Παραγωγή τύπων για αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι γραφικές παραστάσεις και οι τύποι τους

Μάθημα και παρουσίαση με θέματα: "Arxine. Arcsine πίνακας. Formula y=arcsin(x)"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εγχειρίδια και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για βαθμό 10 από 1C
Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical constructor 6.1"
Λύνουμε προβλήματα στη γεωμετρία. Διαδραστικές εργασίες για οικοδόμηση στο χώρο

Τι θα μελετήσουμε:
1. Τι είναι το τόξο;
2. Ονομασία του τόξου.
3. Λίγο ιστορία.
4. Ορισμός.

6. Παραδείγματα.

Τι είναι το arcsine;

Παιδιά, έχουμε ήδη μάθει πώς να λύνουμε εξισώσεις για το συνημίτονο, τώρα ας μάθουμε πώς να λύνουμε παρόμοιες εξισώσεις για το ημίτονο. Θεωρήστε sin(x)= √3/2. Για να λύσετε αυτή την εξίσωση, πρέπει να φτιάξετε μια ευθεία γραμμή y= √3/2 και να δείτε: σε ποια σημεία τέμνει τον αριθμητικό κύκλο. Φαίνεται ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία F και G. Αυτά τα σημεία θα είναι η λύση της εξίσωσής μας. Μετονομάστε το F σε x1 και το G σε x2. Έχουμε ήδη βρει τη λύση αυτής της εξίσωσης και λάβαμε: x1= π/3 + 2πk,
και x2= 2π/3 + 2πk.

Η επίλυση αυτής της εξίσωσης είναι αρκετά απλή, αλλά πώς να λύσετε, για παράδειγμα, την εξίσωση
sin(x)=5/6. Προφανώς, αυτή η εξίσωση θα έχει επίσης δύο ρίζες, αλλά ποιες τιμές θα αντιστοιχούν στη λύση στον κύκλο αριθμών; Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην εξίσωσή μας sin(x)=5/6.
Η λύση στην εξίσωσή μας θα είναι δύο σημεία: F= x1 + 2πk και G= x2 · + 2πk,
όπου x1 είναι το μήκος του τόξου AF, x2 είναι το μήκος του τόξου AG.
Σημείωση: x2= π - x1, επειδή AF= AC - FC, αλλά FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Τι είναι όμως αυτές οι τελείες;

Αντιμέτωποι με μια παρόμοια κατάσταση, οι μαθηματικοί σκέφτηκαν νέος χαρακτήρας– arcsin(x). Διαβάζεται σαν τόξο.

Τότε η λύση της εξίσωσής μας θα γραφεί ως εξής: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Και η απόφαση μέσα γενική εικόνα: x= arcsin(5/6) + 2πk και x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Το τόξο είναι το ημίτονο γωνίας (μήκος τόξου AF, AG), το οποίο είναι ίσο με 5/6.

Λίγη ιστορία του arcsine

Η ιστορία της προέλευσης του συμβόλου μας είναι ακριβώς η ίδια με αυτή των τόξων. Για πρώτη φορά, το σύμβολο arcsin εμφανίζεται στα έργα του μαθηματικού Scherfer και του διάσημου Γάλλου επιστήμονα J.L. Lagrange. Λίγο νωρίτερα, η έννοια του arcine θεωρήθηκε από τον D. Bernuli, αν και την έγραψε με άλλα σύμβολα.

Αυτά τα σύμβολα έγιναν γενικά αποδεκτά μόλις στα τέλη του 18ου αιώνα. Το πρόθεμα "arc" προέρχεται από το λατινικό "arcus" (τόξο, τόξο). Αυτό είναι αρκετά συνεπές με την έννοια της έννοιας: τόξο x είναι μια γωνία (ή μπορείτε να πείτε ένα τόξο), το ημίτονο του οποίου είναι ίσο με x.

Ορισμός του αρκσινίου

Αν |а|≤ 1, τότε το arcsin(a) είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα [- π/2; π/2], του οποίου το ημίτονο είναι α.

