Οι έννοιες του ημιτόνου (), του συνημιτονοειδούς (), της εφαπτομένης (), της συνεφαπτομένης () είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με την έννοια της γωνίας. Για να κατανοήσουμε καλά αυτές τις, με την πρώτη ματιά, πολύπλοκες έννοιες (που προκαλούν μια κατάσταση φρίκης σε πολλούς μαθητές) και για να βεβαιωθούμε ότι «ο διάβολος δεν είναι τόσο τρομακτικός όσο είναι ζωγραφισμένος», ας ξεκινήσουμε από την αρχή. και να κατανοήσουν την έννοια της γωνίας.
Η έννοια της γωνίας: ακτίνιο, βαθμός
Ας δούμε την εικόνα. Το διάνυσμα «γύρισε» σε σχέση με το σημείο κατά ένα ορισμένο ποσό. Άρα το μέτρο αυτής της περιστροφής σε σχέση με την αρχική θέση θα είναι γωνία.
Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για την έννοια της γωνίας; Λοιπόν, μονάδες γωνίας, φυσικά!
Η γωνία, τόσο στη γεωμετρία όσο και στην τριγωνομετρία, μπορεί να μετρηθεί σε μοίρες και ακτίνια.
Η γωνία σε (μία μοίρα) είναι η κεντρική γωνία του κύκλου, με βάση ένα κυκλικό τόξο ίσο με το τμήμα του κύκλου. Έτσι, ολόκληρος ο κύκλος αποτελείται από «κομμάτια» κυκλικών τόξων ή η γωνία που περιγράφει ο κύκλος είναι ίση.
Δηλαδή, το παραπάνω σχήμα δείχνει μια γωνία που είναι ίση, δηλαδή αυτή η γωνία βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο στο μέγεθος της περιφέρειας.
Μια γωνία σε ακτίνια ονομάζεται η κεντρική γωνία ενός κύκλου, που βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Λοιπόν, κατάλαβες; Αν όχι, τότε ας δούμε την εικόνα.
Έτσι, το σχήμα δείχνει μια γωνία ίση με ένα ακτίνιο, δηλαδή, αυτή η γωνία βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου (το μήκος είναι ίσο με το μήκος ή η ακτίνα είναι ίση με το μήκος του τόξου). Έτσι, το μήκος του τόξου υπολογίζεται από τον τύπο:
Πού είναι η κεντρική γωνία σε ακτίνια.
Λοιπόν, γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να απαντήσετε σε πόσα ακτίνια περιέχει μια γωνία που περιγράφεται από έναν κύκλο; Ναι, για αυτό πρέπει να θυμάστε τον τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου. Εκεί είναι:
Λοιπόν, τώρα ας συσχετίσουμε αυτούς τους δύο τύπους και ας πάρουμε ότι η γωνία που περιγράφεται από τον κύκλο είναι ίση. Δηλαδή, συσχετίζοντας την τιμή σε μοίρες και ακτίνια, παίρνουμε αυτό. Αντίστοιχα, . Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τους "βαθμούς", η λέξη "ακτίνιο" παραλείπεται, καθώς η μονάδα μέτρησης είναι συνήθως καθαρή από τα συμφραζόμενα.
Πόσα είναι τα ακτίνια; Σωστά!
Το έπιασα? Στη συνέχεια, στερεώστε προς τα εμπρός:
Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε κοίτα απαντήσεις:
Ορθογώνιο τρίγωνο: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη γωνίας
Έτσι, με την έννοια της γωνίας κατανοητή. Τι είναι όμως το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη μιας γωνίας; Ας το καταλάβουμε. Για αυτό, ένα ορθογώνιο τρίγωνο θα μας βοηθήσει.
Πώς ονομάζονται οι πλευρές; ορθογώνιο τρίγωνο? Αυτό είναι σωστό, η υποτείνουσα και τα πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η πλευρά). τα πόδια είναι οι δύο εναπομείνασες πλευρές και (αυτές που γειτνιάζουν με ορθή γωνία), επιπλέον, αν θεωρήσουμε τα πόδια σε σχέση με τη γωνία, τότε το πόδι είναι το διπλανό πόδι και το πόδι είναι το αντίθετο. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;
Ημίτονο γωνίαςείναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
στο τρίγωνο μας.
Συνημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υπόταση.
στο τρίγωνο μας.
Εφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) ποδιού προς το διπλανό (κοντά).
στο τρίγωνο μας.
Συμεφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).
στο τρίγωνο μας.
Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι θα διαιρέσετε με τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςκαι συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:
συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;
Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ως λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (σε μία γωνία). Μην εμπιστεύεσαι? Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας. Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο: , αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας από ένα τρίγωνο: . Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.
Εάν καταλαβαίνετε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και διορθώστε τους!
Για το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε.
Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία.
Μοναδικός (τριγωνομετρικός) κύκλος
Κατανοώντας τις έννοιες των μοιρών και των ακτίνων, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με. Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Είναι πολύ χρήσιμο στη μελέτη της τριγωνομετρίας. Ως εκ τούτου, μένουμε σε αυτό με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος είναι χτισμένος στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η ακτίνα).
Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα και τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε το θεωρούμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ορθογώνιο γιατί είναι κάθετο στον άξονα.
Τι ισούται με από ένα τρίγωνο; Σωστά. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι είναι η ακτίνα του κύκλου μονάδας, και επομένως, . Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον τύπο συνημιτόνου μας. Να τι συμβαίνει:
Και τι ισούται με από ένα τρίγωνο; Λοιπόν, φυσικά,! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:
Λοιπόν, μπορείτε να μου πείτε ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει στον κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Και αν το αντιλαμβάνεστε και είστε απλώς αριθμοί; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Λοιπόν, φυσικά, η συντεταγμένη! Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Σωστά, συντονίσου! Έτσι, το σημείο.
Και τι τότε είναι ίσα και; Αυτό είναι σωστό, ας χρησιμοποιήσουμε τους κατάλληλους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας καταλάβουμε ότι, α.
Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Εδώ, για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:
Τι έχει αλλάξει σε αυτό το παράδειγμα; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, στρέφουμε ξανά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο: μια γωνία (όπως δίπλα σε μια γωνία). Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας; Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη. η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - η συντεταγμένη. και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις είναι εφαρμόσιμες σε οποιεσδήποτε περιστροφές του διανύσματος ακτίνας.
Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα. Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα έχετε επίσης μια γωνία συγκεκριμένου μεγέθους, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα - αρνητικός.
Έτσι, γνωρίζουμε ότι μια ολόκληρη περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από τον κύκλο είναι ή. Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας κατά ή κατά; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, επομένως, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μια πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στη θέση ή.
Στη δεύτερη περίπτωση, δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση ή.
Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά ή (όπου είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια γωνία. Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία κ.ο.κ. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο ή (όπου είναι ένας ακέραιος αριθμός)
Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας κύκλος μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε με ποιες τιμές είναι ίσες με:
Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:
Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:
Από εδώ προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα της γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία στο αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες, επομένως:
Δεν υπάρχει;
Περαιτέρω, ακολουθώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες στο αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες, αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.
Απαντήσεις:
Δεν υπάρχει
Δεν υπάρχει
Δεν υπάρχει
Δεν υπάρχει
Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:
Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Αλλά οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και, που δίνονται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμόμαστε:
Μην φοβάστε, τώρα θα δείξουμε ένα από τα παραδείγματα μάλλον απλή απομνημόνευση των αντίστοιχων τιμών:
Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις τιμές του ημιτόνου και για τα τρία μέτρα της γωνίας (), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μέσα. Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές, είναι αρκετά εύκολο να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημιτόνου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:
Γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να επαναφέρετε τις τιμές για. Ο αριθμητής " " θα ταιριάζει και ο παρονομαστής " " θα ταιριάζει. Οι τιμές της συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που φαίνονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε και θυμάστε το διάγραμμα με βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε ολόκληρη την τιμή από τον πίνακα.
Συντεταγμένες ενός σημείου σε κύκλο
Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του?
Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Ας βγάλουμε γενικός τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου.
Εδώ, για παράδειγμα, έχουμε έναν τέτοιο κύκλο:
Μας δίνεται ότι το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το σημείο κατά μοίρες.
Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη του σημείου αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος. Το μήκος του τμήματος αντιστοιχεί στη συντεταγμένη του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο με. Το μήκος ενός τμήματος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:
Τότε έχουμε ότι για το σημείο η συντεταγμένη.
Με την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο. Με αυτόν τον τρόπο,
Έτσι μέσα γενική εικόναΟι σημειακές συντεταγμένες καθορίζονται από τους τύπους:
Συντεταγμένες κέντρου κύκλου,
ακτίνα κύκλου,
Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας.
Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, καθώς οι συντεταγμένες του κέντρου είναι μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:
Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε αυτές τις φόρμουλες για μια γεύση, εξασκώντας την εύρεση σημείων σε έναν κύκλο;
1. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει με την ενεργοποίηση ενός σημείου.
2. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει από την περιστροφή ενός σημείου επάνω.
3. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει με την ενεργοποίηση ενός σημείου.
4. Σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.
5. Σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.
Δυσκολεύεστε να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο;
Λύστε αυτά τα πέντε παραδείγματα (ή κατανοήστε καλά τη λύση) και θα μάθετε πώς να τα βρείτε!
1.
Μπορεί να φανεί ότι. Και ξέρουμε τι αντιστοιχεί σε μια πλήρη στροφή του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του σημείου:
2. Ο κύκλος είναι μονάδα με κέντρο σε ένα σημείο, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:
Μπορεί να φανεί ότι. Γνωρίζουμε τι αντιστοιχεί σε δύο πλήρεις περιστροφές του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του σημείου:
Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι τιμές πίνακα. Θυμόμαστε τις αξίες τους και παίρνουμε:
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
3. Ο κύκλος είναι μονάδα με κέντρο σε ένα σημείο, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:
Μπορεί να φανεί ότι. Ας απεικονίσουμε το εξεταζόμενο παράδειγμα στο σχήμα:
Η ακτίνα κάνει γωνίες με τον άξονα ίσο με και. Γνωρίζοντας ότι οι πινακικές τιμές του συνημιτόνου και του ημιτόνου είναι ίσες και αφού καθορίσουμε ότι το συνημίτονο εδώ παίρνει μια αρνητική τιμή και το ημίτονο είναι θετικό, έχουμε:
Παρόμοια παραδείγματα αναλύονται λεπτομερέστερα κατά τη μελέτη των τύπων για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο θέμα.
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
4.
Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας (κατά συνθήκη)
Για να προσδιορίσουμε τα αντίστοιχα πρόσημα ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, κατασκευάζουμε έναν μοναδιαίο κύκλο και μια γωνία:
Όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή, δηλαδή, είναι θετική και η τιμή, δηλαδή, είναι αρνητική. Γνωρίζοντας τις πινακικές τιμές των αντίστοιχων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε ότι:
Ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο μας και ας βρούμε τις συντεταγμένες:
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
5. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τύπους σε γενική μορφή, όπου
Οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου (στο παράδειγμά μας,
Ακτίνα κύκλου (ανά συνθήκη)
Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας (κατά συνθήκη).
Αντικαταστήστε όλες τις τιμές στον τύπο και λάβετε:
και - τιμές πίνακα. Τα θυμόμαστε και τα αντικαθιστούμε στον τύπο:
Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.
ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς το διπλανό (κοντά).
Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς το αντίθετο (μακριά).
- σίγουρα θα υπάρξουν εργασίες στην τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία είναι συχνά αντιπαθής επειδή χρειάζεται να στριμώξουμε μια τεράστια ποσότητα από δύσκολες φόρμουλες γεμάτες με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες και συνεφαπτομένες. Ο ιστότοπος έδωσε ήδη μια φορά συμβουλές για το πώς να θυμάστε μια ξεχασμένη φόρμουλα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των τύπων Euler και Peel.
Και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι αρκεί να γνωρίζουμε σταθερά μόνο πέντε από τα πιο απλά τριγωνομετρικούς τύπους, και περίπου τα υπόλοιπα να έχουμε γενική ιδέακαι βγάλτε τα καθώς πηγαίνετε. Είναι όπως με το DNA: δεν αποθηκεύονται σε ένα μόριο ολοκληρωμένα σχέδιατελειωμένο ζωντανό ον. Περιέχει, μάλλον, οδηγίες για τη συναρμολόγησή του από τα διαθέσιμα αμινοξέα. Έτσι είναι στην τριγωνομετρία, γνωρίζοντας μερικά γενικές αρχές, θα τα πάρουμε όλα απαραίτητες φόρμουλεςαπό ένα μικρό σύνολο από αυτά που πρέπει να έχετε κατά νου.
