Εύρεση της γωνίας μεταξύ των γραμμών. Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο

Έστω δύο ευθείες l και m στο επίπεδο του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων με τις γενικές εξισώσεις: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Τα διανύσματα των κανονικών σε αυτές τις ευθείες: = (A 1 , B 1) - στην ευθεία l,

= (A 2 , B 2) στην ευθεία m.

Έστω j η γωνία μεταξύ των ευθειών l και m.

Εφόσον οι γωνίες με αμοιβαία κάθετες πλευρές είναι είτε ίσες είτε άθροισμα σε p, τότε , δηλ. cos j = .

Έτσι, αποδείξαμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα.Έστω j η γωνία μεταξύ δύο ευθειών στο επίπεδο και αυτές οι ευθείες γραμμές δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων από τις γενικές εξισώσεις A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Τότε cos j = .

Γυμνάσια.

1) Εξάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των γραμμών εάν:

(1) και οι δύο γραμμές δίνονται παραμετρικά. (2) και οι δύο γραμμές δίνονται με κανονικές εξισώσεις. (3) η μία ευθεία δίνεται παραμετρικά, η άλλη ευθεία - από τη γενική εξίσωση. (4) και οι δύο γραμμές δίνονται από την εξίσωση κλίσης.

2) Έστω j η γωνία μεταξύ δύο ευθειών στο επίπεδο και ας δοθούν αυτές οι ευθείες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων από τις εξισώσεις y = k 1 x + b 1 και y =k 2 x + b 2 .

Τότε tan j = .

3) Εξερευνώ αμοιβαία διευθέτησηδύο ευθείες γραμμές που δίνονται από γενικές εξισώσεις στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και συμπληρώστε τον πίνακα:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία σε ένα επίπεδο.

Έστω η ευθεία l στο επίπεδο του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων με τη γενική εξίσωση Ax + By + C = 0. Να βρείτε την απόσταση από το σημείο M(x 0 , y 0) μέχρι την ευθεία l.

Η απόσταση από το σημείο M έως την ευθεία l είναι το μήκος της κάθετης HM (H н l, HM ^ l).

Το διάνυσμα και το κανονικό διάνυσμα προς την ευθεία l είναι συγγραμμικά, έτσι ώστε | | = | | | | και | | = .

Έστω οι συντεταγμένες του σημείου Η (x,y).

Εφόσον το σημείο H ανήκει στην ευθεία l, τότε Ax + By + C = 0 (*).

Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , βλέπε (*))

Θεώρημα.Έστω η ευθεία l στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων από τη γενική εξίσωση Ax + By + C = 0. Τότε η απόσταση από το σημείο M(x 0 , y 0) σε αυτήν την ευθεία υπολογίζεται με τον τύπο: r (M; ιβ) = .

Γυμνάσια.

1) Εξάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία εάν: (1) η ευθεία δίνεται παραμετρικά. (2) δίνεται η γραμμή κανονικές εξισώσεις; (3) η ευθεία δίνεται από την εξίσωση κλίσης.

2) Γράψτε την εξίσωση ενός κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία 3x - y = 0 με κέντρο το Q(-2,4).

3) Γράψτε τις εξισώσεις των ευθειών που διαιρούν τις γωνίες που σχηματίζονται από την τομή των ευθειών 2x + y - 1 = 0 και x + y + 1 = 0 στο μισό.

§ 27. Αναλυτικός ορισμός επιπέδου στο χώρο

Ορισμός. Το κανονικό διάνυσμα στο επίπεδοθα ονομάσουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα, οποιοσδήποτε αντιπρόσωπος του είναι κάθετος στο δεδομένο επίπεδο.

Σχόλιο.Είναι σαφές ότι εάν τουλάχιστον ένας εκπρόσωπος του διανύσματος είναι κάθετος στο επίπεδο, τότε όλοι οι άλλοι εκπρόσωποι του διανύσματος είναι κάθετοι σε αυτό το επίπεδο.

Αφήστε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων να δοθεί στο χώρο.