Αν |a|≤ 1, τότε η εξίσωση sin(x)= a έχει λύση: x= arcsin(a) + 2πk και
x= π - arcsin(a) + 2πk

Ας ξαναγράψουμε:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Παιδιά, δείτε προσεκτικά τις δύο λύσεις μας. Τι πιστεύετε: μπορούν να γραφτούν σε έναν γενικό τύπο; Σημειώστε ότι αν υπάρχει πρόσημο συν πριν από το τόξο, τότε το π πολλαπλασιάζεται με έναν ζυγό αριθμό 2πk και εάν το πρόσημο είναι μείον, τότε ο πολλαπλασιαστής είναι περιττός 2k+1.
Με αυτό κατά νου, γράφουμε γενικός τύποςλύσεις για την εξίσωση sin(x)=a:

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις στις οποίες κάποιος προτιμά να γράφει λύσεις με πιο απλό τρόπο:

sin(x)=0, μετά x= πk,

sin(x)=1, μετά x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, μετά x= -π/2 + 2πk.

Για οποιοδήποτε -1 ≤ a ≤ 1, ισχύει η ακόλουθη ισότητα: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Ας γράψουμε αντίστροφα έναν πίνακα τιμών συνημιτόνου και πάρουμε έναν πίνακα για το τόξο.

Παραδείγματα

1. Υπολογίστε: arcsin(√3/2).
Λύση: Έστω arcsin(√3/2)= x, μετά sin(x)= √3/2. Εξ ορισμού: - π/2 ≤x≤ π/2. Ας δούμε τις τιμές του ημιτόνου στον πίνακα: x= π/3, επειδή sin(π/3)= √3/2 και –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Απάντηση: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Υπολογίστε: arcsin(-1/2).
Λύση: Έστω arcsin(-1/2)= x, μετά sin(x)= -1/2. Εξ ορισμού: - π/2 ≤x≤ π/2. Ας δούμε τις τιμές του ημιτόνου στον πίνακα: x= -π/6, επειδή sin(-π/6)= -1/2 και -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Απάντηση: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Υπολογίστε: arcsin(0).
Λύση: Έστω arcsin(0)= x, μετά sin(x)= 0. Εξ ορισμού: - π/2 ≤x≤ π/2. Ας δούμε τις τιμές του ημιτόνου στον πίνακα: σημαίνει x = 0, επειδή sin(0)= 0 και - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Απάντηση: arcsin(0)=0.

4. Λύστε την εξίσωση: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk και x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Ας δούμε την τιμή στον πίνακα: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Απάντηση: x= -π/4 + 2πk και x= 5π/4 + 2πk.

5. Λύστε την εξίσωση: sin(x) = 0.
Λύση: Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό, τότε η λύση θα γραφτεί με τη μορφή:
x= arcsin(0) + 2πk και x= π - arcsin(0) + 2πk. Ας δούμε την τιμή στον πίνακα: arcsin(0)= 0.
Απάντηση: x= 2πk και x= π + 2πk

6. Λύστε την εξίσωση: sin(x) = 3/5.
Λύση: Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό, τότε η λύση θα γραφτεί με τη μορφή:
x= arcsin(3/5) + 2πk και x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Απάντηση: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Λύστε την ανίσωση sin(x) Λύση: Το ημίτονο είναι η τεταγμένη του σημείου του αριθμητικού κύκλου. Άρα: πρέπει να βρούμε τέτοια σημεία, η τεταγμένη των οποίων είναι μικρότερη από 0,7. Ας χαράξουμε μια ευθεία y=0,7. Τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε δύο σημεία. Ανισότητα y Τότε η λύση της ανίσωσης θα είναι: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Προβλήματα στο τόξο για ανεξάρτητη λύση

1) Υπολογίστε: α) arcsin(√2/2), β) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Λύστε την εξίσωση: α) sin(x) = 1/2, β) sin(x) = 1, γ) sin(x) = √3/2, δ) sin(x) = 0,25,
ε) sin(x) = -1,2.
3) Λύστε την ανίσωση: α) αμαρτία (x)> 0,6, β) αμαρτία (x) ≤ 1/2.

Οι συναρτήσεις sin, cos, tg και ctg συνοδεύονται πάντα από ένα arcsine, arccosine, arctantgent και arccotangent. Το ένα είναι συνέπεια του άλλου και τα ζεύγη συναρτήσεων είναι εξίσου σημαντικά για την εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις.

Σκεφτείτε το σχήμα κύκλος μονάδας, το οποίο εμφανίζει γραφικά τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Εάν υπολογίσετε τα τόξα OA, arcos OC, arctg DE και arcctg MK, τότε όλα θα είναι ίσα με την τιμή της γωνίας α. Οι παρακάτω τύποι αντικατοπτρίζουν τη σχέση μεταξύ των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστοιχων τόξων τους.