Θα βασιστούμε στους παρακάτω τύπους:
Από τους τύπους για το ημίτονο και το συνημίτονο των αθροισμάτων, γνωρίζοντας ότι η συνάρτηση συνημιτόνου είναι άρτια και ότι η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι περιττή, αντικαθιστώντας το -b για το b, λαμβάνουμε τύπους για τις διαφορές:
- Ημόριο διαφοράς: αμαρτία(α-β) = αμαρτίαέναcos(-σι)+cosένααμαρτία(-σι) = αμαρτίαέναcosσι-cosένααμαρτίασι
- διαφορά συνημίτονου: cos(α-β) = cosέναcos(-σι)-αμαρτίαένααμαρτία(-σι) = cosέναcosσι+αμαρτίαένααμαρτίασι
Βάζοντας a \u003d b στους ίδιους τύπους, λαμβάνουμε τους τύπους για το ημίτονο και το συνημίτονο διπλών γωνιών:
- Ημίτονο διπλής γωνίας: αμαρτία2α = αμαρτία(α+α) = αμαρτίαέναcosένα+cosένααμαρτίαένα = 2αμαρτίαέναcosένα
- Συνημίτονο διπλής γωνίας: cos2α = cos(α+α) = cosέναcosένα-αμαρτίαένααμαρτίαένα = cos2α-αμαρτία2α
Οι τύποι για άλλες πολλαπλές γωνίες λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο:
- Ημίτονο τριπλής γωνίας: αμαρτία3α = αμαρτία(2α+α) = αμαρτία2αcosένα+cos2ααμαρτίαένα = (2αμαρτίαέναcosένα)cosένα+(cos2α-αμαρτία2α)αμαρτίαένα = 2αμαρτίαέναcos2α+αμαρτίαέναcos2α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαέναcos2α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα(1-αμαρτία2α)-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα-4αμαρτία 3α
- Συνημίτονο τριπλής γωνίας: cos3α = cos(2α+α) = cos2αcosένα-αμαρτία2ααμαρτίαένα = (cos2α-αμαρτία2α)cosένα-(2αμαρτίαέναcosένα)αμαρτίαένα = cos 3α- αμαρτία2αcosένα-2αμαρτία2αcosένα = cos 3α-3 αμαρτία2αcosένα = cos 3 α-3(1- cos2α)cosένα = 4cos 3α-3 cosένα
Πριν προχωρήσουμε, ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα.
Δίνεται: η γωνία είναι οξεία.
Βρείτε το συνημίτονο του αν
Λύση που δόθηκε από έναν μαθητή:
Επειδή , έπειτα αμαρτίαένα= 3,α cosένα = 4.
(Από μαθηματικό χιούμορ)
Έτσι, ο ορισμός της εφαπτομένης συνδέει αυτή τη συνάρτηση τόσο με το ημιτονοειδές όσο και με το συνημίτονο. Αλλά μπορείτε να πάρετε έναν τύπο που δίνει τη σύνδεση της εφαπτομένης μόνο με το συνημίτονο. Για να το αντλήσουμε, παίρνουμε το κύριο τριγωνομετρική ταυτότητα: αμαρτία 2 ένα+cos 2 ένα= 1 και διαιρέστε το με cos 2 ένα. Παίρνουμε:
Η λύση λοιπόν σε αυτό το πρόβλημα θα ήταν:
(Επειδή η γωνία είναι οξεία, το σύμβολο + λαμβάνεται κατά την εξαγωγή της ρίζας)
Ο τύπος για την εφαπτομένη του αθροίσματος είναι ένας άλλος τύπος που είναι δύσκολο να θυμηθούμε. Ας το βγάλουμε ως εξής:
αμέσως έξοδο και
Από τον τύπο συνημιτόνου για διπλή γωνία, μπορείτε να λάβετε τους τύπους ημιτόνου και συνημιτόνου για μισή γωνία. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή πλευρά του τύπου συνημιτόνου διπλής γωνίας:
cos2
ένα = cos 2
ένα-αμαρτία 2
ένα
προσθέτουμε μια μονάδα, και στα δεξιά - μια τριγωνομετρική μονάδα, δηλ. άθροισμα τετραγώνων ημιτόνου και συνημίτονου.
cos2α+1 = cos2α-αμαρτία2α+cos2α+αμαρτία2α
2cos 2
ένα = cos2
ένα+1
εκφράζοντας cosέναδιά μέσου cos2
ένακαι πραγματοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε:
Το σήμα λαμβάνεται ανάλογα με το τεταρτημόριο.
Ομοίως, αφαιρώντας ένα από την αριστερή πλευρά της ισότητας και το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου από τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
cos2α-1 = cos2α-αμαρτία2α-cos2α-αμαρτία2α
2αμαρτία 2
ένα = 1-cos2
ένα
Και τέλος, για να μετατρέψουμε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο, χρησιμοποιούμε το παρακάτω κόλπο. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αναπαραστήσουμε το άθροισμα των ημιτόνων ως γινόμενο αμαρτίαένα+αμαρτίασι. Ας εισάγουμε τις μεταβλητές x και y έτσι ώστε a = x+y, b+x-y. Επειτα
αμαρτίαένα+αμαρτίασι = αμαρτία(x+y)+ αμαρτία(χ-υ) = αμαρτίαΧ cos y+ cosΧ αμαρτία y+ αμαρτίαΧ cos y- cosΧ αμαρτία y=2 αμαρτίαΧ cos y. Ας εκφράσουμε τώρα τα x και y ως προς τα a και b.
