Αριθμητικές εκφράσεις. Πώς να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Οι αριθμητικές εκφράσεις αποτελούνται από αριθμούς, αριθμητικά σημεία και αγκύλες. Εάν υπάρχουν μεταβλητές σε μια τέτοια έκφραση, θα ονομάζεται αλγεβρική. Τριγωνομετρική έκφραση είναι αυτή στην οποία η μεταβλητή περιέχεται κάτω από τα σημάδια τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εργασίες για τον προσδιορισμό των τιμών των αριθμητικών, τριγωνομετρικών, αλγεβρικών παραστάσεων βρίσκονται συχνά στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου.

Εντολή

Για να βρείτε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, καθορίστε τη σειρά των πράξεων σε ένα δεδομένο παράδειγμα. Για ευκολία, σημειώστε το με ένα μολύβι πάνω από τα αντίστοιχα σημάδια. Κάνε όλα τα βήματα με τη σωστή σειρά: παρενθέσεις, εκθέτοντας, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, πρόσθεση, αφαίρεση. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι η τιμή της αριθμητικής παράστασης.

Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή της παράστασης (34 10+(489–296) 8):4–410. Καθορίστε την πορεία δράσης. Εκτελέστε την πρώτη ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες 489–296=193. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε 193 8=1544 και 34 10=340. Επόμενη ενέργεια: 340+1544=1884. Στη συνέχεια, διαιρέστε 1884:4=461 και στη συνέχεια αφαιρέστε 461–410=60. Βρήκατε την αξία αυτής της έκφρασης.

Για να βρεις το νόημα τριγωνομετρική έκφρασησε γνωστή γωνία;, προηγουμένως . Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε το κατάλληλο τριγωνομετρικούς τύπους. Υπολογίστε δεδομένες τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αντικαταστήστε τις σε ένα παράδειγμα. Ανάλαβε δράση.

Παράδειγμα. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2sin 30; κοσ 30? tg 30; ctg 30;. Απλοποιήστε αυτή την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο tg ? ctg ?=1. Λάβετε: 2sin 30; κοσ 30? 1=2sin30; κοσ 30?. Είναι γνωστό ότι αμαρτία 30?=1/2 και συν 30?=?3/2. Επομένως, 2sin 30; cos 30?=2 1/2?3/2=?3/2. Βρήκατε την αξία αυτής της έκφρασης.

Η τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης εξαρτάται από την τιμή της μεταβλητής. Για να βρείτε την τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης με δεδομένες μεταβλητές, απλοποιήστε την έκφραση. Αντικαταστήστε συγκεκριμένες τιμές για μεταβλητές. Κάντε τα απαραίτητα βήματα. Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή της αλγεβρικής παράστασης για τις δεδομένες μεταβλητές.

Παράδειγμα. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7(a+y)–3(2a+3y) με a=21 και y=10. Απλοποιήστε αυτήν την έκφραση, λάβετε: a–2y. Συνδέστε τις κατάλληλες τιμές μεταβλητής και υπολογίστε: a–2y=21–2 10=1. Αυτή είναι η τιμή της παράστασης 7(a+y)–3(2a+3y) με a=21 και y=10.

Σημείωση

Υπάρχουν αλγεβρικές εκφράσεις που δεν έχουν νόημα για ορισμένες τιμές μεταβλητών. Για παράδειγμα, η έκφραση x/(7–a) δεν έχει νόημα αν a=7, γιατί ο παρονομαστής του κλάσματος εξαφανίζεται.

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Καθορίστε την πορεία δράσης. Εκτελέστε την πρώτη ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες 489–296=193. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε 193∙8=1544 και 34∙10=340. Επόμενη ενέργεια: 340+1544=1884. Στη συνέχεια, διαιρέστε 1884:4=461 και στη συνέχεια αφαιρέστε 461–410=60. Βρήκατε την αξία αυτής της έκφρασης.

Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή της παράστασης 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Απλοποιήστε αυτή την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο tg α∙ctg α=1. Λάβετε: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Είναι γνωστό ότι αμαρτία 30º=1/2 και συν 30º=√3/2. Επομένως, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Βρήκατε την αξία αυτής της έκφρασης.

Η τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης από . Για να βρείτε την τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης με δεδομένες μεταβλητές, απλοποιήστε την έκφραση. Αντικαταστήστε συγκεκριμένες τιμές για μεταβλητές. Κάντε τα απαραίτητα βήματα. Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή της αλγεβρικής παράστασης για τις δεδομένες μεταβλητές.

Παράδειγμα. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7(a+y)–3(2a+3y) με a=21 και y=10. Απλοποιήστε αυτήν την έκφραση, λάβετε: a–2y. Συνδέστε τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών και υπολογίστε: a–2y=21–2∙10=1. Αυτή είναι η τιμή της παράστασης 7(a+y)–3(2a+3y) με a=21 και y=10.

Σημείωση

Πηγές:

βρείτε τη μικρότερη τιμή της έκφρασης
Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων στο s 14

Το να μάθουμε πώς να απλοποιούμε εκφράσεις στα μαθηματικά είναι απλά απαραίτητο για να λύσουμε σωστά και γρήγορα προβλήματα, διάφορες εξισώσεις. Η απλοποίηση μιας έκφρασης σημαίνει μείωση του αριθμού των βημάτων, γεγονός που διευκολύνει τους υπολογισμούς και εξοικονομεί χρόνο.

Εντολή

Μάθετε να υπολογίζετε δυνάμεις με . Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων του c, προκύπτει ένας αριθμός του οποίου η βάση είναι ίδια και οι εκθέτες προστίθενται b ^ m + b ^ n = b ^ (m + n). Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, λαμβάνεται η ισχύς του αριθμού, η βάση του οποίου παραμένει η ίδια και οι εκθέτες αφαιρούνται και ο δείκτης διαιρέτη b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) αφαιρείται από τον δείκτη μερίσματος. Όταν μια ισχύς αυξάνεται σε μια ισχύ, προκύπτει η ισχύς του αριθμού, η βάση του οποίου παραμένει η ίδια, και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται (b^m)^n=b^(mn)Όταν αυξάνεται σε μια δύναμη, κάθε ο παράγοντας ανυψώνεται σε αυτή την ισχύ (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Παραγοντοποιήστε πολυώνυμα, π.χ. τα αναπαριστούν ως προϊόν πολλών παραγόντων - και μονοωνύμων. Βγάλτε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Μάθετε τους βασικούς τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: διαφορά τετραγώνων, τετράγωνο διαφοράς, άθροισμα, διαφορά κύβων, κύβος αθροίσματος και διαφορά. Για παράδειγμα, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Αυτοί οι τύποι είναι οι κύριοι στην απλοποίηση. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο επιλογής πλήρες τετράγωνοσε τριώνυμο της μορφής ax^2+bx+c.

