Η συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εφαπτομένης. Διαμόρφωση των εννοιών των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων μεταξύ των μαθητών στα μαθήματα άλγεβρας

Μαθήματα 32-33. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

09.07.2015 5917 0

Στόχος: εξετάστε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τη χρήση τους για τη σύνταξη λύσεων τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Ι. Επικοινωνία του θέματος και των στόχων των μαθημάτων

II. Εκμάθηση νέου υλικού

1. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ας ξεκινήσουμε αυτό το θέμα με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Ας λύσουμε την εξίσωση:α) sin x = 1/2; β) αμαρτία x \u003d α.

α) Στον άξονα τεταγμένων, αφήστε στην άκρη την τιμή 1/2 και σχεδιάστε τις γωνίες x 1 και x2, για το οποίοαμαρτία x = 1/2. Σε αυτή την περίπτωση, x1 + x2 = π, από όπου x2 = π – x 1 . Σύμφωνα με τον πίνακα τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσειςβρείτε την τιμή x1 = π/6, τότεΛαμβάνουμε υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης ημιτόνου και γράφουμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης:όπου k ∈ Z .

β) Είναι προφανές ότι ο αλγόριθμος για την επίλυση της εξίσωσηςαμαρτία x = a είναι το ίδιο όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Φυσικά, τώρα η τιμή του a απεικονίζεται κατά μήκος του άξονα y. Υπάρχει ανάγκη να ορίσουμε με κάποιο τρόπο τη γωνία x1. Συμφωνήσαμε να υποδηλώσουμε μια τέτοια γωνία με το σύμβολοτόξο αμαρτία ΕΝΑ. Τότε οι λύσεις αυτής της εξίσωσης μπορούν να γραφτούν ωςΑυτοί οι δύο τύποι μπορούν να συνδυαστούν σε έναν:εν

Παρομοίως εισάγονται και άλλες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Πολύ συχνά είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή μιας γωνίας από τη γνωστή τιμή της τριγωνομετρικής της συνάρτησης. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι πολλαπλών τιμών - υπάρχει ένας άπειρος αριθμός γωνιών των οποίων οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ίσες με την ίδια τιμή. Επομένως, με βάση τη μονοτονία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εισάγονται οι ακόλουθες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις για τον μοναδικό προσδιορισμό των γωνιών.

Το τόξο του a (arcsin , του οποίου το ημίτονο είναι ίσο με a, δηλ.

Τόξο συνημίτονο ενός αριθμού a(arccos α) - μια τέτοια γωνία α από το διάστημα, το συνημίτονο του οποίου είναι ίσο με a, δηλ.

Εφαπτομένη του τόξου ενός αριθμούα (αρχ α) - μια τέτοια γωνία α από το διάστηματου οποίου η εφαπτομένη είναι α, δηλ.tg a = α.

Εφαπτομένη του τόξου ενός αριθμούα (αρχ α) - μια τέτοια γωνία a από το διάστημα (0; π), της οποίας η συνεφαπτομένη είναι ίση με a, δηλ. ctg a = α.

Παράδειγμα 2

Ας βρούμε:

Λαμβάνοντας υπόψη τους ορισμούς των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε:

Παράδειγμα 3

Υπολογίζω

Έστω γωνία α = τόξο 3/5, τότε εξ ορισμούαμαρτία α = 3/5 και . Επομένως, πρέπει να βρούμε cos ΕΝΑ. Χρησιμοποιώντας το κύριο τριγωνομετρική ταυτότητα, παίρνουμε:Λαμβάνεται υπόψη ότι cos a ≥ 0. Άρα,

Ιδιότητες συνάρτησης	Λειτουργία
Ιδιότητες συνάρτησης	y = τόξο x	y = τόξο x	y = arctg x	y = arcctg x
Τομέα	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Εύρος τιμών	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Ισοτιμία	Περιττός	Ούτε ζυγός ούτε περίεργος	Περιττός	Ούτε ζυγός ούτε περίεργος
Συναρτήσεις μηδενικά (y = 0)	Όταν x = 0	Για x = 1	Όταν x = 0	y ≠ 0
Διαστήματα σταθερότητας	y > 0 για x ∈ (0; 1], στο< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 για x ∈ [-1; 1)	y > 0 για x ∈ (0; +∞), στο< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 για x ∈ (-∞; +∞)
Μονότονη ομιλία	Αυξάνεται	Μειώνεται	Αυξάνεται	Μειώνεται
Σχέση με την τριγωνομετρική συνάρτηση	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Πρόγραμμα

Ας πάρουμε μια άλλη σειρά τυπικά παραδείγματασχετίζονται με τους ορισμούς και τις βασικές ιδιότητες των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης

Για να οριστεί η συνάρτηση y είναι απαραίτητο η ανίσωσηπου ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτωνΗ λύση στην πρώτη ανισότητα είναι το διάστημα x∈ (-∞; +∞), το δεύτερο -Αυτό το διάστημα και είναι μια λύση στο σύστημα των ανισοτήτων, και ως εκ τούτου το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Παράδειγμα 5

Βρείτε την περιοχή αλλαγής της συνάρτησης

Εξετάστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης z \u003d 2x - x2 (βλ. εικόνα).

