Τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη, η συνεφαπτομένη μιας γωνίας θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Πώς ονομάζονται οι πλευρές; ορθογώνιο τρίγωνο? Αυτό είναι σωστό, η υποτείνουσα και τα πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι ορθή γωνία(στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η πλευρά \(AC \)); τα σκέλη είναι οι δύο υπόλοιπες πλευρές \ (AB \) και \ (BC \) (αυτές που γειτνιάζουν με τη σωστή γωνία), επιπλέον, αν λάβουμε υπόψη τα σκέλη ως προς τη γωνία \ (BC \) , τότε το σκέλος Το \ (AB \) είναι διπλανό πόδι και το πόδι \ (BC \) είναι απέναντι. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;
Ημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του αντίθετου (μακρινού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
Στο τρίγωνο μας:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Συνημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υπόταση.
Στο τρίγωνο μας:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Εφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) ποδιού προς το διπλανό (κοντά).
Στο τρίγωνο μας:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Συμεφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).
Στο τρίγωνο μας:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι θα διαιρέσετε με τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςκαι συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:
συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;
Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ως λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (σε μία γωνία). Μην εμπιστεύεσαι? Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο της γωνίας \(\beta \) . Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας \(\beta \) από το τρίγωνο \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.
Εάν καταλαβαίνετε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και διορθώστε τους!
Για το τρίγωνο \(ABC \) , που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε \(\sin \ \alpha,\ \cos \ \alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(πίνακας) \)
Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία \(\beta \) .
Απαντήσεις: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Μοναδικός (τριγωνομετρικός) κύκλος
Κατανοώντας τις έννοιες του βαθμού και του ακτινίου, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με \ (1 \) . Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Είναι πολύ χρήσιμο στη μελέτη της τριγωνομετρίας. Ως εκ τούτου, μένουμε σε αυτό με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος είναι χτισμένος στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα \(x\) (στο παράδειγμά μας, αυτό είναι το ακτίνα \(AB \) ).
Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα \(x \) και τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα \(y \) . Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε το θεωρούμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε το τρίγωνο \(ACG \) . Είναι ορθογώνιο επειδή το \(CG \) είναι κάθετο στον άξονα \(x\).
Τι είναι το \(\cos \ \alpha \) από το τρίγωνο \(ACG \) ; Σωστά \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Εξάλλου, γνωρίζουμε ότι το \(AC \) είναι η ακτίνα κύκλος μονάδας, που σημαίνει \(AC=1 \) . Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον τύπο συνημιτόνου μας. Να τι συμβαίνει:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Και τι είναι το \(\sin \ \alpha \) από το τρίγωνο \(ACG \) ; Λοιπόν, φυσικά, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας \ (AC \) σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:
\(\sin \άλφα =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Λοιπόν, μπορείτε να μου πείτε ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου \(C \) , που ανήκει στον κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Αλλά τι γίνεται αν συνειδητοποιήσετε ότι τα \(\cos \ \alpha \) και \(\sin \alpha \) είναι απλώς αριθμοί; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί το \(\cos \alpha \); Λοιπόν, φυσικά, η συντεταγμένη \(x \) ! Και σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί το \(\sin \alpha \); Σωστά, η συντεταγμένη \(y \)! Το θέμα λοιπόν \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Τι είναι τότε τα \(tg \alpha \) και \(ctg \alpha \) ; Αυτό είναι σωστό, ας χρησιμοποιήσουμε τους κατάλληλους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας το καταλάβουμε \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ένα \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Εδώ, για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:
Τι έχει αλλάξει σε αυτό το παράδειγμα; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, στρέφουμε ξανά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : μια γωνία (όπως δίπλα στη γωνία \(\beta \) ). Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για μια γωνία \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
\(\αρχή(πίνακας)(l)\sin \γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\γωνία ((C )_(1)((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(πίνακας) \)
Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη \ (y \) ; η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - η συντεταγμένη \ (x \) ; και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις είναι εφαρμόσιμες σε οποιεσδήποτε περιστροφές του διανύσματος ακτίνας.
Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα \(x\). Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα έχετε επίσης μια γωνία συγκεκριμένου μεγέθους, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα - αρνητικός.
Άρα, γνωρίζουμε ότι ολόκληρη η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από τον κύκλο είναι \(360()^\circ \) ή \(2\pi \) . Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας κατά \(390()^\circ \) ή κατά \(-1140()^\circ \) ; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), οπότε το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μία πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στο \(30()^\circ \) ή στο \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Στη δεύτερη περίπτωση, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση \(-60()^\circ \) ή \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά \(360()^\circ \cdot m\) ή \(2\pi \cdot m\) (όπου \(m\) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη γωνία \(\beta =-60()^\circ \) . Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)και τα λοιπά. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ή \(\beta +2\pi \cdot m\) (όπου \(m\) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(πίνακας) \)
Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε με ποιες τιμές ισούνται με:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\κείμενο (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\κείμενο (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(πίνακας) \)
Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:
Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(πίνακας) \)
Από εδώ προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα της γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία μέσα \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες \(\left(0;1 \right) \) , επομένως:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 90()^\circ \)- δεν υπάρχει;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Περαιτέρω, τηρώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες μέσα \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \δεξιά) \), αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.
Απαντήσεις:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \\pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Δεξί βέλος \text(ctg)\ \pi \)- δεν υπάρχει
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 270()^\circ \)- δεν υπάρχει
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(ctg)\ 2\pi \)- δεν υπάρχει
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 450()^\circ \)- δεν υπάρχει
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:
Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
\(\αριστερά \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Χρειάζεται να θυμάστε ή να μπορείτε να κάνετε έξοδο!! \) !}
Και εδώ είναι οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)που δίνεται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμάστε:
Δεν χρειάζεται να φοβάστε, τώρα θα δείξουμε ένα από τα παραδείγματα μιας αρκετά απλής απομνημόνευσης των αντίστοιχων τιμών:
Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις ημιτονοειδείς τιμές και για τα τρία μέτρα γωνίας ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας στο \(30()^\circ \) . Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές \(4\), είναι αρκετά εύκολο να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημίτονου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(πίνακας) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), γνωρίζοντας αυτό, είναι δυνατό να επαναφέρετε τις τιμές για \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ο αριθμητής "\(1 \) " θα ταιριάζει με \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) και ο παρονομαστής "\(\sqrt(\text(3)) \) " θα ταιριάζει με \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . Οι τιμές της συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που φαίνονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε αυτό και θυμάστε το σχήμα με βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε μόνο τις τιμές \(4 \) από τον πίνακα.