Για να κατανοήσουμε περισσότερα σχετικά με τις ιδιότητες του τόξου, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη λειτουργία του. Πρόγραμμα έχει τη μορφή ασύμμετρης καμπύλης που διέρχεται από το κέντρο των συντεταγμένων.

Ιδιότητες Αρξίνης:

Αν συγκρίνουμε γραφήματα αμαρτίαΚαι τόξο αμαρτία, δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να βρουν κοινά μοτίβα.

Συνημίτονο τόξου

Arccos του αριθμού α είναι η τιμή της γωνίας α, το συνημίτονο της οποίας είναι ίσο με a.

Καμπύλη y = arcos xαντικατοπτρίζει το διάγραμμα του τόξου x, με τη μόνη διαφορά ότι διέρχεται από το σημείο π/2 στον άξονα OY.

Εξετάστε τη λειτουργία αρκκοζίνης με περισσότερες λεπτομέρειες:

Η συνάρτηση ορίζεται στο τμήμα [-1; 1].
ODZ για τόξο - .
Το γράφημα βρίσκεται εξ ολοκλήρου στα τέταρτα I και II και η ίδια η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Υ = 0 για x = 1.
Η καμπύλη μειώνεται σε όλο το μήκος της. Ορισμένες ιδιότητες του συνημιτόνου τόξου είναι ίδιες με τη συνάρτηση συνημιτόνου.

Ορισμένες ιδιότητες του συνημιτόνου τόξου είναι ίδιες με τη συνάρτηση συνημιτόνου.

Είναι πιθανό μια τέτοια «λεπτομερής» μελέτη των «καμάρων» να φαίνεται περιττή στους μαθητές. Κατά τα άλλα, όμως, κάποιου στοιχειώδους τύπου ΧΡΗΣΗ Εργασιώνμπορεί να μπερδέψει τους μαθητές.

Ασκηση 1.Καθορίστε τις λειτουργίες που φαίνονται στο σχήμα.

Απάντηση:ρύζι. 1 - 4, εικ. 2 - 1.

Σε αυτό το παράδειγμα, η έμφαση δίνεται στα μικρά πράγματα. Συνήθως, οι μαθητές είναι πολύ απρόσεκτοι στην κατασκευή γραφημάτων και στην εμφάνιση των συναρτήσεων. Πράγματι, γιατί να απομνημονεύσετε τη μορφή της καμπύλης, αν μπορεί πάντα να κατασκευαστεί από υπολογισμένα σημεία. Μην ξεχνάτε ότι στις συνθήκες της δοκιμής, ο χρόνος που αφιερώνεται στη σχεδίαση για μια απλή εργασία θα χρειαστεί για την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών.

Arctangent

Arctgο αριθμός α είναι τέτοια τιμή της γωνίας α που η εφαπτομένη της είναι ίση με a.

Αν λάβουμε υπόψη το διάγραμμα της εφαπτομένης του τόξου, μπορούμε να διακρίνουμε τις ακόλουθες ιδιότητες:

Το γράφημα είναι άπειρο και ορίζεται στο διάστημα (- ∞; + ∞).
Το Arctangent είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως, arctan (- x) = - arctan x.
Υ = 0 για x = 0.
Η καμπύλη αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Ας δώσουμε μια σύντομη συγκριτική ανάλυση των tg x και arctg x με τη μορφή πίνακα.

Εφαπτομένη τόξου

Arcctg του αριθμού a - παίρνει τέτοια τιμή του α από το διάστημα (0; π) ώστε η συνεφαπτομένη του να είναι ίση με a.

Ιδιότητες της συνάρτησης συμεφαπτομένης τόξου:

Το διάστημα ορισμού συνάρτησης είναι το άπειρο.
Το εύρος των αποδεκτών τιμών είναι το διάστημα (0; π).
Το F(x) δεν είναι ούτε άρτιο ούτε περιττό.
Σε όλο το μήκος της, το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται.

Η σύγκριση ctg x και arctg x είναι πολύ απλή, απλά χρειάζεται να σχεδιάσετε δύο σχέδια και να περιγράψετε τη συμπεριφορά των καμπυλών.

Εργασία 2.Συσχετίστε τη γραφική παράσταση και τη μορφή της συνάρτησης.

