Υπάρχει άπειρος αριθμός συναρτήσεων στα μαθηματικά. Και το καθένα έχει τον δικό του χαρακτήρα.) Για να εργαστείτε με μια μεγάλη ποικιλία λειτουργιών, χρειάζεστε μονόκλινομια προσέγγιση. Αλλιώς, τι είδους μαθηματικά είναι αυτά;!) Και υπάρχει τέτοια προσέγγιση!

Όταν εργαζόμαστε με οποιαδήποτε συνάρτηση, την παρουσιάζουμε με ένα τυπικό σύνολο ερωτήσεων. Και το πρώτο και πιο σημαντικό ερώτημα είναι εύρος της λειτουργίας.Μερικές φορές αυτή η περιοχή ονομάζεται το σύνολο των έγκυρων τιμών ορίσματος, η περιοχή ορισμού συνάρτησης κ.λπ.

Ποιο είναι το εύρος μιας συνάρτησης; Πώς να το βρείτε; Αυτές οι ερωτήσεις συχνά φαίνονται περίπλοκες και ακατανόητες... Αν και, στην πραγματικότητα, όλα είναι εξαιρετικά απλά. Τι μπορείτε να δείτε μόνοι σας διαβάζοντας αυτήν τη σελίδα. Πηγαίνω?)

Λοιπόν, τι να πω... Μόνο σεβασμός.) Ναι! Το φυσικό εύρος μιας συνάρτησης (για το οποίο μιλάμε εδώ) σπίρταμε εκφράσεις ODZ που περιλαμβάνονται στη συνάρτηση. Αντίστοιχα, γίνεται αναζήτηση σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες.

Τώρα εξετάστε έναν όχι απολύτως φυσικό τομέα ορισμού.)

Πρόσθετοι περιορισμοί στο εύρος της λειτουργίας.

Εδώ θα μιλήσουμε για τους περιορισμούς που επιβάλλονται από την εργασία. Εκείνοι. η εργασία περιέχει μερικά πρόσθετους όρους, τα οποία εφευρέθηκαν από τον μεταγλωττιστή. Ή οι περιορισμοί προέρχονται από τον τρόπο που ορίζεται η συνάρτηση.

Όσο για τους περιορισμούς στην εργασία - όλα είναι απλά. Συνήθως, δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τίποτα, όλα έχουν ήδη ειπωθεί στην εργασία. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οι περιορισμοί που έχει γράψει ο συντάκτης της εργασίας δεν ακυρώνονται βασικοί περιορισμοί των μαθηματικών.Απλά πρέπει να θυμάστε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες της ανάθεσης.

Για παράδειγμα, μια τέτοια εργασία:

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης:

στο σύνολο των θετικών αριθμών.

Βρήκαμε το φυσικό πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης παραπάνω. Αυτή η περιοχή:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

ΣΕ λεκτικό τρόποαναθέσεις συναρτήσεων, πρέπει να διαβάσετε προσεκτικά τη συνθήκη και να βρείτε περιορισμούς στα x εκεί. Μερικές φορές τα μάτια ψάχνουν για φόρμουλες, και οι λέξεις σφυρίζουν την προηγούμενη συνείδηση, ναι...) Παράδειγμα από το προηγούμενο μάθημα:

Η συνάρτηση δίνεται από την συνθήκη: κάθε τιμή του φυσικού ορίσματος x σχετίζεται με το άθροισμα των ψηφίων που συνθέτουν την τιμή του x.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι είναι μόνοσχετικά με τις φυσικές τιμές του x. Στη συνέχεια και Δ(στ)καταγράφηκε αμέσως:

D(f): x ∈ Ν

Όπως μπορείτε να δείτε, το εύρος μιας συνάρτησης δεν είναι τόσο περίπλοκη έννοια. Η εύρεση αυτής της περιοχής περιορίζεται στην εξέταση της συνάρτησης, στη σύνταξη ενός συστήματος ανισώσεων και στην επίλυση αυτού του συστήματος. Φυσικά, υπάρχουν όλα τα είδη συστημάτων, απλά και πολύπλοκα. Αλλά...

Θα σου πω ένα μικρό μυστικό. Μερικές φορές μια λειτουργία για την οποία πρέπει να βρείτε το πεδίο εφαρμογής φαίνεται απλώς τρομακτική. Θέλω να χλωθώ και να κλάψω.) Αξίζει όμως να γράψω ένα σύστημα ανισοτήτων... Και, ξαφνικά, το σύστημα αποδεικνύεται στοιχειώδες! Και, συχνά, όσο χειρότερη είναι η λειτουργία, τόσο πιο απλό το σύστημα...

Ηθικό: τα μάτια φοβούνται, το κεφάλι αποφασίζει!)

Πως ?
Παραδείγματα λύσεων

Αν κάτι λείπει κάπου, τότε υπάρχει κάτι κάπου

Συνεχίζουμε να μελετάμε την ενότητα «Λειτουργίες και Γραφικά» και ο επόμενος σταθμός του ταξιδιού μας είναι. Ενεργός συζήτηση αυτή η έννοιαξεκίνησε στο άρθρο για τα σετ και συνεχίστηκε στο πρώτο μάθημα για γραφήματα συναρτήσεων, όπου εξέτασα τις στοιχειώδεις συναρτήσεις και, ειδικότερα, το πεδίο εφαρμογής τους. Επομένως, συνιστώ τα ομοιώματα να ξεκινήσουν με τα βασικά του θέματος, μιας και δεν θα σταθώ ξανά σε κάποια βασικά σημεία.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης γνωρίζει το πεδίο ορισμού των ακόλουθων συναρτήσεων: γραμμική, τετραγωνική, κυβική συνάρτηση, πολυώνυμα, εκθέτης, ημίτονο, συνημίτονο. Ορίζονται στις (σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών). Για τις εφαπτομένες, τα τόξα, ας είναι, σας συγχωρώ =) - τα πιο σπάνια γραφήματα δεν θυμούνται αμέσως.