Φαίνεται ότι z ∈ (-∞; 1]. Δεδομένου ότι το όρισμα z η συνάρτηση της αντίστροφης εφαπτομένης ποικίλλει εντός των καθορισμένων ορίων, από τα δεδομένα του πίνακα που λαμβάνουμεΈτσι, η περιοχή της αλλαγής

Παράδειγμα 6

Ας αποδείξουμε ότι η συνάρτηση y = arctg x περιττό. ΑφήνωΣτη συνέχεια tg a \u003d -x ή x \u003d - tg a \u003d tg (- a), και Επομένως, - a \u003d arctg x ή a \u003d - arctg Χ. Έτσι, το βλέπουμεδηλ. το y(x) είναι μια περιττή συνάρτηση.

Παράδειγμα 7

Εκφραζόμαστε ως προς όλες τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Αφήνω Είναι προφανές ότι Μετά από τότε

Ας εισάγουμε μια γωνία Επειδή Οτι

Ομοίως, λοιπόν Και

Ετσι,

Παράδειγμα 8

Ας δημιουργήσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d cos (arcsin x).

Υποδηλώστε ένα \u003d τόξο x, τότε Λαμβάνουμε υπόψη ότι x \u003d sin a και y \u003d cos a, δηλ. x 2 + y2 = 1 και περιορισμοί στο x (x∈ [-1; 1]) και y (y ≥ 0). Τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos(arcsin x) είναι ημικύκλιο.

Παράδειγμα 9

Ας δημιουργήσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d arccos(cosx).

Δεδομένου ότι η συνάρτηση συν x αλλαγές στο τμήμα [-1; 1], τότε η συνάρτηση y ορίζεται σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα και αλλάζει στο διάστημα . Θα έχουμε υπόψη μας ότι y = arccos (cosx) \u003d x στο τμήμα. η συνάρτηση y είναι άρτια και περιοδική με περίοδο 2π. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνάρτηση έχει αυτές τις ιδιότητες cos x, Τώρα είναι εύκολο να σχεδιάσεις.

Σημειώνουμε μερικές χρήσιμες ισότητες:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησηςΔείχνω Επειτα Λάβετε μια συνάρτηση Αυτή η λειτουργία έχει ένα ελάχιστο στο σημείο z = π/4, και είναι ίσο με Υψηλότερη τιμήη λειτουργία επιτυγχάνεται στο σημείο z = -π/2, και είναι ίσο με Έτσι, και

Παράδειγμα 11

Ας λύσουμε την εξίσωση

Το λαμβάνουμε υπόψη Τότε η εξίσωση μοιάζει με:ή που Εξ ορισμού της εφαπτομένης τόξου, παίρνουμε:

2. Λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων

Ομοίως με το παράδειγμα 1, μπορείτε να βρείτε λύσεις στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Η εξίσωση	Λύση


tgx = α
ctg x = α

Παράδειγμα 12

Ας λύσουμε την εξίσωση

Εφόσον η συνάρτηση ημιτόνου είναι περιττή, γράφουμε την εξίσωση με τη μορφήΛύσεις σε αυτήν την εξίσωση:που βρίσκουμε

Παράδειγμα 13

Ας λύσουμε την εξίσωση

Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο γράφουμε τις λύσεις της εξίσωσης:και βρείτε

Σημειώστε ότι σε συγκεκριμένες περιπτώσεις (a = 0; ±1) κατά την επίλυση των εξισώσεων sin x = a και cos x = a είναι ευκολότερο και πιο βολικό στη χρήση όχι γενικούς τύπουςκαι γράψτε λύσεις με βάση κύκλος μονάδας:

για την εξίσωση sin x = 1 λύση

για την εξίσωση sin x \u003d 0 λύσεις x \u003d π k;

για την εξίσωση sin x = -1 λύσεις

για την εξίσωση συν x = 1 λύσεις x = 2πκ;

για την εξίσωση cos x = 0 λύσεις

για την εξίσωση cos x = -1 λύση

Παράδειγμα 14

Ας λύσουμε την εξίσωση

Επειδή σε αυτό το παράδειγμα υπάρχει μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης, γράφουμε τη λύση χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο:που βρίσκουμε

III. Ερωτήσεις ελέγχου (μετωπική έρευνα)

1. Ορίστε και απαριθμήστε τις κύριες ιδιότητες των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

2. Να δώσετε γραφικές παραστάσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

3. Λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

IV. Εργασία στα μαθήματα

§ 15, αρ. 3 (α, β). 4 (c, d); 7(α); 8(α); 12(β); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (α, β); 19 (c); 21;

§ 16, αρ. 4 (α, β). 7(α); 8 (β); 16 (α, β); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, αρ. 3 (α, β). 4 (c, d); 5 (α, β); 7 (c, d); 9 (β); 10 (α, γ).

V. Εργασία για το σπίτι

§ 15, αρ. 3 (γ, δ); 4 (α, β); 7 (γ); 8 (β); 12(a); 13(β); 15 (δ); 16(β); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, αρ. 4 (γ, δ); 7(β); 8(α); 16 (c, d); 18(β); 19 (α, β);

§ 17, αρ. 3 (γ, δ); 4 (α, β); 5 (c, d); 7 (α, β); 9 (δ); 10 (β, δ).