Λογικά, τα γραφήματα δείχνουν ότι και οι δύο συναρτήσεις αυξάνονται. Επομένως, και οι δύο εικόνες εμφανίζουν κάποια συνάρτηση arctg. Είναι γνωστό από τις ιδιότητες της εφαπτομένης του τόξου ότι y=0 για x = 0,

Απάντηση:ρύζι. 1 - 1, εικ. 2-4.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες arcsin, arcos, arctg και arcctg

Προηγουμένως, έχουμε ήδη εντοπίσει τη σχέση μεταξύ των τόξων και των κύριων λειτουργιών της τριγωνομετρίας. Αυτή η εξάρτηση μπορεί να εκφραστεί με έναν αριθμό τύπων που επιτρέπουν την έκφραση, για παράδειγμα, του ημιτόνου ενός ορίσματος μέσω του τόξου, της αρκοσίνης ή αντίστροφα. Η γνώση τέτοιων ταυτοτήτων μπορεί να είναι χρήσιμη για την επίλυση συγκεκριμένων παραδειγμάτων.

Υπάρχουν επίσης αναλογίες για arctg και arcctg:

Ένα άλλο χρήσιμο ζεύγος τύπων ορίζει την τιμή για το άθροισμα των τιμών arcsin και arcos και arcctg και arcctg της ίδιας γωνίας.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Οι εργασίες τριγωνομετρίας μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις ομάδες: υπολογισμός αριθμητική αξίαμια συγκεκριμένη έκφραση, δημιουργήστε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης, βρείτε το πεδίο ορισμού ή ODZ και εκτελέστε αναλυτικούς μετασχηματισμούς για να λύσετε το παράδειγμα.

Κατά την επίλυση του πρώτου τύπου εργασιών, είναι απαραίτητο να τηρείτε το ακόλουθο σχέδιο δράσης:

Όταν εργάζεστε με γραφήματα συναρτήσεων, το κύριο πράγμα είναι η γνώση των ιδιοτήτων τους και εμφάνισηανέντιμος. Για λύσεις τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι ανισότητες χρειάζονται πίνακες ταυτοτήτων. Όσο περισσότερους τύπους θυμάται ο μαθητής, τόσο πιο εύκολο είναι να βρει την απάντηση στην εργασία.

Ας υποθέσουμε ότι στην εξέταση είναι απαραίτητο να βρεθεί η απάντηση για μια εξίσωση του τύπου:

Εάν μεταμορφώσετε σωστά την έκφραση και οδηγήσετε σε το σωστό είδος, τότε είναι πολύ απλό και γρήγορο να το λύσετε. Αρχικά, ας μετακινήσουμε το τόξο x στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Αν θυμηθούμε τον τύπο arcsin (sina) = α, τότε μπορούμε να μειώσουμε την αναζήτηση απαντήσεων στην επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων:

Ο περιορισμός στο μοντέλο x προέκυψε, πάλι από τις ιδιότητες της arcsin: ODZ για x [-1; 1]. Όταν a ≠ 0, μέρος του συστήματος είναι τετραγωνική εξίσωσημε ρίζες x1 = 1 και x2 = - 1/a. Με a = 0, το x θα είναι ίσο με 1.

Τι είναι το arcsine, arccosine; Τι είναι η εφαπτομένη τόξου, η εφαπτομένη τόξου;

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Στις έννοιες arcsine, arccosine, arctantgent, arccotangent ο μαθητικός πληθυσμός είναι επιφυλακτικός. Δεν καταλαβαίνει αυτούς τους όρους και, επομένως, δεν εμπιστεύεται αυτή την ένδοξη οικογένεια.) Μάταια όμως. Αυτές είναι πολύ απλές έννοιες. Που, παρεμπιπτόντως, κάνουν τη ζωή πολύ πιο εύκολη. γνωρίζοντας πρόσωποκατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων!

Μπερδευτείτε για την απλότητα; Μάταια.) Εδώ και τώρα θα πειστείτε για αυτό.

Φυσικά, για να καταλάβουμε, θα ήταν ωραίο να γνωρίζουμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ναι, οι τιμές τους σε πίνακα για ορισμένες γωνίες ... Τουλάχιστον στις περισσότερες σε γενικές γραμμές. Τότε δεν θα υπάρχουν προβλήματα ούτε εδώ.

