στοιχειώδεις λειτουργίες. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους

Πλήρης λίστα βασικών βασικών λειτουργιών

Η κλάση των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων περιλαμβάνει τα ακόλουθα:

  1. Συνάρτηση σταθερής $y=C$, όπου η $C$ είναι μια σταθερά. Μια τέτοια συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή $C$ για οποιοδήποτε $x$.
  2. Συνάρτηση ισχύος $y=x^(a) $, όπου ο εκθέτης $a$ είναι πραγματικός αριθμός.
  3. Μια εκθετική συνάρτηση $y=a^(x) $, όπου η βάση είναι $a>0$, $a\ne 1$.
  4. Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _(a) x$, όπου η βάση του λογάριθμου είναι $a>0$, $a\ne 1$.
  5. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sec \, x$.
  6. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ τριγωνομετρικές συναρτήσεις$y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\, x$ .

Λειτουργίες ισχύος

Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ισχύος $y=x^(a) $ για τις απλούστερες περιπτώσεις, όταν ο εκθέτης της καθορίζει την εκθέτηση ακεραίων και την εξαγωγή ρίζας.

Περίπτωση 1

Εκθέτης συνάρτησης $y=x^(a) $ -- φυσικός αριθμός, δηλαδή $y=x^(n) $, $n\σε N$.

Εάν το $n=2\cdot k$ είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=x^(2\cdot k) $ είναι άρτια και αυξάνεται απεριόριστα σαν το όρισμα $\left(x\to +\infty \ right )$, καθώς και για την απεριόριστη μείωσή του $\left(x\to -\infty \right)$. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί από τις εκφράσεις $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ και $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, που σημαίνει ότι και στις δύο περιπτώσεις η συνάρτηση αυξάνεται χωρίς όριο ($\lim $ είναι το όριο). Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=x^(2) $.

Εάν το $n=2\cdot k-1$ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=x^(2\cdot k-1) $ είναι περιττή, αυξάνεται επ' αόριστον καθώς το όρισμα αυξάνεται επ' αόριστον και μειώνεται επ' αόριστον ως το όρισμα μειώνεται επ' αόριστον. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί από τις εκφράσεις $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ και $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=x^(3) $.

Περίπτωση 2

Εκθέτης συνάρτησης $y=x^(a) $ -- ακέραιος αριθμός ένας αρνητικός αριθμός, δηλαδή $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\σε N$.

Εάν το $n=2\cdot k$ είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ είναι άρτια και ασυμπτωτικά (σταδιακά) πλησιάζει το μηδέν σαν όρισμα, και με την απεριόριστη μείωση του. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί από μια έκφραση $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, που σημαίνει ότι με απεριόριστη αύξηση του ορίσματος σε απόλυτη τιμή, το όριο της συνάρτησης είναι ίσο με μηδέν. Επιπλέον, καθώς το όρισμα τείνει στο μηδέν τόσο από τα αριστερά $\left(x\to 0-0\right)$ όσο και από τα δεξιά $\left(x\to 0+0\right)$, η συνάρτηση αυξάνεται χωρίς όριο . Επομένως, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ και $\mathop(\lim )\limits_ ( x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, που σημαίνει ότι η συνάρτηση $y=\frac(1)(x^(2\cdot k ) ) Το $ και στις δύο περιπτώσεις έχει ένα άπειρο όριο ίσο με $+\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Αν το $n=2\cdot k-1$ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ είναι περιττή και ασυμπτωτικά πλησιάζει το μηδέν σαν να αυξάνεται το επιχείρημα, και με την απεριόριστη μείωσή του. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί με μια μοναδική έκφραση $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Επιπλέον, καθώς το όρισμα πλησιάζει το μηδέν από τα αριστερά, η συνάρτηση μειώνεται επ' αόριστον, και καθώς το όρισμα πλησιάζει το μηδέν από τα δεξιά, η συνάρτηση αυξάνεται επ 'αόριστον, δηλαδή $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0- 0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ και $\mathop(\lim )\limits_(x\έως 0+0) \frac(1)(x^ (2\cdot k-1) ) =+\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(1)(x) $.

Περίπτωση 3

Ο εκθέτης της συνάρτησης $y=x^(a) $ είναι ο αντίστροφος του φυσικού αριθμού, δηλαδή $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\σε N$.

Εάν το $n=2\cdot k$ είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ έχει δύο τιμές και ορίζεται μόνο για $x\ge 0 $. Όταν το όρισμα αυξάνεται χωρίς όριο, η τιμή της συνάρτησης $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ αυξάνεται χωρίς όριο και η τιμή της συνάρτησης $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ μειώνεται χωρίς όριο , δηλαδή $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right) =+\infty $ και $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\pm \sqrt(x) $.

