Τύποι εξάρτησης

Σκεφτείτε τη φόρτιση της μπαταρίας. Ως πρώτη τιμή, ας πάρουμε το χρόνο που χρειάζεται για τη φόρτιση. Η δεύτερη τιμή είναι ο χρόνος που θα λειτουργήσει μετά τη φόρτιση. Όσο περισσότερο φορτίζεται η μπαταρία, τόσο περισσότερο θα διαρκέσει. Η διαδικασία θα συνεχιστεί μέχρι να φορτιστεί πλήρως η μπαταρία.

Η εξάρτηση της διάρκειας ζωής της μπαταρίας από το χρόνο φόρτισης

Παρατήρηση 1

Αυτή η εξάρτηση ονομάζεται ευθεία:

Καθώς αυξάνεται η μία τιμή, αυξάνεται και η άλλη. Καθώς η μία τιμή μειώνεται, μειώνεται και η άλλη τιμή.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα.

Πως περισσότερα βιβλίαπου διαβάζει ο μαθητής, τόσο λιγότερα λάθη θα κάνει στην υπαγόρευση. Ή όσο ψηλότερα ανεβείτε στα βουνά, τόσο χαμηλότερη θα είναι η ατμοσφαιρική πίεση.

Παρατήρηση 2

Αυτή η εξάρτηση ονομάζεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ:

Καθώς η μία τιμή αυξάνεται, η άλλη μειώνεται. Καθώς η μία τιμή μειώνεται, η άλλη τιμή αυξάνεται.

Έτσι, στην περίπτωση άμεση εξάρτησηκαι οι δύο ποσότητες αλλάζουν με τον ίδιο τρόπο (και οι δύο αυξάνονται ή μειώνονται), και στην περίπτωση αντίστροφη σχέση- αντίθετα (το ένα αυξάνεται και το άλλο μειώνεται ή αντίστροφα).

Προσδιορισμός εξαρτήσεων μεταξύ των ποσοτήτων

Παράδειγμα 1

Ο χρόνος που χρειάζεται για να επισκεφτείτε έναν φίλο είναι $20 $ λεπτά. Με αύξηση της ταχύτητας (της πρώτης τιμής) κατά $2$ φορές, θα βρούμε πώς θα αλλάξει ο χρόνος (δεύτερη τιμή) που θα δαπανηθεί στη διαδρομή προς έναν φίλο.

Προφανώς, ο χρόνος θα μειωθεί κατά $2 $ φορές.

Παρατήρηση 3

Αυτή η εξάρτηση ονομάζεται αναλογικά:

Πόσες φορές αλλάζει μια τιμή, πόσες φορές θα αλλάξει η δεύτερη.

Παράδειγμα 2

Για ένα καρβέλι ψωμί $2 σε ένα κατάστημα, πρέπει να πληρώσετε 80 ρούβλια. Εάν πρέπει να αγοράσετε καρβέλια ψωμιού $4$ (η ποσότητα του ψωμιού αυξάνεται $2$ φορές), πόσα περισσότερα θα πρέπει να πληρώσετε;

Προφανώς, το κόστος θα αυξηθεί επίσης κατά $2 $ φορές. Έχουμε ένα παράδειγμα αναλογικής εξάρτησης.

Και στα δύο παραδείγματα, εξετάστηκαν αναλογικές εξαρτήσεις. Αλλά στο παράδειγμα με καρβέλια ψωμιού, οι τιμές αλλάζουν προς μία κατεύθυνση, επομένως, η εξάρτηση είναι ευθεία. Και στο παράδειγμα με ένα ταξίδι σε έναν φίλο, η σχέση ταχύτητας και χρόνου είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ. Έτσι, υπάρχει ευθέως αναλογική σχέσηΚαι αντιστρόφως ανάλογη σχέση.

Άμεση αναλογικότητα

Εξετάστε τις αναλογικές ποσότητες $2 $: τον αριθμό των καρβέλιων ψωμιού και το κόστος τους. Αφήστε τα καρβέλια ψωμιού $2 $ να κοστίζουν $80 $ ρούβλια. Με αύξηση του αριθμού των κυλίνδρων κατά $4$ φορές (ρολά $8$), το συνολικό τους κόστος θα είναι $320$ ρούβλια.

Η αναλογία του αριθμού των ρολών: $\frac(8)(2)=4$.

Αναλογία κόστους ρολού: $\frac(320)(80)=4$.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτές οι αναλογίες είναι ίσες μεταξύ τους:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Ορισμός 1

Η ισότητα δύο σχέσεων ονομάζεται ποσοστό.

Με μια ευθέως αναλογική σχέση, λαμβάνεται μια αναλογία όταν η αλλαγή στην πρώτη και τη δεύτερη τιμή είναι η ίδια:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Ορισμός 2

Οι δύο ποσότητες ονομάζονται ευθέως ανάλογοεάν, κατά την αλλαγή (αύξηση ή μείωση) ενός από αυτά, η άλλη τιμή αλλάζει (αυξάνεται ή μειώνεται ανάλογα) κατά το ίδιο ποσό.

Παράδειγμα 3

Το αυτοκίνητο ταξίδεψε $180$ km σε $2$ ώρες. Βρείτε το χρόνο που χρειάζεται για να καλύψει $2$ φορές την απόσταση με την ίδια ταχύτητα.

Λύση.

Ο χρόνος είναι ευθέως ανάλογος της απόστασης:

$t=\frac(S)(v)$.

Πόσες φορές θα αυξηθεί η απόσταση, με σταθερή ταχύτητα, ο χρόνος θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Το αυτοκίνητο ταξίδεψε $180 $ km - σε χρόνο $2 $ ώρα

Το αυτοκίνητο ταξιδεύει $180 \cdot 2=360$ km - σε χρόνο $x$ ώρες

Όσο πιο μακριά ταξιδεύει το αυτοκίνητο, τόσο περισσότερο χρόνοθα χρειαστεί. Επομένως, η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων είναι ευθέως ανάλογη.

Ας κάνουμε μια αναλογία:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Απάντηση: Το αυτοκίνητο θα χρειαστεί $4$ ώρες.

Αντιστρόφως αναλογικότητα

Ορισμός 3

Λύση.

Ο χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογος της ταχύτητας:

$t=\frac(S)(v)$.

Πόσες φορές αυξάνεται η ταχύτητα, με την ίδια διαδρομή, ο χρόνος μειώνεται κατά το ίδιο ποσό:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Ας γράψουμε την κατάσταση του προβλήματος με τη μορφή πίνακα:

Το αυτοκίνητο ταξίδεψε $60 $ km - σε χρόνο $6 $ ώρες

Ένα αυτοκίνητο διανύει $120 $ km - σε χρόνο $x $ ώρες

Όσο πιο γρήγορο είναι το αυτοκίνητο, τόσο λιγότερος χρόνος θα χρειαστεί. Επομένως, η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων είναι αντιστρόφως ανάλογη.

Ας κάνουμε μια αναλογία.

Επειδή Η αναλογικότητα είναι αντίστροφη, στρέφουμε τη δεύτερη αναλογία αναλογικά:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Απάντηση: Το αυτοκίνητο θα χρειαστεί $3$ ώρες.

Σήμερα θα δούμε ποιες ποσότητες ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες, πώς φαίνεται το γράφημα της αντίστροφης αναλογικότητας και πώς όλα αυτά μπορούν να σας φανούν χρήσιμα όχι μόνο στα μαθήματα μαθηματικών, αλλά και έξω από τους τοίχους του σχολείου.

Τόσο διαφορετικές αναλογίες

Αναλογικότηταονομάστε δύο ποσότητες που εξαρτώνται αμοιβαία η μία από την άλλη.

Η εξάρτηση μπορεί να είναι άμεση και αντίστροφη. Επομένως, η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων περιγράφει την άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα.

Άμεση αναλογικότητα- αυτή είναι μια τέτοια σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, στην οποία μια αύξηση ή μείωση σε μία από αυτές οδηγεί σε αύξηση ή μείωση της άλλης. Εκείνοι. η στάση τους δεν αλλάζει.

Για παράδειγμα, όσο περισσότερη προσπάθεια καταβάλλετε για την προετοιμασία για τις εξετάσεις, τόσο υψηλότεροι θα είναι οι βαθμοί σας. Ή όσο περισσότερα πράγματα παίρνετε μαζί σας σε μια πεζοπορία, τόσο πιο δύσκολο είναι να μεταφέρετε το σακίδιό σας. Εκείνοι. το ποσό της προσπάθειας που δαπανάται για την προετοιμασία για τις εξετάσεις είναι ευθέως ανάλογο με τους βαθμούς που λαμβάνονται. Και ο αριθμός των πραγμάτων που συσκευάζονται σε ένα σακίδιο είναι ευθέως ανάλογος με το βάρος του.