Μειώστε τα κλάσματα όσο πιο συχνά γίνεται. Για παράδειγμα, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Αλλά να θυμάστε ότι μόνο οι πολλαπλασιαστές μπορούν να μειωθούν. Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός αλγεβρικού κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Υπάρχουν δύο τρόποι για να μεταμορφώσεις εκφράσεις: με αλυσίδα και με πράξεις. Η δεύτερη μέθοδος είναι προτιμότερη, γιατί. είναι ευκολότερο να ελέγξετε τα αποτελέσματα των ενδιάμεσων ενεργειών.

Συχνά στις εκφράσεις είναι απαραίτητο να εξαχθούν ρίζες. Ακόμη και οι ρίζες λαμβάνονται μόνο από μη αρνητικές εκφράσεις ή αριθμούς. Οι ρίζες περιττών βαθμών εξάγονται από οποιεσδήποτε εκφράσεις.

Πηγές:

απλοποίηση των εκφράσεων με δυνάμεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις προέκυψαν αρχικά ως εργαλεία για αφηρημένους μαθηματικούς υπολογισμούς των εξαρτήσεων των μεγεθών των οξειών γωνιών σε ορθογώνιο τρίγωνοαπό τα μήκη των πλευρών του. Τώρα χρησιμοποιούνται ευρέως τόσο στον επιστημονικό όσο και στον τεχνικό τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας. Για πρακτικούς υπολογισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων από δεδομένα ορίσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικά όργανα- παρακάτω είναι μερικά από τα πιο προσβάσιμα από αυτά.

Εντολή

Χρησιμοποιήστε, για παράδειγμα, το πρόγραμμα αριθμομηχανής που είναι εγκατεστημένο από προεπιλογή με το λειτουργικό σύστημα. Ανοίγει επιλέγοντας το στοιχείο "Αριθμομηχανή" στο φάκελο "Βοηθητικά προγράμματα" από την υποενότητα "Τυπικό", που βρίσκεται στην ενότητα "Όλα τα προγράμματα". Αυτή η ενότητα μπορεί να ανοίξει κάνοντας κλικ στο κουμπί "Έναρξη" στο κύριο μενού του χειρουργείου. Εάν χρησιμοποιείτε την έκδοση των Windows 7, μπορείτε απλώς να πληκτρολογήσετε "Αριθμομηχανή" στο πλαίσιο "Αναζήτηση προγραμμάτων και αρχείων" στο κύριο μενού και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στον αντίστοιχο σύνδεσμο στα αποτελέσματα αναζήτησης.

Μετρήστε τον αριθμό των βημάτων που χρειάζονται και σκεφτείτε τη σειρά με την οποία πρέπει να γίνουν. Εάν αυτή η ερώτηση σας δυσκολεύει, σημειώστε ότι πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες που περικλείονται σε αγκύλες και μετά η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. και η αφαίρεση γίνεται τελευταία. Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε τον αλγόριθμο των ενεργειών που εκτελούνται, στην έκφραση πάνω από κάθε σύμβολο χειριστή ενέργειας (+, -, *, :), με ένα λεπτό μολύβι, σημειώστε τους αριθμούς που αντιστοιχούν στην εκτέλεση των ενεργειών.

Προχωρήστε στο πρώτο βήμα, τηρώντας την καθιερωμένη σειρά. Μετρήστε διανοητικά εάν οι ενέργειες είναι εύκολο να εκτελεστούν προφορικά. Εάν απαιτούνται υπολογισμοί (σε στήλη), γράψτε τους κάτω από την έκφραση, υποδεικνύοντας σειριακός αριθμόςΕνέργειες.

Παρακολουθήστε με σαφήνεια την ακολουθία των ενεργειών που εκτελούνται, αξιολογήστε τι πρέπει να αφαιρεθεί από τι, τι να διαιρέσετε σε τι κ.λπ. Πολύ συχνά, η απάντηση στην έκφραση αποδεικνύεται λανθασμένη λόγω σφαλμάτων που έγιναν σε αυτό το στάδιο.

Διακριτικό χαρακτηριστικόέκφραση είναι η παρουσία μαθηματικών πράξεων. Υποδηλώνεται με ορισμένα σημάδια (πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αφαίρεση ή πρόσθεση). Η σειρά εκτέλεσης των μαθηματικών πράξεων, εάν είναι απαραίτητο, διορθώνεται με αγκύλες. Το να εκτελείς μαθηματικές πράξεις σημαίνει να βρίσκεις.

Αυτό που δεν είναι έκφραση

Δεν μπορεί να ταξινομηθεί κάθε μαθηματικός συμβολισμός ως έκφραση.

Τα ίσα δεν είναι εκφράσεις. Είτε υπάρχουν μαθηματικές πράξεις στην εξίσωση είτε όχι, δεν έχει σημασία. Για παράδειγμα, το a=5 είναι ισότητα, όχι έκφραση, αλλά το 8+6*2=20 επίσης δεν μπορεί να θεωρηθεί έκφραση, αν και υπάρχει πολλαπλασιασμός σε αυτό. Στην κατηγορία των ισοτήτων ανήκει και αυτό το παράδειγμα.

Οι έννοιες της έκφρασης και της ισότητας δεν αλληλοαποκλείονται, η πρώτη είναι μέρος της δεύτερης. Το πρόσημο ίσον συνδέει δύο εκφράσεις:
5+7=24:2

Αυτή η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί:
5+7=12

Μια έκφραση πάντα υποθέτει ότι οι μαθηματικές πράξεις που αντιπροσωπεύει μπορούν να εκτελεστούν. Το 9+:-7 δεν είναι έκφραση, αν και υπάρχουν σημάδια μαθηματικών πράξεων, επειδή είναι αδύνατο να εκτελεστούν αυτές οι πράξεις.

Υπάρχουν και μαθηματικά που τυπικά είναι εκφράσεις, αλλά δεν βγάζουν νόημα. Ένα παράδειγμα τέτοιας έκφρασης:
46:(5-2-3)

Ο αριθμός 46 πρέπει να διαιρεθεί με το αποτέλεσμα των ενεργειών σε αγκύλες και είναι ίσος με μηδέν. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, η ενέργεια θεωρείται απαγορευμένη.

Αριθμητικές και Αλγεβρικές Παραστάσεις

Υπάρχουν δύο είδη μαθηματικών εκφράσεων.

Εάν μια παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς και σημάδια μαθηματικών πράξεων, μια τέτοια έκφραση ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Εάν, μαζί με τους αριθμούς, υπάρχουν μεταβλητές που υποδηλώνονται με γράμματα στην έκφραση ή δεν υπάρχουν καθόλου αριθμοί, η παράσταση αποτελείται μόνο από μεταβλητές και σημάδια μαθηματικών πράξεων, ονομάζεται αλγεβρική.

Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ μιας αριθμητικής τιμής και μιας αλγεβρικής είναι ότι μια αριθμητική παράσταση έχει μόνο μία τιμή. Για παράδειγμα, η τιμή της αριθμητικής παράστασης 56–2*3 θα είναι πάντα 50, τίποτα δεν μπορεί να αλλάξει. Μια αλγεβρική παράσταση μπορεί να έχει πολλές τιμές, επειδή μπορεί να αντικατασταθεί οποιοσδήποτε αριθμός. Έτσι, αν στην παράσταση b–7 αντί για b αντικαταστήσουμε το 9, η τιμή της παράστασης θα είναι 2 και αν 200, θα είναι 193.

