται ο υπολογισμός, ποιοι είναι οι βασικοί τύποι. Θα αναλύσουμε τους κύριους τύπους ποσοτήτων και πώς διαφέρουν από άλλες συναρτήσεις.

Θα καταλάβουμε πώς να λύσουμε διάφορα προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή. Θα δείξουμε με παραδείγματα πώς γίνεται η αύξηση σε μηδενικό βαθμό, παράλογο, αρνητικό κ.λπ.

Ηλεκτρονικός υπολογιστής εκθέσεως

Ποιος είναι ο βαθμός ενός αριθμού

Τι σημαίνει η έκφραση «ανέβασε έναν αριθμό σε δύναμη»;

Ο βαθμός n ενός αριθμού a είναι το γινόμενο παραγόντων μεγέθους a n φορές στη σειρά.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό:

a n = a * a * a * …a n .

Για παράδειγμα:

• 2 3 = 2 στο τρίτο βήμα. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 σε βήμα. δύο = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 σε βήμα. τέσσερα = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 σε 5 βήμα. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 σε 4 βήμα. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Παρακάτω είναι ένας πίνακας με τετράγωνα και κύβους από το 1 έως το 10.

Πίνακας βαθμών από 1 έως 10

Παρακάτω είναι τα αποτελέσματα της αύξησης των φυσικών αριθμών σε θετικές δυνάμεις - "από το 1 στο 100".

Ch-lo	2η τάξη	3η τάξη
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Ιδιότητες πτυχίου

Τι είναι χαρακτηριστικό μιας τέτοιας μαθηματικής συνάρτησης; Ας δούμε τις βασικές ιδιότητες.

Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει τα εξής σημάδια χαρακτηριστικά όλων των βαθμών:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a β) m =(a) (b*m) .

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Από την άλλη πλευρά 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Ομοίως: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Διαφορετικά 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Τι γίνεται αν είναι διαφορετικό; 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι κανόνες λειτουργούν.

Αλλά πώς να είσαι με πρόσθεση και αφαίρεση? Όλα είναι απλά. Πρώτα εκτελείται εκθετική εκτίμηση και μόνο μετά πρόσθεση και αφαίρεση.

Ας δούμε παραδείγματα:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την πρόσθεση, καθώς υπάρχουν ενέργειες σε παρενθέσεις: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Πώς να παράγετε υπολογισμούς σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις? Η σειρά είναι η ίδια:

• εάν υπάρχουν αγκύλες, πρέπει να ξεκινήσετε με αυτές.
• στη συνέχεια εκθεσιμότητα?
• στη συνέχεια εκτελέστε πράξεις πολλαπλασιασμού, διαίρεσης.
• μετά την πρόσθεση, την αφαίρεση.

Υπάρχουν συγκεκριμένες ιδιότητες που δεν είναι χαρακτηριστικές για όλους τους βαθμούς:

1. Η ρίζα του ν ου βαθμού από τον αριθμό α στον βαθμό m θα γραφεί ως: a m / n .
2. Κατά την αύξηση ενός κλάσματος σε δύναμη: τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής του υπόκεινται σε αυτή τη διαδικασία.
3. Όταν αυξάνεται το γινόμενο διαφορετικών αριθμών σε μια ισχύ, η έκφραση θα αντιστοιχεί στο γινόμενο αυτών των αριθμών σε μια δεδομένη ισχύ. Δηλαδή: (a * b) n = a n * b n .
4. Όταν ανεβάζετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε το 1 με έναν αριθμό στο ίδιο βήμα, αλλά με το σύμβολο "+".
5. Εάν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι σε αρνητική δύναμη, τότε αυτή η παράσταση θα είναι ίση με το γινόμενο του αριθμητή και τον παρονομαστή σε θετική δύναμη.
6. Οποιοσδήποτε αριθμός στη δύναμη του 0 = 1 και στο βήμα. 1 = στον εαυτό του.

Αυτοί οι κανόνες είναι σημαντικοί σε μεμονωμένες περιπτώσεις, θα τους εξετάσουμε λεπτομερέστερα παρακάτω.