VI. Δημιουργικές εργασίες

1. Βρείτε το εύρος της συνάρτησης:

Απαντήσεις:

2. Βρείτε το εύρος της συνάρτησης:

Απαντήσεις:

3. Γράφημα τη συνάρτηση:

VII. Συνοψίζοντας τα μαθήματα

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι μαθηματικές συναρτήσεις που είναι το αντίστροφο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Συνάρτηση y=arcsin(x)

Το τόξο του αριθμού α είναι ένας τέτοιος αριθμός α από το διάστημα [-π/2· π/2], του οποίου το ημίτονο είναι ίσο με α.
Γράφημα συνάρτησης
Η συνάρτηση y \u003d sin⁡ (x) στο διάστημα [-π / 2; π / 2], είναι αυστηρά αυξανόμενη και συνεχής. Επομένως, έχει μια αντίστροφη συνάρτηση που είναι αυστηρά αύξουσα και συνεχής.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y= sin⁡(x), όπου x ∈[-π/2;π/2], ονομάζεται τόξο και συμβολίζεται y=arcsin(x), όπου x∈[-1;1 ].
Σύμφωνα λοιπόν με τον ορισμό αντίστροφη συνάρτηση, το πεδίο ορισμού του τόξου είναι το τμήμα [-1;1] και το σύνολο τιμών είναι το τμήμα [-π/2;π/2].
Σημειώστε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arcsin(x), όπου x ∈[-1;1].είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= sin(⁡x), όπου x∈[-π/2;π /2], ως προς τη διχοτόμο των γωνιών συντεταγμένων πρώτο και τρίτο τέταρτο.

Το εύρος της συνάρτησης y=arcsin(x).

Παράδειγμα αριθμός 1.

Βρείτε arcsin(1/2);

Εφόσον το εύρος της συνάρτησης arcsin(x) ανήκει στο διάστημα [-π/2;π/2], είναι κατάλληλη μόνο η τιμή π/6. Επομένως, arcsin(1/2) = π/6.
Απάντηση: π/6

Παράδειγμα #2.
Βρείτε arcsin(-(√3)/2);

Εφόσον το εύρος του arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], είναι κατάλληλη μόνο η τιμή -π/3. Επομένως, arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Συνάρτηση y=arccos(x)

Η αρκοσίνη ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός α από το διάστημα του οποίου το συνημίτονο είναι ίσο με α.

Γράφημα συνάρτησης

Η συνάρτηση y= cos(⁡x) στο διάστημα είναι αυστηρά φθίνουσα και συνεχής. Επομένως, έχει μια αντίστροφη συνάρτηση που είναι αυστηρά φθίνουσα και συνεχής.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y= cos⁡x, όπου x ∈, καλείται τόξο συνημίτονοκαι συμβολίζεται y=arccos(x), όπου x ∈[-1;1].
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, το πεδίο ορισμού της αρκοσίνης είναι το τμήμα [-1; 1] και το σύνολο τιμών είναι το τμήμα.
Σημειώστε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arccos(x), όπου x ∈[-1;1] είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= cos(⁡x), όπου x ∈, ως προς τη διχοτόμο του συντεταγμένες γωνίες του πρώτου και του τρίτου τεταρτημορίου.

Το εύρος της συνάρτησης y=arccos(x).

Παράδειγμα #3.

Βρείτε arccos(1/2);

Εφόσον το εύρος του arccos(x) είναι x∈, μόνο η τιμή π/3 είναι κατάλληλη, επομένως, arccos(1/2) =π/3.
Παράδειγμα αριθμός 4.
Βρείτε arccos(-(√2)/2);

Εφόσον το εύρος της συνάρτησης arccos(x) ανήκει στο διάστημα , τότε μόνο η τιμή 3π/4 είναι κατάλληλη, επομένως, arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Απάντηση: 3π/4

Συνάρτηση y=arctg(x)

Η εφαπτομένη του τόξου ενός αριθμού α είναι ένας τέτοιος αριθμός α από το διάστημα [-π/2, π/2], του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με α.

Γράφημα συνάρτησης

Η συνάρτηση εφαπτομένης είναι συνεχής και αυστηρά αυξανόμενη στο διάστημα (-π/2; π/2). Επομένως, έχει μια αντίστροφη συνάρτηση που είναι συνεχής και αυστηρά αύξουσα.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y= tg⁡(x), όπου x∈(-π/2;π/2); ονομάζεται τόξο και συμβολίζεται y=arctg(x), όπου x∈R.
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, το πεδίο ορισμού του τόξου είναι το διάστημα (-∞;+∞), και το σύνολο των τιμών είναι το διάστημα
(-π/2;π/2).
Σημειώστε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arctg(x), όπου x∈R, είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=tg⁡x, όπου x ∈ (-π/2;π/2), σε σχέση με η διχοτόμος των γωνιών συντεταγμένων του πρώτου και του τρίτου τετάρτου.

Το εύρος της συνάρτησης y=arctg(x).

Παράδειγμα #5;

Βρείτε το arctg((√3)/3).

Δεδομένου ότι το εύρος του arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), είναι κατάλληλη μόνο η τιμή π/6. Επομένως, arctg((√3)/3) =π/6.
Παράδειγμα αριθμός 6.
Βρείτε arctg(-1);

Εφόσον το εύρος του arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), είναι κατάλληλη μόνο η τιμή -π/4. Επομένως, arctg(-1) = - π/4.

Συνάρτηση y=arctg(x)

Η εφαπτομένη του τόξου ενός αριθμού α είναι ένας τέτοιος αριθμός α από το διάστημα (0, π) του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με α.

Γράφημα συνάρτησης

Στο διάστημα (0;π), η συνεφαπτομένη συνάρτηση μειώνεται αυστηρά. Επιπλέον, είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος. Επομένως, στο διάστημα (0;π), αυτή η συνάρτηση έχει μια αντίστροφη συνάρτηση που είναι αυστηρά φθίνουσα και συνεχής.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y=ctg(x), όπου x ∈(0;π), ονομάζεται συνεφαπτομένη τόξου και συμβολίζεται y=arcctg(x), όπου x∈R.
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, το πεδίο ορισμού της αντίστροφης εφαπτομένης θα είναι Rτιμές – διάστημα (0; π). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arcctg(x), όπου x∈R είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ctg(x) x∈(0; π), με σε σχέση με τη διχοτόμο των γωνιών συντεταγμένων του πρώτου και του τρίτου τετάρτου.

