Δίνονται οι λόγοι μεταξύ των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων - ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης τριγωνομετρικούς τύπους. Και δεδομένου ότι υπάρχουν πολλές συνδέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό εξηγεί επίσης την αφθονία των τριγωνομετρικών τύπων. Ορισμένοι τύποι συνδέουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ίδιας γωνίας, άλλοι - οι συναρτήσεις μιας πολλαπλής γωνίας, άλλοι - σας επιτρέπουν να μειώσετε τη μοίρα, ο τέταρτος - να εκφράσετε όλες τις συναρτήσεις μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας κ.λπ.
Σε αυτό το άρθρο, θα παραθέσουμε με τη σειρά όλα τα κύρια τριγωνομετρικούς τύπους, που επαρκούν για την επίλυση της συντριπτικής πλειοψηφίας των τριγωνομετρικών προβλημάτων. Για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης, θα τα ομαδοποιήσουμε ανάλογα με το σκοπό τους και θα τα καταχωρήσουμε σε πίνακες.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Κύριος τριγωνομετρικές ταυτότητες ορίστε τη σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, καθώς και της έννοιας του μοναδιαίου κύκλου. Σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση μέσω οποιασδήποτε άλλης.
Για μια λεπτομερή περιγραφή αυτών των τύπων τριγωνομετρίας, τα παραδείγματα παραγωγής και εφαρμογής τους, δείτε το άρθρο.
Φόρμουλες cast
Φόρμουλες castπροκύπτουν από τις ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, του εφαπτομένου και του συνεφαπτομένου, δηλαδή αντανακλούν την ιδιότητα της περιοδικότητας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, την ιδιότητα συμμετρίας, καθώς και την ιδιότητα shift by δεδομένη γωνία. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από μηδέν έως 90 μοίρες.
Το σκεπτικό αυτών των τύπων, ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευσή τους και παραδείγματα εφαρμογής τους μπορούν να μελετηθούν στο άρθρο.
Τύποι προσθήκης
Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσηςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για την παραγωγή των ακόλουθων τριγωνομετρικών τύπων.
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία (λέγονται και τύποι πολλαπλών γωνιών) δείχνουν πώς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλού, τριπλού κ.λπ. Οι γωνίες () εκφράζονται ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μόνο γωνίας. Η παραγωγή τους βασίζεται σε τύπους πρόσθεσης.
Αναλυτικότερες πληροφορίες συλλέγονται στους τύπους του άρθρου για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία .
Φόρμουλες μισής γωνίας
Φόρμουλες μισής γωνίαςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μισής γωνίας ως προς το συνημίτονο μιας ακέραιας γωνίας. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους τύπους διπλής γωνίας.
Το συμπέρασμά τους και παραδείγματα εφαρμογής βρίσκονται στο άρθρο.
Φόρμουλες μείωσης
Τριγωνομετρικοί τύποι για φθίνουσες μοίρεςέχουν σχεδιαστεί για να διευκολύνουν τη μετάβαση από τις φυσικές δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ημίτονο και συνημίτονο στον πρώτο βαθμό, αλλά σε πολλαπλές γωνίες. Με άλλα λόγια, επιτρέπουν σε κάποιον να μειώσει τις δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πρώτη.
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Ο κύριος σκοπός τύποι αθροίσματος και διαφοράς για τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι να περάσει στο γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικές εκφράσεις. Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού επιτρέπουν την παραγοντοποίηση του αθροίσματος και της διαφοράς ημιτόνων και συνημιτόνων.
Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτονοειδών συνημιτόνων
Η μετάβαση από το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άθροισμα ή τη διαφορά πραγματοποιείται μέσω των τύπων για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.
Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση
Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας με τύπους που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας. Αυτή η αντικατάσταση ονομάζεται καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση. Η ευκολία του έγκειται στο γεγονός ότι όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εκφράζονται σε όρους εφαπτομένης μισής γωνίας ορθολογικά χωρίς ρίζες.
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα: Proc. για 9 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Διαφωτισμός, 1990.- 272 σελ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Μπασμάκοφ Μ.Ι.Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
- Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές
Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του ιστότοπου δεν περιλαμβάνει εσωτερικά υλικάκαι εμφάνιση, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.
Τώρα θα εξετάσουμε το ερώτημα πώς να σχεδιάσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλών γωνιών ωx, Οπου ω είναι κάποιος θετικός αριθμός.
Για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = αμαρτία ωxΑς συγκρίνουμε αυτή τη συνάρτηση με τη συνάρτηση που έχουμε ήδη μελετήσει y = sinx. Ας υποθέσουμε ότι στις x = x 0 λειτουργία y = αμαρτία xπαίρνει μια τιμή ίση με 0. Επειτα
y 0 = αμαρτία Χ 0 .
Ας μετατρέψουμε αυτή την αναλογία ως εξής:
Επομένως, η συνάρτηση y = αμαρτία ωxστο Χ = Χ 0 / ω παίρνει την ίδια τιμή στο 0 , που είναι η συνάρτηση y = αμαρτία xστο x = Χ 0 . Και αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση y = αμαρτία ωxεπαναλαμβάνει τις αξίες του σε ω φορές πιο συχνά από τη συνάρτηση y = sinx. Άρα το γράφημα της συνάρτησης y = αμαρτία ωxπου προκύπτει με «συμπίεση» της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = sinx V ω φορές κατά μήκος του άξονα x.
Για παράδειγμα, το γράφημα της συνάρτησης y \u003d αμαρτία 2xπου λαμβάνεται με «συμπίεση» του ημιτονοειδούς y = sinxδύο φορές κατά μήκος της τετμημένης.
Γράφημα συνάρτησης y \u003d αμαρτία x / 2 που λαμβάνεται με "τέντωμα" του ημιτονοειδούς y \u003d sin x δύο φορές (ή "συμπίεση" σε 1 / 2 φορές) κατά μήκος του άξονα x.
Από τη λειτουργία y = αμαρτία ωxεπαναλαμβάνει τις αξίες του σε ω
φορές πιο συχνά από τη συνάρτηση
y = sinx, τότε η περίοδος του μέσα ω
φορές μικρότερη από την περίοδο της συνάρτησης y = sinx. Για παράδειγμα, η περίοδος της συνάρτησης y \u003d αμαρτία 2xισοδυναμεί 2π / 2 = π
, και την περίοδο της συνάρτησης y \u003d αμαρτία x / 2
ισοδυναμεί π
/
Χ / 2
= 4π .
Είναι ενδιαφέρον να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης y \u003d αμαρτία τσεκούριστο παράδειγμα του animation, το οποίο μπορεί να δημιουργηθεί πολύ εύκολα στο πρόγραμμα σφεντάμι:
Ομοίως, κατασκευάζονται γραφήματα για άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλών γωνιών. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y = cos 2x, το οποίο λαμβάνεται με «συμπίεση» του συνημιτόνου y = cos xδύο φορές κατά μήκος του άξονα x.
Γράφημα συνάρτησης y = cos x / 2 που λαμβάνεται με «τέντωμα» του συνημιτονοειδούς κύματος y = cos xδύο φορές κατά μήκος του άξονα x.
Στο σχήμα βλέπετε ένα γράφημα της συνάρτησης y = tg 2x, που λαμβάνεται με «συμπίεση» της εφαπτομενικής y = tg xδύο φορές κατά μήκος της τετμημένης.
Γράφημα συνάρτησης y = tg Χ / 2 , που λαμβάνεται με «τέντωμα» της εφαπτομενικής y = tg xδύο φορές κατά μήκος του άξονα x.
Και τέλος, το animation που εκτελείται από το πρόγραμμα σφεντάμι:
Γυμνάσια
1. Κατασκευάστε γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και υποδείξτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής αυτών των γραφημάτων με τους άξονες συντεταγμένων. Προσδιορίστε τις περιόδους αυτών των συναρτήσεων.
ΕΝΑ). y=αμαρτία 4x / 3 ΣΟΛ). y=tg 5x / 6 και). y = κοσ 2x / 3
σι). y= συν 5x / 3 μι). y=ctg 5x / 3 η). y=ctg Χ / 3
V). y=tg 4x / 3 μι). y = αμαρτία 2x / 3
2. Καθορισμός περιόδων συνάρτησης y \u003d αμαρτία (πx)Και y = tg (πχ / 2).
3. Δώστε δύο παραδείγματα μιας συνάρτησης που παίρνει όλες τις τιμές από -1 έως +1 (συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο αριθμών) και αλλάζει περιοδικά με περίοδο 10.
4 *. Δώστε δύο παραδείγματα συναρτήσεων που παίρνουν όλες τις τιμές από το 0 έως το 1 (συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο αριθμών) και αλλάζουν περιοδικά με μια τελεία π / 2.
5. Δώστε δύο παραδείγματα συναρτήσεων που λαμβάνουν όλες τις πραγματικές τιμές και αλλάζουν περιοδικά με την περίοδο 1.
6 *. Δώστε δύο παραδείγματα συναρτήσεων που δέχονται όλες τις αρνητικές τιμές και το μηδέν, αλλά δεν τις αποδέχονται θετικές αξίεςκαι αλλάζουν περιοδικά με περίοδο 5.
Στην τριγωνομετρία, πολλοί τύποι είναι ευκολότερο να συναχθούν παρά να απομνημονευτούν. Το συνημίτονο διπλής γωνίας είναι ένας υπέροχος τύπος! Σας επιτρέπει να λαμβάνετε τους τύπους μείωσης και τους τύπους μισής γωνίας.
Άρα, χρειαζόμαστε το συνημίτονο της διπλής γωνίας και την τριγωνομετρική μονάδα:
Είναι ακόμη παρόμοια: στον τύπο του συνημιτόνου διπλής γωνίας - η διαφορά μεταξύ των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου, και στην τριγωνομετρική μονάδα - το άθροισμά τους. Αν εκφράσουμε το συνημίτονο από την τριγωνομετρική μονάδα:
και το αντικαθιστούμε στο συνημίτονο της διπλής γωνίας, παίρνουμε:
Αυτός είναι ένας άλλος τύπος για το συνημίτονο διπλής γωνίας:
Αυτός ο τύπος είναι το κλειδί για τη λήψη του τύπου μείωσης:
Έτσι, ο τύπος για τη μείωση του βαθμού του ημιτονοειδούς είναι:
Εάν η γωνία άλφα σε αυτό αντικατασταθεί από τη μισή γωνία άλφα στο μισό, και διπλή γωνίαδύο άλφα - από τη γωνία άλφα, τότε παίρνουμε τον τύπο μισής γωνίας για το ημίτονο:
Τώρα, από την τριγωνομετρική μονάδα, εκφράζουμε το ημίτονο:
Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στον τύπο για το συνημίτονο διπλής γωνίας:
Έχουμε έναν άλλο τύπο για το συνημίτονο διπλής γωνίας:
Αυτός ο τύπος είναι το κλειδί για την εύρεση της φόρμουλας αναγωγής συνημιτόνου και μισής γωνίας για το συνημίτονο.
Έτσι, ο τύπος για τη μείωση του βαθμού συνημιτόνου είναι:
Αν αντικαταστήσουμε το α με α/2 σε αυτό και το 2α με α, τότε παίρνουμε τον τύπο για το μισό όρισμα για το συνημίτονο:
Εφόσον η εφαπτομένη είναι η αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο, ο τύπος για την εφαπτομένη είναι:
Η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο. Άρα ο τύπος για την συνεφαπτομένη είναι:
Φυσικά, στη διαδικασία της απλοποίησης των τριγωνομετρικών εκφράσεων, δεν έχει νόημα η εξαγωγή τύπων μισής γωνίας ή η μείωση του βαθμού κάθε φορά. Είναι πολύ πιο εύκολο να βάλεις ένα φύλλο φόρμουλες μπροστά σου. Και η απλοποίηση θα προχωρήσει πιο γρήγορα και η οπτική μνήμη θα ενεργοποιηθεί για απομνημόνευση.
Αλλά εξακολουθεί να αξίζει να εξάγουμε αυτούς τους τύπους αρκετές φορές. Τότε θα είστε απολύτως σίγουροι ότι κατά τη διάρκεια της εξέτασης, όταν δεν υπάρχει τρόπος να χρησιμοποιήσετε ένα cheat sheet, μπορείτε να το αποκτήσετε εύκολα εάν παραστεί ανάγκη.