Μάθημα 1
Θέμα: 11η τάξη (προετοιμασία για τις εξετάσεις)
Απλοποίηση τριγωνομετρικές εκφράσεις.
Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. (2 ώρες)
Στόχοι:
- Συστηματοποίηση, γενίκευση, διεύρυνση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που σχετίζονται με τη χρήση τύπων τριγωνομετρίας και τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Εξοπλισμός για το μάθημα:
Δομή μαθήματος:
- όργανο
- Δοκιμές σε φορητούς υπολογιστές. Η συζήτηση των αποτελεσμάτων.
- Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων
- Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων
- Ανεξάρτητη εργασία.
- Περίληψη του μαθήματος. Επεξήγηση της εργασίας για το σπίτι.
1. Οργανωτική στιγμή. (2 λεπτά.)
Ο δάσκαλος χαιρετίζει το κοινό, ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος, θυμάται ότι είχε δοθεί προηγουμένως η εργασία να επαναλάβουν τους τύπους τριγωνομετρίας και θέτει τους μαθητές για δοκιμή.
2. Δοκιμές. (15 λεπτά + 3 λεπτά συζήτηση)
Στόχος είναι να ελεγχθεί η γνώση των τριγωνομετρικών τύπων και η ικανότητα εφαρμογής τους. Κάθε μαθητής έχει ένα φορητό υπολογιστή στο γραφείο του στο οποίο υπάρχει μια επιλογή δοκιμής.
Μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός επιλογών, θα δώσω ένα παράδειγμα μιας από αυτές:
I επιλογή.
Απλοποίηση εκφράσεων:
α) βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
1. αμαρτία 2 3y + cos 2 3y + 1;
β) τύποι προσθήκης
3. sin5x - sin3x;
γ) μετατροπή ενός προϊόντος σε άθροισμα
6. 2sin8y cos3y;
δ) τύποι διπλής γωνίας
7.2sin5x cos5x;
ε) τύποι μισής γωνίας
στ) τύποι τριπλής γωνίας
ζ) καθολική υποκατάσταση
η) μείωση του πτυχίου
16. cos 2 (3x/7);
Οι μαθητές σε φορητό υπολογιστή μπροστά από κάθε τύπο βλέπουν τις απαντήσεις τους.
Η εργασία ελέγχεται άμεσα από τον υπολογιστή. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται σε μια μεγάλη οθόνη για να τα δουν όλοι.
Επίσης, μετά το τέλος της εργασίας εμφανίζονται οι σωστές απαντήσεις στους φορητούς υπολογιστές των μαθητών. Κάθε μαθητής βλέπει πού έγινε το λάθος και ποιες φόρμουλες χρειάζεται να επαναλάβει.
3. Απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. (25 λεπτά)
Στόχος είναι η επανάληψη, η επεξεργασία και η εμπέδωση της εφαρμογής των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας. Επίλυση προβλημάτων Β7 από την εξέταση.
Σε αυτό το στάδιο, είναι σκόπιμο να χωριστεί η τάξη σε ομάδες ισχυρών (εργασία ανεξάρτητα με επακόλουθη επαλήθευση) και αδύναμων μαθητών που συνεργάζονται με τον δάσκαλο.
Εργασία για δυνατούς μαθητές (εκ των προτέρων προετοιμασμένη σε έντυπη βάση). Η κύρια έμφαση δίνεται στους τύπους μείωσης και διπλή γωνία, σύμφωνα με τη USE 2011.
Απλοποιήστε εκφράσεις (για δυνατούς μαθητές):
Παράλληλα, ο δάσκαλος εργάζεται με αδύναμους μαθητές, συζητώντας και λύνοντας εργασίες στην οθόνη υπό την υπαγόρευση των μαθητών.
Υπολογίζω:
5) sin(270º - α) + cos(270º + α)
6) 
Απλοποιώ:
Ήταν η σειρά να συζητήσουμε τα αποτελέσματα της δουλειάς της ισχυρής ομάδας.
Οι απαντήσεις εμφανίζονται στην οθόνη και επίσης, με τη βοήθεια βιντεοκάμερας, εμφανίζεται η εργασία 5 διαφορετικών μαθητών (μία εργασία για τον καθένα).