Συντεταγμένες ενός σημείου σε κύκλο
Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Ας βγάλουμε γενικός τύποςγια να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου. Εδώ, για παράδειγμα, έχουμε έναν τέτοιο κύκλο:
Μας δίνεται αυτό το σημείο \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι \(1,5 \) . Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου \(P \) που λαμβάνονται περιστρέφοντας το σημείο \(O \) κατά \(\δέλτα \) μοίρες.
Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη \ (x \) του σημείου \ (P \) αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Το μήκος του τμήματος \ (UK \) αντιστοιχεί στη συντεταγμένη \ (x \) του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο με \ (3 \) . Το μήκος του τμήματος \(KQ \) μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:
\(\cos \ \δέλτα =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Δεξί βέλος KQ=r\cdot \cos \ \δέλτα \).
Τότε έχουμε ότι για το σημείο \(P \) η συντεταγμένη \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \δέλτα =3+1,5\cdot \cos \ \δέλτα \).
Με την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο \(P\) . Με αυτόν τον τρόπο,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα =2+1,5\cdot \sin \δέλτα \).
Έτσι μέσα γενική εικόναΟι σημειακές συντεταγμένες καθορίζονται από τους τύπους:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα \end(πίνακας) \), όπου
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου,
\(r\) - ακτίνα κύκλου,
\(\δέλτα \) - γωνία περιστροφής της διανυσματικής ακτίνας.
Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, καθώς οι συντεταγμένες του κέντρου είναι μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:
\(\αρχή(πίνακας)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \δέλτα =\cos \ \δέλτα \\ y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα =0+1\cdot \sin \ \δέλτα =\sin \ \δέλτα \end(πίνακας) \)
Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.Τα στοιχεία ελέγχου ActiveX πρέπει να είναι ενεργοποιημένα για να κάνετε υπολογισμούς!
Κεφάλαιο Ι. Λύση ορθογωνίων τριγώνων
§3 (37). Βασικές αναλογίες και εργασίες
Στην τριγωνομετρία, εξετάζονται προβλήματα στα οποία απαιτείται να υπολογιστούν ορισμένα στοιχεία ενός τριγώνου με επαρκή αριθμό αριθμητικών τιμών των δεδομένων του. Αυτές οι εργασίες συνήθως αναφέρονται ως λύσητρίγωνο.
Έστω ABC ορθογώνιο τρίγωνο, C ορθή γωνία, ένακαι σι- πόδια απέναντι από οξείες γωνίες Α και Β, Με- υποτείνουσα (Εικ. 3);
τότε έχουμε:
Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
cos A = σι/ ντο, συν Β = ένα / ντο (1)
Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υπόταση:
αμαρτία Α = ένα / ντο, αμαρτία Β = σι/ ντο (2)
Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό:
ταν Α = ένα / σι, tg B = σι/ ένα (3)
Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο:
ctgA= σι/ ένα, ctg B = ένα / σι (4)
Το άθροισμα των οξειών γωνιών είναι 90°.
Βασικά προβλήματα για ορθογώνια τρίγωνα.
Εργασία Ι. Δεδομένης της υποτείνουσας και μιας από τις οξείες γωνίες, υπολογίστε τα άλλα στοιχεία.
Λύση.Αφήστε δεδομένο Μεκαι Α. Γωνία Β = 90° - Το Α είναι επίσης γνωστό. τα πόδια βρίσκονται από τους τύπους (1) και (2).
α = γ sinA, β = γ cos A.
Εργασία II . Δεδομένου ενός σκέλους και μιας από τις οξείες γωνίες, υπολογίστε τα άλλα στοιχεία.
Λύση.Αφήστε δεδομένο ένακαι Α. Γωνία Β = 90° - Το Α είναι γνωστό. από τους τύπους (3) και (2) βρίσκουμε:
σι = ένα tg B (= ένα ctg A), Με = ένα/ αμαρτία Α
Εργασία III. Δεδομένου του σκέλους και της υποτείνουσας, υπολογίστε τα υπόλοιπα στοιχεία.
Λύση.Αφήστε δεδομένο ένακαι Με(και ένα< с ). Από τις ισότητες (2) βρίσκουμε τη γωνία Α:
αμαρτία Α = ένα / ντοκαι Α = τόξο αμαρτία ένα / ντο ,
και τέλος το πόδι σι:
σι = Με cos A (= Μεαμαρτία Β).
Εργασία IV. Τα σκέλη α και β δίνονται για την εύρεση άλλων στοιχείων.
Λύση.Από τις ισότητες (3) βρίσκουμε μια οξεία γωνία, για παράδειγμα Α:
tg A = ένα / σι, Α = αρκτάν ένα / σι ,
γωνία B \u003d 90 ° - A,
υποτείνουσα: ντο = ένα/sin A (= σι/sinB; = ένα/cos B)
Ακολουθεί ένα παράδειγμα επίλυσης ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας λογαριθμικούς πίνακες*.
* Ο υπολογισμός των στοιχείων ορθογωνίων τριγώνων σύμφωνα με φυσικούς πίνακες είναι γνωστός από το μάθημα της γεωμετρίας της VIII τάξης.
Κατά τον υπολογισμό με τη χρήση λογαριθμικών πινάκων, θα πρέπει να γράψετε τους αντίστοιχους τύπους, να τους προλογίσετε, να αντικαταστήσετε αριθμητικά δεδομένα, να βρείτε τους απαιτούμενους λογάριθμους γνωστών στοιχείων (ή τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις τους) από τους πίνακες, να υπολογίσετε τους λογάριθμους των επιθυμητών στοιχείων (ή τις τριγωνομετρικές τους συναρτήσεις ) και βρείτε τα απαιτούμενα στοιχεία από τους πίνακες.
Παράδειγμα.Πόδι Ντάνα ένα= 166,1 και υποτείνουσα Με= 187,3; υπολογίστε οξείες γωνίες, άλλο σκέλος και περιοχή.
Λύση.Εχουμε:
αμαρτία Α = ένα / ντο; lg sin A = lg ένα-lg ντο; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Υπολογίζουμε το πόδι σι:
β = α tg B ; lg σι= κούτσουρο σι+ lg tg B ; 
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
S=1/2 αβ = 0,5 ένα 2 tg B; 
Για έλεγχο, υπολογίζουμε τη γωνία Α σε έναν κανόνα διαφάνειας:
Ένα \u003d αμάρτημα τόξου ένα / ντο= τόξο αμαρτία 166 / 187 ≈ 62°.