Αφού a = x+y, b = x-y, τότε . Να γιατί
Μπορείτε να αποσύρετε αμέσως
- Φόρμουλα κατάτμησης προϊόντα ημιτονοειδούς και συνημιτόνουσε ποσό: αμαρτίαέναcosσι = 0.5(αμαρτία(α+β)+αμαρτία(α-β))
Συνιστούμε να εξασκηθείτε και να εξάγετε τύπους για τη μετατροπή του γινομένου της διαφοράς των ημιτόνων και του αθροίσματος και της διαφοράς των συνημιτόνων σε γινόμενο, καθώς και για το διαχωρισμό των γινομένων των ημιτόνων και των συνημιτονίων σε άθροισμα. Έχοντας κάνει αυτές τις ασκήσεις, θα κατακτήσετε πλήρως την ικανότητα εξαγωγής τριγωνομετρικών τύπων και δεν θα χαθείτε ακόμα και στον πιο δύσκολο έλεγχο, ολυμπιάδα ή δοκιμή.
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD| - το μήκος του τόξου ενός κύκλου με κέντρο το σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.
Εφαπτομένη ( tgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίσο με την αναλογίατο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .
Συμεφαπτομένη ( ctgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .
Εφαπτομένος
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tg x
Συνεφαπτομένη
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Υιοθετήθηκε επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:
;
;
.
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x
Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Περιοδικότης
Συναρτήσεις y= tg xκαι y= ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία
Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές.
Τομείς ορισμού και αξιών, αύξουσα, φθίνουσα
Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ακέραιος).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | ||
| Εύρος τιμών | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Αύξουσα | - | |
| Φθίνων | - | |
| Ακρα | - | - |
| Μηδενικά, y= 0 | ||
| Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0 | y= 0 | - |
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Εκφράσεις ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο
;
;
;
;
;
Τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη του αθροίσματος και της διαφοράς
Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα
Προϊόν των εφαπτομένων
Ο τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων
Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις ως προς τους μιγαδικούς αριθμούς
Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις
;
;
Παράγωγα
; .
.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης :
.
Παραγωγή τύπων για εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >
Ολοκληρώματα
Επεκτάσεις σε σειρές
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xκαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα το ένα στο άλλο, . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο .
όπου B n- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
όπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο Laplace: 
Αντίστροφες συναρτήσεις
Οι αντίστροφες συναρτήσεις της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctangent, arctg
, όπου n- ολόκληρος.
Εφαπτομένη τόξου, arcctg
, όπου n- ολόκληρος.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Ερευνητές και Μηχανικούς, 2012.
Οι πιο συχνές ερωτήσεις
Είναι δυνατόν να σφραγιστεί ένα έγγραφο σύμφωνα με το παρεχόμενο δείγμα; Απάντηση Ναι, είναι δυνατόν. Στείλτε ένα σαρωμένο αντίγραφο ή μια φωτογραφία καλής ποιότητας στη διεύθυνση email μας και θα κάνουμε το απαραίτητο αντίγραφο.
Τι είδους πληρωμές δέχεστε;
Απάντηση Μπορείτε να πληρώσετε το έγγραφο τη στιγμή της παραλαβής από τον ταχυμεταφορέα, αφού ελέγξετε την ορθότητα της συμπλήρωσης και την ποιότητα του διπλώματος. Αυτό μπορεί επίσης να γίνει στα γραφεία ταχυδρομικών εταιρειών που προσφέρουν υπηρεσίες αντικαταβολής.
Όλοι οι όροι παράδοσης και πληρωμής εγγράφων περιγράφονται στην ενότητα «Πληρωμή και Παράδοση». Είμαστε επίσης έτοιμοι να ακούσουμε τις προτάσεις σας σχετικά με τους όρους παράδοσης και πληρωμής του παραστατικού.
Μπορώ να είμαι σίγουρος ότι μετά την υποβολή μιας παραγγελίας δεν θα εξαφανιστείτε με τα χρήματά μου; Απάντηση Έχουμε αρκετά μεγάλη εμπειρία στον τομέα της παραγωγής διπλωμάτων. Έχουμε αρκετούς ιστότοπους που ενημερώνονται συνεχώς. Οι ειδικοί μας εργάζονται σε διάφορα μέρη της χώρας, παράγοντας πάνω από 10 έγγραφα την ημέρα. Με τα χρόνια, τα έγγραφά μας έχουν βοηθήσει πολλούς ανθρώπους να λύσουν προβλήματα απασχόλησης ή να μετακινηθούν σε περισσότερα υψηλά αμειβόμενη εργασία. Έχουμε κερδίσει την εμπιστοσύνη και την αναγνώριση μεταξύ των πελατών, επομένως δεν υπάρχει κανένας απολύτως λόγος να το κάνουμε αυτό. Επιπλέον, είναι απλά αδύνατο να το κάνετε φυσικά: πληρώνετε την παραγγελία σας τη στιγμή που θα την παραλάβετε στα χέρια σας, δεν υπάρχει προπληρωμή.
Μπορώ να παραγγείλω δίπλωμα από οποιοδήποτε πανεπιστήμιο; Απάντηση Σε γενικές γραμμές, ναι. Δουλεύουμε σε αυτόν τον τομέα σχεδόν 12 χρόνια. Σε αυτό το διάστημα έχει διαμορφωθεί μια σχεδόν πλήρης βάση δεδομένων με έγγραφα που εκδίδονται από όλα σχεδόν τα πανεπιστήμια της χώρας και του εξωτερικού. διαφορετικά χρόνιαέκδοση. Το μόνο που χρειάζεται είναι να επιλέξετε πανεπιστήμιο, ειδικότητα, έγγραφο και να συμπληρώσετε μια φόρμα παραγγελίας.
Τι πρέπει να κάνω εάν εντοπίσω τυπογραφικά λάθη και λάθη σε ένα έγγραφο;
Απάντηση Όταν λαμβάνετε ένα έγγραφο από την εταιρεία ταχυμεταφορών ή την ταχυδρομική μας εταιρεία, σας συνιστούμε να ελέγχετε προσεκτικά όλες τις λεπτομέρειες. Εάν διαπιστωθεί τυπογραφικό λάθος, λάθος ή ανακρίβεια, έχετε το δικαίωμα να μην πάρετε το δίπλωμα και πρέπει να δηλώσετε τις ελλείψεις που εντοπίστηκαν προσωπικά στον ταχυμεταφορέα ή στο Γραφήστέλνοντας επιστολή στον ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ.
ΣΤΟ όσο το δυνατόν συντομότεραΘα διορθώσουμε το έγγραφο και θα το στείλουμε ξανά στην καθορισμένη διεύθυνση. Φυσικά τα μεταφορικά θα βαρύνουν την εταιρεία μας.
Για να αποφύγουμε τέτοιες παρεξηγήσεις, πριν συμπληρώσουμε την αρχική φόρμα, αποστέλλουμε μια διάταξη του μελλοντικού εγγράφου στο ταχυδρομείο του πελάτη για επαλήθευση και έγκριση της τελικής έκδοσης. Πριν στείλουμε το έγγραφο με κούριερ ή ταχυδρομείο, τραβάμε επίσης μια πρόσθετη φωτογραφία και βίντεο (συμπεριλαμβανομένου του υπεριώδους φωτός) ώστε να έχετε μια οπτική ιδέα για το τι θα πάρετε στο τέλος.
Τι πρέπει να κάνετε για να παραγγείλετε ένα δίπλωμα από την εταιρεία σας;
Απάντηση Για να παραγγείλετε ένα έγγραφο (πιστοποιητικό, δίπλωμα, ακαδημαϊκό πιστοποιητικό κ.λπ.), πρέπει να συμπληρώσετε μια ηλεκτρονική φόρμα παραγγελίας στον ιστότοπό μας ή να δώσετε το e-mail σας ώστε να σας στείλουμε μια φόρμα ερωτηματολογίου, την οποία πρέπει να συμπληρώσετε και να στείλετε πίσω σε εμάς.
Εάν δεν ξέρετε τι να υποδείξετε σε οποιοδήποτε πεδίο της φόρμας παραγγελίας/ερωτηματολογίου, αφήστε τα κενά. Επομένως, θα διευκρινίσουμε όλες τις πληροφορίες που λείπουν τηλεφωνικά.
Τελευταίες Κριτικές
Αλεξέι:
Χρειαζόμουν να πάρω δίπλωμα για να βρω δουλειά ως διευθυντής. Και το πιο σημαντικό, έχω και εμπειρία και δεξιότητες, αλλά χωρίς έγγραφο δεν μπορώ, θα βρω δουλειά οπουδήποτε. Μόλις μπήκα στον ιστότοπό σας, αποφάσισα ακόμα να αγοράσω ένα δίπλωμα. Το δίπλωμα ολοκληρώθηκε σε 2 μέρες! Τώρα έχω μια δουλειά που δεν είχα ονειρευτεί ποτέ πριν!! Ευχαριστώ!
Η τριγωνομετρία, ως επιστήμη, ξεκίνησε από την Αρχαία Ανατολή. Οι πρώτες τριγωνομετρικές αναλογίες αναπτύχθηκαν από αστρονόμους για να δημιουργήσουν ένα ακριβές ημερολόγιο και να προσανατολιστούν από τα αστέρια. Οι υπολογισμοί αυτοί αφορούσαν τη σφαιρική τριγωνομετρία, ενώ στο σχολικό μάθημα μελετούν τον λόγο των πλευρών και της γωνίας ενός επίπεδου τριγώνου.
Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των τριγώνων.
Κατά την ακμή του πολιτισμού και της επιστήμης την 1η χιλιετία μ.Χ., η γνώση εξαπλώθηκε από την Αρχαία Ανατολή στην Ελλάδα. Αλλά οι κύριες ανακαλύψεις της τριγωνομετρίας είναι η αξία των συζύγων Αραβικό Χαλιφάτο. Συγκεκριμένα, ο Τουρκμενός επιστήμονας al-Marazvi εισήγαγε τέτοιες συναρτήσεις ως εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, συνέταξε τους πρώτους πίνακες τιμών για ημιτονοειδή, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες. Η έννοια του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς εισήχθη από Ινδούς επιστήμονες. Μεγάλη προσοχή αφιερώνεται στην τριγωνομετρία στα έργα τόσο μεγάλων μορφών της αρχαιότητας όπως ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης και ο Ερατοσθένης.
Βασικά μεγέθη τριγωνομετρίας
Κύριος τριγωνομετρικές συναρτήσειςΤο αριθμητικό όρισμα είναι ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του γράφημα: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
Οι τύποι για τον υπολογισμό των τιμών αυτών των μεγεθών βασίζονται στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι πιο γνωστό στους μαθητές στη διατύπωση: «Πυθαγόρειο παντελόνι, ίσο προς όλες τις κατευθύνσεις», αφού η απόδειξη δίνεται στο παράδειγμα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου.
Το ημίτονο, το συνημίτονο και άλλες εξαρτήσεις δημιουργούν μια σχέση μεταξύ οξειών γωνιών και πλευρών οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου. Δίνουμε τύπους για τον υπολογισμό αυτών των μεγεθών για τη γωνία Α και ανιχνεύουμε τη σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Όπως μπορείτε να δείτε, το tg και το ctg είναι αντίστροφες συναρτήσεις. Εάν παριστάνουμε το σκέλος a ως γινόμενο του αμαρτήματος Α και της υποτείνουσας c και το σκέλος b ως cos A * c, τότε παίρνουμε τους ακόλουθους τύπους για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη:
τριγωνομετρικός κύκλος
Γραφικά, η αναλογία των αναφερόμενων ποσοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
Ο κύκλος, σε αυτή την περίπτωση, είναι όλος πιθανές τιμέςγωνία α — από 0° έως 360°. Όπως μπορείτε να δείτε από το σχήμα, κάθε συνάρτηση παίρνει ένα αρνητικό ή θετική αξίαανάλογα με τη γωνία. Για παράδειγμα, το sin α θα έχει πρόσημο «+» εάν το α ανήκει στα τέταρτα I και II του κύκλου, δηλαδή είναι στην περιοχή από 0 ° έως 180 °. Με α από 180° έως 360° (ΙΙΙ και IV τέταρτα), το sin α μπορεί να είναι μόνο αρνητική τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να φτιάξουμε τριγωνομετρικούς πίνακες για συγκεκριμένες γωνίες και να μάθουμε τη σημασία των μεγεθών.
Οι τιμές του α ίσες με 30°, 45°, 60°, 90°, 180° και ούτω καθεξής ονομάζονται ειδικές περιπτώσεις. Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για αυτές υπολογίζονται και παρουσιάζονται με τη μορφή ειδικών πινάκων.
Αυτές οι γωνίες δεν επιλέχθηκαν τυχαία. Ο προσδιορισμός π στους πίνακες είναι για ακτίνια. Rad είναι η γωνία στην οποία το μήκος ενός κυκλικού τόξου αντιστοιχεί στην ακτίνα του. Αυτή η τιμή εισήχθη για να δημιουργηθεί μια καθολική σχέση· κατά τον υπολογισμό σε ακτίνια, το πραγματικό μήκος της ακτίνας σε cm δεν έχει σημασία.
Οι γωνίες στους πίνακες για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε τιμές ακτίνων:
Έτσι, δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι το 2π είναι ένας πλήρης κύκλος ή 360°.
Ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο και συνημίτονο
Προκειμένου να εξεταστούν και να συγκριθούν οι βασικές ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις τους. Αυτό μπορεί να γίνει με τη μορφή μιας καμπύλης που βρίσκεται σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων.
Εξετάστε έναν συγκριτικό πίνακα ιδιοτήτων για ένα ημιτονοειδές κύμα και ένα συνημιτονοειδές κύμα:
| ημιτονοειδής | συνημιτονικό κύμα |
|---|---|
| y = αμαρτία x | y = cos x |
| ODZ [-1; ένας] | ODZ [-1; ένας] |
| sin x = 0, για x = πk, όπου k ϵ Z | cos x = 0, για x = π/2 + πk, όπου k ϵ Z |
| sin x = 1, για x = π/2 + 2πk, όπου k ϵ Z | cos x = 1, για x = 2πk, όπου k ϵ Z |
| sin x = - 1, στο x = 3π/2 + 2πk, όπου k ϵ Z | cos x = - 1, για x = π + 2πk, όπου k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, δηλ. περιττή συνάρτηση | cos (-x) = cos x, δηλαδή η συνάρτηση είναι άρτια |
| η συνάρτηση είναι περιοδική, η μικρότερη περίοδος είναι 2π | |
| sin x › 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα I και II ή από 0° έως 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα I και IV ή από 270° έως 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα III και IV ή από 180° έως 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα II και III ή από 90° έως 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| αυξάνεται στο διάστημα [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | αυξάνεται στο διάστημα [-π + 2πk, 2πk] |
| μειώνεται στα διαστήματα [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | μειώνεται κατά διαστήματα |
| παράγωγο (sin x)' = cos x | παράγωγο (cos x)’ = - sin x |
Ο προσδιορισμός του αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή όχι είναι πολύ απλός. Αρκεί να φανταστεί κανείς έναν τριγωνομετρικό κύκλο με σημάδια τριγωνομετρικών μεγεθών και να «διπλώσει» νοερά το γράφημα σε σχέση με τον άξονα OX. Αν τα πρόσημα είναι ίδια, η συνάρτηση είναι άρτια, διαφορετικά είναι περιττή.
Η εισαγωγή των ακτίνων και η απαρίθμηση των κύριων ιδιοτήτων του ημιτονοειδούς και συνημιτονικού κύματος μας επιτρέπουν να φέρουμε το ακόλουθο μοτίβο:
Είναι πολύ εύκολο να επαληθεύσετε την ορθότητα του τύπου. Για παράδειγμα, για x = π/2, το ημίτονο είναι ίσο με 1, όπως και το συνημίτονο του x = 0. Ο έλεγχος μπορεί να γίνει κοιτάζοντας πίνακες ή ανιχνεύοντας καμπύλες συναρτήσεων για δεδομένες τιμές.
Ιδιότητες εφαπτοειδούς και συνεφαπτοειδούς
Τα γραφήματα των συναρτήσεων εφαπτομένης και συνεφαπτομένης διαφέρουν σημαντικά από το ημιτονοειδές και συνημιτονικό κύμα. Οι τιμές tg και ctg είναι αντίστροφες μεταξύ τους.
- Υ = tgx.
- Η εφαπτομένη τείνει στις τιμές του y στο x = π/2 + πk, αλλά δεν τις φτάνει ποτέ.
- Η μικρότερη θετική περίοδος της εφαπτομένης είναι το π.
- Tg (- x) \u003d - tg x, δηλαδή, η συνάρτηση είναι περιττή.
- Tg x = 0, για x = πk.
- Η συνάρτηση αυξάνεται.
- Tg x › 0, για x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, για x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Παράγωγος (tg x)' = 1/cos 2 x .
Σκεφτείτε γραφική εικόνασυνταπτενοειδή παρακάτω.
Οι κύριες ιδιότητες του συνταγονοειδούς:
- Υ = ctgx.
- Σε αντίθεση με τις συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, στην εφαπτομενική Y μπορεί να λάβει τις τιμές του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών.
- Το συνεφαπτοειδές τείνει στις τιμές του y στο x = πk, αλλά δεν τις φτάνει ποτέ.
- Η μικρότερη θετική περίοδος του συνεφαπτοειδούς είναι το π.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, δηλαδή, η συνάρτηση είναι περιττή.
- Ctg x = 0, για x = π/2 + πk.
- Η συνάρτηση μειώνεται.
- Ctg x › 0, για x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, για x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Παράγωγο (ctg x)' = - 1/sin 2 x Διόρθωση