Έστω το επίπεδο a, = (A, B, C) – το κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο, το σημείο M (x 0 , y 0 , z 0) ανήκει στο επίπεδο a.

Για οποιοδήποτε σημείο N(x, y, z) του επιπέδου a, τα διανύσματα και είναι ορθογώνια, δηλαδή το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν: = 0. Ας γράψουμε την τελευταία ισότητα σε συντεταγμένες: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

Έστω -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, μετά Ax + By + Cz + D = 0.

Πάρτε ένα σημείο K (x, y) έτσι ώστε Ax + By + Cz + D \u003d 0. Αφού D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, τότε A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.Εφόσον οι συντεταγμένες του κατευθυνόμενου τμήματος = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), η τελευταία ισότητα σημαίνει ότι ^ , και, επομένως, K н a.

Έτσι, αποδείξαμε το εξής θεώρημα:

Θεώρημα.Οποιοδήποτε επίπεδο στο χώρο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί με μια εξίσωση της μορφής Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), όπου (A, B, C) είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος σε αυτό το επίπεδο.

Ισχύει και το αντίστροφο.

Θεώρημα.Οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζει ένα ορισμένο επίπεδο, ενώ (A, B, C) είναι οι συντεταγμένες της κανονικής διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο.

Απόδειξη.

Πάρτε ένα σημείο M (x 0 , y 0 , z 0) έτσι ώστε Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 και διάνυσμα = (A, B, C) ( ≠ q).

Ένα επίπεδο (και μόνο ένα) διέρχεται από το σημείο Μ που είναι κάθετο στο διάνυσμα. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, αυτό το επίπεδο δίνεται από την εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0.

Ορισμός.Μια εξίσωση της μορφής Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ονομάζεται η γενική εξίσωση του επιπέδου.

Παράδειγμα.

Ας γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία M (0.2.4), N (1,-1.0) και K (-1.0.5).

1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος προς το επίπεδο (ΜΝΚ). Εφόσον το διανυσματικό γινόμενο ´ είναι ορθογώνιο προς τα μη συγγραμμικά διανύσματα και το διάνυσμα είναι συγγραμμικό προς το ´.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Έτσι, ως κανονικό διάνυσμα, πάρτε το διάνυσμα = (-11, 3, -5).

2. Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα τα αποτελέσματα του πρώτου θεωρήματος:

η εξίσωση αυτού του επιπέδου A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, όπου (A, B, C) είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, (x 0 , y 0 , z 0) – συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται στο επίπεδο (για παράδειγμα, σημείο M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Απάντηση: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Γυμνάσια.

1) Να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου αν

(1) το επίπεδο διέρχεται από το σημείο M (-2,3,0) παράλληλο προς το επίπεδο 3x + y + z = 0;

(2) το επίπεδο περιέχει τον άξονα (Ox) και είναι κάθετο στο x + 2y – 5z + 7 = 0 επίπεδο.

2) Να γράψετε την εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία.

§ 28. Αναλυτική προδιαγραφή ημιδιαστήματος*

Σχόλιο*. Ας φτιάξει κάποιο αεροπλάνο. Υπό μισό διάστημαθα κατανοήσουμε το σύνολο των σημείων που βρίσκονται στη μία πλευρά ενός δεδομένου επιπέδου, δηλαδή, δύο σημεία βρίσκονται στον ίδιο ημιδιάστημα εάν το τμήμα που τα συνδέει δεν τέμνει το δεδομένο επίπεδο. Αυτό το αεροπλάνο ονομάζεται όριο αυτού του ημιχώρου. Η ένωση ενός δεδομένου επιπέδου και ενός μισού χώρου θα ονομάζεται κλειστό μισό χώρο.

Αφήστε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων να είναι σταθερό στο χώρο.

Θεώρημα.Έστω ότι το επίπεδο a δίνεται από τη γενική εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0. Τότε ένα από τα δύο ημιδιάστημα στα οποία το επίπεδο a διαιρεί το διάστημα δίνεται από την ανισότητα Ax + By + Cz + D > 0 , και το δεύτερο μισό διάστημα δίνεται από την ανισότητα Ax + By + Cz + D< 0.