Σημείωση.πόδι σιμπορεί να υπολογιστεί με το Πυθαγόρειο θεώρημα, χρησιμοποιώντας τους πίνακες τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών (πίνακες III και IV):
σι= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Ασυμφωνία με προηγουμένως ληφθείσα τιμή b=Το 86.48 εξηγείται από τα σφάλματα των πινάκων, τα οποία δίνουν τις κατά προσέγγιση τιμές των συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα 86,54 είναι πιο ακριβές.
Εντολή
Μέθοδος 1. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το θεώρημα λέει: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Επομένως, οποιαδήποτε από τις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί γνωρίζοντας τις άλλες δύο πλευρές του (Εικ. 2)
Μέθοδος 2. Από το γεγονός ότι η διάμεσος που λαμβάνεται από την υποτείνουσα σχηματίζει 3 παρόμοια τρίγωνα μεταξύ τους (Εικ. 3). Σε αυτό το σχήμα, τα τρίγωνα ABC, BCD και ACD είναι παρόμοια.
Παράδειγμα 6: Χρήση κύκλων μονάδας για εύρεση συντεταγμένων
Αρχικά βρίσκουμε τη γωνία αναφοράς που αντιστοιχεί στη δεδομένη γωνία. Στη συνέχεια παίρνουμε τις τιμές ημιτόνου και συνημιτόνου της γωνίας αναφοράς και τους δίνουμε σημάδια που αντιστοιχούν στις τιμές y και x του τεταρτημορίου. Στη συνέχεια, βρίσκουμε το συνημίτονο και το ημίτονο για δεδομένη γωνία.
Γωνία κόσκινου, γωνιακό τρίγωνο και κυβική ρίζα
Τα πολύγωνα που μπορούν να κατασκευαστούν με πυξίδα και ευθεία περιλαμβάνουν.Σημείωση: η γωνία του κόσκινου δεν μπορεί να σχεδιαστεί με πυξίδα και ευθεία. Πολλαπλασιάζοντας το μήκος της πλευράς ενός κύβου με την κυβική ρίζα του 2 δίνει το μήκος της πλευράς ενός κύβου με διπλάσιο όγκο. Χρησιμοποιώντας την καινοτόμο θεωρία του Γάλλου μαθηματικού Évariste Galois, μπορεί να αποδειχθεί ότι και για τα τρία κλασικά προβλήματα, η κατασκευή με κύκλο και χάρακα είναι αδύνατη.
Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Για να υπολογίσουμε το μήκος του, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος ενός από τα σκέλη και την τιμή μιας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου.
Λάβετε υπόψη: η κατασκευή γωνίας τριών συστατικών και κυβικής ρίζας δεν είναι δυνατή με πυξίδα και ευθεία. 
Από την άλλη πλευρά, η λύση της εξίσωσης του τρίτου βαθμού σύμφωνα με τον τύπο Cardano μπορεί να αναπαρασταθεί με διαίρεση της γωνίας και της κυβικής ρίζας. Στο μέλλον, χτίζουμε κάποια γωνία με έναν κύκλο και έναν χάρακα. Ωστόσο, μετά το τρίγωνο αυτής της γωνίας και τον προσδιορισμό της κυβικής ρίζας, η ολοκλήρωση της κατασκευής του τετραγώνου του κόσκινου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια πυξίδας και ευθυγράμμισης.
Κατασκευή δικτυωτού καταστρώματος σύμφωνα με αυτόν τον υπολογισμό
Η αλγεβρική διατύπωση του κατασκευαστικού προβλήματος οδηγεί σε μια εξίσωση της οποίας η δομική ανάλυση θα δώσει πρόσθετες πληροφορίες για την κατασκευή της τριμερούς δομής. Εδώ, χρησιμοποιείται ο λόγος ενός προς ένα μιας γωνίας προς το συνημίτονό της: εάν το μέγεθος της γωνίας είναι γνωστό, το μήκος του συνημιτόνου της γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί μοναδικά στον μοναδιαίο κύκλο και αντίστροφα.
Εντολή
Με ένα γνωστό σκέλος και μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε το μέγεθος της υποτείνουσας μπορεί να είναι ίσο με την αναλογία του σκέλους προς το συνημίτονο / ημίτονο αυτής της γωνίας, εάν αυτή η γωνία είναι αντίθετη / γειτονική με αυτήν:
h = C1(ή C2)/sinα;
h = С1(ή С2)/cosα.
Παράδειγμα: Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΑΒ και ορθή γωνία Γ. Έστω η γωνία Β 60 μοίρες και η γωνία Α 30 μοίρες Το μήκος του σκέλους BC είναι 8 εκ. Να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας ΑΒ. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους που προτείνονται παραπάνω:
Αυτή η εργασία ένας προς έναν σάς επιτρέπει να μεταβείτε από τον ορισμό της γωνίας στον ορισμό του συνημιτόνου της γωνίας. Στη συνέχεια, το 3 φ υποδηλώνει τη γωνία που πρέπει να διαιρεθεί. Έτσι, φ είναι η γωνία, η τιμή της οποίας πρέπει να καθοριστεί για δεδομένο 3 φ. Ξεκινώντας με ενώσεις γνωστές από την τριγωνομετρία.
Θα έπρεπε πότε δεδομένη γωνία 3 φ. Μια αλγεβρική θεώρηση της επιλυτότητας μιας τρισδιάστατης εξίσωσης οδηγεί άμεσα στο ερώτημα της δυνατότητας κατασκευής λύσεων και, κατά συνέπεια, στο ερώτημα της δυνατότητας ή αδυναμίας μιας κατασκευαστικής τριπλής γωνίας μιας δεδομένης γωνίας.
AB=BC/cos60=8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία. Είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου. Μπορείτε να το υπολογίσετε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα ή χρησιμοποιώντας τους τύπους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Η τιμή της γωνίας εξόδου έχει μεγάλη επιρροή στη δυνατότητα σύνδεσης της τρίτης γωνίας, αφού αυτή, ως απόλυτος όρος, καθορίζει αποφασιστικά το είδος των λύσεων στην τρισδιάστατη εξίσωση. Εάν μια εξίσωση τριγωνισμού έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση που μπορεί να ληφθεί με ορθολογικές πράξεις ή ένα σχέδιο τετραγωνικής ρίζας για μια δεδομένη αρχική γωνία, αυτή η λύση είναι εποικοδομητική.