Η αδύναμη ομάδα βλέπει την κατάσταση και τη μέθοδο λύσης. Υπάρχει συζήτηση και ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τεχνικά μέσαγίνεται γρήγορα.
4. Λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. (30 λεπτά.)
Στόχος είναι η επανάληψη, η συστηματοποίηση και η γενίκευση της λύσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, καταγράφοντας τις ρίζες τους. Λύση του προβλήματος Β3.
Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση, όπως και να την λύσουμε, οδηγεί στο απλούστερο.
Κατά την ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές θα πρέπει να προσέξουν να γράψουν τις ρίζες των εξισώσεων ειδικών περιπτώσεων και γενική εικόνακαι στην επιλογή των ριζών στην τελευταία εξίσωση.
Επίλυση εξισώσεων:
Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησης.
5. Ανεξάρτητη εργασία (10 λεπτά)
Στόχος είναι να δοκιμαστούν οι αποκτηθείσες δεξιότητες, να εντοπιστούν προβλήματα, λάθη και τρόποι εξάλειψής τους.
Προσφέρεται ποικιλία εργασιών κατ' επιλογή του μαθητή.
Επιλογή για "3"
1) Βρείτε την τιμή της έκφρασης 
2) Απλοποιήστε την έκφραση 1 - αμαρτία 2 3α - συν 2 3α
3) Λύστε την εξίσωση 
Επιλογή για "4"
1) Βρείτε την τιμή της έκφρασης
2) Λύστε την εξίσωση 
Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησής σας.
Επιλογή για "5"
1) Να βρείτε tgα αν 
2) Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης 
Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα της απάντησής σας.
6. Περίληψη του μαθήματος (5 λεπτά)
Ο δάσκαλος συνοψίζει όσα επαναλήφθηκαν και εμπεδώθηκαν στο μάθημα τριγωνομετρικούς τύπους, επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Η εργασία για το σπίτι ανατίθεται (ετοιμάζεται εκ των προτέρων σε έντυπη βάση) με επιτόπιο έλεγχο στο επόμενο μάθημα.
Επίλυση εξισώσεων:
9) 
10) 
Δώστε την απάντησή σας ως τη μικρότερη θετική ρίζα.
Μάθημα 2
Θέμα: 11η τάξη (προετοιμασία για τις εξετάσεις)
Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιλογή ρίζας. (2 ώρες)
Στόχοι:
- Γενίκευση και συστηματοποίηση γνώσεων για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων διαφόρων τύπων.
- Να προωθήσει την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης των μαθητών, την ικανότητα παρατήρησης, σύγκρισης, γενίκευσης, ταξινόμησης.
- Ενθαρρύνετε τους μαθητές να ξεπεράσουν δυσκολίες στη διαδικασία της νοητικής δραστηριότητας, στον αυτοέλεγχο, στην ενδοσκόπηση των δραστηριοτήτων τους.
Εξοπλισμός για το μάθημα: KRMu, φορητοί υπολογιστές για κάθε μαθητή.
Δομή μαθήματος:
- όργανο
- Συζήτηση δ/σ και σαμοτ. το έργο του τελευταίου μαθήματος
- Επανάληψη μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
- Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων
- Επιλογή ριζών σε τριγωνομετρικές εξισώσεις.
- Ανεξάρτητη εργασία.
- Περίληψη του μαθήματος. Εργασία για το σπίτι.
1. Οργανωτική στιγμή (2 λεπτά)
Ο δάσκαλος χαιρετίζει το κοινό, ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος και το σχέδιο εργασίας.
2. α) Ανάλυση εργασία για το σπίτι(5 λεπτά.)
Ο στόχος είναι να ελέγξετε την απόδοση. Ένα έργο με τη βοήθεια βιντεοκάμερας εμφανίζεται στην οθόνη, το υπόλοιπο συλλέγεται επιλεκτικά για να το ελέγξει ο δάσκαλος.
β) Ανάλυση ανεξάρτητη εργασία(3 λεπτά)
Ο στόχος είναι να διευθετήσετε τα λάθη, να υποδείξετε τρόπους για να τα ξεπεράσετε.
Στην οθόνη είναι οι απαντήσεις και οι λύσεις, οι μαθητές έχουν προεκδώσει την εργασία τους. Η ανάλυση προχωρά γρήγορα.
3. Επανάληψη μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων (5 λεπτά)
Ο στόχος είναι να ανακαλέσουμε μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Ρωτήστε τους μαθητές ποιες μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων γνωρίζουν. Τονίστε ότι υπάρχουν οι λεγόμενες βασικές (συχνά χρησιμοποιούμενες) μέθοδοι:
- μεταβλητή αντικατάσταση,
- παραγοντοποίηση,
- ομοιογενείς εξισώσεις,
και υπάρχουν εφαρμοσμένες μέθοδοι:
- σύμφωνα με τους τύπους για τη μετατροπή ενός αθροίσματος σε γινόμενο και ενός γινομένου σε άθροισμα,
- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι υποβάθμιση,
- καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση
- εισαγωγή βοηθητικής γωνίας,
- πολλαπλασιασμός με κάποιους τριγωνομετρική συνάρτηση.
Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε ότι μια εξίσωση μπορεί να λυθεί με διαφορετικούς τρόπους.
4. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων (30 λεπτά)
Στόχος είναι η γενίκευση και η εδραίωση γνώσεων και δεξιοτήτων σε αυτό το θέμα, η προετοιμασία για την επίλυση του C1 από τη ΧΡΗΣΗ.
Θεωρώ σκόπιμο να λύσουμε εξισώσεις για κάθε μέθοδο μαζί με τους μαθητές.
Ο μαθητής υπαγορεύει τη λύση, ο δάσκαλος σημειώνει στο tablet, όλη η διαδικασία εμφανίζεται στην οθόνη. Αυτό θα σας επιτρέψει να επαναφέρετε γρήγορα και αποτελεσματικά υλικό που καλύφθηκε προηγουμένως στη μνήμη σας.
Επίλυση εξισώσεων:
1) αλλαγή μεταβλητής 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) παραγοντοποίηση 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) ομοιογενείς εξισώσεις sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) μετατροπή του αθροίσματος στο γινόμενο cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) μετατροπή του γινόμενου στο άθροισμα 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) μείωση του βαθμού sin2x - αμαρτία 2 2x + αμαρτία 2 3x \u003d 0,5
7) καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση sinx + 5cosx + 5 = 0.
Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, θα πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση αυτή τη μέθοδοοδηγεί σε στένωση του πεδίου ορισμού, αφού το ημίτονο και το συνημίτονο αντικαθίστανται από tg(x/2). Επομένως, πριν γράψετε την απάντηση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε αν οι αριθμοί από το σύνολο π + 2πn, n Z είναι άλογα αυτής της εξίσωσης.
8) εισαγωγή βοηθητικής γωνίας √3sinx + cosx - √2 = 0
9) πολλαπλασιασμός με κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση cosx cos2x cos4x = 1/8.
5. Επιλογή ριζών τριγωνομετρικών εξισώσεων (20 λεπτά)
Δεδομένου ότι σε συνθήκες έντονου ανταγωνισμού κατά την εισαγωγή στα πανεπιστήμια, η λύση ενός πρώτου μέρους της εξέτασης δεν αρκεί, οι περισσότεροι μαθητές θα πρέπει να προσέχουν τις εργασίες του δεύτερου μέρους (C1, C2, C3).
Ως εκ τούτου, ο σκοπός αυτού του σταδίου του μαθήματος είναι να ανακαλέσει το υλικό που μελετήθηκε προηγουμένως, να προετοιμαστεί για την επίλυση του προβλήματος C1 από το USE το 2011.
Υπάρχει τριγωνομετρικές εξισώσεις, στο οποίο είναι απαραίτητο να επιλέξετε τις ρίζες κατά την εξαγωγή της απάντησης. Αυτό οφείλεται σε ορισμένους περιορισμούς, για παράδειγμα: ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν είναι ίσος με μηδέν, η έκφραση κάτω από τη ρίζα ενός ζυγού βαθμού είναι μη αρνητική, η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι θετική κ.λπ.