Απόδειξη.

Ας σχεδιάσουμε το κανονικό διάνυσμα = (A, B, С) στο επίπεδο a από το σημείο M (x 0 , y 0 , z 0) που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο: = , M н a, MN ^ a. Το επίπεδο διαιρεί το χώρο σε δύο ημιδιάστημα: b 1 και b 2 . Είναι σαφές ότι το σημείο Ν ανήκει σε ένα από αυτά τα ημιδιάστημα. Χωρίς απώλεια γενικότητας, υποθέτουμε ότι N н b 1 .

Ας αποδείξουμε ότι το μισό διάστημα b 1 ορίζεται από την ανισότητα Ax + By + Cz + D > 0.

1) Πάρτε ένα σημείο K(x,y,z) στο μισό διάστημα b 1 . Η γωνία Ð NMK είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι οξεία, επομένως το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι θετικό: > 0. Ας γράψουμε αυτήν την ανισότητα σε συντεταγμένες: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, δηλ. Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Αφού M н b 1 , τότε Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, επομένως -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Επομένως, η τελευταία ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως εξής: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Πάρτε ένα σημείο L(x,y) έτσι ώστε Ax + By + Cz + D > 0.

Ας ξαναγράψουμε την ανισότητα, αντικαθιστώντας το D με (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (αφού M н b 1, μετά Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Το διάνυσμα με συντεταγμένες (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) είναι διάνυσμα , άρα η έκφραση A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) μπορεί να γίνει κατανοητό, ως το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και . Εφόσον το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και είναι θετικό, η γωνία μεταξύ τους είναι οξεία και το σημείο L н b 1 .

Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι το μισό διάστημα b 2 δίνεται από την ανισότητα Ax + By + Cz + D< 0.

Παρατηρήσεις.

1) Είναι σαφές ότι η παραπάνω απόδειξη δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου Μ στο επίπεδο α.

2) Είναι σαφές ότι το ίδιο μισό διάστημα μπορεί να οριστεί από διαφορετικές ανισότητες.

Ισχύει και το αντίστροφο.

Θεώρημα.Οποιαδήποτε γραμμική ανισότητα της μορφής Ax + By + Cz + D > 0 (ή Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Απόδειξη.

Η εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) στο διάστημα ορίζει κάποιο επίπεδο a (βλ. § ...). Όπως αποδείχθηκε στο προηγούμενο θεώρημα, ένα από τα δύο ημιδιαστήματα στα οποία το επίπεδο διαιρεί τον χώρο δίνεται από την ανισότητα Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Παρατηρήσεις.

1) Είναι σαφές ότι ένα κλειστό μισό διάστημα μπορεί να οριστεί από μια μη αυστηρή γραμμική ανισότητα, και οποιαδήποτε μη αυστηρή γραμμική ανισότητα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζει ένα κλειστό μισό διάστημα.

2) Οποιοδήποτε κυρτό πολύεδρο μπορεί να οριστεί ως η τομή κλειστών ημιδιαστημάτων (τα όρια των οποίων είναι επίπεδα που περιέχουν τις όψεις του πολυέδρου), δηλαδή, αναλυτικά, από ένα σύστημα γραμμικών μη αυστηρών ανισοτήτων.

Γυμνάσια.

1) Να αποδείξετε τα δύο θεωρήματα που παρουσιάζονται για ένα αυθαίρετο συγγενικό σύστημα συντεταγμένων.

2) Αληθεύει το αντίστροφο ότι οποιοδήποτε σύστημα μη αυστηρών γραμμικές ανισότητεςορίζει ένα κυρτό πολύγωνο;

Μια άσκηση.

1) Εξερευνήστε τη σχετική θέση δύο επιπέδων που δίνονται από γενικές εξισώσεις στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και συμπληρώστε τον πίνακα.

