Συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών
Σε αυτή την ενότητα, θα αποδειχθούν οι ακόλουθοι δύο τύποι:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Συνημίτονο του αθροίσματος (διαφορά) δύο γωνιών είναι ίσο με το γινόμενοσυνημίτονα αυτών των γωνιών μείον (συν) το γινόμενο των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες α Και β πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη από 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Έστω το θετικό τμήμα του άξονα 0x η κοινή αρχική πλευρά των γωνιών α Και β .
Ας υποδηλώσουμε τις ακραίες πλευρές αυτών των γωνιών ως 0A και 0B, αντίστοιχα. Προφανώς η γωνία α - β μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία κατά την οποία είναι απαραίτητο να περιστραφεί η δέσμη 0B γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα έτσι ώστε η διεύθυνση της να συμπίπτει με την κατεύθυνση της δέσμης 0Α.
Στις ακτίνες 0Α και 0Β σημειώνουμε τα σημεία Μ και Ν, που βρίσκονται σε απόσταση 1 από την αρχή των συντεταγμένων 0, έτσι ώστε 0Μ = 0Ν = 1.
Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, το σημείο M έχει συντεταγμένες ( cosα, sina), και σημείο N - συντεταγμένες ( cos β , sin β). Άρα το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Στους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Τώρα εξετάστε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων B0C, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους άξονες 0x και 0y γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα κατά γωνία β .
Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (cos ( α - β ), αμαρτία ( α - β )), και το σημείο είναι Ν-συντεταγμένες (1,0). Άρα το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:
d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ αμαρτία 2 (α - β) \u003d 2.
Αλλά η απόσταση μεταξύ των σημείων Μ και Ν δεν εξαρτάται από το ποιο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε αυτά τα σημεία. Να γιατί
δ 1 2 = δ 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Εδώ ακολουθεί ο τύπος (2).
Τώρα θα πρέπει να θυμηθούμε αυτούς τους δύο περιορισμούς που έχουμε επιβάλει για την απλότητα της παρουσίασης στις γωνίες α Και β .
Η απαίτηση ότι κάθε μία από τις γωνίες α Και β ήταν μη αρνητικό, όχι πραγματικά σημαντικό. Άλλωστε, μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2n μπορεί να προστεθεί σε οποιαδήποτε από αυτές τις γωνίες, κάτι που δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο την εγκυρότητα του τύπου (2). Ομοίως, από καθεμία από τις δεδομένες γωνίες, μπορείτε να αφαιρέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2π. Ως εκ τούτου, μπορεί να θεωρηθεί ότι 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Ο όρος α > β . Πράγματι, αν α < β , Οτι β >α ; επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την ομαλότητα της συνάρτησης cos Χ , παίρνουμε:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + αμαρτία β sin α,
που ουσιαστικά συμπίπτει με τον τύπο (2). Έτσι ο τύπος
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
ισχύει για όλες τις γωνίες α Και β . Ειδικότερα, με αντικατάσταση β επί - β και δεδομένου ότι η συνάρτηση cosΧ είναι άρτιο και η συνάρτηση αμαρτίαΧ περίεργο, παίρνουμε:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + αμαρτία α αμαρτία (-β) =
\u003d cos α cos β - sin α sin β,
που αποδεικνύει τον τύπο (1).
Έτσι, αποδεικνύονται οι τύποι (1) και (2).
Παραδείγματα.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Γυμνάσια
1 . Υπολογίστε χωρίς τη χρήση τριγωνομετρικών πινάκων:
α) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
β) αμαρτία 3° αμαρτία 42° - συν 39° συν 42°;
γ) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
δ) αμαρτία 97° αμαρτία 37° + συν 37° συν 97°;
ε) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;
ε) αμαρτία 3π / 5 αμαρτία 7π / 5 - συν 3π / 5 συν 7π / 5 .
2.Απλοποιήστε τις εκφράσεις:
ένα). cos( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .
σι). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + αμαρτία (36° + α ) αμαρτία ( α - 24°).