Εάν το $n=2\cdot k-1$ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ είναι περιττή, αυξάνεται επ' αόριστον καθώς το όρισμα αυξάνεται επ' αόριστον, και μειώνεται επ' αόριστον όταν είναι απεριόριστο μειώνεται, δηλ. $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ και $\mathop( \ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x)=-\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\sqrt[(3)](x) $.

Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις

Οι εκθετικές συναρτήσεις $y=a^(x) $ και οι λογαριθμικές συναρτήσεις $y=\log _(a) x$ είναι αμοιβαία αντίστροφες. Οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς την κοινή διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας συντεταγμένων.

Καθώς το όρισμα $\left(x\to +\infty \right)$ αυξάνεται επ' αόριστον, η εκθετική συνάρτηση ή $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ , εάν το $a>1$ ή ασυμπτωτικά πλησιάζει το μηδέν $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, εάν το $a1$ ή το $\mathop αυξάνεται επ' αόριστον (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $ εάν $a

Η χαρακτηριστική τιμή για τη συνάρτηση $y=a^(x) $ είναι η τιμή $x=0$. Επιπλέον, όλες οι εκθετικές συναρτήσεις, ανεξάρτητα από το $a$, τέμνουν αναγκαστικά τον άξονα $Oy$ στο $y=1$. Παραδείγματα: γραφήματα συναρτήσεων $y=2^(x) $ και $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Η λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _(a) x$ ορίζεται μόνο για $x > 0$.

Καθώς το όρισμα $\left(x\to +\infty \right)$ αυξάνεται επ' αόριστον, η λογαριθμική συνάρτηση ή αυξάνεται επ 'αόριστον $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x =+\ infty $ εάν $a>1$, ή $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $ εάν $a1$, ή απεριόριστο $ \mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ αυξάνεται εάν $a

Η χαρακτηριστική τιμή για τη συνάρτηση $y=\log _(a) x$ είναι η τιμή $y=0$. Επιπλέον, όλες οι λογαριθμικές συναρτήσεις, ανεξάρτητα από το $a$, τέμνουν αναγκαστικά τον άξονα $Ox$ στο $x=1$. Παραδείγματα: γραφήματα συναρτήσεων $y=\log _(2) x$ και $y=\log _(1/2) x$.

Ορισμένες λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν ειδική σήμανση. Συγκεκριμένα, εάν η βάση του λογάριθμου είναι $a=10$, τότε ένας τέτοιος λογάριθμος ονομάζεται δεκαδικός λογάριθμος και η αντίστοιχη συνάρτηση γράφεται ως $y=\lg x$. Και αν ο παράλογος αριθμός $e=2.7182818\ldots $ επιλεχθεί ως βάση του λογάριθμου, τότε ένας τέτοιος λογάριθμος ονομάζεται φυσικός και η αντίστοιχη συνάρτηση γράφεται ως $y=\ln x$. Το αντίστροφό της είναι η συνάρτηση $y=e^(x) $, που ονομάζεται εκθέτης.

Λαμβάνοντας υπόψη τις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής, ο Liouville όρισε στοιχειώδεις λειτουργίεςκάπως ευρύτερα. στοιχειώδης λειτουργία yμεταβλητός Χ- μια αναλυτική συνάρτηση που μπορεί να αναπαρασταθεί ως αλγεβρική συνάρτηση του Χκαι λειτουργίες , και είναι ο λογάριθμος ή ο εκθέτης κάποιας αλγεβρικής συνάρτησης σολ 1 από Χ .

Για παράδειγμα, αμαρτία ( Χ) είναι αλγεβρική συνάρτηση του μι ΕγώΧ .

Χωρίς να περιορίσουμε τη γενικότητα της θεώρησης, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις είναι αλγεβρικά ανεξάρτητες, δηλαδή εάν η αλγεβρική εξίσωση ικανοποιείται για όλα τα Χ, τότε όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ίσα με μηδέν.

Διαφοροποίηση στοιχειωδών συναρτήσεων

Οπου z 1 "(z) ισούται με ή σολ 1 " / σολ 1 ή z 1 σολ 1" ανάλογα με το αν ο λογάριθμος z 1 ή εκθέτης, κ.λπ. Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείται ένας πίνακας παραγώγων.

Ολοκλήρωση στοιχειωδών λειτουργιών

Το θεώρημα Liouville είναι η βάση για τη δημιουργία αλγορίθμων για τη συμβολική ολοκλήρωση στοιχειωδών συναρτήσεων, που υλοποιούνται, για παράδειγμα, σε

Υπολογισμός ορίου

Η θεωρία του Liouville δεν επεκτείνεται στον υπολογισμό των ορίων. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει αλγόριθμος που, δεδομένης της ακολουθίας που δίνει ο στοιχειώδης τύπος, δίνει μια απάντηση, αν έχει όριο ή όχι. Για παράδειγμα, το ερώτημα εάν η ακολουθία συγκλίνει είναι ανοιχτό.

Βιβλιογραφία

  • J. Liouville. Mémoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Μαθηματικά. βδ. 13, σελ. 93-118. (1835)
  • J.F. Ritt. Ενσωμάτωση σε πεπερασμένους όρους. N.-Y., 1949// http://lib.homelinux.org
  • A. G. Khovansky. Τοπολογική θεωρία Galois: επιλυτότητα και μη επιλυτότητα εξισώσεων σε τελική μορφή Ch. 1. Μ, 2007

Σημειώσεις


Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

  • Στοιχειώδης ενθουσιασμός
  • Στοιχειώδης Έξοδος

Δείτε τι είναι η "στοιχειώδης συνάρτηση" σε άλλα λεξικά:

    στοιχειώδης λειτουργία- Μια συνάρτηση που, αν χωριστεί σε μικρότερες συναρτήσεις, δεν μπορεί να προσδιοριστεί μοναδικά στην ιεραρχία ψηφιακής μετάδοσης. Επομένως, από την άποψη του δικτύου, είναι αδιαίρετο (ITU T G.806). Θέματα τηλεπικοινωνιών, βασικές έννοιες EN λειτουργία προσαρμογήςA ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

    συνάρτηση διασυνεργασίας μεταξύ επιπέδων δικτύου- Μια στοιχειώδης λειτουργία που διασφαλίζει την αλληλεπίδραση των χαρακτηριστικών πληροφοριών μεταξύ των δύο επιπέδων του δικτύου. (ITU-T G.806). Θέματα τηλεπικοινωνιών, βασικές έννοιες του επιπέδου EN ... ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

Η ενότητα περιέχει υλικό αναφοράς για τις βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. Δίνεται μια ταξινόμηση των στοιχειωδών συναρτήσεων. Παρακάτω υπάρχουν σύνδεσμοι προς υποενότητες που συζητούν τις ιδιότητες συγκεκριμένων συναρτήσεων - γραφήματα, τύπους, παράγωγα, αντιπαράγωγα (ολοκληρώματα), επεκτάσεις σε σειρές, εκφράσεις σε όρους μιγαδικών μεταβλητών.

Περιεχόμενο

Σελίδες αναφοράς για βασικές λειτουργίες

Ταξινόμηση στοιχειωδών συναρτήσεων

Αλγεβρική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση:
,
όπου είναι ένα πολυώνυμο στην εξαρτημένη μεταβλητή y και στην ανεξάρτητη μεταβλητή x . Μπορεί να γραφτεί ως:
,
όπου είναι τα πολυώνυμα.

Οι αλγεβρικές συναρτήσεις χωρίζονται σε πολυώνυμα (ολόκληρες ορθολογικές συναρτήσεις), ορθολογικές και ανορθολογικές συναρτήσεις.

Ολόκληρη ορθολογική λειτουργία, που λέγεται και πολυώνυμοςή πολυώνυμος, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, το πολυώνυμο ανάγεται στην κανονική μορφή:
.

Κλασματική ορθολογική συνάρτηση, ή απλά λογική λειτουργία, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης), του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η ορθολογική συνάρτηση μπορεί να αναχθεί στη μορφή
,
όπου και είναι πολυώνυμα.

Παράλογη λειτουργίαείναι μια αλγεβρική συνάρτηση που δεν είναι ορθολογική. Κατά κανόνα, μια παράλογη συνάρτηση νοείται ως ρίζες και οι συνθέσεις τους με ορθολογικές συναρτήσεις. Μια ρίζα βαθμού n ορίζεται ως λύση της εξίσωσης
.
Σημειώνεται ως εξής:
.

Υπερβατικές λειτουργίεςονομάζονται μη αλγεβρικές συναρτήσεις. Αυτές είναι συναρτήσεις εκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές και αντίστροφες.

Επισκόπηση βασικών στοιχειωδών λειτουργιών

Όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας πεπερασμένος αριθμός πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης που εκτελούνται σε μια έκφραση της μορφής:
z t .
Οι αντίστροφες συναρτήσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν με όρους λογαρίθμων. Οι κύριες βασικές λειτουργίες παρατίθενται παρακάτω.

Λειτουργία ισχύος:
y(x) = x p,
όπου p είναι ο εκθέτης. Εξαρτάται από τη βάση του x.
Πίσω στο λειτουργία ισχύοςείναι επίσης μια συνάρτηση ισχύος:
.
Για μια ακέραια μη αρνητική τιμή του εκθέτη p, είναι πολυώνυμο. Για μια ακέραια τιμή το p είναι μια ορθολογική συνάρτηση. Με μια λογική αξία - μια παράλογη συνάρτηση.

Υπερβατικές Συναρτήσεις

Εκθετικη συναρτηση :
y(x) = a x,
όπου α είναι η βάση του βαθμού. Εξαρτάται από τον εκθέτη x.
Αντίστροφη συνάρτηση- βάση καταγραφής a :
x= log a y.

Εκθέτης, e στη δύναμη του x:
y(x) = e x,
Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση:
.
Η βάση του εκθέτη είναι ο αριθμός e:
≈ 2,718281828459045... .
Αντίστροφη συνάρτηση - φυσικός λογάριθμος - λογάριθμος στη βάση του e :
x= ln y ≡ log e y.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Sine : ;
Συνημίτονο : ;
Εφαπτομένη : ;
Συμεφαπτομένη : ;
Εδώ το i είναι μια φανταστική μονάδα, i 2 = -1.

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Αρξίνη: x = arcsin y, ;
Αρκοζίνη: x = τόξο cos y, ;
Arctagent: x = arctg y, ;
Εφαπτομένη τόξου: x = arcctg y, .

Βασικές στοιχειώδεις λειτουργίεςείναι: σταθερή συνάρτηση (σταθερή), ρίζα nου βαθμού, συνάρτηση ισχύος, εκθετική, λογαριθμική συνάρτηση, τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Μόνιμη λειτουργία.

Μια σταθερή συνάρτηση δίνεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών από τον τύπο , όπου ντοείναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Μια σταθερή συνάρτηση συσχετίζει κάθε πραγματική τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χτην ίδια τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής y- νόημα ΜΕ. Μια σταθερή συνάρτηση ονομάζεται επίσης σταθερά.

Η γραφική παράσταση μιας σταθερής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα x και που διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες (0,C). Για παράδειγμα, δείχνουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y=5,y=-2και , που στο παρακάτω σχήμα αντιστοιχούν στις μαύρες, κόκκινες και μπλε γραμμές, αντίστοιχα.

Ιδιότητες σταθερής συνάρτησης.

    Τομέας ορισμού: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

    Η σταθερή συνάρτηση είναι άρτια.

    Εύρος τιμών: σύνολο που αποτελείται από ενικός ΜΕ.

    Μια σταθερή συνάρτηση είναι μη αύξουσα και μη φθίνουσα (γι' αυτό είναι σταθερή).

    Δεν έχει νόημα να μιλάμε για την κυρτότητα και την κοιλότητα της σταθεράς.

    Δεν υπάρχει ασύμπτωτο.

    Η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (0,C)επίπεδο συντεταγμένων.

Η ρίζα του ν’ βαθμού.

Εξετάστε τη βασική στοιχειώδη συνάρτηση, η οποία δίνεται από τον τύπο , όπου nείναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός.

Η ρίζα του ν ου βαθμού, n είναι ζυγός αριθμός.

Ας ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση ρίζας n-ο βαθμός για ζυγές τιμές του εκθέτη ρίζας n.

Για παράδειγμα, δίνουμε μια εικόνα με εικόνες γραφημάτων συναρτήσεων και , αντιστοιχούν σε μαύρες, κόκκινες και μπλε γραμμές.

Τα γραφήματα των συναρτήσεων της ρίζας ενός άρτιου βαθμού έχουν παρόμοια μορφή για άλλες τιμές του δείκτη.

Ιδιότητες συνάρτησης ρίζαςn -ο βαθμός για άρτιαn .

Η ρίζα του ν ου βαθμού, n είναι περιττός αριθμός.

λειτουργία ρίζας n-ος βαθμός με περιττό εκθέτη ρίζας nορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, παρουσιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων και , οι καμπύλες μαύρου, κόκκινου και μπλε αντιστοιχούν σε αυτές.

Οι βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι εγγενείς ιδιότητές τους και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι ένα από τα βασικά στοιχεία της μαθηματικής γνώσης, παρόμοια σε σημασία με τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι η βάση, η υποστήριξη για τη μελέτη όλων των θεωρητικών ζητημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Το παρακάτω άρθρο παρέχει βασικό υλικό για το θέμα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Θα εισαγάγουμε όρους, θα τους δώσουμε ορισμούς. Ας μελετήσουμε λεπτομερώς κάθε τύπο στοιχειωδών συναρτήσεων και ας αναλύσουμε τις ιδιότητές τους.

Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ορισμός 1

  • σταθερή συνάρτηση (σταθερή);
  • ρίζα του nου βαθμού?
  • λειτουργία ισχύος?
  • εκθετικη συναρτηση;
  • λογαριθμική συνάρτηση;
  • τριγωνομετρικές συναρτήσεις;
  • αδελφικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Μια σταθερή συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο: y = C (το C είναι κάποιος πραγματικός αριθμός) και έχει επίσης ένα όνομα: σταθερά. Αυτή η συνάρτηση καθορίζει εάν οποιαδήποτε πραγματική τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x αντιστοιχεί στην ίδια τιμή της μεταβλητής y – την τιμή C .

Η γραφική παράσταση μιας σταθεράς είναι μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη στον άξονα x και διέρχεται από ένα σημείο που έχει συντεταγμένες (0, C). Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (σημειώνονται με μαύρο, κόκκινο και μπλε χρώμα στο σχέδιο, αντίστοιχα).

Ορισμός 2

Αυτή η στοιχειώδης συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο y = x n (το n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από ένα).

Ας εξετάσουμε δύο παραλλαγές της συνάρτησης.

  1. Ρίζα του ν ου βαθμού, το n είναι ζυγός αριθμός

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε το σχέδιο, το οποίο δείχνει τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων: y = x, y = x 4 και y = x 8 . Αυτές οι λειτουργίες είναι χρωματικά κωδικοποιημένες: μαύρο, κόκκινο και μπλε, αντίστοιχα.

Παρόμοια προβολή των γραφημάτων της συνάρτησης ζυγού βαθμού για άλλες τιμές ​​του δείκτη.

Ορισμός 3

Ιδιότητες της συνάρτησης ρίζα του ν ου βαθμού, το n είναι ζυγός αριθμός

  • το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών [ 0 , + ∞) ;
  • όταν x = 0 , η συνάρτηση y = x n έχει τιμή ίση με μηδέν.
  • δεδομένος λειτουργία - λειτουργία γενική εικόνα(δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός)
  • εύρος: [ 0 , + ∞) ;
  • δεδομένη λειτουργία y = x n για άρτιους εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
  • η συνάρτηση έχει κυρτότητα με κατεύθυνση προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού.
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
  • η γραφική παράσταση της συνάρτησης για άρτιο n διέρχεται από τα σημεία (0 ; 0) και (1 ; 1) .
  1. Ρίζα του nου βαθμού, το n είναι περιττός αριθμός

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = x 3, y = x 5 και x 9 . Στο σχέδιο, υποδεικνύονται με χρώματα: μαύρο, κόκκινο και Μπλε χρώμακαι καμπύλες, αντίστοιχα.

Άλλες περιττές τιμές του εκθέτη της ρίζας της συνάρτησης y = x n θα δώσουν ένα γράφημα παρόμοιας μορφής.

Ορισμός 4

Ιδιότητες της συνάρτησης ρίζα του ν ου βαθμού, το n είναι περιττός αριθμός

  • Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
  • Αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.
  • το εύρος τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
  • η συνάρτηση y = x n με περιττούς εκθέτες της ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
  • η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο διάστημα (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα στο διάστημα [ 0 , + ∞) ;
  • το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) ;
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
  • η γραφική παράσταση της συνάρτησης για περιττό n διέρχεται από τα σημεία (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) και (1 ; 1) .

Λειτουργία ισχύος

Ορισμός 5

Η συνάρτηση ισχύος ορίζεται από τον τύπο y = x a.

Ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης εξαρτώνται από την τιμή του εκθέτη.

  • όταν μια συνάρτηση ισχύος έχει έναν ακέραιο εκθέτη α, τότε η μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ισχύος και οι ιδιότητές της εξαρτώνται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός, καθώς και από το πρόσημο που έχει ο εκθέτης. Ας εξετάσουμε όλες αυτές τις ειδικές περιπτώσεις με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
  • ο εκθέτης μπορεί να είναι κλασματικός ή παράλογος - ανάλογα με αυτό, ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης ποικίλλουν επίσης. Θα αναλύσουμε ειδικές περιπτώσεις θέτοντας αρκετές προϋποθέσεις: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
  • μια συνάρτηση ισχύος μπορεί να έχει μηδενικό εκθέτη, θα αναλύσουμε επίσης αυτή την περίπτωση λεπτομερέστερα παρακάτω.

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν το a είναι ένας περιττός θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 1 , 3 , 5 ...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x (μαύρο χρώμα του γραφήματος), y = x 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 5 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος), y = x 7 (πράσινο γράφημα). Όταν a = 1 , παίρνουμε μια γραμμική συνάρτηση y = x .