Βαθμός με αρνητικό εκθέτη

Τι να κάνουμε με αρνητικό βαθμό, δηλαδή όταν ο δείκτης είναι αρνητικός;

Με βάση τις ιδιότητες 4 και 5(βλέπε σημείο παραπάνω) αποδεικνύεται:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Και αντίστροφα:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Κι αν είναι κλάσμα;

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Πτυχίο με φυσικό δείκτη

Εννοείται ως ένας βαθμός με εκθέτες ίσους με ακέραιους αριθμούς.

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… κ.λπ.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… κ.λπ.

Επίσης, αν (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…τότε το αποτέλεσμα θα είναι με πρόσημο «+». Εάν ένας αρνητικός αριθμός αυξηθεί σε περιττή ισχύ, τότε το αντίστροφο.

Οι γενικές ιδιότητες και όλα τα ειδικά χαρακτηριστικά που περιγράφονται παραπάνω είναι επίσης χαρακτηριστικά τους.

Κλασματικός βαθμός

Αυτή η προβολή μπορεί να γραφτεί ως σχήμα: A m / n. Διαβάζεται ως: η ρίζα της νης μοίρας του αριθμού Α στη δύναμη του m.

Με έναν κλασματικό δείκτη, μπορείτε να κάνετε τα πάντα: να μειώσετε, να αποσυντεθείτε σε μέρη, να αυξήσετε σε άλλο βαθμό κ.λπ.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Έστω α ένας άρρητος αριθμός και Α ˃ 0.

Για να κατανοήσετε την ουσία του πτυχίου με έναν τέτοιο δείκτη, Ας δούμε διάφορες πιθανές περιπτώσεις:

• A \u003d 1. Το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με 1. Επειδή υπάρχει ένα αξίωμα - 1 είναι ίσο με ένα σε όλες τις δυνάμεις.

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 είναι ρητικοί αριθμοί.

• 0˂А˂1.

Στην περίπτωση αυτή, αντίστροφα: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 υπό τις ίδιες συνθήκες όπως στη δεύτερη παράγραφο.

Για παράδειγμα, ο εκθέτης είναι ο αριθμός π.Είναι λογικό.

r 1 - σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με 3.

r 2 - θα είναι ίσο με 4.

Τότε, για A = 1, 1 π = 1.

A = 2, μετά 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, μετά (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Τέτοιοι βαθμοί χαρακτηρίζονται από όλες τις μαθηματικές πράξεις και συγκεκριμένες ιδιότητες που περιγράφονται παραπάνω.

συμπέρασμα

Ας συνοψίσουμε - σε τι χρησιμεύουν αυτές οι τιμές, ποια είναι τα πλεονεκτήματα τέτοιων λειτουργιών; Φυσικά, πρώτα απ 'όλα, απλοποιούν τη ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών κατά την επίλυση παραδειγμάτων, καθώς επιτρέπουν την ελαχιστοποίηση των υπολογισμών, τη μείωση αλγορίθμων, τη συστηματοποίηση δεδομένων και πολλά άλλα.

Πού αλλού μπορεί να είναι χρήσιμη αυτή η γνώση; Σε οποιαδήποτε εργασιακή ειδικότητα: ιατρική, φαρμακολογία, οδοντιατρική, κατασκευές, τεχνολογία, μηχανική, σχεδιασμός κ.λπ.

Σε ένα από τα προηγούμενα άρθρα, αναφέραμε ήδη τον βαθμό ενός αριθμού. Σήμερα θα προσπαθήσουμε να πλοηγηθούμε στη διαδικασία εύρεσης του νοήματός του. Επιστημονικά μιλώντας, θα καταλάβουμε πώς να εκθέσουμε σωστά. Θα καταλάβουμε πώς πραγματοποιείται αυτή η διαδικασία, αγγίζοντας ταυτόχρονα όλους τους πιθανούς εκθέτες: φυσικούς, παράλογους, ορθολογικούς, ολικούς.

Ας ρίξουμε λοιπόν μια πιο προσεκτική ματιά στις λύσεις των παραδειγμάτων και ας μάθουμε τι σημαίνει:

1. Ορισμός έννοιας.
2. Ανέβασμα στην αρνητική τέχνη.
3. Ολόκληρο το σκορ.
4. Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε μια παράλογη δύναμη.