Το εύρος της συνάρτησης y=arcctg(x).

Παράδειγμα αριθμός 7.
Βρείτε το arcctg((√3)/3);

Εφόσον το εύρος του arcctg(x) x ∈(0;π), είναι κατάλληλη μόνο η τιμή π/3. Επομένως, arccos((√3)/3) =π/3.

Παράδειγμα αριθμός 8.
Βρείτε το arcctg(-(√3)/3);

Εφόσον το εύρος του arcctg(x) x∈(0;π), είναι κατάλληλη μόνο η τιμή 2π/3. Επομένως, arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Επιμέλεια: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσειςχρησιμοποιούνται ευρέως στη μαθηματική ανάλυση. Ωστόσο, για τους περισσότερους μαθητές γυμνασίου, οι εργασίες που σχετίζονται με αυτόν τον τύπο λειτουργίας προκαλούν σημαντικές δυσκολίες. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι σε πολλά σχολικά βιβλία και διδακτικά βοηθήματαέχει δοθεί πολύ λίγη προσοχή σε προβλήματα αυτού του είδους. Και αν οι μαθητές με κάποιο τρόπο αντιμετωπίζουν τα καθήκοντα υπολογισμού των τιμών των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τότε οι εξισώσεις και οι ανισότητες που περιέχουν τέτοιες συναρτήσεις, ως επί το πλείστον, μπερδεύουν τα παιδιά. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί πρακτικά κανένα σχολικό βιβλίο δεν εξηγεί τη μέθοδο επίλυσης ακόμη και των πιο απλών εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Εξετάστε πολλές εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και λύστε τις με μια λεπτομερή εξήγηση.

Παράδειγμα 1

Λύστε την εξίσωση: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Λύση.

Εκφράζουμε την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση από την εξίσωση, παίρνουμε:

τόξο (2x + 3) = 5π/6. Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της αρκοσίνης.

τόξο συνημίτονο κάποιου αριθμού α, που ανήκουν στο τμήμααπό -1 έως 1, είναι τέτοια γωνία y από το τμήμα από 0 έως π ώστε το συνημίτονό του και ισούται με τον αριθμόΧ. Επομένως, μπορεί να γραφτεί ως εξής:

2x + 3 = συν 5π/6.

Γράφουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει σύμφωνα με τον τύπο αναγωγής:

2x + 3 = cos(π - π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Ας φέρουμε τη σωστή πλευρά σε έναν κοινό παρονομαστή.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Απάντηση: -(6 + √3) / 4 .

Παράδειγμα 2

Λύστε την εξίσωση: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.

Λύση.

Αφού cos (arcсos x) = x με το x να ανήκει στο [-1; 1], τότε αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Ας λύσουμε την εξίσωση που περιλαμβάνεται στο σύστημα.

4x - 9 = x 2 - 5x + 5.

Είναι τετράγωνο, οπότε το καταλαβαίνουμε

x 2 - 9x + 14 \u003d 0;

D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;

x 1 \u003d (9 + 5) / 2 \u003d 7;

x 2 \u003d (9 - 5) / 2 \u003d 2.

Ας λύσουμε τη διπλή ανισότητα που περιλαμβάνεται στο σύστημα.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Προσθέστε 9 σε όλα τα μέρη, θα έχουμε:

8 ≤ 4x ≤ 10. Διαιρούμε κάθε αριθμό με το 4, παίρνουμε:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Τώρα ας συνδυάσουμε τις απαντήσεις. Είναι εύκολο να δούμε ότι η ρίζα x = 7 δεν ικανοποιεί την απάντηση της ανισότητας. Επομένως, η μόνη λύση της εξίσωσης θα είναι x = 2.

Απάντηση: 2.

Παράδειγμα 3

Λύστε την εξίσωση: tg (arctg (0,5 - x)) = x 2 - 4x + 2,5.

Λύση.

Εφόσον tg (arctg x) = x για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:

0,5 - x \u003d x 2 - 4x + 2,5.

Ας λύσουμε τα ληφθέντα τετραγωνική εξίσωσηχρησιμοποιώντας το διακριτικό, έχοντας προηγουμένως φέρει στην τυπική φόρμα.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;

x 1 \u003d (3 + 1) / 2 \u003d 2;

x 2 \u003d (3 - 1) / 2 \u003d 1.

Απάντηση: 1; 2.

Παράδειγμα 4

Λύστε την εξίσωση: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Λύση.

Εφόσον arcctg f(x) = arcctg g(x) αν και μόνο εάν f(x) = g(x), τότε

2x - 1 \u003d x 2 / 2 + x / 2. Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει:

4x - 2 \u003d x 2 + x;

x 2 - 3x + 2 = 0.

Με το θεώρημα του Vieta, το καταλαβαίνουμε

x=1 ή x=2.

Απάντηση: 1; 2.

Παράδειγμα 5

Λύστε την εξίσωση: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).

Λύση.