Ο τομέας του ορισμού φαίνεται να είναι ένα απλό πράγμα, και τίθεται ένα φυσικό ερώτημα, τι θα αφορά το άρθρο; Επί αυτό το μάθημαΘα εξετάσω κοινές εργασίες για την εύρεση του πεδίου εφαρμογής μιας συνάρτησης. Επιπλέον, θα επαναλάβουμε ανισότητες με μία μεταβλητή, τις δεξιότητες επίλυσης που θα απαιτηθούν σε άλλα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών. Το υλικό, παρεμπιπτόντως, είναι όλο το σχολείο, επομένως θα είναι χρήσιμο όχι μόνο στους μαθητές, αλλά και στους μαθητές. Οι πληροφορίες, βέβαια, δεν προσποιούνται εγκυκλοπαιδικές, αλλά από την άλλη, δεν υπάρχουν εδώ τραβηγμένα «νεκρά» παραδείγματα, αλλά ψητά κάστανα, βγαλμένα από πραγματικές πρακτικές εργασίες.

Ας ξεκινήσουμε με μια ρητή περικοπή στο θέμα. Εν συντομία για το κύριο πράγμα: μιλάμε για συνάρτηση μιας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού του είναι σύνολο τιμών "x"., για το οποίο υπάρχειτην έννοια του «παιχνιδιού». Εξετάστε ένα υποθετικό παράδειγμα:

Ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι η ένωση διαστημάτων:
(για όσους ξέχασαν: - το εικονίδιο της ένωσης). Με άλλα λόγια, εάν πάρουμε οποιαδήποτε τιμή του "x" από το διάστημα , ή από , ή από , τότε για κάθε τέτοιο "x" θα υπάρχει μια τιμή "y".

Σε γενικές γραμμές, όπου είναι το πεδίο ορισμού, υπάρχει ένα γράφημα της συνάρτησης. Αλλά το μισό διάστημα και το σημείο «ce» δεν περιλαμβάνονται στην περιοχή ορισμού και δεν υπάρχει γράφημα εκεί.

Πώς να βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης; Πολλοί άνθρωποι θυμούνται την παιδική ομοιοκαταληξία: "πέτρα, ψαλίδι, χαρτί", και σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να παραφραστεί με ασφάλεια: "ρίζα, κλάσμα και λογάριθμος". Έτσι, εάν είστε μονοπάτι ζωήςυπάρχει κλάσμα, ρίζα ή λογάριθμος, τότε θα πρέπει να είστε αμέσως πολύ, πολύ σε εγρήγορση! Η εφαπτομένη, η συνεφαπτομένη, η αρξίνη, η αρκοσίνη είναι πολύ λιγότερο κοινές και θα μιλήσουμε επίσης για αυτές. Αλλά πρώτα, σκίτσα από τη ζωή των μυρμηγκιών:

Το εύρος μιας συνάρτησης που περιέχει ένα κλάσμα

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται μια συνάρτηση που περιέχει κάποιο κλάσμα . Όπως γνωρίζετε, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν: , άρα αυτά Οι τιμές x που μετατρέπουν τον παρονομαστή σε μηδέν δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο εφαρμογής αυτής της συνάρτησης.

Δεν θα σταθώ περισσότερο απλές λειτουργίεςαρέσει και ούτω καθεξής, επειδή ο καθένας μπορεί να δει σημεία που δεν περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού τους. Εξετάστε πιο σημαντικά κλάσματα:

Παράδειγμα 1

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο στον αριθμητή, αλλά ο παρονομαστής πρέπει να είναι μη μηδενικός. Ας το εξισώσουμε με το μηδέν και ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα «κακά» σημεία:

Η εξίσωση που προκύπτει έχει δύο ρίζες: . Δεδομένα αξίας δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο εφαρμογής της λειτουργίας. Πράγματι, αντικαταστήστε ή στη συνάρτηση και θα δείτε ότι ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν.

Απάντηση: τομέα:

Η καταχώρηση έχει ως εξής: «το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί με εξαίρεση το σύνολο που αποτελείται από τιμές ". Σας υπενθυμίζω ότι το εικονίδιο ανάστροφης κάθετου στα μαθηματικά υποδηλώνει λογική αφαίρεση και τα σγουρά τιράντες δηλώνουν ένα σύνολο. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως ένωση τριών διαστημάτων:

Σε όποιον αρέσει.

Σε σημεία η λειτουργία αντέχει ατελείωτα διαλείμματα, και τις ευθείες γραμμές δίνονται με εξισώσεις είναι κάθετες ασύμπτωτεςγια το γράφημα αυτής της συνάρτησης. Ωστόσο, αυτό είναι ένα ελαφρώς διαφορετικό θέμα, και περαιτέρω δεν θα επικεντρωθώ ιδιαίτερα σε αυτό.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Η εργασία είναι ουσιαστικά προφορική και πολλοί από εσάς θα βρείτε την περιοχή ορισμού σχεδόν αμέσως. Απαντήστε στο τέλος του μαθήματος.

Ένα κλάσμα θα είναι πάντα «κακό»; Οχι. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα. Όποια τιμή του "x" και να πάρουμε, ο παρονομαστής δεν θα γίνει μηδέν, επιπλέον, θα είναι πάντα θετικός:. Έτσι, το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι: .

Όλες οι λειτουργίες όπως ορίζεται και συνεχήςεπί .