Τέτοιες εξισώσεις θεωρούνται εξισώσεις αυξημένης πολυπλοκότητας και σε έκδοση της εξέτασηςβρίσκονται στο δεύτερο μέρος, δηλαδή το C1.
Λύστε την εξίσωση:
Το κλάσμα είναι μηδέν αν τότε 
με τη χρήση κύκλος μονάδαςθα επιλέξουμε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 1)
Εικόνα 1.
παίρνουμε x = π + 2πn, n Z
Απάντηση: π + 2πn, n Z
Στην οθόνη, η επιλογή των ριζών εμφανίζεται σε κύκλο σε έγχρωμη εικόνα.
Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν και το τόξο, ταυτόχρονα, δεν χάνει το νόημά του. Επειτα
Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, επιλέξτε τις ρίζες (βλ. Εικόνα 2)
Το βίντεο μάθημα «Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων» έχει σχεδιαστεί για να αναπτύξει τις δεξιότητες των μαθητών στην επίλυση τριγωνομετρικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος βίντεο, εξετάζονται τύποι τριγωνομετρικών ταυτοτήτων, παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με τη χρήση τους. Εφαρμογή οπτικό υλικόδιευκολύνει τον εκπαιδευτικό να επιτύχει τους στόχους του μαθήματος. Η ζωντανή παρουσίαση του υλικού συμβάλλει στην απομνημόνευση σημαντικά σημεία. Η χρήση εφέ κινουμένων σχεδίων και η φωνητική δράση σάς επιτρέπουν να αντικαταστήσετε πλήρως τον δάσκαλο στο στάδιο της εξήγησης του υλικού. Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτό το οπτικό βοήθημα στα μαθήματα των μαθηματικών, ο δάσκαλος μπορεί να αυξήσει την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας.
Στην αρχή του βιντεομαθήματος ανακοινώνεται το θέμα του. Στη συνέχεια ανακαλούνται οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που μελετήθηκαν νωρίτερα. Στην οθόνη εμφανίζονται οι ισότητες sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, όπου t≠π/2+πk για kϵZ, ctg t=cos t/sin t, αληθές για t≠πk, όπου kϵZ, tan t · ctg t=1, στο t≠πk/2, όπου kϵZ, ονομάζεται βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Σημειώνεται ότι αυτές οι ταυτότητες χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων όπου είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ισότητα ή να απλοποιηθεί η έκφραση.
Περαιτέρω, εξετάζονται παραδείγματα εφαρμογής αυτών των ταυτοτήτων στην επίλυση προβλημάτων. Πρώτον, προτείνεται να εξεταστεί το ενδεχόμενο επίλυσης προβλημάτων απλοποίησης εκφράσεων. Στο παράδειγμα 1, είναι απαραίτητο να απλοποιηθεί η έκφραση cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. Για να λυθεί το παράδειγμα, ο κοινός παράγοντας cos 2 t μπαίνει πρώτα σε αγκύλες. Ως αποτέλεσμα ενός τέτοιου μετασχηματισμού σε παρένθεση, προκύπτει η έκφραση 1-cos 2 t, η τιμή της οποίας από τη βασική ταυτότητα της τριγωνομετρίας είναι ίση με sin 2 t. Μετά τον μετασχηματισμό της έκφρασης, είναι προφανές ότι ένας ακόμη κοινός παράγοντας sin 2 t μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες, μετά τον οποίο η έκφραση παίρνει τη μορφή sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Από την ίδια βασική ταυτότητα, συμπεραίνουμε την τιμή της έκφρασης σε αγκύλες ίση με 1. Ως αποτέλεσμα της απλοποίησης, λαμβάνουμε cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.
Στο παράδειγμα 2, η έκφραση cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) πρέπει επίσης να απλοποιηθεί. Δεδομένου ότι το κόστος έκφρασης είναι στους αριθμητές και των δύο κλασμάτων, μπορεί να περιληφθεί ως κοινός παράγοντας. Στη συνέχεια τα κλάσματα στις παρενθέσεις ανάγονται σε κοινό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας το (1- sint) (1+ sint). Μετά τη μείωση παρόμοιων όρων, το 2 παραμένει στον αριθμητή και το 1 - sin 2 t στον παρονομαστή. Στη δεξιά πλευρά της οθόνης, ανακαλείται η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα sin 2 t+cos 2 t=1. Χρησιμοποιώντας το, βρίσκουμε τον παρονομαστή του κλάσματος cos 2 t. Αφού μειώσουμε το κλάσμα, παίρνουμε μια απλοποιημένη μορφή της έκφρασης κόστος / (1- sint) + κόστος / (1 + sint) \u003d 2 / κόστος.
Στη συνέχεια, εξετάζουμε παραδείγματα απόδειξης ταυτοτήτων στα οποία εφαρμόζεται η αποκτηθείσα γνώση για τις βασικές ταυτότητες της τριγωνομετρίας. Στο Παράδειγμα 3, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ταυτότητα (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Η δεξιά πλευρά της οθόνης εμφανίζει τρεις ταυτότητες που θα χρειαστούν για την απόδειξη - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t και tg t=sin t/cos t με περιορισμούς. Για να αποδειχθεί η ταυτότητα, αρχικά ανοίγουν οι αγκύλες και μετά σχηματίζεται ένα γινόμενο που αντικατοπτρίζει την έκφραση της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας tg t·ctg t=1. Στη συνέχεια, σύμφωνα με την ταυτότητα από τον ορισμό της συνεφαπτομένης, μετασχηματίζεται ctg 2 t. Ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών, λαμβάνεται η έκφραση 1-cos 2 t. Χρησιμοποιώντας τη βασική ταυτότητα, βρίσκουμε την αξία της έκφρασης. Έτσι, αποδεικνύεται ότι (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.
Στο παράδειγμα 4, πρέπει να βρείτε την τιμή της έκφρασης tg 2 t+ctg 2 t εάν tg t+ctg t=6. Για να αξιολογηθεί η έκφραση, η δεξιά και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (tg t+ctg t) 2 =6 2 τετράγωνονται πρώτα. Ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά της οθόνης. Αφού ανοίξουμε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της παράστασης, σχηματίζεται το άθροισμα tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, για τον μετασχηματισμό του οποίου μπορεί να εφαρμοστεί μία από τις τριγωνομετρικές ταυτότητες tg t ctg t=1, η μορφή του οποίου ανακαλείται στη δεξιά πλευρά της οθόνης. Μετά τον μετασχηματισμό προκύπτει η ισότητα tg 2 t+ctg 2 t=34. Η αριστερή πλευρά της ισότητας συμπίπτει με την συνθήκη του προβλήματος, οπότε η απάντηση είναι 34. Το πρόβλημα λύθηκε.
Το εκπαιδευτικό βίντεο "Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων" συνιστάται να χρησιμοποιηθεί σε παραδοσιακό σχολικό μάθημαμαθηματικά. Επίσης, το υλικό θα είναι χρήσιμο σε έναν δάσκαλο που παρέχει εξ αποστάσεως εκπαίδευση. Προκειμένου να διαμορφωθεί μια δεξιότητα στην επίλυση τριγωνομετρικών προβλημάτων.
ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:
«Απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων».
Ισότητα
1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (ημιτονικό τετράγωνο te συν συνημίτονο τετράγωνο te ισούται με ένα)
2) tgt =, στο t ≠ + πk, kϵZ (η εφαπτομένη του te είναι ίση με την αναλογία του ημιτόνου του te προς το συνημίτονο του te όταν το te δεν είναι ίσο με pi κατά δύο συν pi ka, το ka ανήκει στο zet)
3) ctgt = , στο t ≠ πk, kϵZ (η συνεφαπτομένη του te είναι ίση με τον λόγο του συνημίτονος του te προς το ημίτονο του te όταν το te δεν είναι ίσο με την κορυφή του ka, που ανήκει στο z).
4)tgt ∙ ctgt = 1 για t ≠ , kϵZ
ονομάζονται βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.
Συχνά χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση και την απόδειξη τριγωνομετρικών εκφράσεων.
Εξετάστε παραδείγματα χρήσης αυτών των τύπων κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Απλοποιήστε την έκφραση: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (έκφραση συνημίτονο στο τετράγωνο te μείον συνημίτονο της τέταρτης μοίρας του te συν ημίτονο της τέταρτης μοίρας του te).
Λύση. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = αμαρτία 2 t 1 = αμαρτία 2 t
(βγάζουμε τον κοινό παράγοντα συνημιτόνου te, σε αγκύλες παίρνουμε τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του τετραγώνου του συνημιτόνου te, που ισούται με το τετράγωνο του συνημιτόνου te με την πρώτη ταυτότητα. Παίρνουμε το άθροισμα του ημίτονος του τέταρτου βαθμός te του γινομένου συνημιτόνου τετράγωνο te και ημιτόνου te. Ο κοινός συντελεστής ημιτονικό τετράγωνο te θα βγει έξω από τις αγκύλες, σε αγκύλες παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου, το οποίο, σύμφωνα με την κύρια τριγωνομετρική ταυτότηταίσο με ένα. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το τετράγωνο του ημιτόνου του te).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Απλοποιήστε την έκφραση: + .
(έκφραση είναι το άθροισμα δύο κλασμάτων στον αριθμητή του πρώτου συνημίτονο te στον παρονομαστή ένα μείον sine te, στον αριθμητή του δεύτερου συνημίτονο te στον παρονομαστή του δεύτερου συν sine te).
(Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα συνημίτονο te από παρενθέσεις και σε αγκύλες τον φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος είναι το γινόμενο ενός μείον sine te επί ένα συν sine te.
Στον αριθμητή παίρνουμε: ένα συν sine te συν ένα μείον sine te, δίνουμε όμοια, ο αριθμητής είναι ίσος με δύο αφού φέρεις όμοιους.
Στον παρονομαστή, μπορείτε να εφαρμόσετε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού (διαφορά τετραγώνων) και να πάρετε τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του τετραγώνου του sine te, η οποία, σύμφωνα με τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα
ισούται με το τετράγωνο του συνημίτονο τε. Μετά τη μείωση με συνημίτονο te, παίρνουμε την τελική απάντηση: δύο διαιρούμενα με συνημίτονο te).
Εξετάστε παραδείγματα χρήσης αυτών των τύπων στην απόδειξη τριγωνομετρικών παραστάσεων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Αποδείξτε την ταυτότητα (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της εφαπτομένης του te και του ημίτου του te και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης του το te είναι ίσο με το τετράγωνο του ημιτόνου του te).
Απόδειξη.
Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά της ισότητας:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = αμαρτία 2 t
(Ας ανοίξουμε τις αγκύλες, από τη σχέση που λήφθηκε προηγουμένως είναι γνωστό ότι το γινόμενο των τετραγώνων της εφαπτομένης του te από την συνεφαπτομένη του te είναι ίσο με ένα. Θυμηθείτε ότι η συνεφαπτομένη του te ισούται με την αναλογίασυνημίτονο te προς sine te, άρα το τετράγωνο της συνεφαπτομένης είναι ο λόγος του τετραγώνου του συνημιτονοειδούς te προς το τετράγωνο του ημιτόνου te.
Μετά από αναγωγή κατά το ημιτονο τετράγωνο του te, λαμβάνουμε τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του συνημιτόνου του τετραγώνου του te, που είναι ίσο με το ημίτονο του τετραγώνου του te). Q.E.D.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Βρείτε την τιμή της παράστασης tg 2 t + ctg 2 t εάν tgt + ctgt = 6.
(το άθροισμα των τετραγώνων της εφαπτομένης του te και της συνεφαπτομένης του τε, αν το άθροισμα της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι έξι).
Λύση. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Ας τετραγωνίσουμε και τα δύο μέρη της αρχικής ισότητας:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (το τετράγωνο του αθροίσματος της εφαπτομένης του te και της συνεφαπτομένης του te είναι έξι στο τετράγωνο). Θυμηθείτε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού: Το τετράγωνο του αθροίσματος δύο μεγεθών είναι ίσο με το τετράγωνο της πρώτης συν το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Παίρνουμε tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .
Εφόσον το γινόμενο της εφαπτομένης του te και της συνεφαπτομένης του te είναι ίσο με ένα, τότε tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (το άθροισμα των τετραγώνων της εφαπτομένης του te και της συνεφαπτομένης του te και δύο είναι τριανταέξι),
Κατόπιν αιτήματός σας.
6. Απλοποιήστε την έκφραση:
Επειδή συνσυναρτήσεις γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως 90° είναι ίσες με, τότε αντικαθιστούμε sin50° στον αριθμητή του κλάσματος με cos40° και εφαρμόζουμε τον τύπο ημιτόνου του διπλού ορίσματος στον αριθμητή. Παίρνουμε 5sin80° στον αριθμητή. Ας αντικαταστήσουμε το sin80° με το cos10°, το οποίο θα μας επιτρέψει να μειώσουμε το κλάσμα.
Οι τύποι που εφαρμόστηκαν: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.
7. ΣΕ αριθμητική πρόοδος, του οποίου η διαφορά είναι 12 και ο όγδοος όρος είναι 54, βρείτε τον αριθμό των αρνητικών όρων.
Σχέδιο λύσης. Ας φτιάξουμε έναν τύπο για τον κοινό όρο αυτής της προόδου και ας μάθουμε για ποιες τιμές n αρνητικών όρων θα ληφθούν. Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να βρούμε τον πρώτο όρο της προόδου.
Έχουμε d=12, a 8 =54. Σύμφωνα με τον τύπο a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d γράφουμε:
a 8 =a 1 +7d. Αντικαταστήστε τα διαθέσιμα δεδομένα. 54=a 1 +7∙12;
a 1 \u003d -30. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον τύπο a n =a 1 +(n-1)∙d
a n =-30+(n-1)∙12 ή a n =-30+12n-12. Απλοποίηση: a n \u003d 12n-42.
Αναζητούμε τον αριθμό των αρνητικών όρων, επομένως πρέπει να λύσουμε την ανισότητα:
a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;
12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.
8. Βρείτε τα εύρη της παρακάτω συνάρτησης: y=x-|x|.
Ας επεκτείνουμε τις αρθρωτές αγκύλες. Αν x≥0, τότε y=x-x ⇒ y=0. Το γράφημα θα χρησιμεύσει ως ο άξονας x στα δεξιά της αρχής. Αν x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].
9. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός δεξιού κυκλικού κώνου εάν η γενετήσια διάταξη του είναι 18 cm και το εμβαδόν της βάσης είναι 36 cm 2.
Δίνεται κώνος με MAB αξονικής διατομής. Δημιουργία BM=18, S κύρια. =36π. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κώνου υπολογίζεται με τον τύπο: πλευρά S. \u003d πRl, όπου l είναι η γεννήτρια και ισούται με 18 cm κατά συνθήκη, R είναι η ακτίνα της βάσης, βρίσκουμε με τον τύπο: S cr. = πR 2 . Έχουμε S cr. = S κύριος. = 36π. Επομένως πR 2 =36π ⇒ R=6.
Στη συνέχεια S πλευρά. =π∙6∙18 ⇒ Ν πλευρά. \u003d 108π cm 2.
12. Λύνουμε τη λογαριθμική εξίσωση. Ένα κλάσμα είναι ίσο με 1 αν ο αριθμητής του είναι ίσος με τον παρονομαστή, δηλ.
lg(x 2 +5x+4)=2lgx σε lgx≠0. Εφαρμόζουμε στη δεξιά πλευρά της ισότητας την ιδιότητα του βαθμού του αριθμού κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου: lg (x 2 +5x+4) = lgx 2, Αυτοί οι δεκαδικοί λογάριθμοι είναι ίσοι, επομένως οι αριθμοί κάτω από τα πρόσημα του Οι λογάριθμοι είναι επίσης ίσοι, επομένως:
x 2 +5x+4=x 2, άρα 5x=-4; παίρνουμε x=-0,8. Ωστόσο, αυτή η τιμή δεν μπορεί να ληφθεί, αφού μόνο θετικοί αριθμοί μπορούν να βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, επομένως αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Σημείωση. Δεν είναι απαραίτητο να βρείτε το ODZ στην αρχή της λύσης (πάρτε το χρόνο σας!), Είναι καλύτερα να κάνετε έναν έλεγχο (όπως είμαστε τώρα) στο τέλος.
13. Να βρείτε την τιμή της παράστασης (x o - y o), όπου (x o; y o) είναι η λύση στο σύστημα των εξισώσεων:
14. Λύστε την εξίσωση:
Αν διαιρέσετε με 2 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος, θα βρείτε τον τύπο για την εφαπτομένη διπλής γωνίας. Παίρνετε μια απλή εξίσωση: tg4x=1.
15. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .
Μας δίνεται μια πολύπλοκη λειτουργία. Το ορίζουμε με μια λέξη - είναι πτυχίο. Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, βρίσκουμε την παράγωγο του βαθμού και την πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της βάσης αυτού του βαθμού σύμφωνα με τον τύπο:
(u n)' = n ∙ u n-1 ∙ u'.
f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .
16. Απαιτείται να βρεθεί η f '(1) εάν η συνάρτηση
17. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, το άθροισμα όλων των διχοτόμων είναι 33√3 εκ. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.
Η διχοτόμος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι και η διάμεσος και το ύψος. Έτσι, το μήκος του ύψους BD αυτού του τριγώνου είναι
Ας βρούμε την πλευρά ΑΒ από το ορθογώνιο Δ ΑΒΔ. Αφού sin60° = BD : ΑΒ, μετά ΑΒ = ΒΔ : αμαρτία60°.
18. Ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου το ύψος είναι 12 εκ. Βρείτε το εμβαδόν του κύκλου.
Ο κύκλος (O; OD) εγγράφεται στο ισόπλευρο Δ ABC. Το ύψος BD είναι επίσης διχοτόμος και διάμεσος, και το κέντρο του κύκλου, το σημείο Ο, βρίσκεται στο BD.
O - το σημείο τομής των υψών, των διχοτόμων και των διαμέτρων διαιρεί τη διάμεσο BD σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Επομένως, OD=(1/3)BD=12:3=4. Ακτίνα κύκλου R=OD=4 εκ. Εμβαδόν κύκλου S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.
19. Οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 9 εκ. και η πλευρά της βάσης είναι 8 εκ. Βρείτε το ύψος της πυραμίδας.
Η βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι το τετράγωνο ABCD, η βάση του ύψους MO είναι το κέντρο του τετραγώνου.
20. Απλοποιώ:
Στον αριθμητή, το τετράγωνο της διαφοράς περιορίζεται.
Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ομαδοποίησης αθροίσματος.
21. Υπολογίζω:
Για να μπορέσουμε να εξαγάγουμε την αριθμητική τετραγωνική ρίζα, η έκφραση ρίζας πρέπει να είναι πλήρες τετράγωνο. Αντιπροσωπεύουμε την έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ως το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων σύμφωνα με τον τύπο:
a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, με την προϋπόθεση ότι a 2 +b 2 =10.
22. Λύστε την ανισότητα:
Αντιπροσωπεύουμε την αριστερή πλευρά της ανισότητας ως γινόμενο. Το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών είναι ίσο με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του μισού αθροίσματος αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών:
Παίρνουμε:
Ας λύσουμε αυτή την ανισότητα γραφικά. Επιλέγουμε εκείνα τα σημεία του γραφήματος y=cost που βρίσκονται πάνω από την ευθεία και προσδιορίζουμε τα τετμημένα αυτών των σημείων (που φαίνονται με σκίαση).
23. Βρείτε όλα τα αντιπαράγωγα για τη συνάρτηση: h(x)=cos 2 x.
Μετασχηματίζουμε αυτή τη συνάρτηση μειώνοντας το βαθμό της χρησιμοποιώντας τον τύπο:
1+cos2α=2cos2α. Παίρνουμε μια συνάρτηση:
24. Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες
25. Εισαγάγετε αριθμητικά σημάδια αντί για αστερίσκους, έτσι ώστε να επιτευχθεί η σωστή ισότητα: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.
Υποστηρίζουμε: πρέπει να ληφθεί ο αριθμός 25 (31 - 6 \u003d 25). Πώς να πάρετε αυτόν τον αριθμό από δύο "τριπλάσια" και δύο "τέσσερα" χρησιμοποιώντας τα σημάδια δράσης;
Φυσικά είναι: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Απάντηση Ε).