Δεδομένου ότι μια εξίσωση της μορφής arcsin f(x) = arcsin g(x) είναι ισοδύναμη με το σύστημα

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

τότε η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Ας λύσουμε το σύστημα που προκύπτει:

(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Από την πρώτη εξίσωση, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, έχουμε ότι x = 1 ή x = 7. Επιλύοντας τη δεύτερη ανίσωση του συστήματος, παίρνουμε ότι 7 ≤ x ≤ 8. Επομένως, μόνο η ρίζα x = 7 είναι κατάλληλη στο η τελική απάντηση.

Απάντηση: 7.

Παράδειγμα 6

Λύστε την εξίσωση: (τόξο x) 2 - 6 τόξα x + 8 = 0.

Λύση.

Έστω arccos x = t, τότε το t ανήκει στο τμήμα και η εξίσωση γίνεται:

t 2 - 6t + 8 = 0. Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, παίρνουμε ότι t = 2 ή t = 4.

Εφόσον το t = 4 δεν ανήκει στο τμήμα , παίρνουμε ότι t = 2, δηλ. arccos x \u003d 2, που σημαίνει x \u003d cos 2.

Απάντηση: co 2.

Παράδειγμα 7

Λύστε την εξίσωση: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Λύση.

Χρησιμοποιούμε την ισότητα arcsin x + arccos x = π/2 και γράφουμε την εξίσωση ως

(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Έστω arcsin x = t, τότε το t ανήκει στο διάστημα [-π/2; π/2] και η εξίσωση γίνεται:

t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.

Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με 9 για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα της εξίσωσης, παίρνουμε:

18t 2 - 9πt + π 2 \u003d 0.

Βρείτε τη διάκριση και λύστε την εξίσωση που προκύπτει:

D \u003d (-9π) 2 - 4 18 π 2 \u003d 9π 2.

t = (9π - 3π) / 2 18 ή t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 ή t = 12π/36.

Μετά τη μείωση έχουμε:

t = π/6 ή t = π/3. Επειτα

arcsin x = π/6 ή arcsin x = π/3.

Άρα x = αμαρτία π/6 ή x = αμαρτία π/3. Δηλαδή, x = 1/2 ή x = √3/2.

Απάντηση: 1/2; √3/2.

Παράδειγμα 8

Βρείτε την τιμή της παράστασης 5nx 0, όπου n είναι ο αριθμός των ριζών και x 0 είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης 2 arcsin x = - π - (x + 1) 2.

Λύση.

Αφού -π/2 ≤ τόξο x ≤ π/2, τότε -π ≤ 2 τόξο x ≤ π. Επιπλέον, (x + 1) 2 ≥ 0 για όλα τα πραγματικά x,
τότε -(x + 1) 2 ≤ 0 και -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Έτσι, μια εξίσωση μπορεί να έχει λύση αν και τα δύο μέρη της είναι ταυτόχρονα ίσα με –π, δηλ. η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

(2 τόξο x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.

Ας λύσουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων:

(τοξίνη x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε ότι x \u003d -1, αντίστοιχα, n \u003d 1, μετά 5nx 0 \u003d 5 1 (-1) \u003d -5.

Απάντηση: -5.

Όπως δείχνει η πρακτική, η ικανότητα επίλυσης εξισώσεων με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι απαραίτητη προϋπόθεση επιτυχής παράδοσηεξετάσεις. Γι' αυτό η εκπαίδευση στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι απλώς απαραίτητη και είναι υποχρεωτική κατά την προετοιμασία για τις εξετάσεις.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Συνάρτηση αντίστροφη προς συνημίτονο

Το εύρος της συνάρτησης y=cos x (βλ. Εικ. 2) είναι ένα τμήμα. Στο διάστημα, η συνάρτηση είναι συνεχής και μονότονα φθίνουσα.

Ρύζι. 2

Αυτό σημαίνει ότι μια συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα που είναι αντίστροφο της συνάρτησης y=cos x. Αυτή η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται αρκοσίνη και συμβολίζεται y=arccos x.

Ορισμός

Το αρκοσίνη του αριθμού a, εάν |a|1, είναι η γωνία της οποίας το συνημίτονο ανήκει στο τμήμα. χαρακτηρίζεται arccos α.

Έτσι, τόξο α είναι μια γωνία που ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο προϋποθέσεις: cos (arccos a)=a, |a|1; 0; arccos a ?r.

Για παράδειγμα, arccos, δεδομένου ότι cos και? arccos, αφού κοσ.

Η συνάρτηση y = arccos x (Εικ. 3) ορίζεται σε ένα τμήμα, το εύρος του είναι ένα τμήμα. Στο τμήμα, η συνάρτηση y=arccos x είναι συνεχής και μειώνεται μονότονα από το p στο 0 (καθώς το y=cos x είναι μια συνεχής και μονότονα φθίνουσα συνάρτηση στο τμήμα). στα άκρα του τμήματος, φτάνει τις ακραίες τιμές του: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Σημειώστε ότι arccos 0 = . Το γράφημα της συνάρτησης y \u003d arccos x (βλ. Εικ. 3) είναι συμμετρικό με το γράφημα της συνάρτησης y \u003d cos x ως προς την ευθεία γραμμή y \u003d x.

Ρύζι. 3

Ας δείξουμε ότι λαμβάνει χώρα η ισότητα arccos(-x) = p-arccos x.

Πράγματι, εξ ορισμού, 0 ? arccos x; R. Πολλαπλασιάζοντας με (-1) όλα τα μέρη της τελευταίας διπλής ανισότητας, παίρνουμε - p; arccos x; 0. Προσθέτοντας p σε όλα τα μέρη της τελευταίας ανίσωσης, βρίσκουμε ότι το 0; p-arccos x; R.