Λίγο πιο περίπλοκη είναι η κατάσταση όταν ο παρονομαστής καταλάμβανε το τετράγωνο τριώνυμο:

Παράδειγμα 3

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα σημεία όπου ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν. Για αυτό θα αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση:

Η διάκριση αποδείχθηκε αρνητική, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και η συνάρτησή μας ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.

Απάντηση: τομέα:

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Σας συμβουλεύω να μην τεμπελιάζετε με απλά προβλήματα, γιατί θα συσσωρευτούν παρεξηγήσεις για περαιτέρω παραδείγματα.

Πεδίο συνάρτησης με ρίζα

Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας ορίζεται μόνο για εκείνες τις τιμές του "x" όταν Η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική: . Εάν η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή, τότε η συνθήκη είναι προφανώς σφιχτή: . Παρόμοιοι υπολογισμοί ισχύουν για οποιαδήποτε ρίζα θετικού άρτιου βαθμού: , ωστόσο, η ρίζα είναι ήδη στον 4ο βαθμό σε λειτουργικές μελέτεςδεν θυμάμαι.

Παράδειγμα 5

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική:

Πριν συνεχίσω τη λύση, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους βασικούς κανόνες για την εργασία με τις ανισότητες, γνωστούς από το σχολείο.

Δίνω ιδιαίτερη προσοχή!Τώρα εξετάζουμε τις ανισότητες με μία μεταβλητή- δηλαδή για εμάς υπάρχει μόνο μία διάσταση κατά μήκος του άξονα. Παρακαλώ μην μπερδεύεστε με ανισότητες δύο μεταβλητών, όπου το σύνολο επίπεδο συντεταγμένων. Ωστόσο, υπάρχουν και ευχάριστες συμπτώσεις! Άρα, για την ανισότητα, οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι:

1) Οι όροι μπορούν να μεταφερθούν από μέρος σε μέρος αλλάζοντας τους (όρους) τους σημάδια.

2) Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με έναν θετικό αριθμό.

3) Αν και τα δύο μέρη της ανίσωσης πολλαπλασιαστούν επί αρνητικόςαριθμός, πρέπει να αλλάξετε το σημάδι της ίδιας της ανισότητας. Για παράδειγμα, εάν υπήρχε "περισσότερο", τότε θα γίνει "λιγότερο". αν ήταν «μικρότερο ή ίσο με», τότε θα γίνει «μεγαλύτερο ή ίσο με».

Στην ανισότητα, μετακινούμε το «τρία» στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου (κανόνας Νο. 1):

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με –1 (κανόνας #3):

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με (κανόνας αριθμός 2):

Απάντηση: τομέα:

Η απάντηση μπορεί επίσης να γραφτεί με την αντίστοιχη φράση: "η συνάρτηση ορίζεται στο".
Γεωμετρικά, το πεδίο ορισμού απεικονίζεται σκιάζοντας τα αντίστοιχα διαστήματα στον άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση:

Σας το ξαναθυμίζω γεωμετρική αίσθησητομείς ορισμού - γράφημα της συνάρτησης υπάρχει μόνο στη σκιασμένη περιοχή και απουσιάζει στο .

Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι κατάλληλο ένα καθαρά αναλυτικό εύρημα του τομέα ορισμού, αλλά όταν η συνάρτηση είναι πολύ μπερδεμένη, θα πρέπει να σχεδιάσετε έναν άξονα και να κάνετε σημειώσεις.

Παράδειγμα 6

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Όταν υπάρχει ένα τετράγωνο διώνυμο ή τριώνυμο κάτω από την τετραγωνική ρίζα, η κατάσταση γίνεται λίγο πιο περίπλοκη και τώρα θα αναλύσουμε την τεχνική λύσης λεπτομερώς:

Παράδειγμα 7

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι αυστηρά θετική, δηλαδή πρέπει να λύσουμε την ανισότητα . Στο πρώτο βήμα, προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε το τετράγωνο τριώνυμο:

Η διάκριση είναι θετική, ψάχνουμε τις ρίζες:

Η παραβολή λοιπόν τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία, πράγμα που σημαίνει ότι μέρος της παραβολής βρίσκεται κάτω από τον άξονα (ανισότητα) και μέρος της παραβολής είναι πάνω από τον άξονα (η ανισότητα που χρειαζόμαστε).

Από τον συντελεστή, τότε οι κλάδοι της παραβολής κοιτούν προς τα πάνω. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ανισότητα ικανοποιείται στα διαστήματα (οι κλάδοι της παραβολής ανεβαίνουν στο άπειρο) και η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο διάστημα κάτω από τον άξονα της τετμημένης, που αντιστοιχεί στην ανισότητα:

! Σημείωση: αν δεν καταλαβαίνετε πλήρως τις εξηγήσεις, σχεδιάστε τον δεύτερο άξονα και ολόκληρη την παραβολή! Συνιστάται να επιστρέψετε στο άρθρο και στο εγχειρίδιο Hot School Μαθηματικά Τύποι.

Σημειώστε ότι τα ίδια τα σημεία είναι τρυπημένα (δεν περιλαμβάνονται στη λύση), αφού η ανισότητα μας είναι αυστηρή.

Απάντηση: τομέα:

Γενικά, πολλές ανισότητες (συμπεριλαμβανομένης της εξεταζόμενης) επιλύονται από την καθολική μέθοδος διαστήματος, γνωστός πάλι από σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Αλλά στις περιπτώσεις τετραγωνικών δύο και τριών όρων, κατά τη γνώμη μου, είναι πολύ πιο βολικό και πιο γρήγορο να αναλύσουμε τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα. Και η κύρια μέθοδος - η μέθοδος των διαστημάτων, θα αναλύσουμε λεπτομερώς στο άρθρο. Η συνάρτηση είναι μηδενική. Διαστήματα σταθερότητας.