Εντολή

Σημείωση

Περίοδος τριγωνομετρική συνάρτησηη εφαπτομένη είναι ίση με 180 μοίρες, που σημαίνει ότι οι γωνίες κλίσης των ευθειών δεν μπορούν, modulo, να υπερβούν αυτήν την τιμή.

Χρήσιμες συμβουλές

Εάν οι συντελεστές κλίσης είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η γωνία μεταξύ τέτοιων γραμμών είναι 0, αφού τέτοιες γραμμές είτε συμπίπτουν είτε είναι παράλληλες.

Για να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης, είναι απαραίτητο να μεταφερθούν και οι δύο γραμμές (ή μία από αυτές) σε μια νέα θέση με τη μέθοδο της παράλληλης μεταφοράς στη διασταύρωση. Μετά από αυτό, θα πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών που προκύπτουν.

Θα χρειαστείτε

• Κυβερνήτης, ορθογώνιο τρίγωνο, μολύβι, μοιρογνωμόνιο.

Εντολή

Έστω λοιπόν το διάνυσμα V = (a, b, c) και το επίπεδο A x + B y + C z = 0, όπου A, B και C είναι οι συντεταγμένες του κανονικού N. Τότε το συνημίτονο της γωνίας Το α μεταξύ των διανυσμάτων V και N είναι: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Για να υπολογίσετε τη γωνία σε μοίρες ή ακτίνια, πρέπει να υπολογίσετε τη συνάρτηση αντίστροφη προς το συνημίτονο από την έκφραση που προκύπτει, δηλ. αρκοσίνη: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Παράδειγμα: βρείτε γωνίαμεταξύ διάνυσμα(5, -3, 8) και επίπεδο, που δίνεται από τη γενική εξίσωση 2 x - 5 y + 3 z = 0. Λύση: γράψτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου N = (2, -5, 3). Αντικαταστήστε όλες τις γνωστές τιμές στον παραπάνω τύπο: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Σχετικά βίντεο

Μια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο εφάπτεται στον κύκλο. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της εφαπτομένης είναι ότι είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής, δηλαδή η εφαπτομένη και η ακτίνα σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή γωνία. Αν δύο εφαπτομένες στον κύκλο ΑΒ και AC τραβηχτούν από ένα σημείο Α, τότε είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Ορισμός της γωνίας μεταξύ των εφαπτομένων ( γωνία ABC) παράγεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Εντολή

Για να προσδιορίσετε τη γωνία, πρέπει να γνωρίζετε την ακτίνα του κύκλου OB και OS και την απόσταση του σημείου έναρξης της εφαπτομένης από το κέντρο του κύκλου - O. Έτσι, οι γωνίες ABO και ACO είναι ίσες, η ακτίνα OB, για παράδειγμα, 10 cm, και η απόσταση από το κέντρο του κύκλου AO είναι 15 cm. Προσδιορίστε το μήκος της εφαπτομένης με τον τύπο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: AB = Τετραγωνική ρίζααπό AO2 - OB2 ή 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Αφήστε τις γραμμές να δίνονται στο διάστημα μεγάλοκαι Μ. Μέσα από κάποιο σημείο Α του χώρου χαράσσουμε ευθείες γραμμές μεγάλο 1 || μεγάλοκαι Μ 1 || Μ(Εικ. 138).

Σημειώστε ότι το σημείο Α μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα, συγκεκριμένα, μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δεδομένες γραμμές. Αν ευθεία μεγάλοκαι Μτέμνονται, τότε το Α μπορεί να ληφθεί ως σημείο τομής αυτών των γραμμών ( μεγάλο 1 = λκαι Μ 1 = m).

Γωνία μεταξύ μη παράλληλων γραμμών μεγάλοκαι Μείναι η τιμή της μικρότερης από τις παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από τεμνόμενες ευθείες γραμμές μεγάλο 1 και Μ 1 (μεγάλο 1 || μεγάλο, Μ 1 || Μ). Η γωνία μεταξύ των παράλληλων ευθειών θεωρείται ότι είναι μηδέν.