Έτσι, οι τιμές των γωνιών arccos (-x) και p - arccos x ανήκουν στο ίδιο τμήμα. Δεδομένου ότι το συνημίτονο μειώνεται μονότονα σε ένα τμήμα, δεν μπορούν να υπάρχουν δύο διαφορετικές γωνίες σε αυτό ίσα συνημίτονα. Να βρείτε τα συνημίτονα των γωνιών arccos(-x) και p-arccos x. Εξ ορισμού cos (arccos x) = - x, με αναγωγικούς τύπους και εξ ορισμού έχουμε: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Άρα, τα συνημίτονα των γωνιών είναι ίσα, που σημαίνει ότι οι ίδιες οι γωνίες είναι ίσες.

Συνάρτηση αντίστροφη ως προς το ημίτονο

Θεωρήστε τη συνάρτηση y=sin x (Εικ. 6), η οποία στο τμήμα [-p/2; p/2] είναι αύξουσα, συνεχής και παίρνει τιμές από το τμήμα [-1; 1]. Ως εκ τούτου, στο τμήμα [- p / 2; p/2] ορίζεται συνάρτηση που είναι αντίστροφη της συνάρτησης y=sin x.

Ρύζι. 6

Αυτή η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο και συμβολίζεται y=arcsin x. Εισάγουμε τον ορισμό του τόξου του αριθμού α.

Το τόξο του αριθμού α, αν ονομάσουν τη γωνία (ή τόξο), το ημίτονο του οποίου είναι ίσο με τον αριθμό α και το οποίο ανήκει στο τμήμα [-p / 2. p/2]; ορίζεται arcsin α.

Άρα, arcsin a είναι μια γωνία που ικανοποιεί τις ακόλουθες προϋποθέσεις: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? τόξο ε; p/2. Για παράδειγμα, από την αμαρτία και [- p/2; p/2]; arcsin αφού sin = και [-p/2; p/2].

Η συνάρτηση y=arcsin x (Εικ. 7) ορίζεται στο διάστημα [- 1; 1], το εύρος του είναι το τμήμα [-р/2;р/2]. Στο τμήμα [- 1; 1] η συνάρτηση y=arcsin x είναι συνεχής και μονότονα αυξανόμενη από -p/2 σε p/2 (αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η συνάρτηση y=sin x στο τμήμα [-p/2, p/2] είναι συνεχής και μονότονα αυξανόμενη). Λαμβάνει τη μεγαλύτερη τιμή στο x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2 και τη μικρότερη - στο x \u003d -1: arcsin (-1) \u003d -r / 2. Στο x \u003d 0, η συνάρτηση είναι μηδέν: arcsin 0 \u003d 0.

Ας δείξουμε ότι η συνάρτηση y = arcsin x είναι περιττή, δηλ. arcsin(-x)= - arcsin x για οποιοδήποτε x [ - 1; 1].

Πράγματι, εξ ορισμού, εάν |x| ?1, έχουμε: - р/2 ? arcsin x ? ? p/2. Άρα οι γωνίες είναι arcsin(-x) και - Το τόξο x ανήκουν στο ίδιο τμήμα [ - p/2; p/2].

Βρείτε τα ημιτόνια αυτώνγωνίες: sin (arcsin (-x)) = - x (εξ ορισμού); αφού η συνάρτηση y \u003d sin x είναι περιττή, τότε sin (-arcsin x) \u003d - sin (arcsin x) \u003d - x. Άρα, τα ημίτονο των γωνιών που ανήκουν στο ίδιο διάστημα [-p/2; p/2], είναι ίσες, που σημαίνει ότι οι ίδιες οι γωνίες είναι ίσες, δηλ. arcsin (-x) = - arcsin x. Επομένως, η συνάρτηση y=arcsin x είναι περιττή. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arcsin x είναι συμμετρική ως προς την αρχή.

Ας δείξουμε ότι arcsin (sin x) = x για οποιοδήποτε x [-p/2; p/2].

Πράγματι, εξ ορισμού -p/2 ? arcsin (sin x) ; р/2, και σύμφωνα με την συνθήκη -р/2 ? Χ? p/2. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες x και arcsin (sin x) ανήκουν στο ίδιο διάστημα μονοτονίας της συνάρτησης y=sin x. Εάν τα ημίτονο τέτοιων γωνιών είναι ίσα, τότε οι ίδιες οι γωνίες είναι ίσες. Ας βρούμε τα ημίτονο αυτών των γωνιών: για τη γωνία x έχουμε sin x, για τη γωνία arcsin (sin x) έχουμε sin (arcsin (sin x)) = sin x. Καταλάβαμε ότι τα ημίτονο των γωνιών είναι ίσα, επομένως, οι γωνίες είναι ίσες, δηλ. arcsin (sin x) = x. .

Ρύζι. 7

Ρύζι. 8

Το γράφημα της συνάρτησης arcsin (sin|x|) προκύπτει από τους συνήθεις μετασχηματισμούς modulo από το γράφημα y=arcsin (sin x) (που απεικονίζεται με τη διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 8). Το επιθυμητό γράφημα y=arcsin (sin |x-/4|) λαμβάνεται από αυτό μετατοπίζοντας το /4 προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα x (που απεικονίζεται με μια συμπαγή γραμμή στο Σχ. 8)

Συνάρτηση αντίστροφη στην εφαπτομένη

Η συνάρτηση y=tg x στο διάστημα παίρνει όλες τις αριθμητικές τιμές: E (tg x)=. Σε αυτό το διάστημα, είναι συνεχής και μονότονα αυξανόμενος. Ως εκ τούτου, μια συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα που είναι αντίστροφο της συνάρτησης y = tg x. Αυτή η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται εφαπτομένη του τόξου και συμβολίζεται με y = arctg x.