Ο Breidenbach διατύπωσε ως κριτήριο ότι η γωνία των τριών δευτερολέπτων μπορεί να ερμηνευτεί μόνο σε ορθολογική απόφασητριμερής εξίσωση. Εάν δεν υπάρχει τέτοια λύση, το πρόβλημα της τριμερούς κατασκευής είναι ασυμβίβαστο με την πυξίδα και τον χάρακα. Η ανάλυση συστάδων είναι μια γενική τεχνική για τη συγκέντρωση μικρών ομάδων από ένα μεγάλο σύνολο δεδομένων. Παρόμοια με την ανάλυση διάκρισης, η ανάλυση συστάδων χρησιμοποιείται επίσης για την ταξινόμηση των παρατηρήσεων σε ομάδες. Από την άλλη πλευρά, η ανάλυση που εισάγει διακρίσεις απαιτεί γνώση των μελών της ομάδας στις περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή του κανόνα ταξινόμησης.
Εντολή
Τα σκέλη ονομάζονται οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που γειτνιάζουν με ορθή γωνία. Στο σχήμα, τα πόδια χαρακτηρίζονται ως AB και BC. Αφήστε τα μήκη και των δύο ποδιών να δοθούν. Ας τις χαρακτηρίσουμε ως |AB| και |π.Χ.|. Για να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας |AC|, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, δηλ. στη σημειογραφία του σχεδίου μας |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Από τον τύπο παίρνουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας AC βρίσκεται ως |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Η ανάλυση συστάδων είναι μια πιο πρωτόγονη μέθοδος επειδή δεν κάνει υποθέσεις σχετικά με τον αριθμό των ομάδων ή τη συμμετοχή ομάδων. Ταξινόμηση Η ανάλυση συστάδων παρέχει έναν τρόπο για να ανακαλύψετε πιθανές σχέσεις και να δημιουργήσετε μια συστηματική δομή σε μεγάλους αριθμούςμεταβλητές και παρατηρήσεις. Η ιεραρχική ανάλυση συστάδων είναι η κύρια στατιστική μέθοδος για την εύρεση σχετικά ομοιογενών συστάδων περιπτώσεων με βάση τα μετρούμενα χαρακτηριστικά. Ξεκινά με κάθε περίπτωση ως ξεχωριστό σύμπλεγμα.
Στη συνέχεια, τα συμπλέγματα συγχωνεύονται διαδοχικά, ο αριθμός των συστάδων μειώνεται με κάθε βήμα μέχρι να παραμείνει μόνο ένα σύμπλεγμα. Η μέθοδος ομαδοποίησης χρησιμοποιεί διαφορές μεταξύ αντικειμένων για να σχηματίσει συμπλέγματα. Η ιεραρχική ανάλυση συστάδων είναι η καλύτερη για μικρά δείγματα.
Εξετάστε ένα παράδειγμα. Αφήστε τα μήκη των ποδιών |AB| = 13, |π.Χ.| = 21. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε ότι |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. από τον αριθμό 610: |AC| = √610. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των τετραγώνων των ακεραίων, διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός 610 δεν είναι τέλειο τετράγωνο οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού. Για να πάρουμε την τελική τιμή του μήκους της υποτείνουσας, ας προσπαθήσουμε να βγάλουμε πλήρες τετράγωνοαπό κάτω από το σημάδι της ρίζας. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε τον αριθμό 610 σε παράγοντες. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Σύμφωνα με τον πίνακα των πρώτων αριθμών, βλέπουμε ότι το 61 είναι πρώτος αριθμός. Επομένως, περαιτέρω μείωση του αριθμού √610 είναι αδύνατη. Παίρνουμε την τελική απάντηση |AC| = √610.
Αν το τετράγωνο της υποτείνουσας ήταν, για παράδειγμα, 675, τότε √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Εάν είναι δυνατός ένας τέτοιος γύψος, εκτελέστε έναν αντίστροφο έλεγχο - τετραγωνίστε το αποτέλεσμα και συγκρίνετε με την αρχική τιμή.
Η ιεραρχική ανάλυση συστάδων είναι μόνο ένας τρόπος για να παρατηρήσουμε το σχηματισμό ομοιογενών μεταβλητών ομάδων. Δεν υπάρχει συγκεκριμένος τρόπος για να ορίσετε τον αριθμό των συμπλεγμάτων για την ανάλυσή σας. Ίσως χρειαστεί να εξετάσετε το δενδρογράφημα καθώς και τα χαρακτηριστικά των συστάδων και στη συνέχεια να προσαρμόσετε τον αριθμό σε βήματα για να πάρετε μια καλή λύση συμπλέγματος.
Όταν οι μεταβλητές μετρώνται σε διαφορετικές κλίμακες, έχετε τρεις τρόπους για να τυποποιήσετε τις μεταβλητές. Ως αποτέλεσμα, όλες οι μεταβλητές με περίπου ίσες αναλογίες συμβάλλουν στη μέτρηση της απόστασης, ακόμα κι αν μπορεί να χάσετε πληροφορίες σχετικά με τη διακύμανση των μεταβλητών.
Ενημερώστε μας ένα από τα σκέλη και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα του. Για βεβαιότητα, ας είναι το πόδι |AB| και γωνία α. Στη συνέχεια, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την τριγωνομετρική συνάρτηση συνημίτονο - το συνημίτονο της γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Εκείνοι. στον συμβολισμό μας cos α = |AB| / |AC|. Από εδώ παίρνουμε το μήκος της υποτείνουσας |AC| = |AB| / cosα.
Αν γνωρίζουμε το πόδι |π.Χ.| και γωνία α, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον υπολογισμό του ημιτόνου της γωνίας - το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα: sin α = |BC| / |AC|. Παίρνουμε ότι το μήκος της υποτείνουσας βρίσκεται ως |AC| = |π.Χ.| / cosα.