Ακολουθεί ένας ορισμός που αντικατοπτρίζει με ακρίβεια το νόημα: "Η αύξηση σε δύναμη είναι ο ορισμός της τιμής του βαθμού ενός αριθμού."

Αντίστοιχα, η κατασκευή του αριθμού α στο Άρθ. Το r και η διαδικασία εύρεσης της τιμής του βαθμού α με τον εκθέτη r είναι πανομοιότυπες έννοιες. Για παράδειγμα, εάν η εργασία είναι να υπολογίσετε την τιμή του βαθμού (0,6) 6 ″, τότε μπορεί να απλοποιηθεί στην έκφραση "Αυξήστε τον αριθμό 0,6 στη δύναμη του 6".

Μετά από αυτό, μπορείτε να προχωρήσετε απευθείας στους κανόνες κατασκευής.

Ανέβασμα σε αρνητική δύναμη

Για λόγους σαφήνειας, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στην ακόλουθη αλυσίδα εκφράσεων:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 σε μείον 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 σε μείον 2 βήματα.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 μείον 3 st.,

110000=0,00001=1*10 έως μείον 4 μοίρες.

Χάρη σε αυτά τα παραδείγματα, μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα τη δυνατότητα να υπολογίζετε αμέσως το 10 σε οποιαδήποτε αρνητική ισχύ. Για το σκοπό αυτό, αρκεί απλώς να μετατοπίσετε το δεκαδικό στοιχείο:

• 10 έως -1 βαθμός - πριν από τη μονάδα 1 μηδέν.
• σε -3 - τρία μηδενικά πριν από ένα.
• -9 είναι 9 μηδενικά κ.ο.κ.

Είναι επίσης εύκολο να καταλάβουμε σύμφωνα με αυτό το σχήμα πόσο θα είναι 10 μείον 5 κουταλιές της σούπας. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη

Υπενθυμίζοντας τον ορισμό, λαμβάνουμε υπόψη ότι ο φυσικός αριθμός α στο άρθ. n ισούται με το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους ισούται με a. Ας δείξουμε: (a * a * ... a) n, όπου n είναι ο αριθμός των αριθμών που πολλαπλασιάζονται. Αντίστοιχα, για να αυξηθεί το a στο n, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το γινόμενο της ακόλουθης μορφής: a * a * ... και να διαιρεθεί με n φορές.

Από εδώ γίνεται φανερό ότι ανέγερση στη φυσική τέχνη. βασίζεται στην ικανότητα πολλαπλασιασμού(το υλικό αυτό καλύπτεται στην ενότητα για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών). Ας δούμε το πρόβλημα:

Ανεβάστε -2 στην 4η κ.σ.

Έχουμε να κάνουμε με έναν φυσικό δείκτη. Κατά συνέπεια, η πορεία της απόφασης θα έχει ως εξής: (-2) στο άρθ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Τώρα μένει μόνο να πραγματοποιηθεί ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Παίρνουμε 16.

Απάντηση στην εργασία:

(-2) στο άρθ. 4=16.

Παράδειγμα:

Υπολογίστε την τιμή: τρία σημεία δύο έβδομα στο τετράγωνο.

Αυτό το παράδειγμα είναι ίσο με το ακόλουθο γινόμενο: τρία σημεία δύο έβδομα επί τρία σημεία δύο έβδομα. Θυμόμαστε πώς πραγματοποιείται ο πολλαπλασιασμός των μικτών αριθμών, ολοκληρώνουμε την κατασκευή:

• 3 ολόκληρα 2 έβδομα πολλαπλασιασμένα με τον εαυτό τους.
• ισούται με 23 έβδομα επί 23 έβδομα.
• ισούται με 529 σαράντα ένατα.
• μειώνουμε και παίρνουμε 10 τριάντα εννέα σαράντα ένατα.

Απάντηση: 10 39/49

Όσον αφορά το ζήτημα της ανόδου σε έναν παράλογο δείκτη, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι υπολογισμοί αρχίζουν να διενεργούνται μετά την ολοκλήρωση της προκαταρκτικής στρογγυλοποίησης της βάσης του πτυχίου σε κάποια κατάταξη, η οποία θα επέτρεπε τη λήψη μιας τιμής με δεδομένη ακρίβεια . Για παράδειγμα, πρέπει να τετραγωνίσουμε τον αριθμό P (pi).

Ξεκινάμε στρογγυλεύοντας το P στα εκατοστά και παίρνουμε:

P τετράγωνο \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Ωστόσο, αν μειώσουμε το P σε δέκα χιλιάδες, παίρνουμε P = 3,14159. Τότε ο τετραγωνισμός παίρνει έναν εντελώς διαφορετικό αριθμό: 9,8695877281.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι σε πολλά προβλήματα δεν χρειάζεται να ανεβάζουμε παράλογους αριθμούς σε μια ισχύ. Κατά κανόνα, η απάντηση εισάγεται είτε με τη μορφή, στην πραγματικότητα, ενός βαθμού, για παράδειγμα, της ρίζας του 6 στη δύναμη του 3, είτε, εάν η έκφραση το επιτρέπει, πραγματοποιείται ο μετασχηματισμός της: η ρίζα του 5 έως 7 μοίρες \u003d 125 ρίζα του 5.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια ακέραια δύναμη

Αυτός ο αλγεβρικός χειρισμός είναι κατάλληλος λαμβάνουν υπόψη τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• για ακέραιους αριθμούς?
• για μηδενικό δείκτη?
• για θετικό ακέραιο.

Δεδομένου ότι σχεδόν όλοι οι θετικοί ακέραιοι συμπίπτουν με τη μάζα των φυσικών αριθμών, ο ορισμός του σε θετική ακέραια ισχύ είναι η ίδια διαδικασία με τον ορισμό του στο Art. φυσικός. Έχουμε περιγράψει αυτή τη διαδικασία στην προηγούμενη παράγραφο.

Τώρα ας μιλήσουμε για τον υπολογισμό του Art. μηδενικό. Έχουμε ήδη ανακαλύψει παραπάνω ότι η μηδενική ισχύς του αριθμού a μπορεί να προσδιοριστεί για οποιοδήποτε μη μηδενικό a (πραγματικό), ενώ το a στο st. 0 θα ισούται με 1.

Αντίστοιχα, η κατασκευή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού στο μηδέν τέχνη. θα δώσει ένα.

Για παράδειγμα, 10 σε st.0=1, (-3,65)0=1, και 0 σε st. Το 0 δεν μπορεί να προσδιοριστεί.

Προκειμένου να ολοκληρωθεί η εκτίμηση σε μια ακέραια δύναμη, μένει να αποφασίσουμε για τις επιλογές για αρνητικές ακέραιες τιμές. Θυμόμαστε ότι η Τέχνη. από a με ακέραιο εκθέτη -z θα οριστεί ως κλάσμα. Στον παρονομαστή του κλάσματος είναι το Art. με ολόκληρο θετική αξία, του οποίου την αξία έχουμε ήδη μάθει να βρίσκουμε. Τώρα μένει μόνο να εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής.

Παράδειγμα:

Υπολογίστε την τιμή του αριθμού 2 σε κύβους με έναν ακέραιο αρνητικός δείκτης.

Διαδικασία λύσης:

Σύμφωνα με τον ορισμό ενός βαθμού με αρνητικό δείκτη, συμβολίζουμε: δύο σε μείον 3 κ.σ. ισούται με ένα προς δύο προς την τρίτη δύναμη.

Ο παρονομαστής υπολογίζεται απλά: δύο κύβους.

3 = 2*2*2=8.

Απάντηση: δύο μείον την 3η κ.σ. = ένα όγδοο.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Πτυχίο με αρνητικό δείκτη. Ορισμός και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την τάξη 8
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Muravina G.K. Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Alimova Sh.A.

Προσδιορισμός του βαθμού με αρνητικό εκθέτη

Παιδιά, είμαστε καλοί στο να ανεβάζουμε τους αριθμούς σε δύναμη.
Για παράδειγμα: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Γνωρίζουμε καλά ότι οποιοσδήποτε αριθμός με μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. $a^0=1$, $a≠0$.
Γεννιέται το ερώτημα, τι θα συμβεί αν αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη; Για παράδειγμα, με τι θα ήταν ίσος ο αριθμός $2^(-2)$;
Οι πρώτοι μαθηματικοί που έθεσαν αυτή την ερώτηση αποφάσισαν ότι δεν άξιζε την επανεφεύρεση του τροχού και ήταν καλό που όλες οι ιδιότητες των μοιρών παραμένουν ίδιες. Δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, οι εκθέτες αθροίζονται.
Ας εξετάσουμε αυτήν την περίπτωση: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Καταλάβαμε ότι το γινόμενο τέτοιων αριθμών πρέπει να δίνει ενότητα. Η μονάδα στο γινόμενο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τα αντίστροφα, δηλαδή $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Αυτός ο συλλογισμός οδήγησε στον ακόλουθο ορισμό.
Ορισμός. Αν το $n$ είναι φυσικός αριθμός και το $а≠0$, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Μια σημαντική ταυτότητα που χρησιμοποιείται συχνά: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Συγκεκριμένα, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1
Υπολογίστε: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Λύση.
Ας εξετάσουμε κάθε όρο ξεχωριστά.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Απομένει να εκτελέσουμε τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Απάντηση: $6\frac(1)(4)$.

Παράδειγμα 2
Εκφράστε έναν δεδομένο αριθμό ως δύναμη πρώτος αριθμός$\frac(1)(729)$.

Λύση.
Προφανώς $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Αλλά το 729 δεν είναι ένας πρώτος αριθμός που τελειώνει σε 9. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι δύναμη του τρία. Ας διαιρέσουμε διαδοχικά το 729 με το 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Έξι λειτουργίες έχουν ολοκληρωθεί, που σημαίνει: $729=3^6$.
Για το έργο μας:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Απάντηση: $3^(-6)$.

Παράδειγμα 3. Εκφράστε την παράσταση ως δύναμη: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)(a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Λύση. Η πρώτη πράξη γίνεται πάντα μέσα στις αγκύλες και μετά ο πολλαπλασιασμός $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Απάντηση: $a$.

Παράδειγμα 4. Αποδείξτε την ταυτότητα:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Λύση.
Στην αριστερή πλευρά, εξετάστε κάθε παράγοντα σε παρένθεση ξεχωριστά.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Ας προχωρήσουμε στο κλάσμα με το οποίο διαιρούμε.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Ας κάνουμε τη διαίρεση.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Αποκτήσαμε τη σωστή ταυτότητα, η οποία έπρεπε να αποδειχθεί.

Στο τέλος του μαθήματος, θα ξαναγράψουμε τους κανόνες για ενέργειες με μοίρες, εδώ ο εκθέτης είναι ακέραιος.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1. Υπολογίστε: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Αντιπροσωπεύστε τον δεδομένο αριθμό ως δύναμη ενός πρώτου αριθμού $\frac(1)(16384)$.
3. Εκφράστε την έκφραση ως βαθμό:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Αποδείξτε την ταυτότητα:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού τα χρειάζεστε; Γιατί χρειάζεται να αφιερώσετε χρόνο στη μελέτη τους;

Για να μάθετε τα πάντα για τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας Καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά επιτυχής παράδοση OGE ή USE και να μπεις στο πανεπιστήμιο των ονείρων σου.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκθετικότητα είναι η ίδια μαθηματική πράξη με την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση.

Τώρα θα εξηγήσω τα πάντα στην ανθρώπινη γλώσσα σε πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Κάθε ένα έχει δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με την κόλα μπορεί να γραφτεί με διαφορετικό τρόπο: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Πρώτα παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Και ποια άλλα δύσκολα κόλπα μέτρησης βρήκαν οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι. Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο μυαλό τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε μόνο θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται το δεύτερο πτυχίο τετράγωνοαριθμούς και το τρίτο κύβος? Τι σημαίνει? Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα που μετράει μέτρα ανά μέτρα. Η πισίνα βρίσκεται στην αυλή σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Αλλά ... πισίνα χωρίς πάτο! Είναι απαραίτητο να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή του πυθμένα της πισίνας.

Μπορείτε απλά να μετρήσετε πατώντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν τα πλακάκια σας είναι μέτρο με μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα πού είδες τέτοιο πλακάκι; Το πλακάκι θα είναι μάλλον εκατοστά εκ. Και μετά θα σε βασανίζουν «μετρώντας με το δάχτυλό σου». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάζοντας με, λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζεται ο ίδιος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της εκθέσεως. (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση σε μια ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και επίσης υπάρχουν λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα έως το δεύτερο βαθμό θα είναι (). Ή μπορείτε να πείτε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς, μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού ... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να μετρήσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή ... αν το παρατηρήσετε Σκακιέραείναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε οκτώ. Αποκτήστε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ένα πάτο σε μέγεθος ένα μέτρο και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο με ένα μέτρο θα μπουν στο δικό σας πισίνα.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα… είκοσι δύο, είκοσι τρία… Πόσο βγήκε; Δεν χάθηκες; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ισούται με κύβους… Πιο εύκολο σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το κάνουν πολύ εύκολο. Μείωσε τα πάντα σε μία ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Και τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με ένα δάχτυλο, το κάνουν με μία ενέργεια: τρία σε έναν κύβο είναι ίσα. Είναι γραμμένο έτσι:

Παραμένει μόνο απομνημονεύστε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσουμε επιτέλους ότι τα πτυχία τα εφευρέθηκαν αργόσχολοι και πονηροί για να λύσουν τα προβλήματα της ζωής τους και όχι για να σας δημιουργήσουν προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε άλλο ένα εκατομμύριο για κάθε εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε ένα από τα εκατομμύρια σας στην αρχή κάθε έτους διπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν τώρα κάθεσαι και «μετράς με το δάχτυλό σου», τότε είσαι πολύ εργατικός άνθρωπος και .. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Έτσι, τον πρώτο χρόνο - δύο φορές δύο ... τον δεύτερο χρόνο - τι έγινε, από δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο ... Σταματήστε! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται μόνος του μία φορά. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε διαγωνισμό και αυτός που υπολογίζει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια ... Αξίζει να θυμάστε τους βαθμούς των αριθμών, τι πιστεύετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε δύο περισσότερα για κάθε εκατομμύριο. Είναι υπέροχο σωστά; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο ... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα η τέταρτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη, θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες ... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται "στην κορυφή" της ισχύος του αριθμού. Δεν είναι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλός είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο κάτω μέρος, στη βάση.

Εδώ είναι μια φωτογραφία για να είστε σίγουροι.

Λοιπόν και μέσα γενική εικόναγια να γενικεύσουμε και να θυμάστε καλύτερα ... Ένας βαθμός με βάση "" και εκθέτη "" διαβάζεται ως "στο βαθμό" και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση κατά την καταχώριση στοιχείων: ένα, δύο, τρία ... Όταν μετράμε στοιχεία, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε ούτε «ένα τρίτο» ή «μηδέν πόντος πέντε δέκατα». Δεν είναι ακέραιοι αριθμοί. Ποιοι πιστεύετε ότι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και έναν αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - αυτό είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Και τι σημαίνουν αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να δηλώσουν χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε ρούβλια στον χειριστή.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν αρκετούς φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί… Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Με λίγα λόγια, ατελείωτο δεκαδικός. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, τότε παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια του βαθμού, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

1. Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει πολλαπλασιασμός του από τον εαυτό του:
3. Ο κύβος ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη είναι να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό με τον εαυτό του φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίου

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σας δείξω τώρα.

Ας δούμε τι είναι Και ?

A-priory:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε παράγοντες στους παράγοντες και το αποτέλεσμα είναι παράγοντες.

Αλλά εξ ορισμού, αυτός είναι ο βαθμός ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να είναι ο ίδιος λόγος!
Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψετε αυτό.

2. δηλαδή -η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Πτυχίο με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε μοίρες από φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, βγαίνει.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Εάν ανταλλάσσονταν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή λαμβάνονται με το πρόσημο «») και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, αναρωτιόμαστε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Σκεφτείτε λίγη δύναμη με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε τον ίδιο όπως ήταν -. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μια πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιοδήποτε βαθμό - όσο κι αν πολλαπλασιάσετε το μηδέν με τον εαυτό του, εξακολουθείτε να παίρνετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στον μηδενικό βαθμό, πρέπει να είναι ίσος. Ποια είναι λοιπόν η αλήθεια αυτού; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός βαθμός, ας κάνουμε το ίδιο με την προηγούμενη φορά: πολλαπλασιάζουμε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο σε αρνητικό βαθμό:

Από εδώ είναι ήδη εύκολο να εκφράσουμε το επιθυμητό:

Τώρα επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Ας διαμορφώσουμε λοιπόν τον κανόνα:

Ένας αριθμός σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη. Αλλά συγχρόνως Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται σε περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν είναι ίσος με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Ανάλυση εργασιών για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις πρέπει να είσαι έτοιμος για όλα! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τη λύση τους αν δεν μπορούσατε να τη λύσετε και θα μάθετε πώς να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε τον κύκλο των αριθμών «κατάλληλων» ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: όλα όσα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι, επιπλέον.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός"Ας εξετάσουμε ένα κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα θυμηθείτε τον κανόνα "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, είναι ίσος.

Δηλαδή, η ρίζα του ου βαθμού είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς, αυτή η ειδική περίπτωση μπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέστε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί με τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς!

Και αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική ισχύ με άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, μειωμένα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, και πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Μόλις όμως γράψουμε τον δείκτη με διαφορετικό τρόπο, ξαναμπαίνουμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγετε τέτοια παράδοξα, σκεφτείτε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη είναι πολύ χρήσιμες για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα - το πιο δύσκολο. Τώρα θα αναλύσουμε βαθμό με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των μοιρών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για τους βαθμούς με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Πράγματι, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι άρρητοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...μηδενική ισχύς- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από μόνος του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει ακόμη εμφανιστεί - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας ορισμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή τον αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος εκθέτης- είναι σαν να έχει λάβει χώρα μια συγκεκριμένη «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον ήδη συνηθισμένο κανόνα για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό:

Δείτε τώρα το σκορ. Σας θυμίζει κάτι; Υπενθυμίζουμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτήν την περίπτωση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Φέρνουμε κλάσματα σε εκθέτες στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κοινά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι έκφραση της μορφής: , όπου:

• — βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό εκθέτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Ισχύς με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

ανέγερση σε μηδενική ισχύ:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι ακέραιος αρνητικόςαριθμός:

(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Για άλλη μια φορά για τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίου

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

A-priory:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης, προκύπτει το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με έναν εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να είναι στην ίδια βάση. Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

Μια άλλη σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας - μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψω.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας το αναδιατάξουμε ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η -η δύναμη του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:!

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο τι θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε μοίρες από φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια σημάδια (" " ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε -.

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό, το πρόσημο θα αλλάζει. Είναι δυνατό να διατυπωθεί τέτοια απλούς κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμόμαστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση λιγότερο από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε ο ένας στον άλλο, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν αναλύσουμε τον τελευταίο κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορεί να αντικατασταθεί αλλάζοντας μόνο ένα απαράδεκτο μείον για εμάς!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Ο τελευταίος κανόνας λοιπόν:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκτείνουμε την έννοια του πτυχίου και ας απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα θα είναι; φορές με πολλαπλασιαστές - πώς μοιάζει; Αυτό δεν είναι παρά ο ορισμός μιας πράξης πολλαπλασιασμός: συνολικά αποδείχθηκαν πολλαπλασιαστές. Δηλαδή, είναι εξ ορισμού δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το πτυχίο με έναν παράλογο δείκτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξάλλου, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ορθολογικούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στον μηδενικό βαθμό είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα ορισμένη «προετοιμασία ενός αριθμού», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό δείκτη - είναι σαν να έχει συμβεί μια συγκεκριμένη "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Μάλλον, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

1)

2)

3)

Απαντήσεις:

1. Θυμηθείτε τη διαφορά των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Φέρνουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

βαθμός, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

εκθέτης του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίου

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΛΟΓΙΑ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Ενημερώστε με στα σχόλια παρακάτω αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας με τις ιδιότητες ισχύος.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Ένας αριθμός ανυψωμένος σε δύναμηκαλέστε έναν αριθμό που πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του πολλές φορές.