Η εφαπτομένη του τόξου του αριθμού α είναι η γωνία από το διάστημα, η εφαπτομένη του οποίου είναι ίση με a. Έτσι, το arctg a είναι μια γωνία που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: tg (arctg a) = a και 0 ? arctg α ? R.

Έτσι, οποιοσδήποτε αριθμός x αντιστοιχεί πάντα στη μοναδική τιμή της συνάρτησης y \u003d arctg x (Εικ. 9).

Προφανώς, D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Η συνάρτηση y = arctg x αυξάνεται επειδή η συνάρτηση y = tg x αυξάνεται στο διάστημα. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι arctg(-x) = - arctgx, δηλ. ότι η εφαπτομένη του τόξου είναι περιττή συνάρτηση.

Ρύζι. 9

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = arctg x είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = tg x ως προς την ευθεία γραμμή y = x, η γραφική παράσταση y = arctg x διέρχεται από την αρχή (επειδή arctan 0 = 0) και είναι συμμετρικό ως προς την αρχή (όπως η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης).

Μπορεί να αποδειχθεί ότι arctg (tg x) = x αν x.

Αντίστροφη συνάρτηση συμεφαπτομένης

Η συνάρτηση y = ctg x στο διάστημα παίρνει όλες τις αριθμητικές τιμές από το διάστημα. Το εύρος τιμών του συμπίπτει με το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Στο διάστημα, η συνάρτηση y = ctg x είναι συνεχής και μονότονα αύξουσα. Ως εκ τούτου, ορίζεται μια συνάρτηση σε αυτό το διάστημα που είναι αντίστροφη προς τη συνάρτηση y = ctg x. Η αντίστροφη συνάρτηση της συνεφαπτομένης ονομάζεται συνεφαπτομένη τόξου και συμβολίζεται με y = arcctg x.

Η εφαπτομένη του τόξου του αριθμού α είναι η γωνία που ανήκει στο διάστημα, η συνεφαπτομένη του οποίου είναι ίση με α.

Έτσι, arcctg a είναι μια γωνία που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: ctg (arcctg a)=a και 0 ? arcctg α ? R.

Από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης και τον ορισμό της εφαπτομένης του τόξου προκύπτει ότι D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Η εφαπτομένη του τόξου είναι μια φθίνουσα συνάρτηση επειδή η συνάρτηση y = ctg x μειώνεται στο διάστημα.

Το γράφημα της συνάρτησης y \u003d arcctg x δεν διασχίζει τον άξονα Ox, αφού y\u003e 0 R. Στο x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003d.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = arcctg x φαίνεται στο σχήμα 11.

Ρύζι. 11

Σημειώστε ότι για όλες τις πραγματικές τιμές του x, η ταυτότητα είναι αληθής: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Οι συναρτήσεις sin, cos, tg και ctg συνοδεύονται πάντα από ένα arcsine, arccosine, arctantgent και arccotangent. Το ένα είναι συνέπεια του άλλου και τα ζεύγη συναρτήσεων είναι εξίσου σημαντικά για την εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις.

Εξετάστε το σχέδιο ενός κύκλου μονάδας, ο οποίος εμφανίζει γραφικά τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Εάν υπολογίσετε τα τόξα OA, arcos OC, arctg DE και arcctg MK, τότε όλα θα είναι ίσα με την τιμή της γωνίας α. Οι παρακάτω τύποι αντικατοπτρίζουν τη σχέση μεταξύ των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστοιχων τόξων τους.

Για να κατανοήσουμε περισσότερα σχετικά με τις ιδιότητες του τόξου, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη λειτουργία του. Πρόγραμμα έχει τη μορφή ασύμμετρης καμπύλης που διέρχεται από το κέντρο των συντεταγμένων.

Ιδιότητες Αρξίνης:

Αν συγκρίνουμε γραφήματα αμαρτίαΚαι τόξο αμαρτία, δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να βρουν κοινά μοτίβα.

Συνημίτονο τόξου

Arccos του αριθμού α είναι η τιμή της γωνίας α, το συνημίτονο της οποίας είναι ίσο με a.

Καμπύλη y = arcos xαντικατοπτρίζει το διάγραμμα του τόξου x, με τη μόνη διαφορά ότι διέρχεται από το σημείο π/2 στον άξονα OY.

Εξετάστε τη λειτουργία αρκκοζίνης με περισσότερες λεπτομέρειες:

Η συνάρτηση ορίζεται στο τμήμα [-1; 1].
ODZ για τόξο - .
Το γράφημα βρίσκεται εξ ολοκλήρου στα τέταρτα I και II και η ίδια η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Υ = 0 για x = 1.
Η καμπύλη μειώνεται σε όλο το μήκος της. Ορισμένες ιδιότητες του συνημιτόνου τόξου είναι ίδιες με τη συνάρτηση συνημιτόνου.

Ορισμένες ιδιότητες του συνημιτόνου τόξου είναι ίδιες με τη συνάρτηση συνημιτόνου.

Είναι πιθανό μια τέτοια «λεπτομερής» μελέτη των «καμάρων» να φαίνεται περιττή στους μαθητές. Κατά τα άλλα, όμως, κάποιου στοιχειώδους τύπου ΧΡΗΣΗ Εργασιώνμπορεί να μπερδέψει τους μαθητές.

Ασκηση 1.Καθορίστε τις λειτουργίες που φαίνονται στο σχήμα.

Απάντηση:ρύζι. 1 - 4, εικ. 2 - 1.

Σε αυτό το παράδειγμα, η έμφαση δίνεται στα μικρά πράγματα. Συνήθως, οι μαθητές είναι πολύ απρόσεκτοι στην κατασκευή γραφημάτων και στην εμφάνιση των συναρτήσεων. Πράγματι, γιατί να απομνημονεύσετε τη μορφή της καμπύλης, αν μπορεί πάντα να κατασκευαστεί από υπολογισμένα σημεία. Μην ξεχνάτε ότι υπό συνθήκες δοκιμής, ο χρόνος που αφιερώνεται στη σχεδίαση για μια απλή εργασία θα χρειαστεί για την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών.

Arctangent

Arctgο αριθμός α είναι τέτοια τιμή της γωνίας α που η εφαπτομένη της είναι ίση με a.

Αν λάβουμε υπόψη το διάγραμμα της εφαπτομένης του τόξου, μπορούμε να διακρίνουμε τις ακόλουθες ιδιότητες:

Το γράφημα είναι άπειρο και ορίζεται στο διάστημα (- ∞; + ∞).
Το Arctangent είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως, arctan (- x) = - arctan x.
Υ = 0 για x = 0.
Η καμπύλη αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Ας δώσουμε μια σύντομη συγκριτική ανάλυση των tg x και arctg x με τη μορφή πίνακα.

Εφαπτομένη τόξου

Arcctg του αριθμού a - παίρνει τέτοια τιμή του α από το διάστημα (0; π) ώστε η συνεφαπτομένη του να είναι ίση με a.

Ιδιότητες της συνάρτησης συμεφαπτομένης τόξου:

Το διάστημα ορισμού συνάρτησης είναι το άπειρο.
Το εύρος των αποδεκτών τιμών είναι το διάστημα (0; π).
Το F(x) δεν είναι ούτε άρτιο ούτε περιττό.
Σε όλο το μήκος της, το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται.

Η σύγκριση ctg x και arctg x είναι πολύ απλή, απλά χρειάζεται να σχεδιάσετε δύο σχέδια και να περιγράψετε τη συμπεριφορά των καμπυλών.

Εργασία 2.Συσχετίστε τη γραφική παράσταση και τη μορφή της συνάρτησης.

Λογικά, τα γραφήματα δείχνουν ότι και οι δύο συναρτήσεις αυξάνονται. Επομένως, και οι δύο εικόνες εμφανίζουν κάποια συνάρτηση arctg. Είναι γνωστό από τις ιδιότητες της εφαπτομένης του τόξου ότι y=0 για x = 0,

Απάντηση:ρύζι. 1 - 1, εικ. 2-4.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες arcsin, arcos, arctg και arcctg

Προηγουμένως, έχουμε ήδη εντοπίσει τη σχέση μεταξύ των τόξων και των κύριων λειτουργιών της τριγωνομετρίας. Αυτή η εξάρτηση μπορεί να εκφραστεί με έναν αριθμό τύπων που επιτρέπουν την έκφραση, για παράδειγμα, του ημιτόνου ενός ορίσματος μέσω του τόξου, της αρκοσίνης ή αντίστροφα. Η γνώση τέτοιων ταυτοτήτων μπορεί να είναι χρήσιμη για την επίλυση συγκεκριμένων παραδειγμάτων.

Υπάρχουν επίσης αναλογίες για arctg και arcctg:

Ένα άλλο χρήσιμο ζεύγος τύπων ορίζει την τιμή για το άθροισμα των τιμών arcsin και arcos και arcctg και arcctg της ίδιας γωνίας.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Οι εργασίες τριγωνομετρίας μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις ομάδες: υπολογισμός αριθμητική αξίαμια συγκεκριμένη έκφραση, δημιουργήστε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης, βρείτε το πεδίο ορισμού ή ODZ και εκτελέστε αναλυτικούς μετασχηματισμούς για να λύσετε το παράδειγμα.

Κατά την επίλυση του πρώτου τύπου εργασιών, είναι απαραίτητο να τηρείτε το ακόλουθο σχέδιο δράσης:

Όταν εργάζεστε με γραφήματα συναρτήσεων, το κύριο πράγμα είναι η γνώση των ιδιοτήτων τους και εμφάνισηανέντιμος. Απαιτούνται πίνακες ταυτοτήτων για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όσο περισσότερους τύπους θυμάται ο μαθητής, τόσο πιο εύκολο είναι να βρει την απάντηση στην εργασία.

Ας υποθέσουμε ότι στην εξέταση είναι απαραίτητο να βρεθεί η απάντηση για μια εξίσωση του τύπου:

Εάν μεταμορφώσετε σωστά την έκφραση και οδηγήσετε σε το σωστό είδος, τότε είναι πολύ απλό και γρήγορο να το λύσετε. Αρχικά, ας μετακινήσουμε το τόξο x στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Αν θυμηθούμε τον τύπο arcsin (sina) = α, τότε μπορούμε να μειώσουμε την αναζήτηση απαντήσεων στην επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων:

Ο περιορισμός στο μοντέλο x προέκυψε, πάλι από τις ιδιότητες της arcsin: ODZ για x [-1; 1]. Όταν a ≠ 0, μέρος του συστήματος είναι μια τετραγωνική εξίσωση με ρίζες x1 = 1 και x2 = - 1/a. Με a = 0, το x θα είναι ίσο με 1.