Λοιπόν, είμαστε έκπληκτοι, αλλά θυμηθείτε: το τόξο, η αρκοσίνη, το τόξο και το τόξο είναι μερικές μόνο γωνίες.Ούτε περισσότερο, ούτε λιγότερο. Υπάρχει μια γωνία, ας πούμε 30°. Και υπάρχει μια γωνία arcsin0.4. Ή arctg(-1,3). Υπάρχουν όλα τα είδη γωνιών.) Μπορείτε απλώς να σημειώσετε τις γωνίες διαφορετικοί τρόποι. Μπορείτε να γράψετε τη γωνία σε μοίρες ή ακτίνια. Ή μπορείτε - μέσω του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης του ...

Τι σημαίνει η έκφραση

arcsin 0,4?

Αυτή είναι η γωνία της οποίας το ημίτονο είναι 0,4! Ναι ναι. Αυτή είναι η έννοια του τόξου. Επαναλαμβάνω συγκεκριμένα: το arcsin 0,4 είναι μια γωνία της οποίας το ημίτονο είναι 0,4.

Και αυτό είναι όλο.

Για να κρατήσω αυτή την απλή σκέψη στο μυαλό μου για μεγάλο χρονικό διάστημα, θα δώσω ακόμη και μια ανάλυση αυτού του τρομερού όρου - το τόξο:

τόξο αμαρτία 0,4
γωνία, του οποίου η ημιτονία ισούται με 0,4

Όπως είναι γραμμένο έτσι ακούγεται.) Σχεδόν. Κονσόλα τόξοπου σημαίνει τόξο(λέξη αψίδαξέρεις;), γιατί Οι αρχαίοι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν τόξα αντί για γωνίες, αλλά αυτό δεν αλλάζει την ουσία του θέματος. Θυμηθείτε αυτή τη στοιχειώδη αποκωδικοποίηση ενός μαθηματικού όρου! Επιπλέον, για το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την εφαπτομένη τόξου, η αποκωδικοποίηση διαφέρει μόνο στο όνομα της συνάρτησης.

Τι είναι το arccos 0.8;
Αυτή είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι 0,8.

Τι είναι το arctan(-1,3);
Αυτή είναι μια γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι -1,3.

Τι είναι το arcctg 12;
Αυτή είναι μια γωνία της οποίας η συνεφαπτομένη είναι 12.

Μια τέτοια στοιχειώδης αποκωδικοποίηση επιτρέπει, παρεμπιπτόντως, την αποφυγή επικών σφαλμάτων.) Για παράδειγμα, η έκφραση arccos1,8 φαίνεται αρκετά συμπαγής. Ας ξεκινήσουμε την αποκωδικοποίηση: Το arccos1,8 είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με 1,8... Hop-hop!; 1,8!? Το συνημίτονο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα!

Σωστά. Η έκφραση arccos1,8 δεν έχει νόημα. Και η σύνταξη μιας τέτοιας έκφρασης σε κάποια απάντηση θα διασκεδάσει πολύ τον επαληθευτή.)

Στοιχειώδη, όπως μπορείτε να δείτε.) Κάθε γωνία έχει το δικό της προσωπικό ημίτονο και συνημίτονο. Και σχεδόν ο καθένας έχει τη δική του εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Επομένως, γνωρίζοντας την τριγωνομετρική συνάρτηση, μπορείτε να γράψετε την ίδια τη γωνία. Για αυτό, προορίζονται τοξίνες, οι τοξίνες, οι τοξοεφαπτομένες και οι τόξοι. Επιπλέον, θα ονομάσω όλη αυτή την οικογένεια υποκοριστικό - καμάρες.για να πληκτρολογήσετε λιγότερο.)

Προσοχή! Στοιχειώδης λεκτική και συνειδητόςη αποκρυπτογράφηση των τόξων σάς επιτρέπει να επιλύετε ήρεμα και με σιγουριά μια ποικιλία εργασιών. Και στο ασυνήθηςεργασίες μόνο αυτή σώζει.

Είναι δυνατή η μετάβαση από τα τόξα σε συνηθισμένες μοίρες ή ακτίνια;- Ακούω μια προσεκτική ερώτηση.)