Παράδειγμα 8

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Το δείγμα σχολίασε αναλυτικά τη λογική του συλλογισμού + τον δεύτερο τρόπο επίλυσης και έναν ακόμη σημαντικό μετασχηματισμό της ανισότητας, χωρίς να γνωρίζει ποια θα κουτσαίνει στο ένα πόδι ο μαθητής ..., ... χμ ... σε βάρος του πόδι, ίσως ενθουσιάστηκε, μάλλον - στο ένα δάχτυλο. Αντίχειρας.

Μπορεί μια συνάρτηση με τετραγωνική ρίζα να οριστεί σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή; Σίγουρα. Όλα τα γνωστά πρόσωπα: . Ή παρόμοιο άθροισμα με εκθέτη: . Πράγματι, για οποιεσδήποτε τιμές των "x" και "ka": , επομένως, ακόμη περισσότερο.

Εδώ είναι ένα λιγότερο προφανές παράδειγμα: . Εδώ η διάκριση είναι αρνητική (η παραβολή δεν διασχίζει τον άξονα x), ενώ οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, εξ ου και το πεδίο ορισμού: .

Το ερώτημα είναι το αντίθετο: μπορεί το εύρος μιας συνάρτησης να είναι αδειάζω? Ναι, και ένα πρωτόγονο παράδειγμα αυτοπροτείνεται αμέσως , όπου η ριζική έκφραση είναι αρνητική για οποιαδήποτε τιμή του "x" και το πεδίο ορισμού είναι: (ένα κενό εικονίδιο συνόλου). Μια τέτοια συνάρτηση δεν ορίζεται καθόλου (φυσικά και το γράφημα είναι απατηλό).

με περίεργες ρίζες και τα λοιπά. τα πράγματα είναι πολύ καλύτερα - εδώ Η έκφραση ρίζας μπορεί επίσης να είναι αρνητική. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ωστόσο, η συνάρτηση έχει ένα μόνο σημείο που δεν περιλαμβάνεται ακόμα στον τομέα ορισμού, αφού ο παρονομαστής είναι μηδενικός. Για τον ίδιο λόγο για τη λειτουργία εξαιρούνται βαθμοί.

Τομέας συνάρτησης με λογάριθμο

Η τρίτη κοινή συνάρτηση είναι ο λογάριθμος. Ως παράδειγμα, θα ζωγραφίσω φυσικός λογάριθμος, το οποίο συναντάται σε περίπου 99 παραδείγματα από τα 100. Εάν κάποια συνάρτηση περιέχει λογάριθμο, τότε ο τομέας ορισμού της θα πρέπει να περιλαμβάνει μόνο εκείνες τις τιμές x που ικανοποιούν την ανισότητα. Αν ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή: τότε Επιπροσθέτωςεπιβάλλεται όρος (γιατί ).

Παράδειγμα 9

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: σύμφωνα με τα παραπάνω, συνθέτουμε και λύνουμε το σύστημα:

Γραφική λύση για ανδρείκελα:

Απάντηση: τομέα:

Θα μείνω σε ένα ακόμα τεχνική στιγμή- Δεν έχω υποδεικνύεται ζυγαριά και δεν υπάρχουν διαιρέσεις κατά μήκος του άξονα. Τίθεται το ερώτημα: πώς να κάνετε τέτοια σχέδια σε ένα σημειωματάριο σε καρό χαρτί; Είναι δυνατόν να μετρηθεί η απόσταση μεταξύ των σημείων στα κελιά αυστηρά σύμφωνα με την κλίμακα; Είναι πιο κανονικό και πιο αυστηρό, φυσικά, στην κλίμακα, αλλά ένα σχηματικό σχέδιο που αντικατοπτρίζει ουσιαστικά την κατάσταση είναι επίσης αρκετά αποδεκτό.

Παράδειγμα 10

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της προηγούμενης παραγράφου - για να αναλύσετε πώς βρίσκεται η παραβολή σε σχέση με τον άξονα x. Απαντήστε στο τέλος του μαθήματος.

Όπως μπορείτε να δείτε, στο βασίλειο των λογαρίθμων, όλα μοιάζουν πολύ με την κατάσταση με μια τετραγωνική ρίζα: η συνάρτηση (τετράγωνο τριώνυμο από το Παράδειγμα Νο. 7) ορίζεται σε διαστήματα και η συνάρτηση (τετράγωνο διώνυμο από το Παράδειγμα Νο. 6) στο διάστημα . Είναι ντροπιαστικό ακόμη και να πούμε ότι οι συναρτήσεις τύπου ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Χρήσιμες πληροφορίες : η συνάρτηση τύπου είναι ενδιαφέρουσα, ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο. Σύμφωνα με την ιδιότητα του λογάριθμου, το "δύο" μπορεί να αφαιρεθεί από έναν παράγοντα έξω από τον λογάριθμο, αλλά για να μην αλλάξει η συνάρτηση, το "x" πρέπει να περικλείεται κάτω από το σύμβολο της ενότητας: . Εδώ είναι άλλο ένα για εσάς πρακτική χρήση» ενότητα =). Αυτό πρέπει να κάνετε στις περισσότερες περιπτώσεις όταν κατεδαφίζετε ακόμη καιπτυχίο, για παράδειγμα: . Αν η βάση του πτυχίου είναι εμφανώς θετική, για παράδειγμα, τότε δεν χρειάζεται το σύμβολο της ενότητας και αρκεί να τα βγάλουμε πέρα ​​με παρένθεση: .

Για να μην επαναλαμβανόμαστε, ας περιπλέκουμε το έργο:

Παράδειγμα 11

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: σε αυτή τη συνάρτηση έχουμε και τη ρίζα και τον λογάριθμο.

Η έκφραση ρίζας πρέπει να είναι μη αρνητική: , και η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου πρέπει να είναι αυστηρά θετική: . Επομένως, είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα:

Πολλοί από εσάς ξέρετε πολύ καλά ή μαντεύετε διαισθητικά ότι η λύση του συστήματος πρέπει να ικανοποιεί στον καθένακατάσταση.

Εξετάζοντας τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το διάστημα ικανοποιεί την ανισότητα (μπλε σκίαση):

Η ανισότητα, προφανώς, αντιστοιχεί στο «κόκκινο» μισό διάστημα.

Αφού πρέπει να πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ, τότε η λύση του συστήματος είναι η τομή αυτών των διαστημάτων. «Κοινά συμφέροντα» παρατηρούνται στο ημίχρονο.

Απάντηση: τομέα:

Η τυπική ανισότητα, όπως καταδεικνύεται στο Παράδειγμα Νο. 8, δεν είναι δύσκολο να επιλυθεί αναλυτικά.

Ο εντοπισμένος τομέας ορισμού δεν θα αλλάξει για "παρόμοιες συναρτήσεις", για παράδειγμα, για ή . Μπορείτε επίσης να προσθέσετε ορισμένες συνεχείς συναρτήσεις, για παράδειγμα: , ή όπως αυτό: , ή ακόμα και σαν αυτό: . Όπως λένε, η ρίζα και ο λογάριθμος είναι πεισματάρα. Το μόνο πράγμα είναι ότι εάν μία από τις συναρτήσεις «επαναφέρεται» στον παρονομαστή, τότε το πεδίο ορισμού θα αλλάξει (αν και στη γενική περίπτωση αυτό δεν ισχύει πάντα). Λοιπόν, στη θεωρία του ματάν για αυτό το λεκτικό ... ω ... υπάρχουν θεωρήματα.

Παράδειγμα 12

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Η χρήση σχεδιαγράμματος είναι αρκετά κατάλληλη, καθώς η λειτουργία δεν είναι η πιο εύκολη.

Κάποια ακόμη παραδείγματα για την ενίσχυση του υλικού:

Παράδειγμα 13

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: σύνθεση και επίλυση του συστήματος:

Όλες οι ενέργειες έχουν ήδη διευθετηθεί κατά τη διάρκεια του άρθρου. Σχεδιάστε σε μια αριθμητική γραμμή το διάστημα που αντιστοιχεί στην ανισότητα και, σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη, εξαιρέστε δύο σημεία:

Η τιμή αποδείχθηκε εντελώς άσχετη.

Απάντηση: τομέα

Ένα μικρό μαθηματικό λογοπαίγνιο σε μια παραλλαγή του 13ου παραδείγματος:

Παράδειγμα 14

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Ποιος έχασε, είναι σε πτήση ;-)

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη σε πιο σπάνιες, αλλά και «εργατικές» λειτουργίες:

Πεδίο λειτουργίας
με εφαπτομένες, συνεφαπτομένες, αρξίνες, αρκοσίνες

Εάν κάποια συνάρτηση περιλαμβάνει , τότε από τον τομέα ορισμού της εξαιρούνταισημεία , Οπου Ζείναι το σύνολο των ακεραίων. Συγκεκριμένα, όπως σημειώνεται στο άρθρο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, η συνάρτηση έχει τις ακόλουθες τιμές:

Δηλαδή, το πεδίο ορισμού της εφαπτομένης: .

Δεν θα σκοτώσουμε πολλά:

Παράδειγμα 15

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης

Λύση: σε αυτήν την περίπτωση, τα ακόλουθα σημεία δεν θα περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού:

Ας ρίξουμε το "δύο" της αριστερής πλευράς στον παρονομαστή της δεξιάς πλευράς:

Σαν άποτέλεσμα :

Απάντηση: τομέα: .

Κατ 'αρχήν, η απάντηση μπορεί επίσης να γραφτεί ως ένωση άπειρου αριθμού διαστημάτων, αλλά η κατασκευή θα αποδειχθεί πολύ δυσκίνητη:

Η αναλυτική λύση συμφωνεί πλήρως με γραφικά γεωμετρικού μετασχηματισμού: αν το όρισμα της συνάρτησης πολλαπλασιαστεί επί 2, τότε η γραφική παράσταση της θα συρρικνωθεί στον άξονα δύο φορές. Παρατηρήστε πώς η περίοδος της συνάρτησης έχει μειωθεί στο μισό και ορια ΑΝΤΟΧΗΣαυξήθηκε δύο φορές. Ταχυκαρδία.

Παρόμοια ιστορία με την συνεφαπτομένη. Εάν κάποια συνάρτηση περιλαμβάνει , τότε τα σημεία εξαιρούνται από τον τομέα ορισμού της. Συγκεκριμένα, για τη συνάρτηση, πυροβολούμε τις ακόλουθες τιμές με ριπή αυτόματου:

Με άλλα λόγια:

Έχουμε μάθει ότι υπάρχει Χ- ένα σύνολο στο οποίο έχει νόημα ο τύπος που δίνεται η συνάρτηση. Στη μαθηματική ανάλυση, αυτό το σύνολο συχνά υποδηλώνεται ως ρε (εύρος λειτουργίας ). Με τη σειρά τους, πολλοί Υσυμβολίζεται ως μι (εύρος λειτουργίας ) και όπου ρεΚαι μιπου ονομάζονται υποσύνολα R(σύνολα πραγματικών αριθμών).

Εάν μια συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο, τότε, ελλείψει ειδικών επιφυλάξεων, ο τομέας ορισμού της είναι το μεγαλύτερο σύνολο στο οποίο έχει νόημα αυτός ο τύπος, δηλαδή το μεγαλύτερο σύνολο τιμών ορισμάτων που οδηγεί στις πραγματικές τιμές της συνάρτησης . Με άλλα λόγια, το σύνολο των τιμών ορισμάτων στα οποία "λειτουργεί η συνάρτηση".

Για μια γενική κατανόηση, το παράδειγμα εξακολουθεί να είναι χωρίς τύπο. Η συνάρτηση δίνεται ως ζεύγη σχέσεων:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Βρείτε τον τομέα αυτής της συνάρτησης.

Απάντηση. Το πρώτο στοιχείο των ζευγών είναι μια μεταβλητή Χ. Δεδομένου ότι τα δεύτερα στοιχεία των ζευγών δίνονται επίσης στον ορισμό της συνάρτησης - οι τιμές της μεταβλητής y, τότε η συνάρτηση έχει νόημα μόνο για εκείνες τις τιμές του x που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη τιμή του y. Δηλαδή, παίρνουμε όλα τα x από αυτά τα ζεύγη σε αύξουσα σειρά και λαμβάνουμε από αυτά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Η ίδια λογική λειτουργεί αν η συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο. Μόνο τα δεύτερα στοιχεία σε ζεύγη (δηλαδή οι τιμές του y) λαμβάνονται με την αντικατάσταση ορισμένων τιμών του x στον τύπο. Ωστόσο, για να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, δεν χρειάζεται να κάνουμε επανάληψη σε όλα τα ζεύγη των x και y.

Παράδειγμα 0.Πώς να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y ισούται με τετραγωνική ρίζααπό x μείον πέντε (ριζική έκφραση x μείον πέντε) (); Απλά πρέπει να λύσετε την ανισότητα

Χ - 5 ≥ 0 ,

αφού για να πάρουμε την πραγματική τιμή του y, η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Παίρνουμε τη λύση: το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλες οι τιμές του x μεγαλύτερες ή ίσες με πέντε (ή το x ανήκει στο διάστημα από πέντε συμπεριλαμβανομένου έως συν άπειρο).

Στο παραπάνω σχέδιο - ένα θραύσμα του αριθμητικού άξονα. Επάνω του, εκκολάπτεται το πεδίο ορισμού της εξεταζόμενης συνάρτησης, ενώ στην κατεύθυνση «συν» η εκκόλαψη συνεχίζεται επ' αόριστον μαζί με τον ίδιο τον άξονα.

Εάν χρησιμοποιείτε προγράμματα υπολογιστή, τα οποία, με βάση τα δεδομένα που έχουν εισαχθεί, δίνουν κάποιου είδους απάντηση, μπορεί να παρατηρήσετε ότι για ορισμένες τιμές των δεδομένων που εισάγονται, το πρόγραμμα εμφανίζει ένα μήνυμα σφάλματος, δηλαδή ότι η απάντηση δεν μπορεί να υπολογιστεί με τέτοια δεδομένα. Ένα τέτοιο μήνυμα παρέχεται από τους συντάκτες του προγράμματος, εάν η έκφραση για τον υπολογισμό της απάντησης είναι μάλλον περίπλοκη ή αφορά κάποια στενή θεματική περιοχή, ή παρέχεται από τους συντάκτες της γλώσσας προγραμματισμού, εάν αφορά γενικά αποδεκτούς κανόνες, για παράδειγμα , ότι είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν.

Αλλά και στις δύο περιπτώσεις, η απάντηση (η τιμή κάποιας έκφρασης) δεν μπορεί να υπολογιστεί για το λόγο ότι η έκφραση δεν έχει νόημα για ορισμένες τιμές δεδομένων.

Ένα παράδειγμα (ακόμα όχι αρκετά μαθηματικό): εάν το πρόγραμμα δίνει το όνομα του μήνα με τον αριθμό του μήνα του έτους, τότε εισάγοντας "15", θα λάβετε ένα μήνυμα σφάλματος.

Τις περισσότερες φορές, η υπολογισμένη έκφραση είναι απλώς μια συνάρτηση. Επομένως, τέτοιες μη έγκυρες τιμές δεδομένων δεν περιλαμβάνονται στο εύρος λειτουργίας . Και στους υπολογισμούς με ελεύθερο χέρι, είναι εξίσου σημαντικό να αντιπροσωπεύουμε τον τομέα μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, υπολογίζετε μια συγκεκριμένη παράμετρο ενός συγκεκριμένου προϊόντος χρησιμοποιώντας έναν τύπο που είναι συνάρτηση. Με ορισμένες τιμές του ορίσματος εισόδου, δεν θα λάβετε τίποτα στην έξοδο.

Τομέας ορισμού της σταθεράς

Ορίζεται μια σταθερά (σταθερά). για οποιεσδήποτε πραγματικές αξίες Χ R πραγματικούς αριθμούς. Αυτό μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής: ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρη η πραγματική γραμμή ]- ∞; +∞[ .

Παράδειγμα 1. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης y = 2 .

Λύση. Το εύρος της συνάρτησης δεν προσδιορίζεται, πράγμα που σημαίνει ότι, δυνάμει του παραπάνω ορισμού, νοείται το φυσικό πεδίο ορισμού. Εκφραση φά(Χ) = 2 ορίζεται για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές Χ, επομένως, αυτή η λειτουργία ορίζεται σε ολόκληρο το σετ R πραγματικούς αριθμούς.

Επομένως, στο παραπάνω σχέδιο, η αριθμητική γραμμή είναι σκιασμένη σε όλη τη διαδρομή από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο.

Πεδίο εφαρμογής της ρίζας nου βαθμού

Στην περίπτωση που η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο και n- φυσικός αριθμός:

Παράδειγμα 2. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Όπως προκύπτει από τον ορισμό, η ρίζα ενός ζυγού βαθμού έχει νόημα εάν η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική, δηλαδή εάν - 1 ≤ Χ≤ 1 . Επομένως, το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι [- 1; 1] .

Η σκιασμένη περιοχή της αριθμητικής γραμμής στο παραπάνω σχέδιο είναι η περιοχή ορισμού αυτής της συνάρτησης.

Τομέας συνάρτησης ισχύος

Τομέας συνάρτησης ισχύος με ακέραιο εκθέτη

Αν ένα- θετικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, δηλαδή ]- ∞; + ∞[ ;

Αν ένα- αρνητικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , δηλαδή ολόκληρη η αριθμητική γραμμή εκτός από το μηδέν.

Στο αντίστοιχο σχέδιο, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι σκιασμένη από πάνω και το σημείο που αντιστοιχεί στο μηδέν διατρυπάται (δεν περιλαμβάνεται στην περιοχή ορισμού συνάρτησης).

Παράδειγμα 3. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Ο πρώτος όρος είναι μια ακέραια ισχύς x ίση με 3 και η δύναμη του x στον δεύτερο όρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως μονάδα - επίσης ακέραιος. Επομένως, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή ]- ∞; +∞[ .

Τομέας συνάρτησης ισχύος με κλασματικό εκθέτη

Στην περίπτωση που η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

αν - είναι θετικό, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο 0. +∞[ .

Παράδειγμα 4. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Και οι δύο όροι στην έκφραση συνάρτησης είναι συναρτήσεις ισχύος με θετικούς κλασματικούς εκθέτες. Επομένως, ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι το σύνολο - ∞; +∞[ .

Πεδίο ορισμού εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων

Τομέας της εκθετικής συνάρτησης

Στην περίπτωση που η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή ]- ∞; +∞[ .

Το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης

Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται υπό την προϋπόθεση ότι το όρισμά της είναι θετικό, δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο ]0. +∞[ .

Βρείτε μόνοι σας το εύρος της συνάρτησης και μετά δείτε τη λύση

Τομέας ορισμού τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Πεδίο λειτουργίας y= cos( Χ) είναι επίσης ένα σύνολο R πραγματικούς αριθμούς.

Πεδίο λειτουργίας y= tg( Χ) - ένα μάτσο R πραγματικούς αριθμούς εκτός από αριθμούς .

Πεδίο λειτουργίας y=ctg( Χ) - ένα μάτσο R πραγματικούς αριθμούς εκτός από αριθμούς.

Παράδειγμα 8. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Εξωτερική λειτουργία - δεκαδικός λογάριθμοςκαι το πεδίο ορισμού του υπόκειται στις προϋποθέσεις του πεδίου ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης γενικά. Δηλαδή το επιχείρημά του πρέπει να είναι θετικό. Το όρισμα εδώ είναι το ημίτονο του "x". Γυρίζοντας μια φανταστική πυξίδα γύρω από έναν κύκλο, βλέπουμε ότι η συνθήκη αμαρτία Χ> 0 παραβιάζεται όταν το "x" είναι ίσο με μηδέν, "pi", δύο, πολλαπλασιαζόμενο με "pi" και γενικά ίσο με το γινόμενοτον αριθμό "pi" και οποιονδήποτε άρτιο ή περιττό ακέραιο.

Έτσι, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης δίνεται από την έκφραση

,

Οπου κείναι ακέραιος αριθμός.

Τομέας αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Πεδίο λειτουργίας y= τόξο( Χ) - σύνολο [-1; 1] .

Πεδίο λειτουργίας y= τόξο( Χ) - επίσης το σύνολο [-1; 1] .

Πεδίο λειτουργίας y= Αρκτάν( Χ) - ένα μάτσο R πραγματικούς αριθμούς.

Πεδίο λειτουργίας y= arcctg( Χ) είναι επίσης ένα σύνολο R πραγματικούς αριθμούς.

Παράδειγμα 9. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Ας λύσουμε την ανισότητα:

Έτσι, λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης - το τμήμα [- 4; 4] .

Παράδειγμα 10. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Ας λύσουμε δύο ανισότητες:

Λύση της πρώτης ανισότητας:

Λύση της δεύτερης ανισότητας:

Έτσι, λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης - το τμήμα.

Τομέας κλασμάτων

Αν η συνάρτηση δίνεται από μια κλασματική έκφραση στην οποία η μεταβλητή είναι στον παρονομαστή του κλάσματος, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο R πραγματικοί αριθμοί εκτός από Χγια το οποίο εξαφανίζεται ο παρονομαστής του κλάσματος.

Παράδειγμα 11. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση. Επιλύοντας την ισότητα προς το μηδέν του παρονομαστή του κλάσματος, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης - το σύνολο] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας τομέας ορισμού του αθροίσματος των συναρτήσεων. Είναι σαφές ότι μια τέτοια συνάρτηση έχει νόημα για όλες αυτές τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες έχουν νόημα όλες οι συναρτήσεις που αποτελούν το άθροισμα. Επομένως, δεν υπάρχει αμφιβολία για την εγκυρότητα της ακόλουθης δήλωσης:

Αν η συνάρτηση f είναι το άθροισμα των n συναρτήσεων f 1 , f 2 , …, f n , δηλαδή η συνάρτηση f δίνεται από τον τύπο y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι η τομή των τομέων των συναρτήσεων f 1 , f 2 , …, f n . Ας το γράψουμε ως .

Ας συμφωνήσουμε να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε εγγραφές όπως η προηγούμενη, με την οποία εννοούμε γραμμένες μέσα σε μια σγουρή αγκύλη ή την ταυτόχρονη εκπλήρωση οποιωνδήποτε προϋποθέσεων. Αυτό είναι βολικό και φυσικά αντηχεί με την έννοια των συστημάτων.