Αντιστρόφως αναλογικότητα- αυτή είναι μια λειτουργική εξάρτηση στην οποία μια μείωση ή αύξηση κατά πολλές φορές μιας ανεξάρτητης τιμής (λέγεται όρισμα) προκαλεί μια αναλογική (δηλαδή, κατά το ίδιο ποσό) αύξηση ή μείωση σε μια εξαρτημένη τιμή (ονομάζεται συνάρτηση ).

Ας το εξηγήσουμε με ένα απλό παράδειγμα. Θέλετε να αγοράσετε μήλα στην αγορά. Τα μήλα στον πάγκο και το χρηματικό ποσό στο πορτοφόλι σας σχετίζονται αντιστρόφως. Εκείνοι. όσο περισσότερα μήλα αγοράζετε, τόσο λιγότερα χρήματα σας απομένουν.

Η συνάρτηση και η γραφική παράσταση της

Η συνάρτηση αντίστροφης αναλογικότητας μπορεί να περιγραφεί ως y = k/x. Στο οποίο Χ≠ 0 και κ≠ 0.

Αυτή η συνάρτηση έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός Χ = 0. ρε(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Το εύρος είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Δεν έχει μέγιστες ή ελάχιστες τιμές.
4. Είναι περίεργο και η γραφική παράσταση του είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.
5. Μη περιοδική.
6. Η γραφική παράσταση του δεν διασχίζει τους άξονες συντεταγμένων.
7. Δεν έχει μηδενικά.
8. Αν κ> 0 (δηλαδή, το όρισμα αυξάνεται), η συνάρτηση μειώνεται αναλογικά σε κάθε μεσοδιάστημά της. Αν κ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Καθώς το επιχείρημα αυξάνεται ( κ> 0) οι αρνητικές τιμές της συνάρτησης βρίσκονται στο διάστημα (-∞; 0) και οι θετικές τιμές στο διάστημα (0; +∞). Όταν το όρισμα μειώνεται ( κ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας ονομάζεται υπερβολή. Απεικονίζεται ως εξής:

Προβλήματα αντίστροφης αναλογίας

Για να γίνει πιο σαφές, ας δούμε μερικές εργασίες. Δεν είναι πολύ περίπλοκα και η λύση τους θα σας βοηθήσει να φανταστείτε τι είναι η αντίστροφη αναλογία και πώς αυτή η γνώση μπορεί να είναι χρήσιμη στην καθημερινή σας ζωή.

Εργασία αριθμός 1. Το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 60 km/h. Του πήρε 6 ώρες για να φτάσει στον προορισμό του. Πόσο καιρό θα του πάρει για να διανύσει την ίδια απόσταση αν κινηθεί με διπλάσια ταχύτητα;

Μπορούμε να ξεκινήσουμε γράφοντας έναν τύπο που περιγράφει τη σχέση χρόνου, απόστασης και ταχύτητας: t = S/V. Συμφωνώ, μας θυμίζει πολύ τη συνάρτηση της αντίστροφης αναλογικότητας. Και δείχνει ότι ο χρόνος που περνάει το αυτοκίνητο στο δρόμο και η ταχύτητα με την οποία κινείται είναι αντιστρόφως ανάλογες.

Για να το επαληθεύσουμε, ας βρούμε το V 2, το οποίο, κατά συνθήκη, είναι 2 φορές υψηλότερο: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Στη συνέχεια υπολογίζουμε την απόσταση χρησιμοποιώντας τον τύπο S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Τώρα δεν είναι δύσκολο να μάθουμε τον χρόνο t 2 που απαιτείται από εμάς σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος: t 2 = 360/120 = 3 ώρες.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο χρόνος ταξιδιού και η ταχύτητα είναι πράγματι αντιστρόφως ανάλογες: με ταχύτητα 2 φορές μεγαλύτερη από την αρχική, το αυτοκίνητο θα περάσει 2 φορές λιγότερο χρόνο στο δρόμο.

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα μπορεί επίσης να γραφτεί ως αναλογία. Γιατί δημιουργούμε ένα διάγραμμα σαν αυτό:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Τα βέλη δείχνουν μια αντίστροφη σχέση. Και προτείνουν επίσης ότι κατά την κατάρτιση της αναλογίας, η δεξιά πλευρά της εγγραφής πρέπει να αναποδογυριστεί: 60/120 \u003d x / 6. Πού παίρνουμε x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ώρες.

Εργασία αριθμός 2. Το συνεργείο απασχολεί 6 εργάτες που αντεπεξέρχονται σε μια δεδομένη ποσότητα εργασίας σε 4 ώρες. Εάν ο αριθμός των εργαζομένων μειωθεί στο μισό, πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να ολοκληρώσουν οι υπόλοιποι εργάτες την ίδια ποσότητα εργασίας;

Γράφουμε τις συνθήκες του προβλήματος με τη μορφή ενός οπτικού διαγράμματος:

↓ 6 εργάτες - 4 ώρες

↓ 3 εργάτες - x h

Ας το γράψουμε ως αναλογία: 6/3 = x/4. Και παίρνουμε x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ώρες. Εάν υπάρχουν 2 φορές λιγότεροι εργαζόμενοι, οι υπόλοιποι θα ξοδέψουν 2 φορές περισσότερο χρόνο για να ολοκληρώσουν όλες τις εργασίες.

Εργασία αριθμός 3. Δύο σωλήνες οδηγούν στην πισίνα. Μέσω ενός σωλήνα εισέρχεται νερό με ρυθμό 2 l/s και γεμίζει την πισίνα σε 45 λεπτά. Μέσω ενός άλλου σωλήνα, η πισίνα θα γεμίσει σε 75 λεπτά. Πόσο γρήγορα εισέρχεται το νερό στην πισίνα μέσω αυτού του σωλήνα;

Αρχικά, θα φέρουμε όλες τις ποσότητες που μας δίνονται ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος στις ίδιες μονάδες μέτρησης. Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε τον ρυθμό πλήρωσης της πισίνας σε λίτρα ανά λεπτό: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Εφόσον προκύπτει από την προϋπόθεση ότι η πισίνα γεμίζει πιο αργά μέσω του δεύτερου σωλήνα, σημαίνει ότι ο ρυθμός εισροής νερού είναι χαμηλότερος. Στην όψη της αντίστροφης αναλογίας. Ας εκφράσουμε την άγνωστη σε εμάς ταχύτητα ως x και ας συντάξουμε το ακόλουθο σχήμα:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Και τότε θα κάνουμε μια αναλογία: 120 / x \u003d 75/45, από όπου x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

Στο πρόβλημα, ο ρυθμός πλήρωσης της πισίνας εκφράζεται σε λίτρα ανά δευτερόλεπτο, ας φέρουμε την απάντησή μας στην ίδια μορφή: 72/60 = 1,2 l/s.

Εργασία αριθμός 4. Οι επαγγελματικές κάρτες τυπώνονται σε ένα μικρό ιδιωτικό τυπογραφείο. Ένας υπάλληλος του τυπογραφείου εργάζεται με ταχύτητα 42 επαγγελματικές κάρτες την ώρα και εργάζεται με πλήρη απασχόληση - 8 ώρες. Αν δούλευε πιο γρήγορα και τύπωνε 48 επαγγελματικές κάρτες την ώρα, πόσο νωρίτερα θα μπορούσε να πάει σπίτι;

Πηγαίνουμε με αποδεδειγμένο τρόπο και συντάσσουμε ένα σχήμα σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, δηλώνοντας την επιθυμητή τιμή ως x:

↓ 42 επαγγελματικές κάρτες/ώρα – 8 ώρες

↓ 48 επαγγελματικές κάρτες/ώρα – xh

Μπροστά μας υπάρχει μια αντιστρόφως ανάλογη σχέση: πόσες φορές περισσότερες επαγγελματικές κάρτες τυπώνει ένας υπάλληλος ενός τυπογραφείου ανά ώρα, τον ίδιο χρόνο που θα του πάρει για να ολοκληρώσει την ίδια δουλειά. Γνωρίζοντας αυτό, μπορούμε να ορίσουμε την αναλογία:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ώρες.

Έτσι, έχοντας ολοκληρώσει την εργασία σε 7 ώρες, ο υπάλληλος του τυπογραφείου μπορούσε να πάει σπίτι του μια ώρα νωρίτερα.

συμπέρασμα

Μας φαίνεται ότι αυτά τα καθήκοντα είναι αντίστροφη αναλογικότηταπραγματικά ακομπλεξάριστο. Ελπίζουμε ότι τώρα και εσείς τα θεωρείτε έτσι. Και το πιο σημαντικό, η γνώση της αντιστρόφως ανάλογης εξάρτησης των ποσοτήτων μπορεί πραγματικά να σας φανεί χρήσιμη περισσότερες από μία φορές.

