Τριγωνομετρικές ταυτότητεςείναι ισότητες που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις, με την προϋπόθεση ότι οποιαδήποτε άλλη είναι γνωστή.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα του τετραγώνου του ημιτόνου μιας γωνίας και του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα, γεγονός που στην πράξη καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας γωνίας όταν είναι γνωστό το συνημίτονό του και αντίστροφα .
Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικές εκφράσειςΠολύ συχνά χρησιμοποιείται αυτή η ταυτότητα, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να αντικαταστήσει το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου μιας γωνίας κατά μονάδα και επίσης να εκτελέσει την πράξη αντικατάστασης με την αντίστροφη σειρά.
Εύρεση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Αυτές οι ταυτότητες σχηματίζονται από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Εξάλλου, αν κοιτάξετε, τότε εξ ορισμού, η τεταγμένη του y είναι το ημίτονο και η τετμημένη του x είναι το συνημίτονο. Τότε η εφαπτομένη θα είναι ισούται με την αναλογία \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), και την αναλογία \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- θα είναι συνεφαπτομένη.
Προσθέτουμε ότι μόνο για τέτοιες γωνίες \άλφα για τις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές, οι ταυτότητες θα πραγματοποιούνται, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Για παράδειγμα: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ισχύει για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2)+\pi z, ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- για γωνία \άλφα διαφορετική από \pi z , το z είναι ακέραιος.
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2) z. Διαφορετικά, δεν θα καθοριστεί είτε συνεφαπτομένη είτε εφαπτομένη.
Με βάση τα παραπάνω σημεία, το καταλαβαίνουμε tg \alpha = \frac(y)(x), ΕΝΑ ctg\alpha=\frac(x)(y). Ως εκ τούτου προκύπτει ότι tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Έτσι, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι αμοιβαίοι αμοιβαίοι αριθμοί.
Σχέσεις μεταξύ εφαπτομένης και συνημιτονοειδούς, συνεφαπτομένης και ημιτόνου
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης της γωνίας \άλφα και 1 είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για όλα τα \alpha εκτός από \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- το άθροισμα του 1 και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας \άλφα , ισούται με το αντίστροφο τετράγωνο του ημιτόνου της δεδομένης γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για οποιοδήποτε \alpha εκτός από \pi z .
Παραδείγματα με λύσεις προβλημάτων με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα \sin \alpha και tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Εμφάνιση Λύσης
Λύση
Οι συναρτήσεις \sin \alpha και \cos \alpha συνδέονται με τον τύπο \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο \cos \alpha = -\frac12, παίρνουμε:
\sin^(2)\alpha + \αριστερά (-\frac12 \δεξιά)^2 = 1
Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο, το ημίτονο είναι θετικό, άρα \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Για να βρούμε το tg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Παράδειγμα 2
Βρείτε τα \cos \alpha και ctg \alpha αν και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Εμφάνιση Λύσης
Λύση
Αντικατάσταση στη φόρμουλα \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1υπό όρους αριθμός \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), παίρνουμε \αριστερά (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο, το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Για να βρούμε το ctg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Δίνονται οι λόγοι μεταξύ των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων - ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης τριγωνομετρικούς τύπους. Και δεδομένου ότι υπάρχουν πολλές συνδέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό εξηγεί επίσης την αφθονία των τριγωνομετρικών τύπων. Κάποιοι τύποι συνδέονται τριγωνομετρικές συναρτήσειςτης ίδιας γωνίας, άλλες είναι συναρτήσεις πολλαπλής γωνίας, άλλες σας επιτρέπουν να χαμηλώσετε τη μοίρα, οι τέταρτες σας επιτρέπουν να εκφράσετε όλες τις συναρτήσεις ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας κ.λπ.
Σε αυτό το άρθρο, θα παραθέσουμε με τη σειρά όλα τα κύρια τριγωνομετρικούς τύπους, που επαρκούν για την επίλυση της συντριπτικής πλειοψηφίας των τριγωνομετρικών προβλημάτων. Για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης, θα τα ομαδοποιήσουμε ανάλογα με το σκοπό τους και θα τα καταχωρήσουμε σε πίνακες.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητεςορίστε τη σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, καθώς και της έννοιας του μοναδιαίου κύκλου. Σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση μέσω οποιασδήποτε άλλης.
Για μια λεπτομερή περιγραφή αυτών των τύπων τριγωνομετρίας, τα παραδείγματα παραγωγής και εφαρμογής τους, δείτε το άρθρο.
Φόρμουλες cast
Φόρμουλες castακολουθούν από τις ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, δηλαδή αντανακλούν την ιδιότητα περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, την ιδιότητα συμμετρίας και την ιδιότητα μετατόπισης κατά δεδομένη γωνία. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από μηδέν έως 90 μοίρες.
