Εφαρμογή βασικών τριγωνομετρικών τύπων στο μετασχηματισμό παραστάσεων (Βαθμός 10). Εκπαιδευτικό έργο «Η τριγωνομετρία στον κόσμο γύρω μας και η ανθρώπινη ζωή»

  1. Επαναλάβετε τους βασικούς τύπους της τριγωνομετρίας και εμπεδώστε τις γνώσεις τους κατά τη διάρκεια των ασκήσεων.
  2. Αναπτύξτε δεξιότητες αυτοελέγχου, ικανότητα εργασίας με παρουσίαση υπολογιστή.
  3. Εκπαίδευση υπεύθυνης στάσης στο εκπαιδευτικό έργο, θέληση και επιμονή για την επίτευξη των τελικών αποτελεσμάτων.

Εξοπλισμός: Υπολογιστές, παρουσίαση υπολογιστή.

Αναμενόμενο Αποτέλεσμα:

  1. Κάθε μαθητής πρέπει να γνωρίζει τύπους τριγωνομετρίας και να μπορεί να τους εφαρμόζει για μετατροπή τριγωνομετρικές εκφράσειςστο απαιτούμενο επίπεδο αποτελέσματος.
  2. Να γνωρίζετε την παραγωγή αυτών των τύπων και να είστε σε θέση να τους εφαρμόσετε για να μετατρέψετε τριγωνομετρικές παραστάσεις.
  3. Να γνωρίζετε τους τύπους της τριγωνομετρίας, να είστε σε θέση να εξάγετε αυτούς τους τύπους και να τους εφαρμόζετε σε πιο σύνθετες τριγωνομετρικές εκφράσεις.

Τα κύρια στάδια του μαθήματος:

  1. Το μήνυμα του θέματος, ο σκοπός, οι στόχοι του μαθήματος και τα κίνητρα των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων.
  2. Λεκτική καταμέτρηση
  3. Μήνυμα από την ιστορία των μαθηματικών
  4. Επανάληψη (από την 9η τάξη) τύπων τριγωνομετρίας με χρήση παρουσίασης υπολογιστή
  5. Εφαρμογή τριγωνομετρικούς τύπουςσε μετατροπή έκφρασης
  6. Εκτέλεση δοκιμής
  7. Συνοψίζοντας το μάθημα
  8. Ρύθμιση μιας εργασίας στο σπίτι

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

ΕΓΩ. Οργάνωση χρόνου.

Αναφορά του θέματος, των στόχων, των στόχων του μαθήματος και των κινήτρων για μαθησιακές δραστηριότητες

II. Προφορική εργασία (οι εργασίες είναι προεκτυπωμένες για κάθε μαθητή):

Το μέτρο ακτινίου δύο γωνιών τριγώνου είναι και . Να βρείτε το μέτρο κάθε γωνίας του τριγώνου. Απάντηση: 60, 30, 90

Να βρείτε το μέτρο του ακτινίου των γωνιών ενός τριγώνου αν η αναλογία τους είναι 2:3:4. Απάντηση: , ,

Μπορεί το συνημίτονο να είναι ίσο με: α), β), γ), δ), ε) -2; Απάντηση: α) ναι? β) όχι? γ) όχι? δ) ναι? ε) ναι.

Μπορεί το ημίτονο να είναι ίσο με: α) -3, 7 β), γ); Απάντηση: α) όχι? β) ναι? γ) όχι.

Για ποιες τιμές των a και b ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: α) cos x = ; β) αμαρτία x=; γ) cosx= ; δ) tg x= ; ε) αμαρτία x = α; Απάντηση: α) /a/ 7; β) /a/ ; γ) 0 δ) β – οποιοσδήποτε αριθμός. ε) -

III. Μήνυμα από την ιστορία της τριγωνομετρίας (σύντομη ιστορική αναδρομή):

Η τριγωνομετρία προέκυψε και αναπτύχθηκε στην αρχαιότητα ως ένας από τους τομείς της αστρονομίας, ως η υπολογιστική της συσκευή που καλύπτει τις πρακτικές ανάγκες του ανθρώπου.

Ορισμένες τριγωνομετρικές πληροφορίες ήταν γνωστές στους αρχαίους Βαβυλώνιους και Αιγύπτιους, αλλά τα θεμέλια αυτής της επιστήμης τίθενται σε Αρχαία Ελλάδα.

Ο Έλληνας αστρονόμος Ίππαρχος τον 2ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. έκανε ένα τραπέζι αριθμητικές τιμέςσυγχορδίες ανάλογα με το μέγεθος των τόξων που αφαιρούν. Πιο ολοκληρωμένες πληροφορίες από την τριγωνομετρία περιέχονται στην περίφημη «Αλμαγέστη» του Πτολεμαίου. Οι υπολογισμοί που έγιναν επέτρεψαν στον Πτολεμαίο να συντάξει έναν πίνακα που περιείχε συγχορδίες από το 0 έως το 180.

Τα ονόματα των ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών γραμμών εισήχθησαν για πρώτη φορά από Ινδούς επιστήμονες. Συνέταξαν επίσης τους πρώτους πίνακες ημιτόνων, αν και λιγότερο ακριβείς από τους Πτολεμαϊκούς.

Στην Ινδία, ουσιαστικά, ξεκινά το δόγμα των τριγωνομετρικών μεγεθών, που αργότερα ονομάστηκε γωνιομετρία (από το "gonia" - γωνία και "metrio" - μετράω).

Στο κατώφλι του 17ου αι στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας, ξεκινά μια νέα κατεύθυνση - αναλυτική.

Η τριγωνομετρία παρέχει την απαραίτητη μέθοδο για την ανάπτυξη πολλών εννοιών και μεθόδων για την επίλυση πραγματικών προβλημάτων που προκύπτουν στη φυσική, τη μηχανική, την αστρονομία, τη γεωδοσία, τη χαρτογραφία και άλλες επιστήμες. Επιπλέον, η τριγωνομετρία βοηθάει πολύ στην επίλυση στερεομετρικών προβλημάτων.

IV. Εργασία σε υπολογιστές με παρουσίαση:

«Βασικοί τύποι τριγωνομετρίας» (Παράρτημα 1)

Προ-υπενθύμιση μέτρα ασφαλείαςστην τάξη της πληροφορικής.

  • Κύριος τριγωνομετρικές ταυτότητες.
  • Τύποι προσθήκης.
  • Φόρμουλες cast
  • Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων (συνημίτονα).
  • Τύποι διπλού επιχειρήματος.
  • Τύποι μισού επιχειρήματος.

V. Εφαρμογή τριγωνομετρικών τύπων στο μετασχηματισμό παραστάσεων.

α) Ένας μαθητής ολοκληρώνει την εργασία στο πίσω μέρος του πίνακα, οι υπόλοιποι από τη θέση ελέγχουν και σηκώνουν τις κάρτες σήματος (σωστά - "+", λάθος - "-") από τη θέση.

Επιλέξτε μια απάντηση.

Απλοποιήστε την έκφραση 7 cos - 5.

α) 1+cos; β) 2; στα 12; δ) 12

Απλοποιήστε την έκφραση 5 – 4 si n

Α'1; β) 9; γ) 1+8 αμαρτία; δ) 1+συν.

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Καλή δουλειάστον ιστότοπο">

Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.

Παρόμοια Έγγραφα

    Η έννοια και η ταξινόμηση των γωνιών, θετικών και αρνητικών γωνιών. Μέτρηση γωνιών με κυκλικά τόξα. Μονάδες μέτρησής τους όταν χρησιμοποιούνται μέτρα βαθμών και ακτίνων. Χαρακτηριστικά γωνιών: μεταξύ κεκλιμένου και επιπέδου, δύο επίπεδα, δίεδρο.

    περίληψη, προστέθηκε 18/08/2011

    μεταπτυχιακή εργασία, προστέθηκε 12/01/2007

    Μια εξαιρετική φιγούρα του Μεσαίωνα, ένας παγκόσμιος επιστήμονας-εγκυκλοπαιδιστής Abu Rayhan Muhammad ibn Ahmad al-Beruni, στο έργο του "Gnomonika" αναφέρεται λεπτομερώς στη μέτρηση της απόστασης στη Γη και του ύψους των βουνών και δίνει τρόπους επίλυσής τους.

    περίληψη, προστέθηκε 25/03/2008

    Γωνίες και η μέτρησή τους, τριγωνομετρικές συναρτήσεις οξείας γωνίας. Ιδιότητες και σημάδια τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ζυγές και περιττές συναρτήσεις. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων με χρήση τύπων.

    φροντιστήριο, προστέθηκε 30/12/2009

    Χρησιμοποιώντας μια ποικιλία τρόπων μέτρησης της απόστασης σε χώρες σε όλο τον κόσμο. Χαρακτηριστικά του συστήματος μέτρων αρχαία Ρωσία: vershok, span, pood, arshin, sazhen και verst. Ανάπτυξη του μετρικού συστήματος. Μετρήσεις εμβαδού και μήκους στην Αίγυπτο, το Ισραήλ, το Ηνωμένο Βασίλειο και τις ΗΠΑ.

    παρουσίαση, προστέθηκε 17/11/2011

    Γεωμετρικές έννοιες σημείου, ακτίνας και γωνίας. Είδη γωνιών: ανεπτυγμένες, οξείες, ευθείες, αμβλείες, παρακείμενες και κάθετες. Μέθοδοι κατασκευής γειτονικών και κάθετων γωνιών. Ισότητα κάθετων γωνιών. Έλεγχος γνώσεων σε μάθημα γεωμετρίας: προσδιορισμός του είδους των γωνιών.

    παρουσίαση, προστέθηκε 13/03/2010

    Η έννοια της αριθμητικής γραμμής. Τύποι αριθμητικών διαστημάτων. Προσδιορισμός των συντεταγμένων της θέσης ενός σημείου σε ευθεία γραμμή, σε επίπεδο, σε χώρο, σύστημα συντεταγμένων. Μονάδες για άξονες. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο και στο διάστημα.

    περίληψη, προστέθηκε 19/01/2012

    Επεξεργασία αποτελεσμάτων σε άμεσες και έμμεσες μετρήσεις. Αρχές επεξεργασίας αποτελεσμάτων. Τυχαία και συστηματικά λάθη, χαρακτηριστικά πρόσθεσής τους. Ακρίβεια υπολογισμού, αποτέλεσμα μέτρησης. Γενική διαταγήυπολογισμός του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών των τιμών.

    εργαστηριακές εργασίες, προστέθηκε 23/12/2014

Γυμνάσιο MBOU Tselinnaya

Αναφέρετε την Τριγωνομετρία στην πραγματική ζωή

Προετοιμάστηκε και διεξήχθη

καθηγητής μαθηματικών

κατηγορίας προσόντων

Ilyina V.P.

Tselinny Μάρτιος 2014

Πίνακας περιεχομένων.

1. Εισαγωγή .

2. Η ιστορία της δημιουργίας της τριγωνομετρίας:

    Πρώιμοι αιώνες.

    Αρχαία Ελλάδα.

    Μεσαίωνας.

    Νέα ώρα.

    Από την ιστορία της ανάπτυξης της σφαιρικής γεωμετρίας.

3. Τριγωνομετρία και πραγματική ζωή:

    Εφαρμογή της τριγωνομετρίας στη ναυσιπλοΐα.

    Τριγωνομετρία στην άλγεβρα.

    Τριγωνομετρία στη φυσική.

    Τριγωνομετρία στην ιατρική και τη βιολογία.

    Τριγωνομετρία στη μουσική.

    Τριγωνομετρία στην επιστήμη των υπολογιστών

    Τριγωνομετρία στις κατασκευές και τη γεωδαισία.

4. Συμπέρασμα .

5. Κατάλογος παραπομπών.

Εισαγωγή

Έχει καθιερωθεί από παλιά στα μαθηματικά ότι στη συστηματική μελέτη των μαθηματικών, εμείς οι μαθητές πρέπει να συναντήσουμε την τριγωνομετρία τρεις φορές. Κατά συνέπεια, το περιεχόμενό του φαίνεται να αποτελείται από τρία μέρη. Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης, αυτά τα μέρη διαχωρίζονται μεταξύ τους χρονικά και δεν μοιάζουν μεταξύ τους τόσο ως προς το νόημα που επενδύεται στις επεξηγήσεις των βασικών εννοιών όσο και ως προς την αναπτυγμένη συσκευή και τις λειτουργίες υπηρεσίας (εφαρμογές).

Πράγματι, για πρώτη φορά τριγωνομετρικό υλικόγνωριστήκαμε στην 8η τάξη όταν μελετούσαμε το θέμα «Λόγοι μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου». Έτσι μάθαμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη, μάθαμε πώς να λύνουμε επίπεδα τρίγωνα.

Ωστόσο, πέρασε αρκετός καιρός και στην 9η δημοτικού επιστρέψαμε ξανά στην τριγωνομετρία. Αλλά αυτή η τριγωνομετρία δεν είναι όπως αυτή που μελετήθηκε πριν. Οι λόγοι του ορίζονται πλέον με τη βοήθεια κύκλου (μοναδιαίου ημικυκλίου) και όχι ορθογωνίου τριγώνου. Αν και εξακολουθούν να ορίζονται ως συναρτήσεις γωνιών, αυτές οι γωνίες είναι ήδη αυθαίρετα μεγάλες.

Αφού περάσαμε στη 10η δημοτικού, συναντήσαμε ξανά την τριγωνομετρία και είδαμε ότι είχε γίνει ακόμη πιο δύσκολη, εισήχθη η έννοια του μέτρου ακτινίου μιας γωνίας και φαίνονται οι τριγωνομετρικές ταυτότητες και η διατύπωση προβλημάτων και η ερμηνεία των λύσεών τους διαφορετικός. Εισάγονται γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιτέλους εμφανιστείτε τριγωνομετρικές εξισώσεις. Και όλο αυτό το υλικό εμφανίστηκε μπροστά μας ήδη ως μέρος της άλγεβρας και όχι ως γεωμετρία. Και έγινε πολύ ενδιαφέρον για εμάς να μελετήσουμε την ιστορία της τριγωνομετρίας, την εφαρμογή της Καθημερινή ζωή, γιατί η χρήση ιστορικών πληροφοριών από έναν καθηγητή μαθηματικών δεν είναι υποχρεωτική κατά την παρουσίαση της ύλης του μαθήματος. Ωστόσο, όπως επισημαίνει ο K. A. Malygin, «... οι εκδρομές στο ιστορικό παρελθόν ζωντανεύουν το μάθημα, δίνουν χαλάρωση στο ψυχικό στρες, αυξάνουν το ενδιαφέρον για το υλικό που μελετάται και συμβάλλουν στη διαρκή αφομοίωσή του». Επιπλέον, το υλικό για την ιστορία των μαθηματικών είναι πολύ εκτενές και ενδιαφέρον, αφού η ανάπτυξη των μαθηματικών συνδέεται στενά με την επίλυση επειγόντων προβλημάτων που έχουν προκύψει σε όλες τις περιόδους της ύπαρξης του πολιτισμού.

Έχοντας μάθει για τους ιστορικούς λόγους για την εμφάνιση της τριγωνομετρίας και έχοντας μελετήσει πώς οι καρποί των δραστηριοτήτων μεγάλων επιστημόνων επηρέασαν την ανάπτυξη αυτού του τομέα των μαθηματικών και την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, εμείς, μεταξύ των μαθητών, αυξάνουμε ενδιαφέρον για το αντικείμενο που μελετάται και θα δούμε την πρακτική σημασία του.

Στόχος του έργου - ανάπτυξη ενδιαφέροντος για τη μελέτη του θέματος "Τριγωνομετρία" στο μάθημα της άλγεβρας και η έναρξη της ανάλυσης μέσα από το πρίσμα της εφαρμοσμένης αξίας του υλικού που μελετάται. Επέκταση γραφικών παραστάσεων που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. εφαρμογή της τριγωνομετρίας σε επιστήμες όπως η φυσική, η βιολογία κ.λπ.

Η σύνδεση της τριγωνομετρίας με τον έξω κόσμο, η σημασία της τριγωνομετρίας στην επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων, οι γραφικές δυνατότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων καθιστούν δυνατή την «υλοποίηση» της γνώσης των μαθητών. Αυτό σας επιτρέπει να κατανοήσετε καλύτερα τη ζωτική ανάγκη για γνώση που αποκτήθηκε στη μελέτη της τριγωνομετρίας, αυξάνει το ενδιαφέρον για τη μελέτη αυτού του θέματος.

Στόχοι της έρευνας:

1. Εξετάστε την ιστορία της εμφάνισης και της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας.

2. Εμφάνιση συγκεκριμένα παραδείγματαπρακτικές εφαρμογές της τριγωνομετρίας σε διάφορες επιστήμες.

3. Εξηγήστε σε συγκεκριμένα παραδείγματα τις δυνατότητες χρήσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων, οι οποίες επιτρέπουν τη μετατροπή «λίγο ενδιαφέρουσες» συναρτήσεις σε συναρτήσεις των οποίων τα γραφήματα έχουν πολύ πρωτότυπη εμφάνιση.

«Ένα πράγμα παραμένει σαφές, ότι ο κόσμος είναι διατεταγμένος απειλητικά και όμορφα».

Ν. Ρούμπτσοφ

Τριγωνομετρία - Αυτός είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τη σχέση μεταξύ των γωνιών και των μηκών των πλευρών των τριγώνων, καθώς και τις αλγεβρικές ταυτότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς, αλλά αυτή την επιστήμη τη συναντάμε όχι μόνο στα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά και στην καθημερινή μας ζωή. Μπορεί να μην το γνωρίζαμε αυτό, αλλά η τριγωνομετρία βρίσκεται σε επιστήμες όπως η φυσική, η βιολογία, παίζει σημαντικό ρόλο στην ιατρική και, το πιο ενδιαφέρον, ακόμη και η μουσική και η αρχιτεκτονική δεν θα μπορούσαν να κάνουν χωρίς αυτήν. Τα προβλήματα με το πρακτικό περιεχόμενο διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων για την εφαρμογή στην πράξη των θεωρητικών γνώσεων που αποκτήθηκαν στη μελέτη των μαθηματικών. Κάθε μαθητής μαθηματικών ενδιαφέρεται για το πώς και πού εφαρμόζεται η αποκτηθείσα γνώση. Αυτή η εργασία δίνει μια απάντηση σε αυτό το ερώτημα.

Η ιστορία της δημιουργίας της τριγωνομετρίας

Πρώιμοι αιώνες

Από τα βαβυλωνιακά μαθηματικά, συνηθίζουμε να μετράμε τις γωνίες σε μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα (η εισαγωγή αυτών των μονάδων στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά συνήθως αποδίδεται στον 2ο αιώνα π.Χ.).

Το κύριο επίτευγμα αυτής της περιόδου ήταν η αναλογία των ποδιών και της υποτείνουσας σε ορθογώνιο τρίγωνο, αργότερα ονομάστηκε .

Αρχαία Ελλάδα

Μια γενική και λογικά συνεκτική παρουσίαση των τριγωνομετρικών σχέσεων εμφανίστηκε στην αρχαία ελληνική γεωμετρία. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν διέκριναν ακόμη την τριγωνομετρία ως ξεχωριστή επιστήμη, γι' αυτούς ήταν μέρος της αστρονομίας.
Το κύριο επίτευγμα της αρχαίας τριγωνομετρικής θεωρίας ήταν η λύση στο γενική εικόνατο πρόβλημα της «λύσης τριγώνων», δηλαδή της εύρεσης άγνωστων στοιχείων ενός τριγώνου, με βάση τρία δεδομένα στοιχεία (εκ των οποίων τουλάχιστον το ένα είναι πλευρά).


Μεσαίωνας

Τον IV αιώνα, μετά το θάνατο της αρχαίας επιστήμης, το κέντρο ανάπτυξης των μαθηματικών μεταφέρθηκε στην Ινδία. Άλλαξαν μερικές από τις έννοιες της τριγωνομετρίας, φέρνοντάς τις πιο κοντά στις σύγχρονες: για παράδειγμα, ήταν οι πρώτοι που εισήγαγαν το συνημίτονο σε χρήση.
Η πρώτη εξειδικευμένη πραγματεία για την τριγωνομετρία ήταν το έργο του επιστήμονα της Κεντρικής Ασίας (X-XI αιώνας) "The Book of the Keys of the Science of Astronomy" (995-996). Ένα ολόκληρο μάθημα τριγωνομετρίας περιείχε κύρια εργασία Al-Biruni - "The Canon of Mas'ud" (Βιβλίο III). Εκτός από τους πίνακες των ημιτόνων (με βήμα 15 "), ο Al-Biruni έδωσε πίνακες εφαπτομένων (με βήμα 1 °).

Μετά τη μετάφραση των αραβικών πραγματειών στα λατινικά τον XII-XIII αιώνα, πολλές ιδέες Ινδών και Περσών μαθηματικών έγιναν ιδιοκτησία της ευρωπαϊκής επιστήμης. Προφανώς, η πρώτη γνωριμία των Ευρωπαίων με την τριγωνομετρία έγινε χάρη στο zij, δύο μεταφράσεις του οποίου έγιναν τον 12ο αιώνα.

Το πρώτο ευρωπαϊκό έργο που αφιερώθηκε εξ ολοκλήρου στην τριγωνομετρία αποκαλείται συχνά οι Τέσσερις πραγματείες για τις άμεσες και αντίστροφες χορδές από έναν Άγγλο αστρονόμο (περίπου το 1320). Τριγωνομετρικοί πίνακες, συχνά μεταφρασμένοι από τα αραβικά, αλλά μερικές φορές πρωτότυποι, περιέχονται στα έργα ορισμένων άλλων συγγραφέων του 14ου-15ου αιώνα. Τότε η τριγωνομετρία πήρε τη θέση της ανάμεσα στα πανεπιστημιακά μαθήματα.

νέα ώρα

Η λέξη «τριγωνομετρία» συναντάται για πρώτη φορά (1505) στον τίτλο ενός βιβλίου του Γερμανού θεολόγου και μαθηματικού Πιτίσκου.Η προέλευση αυτής της λέξης είναι ελληνική: τρίγωνο, μέτρο. Με άλλα λόγια, η τριγωνομετρία είναι η επιστήμη της μέτρησης τριγώνων. Αν και το όνομα προέκυψε σχετικά πρόσφατα, πολλές από τις έννοιες και τα γεγονότα που σχετίζονται τώρα με την τριγωνομετρία ήταν ήδη γνωστά πριν από δύο χιλιάδες χρόνια.

Η έννοια του ημιτονοειδούς έχει μακρά ιστορία. Στην πραγματικότητα, διάφορες αναλογίες των τμημάτων ενός τριγώνου και ενός κύκλου (και, στην ουσία, τριγωνομετρικές συναρτήσεις) βρίσκονται ήδη στον ӀӀӀ γ. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε στα έργα των μεγάλων μαθηματικών της Αρχαίας Ελλάδας - Ευκλείδης, Αρχιμήδης, Απολλώνιος της Πέργας. Στη ρωμαϊκή περίοδο, οι σχέσεις αυτές μελετήθηκαν ήδη αρκετά συστηματικά από τον Μενέλαο (Ӏ αιώνας π.Χ.), αν και δεν απέκτησαν ιδιαίτερο όνομα. Το σύγχρονο μείον μιας γωνίας, για παράδειγμα, μελετήθηκε ως γινόμενο μισών χορδών, στις οποίες η κεντρική γωνία υποστηρίζεται από μια τιμή, ή ως χορδή ενός διπλού τόξου.

Στην επόμενη περίοδο, τα μαθηματικά για πολύ καιρόπου αναπτύχθηκε πιο ενεργά από Ινδούς και Άραβες επιστήμονες. Στο ӀV- Vαιώνες Συγκεκριμένα, ένας ειδικός όρος εμφανίστηκε στα έργα για την αστρονομία του μεγάλου Ινδού επιστήμονα Aryabhata (476-περίπου 550), από τον οποίο πήρε το όνομά του ο πρώτος ινδικός δορυφόρος της Γης.

Αργότερα, περισσότερα σύντομος τίτλοςτζίβα. Άραβες μαθηματικοί στο ΙΧV. η λέξη jiva (ή jiba) αντικαταστάθηκε από την αραβική λέξη jaib (φούσκωμα). Κατά τη μετάφραση αραβικών μαθηματικών κειμένων σεXΙΙV. αυτή η λέξη αντικαταστάθηκε από το λατινικό sine (κόλπος- κάμψη, καμπυλότητα)

Η λέξη συνημίτονο είναι πολύ νεότερη. Το συνημίτονο είναι συντομογραφία της λατινικής έκφρασηςσυμπλήρωμακόλπος, δηλ. "πρόσθετο ημίτονο" (ή αλλιώς "ημίτονο του πρόσθετου τόξου", θυμηθείτεcosένα= αμαρτία(90°- ένα)).

Ασχολούμενοι με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ουσιαστικά ξεφεύγουμε από το εύρος του έργου της «μέτρησης τριγώνων». Να γιατί διάσημος μαθηματικόςΟ F. Klein (1849-1925) πρότεινε να ονομαστεί αλλιώς η θεωρία των «τριγωνομετρικών» συναρτήσεων - γωνιομετρία (γωνία). Ωστόσο, αυτό το όνομα δεν κόλλησε.

Οι εφαπτομένες προέκυψαν σε σχέση με τη λύση του προβλήματος του προσδιορισμού του μήκους της σκιάς. Η εφαπτομένη (καθώς και η συνεφαπτομένη, η διατομή και η συνεφαπτομένη) εισάγεται στοΧV. Ο Άραβας μαθηματικός Abu-l-Wafa, ο οποίος συνέταξε επίσης τους πρώτους πίνακες για την εύρεση εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Ωστόσο, αυτές οι ανακαλύψεις παρέμειναν άγνωστες στους Ευρωπαίους επιστήμονες για μεγάλο χρονικό διάστημα και οι εφαπτομένες ανακαλύφθηκαν εκ νέου σεXIVV. πρώτα από τον Άγγλο επιστήμονα T. Braverdin, και αργότερα από τον Γερμανό μαθηματικό, αστρονόμο Regiomontanus (1467). Το όνομα «εφαπτομένη» προέρχεται από το λατινικότανγκέρ(για να αγγίξει), εμφανίστηκε το 1583Εφαπτόμενεςμεταφράζεται ως "αγγίσιμο" (θυμηθείτε: η γραμμή των εφαπτομένων εφάπτεται σε κύκλος μονάδας)

Σύγχρονοι χαρακτηρισμοίτόξο αμαρτίαΚαι arctgεμφανίζονται το 1772 στα έργα του Βιεννέζου μαθηματικού Sherfer και του διάσημου Γάλλου επιστήμονα J.L. Lagrange, αν και ο J. Bernoulli τους είχε ήδη εξετάσει λίγο νωρίτερα, ο οποίος χρησιμοποιούσε διαφορετικό συμβολισμό. Αλλά αυτά τα σύμβολα έγιναν γενικά αποδεκτά μόνο στο τέλοςXVΙΙΙαιώνες. Το πρόθεμα "arc" προέρχεται από τα λατινικάτόξοΧ, για παράδειγμα -, αυτή είναι μια γωνία (ή, θα έλεγε κανείς, ένα τόξο), το ημίτονο της οποίας είναι ίσο μεΧ.

πολύς καιρόςη τριγωνομετρία αναπτύχθηκε ως μέρος της γεωμετρίας, δηλ. τα γεγονότα που τώρα διατυπώνουμε ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις διατυπώθηκαν και αποδείχθηκαν με τη βοήθεια γεωμετρικών εννοιών και δηλώσεων. Ίσως τα μεγαλύτερα κίνητρα για την ανάπτυξη της τριγωνομετρίας προέκυψαν σε σχέση με την επίλυση προβλημάτων της αστρονομίας, τα οποία είχαν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον (για παράδειγμα, για την επίλυση προβλημάτων προσδιορισμού της θέσης ενός σκάφους, πρόβλεψη εκλείψεων κ.λπ.)

Οι αστρονόμοι ενδιαφέρθηκαν για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των σφαιρικών τριγώνων που αποτελούνται από μεγάλους κύκλους που βρίσκονται σε μια σφαίρα. Και πρέπει να σημειωθεί ότι οι μαθηματικοί της αρχαιότητας αντιμετώπισαν με επιτυχία προβλήματα που ήταν πολύ πιο δύσκολα από τα προβλήματα επίλυσης επίπεδων τριγώνων.

Σε κάθε περίπτωση, σε γεωμετρική μορφή, πολλοί τύποι τριγωνομετρίας που είναι γνωστοί σε εμάς ανακαλύφθηκαν και ανακαλύφθηκαν ξανά από αρχαίους Έλληνες, Ινδούς, Άραβες μαθηματικούς (αν και οι τύποι για τη διαφορά των τριγωνομετρικών συναρτήσεων έγιναν γνωστοί μόνο στοXVΙӀ v. - παρουσιάστηκαν από τον Άγγλο μαθηματικό Napier για να απλοποιήσει τους υπολογισμούς με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Και το πρώτο σχέδιο ενός ημιτονοειδούς εμφανίστηκε το 1634.)

Θεμελιώδους σημασίας ήταν η σύνταξη από τον Κ. Πτολεμαίο του πρώτου πίνακα των ημιτόνων (για μεγάλο χρονικό διάστημα ονομαζόταν πίνακας των συγχορδιών): εμφανίστηκε ένα πρακτικό εργαλείο για την επίλυση ορισμένων εφαρμοζόμενων προβλημάτων και πρώτα απ 'όλα προβλήματα της αστρονομίας. .

Όταν ασχολούμαστε με έτοιμους πίνακες ή χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, συχνά δεν σκεφτόμαστε το γεγονός ότι υπήρξε μια εποχή που οι πίνακες δεν είχαν εφευρεθεί ακόμη. Για τη σύνταξή τους, ήταν απαραίτητο να πραγματοποιηθεί όχι μόνο ένας μεγάλος αριθμός υπολογισμών, αλλά και να βρεθεί ένας τρόπος για τη σύνταξη πινάκων. Οι πίνακες του Πτολεμαίου είναι ακριβείς με πέντε δεκαδικά ψηφία, συμπεριλαμβανομένων.

Μοντέρνα εμφάνισητριγωνομετρία που προσέδωσε ο μεγαλύτερος μαθηματικόςXVΙӀΙ αιώνας Ο L. Euler (1707-1783), Ελβετός στην καταγωγή, εργάστηκε για πολλά χρόνια στη Ρωσία και ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Ήταν ο Euler που εισήγαγε πρώτος τους γνωστούς ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, άρχισε να εξετάζει συναρτήσεις αυθαίρετης γωνίας και έλαβε τύπους αναγωγής. Όλα αυτά είναι ένα μικρό κλάσμα αυτού που κατάφερε να κάνει ο Euler στα μαθηματικά για μια μακρά ζωή: άφησε πάνω από 800 εργασίες, απέδειξε πολλά θεωρήματα που έχουν γίνει κλασικά, που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών. Αλλά αν προσπαθείτε να λειτουργήσετε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε γεωμετρική μορφή, δηλαδή με τον τρόπο που έκαναν πολλές γενιές μαθηματικών πριν από τον Euler, τότε θα είστε σε θέση να εκτιμήσετε τα πλεονεκτήματα του Euler στη συστηματοποίηση της τριγωνομετρίας. Μετά τον Euler απέκτησε η τριγωνομετρία νέα μορφήλογισμός: διάφορα γεγονότα άρχισαν να αποδεικνύονται με την επίσημη εφαρμογή τύπων τριγωνομετρίας, οι αποδείξεις έγιναν πολύ πιο συμπαγείς, απλούστερες.

Από την ιστορία της ανάπτυξης της σφαιρικής γεωμετρίας .

Είναι ευρέως γνωστό ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια από τις αρχαιότερες επιστήμες: ήδηIIIαιώνα π.Χ Εμφανίστηκε το κλασικό έργο του Ευκλείδη «Αρχές». Λιγότερο γνωστό είναι ότι η σφαιρική γεωμετρία είναι ελαφρώς νεότερη. Η πρώτη της συστηματική έκθεση αναφέρεται σεΕγώ- IIαιώνες. Στο βιβλίο «Σφαίρα», που έγραψε ο Έλληνας μαθηματικός Μενέλαος (Εγώγ.), μελετήθηκαν οι ιδιότητες των σφαιρικών τριγώνων. αποδείχθηκε, ειδικότερα, ότι το άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Ένας άλλος Έλληνας μαθηματικός Κλαύδιος Πτολεμαίος έκανε ένα μεγάλο βήμα προς τα εμπρός (IIV.). Ουσιαστικά ήταν ο πρώτος που συνέταξε πίνακες τριγωνομετρικών συναρτήσεων και εισήγαγε τη στερεογραφική προβολή.

Ακριβώς όπως η γεωμετρία του Ευκλείδη, έτσι και η σφαιρική γεωμετρία προέκυψε κατά την επίλυση προβλημάτων πρακτικής φύσης, και κυρίως προβλημάτων αστρονομίας. Αυτές οι εργασίες ήταν απαραίτητες, για παράδειγμα, για ταξιδιώτες και πλοηγούς που πλοηγούνταν από τα αστέρια. Και επειδή στις αστρονομικές παρατηρήσεις είναι βολικό να υποθέσουμε ότι τόσο ο Ήλιος όσο και η Σελήνη και τα αστέρια κινούνται κατά μήκος της απεικονιζόμενης "ουράνιας σφαίρας", είναι φυσικό ότι απαιτείται γνώση της γεωμετρίας της σφαίρας για τη μελέτη της κίνησής τους. Δεν είναι τυχαίο, λοιπόν, ότι τα περισσότερα αξιόλογο έργοΟ Πτολεμαίος ονομάστηκε Η Μεγάλη Μαθηματική Κατασκευή της Αστρονομίας σε 13 Βιβλία.

Η πιο σημαντική περίοδος στην ιστορία της σφαιρικής τριγωνομετρίας συνδέεται με τις δραστηριότητες των επιστημόνων στη Μέση Ανατολή. Ινδοί επιστήμονες έλυσαν με επιτυχία προβλήματα σφαιρικής τριγωνομετρίας. Ωστόσο, η μέθοδος που περιγράφει ο Πτολεμαίος και βασίζεται στο θεώρημα του Μενέλαου για το πλήρες τετράπλευρο δεν χρησιμοποιήθηκε από αυτούς. Και στη σφαιρική τριγωνομετρία, χρησιμοποιούσαν προβολικές μεθόδους που αντιστοιχούσαν σε αυτές στο Ανάλημμα του Πτολεμαίου. Ως αποτέλεσμα, απέκτησαν ένα σύνολο συγκεκριμένων υπολογιστικών κανόνων που κατέστησαν δυνατή την επίλυση σχεδόν κάθε προβλήματος της σφαιρικής αστρονομίας. Με τη βοήθειά τους, ένα τέτοιο πρόβλημα περιορίστηκε τελικά στη σύγκριση παρόμοιων επίπεδων ορθογώνιων τριγώνων μεταξύ τους. Κατά τη λήψη αποφάσεων, χρησιμοποιήθηκε συχνά η θεωρία τετραγωνικές εξισώσειςκαι η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων. Ένα παράδειγμα αστρονομικού προβλήματος που έλυσαν Ινδοί επιστήμονες χρησιμοποιώντας τους κανόνες που ανέπτυξαν είναι το πρόβλημα που εξετάζεται στο έργο Panga Siddhantika του Varahamihira (V- VI). Συνίσταται στην εύρεση του ύψους του Ήλιου, εάν είναι γνωστό το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, η απόκλιση του Ήλιου και η ωριαία γωνία του. Ως αποτέλεσμα της επίλυσης αυτού του προβλήματος, μετά από μια σειρά κατασκευών, δημιουργείται μια σχέση που είναι ισοδύναμη με το σύγχρονο θεώρημα συνημιτόνου για ένα σφαιρικό τρίγωνο. Ωστόσο, αυτή η σχέση, και μια άλλη ισοδύναμη με το ημιτονικό θεώρημα, δεν έχουν γενικευθεί ως κανόνες που να εφαρμόζονται σε οποιοδήποτε σφαιρικό τρίγωνο.

Μεταξύ των πρώτων ανατολικών μελετητών που στράφηκαν στη συζήτηση του θεωρήματος του Μενέλαου, θα πρέπει να ονομάσουμε τους αδελφούς Banu Mussa - Muhammad, Hasan και Ahmad, τους γιους του Musa ibn Shakir, που εργάστηκαν στη Βαγδάτη και σπούδασαν μαθηματικά, αστρονομία και μηχανική. Αλλά το αρχαιότερο σωζόμενο έργο για το θεώρημα του Μενέλαου είναι η «Πραγματεία για το σχήμα της διατομής» του μαθητή τους Thabit ibn Korra (836-901)

Η πραγματεία του Θαμπίτ ιμπν Κόρρα μας έχει φτάσει στο αραβικό πρωτότυπο. Και σε λατινική μετάφρασηXIIV. Αυτή η μετάφραση του Γεράντο της Κρεμόνας (1114-1187) χρησιμοποιήθηκε ευρέως στη Μεσαιωνική Ευρώπη.

Η ιστορία της τριγωνομετρίας, ως επιστήμη της σχέσης μεταξύ των γωνιών και των πλευρών ενός τριγώνου και άλλων γεωμετρικά σχήματαεκτείνεται σε πάνω από δύο χιλιετίες. Οι περισσότερες από αυτές τις σχέσεις δεν μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας συνηθισμένες αλγεβρικές πράξεις, και επομένως ήταν απαραίτητο να εισαχθούν ειδικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που αρχικά παρουσιάστηκαν με τη μορφή αριθμητικών πινάκων.
Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι η τριγωνομετρία δημιουργήθηκε από αρχαίους αστρονόμους και λίγο αργότερα άρχισε να χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική. Με την πάροδο του χρόνου, το πεδίο εφαρμογής της τριγωνομετρίας διευρύνθηκε συνεχώς, σήμερα περιλαμβάνει σχεδόν όλα φυσικές επιστήμες, τεχνολογία και μια σειρά από άλλους τομείς δραστηριότητας.

Τα εφαρμοσμένα τριγωνομετρικά προβλήματα είναι πολύ διαφορετικά - για παράδειγμα, μπορούν να ρυθμιστούν μετρήσιμα αποτελέσματα πράξεων στις αναφερόμενες ποσότητες (για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ή ο λόγος των μηκών των πλευρών).

Παράλληλα με την ανάπτυξη της επίπεδης τριγωνομετρίας, οι Έλληνες, υπό την επίδραση της αστρονομίας, προχώρησαν πολύ στη σφαιρική τριγωνομετρία. Στις «Αρχές» του Ευκλείδη σχετικά με αυτό το θέμα, υπάρχει μόνο ένα θεώρημα για την αναλογία των όγκων των σφαιρών διαφορετικών διαμέτρων, αλλά οι ανάγκες της αστρονομίας και της χαρτογραφίας προκάλεσαν την ταχεία ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας και των σχετικών περιοχών - το ουράνιο σύστημα συντεταγμένων, το θεωρία των χαρτογραφικών προβολών και την τεχνολογία των αστρονομικών οργάνων.

ΚΥΚΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ.

Τριγωνομετρία και πραγματική ζωή

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν βρει εφαρμογή στη μαθηματική ανάλυση, τη φυσική, την επιστήμη των υπολογιστών, τη γεωδαισία, την ιατρική, τη μουσική, τη γεωφυσική και την πλοήγηση.

Εφαρμογή της τριγωνομετρίας στη ναυσιπλοΐα

Πλοήγηση (αυτή η λέξη προέρχεται από τα λατινικάπλοήγηση- ιστιοπλοΐα σε πλοίο) - μια από τις πιο αρχαίες επιστήμες. Οι απλούστερες εργασίες πλοήγησης, όπως, για παράδειγμα, ο καθορισμός της συντομότερης διαδρομής, η επιλογή της κατεύθυνσης κίνησης, αντιμετώπισαν τους πρώτους πλοηγούς. Επί του παρόντος, αυτά και άλλα καθήκοντα πρέπει να επιλυθούν όχι μόνο από ναυτικούς, αλλά και από πιλότους και αστροναύτες. Ας εξετάσουμε μερικές έννοιες και εργασίες πλοήγησης με περισσότερες λεπτομέρειες.

Εργο. γνωστός γεωγραφικές συντεταγμένες- γεωγραφικό πλάτος και μήκος των σημείων Α και Β η επιφάνεια της γης: , Και, . Απαιτείται να βρεθεί η μικρότερη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β κατά μήκος της επιφάνειας της γης (η ακτίνα της Γης θεωρείται γνωστή:R= 6371 km)

Λύση. Θυμηθείτε πρώτα ότι το γεωγραφικό πλάτος του σημείου M της επιφάνειας της γης είναι η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από την ακτίνα OM, όπου Ο είναι το κέντρο της Γης, με το επίπεδο του ισημερινού: ≤ , και προς τα βόρεια του ισημερινού , το γεωγραφικό πλάτος θεωρείται θετικό, και προς τα νότια - αρνητικό

Το γεωγραφικό μήκος του σημείου Μ είναι η τιμή δίεδρος γωνίαμεταξύ των επιπέδων COM και SON, όπου το C είναι Βόρειος πόλοςΓη, και H είναι το σημείο που αντιστοιχεί στο παρατηρητήριο του Γκρίνουιτς: ≤ (στα ανατολικά του μεσημβρινού του Γκρίνουιτς, το γεωγραφικό μήκος θεωρείται θετικό, προς τα δυτικά - αρνητικό).

Όπως είναι ήδη γνωστό, η μικρότερη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β στην επιφάνεια της γης είναι το μήκος του μικρότερου τόξου ενός μεγάλου κύκλου που συνδέει το Α και το Β (ένα τέτοιο τόξο ονομάζεται ορθόδρομος - μεταφρασμένο από τα ελληνικά σημαίνει "ευθεία διαδρομή" ). Επομένως, το καθήκον μας περιορίζεται στον προσδιορισμό του μήκους της πλευράς ΑΒ του σφαιρικού τριγώνου ABC (C είναι ο βόρειος πόλος).

Εφαρμόζοντας τον τυπικό συμβολισμό για τα στοιχεία του τριγώνου ABC και της αντίστοιχης τριεδρικής γωνίας OABS, από την συνθήκη του προβλήματος βρίσκουμε: α = = - , β = (Εικ. 2).

Η γωνία Γ δεν είναι επίσης δύσκολο να εκφραστεί ως προς τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. Εξ ορισμού, ≤ , επομένως, είτε γωνία C = αν ≤ , είτε - αν. Γνωρίζοντας = χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου: = + (-). Γνωρίζοντας και, επομένως, τη γωνία, βρίσκουμε την απαιτούμενη απόσταση: =.

Τριγωνομετρία στην πλοήγηση 2.

Για να σχεδιάσουμε την πορεία του πλοίου σε έναν χάρτη που έγινε στην προβολή του Gerhard Mercator (1569), ήταν απαραίτητο να προσδιοριστεί το γεωγραφικό πλάτος. Κατά την ιστιοπλοΐα Μεσόγειος θάλασσασε κατευθύνσεις μέχριXVIIV. γεωγραφικό πλάτος δεν προσδιορίστηκε. Για πρώτη φορά, ο Edmond Gunther (1623) εφάρμοσε τριγωνομετρικούς υπολογισμούς στη ναυσιπλοΐα.

Η τριγωνομετρία βοηθά στον υπολογισμό της επίδρασης του ανέμου στην πτήση του αεροσκάφους. Το τρίγωνο της ταχύτητας είναι το τρίγωνο που σχηματίζεται από το διάνυσμα της ταχύτητας αέρα (V), διάνυσμα ανέμου(W), διάνυσμα ταχύτητας εδάφους (VΠ ). PU - γωνία τροχιάς, SW - γωνία ανέμου, KUV - γωνία ανέμου κατεύθυνσης.

Η σχέση μεταξύ των στοιχείων του τριγώνου της ταχύτητας πλοήγησης έχει τη μορφή:

V Π = V cos ΗΠΑ + W cos UV; αμαρτία ΗΠΑ = * αμαρτία UV, tg ΝΔ =

Το τρίγωνο πλοήγησης των ταχυτήτων λύνεται με τη βοήθεια συσκευών μέτρησης, στον χάρακα πλοήγησης και περίπου στο μυαλό.

Τριγωνομετρία στην άλγεβρα.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα επίλυσης μιγαδικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρική αντικατάσταση.

Με δεδομένη την εξίσωση

Αφήνω , παίρνουμε

;

που: ή

υπόκεινται σε περιορισμούς, λαμβάνουμε:

Τριγωνομετρία στη φυσική

Όπου έχουμε να αντιμετωπίσουμε περιοδικές διεργασίες και ταλαντώσεις -είτε είναι ακουστική, οπτική ή αιώρηση εκκρεμούς- έχουμε να κάνουμε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τύποι ταλάντωσης:

Οπου ΕΝΑ- πλάτος ταλάντωσης, - γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης, - αρχική φάση ταλάντωσης

Φάση ταλάντωσης.

Όταν τα αντικείμενα βυθίζονται στο νερό, δεν αλλάζουν το σχήμα ή το μέγεθός τους. Το όλο μυστικό είναι το οπτικό αποτέλεσμα που κάνει την όρασή μας να αντιλαμβάνεται το αντικείμενο με διαφορετικό τρόπο. Οι απλούστεροι τριγωνομετρικοί τύποι και οι τιμές του ημιτόνου της γωνίας πρόσπτωσης και διάθλασης της δέσμης καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό του σταθερού δείκτη διάθλασης κατά τη μετάβαση μιας δέσμης φωτός από μέσο σε μέσο. Για παράδειγμα, ένα ουράνιο τόξο εμφανίζεται επειδή ηλιακό φωςπαρουσιάζει διάθλαση σε σταγονίδια νερού που αιωρούνται στον αέρα σύμφωνα με το νόμο της διάθλασης:

αμαρτία α / αμαρτία β =n 1 /n 2

Οπου:

ν 1 - δείκτης διάθλασης του πρώτου μέσου
ν 2 - δείκτης διάθλασης του δεύτερου μέσου

α -γωνία πρόσπτωσης, β είναι η γωνία διάθλασης του φωτός.

Η διείσδυση των φορτισμένων σωματιδίων του ηλιακού ανέμου στην ανώτερη ατμόσφαιρα των πλανητών καθορίζεται από την αλληλεπίδραση του μαγνητικού πεδίου του πλανήτη με τον ηλιακό άνεμο.

Η δύναμη που ασκείται σε ένα φορτισμένο σωματίδιο που κινείται σε ένα μαγνητικό πεδίο ονομάζεται δύναμη Lorentz. Είναι ανάλογο με το φορτίο του σωματιδίου και το διανυσματικό γινόμενο του πεδίου και την ταχύτητα του σωματιδίου.

Ως πρακτικό παράδειγμα, θεωρήστε ένα φυσικό πρόβλημα που λύνεται χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία.

Εργο. Σε κεκλιμένο επίπεδο σχηματίζοντας γωνία 24,5 με τον ορίζονταΟ , υπάρχει σώμα μάζας 90 κιλών. Βρείτε τη δύναμη με την οποία πιέζει αυτό το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο (δηλαδή τι πίεση ασκεί το σώμα σε αυτό το επίπεδο).

Λύση:

Έχοντας ορίσει τους άξονες X και Y, θα αρχίσουμε να χτίζουμε προβολές δυνάμεων στους άξονες, χρησιμοποιώντας πρώτα αυτόν τον τύπο:

μαμά = Ν + mg , μετά κοιτάξτε την εικόνα,

Χ : ma = 0 + mg sin24,5 0

Υ: 0 = Ν - mg cos24,5 0

Ν = mg cos 24,5 0

αντικαθιστούμε τη μάζα, βρίσκουμε ότι η δύναμη είναι 819 N.

Απάντηση: 819 Ν

Τριγωνομετρία στην ιατρική και τη βιολογία

Ενας από θεμελιώδεις ιδιότητεςΗ ζωντανή φύση είναι η κυκλικότητα των περισσότερων από τις διαδικασίες που συμβαίνουν σε αυτήν.

Βιολογικοί ρυθμοί, βιορυθμοίείναι λίγο πολύ τακτικές αλλαγές στη φύση και την ένταση των βιολογικών διεργασιών.

Βασικός γήινος ρυθμός- καθημερινά.

Το μοντέλο των βιορυθμών μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Για να δημιουργήσετε ένα μοντέλο βιορυθμών, πρέπει να εισαγάγετε την ημερομηνία γέννησης ενός ατόμου, την ημερομηνία αναφοράς (ημέρα, μήνας, έτος) και τη διάρκεια της πρόβλεψης (αριθμός ημερών).

Ακόμη και ορισμένα μέρη του εγκεφάλου ονομάζονται ιγμόρεια.

Τα τοιχώματα των κόλπων σχηματίζονται από μια σκληρή μήνιγγα επενδεδυμένη με ενδοθήλιο. Ο αυλός των ιγμορείων ανοίγει, οι βαλβίδες και η μυϊκή μεμβράνη, σε αντίθεση με άλλες φλέβες, απουσιάζουν. Στην κοιλότητα των ιγμορείων υπάρχουν ινώδη διαφράγματα καλυμμένα με ενδοθήλιο. Από τα ιγμόρεια, το αίμα εισέρχεται στις εσωτερικές σφαγιτιδικές φλέβες· επιπλέον, υπάρχει σύνδεση μεταξύ των κόλπων και των φλεβών της εξωτερικής επιφάνειας του κρανίου μέσω των εφεδρικών φλεβικών αποφοίτων.

Η κίνηση των ψαριών στο νερό συμβαίνει σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή του συνημιτονοειδούς, εάν στερεώσετε ένα σημείο στην ουρά και στη συνέχεια εξετάσετε την τροχιά της κίνησης.

Όταν κολυμπάει, το σώμα του ψαριού παίρνει τη μορφή καμπύλης που μοιάζει με γράφημα.

λειτουργίες y= tgx.

Τριγωνομετρία στη μουσική

Ακούμε μουσικήmp3.

Ένα ηχητικό σήμα είναι ένα κύμα, εδώ είναι το "γράφημα" του.

Όπως μπορείτε να δείτε, αν και είναι πολύ περίπλοκο, είναι ένα ημιτονοειδές που υπακούει στους νόμους της τριγωνομετρίας.

Στο Θέατρο Τέχνης της Μόσχας την άνοιξη του 2003 πραγματοποιήθηκε η παρουσίαση του άλμπουμ "Trigonometry" από την ομάδα "Night Snipers", σολίστ Diana Arbenina. Το περιεχόμενο του άλμπουμ αποκαλύπτει την αρχική σημασία της λέξης «τριγωνομετρία» - η μέτρηση της Γης.

Τριγωνομετρία στην επιστήμη των υπολογιστών

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ακριβείς υπολογισμούς.

Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μπορείτε να προσεγγίσετε οποιαδήποτε

(κατά μία έννοια, "καλή") λειτουργία επεκτείνοντάς την σε μια σειρά Fourier:

ένα 0 + α 1 cos x + b 1 αμαρτία x + α 2 cos 2x + b 2 αμαρτία 2x + α 3 cos 3x + b 3 αμαρτία 3x + ...

Επιλέγοντας τους σωστούς αριθμούς a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., είναι δυνατή η αναπαράσταση σχεδόν οποιωνδήποτε συναρτήσεων σε έναν υπολογιστή με την απαιτούμενη ακρίβεια με τη μορφή ενός τέτοιου (άπειρου) αθροίσματος.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι χρήσιμες όταν εργάζεστε με γραφικές πληροφορίες. Είναι απαραίτητο να προσομοιώσετε (να περιγράψετε σε υπολογιστή) την περιστροφή κάποιου αντικειμένου γύρω από κάποιον άξονα. Υπάρχει μια περιστροφή μέσα από μια συγκεκριμένη γωνία. Για να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τα ημίτονο και συνημίτονα.

Justin Windell, προγραμματιστής και σχεδιαστής απόGoogle γραφικά Εργαστήριο , δημοσίευσε μια επίδειξη που δείχνει παραδείγματα χρήσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων για τη δημιουργία δυναμικών κινούμενων εικόνων.

Τριγωνομετρία στις κατασκευές και τη γεωδαισία

Τα μήκη των πλευρών και οι γωνίες ενός αυθαίρετου τριγώνου στο επίπεδο συνδέονται μεταξύ τους με ορισμένες σχέσεις, οι σημαντικότερες από τις οποίες ονομάζονται θεωρήματα συνημιτόνου και ημιτόνου.

2αβ

= =

Σε αυτούς τους τύπους,σι, ντο- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ABC, που βρίσκονται αντίστοιχα απέναντι από τις γωνίες A, B, C. Αυτοί οι τύποι μας επιτρέπουν να επαναφέρουμε τα υπόλοιπα τρία στοιχεία από τα τρία στοιχεία του τριγώνου - τα μήκη των πλευρών και τις γωνίες. Χρησιμοποιούνται για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, για παράδειγμα, στη γεωδαισία.

Όλη η «κλασική» γεωδαισία βασίζεται στην τριγωνομετρία. Αφού, μάλιστα, από τα αρχαία χρόνια οι τοπογράφοι ασχολούνταν με την «λύση» τριγώνων.

Η διαδικασία κατασκευής κτιρίων, δρόμων, γεφυρών και άλλων κατασκευών ξεκινά με έρευνα και σχεδιαστική εργασία. Όλες οι μετρήσεις στο εργοτάξιο πραγματοποιούνται με τη χρήση τοπογραφικών οργάνων όπως θεοδόλιθος και τριγωνομετρική στάθμη. Με την τριγωνομετρική ισοπέδωση προσδιορίζεται η υψομετρική διαφορά μεταξύ πολλών σημείων στην επιφάνεια της γης.

συμπέρασμα

    Η τριγωνομετρία δόθηκε στη ζωή από την ανάγκη μέτρησης των γωνιών, αλλά τελικά εξελίχθηκε στην επιστήμη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

    Η τριγωνομετρία σχετίζεται στενά με τη φυσική, που βρίσκεται στη φύση, τη μουσική, την αρχιτεκτονική, την ιατρική και την τεχνολογία.

    Η τριγωνομετρία αντικατοπτρίζεται στη ζωή μας και οι τομείς στους οποίους παίζει σημαντικό ρόλο θα επεκταθούν, επομένως η γνώση των νόμων της είναι απαραίτητη για όλους.

    Η σύνδεση των μαθηματικών με τον έξω κόσμο σου επιτρέπει να «υλοποιήσεις» τις γνώσεις των μαθητών. Αυτό μας βοηθά να κατανοήσουμε καλύτερα τη ζωτική ανάγκη για γνώση που αποκτάται στο σχολείο.

    Με τον όρο μαθηματικό πρόβλημα με πρακτικό περιεχόμενο (εργασία εφαρμοσμένης φύσης), εννοούμε ένα πρόβλημα του οποίου η πλοκή αποκαλύπτει τις εφαρμογές των μαθηματικών σε συναφείς ακαδημαϊκούς κλάδους, την τεχνολογία και την καθημερινή ζωή.

    Μια ιστορία για τα ιστορικά αίτια της τριγωνομετρίας, την εξέλιξή της και Πρακτική εφαρμογηενθαρρύνει τους μαθητές μας να ενδιαφέρονται για το αντικείμενο που μελετάμε, διαμορφώνει την κοσμοθεωρία μας και ενισχύει τη γενική μας κουλτούρα.

Αυτή η εργασία θα είναι χρήσιμη για μαθητές γυμνασίου που δεν έχουν δει ακόμη την ομορφιά της τριγωνομετρίας και δεν είναι εξοικειωμένοι με τους τομείς εφαρμογής της στη γύρω ζωή.

Βιβλιογραφία:

Η ιστορία της τριγωνομετρίας είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την αστρονομία, επειδή οι αρχαίοι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν τις σχέσεις για να λύσουν τα προβλήματα αυτής της επιστήμης διάφορα μεγέθησε τρίγωνο.

Σήμερα, η τριγωνομετρία είναι μια μικροτομή των μαθηματικών που μελετά τη σχέση μεταξύ των τιμών των γωνιών και των μηκών των πλευρών των τριγώνων, καθώς και αναλύει τις αλγεβρικές ταυτότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ο όρος «τριγωνομετρία»

Ο ίδιος ο όρος, ο οποίος έδωσε το όνομά του σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά στον τίτλο ενός βιβλίου από τον Γερμανό μαθηματικό Pitiscus το 1505. Η λέξη «τριγωνομετρία» είναι ελληνικής προέλευσης και σημαίνει «μετρώ ένα τρίγωνο». Για να είμαστε πιο ακριβείς, δεν μιλάμε για την κυριολεκτική μέτρηση αυτού του αριθμού, αλλά για τη λύση του, δηλαδή για τον προσδιορισμό των τιμών των άγνωστων στοιχείων του χρησιμοποιώντας τα γνωστά.

Γενικές πληροφορίες για την τριγωνομετρία

Η ιστορία της τριγωνομετρίας ξεκίνησε πριν από περισσότερες από δύο χιλιετίες. Αρχικά, η εμφάνισή του συνδέθηκε με την ανάγκη να διευκρινιστεί η αναλογία των γωνιών και των πλευρών του τριγώνου. Στη διαδικασία της έρευνας, αποδείχθηκε ότι η μαθηματική έκφραση αυτών των σχέσεων απαιτεί την εισαγωγή ειδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, οι οποίες αρχικά συντάχθηκαν ως αριθμητικοί πίνακες.

Για πολλές επιστήμες που σχετίζονται με τα μαθηματικά, ήταν η ιστορία της τριγωνομετρίας που έγινε η ώθηση για ανάπτυξη. Η προέλευση των μονάδων μέτρησης των γωνιών (μοίρες), που σχετίζονται με την έρευνα των επιστημόνων της Αρχαίας Βαβυλώνας, βασίζεται στον λογισμό φύλου, ο οποίος οδήγησε στο σύγχρονο δεκαδικό, που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμοσμένες επιστήμες.

Η τριγωνομετρία υποτίθεται ότι υπήρχε αρχικά ως μέρος της αστρονομίας. Στη συνέχεια άρχισε να χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική. Και με την πάροδο του χρόνου προέκυψε η σκοπιμότητα εφαρμογής αυτής της επιστήμης σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Αυτά είναι, ειδικότερα, η αστρονομία, η θαλάσσια και αεροναυτιλία, η ακουστική, η οπτική, η ηλεκτρονική, η αρχιτεκτονική και άλλα.

Τριγωνομετρία στους πρώτους αιώνες

Καθοδηγούμενοι από δεδομένα για σωζόμενα επιστημονικά λείψανα, οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η ιστορία της εμφάνισης της τριγωνομετρίας συνδέεται με το έργο του Έλληνα αστρονόμου Ίππαρχου, ο οποίος πρώτος σκέφτηκε να βρει τρόπους επίλυσης (σφαιρικών) τριγώνων. Τα γραπτά του χρονολογούνται στον 2ο αιώνα π.Χ.

Επίσης, ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα εκείνης της εποχής είναι ο ορισμός της αναλογίας των ποδιών και της υποτείνουσας σε ορθογώνια τρίγωνα, που αργότερα έγινε γνωστός ως Πυθαγόρειο θεώρημα.

Η ιστορία της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας στην Αρχαία Ελλάδα συνδέεται με το όνομα του αστρονόμου Πτολεμαίου, του συγγραφέα του γεωκεντρικού συστήματος που επικρατούσε πριν από τον Κοπέρνικο.

Οι Έλληνες αστρονόμοι δεν γνώριζαν ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένες. Χρησιμοποίησαν πίνακες για να βρουν την τιμή της χορδής ενός κύκλου χρησιμοποιώντας ένα αφαιρετικό τόξο. Οι μονάδες μέτρησης της συγχορδίας ήταν μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα. Μία μοίρα ήταν ίση με το ένα εξηκοστό της ακτίνας.

Επίσης, οι μελέτες των αρχαίων Ελλήνων προώθησαν την ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Συγκεκριμένα, ο Ευκλείδης στις «Αρχές» του δίνει ένα θεώρημα για τις κανονικότητες των αναλογιών των όγκων των σφαιρών διαφορετικής διαμέτρου. Τα έργα του σε αυτόν τον τομέα έχουν γίνει ένα είδος ώθησης στην ανάπτυξη συναφών γνωστικών πεδίων. Αυτή, συγκεκριμένα, είναι η τεχνολογία των αστρονομικών οργάνων, η θεωρία των χαρτογραφικών προβολών, το σύστημα των ουράνιων συντεταγμένων κ.λπ.

Μεσαίωνας: Μελέτες Ινδών μελετητών

Οι μεσαιωνικοί Ινδοί αστρονόμοι πέτυχαν σημαντική επιτυχία. Ο θάνατος της αρχαίας επιστήμης τον 4ο αιώνα οδήγησε στη μεταφορά του κέντρου ανάπτυξης των μαθηματικών στην Ινδία.

Η ιστορία της εμφάνισης της τριγωνομετρίας ως ξεχωριστού τμήματος του μαθηματικού δόγματος ξεκίνησε τον Μεσαίωνα. Τότε ήταν που οι επιστήμονες αντικατέστησαν τις συγχορδίες με ημίτονο. Αυτή η ανακάλυψη κατέστησε δυνατή την εισαγωγή συναρτήσεων που σχετίζονται με τη μελέτη πλευρών και γωνιών.Δηλαδή τότε ήταν που η τριγωνομετρία άρχισε να διαχωρίζεται από την αστρονομία, μετατρέποντας σε κλάδο των μαθηματικών.

Οι πρώτοι πίνακες ημιτόνων ήταν στην Aryabhata, σχεδιάστηκαν μέσω 3 o, 4 o, 5 o. Αργότερα εμφανίστηκε λεπτομερείς επιλογέςπίνακες: συγκεκριμένα, η Bhaskara έδωσε έναν πίνακα ημιτόνων μέχρι το 1 ο.

Η πρώτη εξειδικευμένη πραγματεία για την τριγωνομετρία εμφανίστηκε τον 10ο-11ο αιώνα. Συγγραφέας του ήταν ο επιστήμονας της Κεντρικής Ασίας Al-Biruni. Και στο κύριο έργο του "Canon Masud" (βιβλίο III), ο μεσαιωνικός συγγραφέας πηγαίνει ακόμη βαθύτερα στην τριγωνομετρία, δίνοντας έναν πίνακα ημιτόνων (σε βήματα των 15 ") και έναν πίνακα εφαπτομένων (σε προσαυξήσεις 1 °).

Ιστορία της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας στην Ευρώπη

Μετά τη μετάφραση των αραβικών πραγματειών στα λατινικά (XII-XIII αιώνας), οι περισσότερες ιδέες Ινδών και Περσών επιστημόνων δανείστηκαν από την ευρωπαϊκή επιστήμη. Η πρώτη αναφορά της τριγωνομετρίας στην Ευρώπη χρονολογείται από τον 12ο αιώνα.

Σύμφωνα με ερευνητές, η ιστορία της τριγωνομετρίας στην Ευρώπη συνδέεται με το όνομα του Άγγλου Richard Wallingford, ο οποίος έγινε ο συγγραφέας του έργου "Τέσσερις πραγματείες για άμεσες και αντίστροφες συγχορδίες". Ήταν το έργο του που έγινε το πρώτο έργο που είναι εξ ολοκλήρου αφιερωμένο στην τριγωνομετρία. Μέχρι τον 15ο αιώνα, πολλοί συγγραφείς στα γραπτά τους αναφέρουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Ιστορία της τριγωνομετρίας: Σύγχρονη εποχή

Στη σύγχρονη εποχή, οι περισσότεροι επιστήμονες άρχισαν να συνειδητοποιούν την εξαιρετική σημασία της τριγωνομετρίας, όχι μόνο στην αστρονομία και την αστρολογία, αλλά και σε άλλους τομείς της ζωής. Αυτό είναι, πρώτα απ 'όλα, πυροβολικό, οπτική και πλοήγηση σε θαλάσσια ταξίδια μεγάλων αποστάσεων. Επομένως, στο δεύτερο μισό του 16ου αιώνα, αυτό το θέμα ενδιέφερε πολλούς επιφανείς ανθρώπους εκείνης της εποχής, συμπεριλαμβανομένων των Νικολάου Κοπέρνικου, Φρανσουά Βιέτα. Ο Κοπέρνικος αφιέρωσε αρκετά κεφάλαια στην τριγωνομετρία στην πραγματεία του Περί των επαναστάσεων των ουράνιων σφαιρών (1543). Λίγο αργότερα, στη δεκαετία του '60 του 16ου αιώνα, ο Retik, μαθητής του Κοπέρνικου, παραθέτει δεκαπενταψήφιους τριγωνομετρικούς πίνακες στο έργο του «The Optical Part of Astronomy».

Στον «Μαθηματικό Κανόνα» (1579) δίνει έναν λεπτομερή και συστηματικό, αν και αναπόδεικτο, χαρακτηρισμό της επίπεδης και της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Και ο Άλμπρεχτ Ντύρερ έγινε αυτός χάρη στον οποίο γεννήθηκε το ημιτονοειδές.

Τα πλεονεκτήματα του Leonhard Euler

Το να δώσει στην τριγωνομετρία ένα σύγχρονο περιεχόμενο και μορφή ήταν η αξία του Leonhard Euler. Η πραγματεία του Introduction to the Analysis of Infinites (1748) περιέχει έναν ορισμό του όρου «τριγωνομετρικές συναρτήσεις» που είναι ισοδύναμος με τον σύγχρονο. Έτσι, αυτός ο επιστήμονας μπόρεσε να προσδιορίσει Αλλά και δεν είναι μόνο αυτό.

Ο ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή κατέστη δυνατός χάρη στις μελέτες του Euler όχι μόνο για τις επιτρεπόμενες αρνητικές γωνίες, αλλά και για γωνίες μεγαλύτερες από 360 °. Ήταν αυτός που απέδειξε πρώτος στα έργα του ότι το συνημίτονο και η εφαπτομένη ορθή γωνίααρνητικός. Η επέκταση των ακέραιων δυνάμεων του συνημίτονου και του ημιτόνου έγινε επίσης η αξία αυτού του επιστήμονα. Η γενική θεωρία των τριγωνομετρικών σειρών και η μελέτη της σύγκλισης της προκύπτουσας σειράς δεν ήταν αντικείμενα της έρευνας του Euler. Ωστόσο, ενώ εργαζόταν για την επίλυση σχετικών προβλημάτων, έκανε πολλές ανακαλύψεις σε αυτόν τον τομέα. Χάρη στο έργο του συνεχίστηκε η ιστορία της τριγωνομετρίας. Συνοπτικά στα γραπτά του έθιξε και τα ζητήματα της σφαιρικής τριγωνομετρίας.

Εφαρμογές της τριγωνομετρίας

Η τριγωνομετρία δεν εφαρμόζεται στις εφαρμοσμένες επιστήμες· στην πραγματική καθημερινή ζωή, τα προβλήματά της χρησιμοποιούνται σπάνια. Ωστόσο, το γεγονός αυτό δεν μειώνει τη σημασία του. Πολύ σημαντική, για παράδειγμα, είναι η τεχνική της τριγωνοποίησης, η οποία επιτρέπει στους αστρονόμους να μετρούν με ακρίβεια την απόσταση από τα κοντινά αστέρια και να ελέγχουν τα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης.

Η τριγωνομετρία χρησιμοποιείται επίσης στην πλοήγηση, τη θεωρία της μουσικής, την ακουστική, την οπτική, την ανάλυση χρηματοοικονομικών αγορών, την ηλεκτρονική, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη στατιστική, τη βιολογία, την ιατρική (για παράδειγμα, στην αποκρυπτογράφηση υπερήχων και την υπολογιστική τομογραφία), τη φαρμακευτική, τη χημεία, τη θεωρία αριθμών, τη σεισμολογία, τη μετεωρολογία , ωκεανολογία, χαρτογραφία, πολλοί κλάδοι της φυσικής, τοπογραφίας και γεωδαισίας, αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρονική μηχανική, μηχανολογία, γραφικά υπολογιστών, κρυσταλλογραφία κ.λπ. Η ιστορία της τριγωνομετρίας και ο ρόλος της στη μελέτη των φυσικών και μαθηματικών επιστημών είναι μελετήθηκε μέχρι σήμερα. Ίσως στο μέλλον να υπάρξουν ακόμη περισσότεροι τομείς εφαρμογής του.

Η ιστορία της προέλευσης των βασικών εννοιών

Η ιστορία της εμφάνισης και της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας έχει περισσότερο από έναν αιώνα. Η εισαγωγή των εννοιών που αποτελούν τη βάση αυτού του τμήματος της μαθηματικής επιστήμης δεν ήταν επίσης στιγμιαία.

Άρα, η έννοια του «σινέ» έχει πολύ μεγάλη ιστορία. Αναφορές διαφόρων αναλογιών τμημάτων τριγώνων και κύκλων βρίσκονται στο επιστημονικές εργασίεςχρονολογείται στον 3ο αιώνα π.Χ. Τα έργα τόσο μεγάλων αρχαίων επιστημόνων όπως ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Απολλώνιος της Πέργας περιέχουν ήδη τις πρώτες μελέτες αυτών των σχέσεων. Οι νέες ανακαλύψεις απαιτούσαν ορισμένες ορολογικές διευκρινίσεις. Έτσι, ο Ινδός επιστήμονας Aryabhata δίνει στη συγχορδία το όνομα "jiva", που σημαίνει "χορδή τόξου". Όταν τα αραβικά μαθηματικά κείμενα μεταφράστηκαν στα λατινικά, ο όρος αντικαταστάθηκε από ένα ημιτόνιο (δηλαδή, «κάμψη») που είχε σχεδόν νόημα.

Η λέξη "συνημίτονο" εμφανίστηκε πολύ αργότερα. Αυτός ο όρος είναι μια συντομευμένη εκδοχή της λατινικής φράσης "additional sine".

Η εμφάνιση των εφαπτομένων συνδέεται με την αποκωδικοποίηση του προβλήματος του προσδιορισμού του μήκους της σκιάς. Ο όρος «εφαπτομένη» εισήχθη τον 10ο αιώνα από τον Άραβα μαθηματικό Abul-Wafa, ο οποίος συνέταξε τους πρώτους πίνακες για τον προσδιορισμό των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων. Αλλά οι Ευρωπαίοι επιστήμονες δεν γνώριζαν αυτά τα επιτεύγματα. Ο Γερμανός μαθηματικός και αστρονόμος Regimontan ανακαλύπτει ξανά αυτές τις έννοιες το 1467. Η απόδειξη του θεωρήματος της εφαπτομένης είναι η αξία του. Και αυτός ο όρος μεταφράζεται ως "αφορά".

στοίχιση=κέντρο>

Τριγωνομετρία- μια μικροτομή των μαθηματικών που μελετά τη σχέση μεταξύ των γωνιών και των μηκών των πλευρών των τριγώνων, καθώς και τις αλγεβρικές ταυτότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Υπάρχουν πολλές περιοχές όπου εφαρμόζεται τριγωνομετρία και τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι τριγωνομετρικές ή τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται στην αστρονομία, τη θαλάσσια και αεροναυτιλία, την ακουστική, την οπτική, την ηλεκτρονική, την αρχιτεκτονική και άλλους τομείς.

Η ιστορία της δημιουργίας της τριγωνομετρίας

Η ιστορία της τριγωνομετρίας, ως επιστήμης των σχέσεων μεταξύ των γωνιών και των πλευρών ενός τριγώνου και άλλων γεωμετρικών σχημάτων, καλύπτει περισσότερες από δύο χιλιετίες. Οι περισσότερες από αυτές τις σχέσεις δεν μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας συνηθισμένες αλγεβρικές πράξεις, και επομένως ήταν απαραίτητο να εισαχθούν ειδικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που αρχικά παρουσιάστηκαν με τη μορφή αριθμητικών πινάκων.
Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι η τριγωνομετρία δημιουργήθηκε από αρχαίους αστρονόμους και λίγο αργότερα άρχισε να χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική. Με την πάροδο του χρόνου, το πεδίο εφαρμογής της τριγωνομετρίας διευρύνθηκε συνεχώς, σήμερα περιλαμβάνει σχεδόν όλες τις φυσικές επιστήμες, την τεχνολογία και μια σειρά από άλλους τομείς δραστηριότητας.

Πρώιμοι αιώνες

Από τα βαβυλωνιακά μαθηματικά, συνηθίζουμε να μετράμε τις γωνίες σε μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα (η εισαγωγή αυτών των μονάδων στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά συνήθως αποδίδεται στον 2ο αιώνα π.Χ.).

Το κύριο επίτευγμα αυτής της περιόδου ήταν η αναλογία των ποδιών και της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, που αργότερα ονομάστηκε Πυθαγόρειο θεώρημα.

Αρχαία Ελλάδα

Μια γενική και λογικά συνεκτική παρουσίαση των τριγωνομετρικών σχέσεων εμφανίστηκε στην αρχαία ελληνική γεωμετρία. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν ξεχώρισαν ακόμη την τριγωνομετρία ως ξεχωριστή επιστήμη, για αυτούς ήταν μέρος της αστρονομίας.
Το κύριο επίτευγμα της αρχαίας τριγωνομετρικής θεωρίας ήταν η λύση σε μια γενική μορφή του προβλήματος της «λύσης τριγώνων», δηλαδή η εύρεση άγνωστων στοιχείων ενός τριγώνου, με βάση τρία δεδομένα στοιχεία (εκ των οποίων τουλάχιστον το ένα είναι πλευρά).
Τα εφαρμοσμένα τριγωνομετρικά προβλήματα είναι πολύ διαφορετικά - για παράδειγμα, μπορούν να ρυθμιστούν μετρήσιμα αποτελέσματα πράξεων στις αναφερόμενες ποσότητες (για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ή ο λόγος των μηκών των πλευρών).
Παράλληλα με την ανάπτυξη της επίπεδης τριγωνομετρίας, οι Έλληνες, υπό την επίδραση της αστρονομίας, προχώρησαν πολύ στη σφαιρική τριγωνομετρία. Στις «Αρχές» του Ευκλείδη σχετικά με αυτό το θέμα, υπάρχει μόνο ένα θεώρημα για την αναλογία των όγκων των σφαιρών διαφορετικών διαμέτρων, αλλά οι ανάγκες της αστρονομίας και της χαρτογραφίας προκάλεσαν την ταχεία ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας και των σχετικών περιοχών - το ουράνιο σύστημα συντεταγμένων, το θεωρία των χαρτογραφικών προβολών και την τεχνολογία των αστρονομικών οργάνων.

Μεσαίωνας

Τον IV αιώνα, μετά το θάνατο της αρχαίας επιστήμης, το κέντρο ανάπτυξης των μαθηματικών μεταφέρθηκε στην Ινδία. Άλλαξαν μερικές από τις έννοιες της τριγωνομετρίας, φέρνοντάς τις πιο κοντά στις σύγχρονες: για παράδειγμα, ήταν οι πρώτοι που εισήγαγαν το συνημίτονο σε χρήση.

Η πρώτη εξειδικευμένη πραγματεία για την τριγωνομετρία ήταν το έργο του επιστήμονα της Κεντρικής Ασίας (X-XI αιώνας) "The Book of the Keys of the Science of Astronomy" (995-996). Όλη η πορεία της τριγωνομετρίας περιείχε το κύριο έργο του Al-Biruni - «Ο κανόνας του Mas'ud» (Βιβλίο III). Εκτός από τους πίνακες των ημιτόνων (με βήμα 15 "), ο Al-Biruni έδωσε πίνακες εφαπτομένων (με βήμα 1 °).

Μετά τη μετάφραση των αραβικών πραγματειών στα λατινικά τον XII-XIII αιώνα, πολλές ιδέες Ινδών και Περσών μαθηματικών έγιναν ιδιοκτησία της ευρωπαϊκής επιστήμης. Προφανώς, η πρώτη γνωριμία των Ευρωπαίων με την τριγωνομετρία έγινε χάρη στο zij, δύο μεταφράσεις του οποίου έγιναν τον 12ο αιώνα.

Το πρώτο ευρωπαϊκό έργο που αφιερώθηκε εξ ολοκλήρου στην τριγωνομετρία αποκαλείται συχνά οι Τέσσερις Πραγματεύσεις για τις άμεσες και αντίστροφες χορδές από τον Άγγλο αστρονόμο Richard of Wallingford (περίπου 1320). Τριγωνομετρικοί πίνακες, συχνά μεταφρασμένοι από τα αραβικά, αλλά μερικές φορές πρωτότυποι, περιέχονται στα έργα ορισμένων άλλων συγγραφέων του 14ου-15ου αιώνα. Τότε η τριγωνομετρία πήρε τη θέση της ανάμεσα στα πανεπιστημιακά μαθήματα.

νέα ώρα

Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας στη σύγχρονη εποχή έχει γίνει εξαιρετικά σημαντική όχι μόνο για την αστρονομία και την αστρολογία, αλλά και για άλλες εφαρμογές, κυρίως πυροβολικό, οπτική και πλοήγηση μεγάλης εμβέλειας. θαλάσσια ταξίδια. Επομένως, μετά τον 16ο αιώνα, πολλοί εξέχοντες επιστήμονες ασχολήθηκαν με αυτό το θέμα, μεταξύ των οποίων ο Νικόλαος Κοπέρνικος, ο Γιοχάνες Κέπλερ, ο Φρανσουά Βιέτ. Ο Κοπέρνικος αφιέρωσε δύο κεφάλαια στην τριγωνομετρία στην πραγματεία του Περί των επαναστάσεων των ουράνιων σφαιρών (1543). Σύντομα (1551) εμφανίστηκαν 15ψήφιοι τριγωνομετρικοί πίνακες του Ρήτικου, μαθητή του Κοπέρνικου. Ο Κέπλερ δημοσίευσε την Οπτική Αστρονομία (1604).

Ο Vieta στο πρώτο μέρος του «Μαθηματικού Κανόνα» του (1579) τοποθέτησε διάφορους πίνακες, μεταξύ των οποίων και τριγωνομετρικούς, και στο δεύτερο μέρος έκανε μια λεπτομερή και συστηματική, αν και χωρίς απόδειξη, παρουσίαση της επίπεδης και της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Το 1593 ο Vieta ετοίμασε μια διευρυμένη έκδοση αυτού του κεφαλαιουχικού έργου.
Χάρη στο έργο του Άλμπρεχτ Ντύρερ, γεννήθηκε ένα ημιτονοειδές.

18ος αιώνας

Έδωσε μια μοντέρνα ματιά στην τριγωνομετρία. Στην πραγματεία Introduction to the Analysis of Infinites (1748), ο Euler έδωσε έναν ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ισοδύναμο με τη σύγχρονη και όρισε τις αντίστροφες συναρτήσεις ανάλογα.

Ο Euler θεώρησε ως αποδεκτές αρνητικές γωνίες και γωνίες μεγαλύτερες από 360°, γεγονός που επέτρεψε τον προσδιορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ολόκληρη την πραγματική αριθμητική γραμμή και στη συνέχεια την επέκτασή τους στο μιγαδικό επίπεδο. Όταν προέκυψε το ερώτημα της επέκτασης των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε αμβλείες γωνίες, τα σημάδια αυτών των συναρτήσεων πριν από τον Euler επιλέγονταν συχνά λανθασμένα. Πολλοί μαθηματικοί θεώρησαν, για παράδειγμα, το συνημίτονο και την εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας θετικά. Ο Euler προσδιόρισε αυτά τα σημάδια για γωνίες σε διαφορετικά τεταρτημόρια συντεταγμένων με βάση τους τύπους αναγωγής.
Ο Euler δεν μελέτησε τη γενική θεωρία των τριγωνομετρικών σειρών και δεν ερεύνησε τη σύγκλιση των ληφθέντων σειρών, αλλά έλαβε αρκετά σημαντικά αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, εξήγαγε τις επεκτάσεις των ακέραιων δυνάμεων του ημιτόνου και του συνημίτονου.

Εφαρμογή τριγωνομετρίας

Αυτοί που λένε ότι η τριγωνομετρία δεν χρειάζεται στην πραγματική ζωή έχουν δίκιο με τον τρόπο τους. Λοιπόν, ποιες είναι οι συνήθεις εφαρμοζόμενες εργασίες του; Μετρήστε την απόσταση μεταξύ απρόσιτων αντικειμένων.
Μεγάλη σημασία έχει η τεχνική του τριγωνισμού, η οποία καθιστά δυνατή τη μέτρηση των αποστάσεων από κοντινά αστέρια στην αστρονομία, μεταξύ ορόσημων στη γεωγραφία και τον έλεγχο των συστημάτων δορυφορικής πλοήγησης. Αξιοσημείωτη είναι επίσης η εφαρμογή της τριγωνομετρίας σε τομείς όπως η τεχνολογία πλοήγησης, η θεωρία της μουσικής, η ακουστική, η οπτική, η ανάλυση χρηματοοικονομικών αγορών, η ηλεκτρονική, η θεωρία πιθανοτήτων, η στατιστική, η βιολογία, η ιατρική (συμπεριλαμβανομένων των υπερήχων και αξονική τομογραφία), φαρμακευτική, χημεία, θεωρία αριθμών (και, κατά συνέπεια, κρυπτογραφία), σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανολογία, χαρτογραφία, πολλοί κλάδοι της φυσικής, τοπογραφία και γεωδαισία, αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρονική μηχανική, μηχανολογία, γραφικά υπολογιστών, κρυσταλλογραφία κλπ. .δ.
Συμπέρασμα:Η τριγωνομετρία είναι ένας τεράστιος βοηθός στην καθημερινότητά μας.