Ευκλείδεια απόσταση: Η Ευκλείδεια απόσταση είναι η πιο κοινή μέθοδος μέτρησης. Ευκλείδεια απόσταση σε τετράγωνο: Η ευκλείδεια απόσταση στο τετράγωνο εστιάζει την προσοχή σε αντικείμενα που βρίσκονται πιο μακριά. Απόσταση μπλοκ πόλεων: Τόσο τα οικοδομικά τετράγωνα όσο και η Ευκλείδεια απόσταση είναι ειδικές περιπτώσεις της μέτρησης Minkowski. Ενώ η Ευκλείδεια απόσταση αντιστοιχεί στο μήκος της συντομότερης διαδρομής μεταξύ δύο σημείων, η απόσταση μπλοκ πόλεων είναι το άθροισμα των αποστάσεων κατά μήκος κάθε διάστασης. Απόσταση συσχέτισης Pearson Η διαφορά μεταξύ του 1 και του συνημιτονικού συντελεστή δύο παρατηρήσεων Ο συντελεστής συνημιτόνου είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Απόσταση Jaccard Διαφορά μεταξύ 1 και του συντελεστή Jacquard για δύο παρατηρήσεις Για δυαδικά δεδομένα, ο συντελεστής Jaccard είναι ίσος με την αναλογία του ποσού της επικάλυψης και του αθροίσματος των δύο παρατηρήσεων. Πλησιέστερος γείτονας Αυτή η μέθοδος υποθέτει ότι η απόσταση μεταξύ δύο συστάδων αντιστοιχεί στην απόσταση μεταξύ των χαρακτηριστικών στην πλησιέστερη γειτονιά τους. Καλύτερος γείτονας Σε αυτή τη μέθοδο, η απόσταση μεταξύ δύο συστάδων αντιστοιχεί στη μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο αντικειμένων σε διαφορετικά συμπλέγματα. Μέσος όρος ομάδας: Με αυτήν τη μέθοδο, η απόσταση μεταξύ δύο συστάδων αντιστοιχεί στη μέση απόσταση μεταξύ όλων των ζευγών αντικειμένων σε διαφορετικά συμπλέγματα. Αυτή η μέθοδος συνιστάται γενικά καθώς περιέχει μεγαλύτερο όγκο πληροφοριών. Διάμεσος Αυτή η μέθοδος είναι πανομοιότυπη με την κεντροειδή μέθοδο, εκτός από το ότι είναι μη σταθμισμένη. Στη συνέχεια, για κάθε περίπτωση, υπολογίζεται η τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση από τη μέση τιμή του συμπλέγματος. Το σύμπλεγμα που θα συγχωνευτεί είναι αυτό που αυξάνει τουλάχιστον το άθροισμα. Δηλαδή, αυτή η μέθοδος ελαχιστοποιεί την αύξηση του συνολικού αθροίσματος των τετραγωνικών αποστάσεων εντός των συστάδων. Αυτή η μέθοδος τείνει να δημιουργεί μικρότερα συμπλέγματα.
- Αυτή είναι μια γεωμετρική απόσταση στον πολυδιάστατο χώρο.
- Είναι κατάλληλο μόνο για συνεχείς μεταβλητές.
- Απόσταση συνημιτόνου Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων τιμών.
- Αυτή η μέθοδος συνιστάται όταν σχεδιάζετε σχεδιασμένα συμπλέγματα.
- Εάν τα σχεδιασμένα συμπλέγματα σχηματίζουν μοναδικές "συστάδες", η μέθοδος είναι κατάλληλη.
- Ένα κέντρο συστάδας είναι ένα μέσο σε έναν πολυδιάστατο χώρο.
- Δεν πρέπει να χρησιμοποιείται εάν τα μεγέθη των συστάδων είναι πολύ διαφορετικά.
- Οι μέσες τιμές Ward για όλες τις μεταβλητές υπολογίζονται για κάθε σύμπλεγμα.
- Αυτές οι αποστάσεις αθροίζονται για όλες τις περιπτώσεις.
Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε ένα παράδειγμα. Έστω το μήκος του ποδιού |AB| = 15. Και η γωνία α = 60°. Παίρνουμε |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Σκεφτείτε πώς μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμά σας χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του δεύτερου σκέλους |BC|. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εφαπτομένη της γωνίας tg α = |BC| / |AC|, λαμβάνουμε |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Η επαλήθευση έχει γίνει.
Η συνάρτηση ημιτόνου ορίζεται από την έννοια του ημιτονοειδούς, δεδομένου ότι η γωνία πρέπει πάντα να εκφράζεται σε ακτίνια. Μπορούμε να παρατηρήσουμε αρκετά χαρακτηριστικά της ημιτονοειδούς συνάρτησης.
- Ο τομέας σας περιέχει όλα τα πραγματικά.
- Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται περιοδική, με περίοδο 2π.
Μπορούμε να παρατηρήσουμε πολλά χαρακτηριστικά της συνημίτονος. Έτσι, αυτή είναι μια περιοδική περίοδος 2π. . Ο περιορισμός δεν αφαιρεί τη γενικότητα του τύπου, επειδή μπορούμε πάντα να μειώσουμε τις γωνίες του δεύτερου, του τρίτου και του τέταρτου τεταρτημορίου στο πρώτο. Μια άσκηση. - Υπολογίστε το ημίτονο των 15º χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή.
Αφού υπολογίσετε την υποτείνουσα, ελέγξτε αν η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Πηγές:
- Τραπέζι πρώτοι αριθμοίαπό 1 έως 10000
Πόδιαονομάστε τις δύο μικρές πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που αποτελούν την κορυφή του, η τιμή του οποίου είναι 90 °. Η τρίτη πλευρά σε ένα τέτοιο τρίγωνο ονομάζεται υποτείνουσα. Όλες αυτές οι πλευρές και γωνίες του τριγώνου συνδέονται μεταξύ τους με ορισμένες σχέσεις που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε το μήκος του σκέλους εάν είναι γνωστές πολλές άλλες παράμετροι.
Συνημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών
Συνημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών
Για να λάβουμε τον τύπο, μπορούμε να προχωρήσουμε με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη ενότητα, αλλά θα δούμε μια άλλη πολύ απλή επίδειξη βασισμένη στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Απλοποιώντας και αλλάζοντας το πρόσημο, έχουμε Εφαπτομενικό άθροισμα και διαφορά δύο γωνιών.Μια άσκηση. Στο σημερινό άρθρο, θα δούμε ένα πολύ συγκεκριμένο υποσύνολο: τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για να απολαύσουμε όλα όσα έχουν να προσφέρουν τα μαθηματικά, πρέπει να τα εισαγάγουμε. Θα δούμε άλλα στυλ εισαγωγής στο επόμενο άρθρο, το καθένα με τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Αλλά με αυτήν την απλή οδηγία, έχετε ήδη πρόσβαση σε ολόκληρο τον χώρο ονομάτων της μαθηματικής ενότητας που είναι γεμάτος με δεκάδες συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων αυτών με τις οποίες θα ασχοληθούμε σήμερα.
Εντολή
Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να υπολογίσετε το μήκος του σκέλους (Α) εάν γνωρίζετε το μήκος των άλλων δύο πλευρών (Β και Γ) ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το άθροισμα των μηκών των ποδιών στο τετράγωνο είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι το μήκος καθενός από τα πόδια είναι ίσο με τετραγωνική ρίζααπό τη διαφορά των τετραγώνων των μηκών της υποτείνουσας και του δεύτερου σκέλους: A=√(C²-B²).
Βασικά, θα χρειαστεί να υπολογίσουμε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας, καθώς και αυτήν αντίστροφες συναρτήσεις. Επιπλέον, θα θέλαμε να μπορούμε να εργαζόμαστε τόσο σε ακτίνια όσο και σε μοίρες, ώστε να μπορούμε επίσης να χρησιμοποιούμε τις κατάλληλες συναρτήσεις μετατροπής.
Θα πρέπει να έχετε κατά νου ότι αυτές οι συναρτήσεις αναμένουν ότι το όρισμα θα παρέχεται σε ακτίνια και όχι σε μοίρες. Για το σκοπό αυτό, θα σας ενδιαφέρει να μάθετε ότι έχετε την παρακάτω σταθερά. Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την έκφραση αντί για αριθμητική τιμή.
Δεν υπάρχει άμεση συνάρτηση για το συνημίτονο, το συνημίτονο και την συνεφαπτομένη καθώς αυτό δεν είναι απαραίτητο καθώς είναι απλώς το αντίστροφο του ημιτόνου, του συνημίτονος και της εφαπτομένης αντίστοιχα. Όπως και πριν, η γωνία επιστροφής είναι επίσης σε ακτίνια. Μια άλλη χρήσιμη συνάρτηση των μαθηματικών μας επιτρέπει να γνωρίζουμε την τιμή της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου με βάση τα σκέλη του, η οποία μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων τους.
Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της άμεσης τριγωνομετρικής συνάρτησης "ημιτονοειδές" για μια οξεία γωνία, εάν γνωρίζετε την τιμή της γωνίας (α) απέναντι από το υπολογιζόμενο σκέλος και το μήκος της υποτείνουσας (C). Αυτός ο ορισμός δηλώνει ότι το ημίτονο αυτής της γνωστής γωνίας είναι ίσο με τον λόγο του μήκους του επιθυμητού σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του επιθυμητού σκέλους είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του ημιτόνου της γνωστής γωνίας: A=C∗sin(α). Για τις ίδιες γνωστές ποσότητες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό της συνάρτησης συντεταγμένης και να υπολογίσετε επιθυμητό μήκος, διαιρώντας το μήκος της υποτείνουσας με τη συνεπέκταση της γνωστής γωνίας A=C/cosec(α).
Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της άμεσης τριγωνομετρικής συνάρτησης συνημιτόνου εάν, εκτός από το μήκος της υποτείνουσας (C), είναι γνωστή και η τιμή της οξείας γωνίας (β) δίπλα στο επιθυμητό σκέλος. Το συνημίτονο αυτής της γωνίας ορίζεται ως ο λόγος των μηκών του επιθυμητού σκέλους και της υποτείνουσας, και από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μήκος του σκέλους είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του συνημιτόνου του γνωστού γωνία: A=C∗cos(β). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό της συνάρτησης τομής και να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή διαιρώντας το μήκος της υποτείνουσας με την τομή της γνωστής γωνίας A=C/sec(β).
Εξάγετε τον απαιτούμενο τύπο από παρόμοιο ορισμό για την παράγωγο της εφαπτομένης της τριγωνομετρικής συνάρτησης, εάν, εκτός από την τιμή της οξείας γωνίας (α) που βρίσκεται απέναντι από το επιθυμητό σκέλος (Α), το μήκος του δεύτερου σκέλους (Β) είναι γνωστός. Η εφαπτομένη της γωνίας απέναντι από το επιθυμητό σκέλος είναι ο λόγος του μήκους αυτού του σκέλους προς το μήκος του δεύτερου σκέλους. Επομένως, η επιθυμητή τιμή θα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους διάσημο πόδιστην εφαπτομένη γνωστής γωνίας: A=B∗tg(α). Από αυτές τις ίδιες γνωστές ποσότητες, μπορεί να προκύψει ένας άλλος τύπος χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης συνεφαπτομένης. Στην περίπτωση αυτή, για τον υπολογισμό του μήκους του σκέλους, θα χρειαστεί να βρεθεί ο λόγος του μήκους του γνωστού σκέλους προς την συνεφαπτομένη της γνωστής γωνίας: A=B/ctg(α).
Σχετικά βίντεο
Η λέξη "katet" ήρθε στα ρωσικά από τα ελληνικά. Σε ακριβή μετάφραση, σημαίνει βαρίδι, δηλαδή κάθετο στην επιφάνεια της γης. Στα μαθηματικά, τα σκέλη ονομάζονται πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Ο όρος "πόδι" χρησιμοποιείται επίσης στην αρχιτεκτονική και την τεχνολογία συγκόλλησης.
Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ACB. Επισημάνετε τα πόδια του a και b και την υποτείνησή του c. Όλες οι πλευρές και οι γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου συνδέονται με ορισμένες σχέσεις. Η αναλογία του σκέλους που βρίσκεται απέναντι από μία από τις οξείες γωνίες προς την υποτείνουσα ονομάζεται ημίτονο αυτής της γωνίας. Σε αυτό το τρίγωνο sinCAB=a/c. Το συνημίτονο είναι η αναλογία προς την υποτείνουσα του διπλανού σκέλους, δηλαδή cosCAB=b/c. Οι αντίστροφες σχέσεις ονομάζονται διαδοχικές και συνακόλουθες.
Η τομή αυτής της γωνίας προκύπτει με διαίρεση της υποτείνουσας με το διπλανό σκέλος, δηλαδή secCAB=c/b. Αποδεικνύεται το αντίστροφο του συνημιτόνου, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο secCAB=1/cosSAB.
Η συνέκταση ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης της υποτείνουσας με το αντίθετο σκέλος και είναι το αντίστροφο του ημιτονοειδούς. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο cosecCAB=1/sinCAB
Και τα δύο σκέλη συνδέονται με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Στην περίπτωση αυτή, η εφαπτομένη θα είναι ο λόγος της πλευράς a προς την πλευρά b, δηλαδή το αντίθετο σκέλος προς το διπλανό. Αυτή η αναλογία μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο tgCAB=a/b. Κατά συνέπεια, η αντίστροφη αναλογία θα είναι η συνεφαπτομένη: ctgCAB=b/a.
Η αναλογία μεταξύ των μεγεθών της υποτείνουσας και των δύο ποδιών καθορίστηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα. Το θεώρημα που πήρε το όνομά του εξακολουθεί να χρησιμοποιείται από τους ανθρώπους. Λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, δηλαδή c2 \u003d a2 + b2. Αντίστοιχα, κάθε σκέλος θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως b=√(c2-a2).
Το μήκος του ποδιού μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσα από τις σχέσεις που γνωρίζετε. Σύμφωνα με τα θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου, το σκέλος είναι ίσο με το γινόμενουποτείνουσα σε μία από αυτές τις συναρτήσεις. Μπορεί επίσης να εκφραστεί με όρους εφαπτομένης ή συνεφαπτομένης. Το σκέλος a μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, με τον τύπο a \u003d b * tan CAB. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ανάλογα με τη δεδομένη εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη, προσδιορίζεται και το δεύτερο σκέλος.
Στην αρχιτεκτονική χρησιμοποιείται και ο όρος «πόδι». Εφαρμόζεται σε ένα ιωνικό κιονόκρανο και υποδηλώνει ένα βαρέλι από το μέσο της πλάτης του. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, αυτός ο όρος υποδηλώνει μια κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία.
Στην τεχνολογία συγκόλλησης, υπάρχει η έννοια της «συγκόλλησης φιλέτου ποδιού». Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, αυτή είναι η μικρότερη απόσταση. Εδώ μιλάμε για το κενό μεταξύ ενός από τα μέρη που πρόκειται να συγκολληθούν στο όριο της ραφής που βρίσκεται στην επιφάνεια του άλλου τμήματος.
Σχετικά βίντεο
Πηγές:
- τι είναι το πόδι και η υποτείνουσα
Σχετικά βίντεο
Σημείωση
Κατά τον υπολογισμό των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, η γνώση των χαρακτηριστικών του μπορεί να παίξει:
1) Αν το σκέλος μιας ορθής γωνίας βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 μοιρών, τότε είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
2) Η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα πόδια.
3) Εάν ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε το κέντρο του πρέπει να βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
Όπου εξετάστηκαν οι εργασίες για την επίλυση ενός ορθογώνιου τριγώνου, υποσχέθηκα να παρουσιάσω μια τεχνική για την απομνημόνευση των ορισμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Χρησιμοποιώντας το, θα θυμάστε πάντα γρήγορα ποιο πόδι ανήκει στην υποτείνουσα (παρακείμενο ή απέναντι). Αποφάσισα να μην το αναβάλω επ' αόριστον, το απαραίτητο υλικό είναι παρακάτω, διαβάστε το 😉
Γεγονός είναι ότι έχω επανειλημμένα παρατηρήσει πώς οι μαθητές των τάξεων 10-11 δυσκολεύονται να θυμηθούν αυτούς τους ορισμούς. Θυμούνται πολύ καλά ότι το πόδι παραπέμπει στην υποτείνουσα, αλλά ποια ξεχνάνε και ταραγμένος. Το τίμημα ενός λάθους, όπως ξέρετε στις εξετάσεις, είναι μια χαμένη βαθμολογία.
Οι πληροφορίες που θα παρουσιάσω απευθείας στα μαθηματικά δεν έχουν καμία σχέση. Συνδέεται με την εικονική σκέψη, και με τις μεθόδους λεκτικής-λογικής σύνδεσης. Σωστά, εγώ ο ίδιος, μια για πάντα θυμήθηκα δεδομένα ορισμού. Εάν εξακολουθείτε να τα ξεχνάτε, τότε με τη βοήθεια των τεχνικών που παρουσιάζονται είναι πάντα εύκολο να θυμάστε.
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνο:
ΣυνημίτονοΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα:
Λοιπόν, τι συνειρμούς προκαλεί σε εσάς η λέξη συνημίτονο;
Μάλλον ο καθένας έχει το δικό του Θυμηθείτε τον σύνδεσμο:
Έτσι, θα έχετε αμέσως μια έκφραση στη μνήμη σας -
«… αναλογία ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΟΥ ποδιού προς υπόταση».
Το πρόβλημα με τον ορισμό του συνημιτόνου έχει λυθεί.
Εάν πρέπει να θυμάστε τον ορισμό του ημιτονοειδούς σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε θυμηθείτε τον ορισμό του συνημιτόνου, μπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε ότι το ημίτονο μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα. Εξάλλου, υπάρχουν μόνο δύο σκέλη, εάν το διπλανό σκέλος "καταλαμβάνεται" από το συνημίτονο, τότε μόνο η αντίθετη πλευρά παραμένει για το ημίτονο.
Τι γίνεται με την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη; Ίδια σύγχυση. Οι μαθητές γνωρίζουν ότι αυτή είναι η αναλογία των ποδιών, αλλά το πρόβλημα είναι να θυμούνται ποιο αναφέρεται σε ποιο - είτε αντίθετο από το διπλανό είτε το αντίστροφο.
Ορισμοί:
Εφαπτομένοςοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό:
ΣυνεφαπτομένηΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο:
Πώς να θυμάστε; Υπάρχουν δύο τρόποι. Το ένα χρησιμοποιεί επίσης μια λεκτική-λογική σύνδεση, η άλλη - μια μαθηματική.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ
Υπάρχει ένας τέτοιος ορισμός - η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου μιας γωνίας προς το συνημίτονό της:
* Υπενθυμίζοντας τον τύπο, μπορείτε πάντα να προσδιορίσετε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό.
Επίσης. Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του συνημιτόνου μιας γωνίας προς το ημίτονο της:
Ετσι! Αν θυμάστε αυτούς τους τύπους, μπορείτε πάντα να προσδιορίσετε ότι:
Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό
Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.
ΛΕΚΤΙΚΗ-ΛΟΓΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ
Περί εφαπτομένης. Θυμηθείτε τον σύνδεσμο:
Δηλαδή, εάν πρέπει να θυμάστε τον ορισμό της εφαπτομένης, χρησιμοποιώντας αυτή τη λογική σύνδεση, μπορείτε εύκολα να θυμηθείτε τι είναι
"... η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό"
Εάν πρόκειται για την συνεφαπτομένη, τότε θυμηθείτε τον ορισμό της εφαπτομένης, μπορείτε εύκολα να εκφράσετε τον ορισμό της εφαπτομένης -
"... η αναλογία του διπλανού ποδιού προς το αντίθετο"
Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα τεχνική για την απομνημόνευση της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στην τοποθεσία " Μαθηματική σειρά " , Κοίτα.