Ορισμός 6

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός θετικός

  • η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
  • η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κοίλη για x ∈ [ 0 ; + ∞) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης);
  • το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
  • σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν το a είναι ένας άρτιος θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 2 , 4 , 6 ...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y \u003d x 2 (μαύρο χρώμα του γραφήματος), y = x 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 8 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). Όταν a = 2, παίρνουμε μια τετραγωνική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια τετραγωνική παραβολή.

Ορισμός 7

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος θετικός:

  • τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
  • φθίνουσα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
  • η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
  • σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων εκθετικής συνάρτησης y = x a όταν το a είναι περιττός αρνητικός αριθμός: y = x - 9 (μαύρο χρώμα του γραφήματος). y = x - 5 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 3 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). y = x - 1 (πράσινο γράφημα). Όταν a = - 1 , παίρνουμε αντίστροφη αναλογικότητα, του οποίου η γραφική παράσταση είναι υπερβολή.

Ορισμός 8

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός αρνητικός:

Όταν x \u003d 0, παίρνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ για ένα \u003d - 1, - 3, - 5, .... Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

  • εύρος: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
  • η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
  • η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
  • η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (- ∞ ; 0) και κοίλη για x ∈ (0 ; + ∞) ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

  • σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι ένας ζυγός αρνητικός αριθμός: y = x - 8 (διάγραμμα σε μαύρο). y = x - 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 2 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Ορισμός 9

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος:

  • τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Όταν x \u003d 0, παίρνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ για ένα \u003d - 2, - 4, - 6, .... Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

  • η συνάρτηση είναι άρτια επειδή y (- x) = y (x) ;
  • η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; 0) και μειώνεται για x ∈ 0 ; +∞ ;
  • η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • η οριζόντια ασύμπτωτη είναι ευθεία y = 0 γιατί:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

  • σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Από την αρχή, δώστε προσοχή στην ακόλουθη πτυχή: στην περίπτωση που το a είναι ένα θετικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, ορισμένοι συγγραφείς λαμβάνουν το διάστημα - ∞ ως πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης ισχύος. + ∞ , ορίζοντας ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Επί αυτή τη στιγμήοι συγγραφείς πολλών εγχειριδίων για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος, όπου ο εκθέτης είναι ένα κλάσμα με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, θα τηρήσουμε ακριβώς μια τέτοια θέση: παίρνουμε το σύνολο [ 0 ; +∞) . Σύσταση για μαθητές: μάθετε την άποψη του δασκάλου σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Ας ρίξουμε λοιπόν μια ματιά στη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν ο εκθέτης είναι ρητός ή άρρητος αριθμός με την προϋπόθεση ότι το 0< a < 1 .

Ας δείξουμε με γραφήματα τις συναρτήσεις ισχύος y = x a όταν a = 11 12 (διάγραμμα με μαύρο χρώμα). a = 5 7 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). a = 1 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος). a = 2 5 (πράσινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές του εκθέτη a (υποθέτοντας 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ορισμός 10

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος στο 0< a < 1:

  • εύρος: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
  • η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; +∞) ;
  • η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (0 ; + ∞) ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν ο εκθέτης είναι ένας μη ακέραιος ρητός ή άρρητος αριθμός με την προϋπόθεση ότι a > 1 .

Εικονίζουμε τα γραφήματα της συνάρτησης ισχύος y \u003d x a υπό δεδομένες συνθήκες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες συναρτήσεις ως παράδειγμα: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο γραφήματα, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές του εκθέτη a υπό την συνθήκη a > 1 θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος.

Ορισμός 11

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος για > 1:

  • τομέας ορισμού: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
  • εύρος: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; +∞) ;
  • η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ (0 ; + ∞) (όταν 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
  • σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Εφιστούμε την προσοχή σας!Όταν το a είναι ένα αρνητικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, στα έργα ορισμένων συγγραφέων υπάρχει η άποψη ότι το πεδίο ορισμού σε αυτή την περίπτωση είναι το διάστημα - ∞. 0 ∪ (0 ; + ∞) με την προϋπόθεση ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν οι συγγραφείς διδακτικό υλικόσύμφωνα με την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης, ΔΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ οι συναρτήσεις ισχύος με εκθέτη σε μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή με αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, τηρούμε ακριβώς μια τέτοια άποψη: παίρνουμε το πεδίο των συναρτήσεων ισχύος με κλασματική αρνητικών δεικτώνσύνολο (0 ; + ∞) . Πρόταση για μαθητές: Ξεκαθαρίστε το όραμα του δασκάλου σας σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε τη διαφωνία.