Γωνία μεταξύ των γραμμών μεγάλοκαι Μσυμβολίζεται με \(\widehat((l;m)) \). Από τον ορισμό προκύπτει ότι αν μετρηθεί σε μοίρες, τότε 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° και αν σε ακτίνια, τότε 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Μια εργασία.Δίνεται ο κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Εικ. 139).

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1 .

Ευθεία διασταύρωση AB και DC 1. Εφόσον η ευθεία DC είναι παράλληλη προς την ευθεία AB, η γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι ίση με \(\widehat(C_(1)DC)\).

Επομένως \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Απευθείας μεγάλοκαι Μπου ονομάζεται κάθετος, εάν \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Για παράδειγμα, σε έναν κύβο

Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ των γραμμών.

Το πρόβλημα του υπολογισμού της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως στο επίπεδο. Να συμβολίσετε με φ τη γωνία μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2, και μέσω ψ - η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ένα και σι αυτές τις ευθείες γραμμές.

Τότε αν

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Εικ. 206.6), μετά φ = 180° - ψ. Είναι προφανές ότι και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα cos φ = |cos ψ|. Σύμφωνα με τον τύπο (το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των μη μηδενικών διανυσμάτων a και b είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων διαιρούμενο με το γινόμενο των μηκών τους) έχουμε

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Συνεπώς,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Αφήστε τις ευθείες να δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; και \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Στη συνέχεια, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Εάν μία από τις γραμμές (ή και οι δύο) δίνεται από μη κανονικές εξισώσεις, τότε για να υπολογίσετε τη γωνία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (1).

Εργασία 1.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;και\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών έχουν συντεταγμένες:

a \u003d (-√2; √2; -2), σι = (√3 ; √3 ; √6 ).

Με τον τύπο (1) βρίσκουμε

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 60°.

Εργασία 2.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

$$ \begin(περιπτώσεις)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(περιπτώσεις) και \begin(περιπτώσεις)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(περιπτώσεις) $$

Πίσω από το διάνυσμα οδηγού ένα την πρώτη ευθεία παίρνουμε το διανυσματικό γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων n 1 = (3; 0; -12) και n 2 = (1; 1; -3) επίπεδα που ορίζουν αυτή τη γραμμή. Με τον τύπο \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) παίρνουμε

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Ομοίως, βρίσκουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεύτερης ευθείας:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Αλλά ο τύπος (1) υπολογίζει το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 90°.

Εργασία 3.Στην τριγωνική πυραμίδα MAVS, οι άκρες MA, MB και MC είναι αμοιβαία κάθετες, (Εικ. 207).

τα μήκη τους είναι αντίστοιχα ίσα με 4, 3, 6. Το σημείο D είναι το μέσο [MA]. Βρείτε τη γωνία φ μεταξύ των ευθειών CA και DB.

Έστω SA και DB τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών SA και DB.

Ας πάρουμε το σημείο Μ ως αρχή των συντεταγμένων. Από τη συνθήκη εργασίας, έχουμε A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Επομένως \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Χρησιμοποιούμε τον τύπο (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Σύμφωνα με τον πίνακα συνημιτόνων, βρίσκουμε ότι η γωνία μεταξύ των ευθειών CA και DB είναι περίπου 72 °.

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 . Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/ k 2 .

Θεώρημα.Οι ευθείες γραμμές Ax + Vy + C \u003d 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

Κάθετα σε αυτή τη γραμμή

Ορισμός.Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δίνεται ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Vy + C \u003d 0 ορίζεται ως

.

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται δεδομένο σημείοΤο M 0 είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Λύση. Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Λύση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), που ονομάζεται κέντρο της δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2) γράφεται ως εξής:

Η κλίση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών ΕΝΑκαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις κλίσης

y = κ 1 Χ + σι 1 ,

y = κ 2 Χ + σι 2 , (4)

τότε η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

Πρέπει να σημειωθεί ότι στον αριθμητή του κλάσματος, η κλίση της πρώτης ευθείας αφαιρείται από την κλίση της δεύτερης ευθείας.