Γιατί όχι!? Εύκολα. Μπορείτε να πάτε εκεί και πίσω. Επιπλέον, μερικές φορές είναι απαραίτητο να γίνει αυτό. Οι καμάρες είναι ένα απλό πράγμα, αλλά χωρίς αυτές είναι κάπως πιο ήρεμα, σωστά;)

Για παράδειγμα: τι είναι το arcsin 0.5;

Ας δούμε την αποκρυπτογράφηση: τόξο 0,5 είναι η γωνία της οποίας το ημίτονο είναι 0,5.Τώρα ενεργοποιήστε το κεφάλι σας (ή το Google) και θυμηθείτε ποια γωνία έχει ημίτονο 0,5; Το ημίτονο είναι 0,5 y γωνία 30 μοιρών. Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό: Το τόξο 0,5 είναι γωνία 30°.Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια:

τόξο 0,5 = 30°

Ή, πιο σταθερά, όσον αφορά τα ακτίνια:

Αυτό είναι όλο, μπορείτε να ξεχάσετε το τόξο και να εργαστείτε με τις συνήθεις μοίρες ή ακτίνια.

Αν κατάλαβες τι είναι το arcsine, arccosine ... Τι είναι arctotangent, arccotangent ...Τότε μπορείτε εύκολα να αντιμετωπίσετε, για παράδειγμα, ένα τέτοιο τέρας.)

Ένας ανίδεος θα οπισθοχωρήσει με φρίκη, ναι...) Και ένας γνώστης θυμηθείτε την αποκρυπτογράφηση:το τόξο είναι η γωνία της οποίας το ημίτονο είναι ... Λοιπόν, και ούτω καθεξής. Εάν ένας γνώστης γνωρίζει επίσης τον πίνακα των ημιτονίων ... Ο πίνακας των συνημιτονιών. Ένας πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, τότε δεν υπάρχουν καθόλου προβλήματα!

Αρκεί να αναλογιστούμε ότι:

θα αποκρυπτογραφήσω, δηλ. μεταφράστε τον τύπο σε λέξεις: γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι 1 (arctg1)είναι γωνία 45°. Ή, που είναι το ίδιο, Pi/4. Ομοίως:

και αυτό είναι όλο... Αντικαθιστούμε όλα τα τόξα με τιμές σε ακτίνια, όλα μειώνονται, μένει να υπολογίσουμε πόσο θα είναι το 1 + 1. Θα είναι 2.) Ποια είναι η σωστή απάντηση.

Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο μπορείτε (και πρέπει) να μετακινηθείτε από τόξο, τόξο, τόξο και εφαπτομενικό σε συνηθισμένες μοίρες και ακτίνια. Αυτό απλοποιεί πολύ τα τρομακτικά παραδείγματα!

Συχνά, σε τέτοια παραδείγματα, μέσα οι καμάρες βρίσκονται αρνητικόςαξίες. Όπως, arctg(-1.3), ή, για παράδειγμα, arccos(-0.8)... Δεν είναι πρόβλημα. Εδώ είσαι απλοί τύποιμετάβαση από αρνητικές τιμές σε θετικές:

Πρέπει, ας πούμε, να προσδιορίσετε την αξία μιας έκφρασης:

Μπορείτε να το λύσετε χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο, αλλά δεν θέλετε να τον σχεδιάσετε. Καλά εντάξει. Πηγαίνοντας από αρνητικόςτιμές εντός του συνημιτόνου τόξου προς θετικόςσύμφωνα με τον δεύτερο τύπο:

Μέσα στην αρκοσίνη στα δεξιά ήδη θετικόςέννοια. Τι

απλά πρέπει να ξέρεις. Απομένει να αντικαταστήσουμε τα ακτίνια αντί για το συνημίτονο τόξου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Αυτό είναι όλο.

Περιορισμοί στο arcsine, arccosine, arctantgent, arccotangent.

Υπάρχει πρόβλημα με τα παραδείγματα 7 - 9; Λοιπόν, ναι, υπάρχει κάποιο κόλπο εκεί.)

Όλα αυτά τα παραδείγματα, από την 1η έως την 9η, ταξινομούνται προσεκτικά στα ράφια της Ενότητας 555. Τι, πώς και γιατί. Με όλες τις μυστικές παγίδες και κόλπα. Επιπλέον τρόποι για να απλοποιήσετε δραματικά τη λύση. Παρεμπιπτόντως, σε αυτή την ενότητα υπάρχουν πολλά ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣΚαι πρακτικές συμβουλέςτριγωνομετρία γενικά. Και όχι μόνο στην τριγωνομετρία. Βοηθάει πολύ.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Παρουσιάζεται μια μέθοδος εξαγωγής τύπων για αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Λαμβάνονται τύποι για αρνητικά επιχειρήματα, εκφράσεις που σχετίζονται με το τόξο, την αρκοσίνη, την εφαπτομένη και την τοξοεφαπτομένη. Υποδεικνύεται μια μέθοδος για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα των τόξων, τοξινών, των τοξοεφαπτομένων και των τόξων εφαπτομένων.