ΜΕΘΟΔΟΣ Universal
Μπορείτε απλά να αλέσετε. Αλλά όπως δείχνει η πρακτική, χάρη στις λεκτικές-λογικές συνδέσεις, ένα άτομο θυμάται πληροφορίες για μεγάλο χρονικό διάστημα, και όχι μόνο μαθηματικές.
Ελπίζω ότι το υλικό σας ήταν χρήσιμο.
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Ξεκινάμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.
Θυμηθείτε ότι ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με . Με άλλα λόγια, η μισή από την ξεδιπλωμένη γωνία.
Κοφτερή γωνία- μικρότερο.
Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερο. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)
Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται . Σημειώστε ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία συμβολίζεται.
Μια γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.
ΥποτείνουσαΟρθογώνιο τρίγωνο είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.
Πόδια- πλευρές απέναντι από αιχμηρές γωνίες.
Το πόδι απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απεναντι απο(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο πόδι, που βρίσκεται στη μία πλευρά της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.
ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα:
Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
Εφαπτομένοςοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το παρακείμενο:
Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου μιας γωνίας προς το συνημίτονό της:
Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο (ή, ισοδύναμα, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):
Δώστε προσοχή στις βασικές αναλογίες για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, που δίνονται παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι στην επίλυση προβλημάτων.
Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.
1. Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι . Που σημαίνει, το άθροισμα δύο οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι .
2. Αφενός, ως η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα. Από την άλλη, αφού για τη γωνία το πόδι θα είναι γειτονικό.
Το καταλαβαίνουμε. Με άλλα λόγια, .
3. Πάρτε το Πυθαγόρειο θεώρημα: . Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη με:
Πήραμε βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:
Έτσι, γνωρίζοντας το ημίτονο μιας γωνίας, μπορούμε να βρούμε το συνημίτονο της και αντίστροφα.
4. Διαιρώντας και τα δύο μέρη της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας με , έχουμε:
Αυτό σημαίνει ότι αν μας δοθεί η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας, τότε μπορούμε να βρούμε αμέσως το συνημίτονο της.
Επίσης,
Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Γιατί όμως χρειαζόμαστε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;
Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι.
Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .
Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας δύο πλευρές σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Έτσι, για τις γωνίες - την αναλογία τους, για τις πλευρές - τη δική τους. Τι να κάνετε όμως αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι γνωστές μια γωνία (εκτός από μια ορθή) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε άλλες πλευρές;
Αυτό αντιμετώπιζαν οι άνθρωποι στο παρελθόν, φτιάχνοντας χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.
Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γωνίας- δώστε την αναλογία μεταξύ κόμματακαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.
Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα τιμών ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης για "καλές" γωνίες από έως.
Παρατηρήστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Για τις αντίστοιχες τιμές των γωνιών, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.
Ας αναλύσουμε αρκετά προβλήματα στην τριγωνομετρία από τις εργασίες του Bank of FIPI.
1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .
Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.
Από , έχουμε: .
2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα . , είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.
Γνωρίζοντας ένα από τα σκέλη σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές σχέσεις - το ημίτονο και την εφαπτομένη μιας γνωστής γωνίας. Δεδομένου ότι ο λόγος του σκέλους απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα είναι ίσος με το ημίτονο αυτής της γωνίας, επομένως, για να βρεθεί η υποτείνουσα, το σκέλος πρέπει να διαιρεθεί με το ημίτονο της γωνίας. a/c=sinα c=a/sinα
Το δεύτερο σκέλος μπορεί να βρεθεί από την εφαπτομένη της γνωστής γωνίας, ως ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την εφαπτομένη. a/b=tanα b=a/tanα
Για να υπολογίσετε την άγνωστη γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, πρέπει να αφαιρέσετε τη γωνία α από τις 90 μοίρες. β=90°-α
Η περίμετρος και το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορούν να εκφραστούν μέσω του σκέλους και της αντίθετης γωνίας αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που ελήφθησαν προηγουμένως για το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα στους τύπους. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 τανα)
Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το ύψος μέσω τριγωνομετρικών σχέσεων, αλλά ήδη στο εσωτερικό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρά α, που σχηματίζει. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται η πλευρά α, όπως η υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου, πολλαπλασιαζόμενη με το ημίτονο της γωνίας β ή το συνημίτονο α, αφού σύμφωνα με τριγωνομετρικές ταυτότητεςείναι ισοδύναμα. (εικ. 79.2) h=a cosα
Η διάμεσος της υποτείνουσας είναι ίση με το ήμισυ της υποτείνουσας ή του γνωστού σκέλους α διαιρούμενο με δύο ημίτονο α. Για να βρούμε τη διάμεσο των ποδιών, φέρνουμε τους τύπους στην κατάλληλη φόρμα για γνωστή πλευράκαι γωνίες. (εικ.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2 α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2α +a^2/sin ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Δεδομένου ότι η διχοτόμος μιας ορθής γωνίας σε ένα τρίγωνο είναι το γινόμενο δύο πλευρών και η ρίζα δύο, διαιρούμενη με το άθροισμα αυτών των πλευρών, αντικαθιστώντας ένα από τα σκέλη με την αναλογία του γνωστού σκέλους προς την εφαπτομένη, λαμβάνουμε τα ακόλουθα έκφραση. Ομοίως, αντικαθιστώντας τον λόγο στον δεύτερο και τον τρίτο τύπο, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις διχοτόμους των γωνιών α και β. (εικ.79.4) l_с=(a a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sinα)))/(a+a/sinα)=(a sinα √(2c(a+a/sinα)))/(a sinα+a)
Η μεσαία γραμμή είναι παράλληλη με μια από τις πλευρές του τριγώνου, ενώ σχηματίζει ένα άλλο παρόμοιο ορθογώνιο τρίγωνο με τις ίδιες γωνίες, στο οποίο όλες οι πλευρές έχουν το μισό μέγεθος από το αρχικό. Με βάση αυτό, οι μεσαίες γραμμές μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους, γνωρίζοντας μόνο το πόδι και τη γωνία απέναντι από αυτό. (εικ.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου ισούται με τη διαφοράπόδια και υποτείνουσα διαιρούμενα με δύο και για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, πρέπει να διαιρέσετε την υποτείνουσα με δύο. Αντικαθιστούμε το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα με τις αναλογίες του σκέλους α προς το ημίτονο και την εφαπτομένη, αντίστοιχα. (Εικ. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα -a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα