Πολλοί πιστεύουν ότι εκθετικές ανισότητεςΕίναι κάτι τόσο σύνθετο και ακατανόητο. Και ότι το να μάθεις να τα λύνεις είναι σχεδόν μια μεγάλη τέχνη, που μόνο οι Εκλεκτοί μπορούν να κατανοήσουν...
Πλήρης ανοησία! Οι εκθετικές ανισότητες είναι εύκολες. Και είναι πάντα εύκολο να λυθούν. Λοιπόν, σχεδόν πάντα. :)
Σήμερα θα αναλύσουμε αυτό το θέμα ευρέως. Αυτό το μάθημα θα είναι πολύ χρήσιμο για όσους μόλις αρχίζουν να κατανοούν αυτήν την ενότητα των σχολικών μαθηματικών. Ας ξεκινήσουμε με απλές εργασίεςκαι να προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα ζητήματα. Δεν θα υπάρχει τενεκέ σήμερα, αλλά αυτό που θα διαβάσετε τώρα θα είναι αρκετό για να λύσει τις περισσότερες από τις ανισότητες σε κάθε είδους έλεγχο και ανεξάρτητη εργασία. Και σε αυτό και η εξέτασή σας.
Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Εκθετική ανισότητα είναι κάθε ανισότητα που περιέχει εκθετική συνάρτηση. Με άλλα λόγια, μπορεί πάντα να αναχθεί σε μια ανισότητα της μορφής
\[((a)^(x)) \gt b\]
Όπου στο ρόλο του $b$ μπορεί να είναι κοινός αριθμός, και ίσως κάτι λίγο πιο σκληρό. Παραδείγματα; Ναι παρακαλώ:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\τετράγωνο ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(Χ))). \\\end(στοίχιση)\]
Νομίζω ότι το νόημα είναι ξεκάθαρο: υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση $((a)^(x))$, συγκρίνεται με κάτι και στη συνέχεια ζητείται να βρει το $x$. Σε ιδιαίτερα κλινικές περιπτώσεις, αντί για τη μεταβλητή $x$, μπορούν να βάλουν κάποια συνάρτηση $f\left(x \right)$ και έτσι να περιπλέξουν λίγο την ανισότητα. :)
Φυσικά, σε ορισμένες περιπτώσεις, η ανισότητα μπορεί να φαίνεται πιο σοβαρή. Για παράδειγμα:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Ή ακόμα και αυτό:
Γενικά, η πολυπλοκότητα τέτοιων ανισοτήτων μπορεί να είναι πολύ διαφορετική, αλλά τελικά καταλήγουν σε μια απλή κατασκευή $((a)^(x)) \gt b$. Και κάπως θα αντιμετωπίσουμε ένα τέτοιο σχέδιο (σε ειδικά κλινικές περιπτώσεις, όταν δεν μας έρχεται τίποτα στο μυαλό, θα μας βοηθήσουν οι λογάριθμοι). Επομένως, τώρα θα μάθουμε πώς να λύνουμε τέτοιες απλές κατασκευές.
Επίλυση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων
Ας δούμε κάτι πολύ απλό. Για παράδειγμα, εδώ είναι:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Προφανώς, ο αριθμός στα δεξιά μπορεί να ξαναγραφτεί ως δύναμη δύο: $4=((2)^(2))$. Έτσι, η αρχική ανισότητα ξαναγράφεται σε μια πολύ βολική μορφή:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Και τώρα φαγούρα τα χέρια να «σταυρώσουν» τα ντεκ, που στέκονται στις βάσεις των μοιρών, για να πάρουν την απάντηση $x \gt 2$. Αλλά προτού διαγράψουμε οτιδήποτε, ας θυμηθούμε τις δυνάμεις δύο:
\[((2)^(1))=2;\τέταρτο ((2)^(2))=4;\τετράγωνο ((2)^(3))=8;\τετράγωνο ((2)^( 4))=16;...\]
Όπως βλέπουμε τι περισσότεροβρίσκεται στον εκθέτη, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός εξόδου. «Ευχαριστώ, Καπ»! θα αναφωνήσει ένας από τους μαθητές. Συμβαίνει διαφορετικά; Δυστυχώς, συμβαίνει. Για παράδειγμα:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ δεξιά))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\αριστερά(\frac(1)(2) \δεξιά))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Και εδώ όλα είναι λογικά: όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο πολλαπλασιάζεται ο αριθμός 0,5 από τον εαυτό του (δηλαδή διαιρείται στο μισό). Έτσι, η προκύπτουσα ακολουθία αριθμών μειώνεται και η διαφορά μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης ακολουθίας βρίσκεται μόνο στη βάση:
- Εάν η βάση του βαθμού $a \gt 1$, τότε καθώς ο εκθέτης $n$ μεγαλώνει, ο αριθμός $((a)^(n))$ θα αυξάνεται επίσης.
- Αντίστροφα, αν $0 \lt a \lt 1$, τότε καθώς αυξάνεται ο εκθέτης $n$, ο αριθμός $((a)^(n))$ θα μειωθεί.
Συνοψίζοντας αυτά τα γεγονότα, παίρνουμε την πιο σημαντική δήλωση, στην οποία βασίζεται ολόκληρη η λύση των εκθετικών ανισοτήτων:
Αν $a \gt 1$, τότε η ανισότητα $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $x \gt n$. Αν $0 \lt a \lt 1$, τότε η ανισότητα $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ είναι ισοδύναμη με την ανισότητα $x \lt n$.
Με άλλα λόγια, εάν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία, μπορείτε απλά να την αφαιρέσετε - το σύμβολο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Και αν η βάση είναι μικρότερη από μία, τότε μπορεί επίσης να αφαιρεθεί, αλλά το πρόσημο της ανισότητας θα πρέπει επίσης να αλλάξει.
Σημειώστε ότι δεν έχουμε εξετάσει τις επιλογές $a=1$ και $a\le 0$. Γιατί σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει αβεβαιότητα. Ας υποθέσουμε πώς λύνεται μια ανισότητα της μορφής $((1)^(x)) \gt 3$; Ένα ένα σε οποιαδήποτε δύναμη θα δώσει ξανά ένα - δεν θα πάρουμε ποτέ τρία ή περισσότερα. Εκείνοι. δεν υπάρχουν λύσεις.
Με αρνητικές βάσεις, είναι ακόμα πιο ενδιαφέρον. Εξετάστε, για παράδειγμα, την ακόλουθη ανισότητα:
\[((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(x)) \gt 4\]
Με την πρώτη ματιά, όλα είναι απλά:
Σωστά? Αλλά όχι! Αρκεί να αντικαταστήσετε μερικούς ζυγούς και δύο περιττούς αριθμούς αντί για $x$ για να βεβαιωθείτε ότι η λύση είναι λάθος. Ρίξε μια ματιά:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Δεξί βέλος ((\αριστερά(-2 \δεξιά))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, τα σημάδια εναλλάσσονται. Αλλά υπάρχουν ακόμα κλασματικοί μοίρες και άλλοι κασσίτεροι. Πώς, για παράδειγμα, θα παραγγείλατε να μετρήσετε το $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (μείον δύο αυξημένα στη ρίζα του επτά); Με τιποτα!
Επομένως, για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι σε όλες τις εκθετικές ανισότητες (και τις εξισώσεις, παρεμπιπτόντως, επίσης) $1\ne a \gt 0$. Και τότε όλα λύνονται πολύ απλά:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Δεξί βέλος \αριστερά[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \δεξιά), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \δεξιά). \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Γενικά, θυμηθείτε για άλλη μια φορά τον κύριο κανόνα: εάν η βάση στην εκθετική εξίσωση είναι μεγαλύτερη από μία, μπορείτε απλά να την αφαιρέσετε. και αν η βάση είναι μικρότερη από μία, μπορεί επίσης να αφαιρεθεί, αλλά αυτό θα αλλάξει το πρόσημο της ανισότητας.
Παραδείγματα λύσεων
Λοιπόν, εξετάστε μερικές απλές εκθετικές ανισότητες:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(στοίχιση)\]
Η κύρια εργασία είναι η ίδια σε όλες τις περιπτώσεις: να μειωθούν οι ανισότητες στην απλούστερη μορφή $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Αυτό θα κάνουμε τώρα με κάθε ανισότητα, και ταυτόχρονα θα επαναλάβουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων και εκθετικη συναρτηση. Λοιπόν πάμε!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Τι μπορεί να γίνει εδώ; Λοιπόν, στα αριστερά έχουμε ήδη εκθετική έκφραση- τίποτα δεν χρειάζεται να αλλάξει. Αλλά στα δεξιά υπάρχει κάποιο είδος χάλια: ένα κλάσμα, ακόμη και μια ρίζα στον παρονομαστή!
Ωστόσο, θυμηθείτε τους κανόνες για την εργασία με κλάσματα και δυνάμεις:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(στοίχιση)\]
Τι σημαίνει? Πρώτον, μπορούμε εύκολα να απαλλαγούμε από το κλάσμα μετατρέποντάς το σε δύναμη με αρνητικός δείκτης. Και δεύτερον, αφού ο παρονομαστής είναι η ρίζα, θα ήταν ωραίο να τη μετατρέψουμε σε βαθμό - αυτή τη φορά με κλασματικό εκθέτη.