Συνεχίζουμε το θέμα και αναλύουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a παρέχεται: - 1< a < 0 .

Ακολουθεί ένα σχέδιο γραφημάτων των παρακάτω συναρτήσεων: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (μαύρες, κόκκινες, μπλε, πράσινες γραμμές, αντίστοιχα ).

Ορισμός 12

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος στο - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

  • εύρος: y ∈ 0 ; +∞ ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων ισχύος y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινα χρώματακαμπύλες, αντίστοιχα).

Ορισμός 13

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος για α< - 1:

  • τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν α< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

  • εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ 0; +∞ ;
  • η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ 0; +∞ ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • οριζόντια ασύμπτωτη - ευθεία γραμμή y = 0 ;
  • σημείο διέλευσης συνάρτησης: (1 ; 1) .

Όταν a \u003d 0 και x ≠ 0, παίρνουμε τη συνάρτηση y \u003d x 0 \u003d 1, η οποία καθορίζει τη γραμμή από την οποία εξαιρείται το σημείο (0; 1) (συμφωνήσαμε ότι δεν θα δοθεί η έκφραση 0 0 οποιαδήποτε τιμή).

Η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή y = a x, όπου a > 0 και a ≠ 1, και η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φαίνεται διαφορετική με βάση την τιμή της βάσης a. Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις.

Ας εξετάσουμε πρώτα την κατάσταση όταν η βάση εκθετικη συναρτησηέχει τιμή από μηδέν έως ένα (0< a < 1) . Ενδεικτικό παράδειγμα είναι τα γραφήματα των συναρτήσεων για a = 1 2 (μπλε χρώμα της καμπύλης) και a = 5 6 (κόκκινο χρώμα της καμπύλης).

Τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης θα έχουν παρόμοια μορφή για άλλες τιμές της βάσης, με την προϋπόθεση ότι 0< a < 1 .

Ορισμός 14

Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

  • εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μικρότερη από ένα μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • η οριζόντια ασύμπτωτη είναι η ευθεία y = 0 με τη μεταβλητή x να τείνει στο + ∞ ;

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που η βάση της εκθετικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία (a > 1).

Ας δείξουμε αυτήν την ειδική περίπτωση με τη γραφική παράσταση των εκθετικών συναρτήσεων y = 3 2 x (μπλε χρώμα της καμπύλης) και y = e x (κόκκινο χρώμα της γραφικής παράστασης).

Άλλες τιμές της βάσης, μεγαλύτερες από μία, θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος της εκθετικής συνάρτησης.

Ορισμός 15

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

  • Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
  • εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • Μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μεγαλύτερη από μία αυξάνεται για x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • οριζόντια ασύμπτωτη - ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει προς - ∞ ;
  • σημείο διέλευσης συνάρτησης: (0 ; 1) .

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = log a (x) , όπου a > 0 , a ≠ 1 .

Αυτή η λειτουργία ορίζεται μόνο για θετικές αξίεςόρισμα: για x ∈ 0 ; +∞ .

Το διάγραμμα της λογαριθμικής συνάρτησης έχει διαφορετικό είδος, με βάση την τιμή της βάσης α.

Σκεφτείτε πρώτα την κατάσταση όταν 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Άλλες τιμές της βάσης, όχι μεγαλύτερες από μία, θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος.

Ορισμός 16

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

  • τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; +∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο + ∞.
  • εύρος: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • λογαριθμική
  • η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ 0; +∞ ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τώρα μια ειδική περίπτωση όταν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία: a > 1 . Στο παρακάτω σχέδιο, υπάρχουν γραφήματα λογαριθμικών συναρτήσεων y = log 3 2 x και y = ln x (μπλε και κόκκινα χρώματα των γραφημάτων, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές της βάσης μεγαλύτερες από μία θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος.

Ορισμός 17

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

  • τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; +∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν σε - ∞.
  • εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ (το σύνολο των πραγματικών αριθμών).
  • αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
  • η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ 0; +∞ ;
  • η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ 0; +∞ ;
  • δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
  • σημείο διέλευσης συνάρτησης: (1 ; 0) .

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ας αναλύσουμε τις ιδιότητες καθενός από αυτά και τα αντίστοιχα γραφήματα.

Γενικά, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της περιοδικότητας, δηλ. όταν οι τιμές της συνάρτησης επαναλαμβάνονται στο διαφορετικές έννοιεςόρισμα, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά την τιμή της περιόδου f (x + T) = f (x) (T είναι η περίοδος). Έτσι, το στοιχείο "ελάχιστη θετική περίοδος" προστίθεται στη λίστα των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον, θα υποδείξουμε τέτοιες τιμές του ορίσματος για τις οποίες η αντίστοιχη συνάρτηση εξαφανίζεται.

  1. Ημιτονοειδής συνάρτηση: y = sin(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα.

Ορισμός 18

Ιδιότητες της ημιτονοειδούς συνάρτησης:

  • πεδίο ορισμού: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π k , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
  • η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
  • η ημιτονοειδής συνάρτηση έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία π 2 + 2 π · k ; 1 και τοπικά ελάχιστα στα σημεία - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
  • η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι κοίλη όταν x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.
  1. συνημιτονική συνάρτηση: y=cos(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνημιτονικό κύμα.

Ορισμός 19

Ιδιότητες της συνημίτονος:

  • τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • η μικρότερη θετική περίοδος: T \u003d 2 π.
  • εύρος: y ∈ - 1 ; 1 ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού y (- x) = y (x) ;
  • η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
  • η συνημίτονο έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία 2 π · k ; 1 , k ∈ Z και τοπικά ελάχιστα στα σημεία π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
  • η συνημίτονο είναι κοίλη όταν x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
  • Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.
  1. Συνάρτηση εφαπτομένης: y = t g (x)

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης καλείται εφαπτοειδές.

Ορισμός 20

Ιδιότητες της εφαπτομένης συνάρτησης:

  • τομέας ορισμού: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
  • Η συμπεριφορά της εφαπτομένης συνάρτησης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π 2 + π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.
  • η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
  • εύρος: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
  • η συνάρτηση αυξάνεται στο - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
  • η συνάρτηση εφαπτομένης είναι κοίλη για x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z και κυρτό για x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
  • Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π k. 0 , k ∈ Z ;
  1. Συνεφαπτομένη συνάρτηση: y = c t g (x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνεφαπτοειδές. .

Ορισμός 21

Ιδιότητες της συνεπαπτομένης συνάρτησης:

  • πεδίο ορισμού: x ∈ (π k ; π + π k) , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων);

Συμπεριφορά της συνεπαπτομένης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.

  • η μικρότερη θετική περίοδος: T \u003d π.
  • η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π 2 + π k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
  • εύρος: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
  • η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
  • η συνεφαπτομένη είναι κοίλη για x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z και κυρτή για x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ) , k ∈ Z ;
  • Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
  • δεν υπάρχουν πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες.

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το τόξο, η αρκοσίνη, η τοξοεφαπτομένη και η τοξοεφαπτομένη. Συχνά, λόγω της παρουσίας του προθέματος "τόξο" στο όνομα, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις τόξου. .

  1. Συνάρτηση Arcsine: y = a r c sin (x)

Ορισμός 22

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

  • αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
  • η συνάρτηση τόξου είναι κοίλη για x ∈ 0; 1 και κυρτότητα για x ∈ - 1 ; 0;
  • Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες (0 ; 0), είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.
  1. Λειτουργία αρκκοζίνης: y = a r c cos (x)

Ορισμός 23

Ιδιότητες λειτουργίας αρκκοζίνης:

  • τομέας ορισμού: x ∈ - 1 ; 1 ;
  • εύρος: y ∈ 0 ; π;
  • αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής (ούτε ζυγή ούτε περιττή).
  • η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
  • η συνάρτηση αρκοσίνης είναι κοίλη για x ∈ - 1 ; 0 και κυρτότητα για x ∈ 0 ; 1 ;
  • Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες 0 . π2;
  • δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.
  1. Συνάρτηση Arctagent: y = a r c t g (x)

Ορισμός 24

Ιδιότητες συνάρτησης Arctangent:

  • τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • εύρος: y ∈ - π 2 ; π2;
  • αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
  • η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
  • η συνάρτηση του τόξου είναι κοίλη για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κυρτή για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
  • το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0), είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
  • Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = - π 2 για x → - ∞ και y = π 2 για x → + ∞ (οι ασύμπτωτες στο σχήμα είναι πράσινες γραμμές).
  1. Λειτουργία συμεφαπτομένης τόξου: y = a r c c t g (x)

Ορισμός 25

Ιδιότητες λειτουργίας συμεφαπτομένης τόξου:

  • τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • εύρος: y ∈ (0 ; π) ;
  • Αυτή η λειτουργία είναι γενικού τύπου.
  • η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
  • η συνάρτηση συνεφαπτομένης τόξου είναι κοίλη για x ∈ [ 0 ; + ∞) και κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
  • το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες 0 . π2;
  • Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = π στο x → - ∞ (πράσινη γραμμή στο σχέδιο) και y = 0 στο x → + ∞.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter