Ορισμός. Οι τύποι μείωσης είναι τύποι που σας επιτρέπουν να μεταβείτε από τριγωνομετρικές συναρτήσειςευγενικοί με τις συναρτήσεις ορίσματος. Με τη βοήθειά τους, το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας αυθαίρετης γωνίας μπορούν να μειωθούν στο ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας από 0 έως 90 μοίρες (από 0 έως ακτίνια). Έτσι, οι τύποι μείωσης μας επιτρέπουν να προχωρήσουμε στην εργασία με γωνίες εντός 90 μοιρών, κάτι που είναι αναμφίβολα πολύ βολικό.
Φόρμουλες Cast:
Υπάρχουν δύο κανόνες για τη χρήση τύπων χυτού.
1. Εάν η γωνία μπορεί να παρασταθεί ως (π/2 ±a) ή (3*π/2 ±a), τότε αλλάζει το όνομα της συνάρτησης sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Εάν η γωνία μπορεί να παρασταθεί ως (π ±a) ή (2*π ±a), τότε το όνομα της συνάρτησης παραμένει αμετάβλητο.
Κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα, δείχνει σχηματικά πότε πρέπει να αλλάξει το σύμβολο και πότε όχι.
2. Σήμα μειωμένης λειτουργίας παραμένει το ίδιο. Εάν η αρχική συνάρτηση είχε πρόσημο συν, τότε η μειωμένη συνάρτηση έχει επίσης πρόσημο συν. Εάν η αρχική συνάρτηση είχε πρόσημο μείον, τότε η μειωμένη συνάρτηση έχει επίσης πρόσημο μείον.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τα σημάδια των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ανάλογα με το τέταρτο.
Παράδειγμα:
Υπολογίζω
Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους μείωσης:
Το Sin(150˚) βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, μπορούμε να δούμε από το σχήμα ότι το πρόσημο της αμαρτίας σε αυτό το τέταρτο είναι ίσο με "+". Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω συνάρτηση θα έχει και σύμβολο «+». Εφαρμόσαμε τον δεύτερο κανόνα.
Τώρα 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ είναι π/2. Δηλαδή, έχουμε να κάνουμε με την περίπτωση π / 2 + 60, επομένως, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα, αλλάζουμε τη συνάρτηση από sin σε cos. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Υπάρχουν δύο κανόνες για τη χρήση τύπων χυτού.
1. Εάν η γωνία μπορεί να παρασταθεί ως (π/2 ±a) ή (3*π/2 ±a), τότε αλλάζει το όνομα της συνάρτησης sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Εάν η γωνία μπορεί να παρασταθεί ως (π ±a) ή (2*π ±a), τότε το όνομα της συνάρτησης παραμένει αμετάβλητο.
Κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα, δείχνει σχηματικά πότε πρέπει να αλλάξει το σύμβολο και πότε όχι.
2. Ο κανόνας «όπως ήσουν, έτσι παραμένεις».
Το πρόσημο της μειωμένης συνάρτησης παραμένει το ίδιο. Εάν η αρχική συνάρτηση είχε πρόσημο συν, τότε η μειωμένη συνάρτηση έχει επίσης πρόσημο συν. Εάν η αρχική συνάρτηση είχε πρόσημο μείον, τότε η μειωμένη συνάρτηση έχει επίσης πρόσημο μείον.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τα σημάδια των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ανάλογα με το τέταρτο.
Υπολογισμός αμαρτίας (150˚)
Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους μείωσης:
Το Sin(150˚) βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, μπορούμε να δούμε από το σχήμα ότι το σημάδι της αμαρτίας σε αυτό το τέταρτο είναι +. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω συνάρτηση θα έχει και πρόσημο συν. Εφαρμόσαμε τον δεύτερο κανόνα.
Τώρα 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ είναι π/2. Δηλαδή, έχουμε να κάνουμε με την περίπτωση π / 2 + 60, επομένως, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα, αλλάζουμε τη συνάρτηση από sin σε cos. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Εάν είναι επιθυμητό, όλοι οι τύποι μείωσης μπορούν να συνοψιστούν σε έναν πίνακα. Αλλά είναι ακόμα πιο εύκολο να θυμάστε αυτούς τους δύο κανόνες και να τους χρησιμοποιήσετε.
Χρειάζεστε βοήθεια με τις σπουδές σας;
Προηγούμενο θέμα:
Θέμα μαθήματος
- Αλλαγή στο ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη καθώς αυξάνεται η γωνία.
Στόχοι μαθήματος
- Εξοικειωθείτε με νέους ορισμούς και θυμηθείτε μερικούς που έχουν ήδη μελετηθεί.
- Εξοικειωθείτε με το μοτίβο των αλλαγών στις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης με αυξανόμενη γωνία.