Δύναμη ενός αριθμού με αρνητική τιμή (α - ν) μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο που προσδιορίζεται ο βαθμός του ίδιου αριθμού με θετικό εκθέτη (ένα) . Ωστόσο, απαιτεί επίσης έναν πρόσθετο ορισμό. Ο τύπος ορίζεται ως:

ένα = (1 / a n)

Οι ιδιότητες των αρνητικών τιμών των δυνάμεων των αριθμών είναι παρόμοιες με τις δυνάμεις με θετικό εκθέτη. Αναπαριστώμενη εξίσωση ένα m / a n = ένα m-n μπορεί να είναι δίκαιο καθώς

« Πουθενά, όπως στα μαθηματικά, η σαφήνεια και η ακρίβεια του συμπεράσματος δεν επιτρέπει σε ένα άτομο να ξεφύγει από την απάντηση μιλώντας γύρω από την ερώτηση.».

A. D. Alexandrov

στο n περισσότερο Μ , καθώς Μ περισσότερο n . Ας δούμε ένα παράδειγμα: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό που λειτουργεί ως ορισμός του πτυχίου. b=a(-n) . Σε αυτό το παράδειγμα -n είναι δείκτης του πτυχίου σι - επιθυμητή αριθμητική τιμή, ένα - η βάση του βαθμού με τη μορφή ενός φυσικού αριθμητική αξία. Στη συνέχεια, προσδιορίστε τη μονάδα, δηλαδή την απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού, που λειτουργεί ως εκθέτης. Υπολογίστε τον βαθμό του δεδομένου αριθμού σε σχέση με τον απόλυτο αριθμό ως δείκτη. Η τιμή του βαθμού βρίσκεται διαιρώντας το ένα με τον αριθμό που προκύπτει.

Ρύζι. 1

Θεωρήστε τη δύναμη ενός αριθμού με αρνητικό κλασματικό εκθέτη. Φανταστείτε ότι ο αριθμός α είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, οι αριθμοί n Και Μ - ακέραιοι αριθμοί. Εξ ορισμού ένα , η οποία ανυψώνεται στην εξουσία - ισούται με ένα διαιρούμενο με τον ίδιο αριθμό με θετικό βαθμό (Εικ. 1). Όταν η ισχύς ενός αριθμού είναι κλάσμα, τότε σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται μόνο αριθμοί με θετικούς εκθέτες.

Αξίζει να θυμηθούμεότι το μηδέν δεν μπορεί ποτέ να είναι εκθέτης ενός αριθμού (ο κανόνας της διαίρεσης με το μηδέν).

Η διάδοση μιας τέτοιας έννοιας ως αριθμός ξεκίνησε τέτοιους χειρισμούς όπως οι υπολογισμοί μέτρησης, καθώς και η ανάπτυξη των μαθηματικών ως επιστήμης. Η εισαγωγή αρνητικών τιμών οφειλόταν στην ανάπτυξη της άλγεβρας, η οποία έδωσε γενικές λύσειςαριθμητικά προβλήματα, ανεξάρτητα από τη συγκεκριμένη σημασία και τα αρχικά αριθμητικά τους δεδομένα. Στην Ινδία, τον 6ο-11ο αιώνα, οι αρνητικές τιμές των αριθμών χρησιμοποιούνταν συστηματικά κατά την επίλυση προβλημάτων και ερμηνεύονταν με τον ίδιο τρόπο όπως σήμερα. Στην ευρωπαϊκή επιστήμη, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως χάρη στον R. Descartes, ο οποίος έδωσε μια γεωμετρική ερμηνεία αρνητικούς αριθμούς, ως τις κατευθύνσεις των τμημάτων γραμμής. Ήταν ο Ντεκάρτ που πρότεινε να εμφανιστεί ο αριθμός που αυξήθηκε σε μια ισχύ ως τύπος δύο ορόφων a n .