Πηγές:

Αριθμητικές και Αλγεβρικές Παραστάσεις

Αυτό το άρθρο συζητά πώς να βρείτε τις τιμές των μαθηματικών παραστάσεων. Ας ξεκινήσουμε με απλές αριθμητικές εκφράσεις και στη συνέχεια θα εξετάσουμε περιπτώσεις καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητά τους. Στο τέλος δίνουμε μια έκφραση που περιέχει χαρακτηρισμούς γραμμάτων, αγκύλες, ρίζες, ειδικά μαθηματικά σημάδια, μοίρες, συναρτήσεις κ.λπ. Η όλη θεωρία, σύμφωνα με την παράδοση, θα παρέχεται με άφθονα και λεπτομερή παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πώς να βρείτε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης;

Οι αριθμητικές εκφράσεις, μεταξύ άλλων, βοηθούν στην περιγραφή της κατάστασης του προβλήματος στη μαθηματική γλώσσα. Γενικά, οι μαθηματικές εκφράσεις μπορεί να είναι είτε πολύ απλές, αποτελούμενες από ένα ζεύγος αριθμών και αριθμητικών σημείων, είτε πολύ σύνθετες, που περιέχουν συναρτήσεις, μοίρες, ρίζες, αγκύλες κ.λπ. Ως μέρος της εργασίας, είναι συχνά απαραίτητο να βρεθεί η αξία μιας έκφρασης. Πώς να το κάνετε και θα συζητηθούνπαρακάτω.

Οι πιο απλές περιπτώσεις

Αυτές είναι περιπτώσεις όπου η έκφραση δεν περιέχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς και αριθμητική. Για να βρείτε με επιτυχία τις τιμές τέτοιων παραστάσεων, θα χρειαστείτε γνώση της σειράς με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις χωρίς αγκύλες, καθώς και τη δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων με διαφορετικούς αριθμούς.

Εάν η παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς και αριθμητικά πρόσημα " + " , " · " , " - " , " ÷ " , τότε οι πράξεις εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά με την εξής σειρά: πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση. Ας δώσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας είναι απαραίτητο να βρούμε τις τιμές της έκφρασης 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Ας κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Παίρνουμε:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Τώρα αφαιρούμε και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Παράδειγμα 2. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Αρχικά, πραγματοποιούμε τη μετατροπή των κλασμάτων, τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Τώρα ας κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση. Ας ομαδοποιήσουμε τα κλάσματα και ας τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Βρίσκεται η επιθυμητή τιμή.

Εκφράσεις με αγκύλες

Εάν μια παράσταση περιέχει αγκύλες, τότε καθορίζουν τη σειρά των ενεργειών σε αυτήν την έκφραση. Πρώτα, εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες και στη συνέχεια όλες οι υπόλοιπες. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 3. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Η παράσταση περιέχει αγκύλες, οπότε πρώτα εκτελούμε την πράξη αφαίρεσης σε αγκύλες και μόνο μετά τον πολλαπλασιασμό.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Η τιμή των εκφράσεων που περιέχουν αγκύλες σε αγκύλες βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή.

Παράδειγμα 4. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την τιμή 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Θα εκτελέσουμε ενέργειες ξεκινώντας από τις πιο εσωτερικές αγκύλες, προχωρώντας στις εξωτερικές.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Κατά την εύρεση των τιμών των εκφράσεων με αγκύλες, το κύριο πράγμα είναι να ακολουθήσετε την ακολουθία των ενεργειών.

Εκφράσεις με ρίζες

Οι μαθηματικές εκφράσεις των οποίων τις τιμές πρέπει να βρούμε μπορεί να περιέχουν ρίζες. Επιπλέον, η ίδια η έκφραση μπορεί να βρίσκεται κάτω από το σημάδι της ρίζας. Πώς να είσαι σε αυτή την περίπτωση; Πρώτα πρέπει να βρείτε την τιμή της έκφρασης κάτω από τη ρίζα και, στη συνέχεια, να εξαγάγετε τη ρίζα από τον αριθμό που προκύπτει. Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερο να απαλλαγείτε από τις ρίζες στις αριθμητικές εκφράσεις, αντικαθιστώντας το από με αριθμητικές τιμές.

Παράδειγμα 5. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης με ρίζες - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Αρχικά, υπολογίζουμε τις ριζικές εκφράσεις.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή ολόκληρης της παράστασης.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Συχνά, για να βρεθεί η αξία μιας έκφρασης με ρίζες, είναι συχνά απαραίτητο να μεταμορφωθεί πρώτα η αρχική έκφραση. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Τι είναι 3 + 1 3 - 1 - 1

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχουμε τη δυνατότητα να αντικαταστήσουμε τη ρίζα με μια ακριβή τιμή, γεγονός που περιπλέκει τη διαδικασία μέτρησης. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να εφαρμόσετε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Με αυτόν τον τρόπο:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Εκφράσεις με δυνάμεις

Εάν η έκφραση περιέχει δυνάμεις, οι τιμές τους πρέπει να υπολογιστούν πριν προχωρήσετε σε όλες τις άλλες ενέργειες. Συμβαίνει ο ίδιος ο εκθέτης ή η βάση του βαθμού να είναι εκφράσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, υπολογίζεται πρώτα η τιμή αυτών των παραστάσεων και μετά η τιμή του βαθμού.

Παράδειγμα 7. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Αρχίζουμε να υπολογίζουμε με τη σειρά.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Απομένει μόνο να εκτελέσετε τη λειτουργία προσθήκης και να μάθετε την αξία της έκφρασης:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Συχνά συνιστάται επίσης η απλοποίηση της έκφρασης χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού.

Παράδειγμα 8. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την τιμή της παρακάτω παράστασης: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Οι εκθέτες είναι και πάλι τέτοιοι που δεν μπορούν να ληφθούν οι ακριβείς αριθμητικές τους τιμές. Απλοποιήστε την αρχική έκφραση για να βρείτε την τιμή της.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Εκφράσεις με κλάσματα

Εάν μια παράσταση περιέχει κλάσματα, τότε κατά τον υπολογισμό μιας τέτοιας έκφρασης, όλα τα κλάσματα σε αυτήν πρέπει να αντιπροσωπεύονται ως συνηθισμένα κλάσματα και οι τιμές τους να υπολογίζονται.

Εάν υπάρχουν εκφράσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος, τότε υπολογίζονται πρώτα οι τιμές αυτών των παραστάσεων και καταγράφεται η τελική τιμή του ίδιου του κλάσματος. Οι αριθμητικές πράξεις εκτελούνται με την τυπική σειρά. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα 9. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας βρούμε την τιμή της παράστασης που περιέχει κλάσματα: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν τρία κλάσματα στην αρχική έκφραση. Ας υπολογίσουμε πρώτα τις τιμές τους.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας και ας υπολογίσουμε την τιμή της:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Συχνά, όταν βρίσκουμε τις τιμές των εκφράσεων, είναι βολικό να μειώνουμε τα κλάσματα. Υπάρχει ένας άρρητος κανόνας: πριν βρείτε την τιμή του, είναι καλύτερο να απλοποιήσετε οποιαδήποτε έκφραση στο μέγιστο, μειώνοντας όλους τους υπολογισμούς στις απλούστερες περιπτώσεις.