- Αναπτυξιακή - ανάπτυξη της προσοχής, της επιμονής, της επιμονής των μαθητών, λογική σκέψη, μαθηματικός λόγος.
- Εκπαιδευτικό - μέσα από ένα μάθημα, να καλλιεργήσει μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλο, να ενσταλάξει την ικανότητα να ακούει τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια, την ανεξαρτησία.
Στόχοι μαθήματος
- Ελέγξτε τις γνώσεις των μαθητών.
Πλάνο μαθήματος
- Επανάληψη υλικού που έχει μάθει προηγουμένως.
- Επαναλαμβανόμενες εργασίες.
- Αλλαγή στο ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη καθώς αυξάνεται η γωνία.
- Πρακτική χρήση.
Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως
Ας ξεκινήσουμε από την αρχή και ας θυμηθούμε τι θα είναι χρήσιμο για να φρεσκάρετε τη μνήμη σας. Τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη και σε ποιο τμήμα της γεωμετρίας ανήκουν αυτές οι έννοιες.
Τριγωνομετρία- αυτή είναι μια τόσο σύνθετη ελληνική λέξη: τρίγωνο - τρίγωνο, μετρό - για μέτρηση. Επομένως, στα ελληνικά σημαίνει: μετριέται με τρίγωνα.
Μαθήματα > Μαθηματικά > Μαθηματικά 8η τάξηΜάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Εφαρμογή τύπων αναγωγής στην επίλυση προβλημάτων"
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για τη 10η τάξη
1Γ: Σχολείο. Διαδραστικές εργασίες κατασκευής για τις τάξεις 7-10
1Γ: Σχολείο. Λύνουμε προβλήματα στη γεωμετρία. Διαδραστικές εργασίες για οικοδόμηση στο χώρο για τις τάξεις 10-11
Τι θα μελετήσουμε:
1. Ας επαναλάβουμε λίγο.
2. Κανόνες για τύπους αναγωγής.
3. Πίνακας μετασχηματισμών για τύπους αναγωγής.
4. Παραδείγματα.
Επανάληψη τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Παιδιά, έχετε ήδη συναντήσει φόρμουλες φαντασμάτων, αλλά δεν έχουν ονομαστεί ακόμα έτσι. Που νομίζεις?
Δείτε τα σχέδια μας. Σωστά, όταν εισήγαγαν τους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Κανόνας για τύπους μείωσης
Ας εισάγουμε τον βασικό κανόνα: Εάν το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης περιέχει έναν αριθμό της μορφής π×n/2 + t, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε η τριγωνομετρική μας συνάρτηση μπορεί να μειωθεί σε περισσότερους κοινή θέα, το οποίο θα περιέχει μόνο το όρισμα t. Τέτοιοι τύποι ονομάζονται τύποι φάντασμα.
Ας θυμηθούμε μερικούς τύπους:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- sin(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tg(t + π*k) = tg(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
υπάρχουν πολλοί τύποι φαντασμάτων, ας φτιάξουμε έναν κανόνα με τον οποίο θα προσδιορίσουμε τις τριγωνομετρικές μας συναρτήσεις όταν χρησιμοποιούμε φόρμουλες φαντασμάτων:
- Εάν το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης περιέχει αριθμούς της μορφής: π + t, π - t, 2π + t και 2π - t, τότε η συνάρτηση δεν θα αλλάξει, δηλαδή, για παράδειγμα, το ημίτονο θα παραμείνει ημίτονο, το η συνεφαπτομένη θα παραμείνει συνεφαπτομένη.
- Αν το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης περιέχει αριθμούς της μορφής: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t και 3π/2 - t, τότε η συνάρτηση θα αλλάξει σε σχετική, δηλαδή το ημίτονο θα γίνει συνημίτονο, η συνεφαπτομένη θα γίνει εφαπτομένη. - Πριν από τη συνάρτηση που προκύπτει, πρέπει να βάλετε το πρόσημο που θα είχε η συνάρτηση που μετατράπηκε εάν 0
Αυτοί οι κανόνες ισχύουν επίσης όταν το όρισμα συνάρτησης είναι σε μοίρες!
Μπορούμε επίσης να φτιάξουμε έναν πίνακα μετατροπών τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
Παραδείγματα χρήσης τύπων αναγωγής
1. Ας μετασχηματίσουμε cos(π + t). Το όνομα της συνάρτησης παραμένει, δηλ. παίρνουμε cos(t). Στη συνέχεια, ας υποθέσουμε ότι π/2 
2. Μετασχηματίστε την αμαρτία (π/2 + t). Το όνομα της συνάρτησης αλλάζει, π.χ. παίρνουμε cos(t). Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Ας μετασχηματίσουμε tg(π + t). Το όνομα της συνάρτησης παραμένει, δηλ. παίρνουμε tg(t). Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι το 0 
4. Ας μετατρέψουμε το ctg(270 0 + t). Το όνομα της συνάρτησης αλλάζει, δηλαδή παίρνουμε tg(t). Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι το 0 
Προβλήματα με τύπους αναγωγής για ανεξάρτητη λύση
Παιδιά, μετατρέψτε τον εαυτό σας χρησιμοποιώντας τους κανόνες μας:
1) tg(π + t),
2) tg (2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg (π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) αμαρτία (2π + t),
7) αμαρτία (π/2 + 5t),
8) αμαρτία (π/2 - t),
9) αμαρτία (2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
Πώς να θυμάστε τους τύπους για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων; Είναι εύκολο αν χρησιμοποιείς έναν συσχετισμό. Αυτός ο συσχετισμός δεν επινοήθηκε από εμένα. Όπως ήδη αναφέρθηκε, μια καλή σχέση πρέπει να «κολλάει», δηλαδή να προκαλεί ζωηρά συναισθήματα. Δεν μπορώ να ονομάσω θετικά τα συναισθήματα που προκαλεί αυτή η συσχέτιση. Αλλά δίνει ένα αποτέλεσμα - σας επιτρέπει να θυμάστε τους τύπους μείωσης, πράγμα που σημαίνει ότι έχει το δικαίωμα να υπάρχει. Άλλωστε, αν δεν σας αρέσει, δεν χρειάζεται να το χρησιμοποιήσετε, σωστά;
Οι τύποι αναγωγής είναι: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Θυμόμαστε ότι το +α δίνει αριστερόστροφη κίνηση, - α - δεξιόστροφη κίνηση.
Για να εργαστείτε με τους τύπους μείωσης, χρειάζονται δύο σημεία:
1) βάζουμε το πρόσημο που έχει η αρχική συνάρτηση (στα σχολικά βιβλία γράφουν: αναγώγιμη. Αλλά, για να μην μπερδευτούμε, καλύτερα να την ονομάσουμε αρχική), αν θεωρήσουμε α ως γωνία του πρώτου τετάρτου, ότι είναι μικρό.
2) Οριζόντια διάμετρος - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - γενικά, όταν δεν υπάρχει κλάσμα, το όνομα της συνάρτησης δεν αλλάζει. Κατακόρυφο π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - όταν υπάρχει κλάσμα, το όνομα της συνάρτησης αλλάζει: ημίτονο - σε συνημίτονο, συνημίτονο - σε ημίτονο, εφαπτομένη - σε συνεφαπτομένη και συνεφαπτομένη - σε εφαπτομένη. 
Τώρα, στην πραγματικότητα, η ένωση:
κατακόρυφη διάμετρος (υπάρχει ένα κλάσμα) -
μεθυσμένες στάσεις. Τι θα του γίνει νωρίς
ή αργά; Σωστά, θα πέσει.
Το όνομα της συνάρτησης θα αλλάξει.
Εάν η διάμετρος είναι οριζόντια, ο μεθυσμένος είναι ήδη ξαπλωμένος. Μάλλον κοιμάται. Δεν θα του συμβεί τίποτα, έχει ήδη πάρει οριζόντια θέση. Κατά συνέπεια, το όνομα της συνάρτησης δεν αλλάζει.
Δηλαδή sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) κ.λπ. δίνω ±cosα,
και sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.
Όπως ήδη γνωρίζουμε.
Πως δουλεύει? Ας δούμε παραδείγματα.
1) cos(π/2+α)=?
Γινόμαστε στο π/2. Αφού +α σημαίνει πάμε μπροστά, αριστερόστροφα. Πέφτουμε στο ΙΙ τέταρτο, όπου το συνημίτονο έχει το πρόσημο «-». Το όνομα της συνάρτησης αλλάζει («μεθυσμένος στέκεται», που σημαίνει ότι θα πέσει). Ετσι,
cos(π/2+α)=-sina.
Γινόμαστε 2π. Αφού -α - πηγαίνουμε πίσω, δηλαδή δεξιόστροφα. Πέφτουμε στο τέταρτο IV, όπου η εφαπτομένη έχει πρόσημο "-". Το όνομα της συνάρτησης δεν αλλάζει (η διάμετρος είναι οριζόντια, "ο μεθυσμένος είναι ήδη ψέματα"). Έτσι, tg(2π-α)=- tgα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Παραδείγματα στα οποία η συνάρτηση αυξάνεται σε ομοιόμορφη ισχύ είναι ακόμη πιο εύκολο να επιλυθούν. Ο ζυγός βαθμός "-" καταργείται, δηλαδή, απλά πρέπει να μάθετε εάν το όνομα της συνάρτησης αλλάζει ή παραμένει. Η διάμετρος είναι κάθετη (υπάρχει ένα κλάσμα, "ο μεθυσμένος στέκεται", θα πέσει), το όνομα της συνάρτησης αλλάζει. Παίρνουμε: ctg²(3π/2-α)= tg²α.