Όχι μόνο σε μαθήματα μαθηματικών και εξετάσεις. Αλλά ακόμα και τότε, όταν πρόκειται να πάτε ένα ταξίδι, πηγαίνετε για ψώνια, αποφασίστε να κερδίσετε κάποια χρήματα στις διακοπές κ.λπ.

Πείτε μας στα σχόλια ποια παραδείγματα αντίστροφης και ευθείας αναλογικότητας παρατηρείτε γύρω σας. Ας είναι αυτό ένα παιχνίδι. Θα δείτε πόσο συναρπαστικό είναι. Μην ξεχάσετε να μοιραστείτε αυτό το άρθρο στα κοινωνικά δίκτυαγια να παίζουν και οι φίλοι και οι συμμαθητές σας.

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Παράδειγμα

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 κ.λπ.

Συντελεστής αναλογικότητας

Ο σταθερός λόγος των αναλογικών μεγεθών ονομάζεται συντελεστή αναλογικότητας. Ο συντελεστής αναλογικότητας δείχνει πόσες μονάδες μιας ποσότητας πέφτουν σε μια μονάδα μιας άλλης.

Άμεση αναλογικότητα

Άμεση αναλογικότητα- λειτουργική εξάρτηση, στην οποία κάποια ποσότητα εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα με τέτοιο τρόπο ώστε η αναλογία τους να παραμένει σταθερή. Με άλλα λόγια, αυτές οι μεταβλητές αλλάζουν αναλογικά, σε ίσα μερίδια, δηλαδή εάν το όρισμα έχει αλλάξει δύο φορές προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε η συνάρτηση αλλάζει επίσης δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.

Μαθηματικά, η ευθεία αναλογικότητα γράφεται ως τύπος:

φά(Χ) = έναΧ,ένα = ντοοnμικρόt

Αντιστρόφως αναλογικότητα

Αντίστροφη αναλογία- αυτή είναι μια λειτουργική εξάρτηση, στην οποία μια αύξηση της ανεξάρτητης τιμής (όρισμα) προκαλεί αναλογική μείωση της εξαρτημένης τιμής (συνάρτησης).

Μαθηματικά, η αντίστροφη αναλογικότητα γράφεται ως τύπος:

Ιδιότητες λειτουργίας:

Πηγές

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι η "Άμεση αναλογικότητα" σε άλλα λεξικά:

ευθεία αναλογικότητα- - [A.S. Goldberg. Αγγλικά Ρωσικά Ενεργειακό Λεξικό. 2006] Θέματα ενέργειας γενικά ΕΝ άμεση αναλογία… Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

ευθεία αναλογικότητα- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ευθείας αναλογικότητας vok. direkte Proportionalitat, f rus. ευθεία αναλογικότητα, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (από το λατ. αναλογικός αναλογικός, αναλογικός). Αναλογικότητα. Λεξικό ξένες λέξειςπεριλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Chudinov A.N., 1910. ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ otlat. αναλογικός, αναλογικός. Αναλογικότητα. Επεξήγηση 25000…… Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας

PROPTIONALITY, αναλογικότητα, πληθ. όχι θηλυκό (Βιβλίο). 1. απόσπαση της προσοχής ουσιαστικό σε αναλογικό. Αναλογικότητα εξαρτημάτων. Αναλογικότητα σώματος. 2. Μια τέτοια σχέση μεταξύ των ποσοτήτων όταν είναι ανάλογες (βλ. αναλογική ... ΛεξικόΟ Ουσάκοφ

Δύο αμοιβαία εξαρτώμενα μεγέθη ονομάζονται αναλογικά εάν η αναλογία των τιμών τους παραμένει αμετάβλητη .. Περιεχόμενα 1 Παράδειγμα 2 Συντελεστής αναλογικότητας ... Wikipedia

ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ, και, συζύγους. 1. βλέπε αναλογικό. 2. Στα μαθηματικά: μια τέτοια σχέση μεταξύ των ποσοτήτων, όταν μια αύξηση σε ένα από αυτά συνεπάγεται μεταβολή του άλλου κατά το ίδιο ποσό. Άμεση σ. (όταν κόβεται με αύξηση σε μία τιμή ... ... Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov

ΚΑΙ; και. 1. προς Αναλογικό (1 ψηφίο). αναλογικότητα. Π. μέρη. Π. σωματική διάπλαση. Π. εκπροσώπηση στη βουλή. 2. Μαθηματικά. Εξάρτηση μεταξύ αναλογικά μεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Συντελεστής αναλογικότητας. Απευθείας σ. (Στην οποία με ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

§ 129. Προκαταρκτικές διευκρινίσεις.

Ο άνθρωπος ασχολείται συνεχώς με μεγάλη ποικιλία ποσοτήτων. Ο υπάλληλος και ο εργάτης προσπαθούν να φτάσουν στο σέρβις, να δουλέψουν μια συγκεκριμένη ώρα, ο πεζός βιάζεται να φτάσει σε ένα συγκεκριμένο μέρος από τη συντομότερη διαδρομή, η πηγή θέρμανσης ατμού ανησυχεί ότι η θερμοκρασία στο λέβητα ανεβαίνει αργά, ο διευθυντής της επιχείρησης κάνει σχέδια μείωσης του κόστους παραγωγής κ.λπ.

Θα μπορούσε να αναφερθεί οποιοσδήποτε αριθμός τέτοιων παραδειγμάτων. Χρόνος, απόσταση, θερμοκρασία, κόστος - όλα αυτά είναι διάφορες ποσότητες. Στο πρώτο και το δεύτερο μέρος αυτού του βιβλίου, γνωρίσαμε μερικές ιδιαίτερα κοινές ποσότητες: εμβαδόν, όγκο, βάρος. Συναντάμε πολλές ποσότητες στη μελέτη της φυσικής και άλλων επιστημών.

Φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα τρένο. Από καιρό σε καιρό κοιτάτε το ρολόι σας και παρατηρείτε πόσο καιρό είστε ήδη στο δρόμο. Λέτε, για παράδειγμα, ότι έχουν περάσει 2, 3, 5, 10, 15 ώρες κ.λπ. από την αναχώρηση του τρένου σας. Αυτοί οι αριθμοί δείχνουν διάφορες χρονικές περιόδους. ονομάζονται τιμές αυτής της ποσότητας (χρόνος). Ή κοιτάζετε έξω από το παράθυρο και ακολουθείτε τους στύλους του δρόμου για την απόσταση που διανύει το τρένο σας. Οι αριθμοί 110, 111, 112, 113, 114 χλμ. αναβοσβήνουν μπροστά σας. Αυτοί οι αριθμοί δείχνουν τις διάφορες αποστάσεις που έχει διανύσει το τρένο από το σημείο αναχώρησης. Ονομάζονται επίσης τιμές, αυτή τη φορά με διαφορετική τιμή (διαδρομή ή απόσταση μεταξύ δύο σημείων). Έτσι, μια τιμή, για παράδειγμα, χρόνος, απόσταση, θερμοκρασία, μπορεί να λάβει οποιαδήποτε διαφορετικές αξίες.

Δώστε προσοχή στο γεγονός ότι ένα άτομο σχεδόν ποτέ δεν θεωρεί μόνο μια αξία, αλλά πάντα τη συνδέει με κάποιες άλλες αξίες. Έχει να αντιμετωπίσει δύο, τρία και ένας μεγάλος αριθμόςποσότητες. Φανταστείτε ότι πρέπει να φτάσετε στο σχολείο μέχρι τις 9 η ώρα. Κοιτάς το ρολόι σου και βλέπεις ότι έχεις 20 λεπτά. Μετά αποφασίζεις γρήγορα αν πρέπει να πάρεις το τραμ ή θα έχεις χρόνο να περπατήσεις μέχρι το σχολείο. Αφού σκεφτείς, αποφασίζεις να περπατήσεις. Σημειώστε ότι τη στιγμή που σκεφτόσασταν, λύνατε κάποιο πρόβλημα. Αυτή η εργασία έχει γίνει απλή και οικεία, καθώς λύνετε τέτοια προβλήματα κάθε μέρα. Σε αυτό, συγκρίνατε γρήγορα πολλές τιμές. Ήσασταν εσείς που κοιτάξατε το ρολόι, που σημαίνει ότι λάβατε υπόψη την ώρα, μετά φανταζόσασταν νοερά την απόσταση από το σπίτι σας στο σχολείο. τελικά, συγκρίνατε δύο ποσότητες: την ταχύτητα του βήματος σας και την ταχύτητα του τραμ, και συμπέρανατε ότι για Δοσμένος χρόνος(20 λεπτά) Θα έχετε χρόνο να περπατήσετε. Από αυτό ένα απλό παράδειγμαβλέπετε ότι στην πρακτική μας κάποιες ποσότητες είναι αλληλένδετες, δηλαδή εξαρτώνται η μία από την άλλη

Στο κεφάλαιο δώδεκα, αναφέρθηκε η αναλογία ομοιογενών ποσοτήτων. Για παράδειγμα, εάν ένα τμήμα είναι 12 m και το άλλο 4 m, τότε η αναλογία αυτών των τμημάτων θα είναι 12:4.