Βασικές φόρμουλες

Η παραγωγή τύπων για αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι απλή, αλλά απαιτεί έλεγχο των τιμών των ορισμάτων των άμεσων συναρτήσεων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι περιοδικές και, επομένως, οι αντίστροφες συναρτήσεις τους είναι πολλαπλές. Εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις σημαίνουν τις κύριες τιμές τους. Για να προσδιοριστεί η κύρια τιμή, το πεδίο ορισμού της τριγωνομετρικής συνάρτησης περιορίζεται στο διάστημα στο οποίο είναι μονότονη και συνεχής. Η παραγωγή τύπων για αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις βασίζεται στους τύπους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και στις ιδιότητες των αντίστροφων συναρτήσεων καθαυτές. Οι ιδιότητες των αντίστροφων συναρτήσεων μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες.

Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει τύπους που ισχύουν σε ολόκληρο τον τομέα των αντίστροφων συναρτήσεων:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Η δεύτερη ομάδα περιλαμβάνει τύπους που ισχύουν μόνο για το σύνολο τιμών των αντίστροφων συναρτήσεων.
arcsin(sin x) = xστο
arccos(cos x) = xστο
arctg(tg x) = xστο
arcctg(ctg x) = xστο

Εάν η μεταβλητή x δεν εμπίπτει στο παραπάνω διάστημα, τότε θα πρέπει να μειωθεί σε αυτό χρησιμοποιώντας τους τύπους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (εφεξής το n είναι ακέραιος):
sinx = αμαρτία(-x-π); sinx = αμαρτία(π-x); sinx = sin(x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

Για παράδειγμα, αν είναι γνωστό ότι
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x)) = π - x .

Είναι εύκολο να δούμε ότι για το π - το x εμπίπτει στο απαιτούμενο διάστημα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε με -1: και προσθέστε π: ή Όλα είναι σωστά.

Αντίστροφες συναρτήσεις αρνητικού ορίσματος

Εφαρμόζοντας τους παραπάνω τύπους και ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λαμβάνουμε τύπους για τις αντίστροφες συναρτήσεις ενός αρνητικού ορίσματος.

arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Από τότε πολλαπλασιάζοντας με -1, έχουμε: ή
Το όρισμα ημιτόνου εμπίπτει στο επιτρεπόμενο εύρος της περιοχής του τόξου. Επομένως ο τύπος είναι σωστός.

Το ίδιο και για άλλες λειτουργίες.
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Έκφραση του τόξου ως προς την αρκοσίνη και της τοξοεφαπτομένης ως προς την τοξοεφαπτομένη

Εκφράζουμε το αρκσίνη ως προς την αρκοσίνη.

Ο τύπος ισχύει για Αυτές οι ανισότητες ισχύουν επειδή

Για να το επαληθεύσουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε τις ανισώσεις με -1 : και προσθέτουμε π/2 : ή Όλα είναι σωστά.

Ομοίως, εκφράζουμε την τοξοεφαπτομένη μέσω της τοξοεφαπτομένης.

Έκφραση του τόξου μέσω της τοξοεφαπτομένης, της αρκοσίνης μέσω της τοξοεφαπτομένης και αντίστροφα

Προχωράμε με παρόμοιο τρόπο.

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς

Με παρόμοιο τρόπο, λαμβάνουμε τον τύπο για το άθροισμα των τόξων.

Ας καθορίσουμε τα όρια εφαρμογής του τύπου. Για να μην ασχολούμαστε με δυσκίνητες εκφράσεις, εισάγουμε τον συμβολισμό: X = arcsin x, Υ = arcsin y. Ο τύπος ισχύει όταν
. Περαιτέρω, σημειώνουμε ότι, αφού arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y,τότε για διαφορετικά πρόσημα των x και y , X και Y επίσης διαφορετικό σημάδικαι έτσι ισχύουν οι ανισότητες. Η συνθήκη διαφορετικών σημείων για το x και το y μπορεί να γραφτεί με μία ανισότητα: . Όταν δηλαδή ισχύει ο τύπος.

Τώρα εξετάστε την περίπτωση x > 0 και y > 0 , ή Χ > 0 και Υ > 0 . Τότε προϋπόθεση για την εφαρμοσιμότητα του τύπου είναι η εκπλήρωση της ανισότητας: . Δεδομένου ότι το συνημίτονο μειώνεται μονότονα για τις τιμές του ορίσματος στο διάστημα από 0 , στο π, τότε παίρνουμε το συνημίτονο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς αυτής της ανισότητας και μετασχηματίζουμε την έκφραση:
;
;
;
.
Δεδομένου ότι και ? τότε τα συνημίτονα που περιλαμβάνονται εδώ δεν είναι αρνητικά. Και τα δύο μέρη της ανισότητας είναι θετικά. Τα τετραγωνίζουμε και μετατρέπουμε τα συνημίτονα μέσω των ημιτόνων:
;
.
Υποκατάστατο αμαρτία Χ = αμαρτία τόξο αμαρτία x = x:
;
;
;
.

Άρα, ο τύπος που προκύπτει ισχύει για ή .

Τώρα θεωρήστε την περίπτωση x > 0, y > 0 και x 2 + y 2 > 1 . Εδώ το όρισμα ημιτόνου παίρνει τις τιμές: . Πρέπει να μειωθεί στο διάστημα της περιοχής τιμής του τόξου:

Ετσι,

στο i.

Αντικαθιστώντας τα x και y με - x και - y , έχουμε

στο i.
Εκτελούμε μετασχηματισμούς:

στο i.
Ή

στο i.

Έτσι, πήραμε τις ακόλουθες εκφράσεις για το άθροισμα των τόξων:

στο ή ;

για και ?

στο και .

Δίνονται ορισμοί των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων και οι γραφικές παραστάσεις τους. Καθώς και τύπους που σχετίζονται με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τύπους για αθροίσματα και διαφορές.

Ορισμός αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Δεδομένου ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, οι συναρτήσεις αντίστροφες προς αυτές δεν είναι μονής τιμής. Άρα, η εξίσωση y = αμαρτία x, δεδομένου , έχει άπειρες ρίζες. Πράγματι, λόγω της περιοδικότητας του ημιτονοειδούς, αν το x είναι τέτοια ρίζα, τότε x + 2n(όπου n είναι ακέραιος) θα είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης. Ετσι, Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι πολλαπλών τιμών. Για να διευκολυνθεί η εργασία μαζί τους, εισάγεται η έννοια των κύριων αξιών τους. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το ημίτονο: y = αμαρτία x. Αν περιορίσουμε το όρισμα x στο διάστημα , τότε σε αυτό η συνάρτηση y = αμαρτία xαυξάνεται μονότονα. Ως εκ τούτου, έχει μια σαφή αντίστροφη συνάρτηση, που ονομάζεται τόξο: x = arcsin y.

Εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις σημαίνουν τις κύριες τιμές τους, οι οποίες ορίζονται από τους ακόλουθους ορισμούς.

Αρξίνη ( y= arcsin x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ( x= αμαρτωλός

τόξο συνημίτονο ( y= arccos x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου ( x= cos y) που έχει έναν τομέα ορισμού και ένα σύνολο τιμών.

Arctagent ( y= arctg x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης ( x= tg y) που έχει έναν τομέα ορισμού και ένα σύνολο τιμών.

Εφαπτομένη τόξου ( y= arcctg x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνεφαπτομένης ( x= ctg y) που έχει έναν τομέα ορισμού και ένα σύνολο τιμών.

Γραφήματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι γραφικές παραστάσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων λαμβάνονται από γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων με κατοπτρική ανάκλαση ως προς την ευθεία y = x. Δείτε τις ενότητες Ημιτόνου, συνημίτονο, Εφαπτομένη, συνεφαπτομένη.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Βασικές φόρμουλες

Εδώ πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στα διαστήματα για τα οποία ισχύουν οι τύποι.

arcsin(sin x) = xστο
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xστο
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xστο
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xστο
ctg(arctg x) = x

Τύποι που σχετίζονται με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς

στο ή

στο και

στο και

στο

στο