Το σκεπτικό αυτών των τύπων, ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευσή τους και παραδείγματα εφαρμογής τους μπορούν να μελετηθούν στο άρθρο.
Τύποι προσθήκης
Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσηςδείξτε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για την παραγωγή των ακόλουθων τριγωνομετρικών τύπων.
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία (λέγονται και τύποι πολλαπλών γωνιών) δείχνουν πώς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλού, τριπλού κ.λπ. Οι γωνίες () εκφράζονται ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μόνο γωνίας. Η παραγωγή τους βασίζεται σε τύπους πρόσθεσης.
Αναλυτικότερες πληροφορίες συλλέγονται στους τύπους του άρθρου για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία .
Φόρμουλες μισής γωνίας
Φόρμουλες μισής γωνίαςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μισής γωνίας ως προς το συνημίτονο μιας ακέραιας γωνίας. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους τύπους διπλή γωνία.
Το συμπέρασμά τους και παραδείγματα εφαρμογής βρίσκονται στο άρθρο.
Φόρμουλες μείωσης
Τριγωνομετρικοί τύποι για φθίνουσες μοίρεςέχουν σχεδιαστεί για να διευκολύνουν τη μετάβαση από τις φυσικές δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ημίτονο και συνημίτονο στον πρώτο βαθμό, αλλά σε πολλαπλές γωνίες. Με άλλα λόγια, επιτρέπουν σε κάποιον να μειώσει τις δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πρώτη.
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Ο κύριος σκοπός τύποι αθροίσματος και διαφοράς για τριγωνομετρικές συναρτήσειςσυνίσταται στη μετάβαση στο γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων. Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού επιτρέπουν την παραγοντοποίηση του αθροίσματος και της διαφοράς ημιτόνων και συνημιτόνων.
Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτονοειδών συνημιτόνων
Η μετάβαση από το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άθροισμα ή τη διαφορά πραγματοποιείται μέσω των τύπων για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.
Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές
Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του www.website, συμπεριλαμβανομένων εσωτερικά υλικάκαι εμφάνιση, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.
Στην αρχή αυτού του άρθρου, συζητήσαμε την έννοια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ο κύριος σκοπός του σκοπού τους είναι να μελετήσουν τα βασικά της τριγωνομετρίας και τη μελέτη των περιοδικών διεργασιών. Και δεν σχεδιάσαμε έναν τριγωνομετρικό κύκλο μάταια, επειδή στις περισσότερες περιπτώσεις οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ενός τριγώνου ή ορισμένων τμημάτων του σε κύκλος μονάδας. Ανέφερα επίσης την αναμφισβήτητα μεγάλη σημασία της τριγωνομετρίας στο μοντέρνα ζωή. Αλλά η επιστήμη δεν μένει ακίνητη, ως αποτέλεσμα, μπορούμε να επεκτείνουμε σημαντικά το πεδίο εφαρμογής της τριγωνομετρίας και να μεταφέρουμε τις διατάξεις της σε πραγματικούς και μερικές φορές σε μιγαδικούς αριθμούς.
Τύποι τριγωνομετρίαςυπάρχουν διάφοροι τύποι. Ας τα εξετάσουμε με τη σειρά.
Σχέσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων ίδιας γωνίας
Εκφράσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων μεταξύ τους
(η επιλογή του σημείου μπροστά από τη ρίζα καθορίζεται από ποια από τα τέταρτα του κύκλου βρίσκεται η γωνία;)
Ακολουθούν οι τύποι για την πρόσθεση και την αφαίρεση γωνιών:
Τύποι διπλής, τριπλής και μισής γωνίας.
Σημειώνω ότι όλα προκύπτουν από τους προηγούμενους τύπους.
Τύποι μετατροπής τριγωνομετρικών παραστάσεων:
Εδώ ερχόμαστε στην εξέταση μιας τέτοιας έννοιας όπως βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.
Τριγωνομετρική ταυτότητα είναι μια ισότητα που αποτελείται από τριγωνομετρικές σχέσεις και η οποία ισχύει για όλες τις τιμές των γωνιών που περιλαμβάνονται σε αυτήν.
Εξετάστε τις πιο σημαντικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και τις αποδείξεις τους:
Η πρώτη ταυτότητα προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό της εφαπτομένης.
Ας πάρουμε ορθογώνιο τρίγωνο, στην οποία υπάρχει οξεία γωνία x στην κορυφή Α.
Για να αποδείξουμε τις ταυτότητες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Τώρα διαιρούμε με (AB) 2 και τα δύο μέρη της ισότητας και θυμόμαστε τους ορισμούς της αμαρτίας και του cos της γωνίας, παίρνουμε τη δεύτερη ταυτότητα:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
αμαρτία 2 x + cos 2 x = 1
Για να αποδείξουμε την τρίτη και τέταρτη ταυτότητα, χρησιμοποιούμε την προηγούμενη απόδειξη.
Για να γίνει αυτό, διαιρούμε και τα δύο μέρη της δεύτερης ταυτότητας με cos 2 x:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Με βάση την πρώτη ταυτότητα tg x \u003d sin x / cos x παίρνουμε το τρίτο:
1 + tg2x = 1/cos2x
Τώρα διαιρούμε τη δεύτερη ταυτότητα με αμαρτία 2 x:
αμαρτία 2 x/ αμαρτία 2 x + συν 2 x/ αμαρτία 2 x = 1/ αμαρτία 2 x
1+ συν 2 x/ αμαρτία 2 x = 1/ αμαρτία 2 x
cos 2 x/ sin 2 x δεν είναι παρά 1/tg 2 x, οπότε παίρνουμε την τέταρτη ταυτότητα:
1 + 1/tg2x = 1/sin2x
Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε το θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου, το οποίο λέει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου \u003d 180 0. Αποδεικνύεται ότι στην κορυφή Β του τριγώνου υπάρχει μια γωνία της οποίας η τιμή είναι 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.
Θυμηθείτε ξανά τους ορισμούς για αμαρτία και συν και παίρνουμε την πέμπτη και έκτη ταυτότητα:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sin x
Τώρα ας κάνουμε τα εξής:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = cos x
Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι στοιχειώδη εδώ.
Υπάρχουν και άλλες ταυτότητες που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μαθηματικών ταυτοτήτων, θα τις δώσω απλά στη μορφή γενικές πληροφορίες, γιατί όλα πηγάζουν από τα παραπάνω.
sin 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
σtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)
Σε αυτό το άρθρο, θα ρίξουμε μια περιεκτική ματιά στο . Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισότητες που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας και σας επιτρέπουν να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω μιας γνωστής άλλης.
Παραθέτουμε αμέσως τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες, τις οποίες θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Τα γράφουμε σε έναν πίνακα και παρακάτω δίνουμε την παραγωγή αυτών των τύπων και δίνουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Σχέση μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου μιας γωνίας
Μερικές φορές δεν μιλούν για τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα, αλλά για ένα μοναδικό βασική τριγωνομετρική ταυτότηταείδος 
. Η εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι αρκετά απλή: οι ισότητες λαμβάνονται από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα αφού διαιρεθούν και τα δύο μέρη της με και αντίστοιχα, και οι ισότητες 
Και 
ακολουθήστε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα το συζητήσουμε λεπτομερέστερα στις επόμενες παραγράφους.
Είναι δηλαδή η ισότητα που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην οποία δόθηκε το όνομα της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.
Πριν αποδείξουμε τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, δίνουμε τη διατύπωσή της: το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι πανομοιότυπα ίσο με ένα. Τώρα ας το αποδείξουμε.
Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε μετασχηματισμός τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επιτρέπει την αντικατάσταση του αθροίσματος των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας από ένα. Όχι λιγότερο συχνά, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται με αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας.
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς
Ταυτότητες που συνδέουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας της μορφής και 
προκύπτουν αμέσως από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Πράγματι, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y, το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη, δηλαδή, 
και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης προς την τεταγμένη, δηλαδή, 
.
Λόγω αυτής της προφανείας των ταυτοτήτων και Συχνά οι ορισμοί της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης δίνονται όχι μέσω του λόγου της τετμημένης και της τεταγμένης, αλλά μέσω της αναλογίας του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς. Άρα η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο αυτής της γωνίας, και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του συνημιτονοειδούς προς το ημίτονο.
Για να ολοκληρώσουμε αυτή την ενότητα, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι ταυτότητες και ισχύει για όλες αυτές τις γωνίες για τις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε αυτές. Άρα ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε άλλο εκτός από (διαφορετικά ο παρονομαστής θα είναι μηδέν και δεν ορίσαμε τη διαίρεση με το μηδέν) και ο τύπος - για όλα , διαφορετικά από , όπου z είναι οποιοδήποτε .
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Ακόμα πιο προφανές τριγωνομετρική ταυτότητααπό τα δύο προηγούμενα είναι μια ταυτότητα που συνδέει την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας της μορφής . Είναι σαφές ότι λαμβάνει χώρα για οποιεσδήποτε άλλες γωνίες εκτός από , διαφορετικά δεν ορίζεται είτε η εφαπτομένη είτε η συνεφαπτομένη.
Απόδειξη του τύπου πολύ απλό. Εξ ορισμού και από πού 
. Η απόδειξη θα μπορούσε να γίνει με λίγο διαφορετικό τρόπο. Αφού και , Οτι 
.
Άρα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας, στην οποία έχουν νόημα, είναι.