Είπαμε ότι είναι η αναλογία δύο ομοιογενών μεγεθών. Με άλλα λόγια, είναι η αναλογία δύο αριθμών ένα όνομα.

Τώρα που εξοικειωθήκαμε περισσότερο με τις ποσότητες και εισαγάγαμε την έννοια της τιμής μιας ποσότητας, μπορούμε να δώσουμε τον ορισμό μιας σχέσης με έναν νέο τρόπο. Πράγματι, όταν εξετάσαμε δύο τμήματα 12 m και 4 m, μιλούσαμε για μία τιμή - μήκος και 12 m και 4 m - αυτά ήταν μόνο δύο διαφορετικές έννοιεςαυτή την τιμή.

Επομένως, στο μέλλον, όταν αρχίσουμε να μιλάμε για μια αναλογία, θα εξετάζουμε δύο τιμές μιας από ορισμένες ποσότητες και η αναλογία μιας τιμής μιας ποσότητας προς μια άλλη τιμή της ίδιας ποσότητας θα ονομάζεται πηλίκο διαίρεσης η πρώτη τιμή από τη δεύτερη.

§ 130. Οι ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες.

Εξετάστε ένα πρόβλημα του οποίου η κατάσταση περιλαμβάνει δύο ποσότητες: απόσταση και χρόνο.

Εργασία 1.Ένα σώμα που κινείται σε ευθεία γραμμή και περνά ομοιόμορφα 12 εκ. σε κάθε δευτερόλεπτο Προσδιορίστε τη διαδρομή που διανύει το σώμα σε 2, 3, 4, ..., 10 δευτερόλεπτα.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τον οποίο θα ήταν δυνατή η παρακολούθηση της αλλαγής σε χρόνο και απόσταση.

Ο πίνακας μας δίνει την ευκαιρία να συγκρίνουμε αυτές τις δύο σειρές τιμών. Βλέπουμε από αυτό ότι όταν οι τιμές της πρώτης ποσότητας (χρόνος) αυξάνονται σταδιακά κατά 2, 3, ..., 10 φορές, τότε οι τιμές της δεύτερης ποσότητας (απόσταση) αυξάνονται επίσης κατά 2, 3, ..., 10 φορές. Έτσι, όταν οι τιμές μιας ποσότητας αυξάνονται πολλές φορές, οι τιμές μιας άλλης ποσότητας αυξάνονται κατά το ίδιο ποσό και όταν οι τιμές μιας ποσότητας μειώνονται πολλές φορές, οι τιμές της άλλης ποσότητας μειώνονται κατά την ίδια ποσότητα.

Σκεφτείτε τώρα ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει δύο τέτοιες ποσότητες: την ποσότητα της ύλης και το κόστος της.

Εργασία 2. 15 m ύφασμα κοστίζει 120 ρούβλια. Υπολογίστε το κόστος αυτού του υφάσματος για πολλές άλλες ποσότητες μετρητών που αναφέρονται στον πίνακα.

Από αυτόν τον πίνακα, μπορούμε να δούμε πώς αυξάνεται σταδιακά η αξία ενός εμπορεύματος, ανάλογα με την αύξηση της ποσότητας του. Παρά το γεγονός ότι εμφανίζονται εντελώς διαφορετικές ποσότητες σε αυτό το πρόβλημα (στο πρώτο πρόβλημα - χρόνος και απόσταση, και εδώ - η ποσότητα των αγαθών και το κόστος του), ωστόσο, μπορεί να βρεθεί μεγάλη ομοιότητα στη συμπεριφορά αυτών των ποσοτήτων.

Πράγματι, στην επάνω γραμμή του πίνακα υπάρχουν αριθμοί που υποδεικνύουν τον αριθμό των μέτρων υφάσματος, κάτω από κάθε ένα από αυτά αναγράφεται ένας αριθμός που εκφράζει το κόστος της αντίστοιχης ποσότητας αγαθών. Ακόμη και μια πρόχειρη ματιά σε αυτόν τον πίνακα δείχνει ότι οι αριθμοί τόσο στην επάνω όσο και στην κάτω σειρά αυξάνονται. μια πιο προσεκτική εξέταση του πίνακα και μια σύγκριση μεμονωμένων στηλών αποκαλύπτει ότι σε όλες τις περιπτώσεις οι τιμές της δεύτερης ποσότητας αυξάνονται όσο και οι τιμές της πρώτης αύξησης, δηλαδή εάν η τιμή της πρώτης ποσότητας έχει αυξηθεί, ας πούμε, 10 φορές, τότε η τιμή της δεύτερης τιμής αυξήθηκε επίσης 10 φορές.

Αν κοιτάξουμε τον πίνακα από δεξιά προς τα αριστερά, θα διαπιστώσουμε ότι οι αναγραφόμενες τιμές των ποσοτήτων θα μειωθούν σε τον ίδιο αριθμόμια φορά. Υπό αυτή την έννοια, υπάρχει μια άνευ όρων ομοιότητα μεταξύ της πρώτης εργασίας και της δεύτερης.

Τα ζεύγη των ποσοτήτων που συναντήσαμε στο πρώτο και το δεύτερο πρόβλημα ονομάζονται ευθέως ανάλογο.

Έτσι, εάν δύο ποσότητες συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε με αύξηση (μείωση) της αξίας του ενός από αυτά πολλές φορές, η αξία του άλλου αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό, τότε τέτοιες ποσότητες ονομάζονται ευθέως ανάλογες.

Λένε επίσης για τέτοιες ποσότητες ότι διασυνδέονται με μια ευθέως ανάλογη εξάρτηση.

Στη φύση και στη ζωή γύρω μας, υπάρχουν πολλές τέτοιες ποσότητες. Να μερικά παραδείγματα:

1. χρόνοςεργασία (μία μέρα, διήμερο, τριήμερο κ.λπ.) και κέρδηλαμβάνονταν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου σε μεροκάματα.

2. Ενταση ΗΧΟΥοποιοδήποτε αντικείμενο κατασκευασμένο από ομοιογενές υλικό, και βάροςαυτό το αντικείμενο.

§ 131. Η ιδιότητα των ευθέως αναλογικών μεγεθών.

Ας πάρουμε ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει τις ακόλουθες δύο ποσότητες: ώρα εργασίαςκαι τα κέρδη. Εάν τα ημερήσια κέρδη είναι 20 ρούβλια, τότε τα κέρδη για 2 ημέρες θα είναι 40 ρούβλια κ.λπ. Είναι πιο βολικό να συντάξετε έναν πίνακα στον οποίο ορισμένα κέρδη θα αντιστοιχούν σε έναν ορισμένο αριθμό ημερών.

Κοιτάζοντας αυτόν τον πίνακα, βλέπουμε ότι και οι δύο ποσότητες έχουν λάβει 10 διαφορετικές τιμές. Κάθε τιμή της πρώτης τιμής αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή της δεύτερης τιμής, για παράδειγμα, 40 ρούβλια αντιστοιχούν σε 2 ημέρες. 5 ημέρες αντιστοιχούν σε 100 ρούβλια. Στον πίνακα, αυτοί οι αριθμοί γράφονται ο ένας κάτω από τον άλλο.

Γνωρίζουμε ήδη ότι αν δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες, τότε καθεμία από αυτές, στη διαδικασία της μεταβολής της, αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό με την αύξηση της άλλης. Από αυτό προκύπτει αμέσως: αν πάρουμε την αναλογία οποιωνδήποτε δύο τιμών της πρώτης ποσότητας, τότε θα είναι ίση με την αναλογία των δύο αντίστοιχων τιμών της δεύτερης ποσότητας. Πράγματι:

Γιατί συμβαίνει αυτό? Επειδή όμως αυτές οι τιμές είναι ευθέως ανάλογες, δηλαδή όταν μία από αυτές (χρόνος) αυξήθηκε κατά 3 φορές, τότε η άλλη (κέρδη) αυξήθηκε κατά 3 φορές.

Καταλήξαμε λοιπόν στο εξής συμπέρασμα: αν πάρουμε οποιεσδήποτε δύο τιμές του πρώτου μεγέθους και τις διαιρέσουμε τη μία με την άλλη και στη συνέχεια διαιρέσουμε τη μία με την άλλη τις τιμές του δεύτερου μεγέθους που αντιστοιχούν σε αυτές, τότε σε και οι δύο περιπτώσεις θα ληφθεί ένας και ο ίδιος αριθμός, δηλαδή η ίδια σχέση. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο σχέσεις που γράψαμε παραπάνω μπορούν να συνδεθούν με πρόσημο ίσου, δηλ.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αν παίρναμε όχι αυτές τις σχέσεις, αλλά άλλες, και όχι με αυτή τη σειρά, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, θα αποκτούσαμε επίσης ισότητα σχέσεων. Πράγματι, θα εξετάσουμε τις τιμές των ποσοτήτων μας από αριστερά προς τα δεξιά και θα πάρουμε την τρίτη και την ένατη τιμή:

60:180 = 1 / 3 .

Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

Αυτό συνεπάγεται το ακόλουθο συμπέρασμα: εάν δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες, τότε η αναλογία δύο αυθαίρετων τιμών της πρώτης ποσότητας είναι ίση με την αναλογία των δύο αντίστοιχων τιμών της δεύτερης ποσότητας.

§ 132. Τύπος ευθείας αναλογικότητας.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με το κόστος διαφόρων ποσοτήτων γλυκών, αν το 1 κιλό από αυτά κοστίζει 10,4 ρούβλια.

Τώρα ας το κάνουμε με αυτόν τον τρόπο. Ας πάρουμε οποιοδήποτε αριθμό της δεύτερης σειράς και τον διαιρούμε με τον αντίστοιχο αριθμό της πρώτης σειράς. Για παράδειγμα:

Βλέπετε ότι στο πηλίκο προκύπτει ο ίδιος αριθμός όλη την ώρα. Επομένως, για ένα δεδομένο ζεύγος ευθέως αναλογικών μεγεθών, το πηλίκο της διαίρεσης οποιασδήποτε τιμής μιας ποσότητας με την αντίστοιχη τιμή μιας άλλης ποσότητας είναι σταθερός αριθμός (δηλαδή δεν μεταβάλλεται). Στο παράδειγμά μας, αυτό το πηλίκο είναι 10,4. Αυτός ο σταθερός αριθμός ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας. Σε αυτή την περίπτωση, εκφράζει την τιμή μιας μονάδας μέτρησης, δηλαδή ενός κιλού αγαθού.

Πώς να βρείτε ή να υπολογίσετε τον παράγοντα αναλογικότητας; Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρετε οποιαδήποτε τιμή μιας ποσότητας και να τη διαιρέσετε με την αντίστοιχη τιμή μιας άλλης.

Ας υποδηλώσουμε αυτή την αυθαίρετη τιμή μιας ποσότητας με το γράμμα στο , και την αντίστοιχη τιμή μιας άλλης ποσότητας - το γράμμα Χ , τότε ο συντελεστής αναλογικότητας (τον συμβολίζουμε ΠΡΟΣ ΤΗΝ) βρείτε με διαίρεση:

Σε αυτή την ισότητα στο - διαιρετέο Χ - διαχωριστικό και ΠΡΟΣ ΤΗΝ- πηλίκο, και εφόσον, με την ιδιότητα της διαίρεσης, το μέρισμα ισούται με το διαιρέτη πολλαπλασιαζόμενο με το πηλίκο, μπορούμε να γράψουμε:

y=κ Χ

Η ισότητα που προκύπτει ονομάζεται τύπος ευθείας αναλογικότητας.Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορούμε να υπολογίσουμε οποιονδήποτε αριθμό τιμών ενός από τα άμεσα αναλογικά μεγέθη, εάν γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές της άλλης ποσότητας και τον συντελεστή αναλογικότητας.

Παράδειγμα.Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι το βάρος Rοποιουδήποτε σώματος είναι ίσο με το ειδικό του βάρος ρε πολλαπλασιαζόμενο με τον όγκο αυτού του σώματος V, δηλ. R = ρε V.

Πάρτε πέντε σιδερένια πλινθώματα διαφόρων μεγεθών. Γνωρίζοντας το ειδικό βάρος του σιδήρου (7.8), μπορούμε να υπολογίσουμε τα βάρη αυτών των τεμαχίων χρησιμοποιώντας τον τύπο:

R = 7,8 V.

Συγκρίνοντας αυτόν τον τύπο με τον τύπο στο = ΠΡΟΣ ΤΗΝ Χ , το βλέπουμε y= R, x = V, και ο συντελεστής αναλογικότητας ΠΡΟΣ ΤΗΝ= 7,8. Ο τύπος είναι ο ίδιος, μόνο τα γράμματα είναι διαφορετικά.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, ας φτιάξουμε έναν πίνακα: ας είναι ο όγκος του 1ου κενού 8 κυβικά μέτρα. cm, τότε το βάρος του είναι 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Ο όγκος του 2ου τυφλού είναι 27 κυβικά μέτρα. εκ. Το βάρος του είναι 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Ο πίνακας θα μοιάζει με αυτό:

Υπολογίστε μόνοι σας τους αριθμούς που λείπουν σε αυτόν τον πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο R= ρε V.

§ 133. Άλλοι τρόποι επίλυσης προβλημάτων με ευθέως ανάλογα μεγέθη.

Στην προηγούμενη παράγραφο λύσαμε το πρόβλημα, η συνθήκη του οποίου περιελάμβανε ευθέως ανάλογες ποσότητες. Για το σκοπό αυτό, προηγουμένως αντλήσαμε τον τύπο της άμεσης αναλογικότητας και στη συνέχεια εφαρμόσαμε αυτόν τον τύπο. Τώρα θα δείξουμε δύο άλλους τρόπους επίλυσης παρόμοιων προβλημάτων.

Ας κάνουμε ένα πρόβλημα σύμφωνα με τα αριθμητικά δεδομένα που δίνονται στον πίνακα της προηγούμενης παραγράφου.

Εργο.Κενό με όγκο 8 κυβικά μέτρα. εκ. ζυγίζει 62,4 γρ. Πόσο θα ζυγίζει ένα τεμάχιο με όγκο 64 κυβικά μέτρα; εκ?

Λύση.Το βάρος του σιδήρου, όπως γνωρίζετε, είναι ανάλογο με τον όγκο του. Αν 8 κ.β. cm ζυγίζει 62,4 g, μετά 1 cu. cm θα ζυγίζει 8 φορές λιγότερο, δηλ.

62,4: 8 = 7,8 (g).

Ένα κενό με όγκο 64 κυβικά μέτρα. cm θα ζυγίζει 64 φορές περισσότερο από ένα τεμάχιο 1 cu. cm, δηλ.

7,8 64 = 499,2 (g).

Λύσαμε το πρόβλημά μας μειώνοντας στην ενότητα. Η σημασία αυτού του ονόματος δικαιολογείται από το γεγονός ότι για να το λύσουμε έπρεπε να βρούμε το βάρος μιας μονάδας όγκου στην πρώτη ερώτηση.

2. Μέθοδος αναλογίας.Ας λύσουμε το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αναλογίας.

Δεδομένου ότι το βάρος του σιδήρου και ο όγκος του είναι άμεσα ανάλογες ποσότητες, η αναλογία δύο τιμών μιας ποσότητας (όγκος) είναι ίση με την αναλογία δύο αντίστοιχων τιμών μιας άλλης ποσότητας (βάρος), δηλ.

(γράμμα Rσυμβολίσαμε το άγνωστο βάρος του κενού). Από εδώ:

(ΣΟΛ).

Το πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο των αναλογιών. Αυτό σημαίνει ότι για την επίλυσή του, σχηματίστηκε μια αναλογία από τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στη συνθήκη.

§ 134. Οι ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες.

Σκεφτείτε το εξής πρόβλημα: «Πέντε κτίστες μπορούν να ρίξουν τους τοίχους από τούβλα ενός σπιτιού σε 168 ημέρες. Προσδιορίστε σε πόσες ημέρες 10, 8, 6 κ.λπ. τέκτονες θα μπορούσαν να κάνουν την ίδια δουλειά.

Αν 5 κτίστες έριχναν τους τοίχους ενός σπιτιού σε 168 ημέρες, τότε (με την ίδια παραγωγικότητα εργασίας) 10 κτίστες θα μπορούσαν να το κάνουν δύο φορές πιο γρήγορα, αφού κατά μέσο όρο 10 άτομα κάνουν διπλάσια δουλειά από 5 άτομα.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα σύμφωνα με τον οποίο θα ήταν δυνατή η παρακολούθηση της αλλαγής στον αριθμό των ωρών και των ωρών εργασίας.

Για παράδειγμα, για να μάθετε πόσες ημέρες χρειάζονται 6 εργαζόμενοι, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε πόσες ημέρες χρειάζονται ένας εργαζόμενος (168 5 = 840) και μετά έξι εργάτες (840: 6 = 140). Κοιτάζοντας αυτόν τον πίνακα, βλέπουμε ότι και οι δύο ποσότητες έχουν λάβει έξι διαφορετικές τιμές. Κάθε τιμή του πρώτου μεγέθους αντιστοιχεί πιο σίγουρα. η τιμή της δεύτερης τιμής, για παράδειγμα, το 10 αντιστοιχεί στο 84, ο αριθμός 8 - ο αριθμός 105 κ.λπ.

Αν εξετάσουμε τις τιμές και των δύο τιμών από αριστερά προς τα δεξιά, θα δούμε ότι οι τιμές της ανώτερης τιμής αυξάνονται και οι τιμές της χαμηλότερης τιμής μειώνονται. Η αύξηση και η μείωση υπόκειται στον ακόλουθο νόμο: οι τιμές του αριθμού των εργαζομένων αυξάνονται όσες φορές μειώνονται οι τιμές του χρόνου εργασίας που δαπανάται. Ακόμη πιο απλά, αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί ως εξής: όσο περισσότεροι εργαζόμενοι απασχολούνται σε οποιαδήποτε επιχείρηση, τόσο λιγότερος χρόνος χρειάζονται για να κάνουν μια συγκεκριμένη δουλειά. Οι δύο ποσότητες που συναντήσαμε σε αυτό το πρόβλημα ονομάζονται Αντιστρόφως ανάλογη.

Έτσι, εάν δύο ποσότητες συνδέονται μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε με αύξηση (μείωση) της τιμής ενός από αυτά πολλές φορές, η αξία του άλλου μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό, τότε τέτοιες ποσότητες ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες.

Υπάρχουν πολλά τέτοια πράγματα στη ζωή. Ας δώσουμε παραδείγματα.

1. Αν για 150 ρούβλια. πρέπει να αγοράσετε πολλά κιλά γλυκών, τότε ο αριθμός των γλυκών θα εξαρτηθεί από την τιμή ενός κιλού. Όσο υψηλότερη είναι η τιμή, τόσο λιγότερα αγαθά μπορούν να αγοραστούν με αυτά τα χρήματα. αυτό φαίνεται από τον πίνακα:

Με την αύξηση της τιμής των γλυκών αρκετές φορές, ο αριθμός των κιλών γλυκών που μπορούν να αγοραστούν για 150 ρούβλια μειώνεται κατά το ίδιο ποσό. Στην περίπτωση αυτή, οι δύο ποσότητες (το βάρος του προϊόντος και η τιμή του) είναι αντιστρόφως ανάλογες.

2. Αν η απόσταση μεταξύ δύο πόλεων είναι 1.200 km, τότε μπορεί να καλυφθεί σε διαφορετικούς χρόνους ανάλογα με την ταχύτητα κίνησης. Υπάρχει διαφορετικοί τρόποιμεταφορές: με τα πόδια, με άλογο, με ποδήλατο, με πλοίο, με αυτοκίνητο, με τρένο, με αεροπλάνο. Όσο χαμηλότερη είναι η ταχύτητα, τόσο περισσότερος χρόνος χρειάζεται για να κινηθεί. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα:

Με αύξηση της ταχύτητας πολλές φορές, ο χρόνος κίνησης μειώνεται κατά το ίδιο ποσό. Επομένως, υπό δεδομένες συνθήκες, η ταχύτητα και ο χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα.

§ 135. Η ιδιότητα των αντιστρόφως ανάλογων μεγεθών.

Ας πάρουμε το δεύτερο παράδειγμα, το οποίο εξετάσαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Εκεί είχαμε να κάνουμε με δύο ποσότητες - την ταχύτητα κίνησης και τον χρόνο. Αν λάβουμε υπόψη τις τιμές αυτών των ποσοτήτων από αριστερά προς τα δεξιά στον πίνακα, θα δούμε ότι οι τιμές της πρώτης ποσότητας (ταχύτητα) αυξάνονται και οι τιμές της δεύτερης (χρόνος) μειώνονται, και Η ταχύτητα αυξάνεται κατά τον ίδιο παράγοντα όσο μειώνεται ο χρόνος.Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι αν γράψετε την αναλογία ορισμένων τιμών μιας ποσότητας, τότε δεν θα είναι ίση με την αναλογία των αντίστοιχων τιμών μιας άλλης ποσότητας. Πράγματι, αν πάρουμε την αναλογία της τέταρτης τιμής της ανώτερης τιμής προς την έβδομη τιμή (40: 80), τότε δεν θα είναι ίση με την αναλογία της τέταρτης και της έβδομης τιμής της χαμηλότερης τιμής (30: 15 ). Μπορεί να γραφτεί ως εξής:

40:80 δεν ισούται με 30:15 ή 40:80 =/= 30:15.

Αν όμως αντί για έναν από αυτούς τους λόγους πάρουμε το αντίθετο, τότε έχουμε ισότητα, δηλαδή, από αυτούς τους λόγους θα είναι δυνατό να κάνουμε μια αναλογία. Για παράδειγμα:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Με βάση τα προαναφερθέντα, μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα: εάν δύο ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες, τότε η αναλογία δύο αυθαίρετων τιμών μιας ποσότητας είναι ίση με την αντίστροφη αναλογία των αντίστοιχων τιμών της άλλης ποσότητας.

§ 136. Τύπος αντίστροφης αναλογικότητας.

Σκεφτείτε το πρόβλημα: «Υπάρχουν 6 κομμάτια μεταξωτού υφάσματος διαφορετικών μεγεθών και διαφορετικών ποιοτήτων. Όλα τα κομμάτια έχουν την ίδια τιμή. Σε ένα κομμάτι ύφασμα 100 m σε τιμή 20 ρούβλια. ανά μέτρο. Πόσα μέτρα υπάρχουν σε καθένα από τα άλλα πέντε κομμάτια, αν ένα μέτρο υφάσματος σε αυτά τα κομμάτια κοστίζει 25, 40, 50, 80, 100 ρούβλια, αντίστοιχα; Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα:

Πρέπει να συμπληρώσουμε τα κενά κελιά στην επάνω σειρά αυτού του πίνακα. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να προσδιορίσουμε πόσα μέτρα υπάρχουν στο δεύτερο κομμάτι. Αυτό μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι γνωστό από την κατάσταση του προβλήματος ότι το κόστος όλων των τεμαχίων είναι το ίδιο. Το κόστος του πρώτου κομματιού είναι εύκολο να προσδιοριστεί: έχει 100 m και κάθε μέτρο κοστίζει 20 ρούβλια, πράγμα που σημαίνει ότι στο πρώτο κομμάτι μετάξι για 2.000 ρούβλια. Δεδομένου ότι το δεύτερο κομμάτι μετάξι περιέχει τον ίδιο αριθμό ρούβλια, τότε, διαιρώντας 2.000 ρούβλια. στην τιμή του ενός μέτρου, δηλαδή στο 25, βρίσκουμε την αξία του δεύτερου κομματιού: 2.000: 25 = 80 (m). Με τον ίδιο τρόπο, θα βρούμε το μέγεθος όλων των άλλων κομματιών. Ο πίνακας θα μοιάζει με:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι υπάρχει αντίστροφη σχέση μεταξύ του αριθμού των μετρητών και της τιμής.

Εάν κάνετε μόνοι σας τους απαραίτητους υπολογισμούς, θα παρατηρήσετε ότι κάθε φορά που πρέπει να διαιρείτε τον αριθμό 2.000 με την τιμή του 1 m. Αντίθετα, εάν τώρα αρχίσετε να πολλαπλασιάσετε το μέγεθος ενός κομματιού σε μέτρα με την τιμή του 1 m, θα παίρνει πάντα τον αριθμό 2.000. και ήταν αναμενόμενο, αφού το κάθε κομμάτι κοστίζει 2.000 ρούβλια.

Από αυτό μπορούμε να συναγάγουμε το εξής συμπέρασμα: για ένα δεδομένο ζεύγος αντιστρόφως ανάλογων μεγεθών, το γινόμενο οποιασδήποτε τιμής μιας ποσότητας με την αντίστοιχη τιμή μιας άλλης ποσότητας είναι ένας σταθερός αριθμός (δηλαδή, δεν αλλάζει).

Στο πρόβλημά μας, αυτό το γινόμενο είναι ίσο με 2.000. Ελέγξτε ότι στο προηγούμενο πρόβλημα, όπου ειπώθηκε για την ταχύτητα κίνησης και τον χρόνο που απαιτείται για να μετακινηθείτε από τη μια πόλη στην άλλη, υπήρχε επίσης ένας σταθερός αριθμός για αυτό το πρόβλημα (1.200 ).

Λαμβάνοντας υπόψη όλα όσα έχουν ειπωθεί, είναι εύκολο να εξαχθεί ο τύπος της αντίστροφης αναλογικότητας. Δηλώστε κάποια τιμή μιας ποσότητας με το γράμμα Χ , και την αντίστοιχη τιμή μιας άλλης τιμής - το γράμμα στο . Στη συνέχεια, με βάση την παραπάνω εργασία Χ επί στο πρέπει να είναι ίση με κάποια σταθερή τιμή, την οποία συμβολίζουμε με το γράμμα ΠΡΟΣ ΤΗΝ, δηλ.

x y = ΠΡΟΣ ΤΗΝ.

Σε αυτή την ισότητα Χ - πολλαπλασιαστής, στο - πολλαπλασιαστής και κ- δουλειά. Με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, ο πολλαπλασιαστής είναι ίσο με το γινόμενοδιαιρούμενο με τον πολλαπλασιαστή. Που σημαίνει,

Αυτός είναι ο τύπος της αντίστροφης αναλογικότητας. Χρησιμοποιώντας το, μπορούμε να υπολογίσουμε οποιονδήποτε αριθμό τιμών ενός από τα αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη, γνωρίζοντας τις τιμές του άλλου και έναν σταθερό αριθμό ΠΡΟΣ ΤΗΝ.

Σκεφτείτε ένα άλλο πρόβλημα: «Ο συγγραφέας ενός δοκιμίου υπολόγισε ότι αν το βιβλίο του ήταν στη συνηθισμένη μορφή, τότε θα είχε 96 σελίδες, αλλά αν ήταν μορφή τσέπης, τότε θα είχε 300 σελίδες. Προσπάθησε διαφορετικές παραλλαγές, ξεκίνησε με 96 σελίδες και στη συνέχεια πήρε 2.500 γράμματα ανά σελίδα. Στη συνέχεια πήρε τον αριθμό των σελίδων που υποδεικνύεται στον παρακάτω πίνακα και υπολόγισε ξανά πόσα γράμματα θα υπήρχαν στη σελίδα.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε πόσα γράμματα θα υπάρχουν σε μια σελίδα αν το βιβλίο έχει 100 σελίδες.

Υπάρχουν 240.000 γράμματα σε όλο το βιβλίο, αφού 2.500 96 = 240.000.

Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, χρησιμοποιούμε τον τύπο της αντίστροφης αναλογικότητας ( στο - αριθμός γραμμάτων ανά σελίδα Χ - αριθμός σελίδων):

Στο παράδειγμά μας ΠΡΟΣ ΤΗΝ= 240.000, επομένως,

Άρα, υπάρχουν 2.400 γράμματα σε μια σελίδα.

Ομοίως, μαθαίνουμε ότι αν το βιβλίο έχει 120 σελίδες, τότε ο αριθμός των γραμμάτων στη σελίδα θα είναι:

Το τραπέζι μας θα μοιάζει με αυτό:

Συμπληρώστε μόνοι σας τα υπόλοιπα κελιά.

§ 137. Άλλοι τρόποι επίλυσης προβλημάτων με αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη.

Στην προηγούμενη παράγραφο λύσαμε προβλήματα που περιελάμβαναν αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη. Προηγουμένως αντλήσαμε τον τύπο της αντίστροφης αναλογικότητας και στη συνέχεια εφαρμόσαμε αυτόν τον τύπο. Τώρα θα δείξουμε δύο άλλους τρόπους επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.

1. Μέθοδος αναγωγής σε ενότητα.

Εργο. 5 τορναδόροι μπορούν να κάνουν κάποια δουλειά σε 16 ημέρες. Σε πόσες μέρες μπορούν να ολοκληρώσουν αυτό το έργο 8 τορναδόροι;

Λύση.Υπάρχει αντίστροφη σχέση μεταξύ του αριθμού των στροφέων και του χρόνου εργασίας. Εάν 5 τορναδόροι κάνουν τη δουλειά σε 16 ημέρες, τότε ένα άτομο θα χρειαστεί 5 φορές περισσότερο χρόνο για αυτό, δηλ.

5 τορναδόροι κάνουν τη δουλειά σε 16 ημέρες,

1 τορναδόρος θα το ολοκληρώσει σε 16 5 = 80 ημέρες.

Το πρόβλημα ρωτά, σε πόσες μέρες θα ολοκληρώσουν την εργασία 8 τορναδόροι. Προφανώς, θα κάνουν τη δουλειά 8 φορές πιο γρήγορα από 1 τορναδόρο, δηλ. για

80: 8 = 10 (ημέρες).

Αυτή είναι η λύση του προβλήματος με τη μέθοδο της αναγωγής στην ενότητα. Εδώ, πρώτα απ 'όλα, ήταν απαραίτητο να καθοριστεί ο χρόνος για την εκτέλεση της εργασίας από έναν εργαζόμενο.

2. Μέθοδος αναλογίας.Ας λύσουμε το ίδιο πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο.

Δεδομένου ότι υπάρχει μια αντιστρόφως ανάλογη σχέση μεταξύ του αριθμού των εργατών και του χρόνου εργασίας, μπορούμε να γράψουμε: η διάρκεια της εργασίας των 5 τορναδόρων ο νέος αριθμός τορναδόρων (8) η διάρκεια της εργασίας των 8 τορναδόρων ο προηγούμενος αριθμός τορναδόρων ( 5) Ας υποδηλώσουμε την επιθυμητή διάρκεια εργασίας με το γράμμα Χ και αντικαταστήστε στην αναλογία που εκφράζεται με λέξεις τους απαραίτητους αριθμούς:

Το ίδιο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο των αναλογιών. Για να το λύσουμε, έπρεπε να κάνουμε μια αναλογία των αριθμών που περιλαμβάνονται στην κατάσταση του προβλήματος.

Σημείωση.Στις προηγούμενες παραγράφους εξετάσαμε το ζήτημα της άμεσης και της αντιστρόφου αναλογικότητας. Η φύση και η ζωή μας δίνουν πολλά παραδείγματα άμεσων και αντίστροφων αναλογιών ποσοτήτων. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι αυτοί οι δύο τύποι εξάρτησης είναι μόνο οι απλούστεροι. Μαζί με αυτά, υπάρχουν και άλλες, πιο σύνθετες σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων. Επιπλέον, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι εάν οποιαδήποτε δύο ποσότητες αυξηθούν ταυτόχρονα, τότε υπάρχει αναγκαστικά μια ευθεία αναλογία μεταξύ τους. Αυτό απέχει πολύ από το να είναι αλήθεια. Για παράδειγμα, ο ναύλος για ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗαυξάνεται με την απόσταση: όσο προχωράμε, τόσο περισσότερα πληρώνουμε, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η πληρωμή είναι ανάλογη της απόστασης.

Άμεση και αντίστροφη αναλογικότητα

Αν t είναι ο χρόνος που κινείται ο πεζός (σε ώρες), s είναι η απόσταση που διανύθηκε (σε χιλιόμετρα) και κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 4 km/h, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο s = 4 τόνοι. Δεδομένου ότι κάθε τιμή του t αντιστοιχεί σε μια μοναδική τιμή του s, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο s = 4t. Ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα και ορίζεται ως εξής.

Ορισμός. Η άμεση αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y \u003d kx, όπου το k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενός.

Το όνομα της συνάρτησης y \u003d k x οφείλεται στο γεγονός ότι στον τύπο y \u003d kx υπάρχουν μεταβλητές x και y, οι οποίες μπορεί να είναι τιμές ποσοτήτων. Και αν η αναλογία δύο τιμών είναι ίση με κάποιον αριθμό εκτός από το μηδέν, ονομάζονται ευθέως ανάλογο . Στην περίπτωσή μας = k (k≠0). Αυτός ο αριθμός ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.

Η συνάρτηση y \u003d k x είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που έχουν ήδη θεωρηθεί πρωτοβάθμιο μάθημαμαθηματικά. Ένα από αυτά περιγράφεται παραπάνω. Ένα άλλο παράδειγμα: εάν υπάρχουν 2 κιλά αλεύρι σε μια συσκευασία και αγοράζονται x τέτοιες συσκευασίες, τότε ολόκληρη η μάζα του αγορασμένου αλεύρου (το συμβολίζουμε με y) μπορεί να αναπαρασταθεί ως τύπος y \u003d 2x, δηλ. η σχέση μεταξύ του αριθμού των συσκευασιών και της συνολικής μάζας του αγορασμένου αλεύρου είναι ευθέως ανάλογη με τον συντελεστή k=2.

Θυμηθείτε μερικές ιδιότητες της ευθείας αναλογικότητας, που μελετώνται στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών.

1. Ο τομέας της συνάρτησης y \u003d k x και ο τομέας των τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

2. Η γραφική παράσταση της ευθείας αναλογικότητας είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή. Επομένως, για να κατασκευάσουμε ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας, αρκεί να βρούμε μόνο ένα σημείο που του ανήκει και δεν συμπίπτει με την αρχή και στη συνέχεια να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό το σημείο και την αρχή.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = 2x, αρκεί να έχουμε ένα σημείο με συντεταγμένες (1, 2), και στη συνέχεια να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό και την αρχή (Εικ. 7).

3. Για k > 0, η συνάρτηση y = kx αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. για κ< 0 - убывает на всей области определения.

4. Αν η συνάρτηση f είναι ευθεία αναλογικότητα και (x 1, y 1), (x 2, y 2) - ζεύγη αντίστοιχων τιμών​​των μεταβλητών x και y, και x 2 ≠ 0 τότε.