Αν δίνονται οι εξισώσεις μιας ευθείας γενική εικόνα

ΕΝΑ 1 Χ + σι 1 y + ντο 1 = 0,

ΕΝΑ 2 Χ + σι 2 y + ντο 2 = 0, (6)

η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

4. Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των κλίσεων τους:

κ 1 = κ 2 . (8)

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στη γενική μορφή (6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές στις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

5. Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι κλίσεις τους να είναι αντίστροφες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο, δηλ.

Αυτή η συνθήκη μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα

κ 1 κ 2 = -1. (11)

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκή) είναι να πληρούται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0. (12)

6. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (6). Οι ευθείες (6) τέμνονται αν και μόνο αν

1. Να γράψετε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ, εκ των οποίων η μία είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στη δεδομένη ευθεία l.

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Ας θεωρήσουμε δύο επίπεδα α 1 και α 2 που δίνονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις:

Υπό γωνίαανάμεσα σε δύο επίπεδα θα καταλάβουμε ένα από διεδρικές γωνίεςπου σχηματίζονται από αυτά τα επίπεδα. Είναι προφανές ότι η γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων και των επιπέδων α 1 και α 2 είναι ίση με μία από τις υποδεικνυόμενες γειτονικές διεδρικές γωνίες ή . Να γιατί . Επειδή και , έπειτα

.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων Χ+2y-3z+4=0 και 2 Χ+3y+z+8=0.

Συνθήκη παραλληλισμού δύο επιπέδων.

Δύο επίπεδα α 1 και α 2 είναι παράλληλα αν και μόνο αν τα κανονικά τους διανύσματα και είναι παράλληλα, και ως εκ τούτου .

Άρα, δύο επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους αν και μόνο αν οι συντελεστές στις αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογοι:

ή

Συνθήκη καθετότητας επιπέδων.

Είναι σαφές ότι δύο επίπεδα είναι κάθετα εάν και μόνο εάν τα κανονικά τους διανύσματα είναι κάθετα, και επομένως, ή .

Με αυτόν τον τρόπο, .

Παραδείγματα.

ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΜΕΣΗ.

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΗ

Η θέση μιας ευθείας γραμμής στο χώρο καθορίζεται πλήρως καθορίζοντας οποιοδήποτε από τα σταθερά σημεία της Μ 1 και ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτή τη γραμμή.

Ένα διάνυσμα παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται καθοδηγώνταςτο διάνυσμα αυτής της γραμμής.

Αφήστε λοιπόν την ευθεία μεγάλοδιέρχεται από ένα σημείο Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) που βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη προς το διάνυσμα .

Σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y,z)σε ευθεία γραμμή. Από το σχήμα φαίνεται ότι .

Τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, οπότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός t, τι , πού είναι ο πολλαπλασιαστής tμπορεί να δεχτεί οποιοδήποτε αριθμητική αξίαανάλογα με τη θέση του σημείου Μσε ευθεία γραμμή. Παράγοντας tονομάζεται παράμετρος. Δηλώνοντας τα διανύσματα ακτίνας των σημείων Μ 1 και Μαντίστοιχα, μέσω και , λαμβάνουμε . Αυτή η εξίσωση ονομάζεται διάνυσμαευθύγραμμη εξίσωση. Δείχνει ότι κάθε τιμή παραμέτρου tαντιστοιχεί στο διάνυσμα ακτίνας κάποιου σημείου Μξαπλωμένος σε ευθεία γραμμή.

Γράφουμε αυτή την εξίσωση σε μορφή συντεταγμένων. Σημειώσε ότι , και από εδώ

Οι εξισώσεις που προκύπτουν καλούνται παραμετρικήευθύγραμμες εξισώσεις.

Κατά την αλλαγή της παραμέτρου tοι συντεταγμένες αλλάζουν Χ, yκαι zκαι τελεία Μκινείται σε ευθεία γραμμή.

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΗ

Αφήνω Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) - ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή μεγάλο, και είναι το διάνυσμα κατεύθυνσής του. Και πάλι, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή M(x,y,z)και λάβετε υπόψη το διάνυσμα.