Ας εφαρμόσουμε αυτές τις ενέργειες διαδοχικά στη δεξιά πλευρά της ανισότητας και ας δούμε τι συμβαίνει:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \δεξιά))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \δεξιά)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Μην ξεχνάτε ότι όταν ανεβάζετε μια μοίρα σε μια ισχύ, προστίθενται οι εκθέτες αυτών των μοιρών. Γενικά, όταν εργάζεστε με εκθετικές εξισώσειςκαι τις ανισότητες, είναι απολύτως απαραίτητο να γνωρίζουμε τουλάχιστον τους απλούστερους κανόνες για την εργασία με πτυχία:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(στοίχιση)\]
Στην πραγματικότητα, μόλις εφαρμόσαμε τον τελευταίο κανόνα. Επομένως, η αρχική μας ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Δεξί βέλος ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Τώρα ξεφορτώνουμε το ντεζάκι στη βάση. Από 2 > 1, το πρόσημο της ανισότητας παραμένει το ίδιο:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Right arrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Αυτή είναι η όλη λύση! Η κύρια δυσκολία δεν έγκειται καθόλου στην εκθετική συνάρτηση, αλλά στον ικανό μετασχηματισμό της αρχικής έκφρασης: πρέπει να τη φέρετε προσεκτικά και όσο το δυνατόν γρηγορότερα στην απλούστερη μορφή της.
Εξετάστε τη δεύτερη ανισότητα:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Λοιπόν λοιπόν. Εδώ περιμένουμε δεκαδικά κλάσματα. Όπως έχω πει πολλές φορές, σε οποιεσδήποτε εκφράσεις με δυνάμεις, θα πρέπει να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά κλάσματα - συχνά αυτός είναι ο μόνος τρόπος για να δείτε μια γρήγορη και εύκολη λύση. Εδώ είναι από τι θα απαλλαγούμε:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ δεξιά))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(10) \δεξιά))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]
Μπροστά μας είναι πάλι η απλούστερη ανισότητα, και μάλιστα με βάση το 1/10, δηλ. λιγότερο από ένα. Λοιπόν, αφαιρούμε τις βάσεις, αλλάζοντας ταυτόχρονα το σύμβολο από "λιγότερο" σε "μεγαλύτερο", και παίρνουμε:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(στοίχιση)\]
Πήραμε την τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Σημειώστε ότι η απάντηση είναι ακριβώς το σύνολο και σε καμία περίπτωση η κατασκευή της φόρμας $x \lt -1$. Επειδή τυπικά μια τέτοια κατασκευή δεν είναι καθόλου σύνολο, αλλά ανισότητα ως προς τη μεταβλητή $x$. Ναι, είναι πολύ απλό, αλλά δεν είναι η απάντηση!
Σημαντική σημείωση. Αυτή η ανισότητα θα μπορούσε να λυθεί με άλλο τρόπο - με την αναγωγή και των δύο μερών σε ισχύ με βάση μεγαλύτερη από μία. Ρίξε μια ματιά:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(((10)^(-1)) \δεξιά))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Μετά από έναν τέτοιο μετασχηματισμό, παίρνουμε και πάλι μια εκθετική ανισότητα, αλλά με βάση 10 > 1. Και αυτό σημαίνει ότι μπορείτε απλά να διαγράψετε το δέκα - το σύμβολο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Παίρνουμε:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, η απάντηση είναι ακριβώς η ίδια. Ταυτόχρονα, γλιτώσαμε από την ανάγκη να αλλάξουμε το σήμα και γενικά να θυμηθούμε κάποιους κανόνες εκεί. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Ωστόσο, μην το αφήσετε να σας τρομάξει. Ό,τι κι αν υπάρχει στους δείκτες, η ίδια η τεχνολογία για την επίλυση της ανισότητας παραμένει η ίδια. Επομένως, σημειώνουμε πρώτα ότι 16 = 2 4 . Ας ξαναγράψουμε την αρχική ανισότητα λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Ζήτω! Έχουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική ανισότητα! Το πρόσημο δεν έχει αλλάξει πουθενά, αφού η βάση είναι ένα δυάρι - αριθμός μεγαλύτερος του ενός.
Συνάρτηση μηδενικά στην αριθμητική γραμμή
Τακτοποιούμε τα σημάδια της συνάρτησης $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - προφανώς, η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, οπότε θα υπάρχουν "συν ” στα πλάγια. Μας ενδιαφέρει η περιοχή όπου λειτουργεί λιγότερο από το μηδέν, δηλ. Το $x\in \left(2;5 \right)$ είναι η απάντηση στο αρχικό πρόβλημα.
Τέλος, εξετάστε μια άλλη ανισότητα:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Και πάλι βλέπουμε μια εκθετική συνάρτηση με δεκαδικό κλάσμα στη βάση. Ας μετατρέψουμε αυτό το κλάσμα σε κοινό κλάσμα:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2)))=((\αριστερά(((5)^(-1)) \δεξιά))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \δεξιά)))\end(στοίχιση)\]
Σε αυτήν την περίπτωση, εκμεταλλευτήκαμε την παρατήρηση που έγινε νωρίτερα - μειώσαμε τη βάση στον αριθμό 5\u003e 1 για να απλοποιήσουμε την περαιτέρω απόφασή μας. Ας κάνουμε το ίδιο με τη δεξιά πλευρά:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Ας ξαναγράψουμε την αρχική ανισότητα, λαμβάνοντας υπόψη και τους δύο μετασχηματισμούς:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(-1\cdot \αριστερά(1+ ((x)^(2)) \δεξιά)))\ge ((5)^(-2))\]
Οι βάσεις και στις δύο πλευρές είναι ίδιες και μεγαλύτερες από τη μία. Δεν υπάρχουν άλλοι όροι δεξιά και αριστερά, οπότε απλώς «διαβάζουμε» τις πεντάδες και παίρνουμε μια πολύ απλή έκφραση:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(στοίχιση)\]
Εδώ πρέπει να είστε προσεκτικοί. Σε πολλούς μαθητές αρέσει απλώς να εξάγουν Τετραγωνική ρίζακαι των δύο μερών της ανισότητας και γράψτε κάτι σαν $x\le 1\Δεξί βέλος x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Δεν πρέπει ποτέ να το κάνετε αυτό, καθώς η ρίζα του ακριβές τετράγωνοείναι μια ενότητα, και σε καμία περίπτωση μια μεταβλητή πηγή:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]
Ωστόσο, η εργασία με ενότητες δεν είναι η πιο ευχάριστη εμπειρία, σωστά; Άρα δεν θα δουλέψουμε. Αντίθετα, απλώς μετακινούμε όλους τους όρους προς τα αριστερά και λύνουμε τη συνηθισμένη ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Και πάλι, σημειώνουμε τα ληφθέντα σημεία στην αριθμητική γραμμή και κοιτάμε τα σημάδια:
Σημείωση: οι κουκκίδες είναι σκιασμένες. Εφόσον λύναμε μια μη αυστηρή ανισότητα, όλα τα σημεία στο γράφημα είναι σκιασμένα. Επομένως, η απάντηση θα είναι: Το $x\in \left[ -1;1 \right]$ δεν είναι ένα διάστημα, αλλά ένα τμήμα.
Γενικά, θα ήθελα να σημειώσω ότι δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στις εκθετικές ανισότητες. Το νόημα όλων των μετασχηματισμών που πραγματοποιήσαμε σήμερα συνοψίζεται σε έναν απλό αλγόριθμο:
- Βρείτε τη βάση στην οποία θα μειώσουμε όλους τους βαθμούς.
- Εκτελέστε προσεκτικά μετασχηματισμούς για να λάβετε μια ανισότητα της μορφής $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Φυσικά, αντί για τις μεταβλητές $x$ και $n$, μπορεί να υπάρχουν πολύ περισσότερες σύνθετες λειτουργίες, αλλά το νόημα αυτού δεν θα αλλάξει.
- Διαγράψτε τις βάσεις των μοιρών. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο της ανισότητας μπορεί να αλλάξει εάν η βάση $a \lt 1$.
Στην πραγματικότητα, αυτός είναι ένας καθολικός αλγόριθμος για την επίλυση όλων αυτών των ανισοτήτων. Και όλα τα άλλα που θα σας ειπωθούν σε αυτό το θέμα είναι απλά συγκεκριμένα κόλπα και κόλπα για να απλοποιήσετε και να επιταχύνετε τη μεταμόρφωση. Εδώ είναι ένα από αυτά τα κόλπα για τα οποία θα μιλήσουμε τώρα. :)
μέθοδος εξορθολογισμού
Εξετάστε μια άλλη παρτίδα ανισοτήτων:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \δεξιά))^(16-x)); \\ & ((\αριστερά(3-2\sqrt(2) \δεξιά))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, τι το ιδιαίτερο έχουν; Είναι επίσης ελαφριά. Αν και σταμάτα! Το pi ανυψώνεται σε δύναμη; Τι είδους ανοησίες;
Και πώς να αυξήσετε τον αριθμό $2\sqrt(3)-3$ σε μια δύναμη; Ή $3-2\sqrt(2)$; Οι μεταγλωττιστές των προβλημάτων προφανώς ήπιαν πάρα πολύ "Hawthorn" πριν καθίσουν να δουλέψουν. :)
Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα κακό με αυτές τις εργασίες. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: μια εκθετική συνάρτηση είναι μια έκφραση της μορφής $((a)^(x))$, όπου η βάση $a$ είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, εκτός από έναν. Ο αριθμός π είναι θετικός - το γνωρίζουμε ήδη. Οι αριθμοί $2\sqrt(3)-3$ και $3-2\sqrt(2)$ είναι επίσης θετικοί - αυτό είναι εύκολο να δούμε αν τους συγκρίνουμε με το μηδέν.
Αποδεικνύεται ότι όλες αυτές οι «τρομακτικές» ανισότητες δεν διαφέρουν από τις απλές που συζητήθηκαν παραπάνω; Και το κάνουν με τον ίδιο τρόπο; Ναι, απόλυτο δίκιο. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας το παράδειγμά τους, θα ήθελα να εξετάσω ένα κόλπο που εξοικονομεί πολύ χρόνο σε ανεξάρτητη εργασία και εξετάσεις. Θα μιλήσουμε για τη μέθοδο του εξορθολογισμού. Προσοχή λοιπόν:
Οποιαδήποτε εκθετική ανισότητα της μορφής $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ισοδυναμεί με την ανισότητα $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ δεξιά) \gt 0 $.
Αυτή είναι η όλη μέθοδος. :) Πιστεύατε ότι θα υπήρχε κάποιο είδος επόμενου παιχνιδιού; Τίποτα σαν αυτό! Αλλά αυτό το απλό γεγονός, γραμμένο κυριολεκτικά σε μια γραμμή, θα απλοποιήσει πολύ τη δουλειά μας. Ρίξε μια ματιά:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2) \\ \Κάτω βέλος \\ \αριστερά(x+7-\αριστερά(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Εδώ δεν υπάρχουν άλλες εκθετικές συναρτήσεις! Και δεν χρειάζεται να θυμάστε αν το σημάδι αλλάζει ή όχι. Αλλά υπάρχει νέο πρόβλημα: τι να κάνετε με τον γαμημένο πολλαπλασιαστή \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]; Δεν ξέρουμε ποια είναι η ακριβής τιμή του pi. Ωστόσο, ο καπετάνιος φαίνεται να υπαινίσσεται το αυτονόητο:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\περίπου 3,14... \gt 3\Δεξί βέλος \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Γενικά, η ακριβής τιμή του π δεν μας ενοχλεί πολύ - είναι σημαντικό μόνο να καταλάβουμε ότι σε κάθε περίπτωση $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. είναι μια θετική σταθερά, και μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με αυτήν:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, σε μια ορισμένη στιγμήέπρεπε να διαιρεθεί με το μείον ένα και το πρόσημο της ανισότητας άλλαξε. Στο τέλος, επέκτεινα το τετράγωνο τριώνυμο σύμφωνα με το θεώρημα Vieta - είναι προφανές ότι οι ρίζες είναι ίσες με $((x)_(1))=5$ και $((x)_(2))=- 1$. Τότε όλα λύνονται με την κλασική μέθοδο των διαστημάτων:
Λύνουμε την ανισότητα με τη μέθοδο των διαστημάτων Όλα τα σημεία είναι τρυπημένα επειδή η αρχική ανισότητα είναι αυστηρή. Μας ενδιαφέρει η περιοχή με αρνητικές τιμές, οπότε η απάντηση είναι $x\in \left(-1;5 \right)$. Αυτή είναι η λύση. :)
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εργασία:
\[((\αριστερά(2\sqrt(3)-3 \δεξιά))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Όλα είναι απλά εδώ, γιατί υπάρχει μια μονάδα στα δεξιά. Και θυμόμαστε ότι μονάδα είναι οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωμένος στη δύναμη του μηδέν. Ακόμα κι αν αυτός ο αριθμός είναι μια παράλογη έκφραση, που στέκεται στη βάση στα αριστερά:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \δεξιά))^(0)); \\\end(στοίχιση)\]
Ας εκλογικεύσουμε λοιπόν:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Απομένει μόνο να αντιμετωπίσουμε τα σημάδια. Ο πολλαπλασιαστής $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ δεν περιέχει τη μεταβλητή $x$ - είναι απλώς μια σταθερά και πρέπει να καταλάβουμε το πρόσημό της. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τα εξής:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \δεξιά)=0 \\\end(μήτρα)\]
Αποδεικνύεται ότι ο δεύτερος παράγοντας δεν είναι απλώς μια σταθερά, αλλά μια αρνητική σταθερά! Και όταν διαιρείται με αυτό, το πρόσημο της αρχικής ανισότητας θα αλλάξει στο αντίθετο:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\αριστερά(x-2 \δεξιά) \gt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Τώρα όλα γίνονται ολοφάνερα. Οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου στα δεξιά είναι $((x)_(1))=0$ και $((x)_(2))=2$. Τα σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή και κοιτάμε τα σημάδια της συνάρτησης $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Η περίπτωση που μας ενδιαφέρουν τα πλάγια διαστήματα Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα που σημειώνονται με το σύμβολο συν. Μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση:
Ας προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ δεξιά))^(16-x))\]
Λοιπόν, όλα είναι αρκετά προφανή εδώ: οι βάσεις είναι δυνάμεις του ίδιου αριθμού. Επομένως, θα γράψω τα πάντα εν συντομία:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Κάτω βέλος \\ ((\αριστερά(((3)^(-1)) \δεξιά))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\αριστερά(((3)^(-2)) \δεξιά))^(16-x)) \\\end(μήτρα)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ αριστερά (16-x\δεξιά))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, στη διαδικασία των μετασχηματισμών, έπρεπε να πολλαπλασιαστούν με αρνητικός αριθμός, άρα το πρόσημο της ανισότητας έχει αλλάξει. Στο τέλος, εφάρμοσα ξανά το θεώρημα του Vieta για να παραγοντοποιήσω ένα τετράγωνο τριώνυμο. Ως αποτέλεσμα, η απάντηση θα είναι η εξής: $x\in \left(-8;4 \right)$ - όσοι επιθυμούν μπορούν να το επαληθεύσουν σχεδιάζοντας μια αριθμητική γραμμή, σημειώνοντας σημεία και μετρώντας σημάδια. Στο μεταξύ, θα προχωρήσουμε στην τελευταία ανισότητα από το «σύνολο» μας:
\[((\αριστερά(3-2\sqrt(2) \δεξιά))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Όπως μπορείτε να δείτε, η βάση είναι και πάλι ένας παράλογος αριθμός και η μονάδα βρίσκεται πάλι στα δεξιά. Επομένως, ξαναγράφουμε την εκθετική μας ανισότητα ως εξής:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ δεξιά))^(0))\]
Ας εκλογικεύσουμε:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Ωστόσο, είναι προφανές ότι $1-\sqrt(2) \lt 0$, αφού $\sqrt(2)\περίπου 1,4... \gt 1$. Επομένως, ο δεύτερος παράγοντας είναι και πάλι μια αρνητική σταθερά, με την οποία μπορούν να διαιρεθούν και τα δύο μέρη της ανισότητας:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Κάτω βέλος \ \\end(μήτρα)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\αριστερά(x-3 \δεξιά) \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Αλλαγή σε άλλη βάση
Ένα ξεχωριστό πρόβλημα στην επίλυση εκθετικών ανισοτήτων είναι η αναζήτηση της «σωστής» βάσης. Δυστυχώς, με την πρώτη ματιά στην εργασία, δεν είναι πάντα προφανές τι πρέπει να λαμβάνεται ως βάση και τι πρέπει να γίνει ως βαθμός αυτής της βάσης.
Αλλά μην ανησυχείτε: δεν υπάρχουν μαγικές και «μυστικές» τεχνολογίες εδώ. Στα μαθηματικά, κάθε δεξιότητα που δεν μπορεί να αλγοριθμηθεί μπορεί εύκολα να αναπτυχθεί μέσω της πρακτικής. Αλλά για αυτό πρέπει να λύσετε προβλήματα διαφορετικά επίπεδαδυσκολίες. Για παράδειγμα, αυτά είναι:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ τέλος(ευθυγράμμιση)\]
Δύσκολος? Τρομακτικός? Ναι, είναι πιο εύκολο από ένα κοτόπουλο στην άσφαλτο! Ας δοκιμάσουμε. Πρώτη ανισότητα:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Λοιπόν, νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα εδώ:
Ξαναγράφουμε την αρχική ανισότητα, μειώνοντας τα πάντα στη βάση "δύο":
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Δεξί βέλος \αριστερά(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ναι, ναι, σωστά καταλάβατε: μόλις εφάρμοσα τη μέθοδο εξορθολογισμού που περιγράφεται παραπάνω. Τώρα πρέπει να δουλέψουμε προσεκτικά: τα καταφέραμε κλασματική ορθολογική ανισότητα(αυτή είναι αυτή που έχει μια μεταβλητή στον παρονομαστή), οπότε πριν εξισώσετε κάτι με το μηδέν, πρέπει να φέρετε τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή και να απαλλαγείτε από τον σταθερό παράγοντα.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(στοίχιση)\]
Τώρα χρησιμοποιούμε την τυπική μέθοδο διαστήματος. Αριθμητικά μηδενικά: $x=\pm 4$. Ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν μόνο όταν $x=0$. Συνολικά, υπάρχουν τρία σημεία που πρέπει να σημειωθούν στην αριθμητική γραμμή (όλα τα σημεία διατρυπώνται, επειδή το σύμβολο της ανισότητας είναι αυστηρό). Παίρνουμε:
Πιο περίπλοκη περίπτωση: τρεις ρίζες Όπως μπορείτε να μαντέψετε, η χάραξη επισημαίνει τα διαστήματα στα οποία η έκφραση στα αριστερά παίρνει αρνητικές τιμές. Επομένως, δύο διαστήματα θα μπουν στην τελική απάντηση ταυτόχρονα:
Τα άκρα των διαστημάτων δεν περιλαμβάνονται στην απάντηση επειδή η αρχική ανισότητα ήταν αυστηρή. Δεν απαιτείται περαιτέρω επικύρωση αυτής της απάντησης. Από αυτή την άποψη, οι εκθετικές ανισότητες είναι πολύ απλούστερες από τις λογαριθμικές: χωρίς DPV, χωρίς περιορισμούς κ.λπ.
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εργασία:
\[((\αριστερά(\frac(1)(3) \δεξιά))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Δεν υπάρχουν προβλήματα και εδώ, αφού ήδη γνωρίζουμε ότι $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, οπότε ολόκληρη η ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Δεξί βέλος ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\αριστερά(-2\δεξιά)\δεξιά. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(στοίχιση)\]
Παρακαλώ σημειώστε: στην τρίτη γραμμή, αποφάσισα να μην χάσω χρόνο σε μικροπράγματα και να διαιρέσω αμέσως τα πάντα με (−2). Ο Μινούλ μπήκε στην πρώτη αγκύλη (τώρα υπάρχουν παντού συν) και το δίδυμο μειώθηκε με σταθερό πολλαπλασιαστή. Αυτό ακριβώς πρέπει να κάνετε όταν κάνετε πραγματικούς υπολογισμούς σε ανεξάρτητους και εργασίες ελέγχου- δεν χρειάζεται να ζωγραφίζετε απευθείας κάθε δράση και μεταμόρφωση.
Στη συνέχεια, μπαίνει στο παιχνίδι η γνωστή μέθοδος των διαστημάτων. Μηδενικά του αριθμητή: αλλά δεν υπάρχουν. Γιατί η διάκριση θα είναι αρνητική. Με τη σειρά του, ο παρονομαστής ορίζεται στο μηδέν μόνο όταν $x=0$ — όπως και την προηγούμενη φορά. Λοιπόν, είναι σαφές ότι στα δεξιά του $x=0$ θα πάρει το κλάσμα θετικές αξίες, και αρνητικά στα αριστερά. Δεδομένου ότι μας ενδιαφέρουν μόνο οι αρνητικές τιμές, η τελική απάντηση είναι $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\αριστερά(0,16 \δεξιά))^(1+2x))\cdot ((\αριστερά(6,25 \δεξιά))^(x))\ge 1\]
Και τι πρέπει να γίνει με τα δεκαδικά κλάσματα σε εκθετικές ανισώσεις; Αυτό είναι σωστό: απαλλαγείτε από αυτά μετατρέποντάς τα σε συνηθισμένα. Εδώ μεταφράζουμε:
\[\αρχή(στοίχιση) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Δεξί βέλος ((\αριστερά(0,16 \δεξιά))^(1+2x)) =((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Δεξί βέλος ((\αριστερά(6,25 \δεξιά))^(x))=((\αριστερά(\ frac(25)(4) \δεξιά))^(x)). \\\end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, τι πήραμε στις βάσεις των εκθετικών συναρτήσεων; Και πήραμε δύο αμοιβαία αμοιβαία νούμερα:
\[\frac(25)(4)=((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(25)(4) \ δεξιά))^(x))=((\αριστερά(((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-1)) \δεξιά))^(x))=((\ αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(-x))\]
Έτσι, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \δεξιά))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(στοίχιση)\]
Φυσικά, όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, οι δείκτες τους αθροίζονται, κάτι που συνέβη στη δεύτερη γραμμή. Επιπλέον, έχουμε αναπαραστήσει τη μονάδα στα δεξιά, επίσης ως ισχύ στη βάση 4/25. Απομένει μόνο να εξορθολογίσουμε:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Δεξί βέλος \αριστερά(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Σημειώστε ότι $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, δηλ. ο δεύτερος παράγοντας είναι μια αρνητική σταθερά και όταν διαιρεθεί με αυτήν, το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει:
\[\αρχή(στοίχιση) & x+1-0\le 0\Δεξί βέλος x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Τέλος, η τελευταία ανισότητα από το τρέχον "σύνολο":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Κατ 'αρχήν, η ιδέα μιας λύσης εδώ είναι επίσης σαφής: όλες οι εκθετικές συναρτήσεις που συνθέτουν την ανισότητα πρέπει να μειωθούν στη βάση "3". Αλλά για αυτό πρέπει να ασχοληθείτε λίγο με τις ρίζες και τους βαθμούς:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\τετράγωνο 81=((3)^(4)). \\\end(στοίχιση)\]
Δεδομένων αυτών των γεγονότων, η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \δεξιά))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(στοίχιση)\]
Προσέξτε τη 2η και την 3η γραμμή υπολογισμών: πριν κάνετε κάτι με ανισότητα, φροντίστε να το φέρετε στη μορφή που μιλήσαμε από την αρχή του μαθήματος: $((a)^(x)) \lt ( (α)^(n))$. Εφόσον έχετε αριστερούς ή δεξιούς πολλαπλασιαστές, επιπλέον σταθερές κ.λπ. δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί εξορθολογισμός και «διαγραφή» των χώρων! Αμέτρητες εργασίες έχουν γίνει λάθος λόγω παρανόησης αυτού του απλού γεγονότος. Εγώ ο ίδιος παρατηρώ συνεχώς αυτό το πρόβλημα με τους μαθητές μου όταν μόλις αρχίζουμε να αναλύουμε εκθετικές και λογαριθμικές ανισότητες.
Αλλά πίσω στο καθήκον μας. Ας προσπαθήσουμε αυτή τη φορά να κάνουμε χωρίς εξορθολογισμό. Υπενθυμίζουμε: η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, επομένως τα τριπλάσια μπορούν απλά να διαγραφούν - το σύμβολο της ανισότητας δεν θα αλλάξει. Παίρνουμε:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Αυτό είναι όλο. Τελική απάντηση: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Επισήμανση μιας σταθερής έκφρασης και αντικατάσταση μιας μεταβλητής
Εν κατακλείδι, προτείνω να λυθούν τέσσερις ακόμη εκθετικές ανισότητες, που είναι ήδη αρκετά δύσκολες για απροετοίμαστους μαθητές. Για να τα αντιμετωπίσετε, πρέπει να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία. Συγκεκριμένα, βάζοντας εκτός παρενθέσεων κοινούς παράγοντες.
Αλλά το πιο σημαντικό πράγμα είναι να μάθουμε να καταλαβαίνουμε: τι ακριβώς μπορεί να μπει σε παρένθεση. Μια τέτοια έκφραση ονομάζεται σταθερή - μπορεί να υποδηλωθεί με μια νέα μεταβλητή και έτσι να απαλλαγεί από την εκθετική συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν τις εργασίες:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(στοίχιση)\]
Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη γραμμή. Ας γράψουμε αυτήν την ανισότητα χωριστά:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Σημειώστε ότι $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, οπότε η δεξιά πλευρά μπορεί να ξαναγράψει:
Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν άλλες εκθετικές συναρτήσεις εκτός από την $((5)^(x+1))$ στην ανισότητα. Και γενικά, η μεταβλητή $x$ δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού, οπότε ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή: $((5)^(x+1))=t$. Παίρνουμε την εξής κατασκευή:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Επιστρέφουμε στην αρχική μεταβλητή ($t=((5)^(x+1))$), και ταυτόχρονα θυμόμαστε ότι 1=5 0 . Εχουμε:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(στοίχιση)\]
Αυτή είναι η όλη λύση! Απάντηση: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη ανισότητα:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Ολα είναι ίδια εδώ. Σημειώστε ότι $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Στη συνέχεια, η αριστερή πλευρά μπορεί να ξαναγραφτεί:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \δεξιά. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Δεξί βέλος x\in \αριστερά[ 2;+\infty \δεξιά). \\\end(στοίχιση)\]
Αυτός είναι περίπου ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να συντάξετε μια απόφαση για πραγματικό έλεγχο και ανεξάρτητη εργασία.
Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε κάτι πιο δύσκολο. Για παράδειγμα, εδώ είναι μια ανισότητα:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Ποιο είναι το πρόβλημα εδώ; Πρώτα απ 'όλα, οι βάσεις των εκθετικών συναρτήσεων στα αριστερά είναι διαφορετικές: 5 και 25. Ωστόσο, 25 \u003d 5 2, επομένως ο πρώτος όρος μπορεί να μετατραπεί:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Όπως μπορείτε να δείτε, στην αρχή φέραμε τα πάντα στην ίδια βάση και, στη συνέχεια, παρατηρήσαμε ότι ο πρώτος όρος μειώνεται εύκολα στον δεύτερο - αρκεί απλώς να επεκτείνουμε τον εκθέτη. Τώρα μπορούμε να εισαγάγουμε με ασφάλεια μια νέα μεταβλητή: $((5)^(2x+2))=t$, και ολόκληρη η ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Και πάλι, κανένα πρόβλημα! Τελική απάντηση: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Προχωρώντας στην τελική ανισότητα στο σημερινό μάθημα:
\[((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να σημειωθεί είναι, φυσικά, δεκαδικόςστη βάση του πρώτου βαθμού. Είναι απαραίτητο να το ξεφορτωθείτε και ταυτόχρονα να φέρετε όλες τις εκθετικές συναρτήσεις στην ίδια βάση - τον αριθμό "2":
\[\αρχή(στοίχιση) & 0,5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(0,5 \δεξιά))^(-4x- 8))=((\αριστερά(((2)^(-1)) \δεξιά))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Δεξί βέλος ((16)^(x+1,5))=((\αριστερά(((2)^(4)) \δεξιά))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(στοίχιση)\]
Ωραία, κάναμε το πρώτο βήμα - όλα οδήγησαν στην ίδια βάση. Τώρα πρέπει να επισημάνουμε τη σταθερή έκφραση. Σημειώστε ότι $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Εάν εισάγουμε μια νέα μεταβλητή $((2)^(4x+6))=t$, τότε η αρχική ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(στοίχιση)\]
Φυσικά, μπορεί να προκύψει το ερώτημα: πώς ανακαλύψαμε ότι 256 = 2 8 ; Δυστυχώς, εδώ χρειάζεται απλώς να γνωρίζετε τις δυνάμεις του δύο (και ταυτόχρονα τις δυνάμεις του τριών και του πέντε). Λοιπόν, ή διαιρέστε το 256 με το 2 (μπορείτε να διαιρέσετε, αφού το 256 είναι ζυγός αριθμός) μέχρι να πάρουμε το αποτέλεσμα. Θα μοιάζει κάπως έτσι:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(στοίχιση )\]
Το ίδιο συμβαίνει με τα τρία (οι αριθμοί 9, 27, 81 και 243 είναι οι δυνάμεις του) και με τους επτά (οι αριθμοί 49 και 343 θα ήταν επίσης ωραίο να θυμόμαστε). Λοιπόν, τα πέντε έχουν επίσης «όμορφα» πτυχία που πρέπει να γνωρίζετε:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(στοίχιση)\]
Φυσικά, όλοι αυτοί οι αριθμοί, εάν το επιθυμείτε, μπορούν να αποκατασταθούν στο μυαλό, απλώς πολλαπλασιάζοντας τους διαδοχικά μεταξύ τους. Ωστόσο, όταν πρέπει να λύσετε πολλές εκθετικές ανισώσεις και κάθε επόμενη είναι πιο δύσκολη από την προηγούμενη, τότε το τελευταίο πράγμα που θέλετε να σκεφτείτε είναι οι δυνάμεις ορισμένων αριθμών εκεί. Και από αυτή την άποψη, αυτά τα προβλήματα είναι πιο σύνθετα από τις «κλασικές» ανισότητες, οι οποίες επιλύονται με τη μέθοδο του διαστήματος.
Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα σας βοήθησε να κατακτήσετε αυτό το θέμα. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, ρωτήστε στα σχόλια. Και τα λέμε στα επόμενα σεμινάρια. :)
Καθηγήτρια μαθηματικών MOU - γυμνάσιο Νο. 2 r.p. Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna ιστότοπος
διαφάνεια 2
Περίληψη μαθήματος
Το θέμα «Εκθετικές ανισότητες» είναι το πιο σημαντικό θέμα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με το εγχειρίδιο του S. M. Nikolsky, μελετάται στη 10η τάξη και διατίθενται 2 ώρες για τη μελέτη του στον προγραμματισμό: 1 ώρα - Οι απλούστερες εκθετικές ανισότητες. 1 ώρα - Ανισώσεις που μειώνονται στην απλούστερη αντικατάσταση του αγνώστου. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, είναι απαραίτητο να εισαγάγετε τους μαθητές σε νέο και πολύ ογκώδες υλικό, να τους διδάξετε να λύνουν όλους τους τύπους εκθετικών ανισοτήτων και να επεξεργάζονται καλά αυτές τις δεξιότητες και ικανότητες. Επομένως, μαθήματα για το σχηματισμό νέας γνώσης με τη μορφή διαλέξεων χρησιμοποιώντας Η τεχνολογία της πληροφορίας και της επικοινωνίας επιτρέπει την επίλυση αυτών των προβλημάτων γρήγορα και με μεγάλη επιτυχία.
διαφάνεια 3
διαφάνεια 4
Albert Einstein
«Πρέπει να μοιράσω τον χρόνο μου ανάμεσα στην πολιτική και στην επίλυση εξισώσεων και ανισοτήτων. Ωστόσο, η λύση των εξισώσεων και των ανισοτήτων, κατά τη γνώμη μου, είναι πολύ πιο σημαντική, γιατί η πολιτική υπάρχει μόνο για αυτή τη στιγμήκαι οι εξισώσεις και οι ανισότητες θα υπάρχουν για πάντα».
διαφάνεια 5
Δομή μαθήματος
Οργάνωση χρόνουΚαθορισμός στόχων και στόχων Σχέδιο διάλεξης Πραγματοποίηση των γνώσεων των μαθητών με τη μορφή επανάληψης υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως Εισαγωγή νέας γνώσης Εμπέδωση γνώσης με τη μορφή συνέντευξης Συνοψίζοντας το μάθημα Εργασία για το σπίτι
διαφάνεια 6
Οργάνωση χρόνου
Χαιρετίστε τους μαθητές Καταγράψτε τα ονόματα των μαθητών που απουσιάζουν από την τάξη στο ημερολόγιο της τάξης
Διαφάνεια 7
Θέτοντας στόχους και στόχους
Ανακοινώνει στους μαθητές στην αρχή του μαθήματος τους στόχους και τους στόχους του Εισαγάγετε τους μαθητές στο σχέδιο διάλεξης και σημειώστε το σε ένα τετράδιο
Διαφάνεια 8
Στόχοι μαθήματος
Εκπαιδευτική Διαμόρφωση της έννοιας της εκθετικής ανισότητας Εξοικείωση των μαθητών με είδη εκθετικών ανισοτήτων Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων επίλυσης εκθετικών ανισοτήτων
Διαφάνεια 9
Εκπαιδευτική εκπαίδευση εργατικότητας Εκπαίδευση ανεξαρτησίας στην επίτευξη του στόχου Διαμόρφωση υπολογιστικών δεξιοτήτων Διαμόρφωση αισθητικών δεξιοτήτων κατά τη δημιουργία αρχείων
Διαφάνεια 10
Αναπτυξιακή Ανάπτυξη νοητικής δραστηριότητας Ανάπτυξη δημιουργικής πρωτοβουλίας Ανάπτυξη γνωστικής δραστηριότητας Ανάπτυξη λόγου και μνήμης
διαφάνεια 11
Στόχοι μαθήματος
Επαναλάβετε τις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης Επαναλάβετε τους κανόνες για την επίλυση τετράγωνων και κλασματικά ορθολογικών ανισώσεων Δημιουργήστε έναν αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων Διδάξτε τους μαθητές να διακρίνουν τους τύπους εκθετικών ανισώσεων.
διαφάνεια 12
Τύπος μαθήματος
Μάθημα για τη διαμόρφωση νέας γνώσης
διαφάνεια 13
Είδος μαθήματος
Μάθημα – διάλεξη
Διαφάνεια 14
ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Επεξηγηματική-παραστατική Ευρετική Αναζήτηση Προβληματική
διαφάνεια 15
Τεχνολογία εκμάθησης
Τεχνολογία Πληροφορικής και Επικοινωνίας Βασισμένη στη Μάθηση βάσει Προβλημάτων
διαφάνεια 16
Σχέδιο διάλεξης
Επανάληψη των ιδιοτήτων μιας εκθετικής συνάρτησης Οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις Οι εκθετικές ανισώσεις που ανάγονται στις απλούστερες Οι εκθετικές ανισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές ανισώσεις Ομοιογενείς εκθετικές ανισώσεις πρώτου βαθμού Ομογενείς εκθετικές ανισώσεις δεύτερου βαθμού
Διαφάνεια 17
Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως
Λύστε στον πίνακα και σε τετράδια: α) τετραγωνικές ανισότητες: x² - 2x - 1≥0 x² - 2x - 3 ≤0 β) κλασματική ορθολογικήανισότητα: (x - 5) \ (x - 2) ≤ 0
Διαφάνεια 18
Επανάληψη των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης
Διαφάνεια 19
μονοτονικά μειούμενος στο R Ο άξονας x είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη μονότονα αυξανόμενη στο R 8. Για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των x και y. a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Ασύμπτωτο 6. Άκρα 5. Μονοτονία 4. Ομοιότητα, περιττότητα 3. Διαστήματα σύγκρισης τιμών συνάρτησης με μονάδα 2. Τομέας τιμών συνάρτησης 1 Τομέας συνάρτησης Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης Εκθετικές ανισότητες , τύποι και μέθοδοι λύσης δεν έχει άκρα Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή (γενική συνάρτηση).
Διαφάνεια 20
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη τους και οι μέθοδοι επίλυσης Αριθμός εργασίας 1 Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
διαφάνεια 21
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη τους και οι μέθοδοι επίλυσης Αριθμός εργασίας 2 Να προσδιορίσετε τις τιμές
διαφάνεια 22
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη τους και οι μέθοδοι επίλυσης Εργασία № 3 Προσδιορίστε τον τύπο της συνάρτησης αυξάνοντας φθίνοντας αυξάνοντας φθίνοντας
διαφάνεια 23
Εισαγωγή νέας γνώσης
διαφάνεια 24
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσής τους ΟΡΙΣΜΟΣ των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων: Έστω a ένας δεδομένος θετικός αριθμός όχι ίσος με ένα και b ένας δεδομένος πραγματικός αριθμός. Τότε οι ανισώσεις ax>b (ax≥b) και ax
Διαφάνεια 25
Εκθετικές ανισότητες, τύποι και μέθοδοι επίλυσης τους Η λύση μιας ανίσωσης με άγνωστο x είναι ο αριθμός x0, όταν τον αντικαταστήσουμε με την ανίσωση, προκύπτει μια αληθινή αριθμητική ανισότητα.
διαφάνεια 26
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη τους και οι μέθοδοι επίλυσης ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ η επίλυση μιας ανισότητας; Για να λύσετε μια ανισότητα σημαίνει να βρείτε όλες τις λύσεις της ή να δείξετε ότι δεν υπάρχουν.
Διαφάνεια 27
Θεωρήστε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=ax, a>0, a≠1 και της ευθείας y=b Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσης y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0
Διαφάνεια 28
Εκθετικές ανισότητες, τύποι και μέθοδοι επίλυσης τους βρίσκεται κάτω από την καμπύλη y=ax, άρα οι ανισώσεις ax>b(ax≥b) ισχύουν για xR και οι ανισώσεις ax
Διαφάνεια 29
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσής τους Αν a>1 και b > 0, τότε για κάθε x1 x0- κάτω από την ευθεία y=b. 1 Για b> 0, η ευθεία y = b τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= ax σε ένα μόνο σημείο, η τετμημένη της οποίας είναι x0 = logab
διαφάνεια 30
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσης κάθε x2 0, η ευθεία y = b τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= ax σε ένα μόνο σημείο , η τετμημένη της οποίας είναι x0 = logab x2
Διαφάνεια 31
Οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσής τους
διαφάνεια 32
Εκθετικές ανισότητες, τα είδη τους και οι μέθοδοι επίλυσης Παράδειγμα αρ. 1.1 Απάντηση: αυξάνεται σε όλη τη διάρκεια τομείς, Λύση:
Διαφάνεια 33
Εκθετικές ανισότητες, οι τύποι τους και οι μέθοδοι επίλυσης Παράδειγμα Αρ. 1.2 Λύση: Απάντηση: μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού,
διαφάνεια 34
Εκθετικές ανισότητες, οι τύποι και οι μέθοδοι επίλυσης τους Παράδειγμα αρ. 1.3 Λύση: Απάντηση: αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού,
Διαφάνεια 35
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσης τους Τύποι εκθετικών ανισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους
διαφάνεια 36
Εκθετικές ανισότητες, οι τύποι τους και οι μέθοδοι επίλυσης Παράδειγμα Αρ. 1.4 Λύση: αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, Απάντηση:
Διαφάνεια 37
Εκθετικές ανισότητες, τύποι και μέθοδοι επίλυσης
Διαφάνεια 38
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσης τους Τύποι εκθετικών ανισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους 2) Εκθετικές ανισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές ανισώσεις
Διαφάνεια 39
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη τους και μέθοδοι επίλυσης Είδη εκθετικών ανισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους 3) Ομοιογενείς εκθετικές ανισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού. Οι ομοιογενείς εκθετικές ανισώσεις πρώτου βαθμού Το Παράδειγμα Νο. 1 αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού Απάντηση: Λύση:
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη τους και μέθοδοι επίλυσης Είδη εκθετικών ανισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους 4) Εκθετικές ανισώσεις που ανάγονται σε ορθολογικές ανισώσεις.
διαφάνεια 43
Εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσης τους Τύποι εκθετικών ανισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους 5) Εκθετικές μη τυπικές ανισώσεις Παράδειγμα Λύσης: Ας λύσουμε κάθε πρόταση του συνόλου ξεχωριστά. Η ανισότητα ισούται με άθροισμα
Διαφάνεια 44
Οι εκθετικές ανισώσεις, τα είδη και οι μέθοδοι επίλυσης τους Τύποι εκθετικών ανισώσεων και οι μέθοδοι επίλυσής τους δεν είναι λύση της εξίσωσης. Ετσι,
Διαφάνεια 45
Εμπέδωση γνώσεων
Ποιες ανισότητες ονομάζονται εκθετικές; Πότε μια εκθετική ανισότητα έχει λύση για οποιεσδήποτε τιμές του x; Πότε μια εκθετική ανισότητα δεν έχει λύσεις; Τι είδους ανισότητες μάθατε σε αυτό το μάθημα; Πώς λύνονται οι απλές ανισότητες; Πώς λύνονται οι ανισότητες σε τετράγωνο; Πώς λύνονται οι ομοιογενείς ανισότητες; Πώς λύνονται οι ανισότητες σε ορθολογικές;
Διαφάνεια 46
Περίληψη μαθήματος
Μάθετε τι έμαθαν οι μαθητές σε αυτό το μάθημα Δώστε βαθμούς στους μαθητές για εργασία στο μάθημα με λεπτομερή σχολιασμό
Διαφάνεια 47
Εργασία για το σπίτι
Εγχειρίδιο για τη 10η τάξη "Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης" Συγγραφέας S.M. Nikolsky Για να μελετήσετε τις παραγράφους 6.4 και 6.6, No. 6.31-6.35 και No. 6.45-6.50 λύστε
Διαφάνεια 48
Εκθετικές ανισότητες, τύποι και μέθοδοι επίλυσης τους
Θέμα 6. Επιδεικτικά και λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες (11h)
Θέμα μαθήματος. Ανισότητες που μειώνονται στο απλούστερο αντικαθιστώντας το άγνωστο.
Σκοπός του μαθήματος: Να σχηματίσουν τις δεξιότητες επίλυσης εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων, με αναγωγή στις απλούστερες, με αντικατάσταση του αγνώστου.
Καθήκοντα:
Εκπαιδευτικό: επαναλάβετε και ενοποιήστε τις γνώσεις σχετικά με το θέμα "Επίλυση των απλούστερων εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων", μάθετε πώς να λύνετε λογαριθμικές και εκθετικές ανισώσεις με τη μέθοδο αντικατάστασης.
Ανάπτυξη: να διαμορφώσει την ικανότητα του μαθητή να διακρίνει δύο τύπους ανισοτήτων και να καθορίσει τρόπους επίλυσής τους (λογική και διαισθητική σκέψη, τεκμηρίωση κρίσεων, ταξινόμηση, σύγκριση), να διαμορφώσει δεξιότητες αυτοελέγχου και αυτοεξέτασης, ικανότητα κίνησης σύμφωνα με έναν δεδομένο αλγόριθμο, αξιολογήστε και διορθώστε το αποτέλεσμα.
Εκπαιδευτικό: να συνεχιστεί ο σχηματισμός τέτοιων ιδιοτήτων των μαθητών όπως: η ικανότητα να ακούν ο ένας τον άλλον. την ικανότητα άσκησης αμοιβαίου ελέγχου και αυτοαξιολόγησης.
Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο.
Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Τάξη 10 S.M. Νικόλσκι, Μ.Κ. Ποταπόφ, Ν.Ν. Reshetnikov, A.V. Σεβκιν
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Οργάνωση χρόνου.
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.
Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων.
Μετωπικός:
1. Ποιες ανισώσεις ονομάζονται οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις;
2. Εξηγήστε ποιο είναι το νόημα της επίλυσης των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων.
3. Ποιες ανισώσεις ονομάζονται οι απλούστερες λογαριθμικές ανισώσεις;
4. Εξηγήστε ποιο είναι το νόημα της επίλυσης των απλούστερων λογαριθμικών ανισώσεων.
Με μια σημείωση στον πίνακα (1 μαθητής ο καθένας):
Λύστε ανισότητες
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Εξήγηση του νέου υλικού και η σταδιακή ενοποίησή του.
1.1. Επεξήγηση νέου υλικού.
1. Λύστε την ανίσωση:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, λοιπόν
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Μας ενδιαφέρει το πρόσημο «−−».Τότε παίρνουμε
Απάντηση:x∈(1;2)
2. Λύστε την ανίσωση
1.2. Βήμα προς βήμα ενίσχυση.
Νο. 6.49 (a, c).
Νο. 6.52 (ε).
α) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Απάντηση: -∞; 1∪54; + ∞v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Απάντηση: -15, 1ε) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Απάντηση: -2;-1∪3;42.1. Επεξήγηση νέου υλικού.
3. Λύστε την ανίσωση
Τότε η 1 ανισότητα έχει νόημα για όλα τα x και τη δεύτερη
2.2. Βήμα προς βήμα ενίσχυση.
Επίλυση της ανισότητας #6.56(γ)
3.1. Επεξήγηση νέου υλικού.
4. Λύστε την ανίσωση
3.2. Βήμα προς βήμα ενίσχυση.
Επίλυση της ανισότητας #6.60(α)
Συνοψίζοντας το μάθημα.
Αντανάκλαση.
Εργασία για το σπίτι.
Σ. 6.6
Νο. 6.49 (β, δ)
Νο. 6.52 (α, β)
Νο. 6.56 (δ)
Νο. 6.60 (β)
Συνημμένα αρχεία
Άλγεβρα και αρχή μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμός 10. Σχολικό βιβλίο. Nikolsky S.M. και τα λοιπά.
Βασικά επίπεδα και επίπεδα προφίλ
8η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 2009. - 430 σελ.
Το εγχειρίδιο συμμορφώνεται με τα ομοσπονδιακά στοιχεία του κρατικού προτύπου για τη γενική εκπαίδευση στα μαθηματικά και περιέχει υλικό τόσο για βασικό όσο και για εξειδικευμένο επίπεδο. Μπορείτε να το δουλέψετε ανεξάρτητα από τα σχολικά βιβλία που μελέτησαν οι μαθητές τα προηγούμενα χρόνια.
Το εγχειρίδιο στοχεύει στην προετοιμασία των μαθητών για εισαγωγή στα πανεπιστήμια.
Μορφή: djvu
Το μέγεθος: 15,2 MB
Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google ; Rghost
Μορφή: pdf
Το μέγεθος: 42,3 MB
Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google ; Rghost
Σημείωση:Σε PDF, η ποιότητα είναι καλύτερη, σχεδόν τέλεια. Κατασκευασμένο από την ίδια σάρωση, 150 dpi, έγχρωμη. Αλλά στο DJVU αποδεικνύεται λίγο χειρότερο. Αυτή είναι μια περίπτωση όπου το μέγεθος έχει σημασία.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. ΡΙΖΕΣ, ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΛΟΓΑΡΙΘΟΙ
§ 1. Πραγματικοί αριθμοί 3
1.1. Η έννοια του πραγματικού αριθμού 3
1.2. Σύνολα αριθμών. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών. ... δέκα
1.3*. Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής 16
1.4. Μεταθέσεις 22
1.5. Διαμονή 25
1.6. Συνδυασμοί 27
1,7*. Απόδειξη αριθμητικών ανισώσεων 30
1,8*. Διαιρετότητα ακεραίων 35
1,9*. Συγκρίσεις modulo m 38
1,10*. Προβλήματα με ακέραιους αγνώστους 40
§ 2. Ορθολογικές εξισώσεις και ανισότητες 44
2.1. Ορθολογικές εκφράσεις 44
2.2. Οι διωνυμικοί τύποι του Νεύτωνα, αθροίσματα και διαφορές μοιρών. . 48
2.3*. Διαίρεση πολυωνύμων με υπόλοιπο. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη... 53
2.4*. Θεώρημα Bezout 57
2,5*. Πολυωνυμική ρίζα 60
2.6. Ορθολογικές εξισώσεις 65
2.7. Συστήματα ορθολογικών εξισώσεων 70
2.8. Μέθοδος διαστημάτων για την επίλυση ανισώσεων 75
2.9. Ορθολογικές ανισότητες 79
2.10. Μη αυστηρές ανισότητες 84
2.11. Συστήματα ορθολογικών ανισοτήτων 88
§ 3. Ρίζα βαθμού n 93
3.1. Η έννοια της συνάρτησης και η γραφική παράσταση της 93
3.2. Συνάρτηση y \u003d x "96
3.3. Η έννοια της ρίζας του βαθμού n 100
3.4. Ρίζες ζυγών και περιττών δυνάμεων 102
3.5. Αριθμητική ρίζα 106
3.6. Ιδιότητες ριζών βαθμού l 111
3,7*. Συνάρτηση y \u003d nx (x\u003e 0) 114
3,8*. Συνάρτηση y = nVx 117
3,9*. Η ν η ρίζα του φυσικού αριθμού 119
§ 4. Ισχύς θετικού αριθμού 122
4.1. Βαθμός με ορθολογικό εκθέτη 122
4.2. Ιδιότητες ισχύος με λογικό εκθέτη 125
4.3. Η έννοια του ορίου μιας ακολουθίας 131
4.4*. Περιορισμένες ιδιότητες 134
4.5. Μια απείρως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. . . 137
4.6. Αριθμός ε 140
4.7. Η έννοια του βαθμού με παράλογο εκθέτη .... 142
4.8. εκθετική συνάρτηση 144
§ 5. Λογάριθμοι 148
5.1. Η έννοια του λογάριθμου 148
5.2. Ιδιότητες λογαρίθμων 151
5.3. Λογαριθμική συνάρτηση 155
5,4*. Δεκαδικοί λογάριθμοι 157
5,5*. Λειτουργίες ισχύος 159
§ 6. Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις. . 164
6.1. Οι απλούστερες εκθετικές εξισώσεις 164
6.2. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις 166
6.3. Οι εξισώσεις μειώνονται στην απλούστερη αλλάζοντας το άγνωστο 169
6.4. Οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις 173
6.5. Οι απλούστερες λογαριθμικές ανισώσεις 178
6.6. Ανισότητες που ανάγονται στην απλούστερη αντικατάσταση του άγνωστου 182
Ιστορικές πληροφορίες 187
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
§ 7. Ημίτονο και συνημίτονο γωνίας 193
7.1. Η έννοια της γωνίας 193
7.2. Μέτρο ακτινοβολίας γωνίας 200
7.3. Προσδιορισμός του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας 203
7.4. Βασικοί τύποι για το sin a και cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Τόξο συνημίτονο 221
7,7*. Παραδείγματα χρήσης αρξίνης και αρκοσίνης .... 225
7,8*. Φόρμουλες για Arcsine και Arccosine 231
§ 8. Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη γωνίας 233
8.1. Προσδιορισμός της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας 233
8.2. Βασικοί τύποι για tg a και ctg a 239
8.3. Arctangent 243
8,4*. Εφαπτομένη τόξου 246
8,5*. Παραδείγματα χρήσης της εφαπτομένης τόξου και της εφαπτομένης τόξου. . 249
8,6*. Τύποι για την εφαπτομένη τόξου και την εφαπτομένη τόξου 255
§ 9. Τύποι προσθήκης 258
9.1. Συνημίτονο της διαφοράς και συνημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών 258
9.2. Τύποι για συμπληρωματικές γωνίες 262
9.3. Ημίτονο του αθροίσματος και ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών 264
9.4. Άθροισμα και διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων 266
9.5. Τύποι για διπλές και μισές γωνίες 268
9,6*. Προϊόν ημιτόνων και συνημιτόνων 273
9,7*. Τύποι για εφαπτομένες 275
§ 10. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις αριθμητικού ορίσματος 280
10.1. Συνάρτηση y \u003d sin x 281
10.2. Συνάρτηση y \u003d cos x 285
10.3. Συνάρτηση y = tg * 288
10.4. Συνάρτηση y = ctg x 292
§ 11. Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις 295
11.1. Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις 295
11.2. Εξισώσεις που ανάγονται στο απλούστερο αντικαθιστώντας το άγνωστο 299
11.3. Εφαρμογή βασικών τριγωνομετρικών τύπων για την επίλυση των εξισώσεων 303
11.4. Ομογενείς εξισώσεις 307
11,5*. Οι απλούστερες ανισώσεις για ημίτονο και συνημίτονο .... 310
11,6*. Οι απλούστερες ανισώσεις για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. . . 315
11,7*. Ανισότητες που ανάγονται στην απλούστερη αντικατάσταση του άγνωστου 319
11,8*. Εισαγωγή της βοηθητικής γωνίας 322
11,9*. Αντικατάσταση του άγνωστου t \u003d sin x + cos x 327
Ιστορικές πληροφορίες 330
ΚΕΦΑΛΑΙΟ III. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
§ 12. Πιθανότητα γεγονότος 333
12.1. Η έννοια της πιθανότητας ενός γεγονότος 333
12.2. Ιδιότητες πιθανοτήτων συμβάντων 338
§ 13*. Συχνότητα. Υπό όρους πιθανότητα 342
13.1*. Σχετική συχνότητα συμβάντων 342
13,2*. Πιθανότητα υπό όρους. Ανεξάρτητες εκδηλώσεις 344
§ δεκατέσσερα*. Αναμενόμενη αξία. Νόμος των μεγάλων αριθμών 348
14.1*. Μαθηματική προσδοκία 348
14,2*. Δύσκολη εμπειρία 353
14,3*. Φόρμουλα Bernoulli. Νόμος των μεγάλων αριθμών 355
Ιστορικές πληροφορίες 359
ΚΡΙΤΙΚΗ 362
Ευρετήριο 407
Απαντήσεις 410
Τόπος εργασίας, θέση: — MOU-SOSH r.p. Πουσκίνο, δάσκαλος
Περιοχή: — Περιοχή Σαράτοφ
Χαρακτηριστικά του μαθήματος (τάξη) Επίπεδο εκπαίδευσης: - δευτεροβάθμια (πλήρη) γενική εκπαίδευση
Κοινό-στόχος: – Φοιτητής (φοιτητής)
Κοινό-στόχος: – Δάσκαλος (δάσκαλος)
Τάξεις: – Τάξη 10
Θέμα(α): – Άλγεβρα
Ο σκοπός του μαθήματος: - διδακτικός: να βελτιωθούν οι βασικές τεχνικές και μέθοδοι για την επίλυση λογαριθμικών και εκθετικών ανισώσεων και να διασφαλιστεί ότι όλοι οι μαθητές κατακτούν τις βασικές αλγοριθμικές μεθόδους για την επίλυση εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων. ανάπτυξη: ανάπτυξη λογικής σκέψης, μνήμης, γνωστικού ενδιαφέροντος, συνέχιση του σχηματισμού μαθηματικού λόγου, ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης και σύγκρισης. εκπαιδευτικό: εξοικείωση με τον αισθητικό σχεδιασμό των σημειώσεων σε ένα σημειωματάριο, την ικανότητα να ακούς τους άλλους και την ικανότητα να επικοινωνείς, να ενσταλάξεις ακρίβεια και επιμέλεια.
Είδος μαθήματος: - Μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης
Μαθητές στην τάξη (κοινό): - 25
Σύντομη περιγραφή: - Η επίλυση εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων θεωρείται ένα από τα πιο δύσκολα θέματα στα μαθηματικά και απαιτεί από τους μαθητές να έχουν καλές θεωρητικές γνώσεις, ικανότητα να τις εφαρμόζουν στην πράξη, απαιτεί προσοχή, επιμέλεια και γρήγορο πνεύμα. Το θέμα που συζητείται στο μάθημα υποβάλλεται επίσης για εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια και τελικές εξετάσεις. Αυτό το είδος μαθήματος αναπτύσσει τη λογική σκέψη, τη μνήμη, το γνωστικό ενδιαφέρον, συμβάλλει στην ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης, σύγκρισης και ακρόασης των άλλων.
Στάδια του μαθήματος και το περιεχόμενό τους
χρόνος
(λεπτά)
δραστηριότητα
δασκάλους
μαθητης σχολειου
1. Οργανωτικό στάδιο
οργανωτικός
Αναφορά απόντες.
2. Ορισμός στόχου
Σήμερα στο μάθημα θα συνεχίσουμε να επεξεργαζόμαστε τις βασικές μεθόδους και μεθόδους που μελετήθηκαν για την επίλυση εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων και επίσης θα εξετάσουμε άλλους τρόπους επίλυσης λογαριθμικών και εκθετικών ανισώσεων: αυτή είναι η μετάβαση σε ορθολογικές ανισώσεις αντικαθιστώντας το άγνωστο και επίσης έναν τρόπο της διαίρεσης και των δύο μερών της ανίσωσης με έναν θετικό αριθμό.
Ενημερώνει το θέμα του μαθήματος, την ημερομηνία του μαθήματος, το σκοπό του μαθήματος
Σημειώστε σε ένα σημειωματάριο
3.Έλεγχος της εργασίας
Κατόπιν αιτήματος μαθητών, καλεί 3 άτομα στον πίνακα, παράλληλα διεξάγει κατά μέτωπο συνομιλία για θεωρητικά θέματα
Τέσσερα άτομα εργάζονται στον πίνακα, τα υπόλοιπα συμμετέχουν σε μια θεωρητική έρευνα
Στο σπίτι, σας ζητήθηκε να λύσετε λογαριθμικές και εκθετικές ανισότητες σε δύο επίπεδα πολυπλοκότητας. Ας δούμε τη λύση ορισμένων από αυτές
6.49(a); 6.52(δ) 6.56(β), 6.54(β).
4.Ενημέρωση των γνώσεων των μαθητών
Ας θυμηθούμε ποιες μεθόδους συζητήσαμε στο τελευταίο μάθημα.
Σήμερα θα εξετάσουμε τις ανισότητες, οι οποίες, μετά την εισαγωγή ενός νέου αγνώστου, μετατρέπονται σε ορθολογικές ανισότητες.
Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε ποια είναι η λύση μιας ορθολογικής ανισότητας της μορφής A(x) / B(x)>0; Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση ορθολογικών ανισοτήτων;
5. Βελτίωση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών
xx
Παράδειγμα 1)2 - 9 / (2 -1)0
3 λεπτά
x +0,5xx +0,5
3). 25- 710+4>0
3 λεπτά
5) Διόρθωση νέου.
Κάνοντας ασκήσεις στον πίνακα
6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -στο ταμπλό 6.62(c)
Κατευθύνει στην επιλογή μιας μεθόδου ορθολογικής λύσης. παρακολουθεί τον εγγραμματισμό του συλλογισμού και τη σωστή καταγραφή της λύσης της ανισότητας. Δίνει μια εκτίμηση για την εργασία
Ένας μαθητής αποφασίζει στον πίνακα. Οι υπόλοιποι σημειώνουν τη λύση σε ένα τετράδιο.
6) Διαφοροποιημένη ανεξάρτητη εργασία (Εργασία στην οθόνη)
1ο επίπεδο:
1 επιλογή 2 επιλογή
Νο. 6.48(β)· Νο. 6.48(ε);
Νο. 6.58 (α) , Νο. 6.58 (γ)
2ο επίπεδο:
1 επιλογή 2 επιλογή
Νο. 6.61(β)· Νο. 6.61(δ)·
Νο. 6.62 (c)· Νο. 6.62 (g).
5 λεπτά
2 άτομα εργάζονται μεμονωμένα στην πλαϊνή σανίδα. Οι υπόλοιποι εκτελούν πολυεπίπεδη ανεξάρτητη εργασία στο χωράφι.
7) Έλεγχος αυτοεργασίας
3 λεπτά
8) Εργασία για το σπίτι (στην οθόνη)
Επίπεδο 1 σελ. 6.6, Νο. 6.48 (α.), Νο. 6.57 (1 άρθρο), Νο. 6.50 (α).
Επίπεδο 2: σελ. 6.6· Νο. 6.59(c)· Νο. 6.62 (α), Νο. 158 (σελ. 382), Νο. 168 (α, β) (σελ. 383)
2 λεπτά
Εξηγεί την εργασία για το σπίτι, εφιστώντας την προσοχή των μαθητών στο γεγονός ότι παρόμοιες εργασίες είχαν διευθετηθεί στην τάξη.
Οι δύο τελευταίες εργασίες προσφέρθηκαν κατά την εισαγωγή στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας και στο MTITF.
Αφού ακούσετε προσεκτικά τον δάσκαλο, γράψτε την εργασία για το σπίτι. Το επίπεδο δυσκολίας το επιλέγετε μόνοι σας.
8) Συνοψίζοντας το μάθημα: Η επίλυση εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων θεωρείται ένα από τα δύσκολα θέματα του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών και απαιτεί από τους μαθητές να έχουν καλές θεωρητικές γνώσεις, ικανότητα να τις εφαρμόζουν στην πράξη, απαιτεί προσοχή, επιμέλεια, γρήγορο πνεύμα, γι' αυτόν τον λόγο οι ανισότητες που εξετάζονται στο μάθημα υποβάλλονται στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα πανεπιστήμια και τις τελικές εξετάσεις.Σήμερα στο μάθημα όλοι δούλεψαν πολύ καλά και πήραν τους παρακάτω βαθμούς
Ευχαριστώ σε όλους.
2 λεπτά
Αρχεία:
Μέγεθος αρχείου: 6789120 byte.