V). αμαρτία (π / 4 - α ) αμαρτία (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
δ) συν 2 α +tg α αμαρτία 2 α .
3 . Υπολογίζω :
ένα) cos (α - β), Αν
cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
β) cos ( α + π / 6) αν συν α = 0,6;
3π / 2< α < 2π.
4 . Εύρημα cos(α + β)και συν (α - β) , αν είναι γνωστό ότι η αμαρτία α = 7 / 25 κοσ β = - 5 / 13 και οι δύο γωνίες ( α Και β ) λήγει στο ίδιο τρίμηνο.
5 .Υπολογίζω:
ΕΝΑ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
σι). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]
Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων για δύο γωνίες α και β σάς επιτρέπουν να μεταβείτε από το άθροισμα των υποδεικνυόμενων γωνιών στο γινόμενο των γωνιών α + β 2 και α - β 2 . Σημειώνουμε αμέσως ότι δεν πρέπει να συγχέετε τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων με τους τύπους για τα ημίτονο και τα συνημίτονα του αθροίσματος και της διαφοράς. Παρακάτω παραθέτουμε αυτούς τους τύπους, δίνουμε την παράγωγή τους και δείχνουμε παραδείγματα εφαρμογής για συγκεκριμένα προβλήματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Ας γράψουμε πώς μοιάζουν οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο
αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για συνημίτονα
cos α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 συν α - συν β = - 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2, συν α - συν β = 2 αμαρτία α + β 2 β - α 2
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β. Οι γωνίες α + β 2 και α - β 2 ονομάζονται, αντίστοιχα, μισό άθροισμα και μισή διαφορά των γωνιών άλφα και βήτα. Δίνουμε ένα σκεύασμα για κάθε τύπο.
Ορισμοί τύπων αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα
Το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημιαθροίσματος αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς.
Διαφορά ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος.
Το άθροισμα των συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών.
Διαφορά συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημι-αθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών, που λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο.
Παραγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά του ημιτόνου και του συνημιτόνου δύο γωνιών, χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης. Τις παρουσιάζουμε παρακάτω
αμαρτία (α + β) = αμαρτία α cos β + cos α αμαρτία β sin (α - β) = αμαρτία α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - αμαρτία α αμαρτία β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Αντιπροσωπεύουμε επίσης τις ίδιες τις γωνίες ως άθροισμα μισών αθροισμάτων και μισών διαφορών.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Προχωράμε απευθείας στην παραγωγή των τύπων αθροίσματος και διαφοράς για το sin και το cos.
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων
Στο άθροισμα sin α + sin β, αντικαθιστούμε τα α και β με τις εκφράσεις για αυτές τις γωνίες που δίνονται παραπάνω. Παίρνω
αμαρτία α + αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2
Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο προσθήκης στην πρώτη παράσταση και τον τύπο ημιτόνου των διαφορών γωνίας στη δεύτερη (δείτε τους παραπάνω τύπους)
αμαρτία α + β 2 + α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2
αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α + β 2 cos α - β 2
Τα βήματα για την εξαγωγή των υπόλοιπων τύπων είναι παρόμοια.
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά ημιτόνων
αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 - αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α - β 2 cos α + β 2
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των συνημίτονων
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 + συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 συν α + β 2 cos α - β 2
Παραγωγή του τύπου διαφοράς συνημιτόνου
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 - συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = - 2 αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2
Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων
Αρχικά, θα ελέγξουμε έναν από τους τύπους αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές γωνίας σε αυτόν. Έστω α = π 2 , β = π 6 . Ας υπολογίσουμε την τιμή του αθροίσματος των ημιτόνων αυτών των γωνιών. Αρχικά, χρησιμοποιούμε τον πίνακα με τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων.
Παράδειγμα 1. Έλεγχος του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών
α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που οι τιμές των γωνιών διαφέρουν από τις βασικές τιμές που παρουσιάζονται στον πίνακα. Έστω α = 165°, β = 75°. Ας υπολογίσουμε την τιμή της διαφοράς μεταξύ των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Παράδειγμα 2. Εφαρμογή του τύπου ημιτονικής διαφοράς
α = 165 ° , β = 75 ° αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° αμαρτία 165 - αμαρτία 75 = 2 αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° 2 συν 165 ° + αμαρτία 75 ° 2 = = 2 αμαρτία 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων, μπορείτε να μεταβείτε από το άθροισμα ή τη διαφορά στο γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι για τη μετάβαση από το άθροισμα στο προϊόν. Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων χρησιμοποιούνται ευρέως στη λύση τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Εντολή
Χρησιμοποιήστε τις γνώσεις σας για την επιπεδομετρία για να εκφράσετε κόλποςμέσω συν κόλπος. Εξ ορισμού, κόλπος ohm μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μήκους απέναντι από και προς κόλπος om - το διπλανό πόδι στην υποτείνουσα. Ακόμη και η γνώση του Πυθαγόρειου θεωρήματος θα σας επιτρέψει να βρείτε γρήγορα τον επιθυμητό μετασχηματισμό σε ορισμένες περιπτώσεις.
εξπρές κόλποςμέσω συν κόλπος, χρησιμοποιώντας την απλούστερη τριγωνομετρική ταυτότητα, σύμφωνα με την οποία το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των μεγεθών δίνει ενότητα. Λάβετε υπόψη ότι μπορείτε να ολοκληρώσετε σωστά την εργασία μόνο εάν γνωρίζετε ότι η επιθυμητή γωνία είναι στο τέταρτο, διαφορετικά θα έχετε δύο πιθανά αποτελέσματα - με ένα θετικό και ένα πρόσημο.
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
Υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρές a, b, c ίσες με 3, 4, 5 mm, αντίστοιχα.
Εύρημα συνημίτονοη γωνία που περικλείεται μεταξύ των μεγάλων πλευρών.
Ας υποδηλώσουμε τη γωνία απέναντι από την πλευρά a διαμπερής;, τότε, σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, έχουμε:
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8
Απάντηση: 0,8.
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε για να βρείτε συνημίτονοκαι αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη οποιωνδήποτε δύο πλευρών της γωνίας ( συνημίτονο ορθή γωνίαισούται με 0).
Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές a, b, c, όπου c είναι η υποτείνουσα.
Εξετάστε όλες τις επιλογές:
Να βρείτε το cos αν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών a και b (τριγώνου).
Ας χρησιμοποιήσουμε επιπλέον το Πυθαγόρειο θεώρημα:
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
Για την ορθότητα του προκύπτοντος τύπου, τον αντικαθιστούμε από το παράδειγμα 1, δηλ.
Έχοντας κάνει στοιχειώδεις υπολογισμούς, παίρνουμε:
Ομοίως, υπάρχει συνημίτονοσε ορθογώνιο τρίγωνοσε άλλες περιπτώσεις:
Γνωστά α και γ (υποτείνουσα και αντίθετο πόδι), βρες cos;
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.
Αντικαθιστώντας τις τιμές a=3 και c=5 από το παράδειγμα, παίρνουμε:
Τα β και γ είναι γνωστά (η υποτείνουσα και το διπλανό σκέλος).
Βρε sos;
Έχοντας πραγματοποιήσει παρόμοιους μετασχηματισμούς (που φαίνεται στα παραδείγματα 2 και 3), λαμβάνουμε ότι σε αυτή την περίπτωση συνημίτονο V τρίγωνουπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν πολύ απλό τύπο:
Η απλότητα του παραγόμενου τύπου εξηγείται με στοιχειώδη τρόπο: στην πραγματικότητα, δίπλα στη γωνία; το σκέλος είναι μια προβολή της υποτείνουσας, το μήκος του είναι ίσο με το μήκος της υποτείνουσας πολλαπλασιαζόμενο με το cos?.
Αντικαθιστώντας τις τιμές b=4 και c=5 από το πρώτο παράδειγμα, παίρνουμε:
Άρα όλοι οι τύποι μας είναι σωστές.
Για να ληφθεί ένας τύπος που σχετίζεται κόλποςκαι συν κόλποςγωνία, είναι απαραίτητο να δώσουμε ή να υπενθυμίσουμε ορισμένους ορισμούς. Ετσι, κόλποςγωνία είναι ο λόγος (πηλίκο διαίρεσης) του απέναντι σκέλους ορθογώνιο τρίγωνοστην υποτείνουσα. Co. κόλποςγωνία είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Εντολή
Η τιμή του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1.
ΚόλποςΚαι συνημίτονο- πρόκειται για άμεσες τριγωνομετρικές συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχουν αρκετοί ορισμοί - μέσω ενός κύκλου σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, μέσω λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης, μέσω οξειών γωνιών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Καθένας από αυτούς τους ορισμούς σας επιτρέπει να συμπεράνετε τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο συναρτήσεων. Το παρακάτω είναι ίσως ο απλούστερος τρόπος έκφρασης συνημίτονομέσω του ημιτόνου - μέσω των ορισμών τους για οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου.
Εντολή
Εκφράστε το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ως προς τα μήκη των πλευρών αυτού του σχήματος. Σύμφωνα με τον ορισμό, το ημίτονο της γωνίας (α) πρέπει να είναι ο λόγος του μήκους της πλευράς (α) απέναντι του - το σκέλος - προς το μήκος της πλευράς (γ) απέναντι από τη σωστή γωνία - η υποτείνουσα: αμαρτία (α) = α / γ.
Βρείτε έναν παρόμοιο τύπο για συνημίτονοαλλά η ίδια γωνία. Εξ ορισμού, αυτή η τιμή πρέπει να εκφράζεται ως ο λόγος του μήκους της πλευράς (β) δίπλα σε αυτήν τη γωνία (το δεύτερο σκέλος) προς το μήκος της πλευράς (γ) που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία: cos (a) \u003d μετα Χριστον.
Ξαναγράψτε την εξίσωση που ακολουθεί από το Πυθαγόρειο θεώρημα με τέτοιο τρόπο ώστε να χρησιμοποιεί τις σχέσεις μεταξύ των σκελών και της υποτείνουσας που προέκυψαν στα δύο προηγούμενα βήματα. Για να γίνει αυτό, πρώτα διαιρέστε και τα δύο πρωτότυπα αυτού του θεωρήματος (a² + b² = c²) με το τετράγωνο της υποτείνουσας (a² / c² + b² / c² = 1) και στη συνέχεια ξαναγράψτε την ισότητα που προκύπτει με αυτήν τη μορφή: (α / c)² + (b / c )² = 1.
Αντικαταστήστε στην έκφραση που προκύπτει την αναλογία των μηκών των ποδιών και της υποτείνουσας με τριγωνομετρικές συναρτήσεις, με βάση τους τύπους του πρώτου και του δεύτερου βήματος: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Εκφράστε συνημίτονοαπό την προκύπτουσα ισότητα: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Σε αυτό το έργο μπορεί να λυθεί σε γενική εικόνα.
Εάν, εκτός από το γενικό, πρέπει να λάβετε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα, χρησιμοποιήστε, για παράδειγμα, την αριθμομηχανή που είναι ενσωματωμένη στο λειτουργικό σύστημα Windows. Ένας σύνδεσμος για την κυκλοφορία του στην υποενότητα "Τυπικό" της ενότητας "Όλα τα προγράμματα" του μενού του λειτουργικού συστήματος. Αυτός ο σύνδεσμος είναι διατυπωμένος συνοπτικά - "Αριθμομηχανή". Για να μπορέσετε να υπολογίσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις από αυτό το πρόγραμμα, ενεργοποιήστε τη διεπαφή "μηχανικής" του - πατήστε τον συνδυασμό Πλήκτρα Alt + 2.
Εισαγάγετε την τιμή του ημιτόνου της γωνίας στις συνθήκες και κάντε κλικ στο κουμπί διεπαφής με τον χαρακτηρισμό x² - αυτό θα τετραγωνίσει την αρχική τιμή. Στη συνέχεια, πληκτρολογήστε *-1 στο πληκτρολόγιο, πατήστε Enter, πληκτρολογήστε +1 και πατήστε ξανά Enter - με αυτόν τον τρόπο θα αφαιρέσετε το τετράγωνο του ημιτόνου από τη μονάδα. Κάντε κλικ στο κλειδί του ριζικού εικονιδίου για να εξαγάγετε το τετράγωνο και να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα.
Ένα από τα θεμελιώδη θεμέλια των ακριβών επιστημών είναι η έννοια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ορίζουν απλές σχέσεις μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το ημίτονο ανήκει στην οικογένεια αυτών των συναρτήσεων. Βρείτε το, γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε μεγάλο ποσόμεθόδους, συμπεριλαμβανομένων των πειραματικών, υπολογιστικών μεθόδων, καθώς και της χρήσης γενικές πληροφορίες.
Θα χρειαστείτε
- - αριθμομηχανή;
- - υπολογιστή;
- - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΦΥΛΛΑ;
- - τραπέζια bradys
- - χαρτί?
- - μολύβι.
Εντολή
Χρησιμοποιήστε με τη συνάρτηση ημιτόνου για να πάρετε επιθυμητές τιμέςμε βάση τη γνώση της γωνίας. Ακόμα και τα πιο απλά έχουν παρόμοια λειτουργικότητα σήμερα. Στην περίπτωση αυτή, οι υπολογισμοί γίνονται με πολύ υψηλό βαθμό ακρίβειας (συνήθως μέχρι οκτώ ή περισσότερα δεκαδικά ψηφία).
Ισχύουν λογισμικό, το οποίο είναι ένα περιβάλλον υπολογιστικού φύλλου που εκτελείται προσωπικός υπολογιστής. Παραδείγματα τέτοιων εφαρμογών είναι το Microsoft Office Excel και το OpenOffice.org Calc. Εισαγάγετε σε οποιοδήποτε κελί έναν τύπο που αποτελείται από την κλήση της συνάρτησης ημιτόνου με το επιθυμητό όρισμα. Πατήστε Enter. Η επιθυμητή τιμή θα εμφανιστεί στο κελί. Το πλεονέκτημα των υπολογιστικών φύλλων είναι η δυνατότητα γρήγορου υπολογισμού των τιμών συναρτήσεων για ένα μεγάλο σύνολο ορισμάτων.
Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή του ημιτόνου της γωνίας από τους πίνακες Bradys, εάν υπάρχει. Το μειονέκτημά τους είναι η ακρίβεια των τιμών, η οποία περιορίζεται σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία.
Να βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή του ημιτόνου της γωνίας κάνοντας γεωμετρικές κατασκευές. Σχεδιάστε μια γραμμή σε ένα κομμάτι χαρτί. Χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, αφήστε κατά μέρος τη γωνία της οποίας το ημίτονο θέλετε να βρείτε. Σχεδιάστε μια άλλη γραμμή που τέμνει την πρώτη σε κάποιο σημείο. Κάθετα στο πρώτο τμήμα, σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή που τέμνει δύο υπάρχοντα τμήματα. Παίρνετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μετρήστε το μήκος της υποτείνυσής του και το πόδι απέναντι από τη γωνία που κατασκευάστηκε με το μοιρογνωμόνιο. Διαιρέστε τη δεύτερη τιμή με την πρώτη. Αυτή θα είναι η επιθυμητή τιμή.
Υπολογίστε το ημίτονο μιας γωνίας χρησιμοποιώντας την επέκταση της σειράς Taylor. Εάν η τιμή της γωνίας είναι σε μοίρες, μετατρέψτε την σε ακτίνια. Χρησιμοποιήστε έναν τύπο όπως αυτός: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... Για να αυξήσετε την ταχύτητα των υπολογισμών, σημειώστε την τρέχουσα τιμή του αριθμητή και του παρονομαστή του τελευταίου μέλους της σειράς, υπολογίζοντας την επόμενη τιμή με βάση την προηγούμενη. Αυξήστε το μήκος της σειράς για πιο ακριβή τιμή.
Έτσι εισήχθησαν οι έννοιες ημίτονο και συνημίτονο. Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα και το συνημίτονο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Θεωρήματα συνημιτόνων και ημιτόνων
Αλλά τα συνημίτονα και τα ημιτόνια μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα. Για να βρείτε την τιμή μιας αμβλείας ή οξείας γωνίας, της πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, αρκεί να εφαρμόσετε το θεώρημα συνημιτόνου και ημιτόνου.
Το θεώρημα του συνημιτόνου είναι αρκετά απλό: "Το τετράγωνο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας."
Υπάρχουν δύο ερμηνείες του ημιτονικού θεωρήματος: μικρή και εκτεταμένη. Σύμφωνα με το μικρό: «Σε ένα τρίγωνο οι γωνίες είναι ανάλογες με τις απέναντι πλευρές». Αυτό το θεώρημα επεκτείνεται συχνά λόγω της ιδιότητας του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο: "Σε ένα τρίγωνο, οι γωνίες είναι ανάλογες προς τις απέναντι πλευρές και η αναλογία τους είναι ίση με τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου."
Παράγωγα
Μια παράγωγος είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει μια συνάρτηση σε σχέση με μια αλλαγή στο όρισμά της. Τα παράγωγα χρησιμοποιούνται στη γεωμετρία και σε διάφορους τεχνικούς κλάδους.
Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζετε τις πινακοποιημένες τιμές των παραγώγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο και συνημίτονο. Η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο, και η παράγωγος του συνημίτονου είναι το ημίτονο, αλλά με πρόσημο μείον.
Εφαρμογή στα μαθηματικά
Ιδιαίτερα συχνά, ημίτονο και συνημίτονο χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορθογωνίων τριγώνων και προβλημάτων που σχετίζονται με αυτά.
Η ευκολία των ημιτόνων και των συνημιτόνων αντικατοπτρίζεται επίσης στην τεχνολογία. Οι γωνίες και οι πλευρές ήταν εύκολο να αξιολογηθούν χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα συνημιτόνου και ημιτόνου, σπάζοντας πολύπλοκα σχήματα και αντικείμενα σε «απλά» τρίγωνα. Μηχανικοί και, συχνά ασχολούνται με υπολογισμούς αναλογίας διαστάσεων και μέτρα βαθμού, ξόδεψε πολύ χρόνο και προσπάθεια για τον υπολογισμό των συνημιτόνων και των ημιτόνων των μη επιτραπέζιων γωνιών.
Στη συνέχεια βοήθησαν οι πίνακες Bradis, που περιείχαν χιλιάδες τιμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων διαφορετικών γωνιών. ΣΕ Σοβιετική ώραμερικοί δάσκαλοι ανάγκασαν τους θαλάμους τους να απομνημονεύσουν τις σελίδες των τραπεζιών Bradys.
Ακτίνιο - η γωνιακή τιμή του τόξου, κατά μήκος ίσο με την ακτίνα ή 57,295779513 ° μοίρες.
Βαθμός (στη γεωμετρία) - 1/360ο κύκλου ή 1/90ο ορθής γωνίας.
π = 3,141592653589793238462… (τιμή κατά προσέγγιση του pi).
Πίνακας συνημιτονοειδών για γωνίες: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Γωνία x (σε μοίρες) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Γωνία x (σε ακτίνια) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2xπ |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD| - το μήκος του τόξου ενός κύκλου με κέντρο το σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.
Εφαπτομένη ( tgα) - Αυτό τριγωνομετρική συνάρτηση, ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίσο με την αναλογίατο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .
Συμεφαπτομένη ( ctgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .
Εφαπτομένη γραμμή
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tg x
Συνεφαπτομένη
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Υιοθετήθηκε επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:
;
;
.
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x
Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Περιοδικότης
Συναρτήσεις y= tg xκαι y= ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία
Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές.
Τομείς ορισμού και αξιών, αύξουσα, φθίνουσα
Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ακέραιος).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | ||
| Εύρος τιμών | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Αύξουσα | - | |
| Φθίνων | - | |
| Ακρα | - | - |
| Μηδενικά, y= 0 | ||
| Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0 | y= 0 | - |
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Εκφράσεις ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο
;
;
;
;
;
Τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη του αθροίσματος και της διαφοράς
Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα
Προϊόν των εφαπτομένων
Ο τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων
Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις ως προς τους μιγαδικούς αριθμούς
Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις
;
;
Παράγωγα
; .
.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης :
.
Παραγωγή τύπων για εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >
Ολοκληρώματα
Επεκτάσεις σε σειρές
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα το ένα στο άλλο, . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο .
Οπου B n- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
Οπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο Laplace: 
Αντίστροφες συναρτήσεις
Αντίστροφες συναρτήσειςσε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctangent, arctg
, Οπου n- ολόκληρος.
Εφαπτομένη τόξου, arcctg
, Οπου n- ολόκληρος.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Ερευνητές και Μηχανικούς, 2012.
Οι πιο συχνές ερωτήσεις
Είναι δυνατόν να σφραγιστεί ένα έγγραφο σύμφωνα με το παρεχόμενο δείγμα; Απάντηση Ναι, είναι δυνατόν. Στείλτε ένα σαρωμένο αντίγραφο ή μια φωτογραφία καλής ποιότητας στη διεύθυνση email μας και θα κάνουμε το απαραίτητο αντίγραφο.
Τι είδους πληρωμές δέχεστε;
Απάντηση Μπορείτε να πληρώσετε το έγγραφο τη στιγμή της παραλαβής από τον ταχυμεταφορέα, αφού ελέγξετε την ορθότητα της συμπλήρωσης και την ποιότητα του διπλώματος. Αυτό μπορεί επίσης να γίνει στα γραφεία ταχυδρομικών εταιρειών που προσφέρουν υπηρεσίες αντικαταβολής.
Όλοι οι όροι παράδοσης και πληρωμής εγγράφων περιγράφονται στην ενότητα «Πληρωμή και Παράδοση». Είμαστε επίσης έτοιμοι να ακούσουμε τις προτάσεις σας σχετικά με τους όρους παράδοσης και πληρωμής του παραστατικού.
Μπορώ να είμαι σίγουρος ότι μετά την υποβολή μιας παραγγελίας δεν θα εξαφανιστείτε με τα χρήματά μου; Απάντηση Έχουμε αρκετά μεγάλη εμπειρία στον τομέα της παραγωγής διπλωμάτων. Έχουμε αρκετούς ιστότοπους που ενημερώνονται συνεχώς. Οι ειδικοί μας εργάζονται σε διάφορα μέρη της χώρας, παράγοντας πάνω από 10 έγγραφα την ημέρα. Με τα χρόνια, τα έγγραφά μας έχουν βοηθήσει πολλούς ανθρώπους να λύσουν προβλήματα απασχόλησης ή να μετακινηθούν σε περισσότερα υψηλά αμειβόμενη εργασία. Έχουμε κερδίσει την εμπιστοσύνη και την αναγνώριση μεταξύ των πελατών, επομένως δεν υπάρχει κανένας απολύτως λόγος να το κάνουμε αυτό. Επιπλέον, είναι απλά αδύνατο να το κάνετε φυσικά: πληρώνετε την παραγγελία σας τη στιγμή που θα την παραλάβετε στα χέρια σας, δεν υπάρχει προπληρωμή.
Μπορώ να παραγγείλω δίπλωμα από οποιοδήποτε πανεπιστήμιο; Απάντηση Σε γενικές γραμμές, ναι. Δουλεύουμε σε αυτόν τον τομέα σχεδόν 12 χρόνια. Σε αυτό το διάστημα έχει διαμορφωθεί μια σχεδόν πλήρης βάση δεδομένων με έγγραφα που εκδίδονται από όλα σχεδόν τα πανεπιστήμια της χώρας και του εξωτερικού. διαφορετικά χρόνιαέκδοση. Το μόνο που χρειάζεται είναι να επιλέξετε πανεπιστήμιο, ειδικότητα, έγγραφο και να συμπληρώσετε μια φόρμα παραγγελίας.
Τι πρέπει να κάνω εάν εντοπίσω τυπογραφικά λάθη και λάθη σε ένα έγγραφο;
Απάντηση Όταν λαμβάνετε ένα έγγραφο από την εταιρεία ταχυμεταφορών ή την ταχυδρομική μας εταιρεία, σας συνιστούμε να ελέγχετε προσεκτικά όλες τις λεπτομέρειες. Εάν διαπιστωθεί τυπογραφικό λάθος, λάθος ή ανακρίβεια, έχετε το δικαίωμα να μην πάρετε το δίπλωμα και πρέπει να δηλώσετε τις ελλείψεις που εντοπίστηκαν προσωπικά στον ταχυμεταφορέα ή στο Γραφήστέλνοντας επιστολή στον ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ.
ΣΕ όσο το δυνατόν συντομότεραΘα διορθώσουμε το έγγραφο και θα το στείλουμε ξανά στην καθορισμένη διεύθυνση. Φυσικά τα μεταφορικά θα βαρύνουν την εταιρεία μας.
Για να αποφύγουμε τέτοιες παρεξηγήσεις, πριν συμπληρώσουμε την αρχική φόρμα, αποστέλλουμε μια διάταξη του μελλοντικού εγγράφου στο ταχυδρομείο του πελάτη για επαλήθευση και έγκριση της τελικής έκδοσης. Πριν στείλουμε το έγγραφο με κούριερ ή ταχυδρομείο, τραβάμε επίσης μια πρόσθετη φωτογραφία και βίντεο (συμπεριλαμβανομένου του υπεριώδους φωτός) ώστε να έχετε μια οπτική ιδέα για το τι θα πάρετε στο τέλος.
Τι πρέπει να κάνετε για να παραγγείλετε ένα δίπλωμα από την εταιρεία σας;
Απάντηση Για να παραγγείλετε ένα έγγραφο (πιστοποιητικό, δίπλωμα, ακαδημαϊκό πιστοποιητικό κ.λπ.), πρέπει να συμπληρώσετε μια ηλεκτρονική φόρμα παραγγελίας στον ιστότοπό μας ή να δώσετε το e-mail σας ώστε να σας στείλουμε μια φόρμα ερωτηματολογίου, την οποία πρέπει να συμπληρώσετε και να στείλετε πίσω σε εμάς.
Εάν δεν ξέρετε τι να υποδείξετε σε οποιοδήποτε πεδίο της φόρμας παραγγελίας/ερωτηματολογίου, αφήστε τα κενά. Επομένως, θα διευκρινίσουμε όλες τις πληροφορίες που λείπουν τηλεφωνικά.
Τελευταίες Κριτικές
Αλεξέι:
Χρειαζόμουν να πάρω δίπλωμα για να βρω δουλειά ως διευθυντής. Και το πιο σημαντικό, έχω και εμπειρία και δεξιότητες, αλλά χωρίς έγγραφο δεν μπορώ, θα βρω δουλειά οπουδήποτε. Μόλις μπήκα στον ιστότοπό σας, αποφάσισα ακόμα να αγοράσω ένα δίπλωμα. Το δίπλωμα ολοκληρώθηκε σε 2 μέρες! Τώρα έχω μια δουλειά που δεν είχα ονειρευτεί ποτέ πριν!! Ευχαριστώ!