Παράδειγμα 10. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε την παράσταση 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Δεν μπορούμε να εξαγάγουμε εντελώς τη ρίζα του πέντε, αλλά μπορούμε να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση μέσω μετασχηματισμών.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Η αρχική έκφραση έχει τη μορφή:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Ας υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Εκφράσεις με λογάριθμους

Όταν υπάρχουν λογάριθμοι σε μια παράσταση, η τιμή τους, αν είναι δυνατόν, υπολογίζεται από την αρχή. Για παράδειγμα, στην έκφραση log 2 4 + 2 4, μπορείτε να γράψετε αμέσως την τιμή αυτού του λογαρίθμου αντί για το αρχείο καταγραφής 2 4 και στη συνέχεια να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες. Παίρνουμε: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Αριθμητικές εκφράσεις μπορούν επίσης να βρεθούν κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και στη βάση του. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο βήμα είναι να βρείτε τις αξίες τους. Ας πάρουμε την έκφραση log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Εχουμε:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Εάν είναι αδύνατο να υπολογιστεί η ακριβής τιμή του λογάριθμου, η απλοποίηση της έκφρασης βοηθά στην εύρεση της τιμής του.

Παράδειγμα 11. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Σύμφωνα με την ιδιότητα των λογαρίθμων:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Εφαρμόζοντας πάλι τις ιδιότητες των λογαρίθμων, για το τελευταίο κλάσμα της παράστασης παίρνουμε:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στον υπολογισμό της τιμής της αρχικής έκφρασης.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Εκφράσεις με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Συμβαίνει στην έκφραση να υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης, καθώς και συναρτήσεις που είναι αντίστροφες προς αυτές. Από την τιμή υπολογίζονται πριν εκτελεστούν όλες οι άλλες αριθμητικές πράξεις. Διαφορετικά, η έκφραση απλοποιείται.

Παράδειγμα 12. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Να βρείτε την τιμή της παράστασης: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Αρχικά, υπολογίζουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στην έκφραση.

αμαρτία - 5 π 2 \u003d - 1

Αντικαταστήστε τις τιμές στην παράσταση και υπολογίστε την τιμή της:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Βρίσκεται η τιμή της έκφρασης.

Συχνά, για να βρεθεί η τιμή μιας παράστασης με τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πρέπει πρώτα να μετατραπεί. Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 13. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή της έκφρασης cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Για τον μετασχηματισμό, θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους τριγωνομετρικού συνημιτόνου διπλή γωνίακαι το συνημίτονο του αθροίσματος.

cos 2 π 8 - αμαρτία 2 π 8 συν 5 π 36 συν π 9 - αμαρτία 5 π 36 αμαρτία π 9 - 1 = συν 2 π 8 συν 5 π 36 + π 9 - 1 = συν π 4 συν π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Γενική περίπτωση αριθμητικής έκφρασης

Στη γενική περίπτωση, μια τριγωνομετρική έκφραση μπορεί να περιέχει όλα τα στοιχεία που περιγράφονται παραπάνω: αγκύλες, μοίρες, ρίζες, λογάριθμους, συναρτήσεις. Ας διατυπώσουμε γενικός κανόναςβρίσκοντας τις τιμές τέτοιων εκφράσεων.

Πώς να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Ρίζες, δυνάμεις, λογάριθμοι κ.λπ. αντικαθίστανται από τις αξίες τους.
Εκτελούνται οι ενέργειες σε παρένθεση.
Τα υπόλοιπα βήματα εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Πρώτα - πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά - πρόσθεση και αφαίρεση.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 14. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης

Ας υπολογίσουμε ποια είναι η τιμή της παράστασης - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Η έκφραση είναι αρκετά περίπλοκη και δυσκίνητη. Δεν είναι τυχαίο που επιλέξαμε ακριβώς ένα τέτοιο παράδειγμα, προσπαθώντας να χωρέσουμε σε αυτό όλες τις περιπτώσεις που περιγράφονται παραπάνω. Πώς να βρείτε την αξία μιας τέτοιας έκφρασης;

Είναι γνωστό ότι κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας σύνθετης κλασματικής μορφής, πρώτα οι τιμές του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος βρίσκονται χωριστά, αντίστοιχα. Θα μετασχηματίσουμε και θα απλοποιήσουμε διαδοχικά αυτήν την έκφραση.

Πρώτα απ 'όλα, υπολογίζουμε την τιμή της έκφρασης ρίζας 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε την τιμή του ημιτόνου και την έκφραση που είναι το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Τώρα μπορείτε να μάθετε την αξία του ημιτονοειδούς:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = αμαρτία π 6 + 2 π = αμαρτία π 6 = 1 2 .

Υπολογίζουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης:

2 αμαρτία π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 αμαρτία π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Με τον παρονομαστή ενός κλάσματος, όλα είναι πιο εύκολα:

Τώρα μπορούμε να γράψουμε την τιμή ολόκληρου του κλάσματος:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Έχοντας αυτό υπόψη, γράφουμε ολόκληρη την έκφραση:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Τελικό αποτέλεσμα:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορέσαμε να υπολογίσουμε ακριβείς τιμές για ρίζες, λογάριθμους, ημίτονο και ούτω καθεξής. Εάν αυτό δεν είναι δυνατό, μπορείτε να προσπαθήσετε να απαλλαγείτε από αυτά με μαθηματικούς μετασχηματισμούς.

Υπολογισμός εκφράσεων με ορθολογικούς τρόπους

Οι αριθμητικές τιμές πρέπει να υπολογίζονται με συνέπεια και ακρίβεια. Αυτή η διαδικασία μπορεί να εξορθολογιστεί και να επιταχυνθεί χρησιμοποιώντας διάφορες ιδιότητες πράξεων με αριθμούς. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Δεδομένης αυτής της ιδιότητας, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι η έκφραση 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 είναι ίση με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να εκτελέσετε τα βήματα με τη σειρά που περιγράφεται στο παραπάνω άρθρο.

Είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα αφαίρεσης ίσοι αριθμοί. Χωρίς να εκτελέσετε καμία ενέργεια, μπορείτε να διατάξετε ότι η τιμή της παράστασης 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 είναι επίσης ίση με μηδέν.

Μια άλλη τεχνική που σας επιτρέπει να επιταχύνετε τη διαδικασία είναι η χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών, όπως η ομαδοποίηση όρων και παραγόντων και η αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες. Μια ορθολογική προσέγγιση για τον υπολογισμό παραστάσεων με κλάσματα είναι η μείωση των ίδιων παραστάσεων στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε την έκφραση 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Χωρίς να κάνουμε ενέργειες σε αγκύλες, αλλά μειώνοντας το κλάσμα, μπορούμε να πούμε ότι η τιμή της παράστασης είναι 1 3 .

Εύρεση των τιμών των παραστάσεων με μεταβλητές

Η τιμή μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές βρίσκεται για συγκεκριμένες δεδομένες τιμές γραμμάτων και μεταβλητών.

Εύρεση των τιμών των παραστάσεων με μεταβλητές

Για να βρείτε την τιμή μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δεδομένες τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών στην αρχική έκφραση και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής έκφρασης που προκύπτει.

Παράδειγμα 15. Η τιμή μιας παράστασης με μεταβλητές

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 0 , 5 x - y δεδομένου x = 2 , 4 και y = 5 .

Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στην έκφραση και υπολογίζουμε:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Μερικές φορές είναι δυνατό να μετασχηματιστεί μια έκφραση με τέτοιο τρόπο ώστε να ληφθεί η τιμή της ανεξάρτητα από τις τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να απαλλαγούμε από γράμματα και μεταβλητές στην έκφραση, αν είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, ιδιότητες αριθμητικών πράξεων και όλες τις πιθανές άλλες μεθόδους.

Για παράδειγμα, η παράσταση x + 3 - x έχει προφανώς την τιμή 3 και δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή του x για να υπολογίσουμε αυτήν την τιμή. Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι ίση με τρεις για όλες τις τιμές της μεταβλητής x από το εύρος των έγκυρων τιμών της.

Ένα ακόμη παράδειγμα. Η τιμή της παράστασης x x είναι ίση με ένα για όλα τα θετικά x.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Έτσι, εάν μια αριθμητική παράσταση αποτελείται από αριθμούς και σημεία +, −, · και:, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση, που θα σας επιτρέψουν να βρείτε το επιθυμητό αξία της έκφρασης.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα για διευκρίνιση.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 14−2·15:6−3 .

Λύση.

Για να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης, πρέπει να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες που καθορίζονται σε αυτήν σύμφωνα με την αποδεκτή σειρά εκτέλεσης αυτών των ενεργειών. Αρχικά, με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση, παίρνουμε 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Τώρα, με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελούμε τις υπόλοιπες ενέργειες: 14−5−3=9−3=6 . Βρήκαμε λοιπόν την τιμή της αρχικής έκφρασης, είναι ίση με 6 .

Απάντηση:

14−2 15:6−3=6 .

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει πρώτα να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό 2 (−7) και τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό στην παράσταση. Θυμόμαστε πώς , βρίσκουμε 2 (−7)=−14 . Και να εκτελέσετε ενέργειες στην έκφραση, πρώτα , έπειτα και εκτελέστε: .

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: .

Τι γίνεται όμως όταν υπάρχει μια αριθμητική έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας; Για να λάβετε την τιμή μιας τέτοιας ρίζας, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή της έκφρασης ρίζας, ακολουθώντας την αποδεκτή σειρά πράξεων. Για παράδειγμα, .

Στις αριθμητικές εκφράσεις, οι ρίζες πρέπει να γίνονται αντιληπτές ως ορισμένοι αριθμοί και συνιστάται να αντικαταστήσετε αμέσως τις ρίζες με τις τιμές τους και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της προκύπτουσας έκφρασης χωρίς ρίζες, εκτελώντας ενέργειες με την αποδεκτή ακολουθία.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης με ρίζες.

Λύση.

Αρχικά, βρείτε την τιμή της ρίζας . Για να γίνει αυτό, πρώτα, υπολογίζουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης, έχουμε −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Και δεύτερον, βρίσκουμε την αξία της ρίζας.

Τώρα ας υπολογίσουμε την τιμή της δεύτερης ρίζας από την αρχική έκφραση: .

Τέλος, μπορούμε να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης αντικαθιστώντας τις ρίζες με τις τιμές τους: .

Απάντηση:

Πολύ συχνά, για να μπορέσετε να βρείτε την τιμή μιας έκφρασης με ρίζες, πρέπει πρώτα να τη μετατρέψετε. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Ποιο είναι το νόημα της έκφρασης .

Λύση.

Δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη ρίζα του τριών με την ακριβή τιμή της, κάτι που δεν μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω. Ωστόσο, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης εκτελώντας απλούς μετασχηματισμούς. Εφαρμόσιμος τύπος διαφοράς τετραγώνων: . Λαμβάνοντας υπόψη, παίρνουμε . Άρα η τιμή της αρχικής έκφρασης είναι 1 .

Απάντηση:

Με πτυχία

Εάν η βάση και ο εκθέτης είναι αριθμοί, τότε η τιμή τους υπολογίζεται με τον ορισμό του βαθμού, για παράδειγμα, 3 2 =3 3=9 ή 8 −1 =1/8 . Υπάρχουν επίσης καταχωρήσεις όταν η βάση ή/και ο εκθέτης είναι κάποιες εκφράσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να βρείτε την τιμή της παράστασης στη βάση, την τιμή της παράστασης στον εκθέτη και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ίδιου του βαθμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης με δυνάμεις της φόρμας 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Λύση.

Η αρχική παράσταση έχει δύο δυνάμεις 2 3 4−10 και (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Οι τιμές τους πρέπει να υπολογιστούν πριν εκτελέσετε τα υπόλοιπα βήματα.

Ας ξεκινήσουμε με την ισχύ 2 3·4−10 . Ο δείκτης του περιέχει μια αριθμητική παράσταση, ας υπολογίσουμε την τιμή της: 3·4−10=12−10=2 . Τώρα μπορείτε να βρείτε την τιμή του ίδιου του βαθμού: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Υπάρχουν εκφράσεις στη βάση και τον εκθέτη (1−1/2) 3,5−2 1/4, υπολογίζουμε τις τιμές τους για να βρούμε την τιμή του βαθμού αργότερα. Εχουμε (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Τώρα επιστρέφουμε στην αρχική έκφραση, αντικαθιστούμε τις μοίρες σε αυτήν με τις τιμές τους και βρίσκουμε την τιμή της έκφρασης που χρειαζόμαστε: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Απάντηση:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν πιο συχνές περιπτώσεις που ενδείκνυται η διεξαγωγή προκαταρκτικής εξέτασης απλοποίηση της έκφρασης με δυνάμειςστη βάση.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Λύση.

Κρίνοντας από τους εκθέτες σε αυτήν την έκφραση, δεν μπορούν να ληφθούν οι ακριβείς τιμές των βαθμών. Ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση, ίσως βοηθήσει να βρεθεί η αξία της. Εχουμε

Απάντηση:

Οι δυνάμεις στις εκφράσεις συμβαδίζουν συχνά με τους λογάριθμους, αλλά θα μιλήσουμε για την εύρεση των τιμών των παραστάσεων με λογάριθμους σε έναν από τους.