Παράδειγμα.

Δίνεται μια συνάρτηση y=x 7 +x+5+tgx , και πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της.

Λύση.

Η συνάρτηση f αντιπροσωπεύεται από το άθροισμα τεσσάρων συναρτήσεων: f 1 - συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 7, f 2 - συνάρτηση ισχύος με εκθέτη 1, f 3 - μόνιμη λειτουργίακαι η f 4 είναι εφαπτομενικές συναρτήσεις.

Εξετάζοντας τον πίνακα των περιοχών ορισμού του κύριου στοιχειώδεις λειτουργίες, βρίσκουμε ότι D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , και το πεδίο ορισμού του η εφαπτομένη είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από τους αριθμούς .

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι η τομή των τομέων των συναρτήσεων f 1 , f 2 , f 3 και f 4 . Είναι προφανές ότι αυτό είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, με εξαίρεση τους αριθμούς .

Απάντηση:

σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός .

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση τομείς του προϊόντος των συναρτήσεων. Για αυτήν την περίπτωση, ισχύει ένας παρόμοιος κανόνας:

Αν η συνάρτηση f είναι το γινόμενο των n συναρτήσεων f 1 , f 2 , …, f n , δηλαδή η συνάρτηση f δίνεται από τον τύπο y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι η τομή των τομέων των συναρτήσεων f 1 , f 2 , …, f n . Ετσι, .

Είναι κατανοητό, στην υποδεικνυόμενη περιοχή ορίζονται όλες οι λειτουργίες του προϊόντος, και επομένως η ίδια η συνάρτηση f.

Παράδειγμα.

Y=3 arctgx lnx .

Λύση.

Η δομή της δεξιάς πλευράς του τύπου που ορίζει τη συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , όπου f 1 είναι σταθερή συνάρτηση, f 2 είναι η συνάρτηση εφαπτομένης τόξου και f 3 είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση e.

Γνωρίζουμε ότι D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) και D(f 3)=(0, +∞) . Επειτα .

Απάντηση:

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=3 arctgx lnx είναι το σύνολο όλων των πραγματικών θετικών αριθμών.

Ας σταθούμε χωριστά στην εύρεση του πεδίου ορισμού της συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο y=C·f(x) , όπου C είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f συμπίπτουν. Πράγματι, η συνάρτηση y=C f(x) είναι το γινόμενο μιας σταθερής συνάρτησης και μιας συνάρτησης f . Το πεδίο ορισμού μιας σταθερής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι D(f) . Τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=C f(x) είναι , που επρόκειτο να προβληθεί.

Άρα, τα πεδία των συναρτήσεων y=f(x) και y=C·f(x) , όπου С είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, συμπίπτουν. Για παράδειγμα, εάν το πεδίο ορισμού της ρίζας είναι , γίνεται σαφές ότι D(f) είναι το σύνολο όλων των x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 2 για την οποία η f 2 (x) περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 1 .

Ετσι, τομέας μιας σύνθετης συνάρτησης y=f 1 (f 2 (x)) είναι η τομή δύο συνόλων: το σύνολο όλων των x έτσι ώστε x∈D(f 2) και το σύνολο όλων των x έτσι ώστε f 2 (x)∈D(f 1 ) . Δηλαδή στη σημειογραφία μας (πρόκειται ουσιαστικά για ένα σύστημα ανισοτήτων).

Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα. Στην πορεία, δεν θα περιγράψουμε λεπτομερώς, καθώς αυτό είναι πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου.

Παράδειγμα.

Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=lnx 2 .

Λύση.

Η αρχική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως y \u003d f 1 (f 2 (x)) , όπου f 1 είναι ένας λογάριθμος με βάση e και f 2 είναι λειτουργία ισχύοςμε δείκτη 2.

Περνώντας στα γνωστά πεδία ορισμού των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, έχουμε D(f 1)=(0, +∞) και D(f 2)=(−∞, +∞) .

Επειτα

Βρήκαμε λοιπόν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που χρειαζόμασταν, είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το μηδέν.

Απάντηση:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Παράδειγμα.

Ποιο είναι το εύρος της λειτουργίας ?

Λύση.

Αυτή η λειτουργίασύνθετο, μπορεί να θεωρηθεί ως y \u003d f 1 (f 2 (x)) , όπου f 1 είναι μια συνάρτηση ισχύος με εκθέτη και f 2 είναι η συνάρτηση τόξου και πρέπει να βρούμε τον τομέα της.

Ας δούμε τι γνωρίζουμε: D(f 1)=(0, +∞) και D(f 2)=[−1, 1] . Απομένει να βρεθεί η τομή των συνόλων τιμών x έτσι ώστε x∈D(f 2) και f 2 (x)∈D(f 1):

Για arcsinx>0, ας υπενθυμίσουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης arcsine. Το τόξο αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού [−1, 1] και εξαφανίζεται στο x=0, επομένως, arcsinx>0 για οποιοδήποτε x από το διάστημα (0, 1] .

Ας επιστρέψουμε στο σύστημα:

Έτσι, το επιθυμητό πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα μισό διάστημα (0, 1] .

Απάντηση:

(0, 1] .

Τώρα ας προχωρήσουμε στις πολύπλοκες συναρτήσεις γενική εικόνα y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε αυτή την περίπτωση βρίσκεται ως .

Παράδειγμα.

Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης .

Λύση.

Δεδομένος σύνθετη λειτουργίαμπορεί να γραφτεί ως y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), όπου f 1 - sin, f 2 - συνάρτηση της ρίζας του τέταρτου βαθμού, f 3 - lg.

Γνωρίζουμε ότι D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=)