Πράγματι, εάν η συνάρτηση f είναι άμεση αναλογικότητα, τότε μπορεί να δοθεί από τον τύπο y \u003d kx και, στη συνέχεια, y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Αφού στα x 2 ≠0 και k≠0, τότε y 2 ≠0. Να γιατί και σημαίνει .

Εάν οι τιμές των μεταβλητών x και y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε η αποδεδειγμένη ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: με αύξηση (μείωση) της τιμής της μεταβλητής x πολλές φορές, η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής y αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η ιδιότητα είναι εγγενής μόνο στην ευθεία αναλογικότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων λέξεων στα οποία λαμβάνονται υπόψη άμεσα ανάλογα μεγέθη.

Εργασία 1. Σε 8 ώρες, ο τορναδόρος έφτιαξε 16 μέρη. Πόσες ώρες θα χρειαστεί ένας τορναδόρος για να φτιάξει 48 εξαρτήματα αν δουλεύει με την ίδια παραγωγικότητα;

Λύση. Το πρόβλημα λαμβάνει υπόψη τις ποσότητες - τον χρόνο του τορναδόρου, τον αριθμό των εξαρτημάτων που κατασκευάζει και την παραγωγικότητα (δηλαδή τον αριθμό των εξαρτημάτων που κατασκευάζει ο τορναδόρος σε 1 ώρα), η τελευταία τιμή είναι σταθερή και τα άλλα δύο παίρνουν διάφορες έννοιες. Επιπλέον, ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται και ο χρόνος εργασίας είναι ευθέως ανάλογοι, αφού η αναλογία τους είναι ίση με έναν ορισμένο αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζει ένας τορναδόρος σε 1 ώρα. των κατασκευασμένων εξαρτημάτων συμβολίζεται με το γράμμα y, ο χρόνος εργασίας είναι x και η απόδοση - k, τότε παίρνουμε ότι = k ή y = kx, δηλ. το μαθηματικό μοντέλο της κατάστασης που παρουσιάζεται στο πρόβλημα είναι η ευθεία αναλογικότητα.

Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο αριθμητικούς τρόπους:

1 τρόπος: 2 τρόπος:

1) 16:8 = 2 (παιδιά) 1) 48:16 = 3 (φορές)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Λύνοντας το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο, βρήκαμε πρώτα τον συντελεστή αναλογικότητας k, είναι ίσος με 2, και στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι y \u003d 2x, βρήκαμε την τιμή του x, με την προϋπόθεση ότι y \u003d 48.

Κατά την επίλυση του προβλήματος με τον δεύτερο τρόπο, χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας: πόσες φορές αυξάνεται ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται από έναν τορνευτή, ο χρόνος για την κατασκευή τους αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Ας στραφούμε τώρα στην εξέταση μιας συνάρτησης που ονομάζεται αντιστρόφως αναλογικότητα.

Εάν t είναι ο χρόνος κίνησης του πεζού (σε ώρες), v είναι η ταχύτητά του (σε km/h) και περπάτησε 12 km, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των τιμών μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο v∙t = 20 ή v = .

Εφόσον κάθε τιμή του t (t ≠ 0) αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της ταχύτητας v, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο v = . Ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα και ορίζεται ως εξής.

Ορισμός. Η αντίστροφη αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y \u003d, όπου k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενικός.

Το όνομα αυτής της συνάρτησης προέρχεται από το γεγονός ότι y= υπάρχουν μεταβλητές x και y, που μπορεί να είναι τιμές ποσοτήτων. Και αν το γινόμενο δύο μεγεθών είναι ίσο με κάποιον άλλο αριθμό από το μηδέν, τότε ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες. Στην περίπτωσή μας, xy = k(k ≠ 0). Αυτός ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.

Λειτουργία y= είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που εξετάζονται ήδη στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών. Ένα από αυτά περιγράφεται πριν από τον ορισμό της αντίστροφης αναλογικότητας. Ένα άλλο παράδειγμα: αν αγοράσατε 12 κιλά αλεύρι και το βάλατε σε l: κουτιά των y κιλών το καθένα, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των ποσοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως x-y= 12, δηλ. είναι αντιστρόφως ανάλογο με τον συντελεστή k=12.

Θυμηθείτε μερικές ιδιότητες της αντίστροφης αναλογικότητας, γνωστές από το σχολικό μάθημα των μαθηματικών.

1. Πεδίο λειτουργίας y= και το εύρος του x είναι το σύνολο των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών.

2. Το γράφημα της αντίστροφης αναλογικότητας είναι υπερβολή.

3. Για k > 0, οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο και η συνάρτηση y= μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο του x (Εικ. 8).

Ρύζι. 8 Εικ.9

Όταν ο κ< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο του x (Εικ. 9).

4. Αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως ανάλογη και (x 1, y 1), (x 2, y 2) είναι ζεύγη αντίστοιχων τιμών των μεταβλητών x και y, τότε.

Πράγματι, αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως ανάλογη, τότε μπορεί να δοθεί από τον τύπο y= ,και μετά . Αφού x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, τότε

Εάν οι τιμές των μεταβλητών x και y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε αυτή η ιδιότητα της αντίστροφης αναλογικότητας μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής: με αύξηση (μείωση) της τιμής της μεταβλητής x πολλές φορές, η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής Το y μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η ιδιότητα είναι εγγενής μόνο στην αντίστροφη αναλογικότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων λέξεων στα οποία λαμβάνονται υπόψη αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη.

Πρόβλημα 2. Ένας ποδηλάτης, κινούμενος με ταχύτητα 10 km/h, κάλυψε την απόσταση από το Α στο Β σε 6 ώρες.

Λύση. Το πρόβλημα εξετάζει τα ακόλουθα μεγέθη: την ταχύτητα του ποδηλάτη, τον χρόνο κίνησης και την απόσταση από το Α στο Β, με την τελευταία τιμή να είναι σταθερή και οι άλλες δύο να λαμβάνουν διαφορετικές τιμές. Επιπλέον, η ταχύτητα και ο χρόνος κίνησης είναι αντιστρόφως ανάλογα, αφού το γινόμενο τους είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό, δηλαδή την απόσταση που διανύθηκε. Εάν ο χρόνος της κίνησης του ποδηλάτη συμβολίζεται με το γράμμα y, η ταχύτητα είναι x και η απόσταση AB είναι k, τότε παίρνουμε ότι xy \u003d k ή y \u003d, δηλ. το μαθηματικό μοντέλο της κατάστασης που παρουσιάζεται στο πρόβλημα είναι η αντιστρόφως αναλογικότητα.

Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα με δύο τρόπους:

1 τρόπος: 2 τρόπος:

1) 10-6 = 60 (χλμ) 1) 20:10 = 2 (φορές)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ω)

Λύνοντας το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο, βρήκαμε πρώτα τον συντελεστή αναλογικότητας k, είναι ίσος με 60, και στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι y \u003d, βρήκαμε την τιμή του y, με την προϋπόθεση ότι x \u003d 20.

Όταν λύναμε το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο, χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της αντίστροφης αναλογικότητας: πόσες φορές αυξάνεται η ταχύτητα της κίνησης, ο χρόνος για να διανύσουμε την ίδια απόσταση μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.

Σημειώστε ότι κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων με αντιστρόφως ανάλογα ή άμεσα ανάλογα μεγέθη, επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στα x και y, ειδικότερα, μπορούν να ληφθούν υπόψη όχι σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά στα υποσύνολά του.

Πρόβλημα 3. Η Λένα αγόρασε x μολύβια και η Κάτια αγόρασε 2 φορές περισσότερα. Σημειώστε τον αριθμό των μολυβιών που αγόρασε η Katya ως y, εκφράστε το y ως x και σχεδιάστε το καθορισμένο γράφημα αντιστοιχίας, με την προϋπόθεση ότι x ≤ 5. Αυτό το ταίριασμα είναι συνάρτηση; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών του;

Λύση. Η Κάτια αγόρασε u = 2 μολύβια. Κατά τη σχεδίαση της συνάρτησης y=2x, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η μεταβλητή x υποδηλώνει τον αριθμό των μολυβιών και x≤5, που σημαίνει ότι μπορεί να λάβει μόνο τις τιμές 0, 1, 2, 3, 4, 5. Αυτός θα είναι ο τομέας αυτής της συνάρτησης. Για να λάβετε το εύρος αυτής της συνάρτησης, κάθε τιμή x από το πεδίο ορισμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2, δηλ. θα είναι ένα σετ (0, 2, 4, 6, 8, 10). Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y \u003d 2x με το πεδίο ορισμού (0, 1, 2, 3, 4, 5) θα είναι το σύνολο των σημείων που φαίνεται στο σχήμα 10. Όλα αυτά τα σημεία ανήκουν στη γραμμή y \u003d 2x.