Εύρεση της τιμής μιας παράστασης με κλάσματα

Οι αριθμητικές εκφράσεις στην εγγραφή τους μπορεί να περιέχουν κλάσματα. Όταν θέλετε να βρείτε την τιμή μιας τέτοιας έκφρασης, τα κλάσματα εκτός από τα συνηθισμένα κλάσματα θα πρέπει να αντικατασταθούν από τις τιμές τους πριν εκτελέσετε άλλα βήματα.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής των κλασμάτων (που διαφέρουν από τα συνηθισμένα κλάσματα) μπορεί να περιέχει και ορισμένους αριθμούς και εκφράσεις. Για να υπολογίσετε την τιμή ενός τέτοιου κλάσματος, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης στον αριθμητή, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης στον παρονομαστή και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ίδιου του κλάσματος. Αυτή η σειρά εξηγείται από το γεγονός ότι το κλάσμα a/b, όπου a και b είναι κάποιες εκφράσεις, είναι στην πραγματικότητα πηλίκο της μορφής (a):(b) , αφού .

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την τιμή μιας παράστασης με κλάσματα .

Λύση.

Στην αρχική αριθμητική έκφραση, τρία κλάσματα και . Για να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης, χρειαζόμαστε πρώτα αυτά τα κλάσματα και να τα αντικαταστήσουμε με τις τιμές τους. Ας το κάνουμε.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι αριθμοί. Για να βρούμε την τιμή ενός τέτοιου κλάσματος, αντικαθιστούμε την κλασματική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης και εκτελούμε αυτήν την ενέργεια: .

Ο αριθμητής του κλάσματος περιέχει την παράσταση 7−2 3 , η τιμή του είναι εύκολο να βρεθεί: 7−2 3=7−6=1 . Με αυτόν τον τρόπο, . Μπορείτε να προχωρήσετε στην εύρεση της τιμής του τρίτου κλάσματος.

Το τρίτο κλάσμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή περιέχει αριθμητικές εκφράσεις, επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τις τιμές τους και αυτό θα σας επιτρέψει να βρείτε την τιμή του ίδιου του κλάσματος. Εχουμε .

Απομένει να αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση και να εκτελέσουμε τα υπόλοιπα βήματα: .

Απάντηση:

Συχνά, όταν βρίσκετε τις τιμές των παραστάσεων με κλάσματα, πρέπει να εκτελέσετε απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων, με βάση την εκτέλεση ενεργειών με κλάσματα και στη μείωση των κλασμάτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Λύση.

Η ρίζα του πέντε δεν έχει εξαχθεί πλήρως, οπότε για να βρούμε την τιμή της αρχικής έκφρασης, ας την απλοποιήσουμε πρώτα. Για αυτό απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστήπρώτο κλάσμα: . Μετά από αυτό, η αρχική έκφραση θα πάρει τη μορφή . Αφού αφαιρέσουμε τα κλάσματα, οι ρίζες θα εξαφανιστούν, κάτι που θα μας επιτρέψει να βρούμε την τιμή της αρχικά δοθείσας έκφρασης:.

Απάντηση:

Με λογάριθμους

Εάν η αριθμητική παράσταση περιέχει και εάν είναι δυνατό να απαλλαγούμε από αυτά, τότε αυτό γίνεται πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουμε την τιμή της έκφρασης log 2 4+2 3 , ο λογάριθμος του log 2 4 αντικαθίσταται από την τιμή του 2 , μετά την οποία οι υπόλοιπες πράξεις εκτελούνται με τη συνήθη σειρά, δηλαδή log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Όταν υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ή/και στη βάση του, τότε βρίσκονται πρώτα οι τιμές τους και μετά υπολογίζεται η τιμή του λογαρίθμου. Για παράδειγμα, θεωρήστε μια έκφραση με λογάριθμο της φόρμας . Στη βάση του λογάριθμου και κάτω από το πρόσημο του υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις, βρίσκουμε τις τιμές τους: . Τώρα βρίσκουμε τον λογάριθμο, μετά τον οποίο ολοκληρώνουμε τους υπολογισμούς: .

Εάν οι λογάριθμοι δεν υπολογίζονται επακριβώς, τότε η προκαταρκτική απλοποίηση του χρησιμοποιώντας . Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να έχετε καλή γνώση του υλικού του άρθρου. μετασχηματισμός λογαριθμικών παραστάσεων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας παράστασης με λογάριθμους .

Λύση.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας το log 2 (log 2 256) . Αφού 256=2 8 , τότε log 2 256=8 , επομένως log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Οι λογάριθμοι log 6 2 και log 6 3 μπορούν να ομαδοποιηθούν. Το άθροισμα των λογαρίθμων log 6 2+log 6 3 είναι ίσο με το λογάριθμο του γινομένου log 6 (2 3) , οπότε log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Τώρα ας ασχοληθούμε με τα κλάσματα. Αρχικά, ξαναγράφουμε τη βάση του λογάριθμου στον παρονομαστή στη μορφή κοινό κλάσμαως 1/5 , μετά από το οποίο χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων, οι οποίες θα μας επιτρέψουν να πάρουμε την τιμή του κλάσματος:
.

Απομένει μόνο να αντικαταστήσουμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται στην αρχική έκφραση και να ολοκληρώσουμε την εύρεση της τιμής της:

Απάντηση:

Πώς να βρείτε την τιμή μιας τριγωνομετρικής παράστασης;

Όταν μια αριθμητική παράσταση περιέχει ή κ.λπ., τότε οι τιμές τους υπολογίζονται πριν από την εκτέλεση άλλων ενεργειών. Εάν υπάρχουν αριθμητικές εκφράσεις κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τότε υπολογίζονται πρώτα οι τιμές τους, μετά τις οποίες βρίσκονται οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Λύση.

Περνώντας στο άρθρο, καταλαβαίνουμε και cosπ=−1 . Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην αρχική έκφραση, παίρνει τη μορφή . Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε εκπτώσεις και, στη συνέχεια, να ολοκληρώσετε τους υπολογισμούς: .

Απάντηση:

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός των τιμών των εκφράσεων με ημίτονο, συνημίτονο κ.λπ. συχνά απαιτεί προηγούμενη μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών εκφράσεων.

Παράδειγμα.

Ποια είναι η τιμή της τριγωνομετρικής παράστασης .

Λύση.

Ας μετασχηματίσουμε την αρχική έκφραση χρησιμοποιώντας , σε αυτήν την περίπτωση χρειαζόμαστε τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας και τον τύπο συνημιτόνου αθροίσματος:

Οι μετασχηματισμοί που έγιναν μας βοήθησαν να βρούμε την αξία της έκφρασης.

Απάντηση:

Γενική περίπτωση

Στη γενική περίπτωση, μια αριθμητική έκφραση μπορεί να περιέχει ρίζες, μοίρες, κλάσματα και οποιεσδήποτε συναρτήσεις και αγκύλες. Η εύρεση των τιμών τέτοιων εκφράσεων συνίσταται στην εκτέλεση των ακόλουθων ενεργειών:

πρώτες ρίζες, μοίρες, κλάσματα κ.λπ. αντικαθίστανται από τις αξίες τους,
περαιτέρω ενέργειες σε παρένθεση,
και με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελούνται οι υπόλοιπες πράξεις - πολλαπλασιασμός και διαίρεση, ακολουθούμενες από πρόσθεση και αφαίρεση.

Οι παραπάνω ενέργειες εκτελούνται μέχρι να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Λύση.

Η μορφή αυτής της έκφρασης είναι μάλλον περίπλοκη. Σε αυτήν την έκφραση, βλέπουμε ένα κλάσμα, ρίζες, μοίρες, ημίτονο και λογάριθμο. Πώς να βρείτε το νόημά του;

Προχωρώντας κατά μήκος της εγγραφής από αριστερά προς τα δεξιά, συναντάμε ένα κλάσμα της φόρμας . Το γνωρίζουμε όταν έχουμε να κάνουμε με κλάσματα σύνθετου τύπου, πρέπει να υπολογίσουμε χωριστά την τιμή του αριθμητή, ξεχωριστά - τον παρονομαστή και, τέλος, να βρούμε την τιμή του κλάσματος.

Στον αριθμητή έχουμε μια ρίζα της φόρμας . Για να προσδιορίσετε την τιμή του, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την τιμή της ριζικής έκφρασης . Εδώ υπάρχει ένα ημίτονο. Μπορούμε να βρούμε την τιμή του μόνο αφού υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης . Αυτό μπορούμε να κάνουμε: . Τότε από πού και .

Με τον παρονομαστή όλα είναι απλά: .

Με αυτόν τον τρόπο, .

Αφού αντικατασταθεί αυτό το αποτέλεσμα στην αρχική έκφραση, θα πάρει τη μορφή . Η έκφραση που προκύπτει περιέχει τον βαθμό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή του δείκτη, έχουμε .

Ετσι, .

Απάντηση:

Εάν δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός των ακριβών τιμών των ριζών, των βαθμών κ.λπ., τότε μπορείτε να προσπαθήσετε να απαλλαγείτε από αυτές χρησιμοποιώντας τυχόν μετασχηματισμούς και, στη συνέχεια, να επιστρέψετε στον υπολογισμό της τιμής σύμφωνα με το καθορισμένο σχήμα.

Ορθολογικοί τρόποι για τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων

Ο υπολογισμός των τιμών των αριθμητικών παραστάσεων απαιτεί συνέπεια και ακρίβεια. Ναι, είναι απαραίτητο να τηρείτε τη σειρά των ενεργειών που καταγράφηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, αλλά αυτό δεν πρέπει να γίνεται τυφλά και μηχανικά. Με αυτό εννοούμε ότι είναι συχνά δυνατό να εξορθολογίσουμε τη διαδικασία εύρεσης της αξίας μιας έκφρασης. Για παράδειγμα, ορισμένες ιδιότητες ενεργειών με αριθμούς σάς επιτρέπουν να επιταχύνετε και να απλοποιήσετε σημαντικά την εύρεση της τιμής μιας έκφρασης.

Για παράδειγμα, γνωρίζουμε αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: εάν ένας από τους παράγοντες του γινόμενου είναι μηδέν, τότε η τιμή του γινομένου είναι μηδέν. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι η τιμή της έκφρασης 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) είναι μηδέν. Εάν ακολουθούσαμε την τυπική σειρά πράξεων, τότε θα έπρεπε πρώτα να υπολογίσουμε τις τιμές των περίπλοκων εκφράσεων σε αγκύλες και αυτό θα έπαιρνε πολύ χρόνο και το αποτέλεσμα θα εξακολουθούσε να είναι μηδέν.

Είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα της αφαίρεσης ίσων αριθμών: εάν αφαιρέσετε έναν ίσο αριθμό από έναν αριθμό, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εξεταστεί ευρύτερα: η διαφορά δύο όμοιων αριθμητικών παραστάσεων είναι ίση με μηδέν. Για παράδειγμα, χωρίς να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων σε αγκύλες, μπορείτε να βρείτε την τιμή της παράστασης (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ισούται με μηδέν, αφού η αρχική έκφραση είναι η διαφορά πανομοιότυπων παραστάσεων.

Οι ίδιοι μετασχηματισμοί μπορούν να συμβάλουν στον ορθολογικό υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων. Για παράδειγμα, η ομαδοποίηση όρων και παραγόντων μπορεί να είναι χρήσιμη, αλλά όχι λιγότερο συχνά είναι η αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Έτσι, η τιμή της παράστασης 53 5+53 7−53 11+5 είναι πολύ εύκολο να βρεθεί αφού αφαιρέσουμε τον παράγοντα 53 εκτός παρενθέσεων: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Ο άμεσος υπολογισμός θα απαιτούσε πολύ περισσότερο χρόνο.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, ας δώσουμε προσοχή στην ορθολογική προσέγγιση για τον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων με κλάσματα - μειώνονται οι ίδιοι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος. Για παράδειγμα, αναγωγή των ίδιων παραστάσεων στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος σας επιτρέπει να βρείτε αμέσως την τιμή του, που είναι 1/2 .

Εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές

Η τιμή μιας κυριολεκτικής έκφρασης και μιας έκφρασης με μεταβλητές βρίσκεται για συγκεκριμένες δεδομένες τιμές γραμμάτων και μεταβλητών. Δηλαδή, μιλάμε για την εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης για δεδομένες τιμές γραμμάτων ή για την εύρεση της τιμής μιας έκφρασης με μεταβλητές για επιλεγμένες τιμές μεταβλητών.

κανόναςΗ εύρεση της τιμής μιας κυριολεκτικής έκφρασης ή μιας έκφρασης με μεταβλητές για δεδομένες τιμές γραμμάτων ή επιλεγμένες τιμές μεταβλητών έχει ως εξής: στην αρχική έκφραση, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δεδομένες τιμές γραμμάτων ή μεταβλητών και υπολογίστε την τιμή της αριθμητικής έκφρασης που προκύπτει, είναι η επιθυμητή τιμή.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 0,5 x−y για x=2,4 και y=5 .

Λύση.

Για να βρείτε την απαιτούμενη τιμή της παράστασης, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε αυτές τις μεταβλητές τιμές στην αρχική έκφραση και στη συνέχεια να εκτελέσετε τις ακόλουθες ενέργειες: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Απάντηση:

−3,8 .

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι μερικές φορές ο μετασχηματισμός κυριολεκτικών εκφράσεων και εκφράσεων με μεταβλητές σάς επιτρέπει να λαμβάνετε τις τιμές τους, ανεξάρτητα από τις τιμές των γραμμάτων και των μεταβλητών. Για παράδειγμα, η έκφραση x+3−x μπορεί να απλοποιηθεί για να γίνει 3. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή της παράστασης x + 3 - x είναι ίση με 3 για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής x από το εύρος των αποδεκτών τιμών της (ODZ) . Ένα άλλο παράδειγμα: η τιμή της έκφρασης είναι 1 για όλα θετικές αξίες x , επομένως το εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x στην αρχική έκφραση είναι το σύνολο των θετικών αριθμών και η ισότητα λαμβάνει χώρα σε αυτό το εύρος.

Βιβλιογραφία.

Μαθηματικά: σπουδές. για 5 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: εικ. ISBN 5-346-00699-0.
Μαθηματικά. 6η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., Rev. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 7 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Αλγεβρα: 9η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2009. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Τώρα που μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να πολλαπλασιάζουμε μεμονωμένα κλάσματα, μπορούμε να εξετάσουμε πιο περίπλοκες δομές. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων προκύψουν σε ένα πρόβλημα;

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα. Στη συνέχεια εκτελούμε διαδοχικά τις απαιτούμενες ενέργειες - με την ίδια σειρά όπως για τους συνηθισμένους αριθμούς. Και συγκεκριμένα:

Πρώτον, εκτελείται η εκθεσιμότητα - απαλλαγείτε από όλες τις εκφράσεις που περιέχουν εκθέτες.
Στη συνέχεια - διαίρεση και πολλαπλασιασμός.
Το τελευταίο βήμα είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Φυσικά, εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, η σειρά των ενεργειών αλλάζει - όλα όσα βρίσκονται μέσα στις αγκύλες πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη. Και θυμηθείτε τα ακατάλληλα κλάσματα: πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα μόνο όταν έχουν ήδη ολοκληρωθεί όλες οι άλλες ενέργειες.

Ας μεταφράσουμε όλα τα κλάσματα από την πρώτη έκφραση σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, εκτελέστε τις ακόλουθες ενέργειες:

Τώρα ας βρούμε την τιμή της δεύτερης έκφρασης. Εδώ κλάσματα με ολόκληρο μέροςόχι, αλλά υπάρχουν παρενθέσεις, οπότε κάνουμε πρώτα την πρόσθεση και μόνο μετά τη διαίρεση. Σημειώστε ότι 14 = 7 2 . Επειτα:

Τέλος, εξετάστε το τρίτο παράδειγμα. Εδώ υπάρχουν αγκύλες και πτυχίο - καλύτερα να τα μετρήσετε χωριστά. Δεδομένου ότι 9 = 3 3, έχουμε:

Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα σε δύναμη, πρέπει να αυξήσετε χωριστά τον αριθμητή σε αυτή τη δύναμη και χωριστά τον παρονομαστή.

Μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά. Αν θυμηθούμε τον ορισμό του πτυχίου, το πρόβλημα μειώνεται σε συνηθισμένος πολλαπλασιασμόςκλάσματα:

Πολυώροφα κλάσματα

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει μόνο «καθαρά» κλάσματα, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι συνηθισμένους αριθμούς. Αυτό είναι σύμφωνο με τον ορισμό ενός αριθμητικού κλάσματος που δόθηκε στο πρώτο μάθημα.

Τι γίνεται όμως αν ένα πιο σύνθετο αντικείμενο τοποθετηθεί στον αριθμητή ή στον παρονομαστή; Για παράδειγμα, ένα άλλο αριθμητικό κλάσμα; Τέτοιες κατασκευές εμφανίζονται αρκετά συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μακριές εκφράσεις. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

Υπάρχει μόνο ένας κανόνας για την εργασία με πολυώροφα κλάσματα: πρέπει να τα ξεφορτωθείτε αμέσως. Η αφαίρεση "επιπλέον" δαπέδων είναι αρκετά απλή, αν θυμάστε ότι η κλασματική ράβδος σημαίνει την τυπική λειτουργία διαίρεσης. Επομένως, οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Χρησιμοποιώντας αυτό το γεγονός και ακολουθώντας τη διαδικασία, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε οποιοδήποτε πολυώροφο κλάσμα σε κανονικό. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Μια εργασία. Μετατρέψτε τα πολυώροφα κλάσματα σε κοινά:

Σε κάθε περίπτωση, ξαναγράφουμε το κύριο κλάσμα, αντικαθιστώντας τη διαχωριστική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης. Θυμηθείτε επίσης ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Παίρνουμε:

Στο τελευταίο παράδειγμα, τα κλάσματα μειώθηκαν πριν από τον τελικό πολλαπλασιασμό.

Οι ιδιαιτερότητες της εργασίας με πολυώροφα κλάσματα

Υπάρχει μια λεπτότητα στα κλάσματα πολλών ορόφων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε, διαφορετικά μπορείτε να πάρετε τη λάθος απάντηση, ακόμα κι αν όλοι οι υπολογισμοί ήταν σωστοί. Ρίξε μια ματιά:

Στον αριθμητή υπάρχει ένας ξεχωριστός αριθμός 7, και στον παρονομαστή - το κλάσμα 12/5.
Ο αριθμητής είναι το κλάσμα 7/12 και ο παρονομαστής είναι ο απλός αριθμός 5.

Έτσι, για έναν δίσκο, πήραμε δύο εντελώς διαφορετικές ερμηνείες. Εάν μετρήσετε, οι απαντήσεις θα είναι επίσης διαφορετικές:

Για να διασφαλίσετε ότι η εγγραφή διαβάζεται πάντα χωρίς αμφιβολία, χρησιμοποιήστε έναν απλό κανόνα: η διαχωριστική γραμμή του κύριου κλάσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ένθετη γραμμή. Κατά προτίμηση πολλές φορές.

Εάν ακολουθείτε αυτόν τον κανόνα, τότε τα παραπάνω κλάσματα θα πρέπει να γράφονται ως εξής:

Ναι, μάλλον είναι άσχημο και πιάνει πολύ χώρο. Θα μετρήσεις όμως σωστά. Τέλος, μερικά παραδείγματα όπου τα κλάσματα πολλαπλών επιπέδων εμφανίζονται πραγματικά:

Μια εργασία. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Λοιπόν, ας δουλέψουμε με το πρώτο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά κάνουμε τις πράξεις πρόσθεσης και διαίρεσης:

Ας κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Μετατρέψτε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και εκτελέστε τις απαιτούμενες λειτουργίες. Για να μην κουράσω τον αναγνώστη, θα παραλείψω κάποιους προφανείς υπολογισμούς. Εχουμε:

Λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής των κύριων κλασμάτων είναι αθροίσματα, ο κανόνας σημειογραφίας πολυώροφα κλάσματαακολουθείται αυτόματα. Επίσης, στο τελευταίο παράδειγμα, αφήσαμε επίτηδες τον αριθμό 46/1 σε μορφή κλάσματος για να γίνει η διαίρεση.

Σημειώνω επίσης ότι και στα δύο παραδείγματα, η κλασματική γραμμή αντικαθιστά πραγματικά τις αγκύλες: πρώτα απ 'όλα, βρήκαμε το άθροισμα και μόνο τότε - το πηλίκο.

Κάποιοι θα πουν ότι η μετάβαση σε ακατάλληλα κλάσματαστο δεύτερο παράδειγμα ήταν σαφώς περιττό. Ίσως είναι έτσι. Αλλά έτσι ασφαλιζόμαστε από λάθη, γιατί την επόμενη φορά το παράδειγμα μπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο περίπλοκο. Επιλέξτε μόνοι σας τι είναι πιο σημαντικό: ταχύτητα ή αξιοπιστία.