Είναι σαφές ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ανάλογες, επομένως

– κανονικόςευθύγραμμες εξισώσεις.

Παρατήρηση 1.Σημειώστε ότι οι κανονικές εξισώσεις της γραμμής θα μπορούσαν να ληφθούν από τις παραμετρικές εξισώσεις εξαλείφοντας την παράμετρο t. Πράγματι, από τις παραμετρικές εξισώσεις παίρνουμε ή .

Παράδειγμα.Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με παραμετρικό τρόπο.

Σημαίνω , ως εκ τούτου Χ = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Παρατήρηση 2.Έστω η ευθεία κάθετη σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα, τον άξονα Βόδι. Τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας είναι κάθετο Βόδι, Συνεπώς, Μ=0. Κατά συνέπεια, οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

Εξάλειψη της παραμέτρου από τις εξισώσεις t, λαμβάνουμε τις εξισώσεις της ευθείας στη μορφή

Ωστόσο, και σε αυτήν την περίπτωση, συμφωνούμε να γράψουμε επίσημα τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας γραμμής στη μορφή . Έτσι, εάν ο παρονομαστής ενός από τα κλάσματα είναι μηδέν, τότε αυτό σημαίνει ότι η ευθεία είναι κάθετη στον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων.

Ομοίως, οι κανονικές εξισώσεις αντιστοιχεί σε μια ευθεία κάθετη στους άξονες Βόδικαι Oyή παράλληλου άξονα Οζ.

Παραδείγματα.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΩΣ ΓΡΑΜΜΗ ΑΝΑΚΟΠΗΣΗΣ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Μέσα από κάθε ευθεία στον χώρο περνά άπειρος αριθμός επιπέδων. Οποιαδήποτε δύο από αυτά, που τέμνονται, το ορίζουν στο χώρο. Επομένως, οι εξισώσεις οποιωνδήποτε δύο τέτοιων επιπέδων, θεωρούμενων μαζί, είναι οι εξισώσεις αυτής της ευθείας.

Σε γενικές γραμμές, οποιαδήποτε δύο παράλληλα επίπεδαδίνονται από τις γενικές εξισώσεις

καθορίσει τη γραμμή τομής τους. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσειςευθεία.

Παραδείγματα.

Κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που δίνεται από εξισώσεις

Για να κατασκευάσουμε μια γραμμή, αρκεί να βρούμε οποιαδήποτε δύο σημεία της. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να επιλέξετε τα σημεία τομής της ευθείας με αεροπλάνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το σημείο τομής με το επίπεδο xOyλαμβάνουμε από τις εξισώσεις μιας ευθείας, υποθέτοντας z= 0:

Λύνοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε το νόημα Μ 1 (1;2;0).

Ομοίως, υποθέτοντας y= 0, παίρνουμε το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο xOz:

Από τις γενικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής μπορεί κανείς να προχωρήσει στις κανονικές ή παραμετρικές της εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο Μ 1 στη γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής.

Συντεταγμένες σημείων Μ 1 λαμβάνουμε από αυτό το σύστημα εξισώσεων, δίνοντας σε μία από τις συντεταγμένες μια αυθαίρετη τιμή. Για να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης, σημειώστε ότι αυτό το διάνυσμα πρέπει να είναι κάθετο και στα δύο κανονικά διανύσματα και . Επομένως, για το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας μεγάλομπορείτε να πάρετε το διασταυρούμενο γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων:

.

Παράδειγμα.Να δώσετε τις γενικές εξισώσεις της ευθείας στην κανονική μορφή.

Βρείτε ένα σημείο σε ευθεία γραμμή. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε αυθαίρετα μία από τις συντεταγμένες, για παράδειγμα, y= 0 και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων που ορίζουν τη γραμμή έχουν συντεταγμένες Επομένως, το διάνυσμα κατεύθυνσης θα είναι ευθύ

. Συνεπώς, μεγάλο: .

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ

γωνίαμεταξύ ευθειών στο χώρο θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου παράλληλου στα δεδομένα.

Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα:

Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε