Άμεση και αντίστροφη αναλογικότητα
Αν t είναι ο χρόνος που κινείται ο πεζός (σε ώρες), s είναι η απόσταση που διανύθηκε (σε χιλιόμετρα) και κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 4 km/h, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο s = 4 τόνοι. Δεδομένου ότι κάθε τιμή του t αντιστοιχεί σε μια μοναδική τιμή του s, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο s = 4t. Ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα και ορίζεται ως εξής.
Ορισμός. Η άμεση αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y \u003d kx, όπου το k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενός.
Το όνομα της συνάρτησης y \u003d k x οφείλεται στο γεγονός ότι στον τύπο y \u003d kx υπάρχουν μεταβλητές x και y, οι οποίες μπορεί να είναι τιμές ποσοτήτων. Και αν η αναλογία δύο τιμών είναι ίση με κάποιον αριθμό εκτός από το μηδέν, ονομάζονται ευθέως ανάλογο . Στην περίπτωσή μας = k (k≠0). Αυτός ο αριθμός ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.
Η συνάρτηση y \u003d k x είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που έχουν ήδη θεωρηθεί πρωτοβάθμιο μάθημαμαθηματικά. Ένα από αυτά περιγράφεται παραπάνω. Ένα άλλο παράδειγμα: εάν υπάρχουν 2 κιλά αλεύρι σε μια συσκευασία και αγοράζονται x τέτοιες συσκευασίες, τότε ολόκληρη η μάζα του αγορασμένου αλεύρου (το συμβολίζουμε με y) μπορεί να αναπαρασταθεί ως τύπος y \u003d 2x, δηλ. η σχέση μεταξύ του αριθμού των συσκευασιών και της συνολικής μάζας του αγορασμένου αλεύρου είναι ευθέως ανάλογη με τον συντελεστή k=2.
Θυμηθείτε μερικές ιδιότητες της ευθείας αναλογικότητας, που μελετώνται στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών.
1. Ο τομέας της συνάρτησης y \u003d k x και ο τομέας των τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
2. Η γραφική παράσταση της ευθείας αναλογικότητας είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή. Επομένως, για να κατασκευάσουμε ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας, αρκεί να βρούμε μόνο ένα σημείο που του ανήκει και δεν συμπίπτει με την αρχή και στη συνέχεια να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό το σημείο και την αρχή.
Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = 2x, αρκεί να έχουμε ένα σημείο με συντεταγμένες (1, 2), και στη συνέχεια να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό και την αρχή (Εικ. 7).
3. Για k > 0, η συνάρτηση y = kx αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. για κ< 0 - убывает на всей области определения.
4. Αν η συνάρτηση f είναι ευθεία αναλογικότητα και (x 1, y 1), (x 2, y 2) - ζεύγη αντίστοιχων τιμώντων μεταβλητών x και y, και x 2 ≠ 0 τότε.
Πράγματι, εάν η συνάρτηση f είναι άμεση αναλογικότητα, τότε μπορεί να δοθεί από τον τύπο y \u003d kx και, στη συνέχεια, y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Αφού στα x 2 ≠0 και k≠0, τότε y 2 ≠0. Να γιατί 
και σημαίνει .
Εάν οι τιμές των μεταβλητών x και y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε η αποδεδειγμένη ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: με αύξηση (μείωση) της τιμής της μεταβλητής x πολλές φορές, η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής y αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό.
Αυτή η ιδιότητα είναι εγγενής μόνο στην ευθεία αναλογικότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων λέξεων στα οποία λαμβάνονται υπόψη άμεσα ανάλογα μεγέθη.
Εργασία 1. Σε 8 ώρες, ο τορναδόρος έφτιαξε 16 μέρη. Πόσες ώρες θα χρειαστεί ένας τορναδόρος για να φτιάξει 48 εξαρτήματα αν δουλεύει με την ίδια παραγωγικότητα;
Λύση. Το πρόβλημα λαμβάνει υπόψη τις ποσότητες - τον χρόνο του τορναδόρου, τον αριθμό των εξαρτημάτων που κατασκευάζει και την παραγωγικότητα (δηλαδή τον αριθμό των εξαρτημάτων που κατασκευάζει ο τορναδόρος σε 1 ώρα), η τελευταία τιμή είναι σταθερή και τα άλλα δύο παίρνουν διάφορες έννοιες. Επιπλέον, ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται και ο χρόνος εργασίας είναι ευθέως ανάλογοι, αφού η αναλογία τους είναι ίση με έναν ορισμένο αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζει ένας τορναδόρος σε 1 ώρα. των κατασκευασμένων εξαρτημάτων συμβολίζεται με το γράμμα y, ο χρόνος εργασίας είναι x και η απόδοση - k, τότε παίρνουμε ότι = k ή y = kx, δηλ. το μαθηματικό μοντέλο της κατάστασης που παρουσιάζεται στο πρόβλημα είναι η ευθεία αναλογικότητα.
Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο αριθμητικούς τρόπους:
1 τρόπος: 2 τρόπος:
1) 16:8 = 2 (παιδιά) 1) 48:16 = 3 (φορές)
2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)
Λύνοντας το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο, βρήκαμε πρώτα τον συντελεστή αναλογικότητας k, είναι ίσος με 2, και στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι y \u003d 2x, βρήκαμε την τιμή του x, με την προϋπόθεση ότι y \u003d 48.
Κατά την επίλυση του προβλήματος με τον δεύτερο τρόπο, χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας: πόσες φορές αυξάνεται ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται από έναν τορνευτή, ο χρόνος για την κατασκευή τους αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.
Ας στραφούμε τώρα στην εξέταση μιας συνάρτησης που ονομάζεται αντιστρόφως αναλογικότητα.
Εάν t είναι ο χρόνος κίνησης του πεζού (σε ώρες), v είναι η ταχύτητά του (σε km/h) και περπάτησε 12 km, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των τιμών μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο v∙t = 20 ή v = .
Εφόσον κάθε τιμή του t (t ≠ 0) αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της ταχύτητας v, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο v = . Ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα και ορίζεται ως εξής.
Ορισμός. Η αντίστροφη αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y \u003d, όπου k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενικός.
Το όνομα αυτής της συνάρτησης προέρχεται από το γεγονός ότι y= υπάρχουν μεταβλητές x και y, που μπορεί να είναι τιμές ποσοτήτων. Και αν το γινόμενο δύο μεγεθών είναι ίσο με κάποιον άλλο αριθμό από το μηδέν, τότε ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες. Στην περίπτωσή μας, xy = k(k ≠ 0). Αυτός ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.
Λειτουργία y= είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που εξετάζονται ήδη στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών. Ένα από αυτά περιγράφεται πριν από τον ορισμό της αντίστροφης αναλογικότητας. Ένα άλλο παράδειγμα: αν αγοράσατε 12 κιλά αλεύρι και το βάλατε σε l: κουτιά των y κιλών το καθένα, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των ποσοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως x-y= 12, δηλ. είναι αντιστρόφως ανάλογο με τον συντελεστή k=12.
Θυμηθείτε μερικές ιδιότητες της αντίστροφης αναλογικότητας, γνωστές από το σχολικό μάθημα των μαθηματικών.
1. Πεδίο λειτουργίας y= και το εύρος του x είναι το σύνολο των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών.
2. Το γράφημα της αντίστροφης αναλογικότητας είναι υπερβολή.
3. Για k > 0, οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο και η συνάρτηση y= μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο του x (Εικ. 8).
Ρύζι. 8 Εικ.9
Όταν ο κ< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο του x (Εικ. 9).
4. Αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως ανάλογη και (x 1, y 1), (x 2, y 2) είναι ζεύγη αντίστοιχων τιμών των μεταβλητών x και y, τότε.
Πράγματι, αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως ανάλογη, τότε μπορεί να δοθεί από τον τύπο y=
,και μετά 
. Αφού x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, τότε 
Εάν οι τιμές των μεταβλητών x και y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε αυτή η ιδιότητα της αντίστροφης αναλογικότητας μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής: με αύξηση (μείωση) της τιμής της μεταβλητής x πολλές φορές, η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής Το y μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό.
Αυτή η ιδιότητα είναι εγγενής μόνο στην αντίστροφη αναλογικότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων λέξεων στα οποία λαμβάνονται υπόψη αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη.
Πρόβλημα 2. Ένας ποδηλάτης, κινούμενος με ταχύτητα 10 km/h, κάλυψε την απόσταση από το Α στο Β σε 6 ώρες.
Λύση. Το πρόβλημα εξετάζει τα ακόλουθα μεγέθη: την ταχύτητα του ποδηλάτη, τον χρόνο κίνησης και την απόσταση από το Α στο Β, με την τελευταία τιμή να είναι σταθερή και οι άλλες δύο να λαμβάνουν διαφορετικές τιμές. Επιπλέον, η ταχύτητα και ο χρόνος κίνησης είναι αντιστρόφως ανάλογα, αφού το γινόμενο τους είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό, δηλαδή την απόσταση που διανύθηκε. Εάν ο χρόνος της κίνησης του ποδηλάτη συμβολίζεται με το γράμμα y, η ταχύτητα είναι x και η απόσταση AB είναι k, τότε παίρνουμε ότι xy \u003d k ή y \u003d, δηλ. το μαθηματικό μοντέλο της κατάστασης που παρουσιάζεται στο πρόβλημα είναι η αντιστρόφως αναλογικότητα.
Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα με δύο τρόπους:
1 τρόπος: 2 τρόπος:
1) 10-6 = 60 (χλμ) 1) 20:10 = 2 (φορές)
2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ω)
Λύνοντας το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο, βρήκαμε πρώτα τον συντελεστή αναλογικότητας k, είναι ίσος με 60, και στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι y \u003d, βρήκαμε την τιμή του y, με την προϋπόθεση ότι x \u003d 20.
Όταν λύναμε το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο, χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της αντίστροφης αναλογικότητας: πόσες φορές αυξάνεται η ταχύτητα της κίνησης, ο χρόνος για να διανύσουμε την ίδια απόσταση μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.
Σημειώστε ότι κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων με αντιστρόφως ανάλογα ή άμεσα ανάλογα μεγέθη, επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στα x και y, ειδικότερα, μπορούν να ληφθούν υπόψη όχι σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά στα υποσύνολά του.
Πρόβλημα 3. Η Λένα αγόρασε x μολύβια και η Κάτια αγόρασε 2 φορές περισσότερα. Σημειώστε τον αριθμό των μολυβιών που αγόρασε η Katya ως y, εκφράστε το y ως x και σχεδιάστε το καθορισμένο γράφημα αντιστοιχίας, με την προϋπόθεση ότι x ≤ 5. Αυτό το ταίριασμα είναι συνάρτηση; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών του;
Λύση. Η Κάτια αγόρασε u = 2 μολύβια. Κατά τη σχεδίαση της συνάρτησης y=2x, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η μεταβλητή x υποδηλώνει τον αριθμό των μολυβιών και x≤5, που σημαίνει ότι μπορεί να λάβει μόνο τις τιμές 0, 1, 2, 3, 4, 5. Αυτός θα είναι ο τομέας αυτής της συνάρτησης. Για να λάβετε το εύρος αυτής της συνάρτησης, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε τιμή x από το πεδίο ορισμού επί 2, δηλ. θα είναι ένα σετ (0, 2, 4, 6, 8, 10). Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y \u003d 2x με το πεδίο ορισμού (0, 1, 2, 3, 4, 5) θα είναι το σύνολο των σημείων που φαίνεται στο σχήμα 10. Όλα αυτά τα σημεία ανήκουν στη γραμμή y \u003d 2x.
Παράδειγμα
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 κ.λπ.Συντελεστής αναλογικότητας
Ο σταθερός λόγος των αναλογικών μεγεθών ονομάζεται συντελεστή αναλογικότητας. Ο συντελεστής αναλογικότητας δείχνει πόσες μονάδες μιας ποσότητας πέφτουν σε μια μονάδα μιας άλλης.
Άμεση αναλογικότητα
Άμεση αναλογικότητα- λειτουργική εξάρτηση, στην οποία κάποια ποσότητα εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα με τέτοιο τρόπο ώστε η αναλογία τους να παραμένει σταθερή. Με άλλα λόγια, αυτές οι μεταβλητές αλλάζουν αναλογικά, σε ίσα μερίδια, δηλαδή εάν το όρισμα έχει αλλάξει δύο φορές προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε η συνάρτηση αλλάζει επίσης δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.
Μαθηματικά, η ευθεία αναλογικότητα γράφεται ως τύπος:
φά(Χ) = έναΧ,ένα = ντοοnμικρόt
Αντιστρόφως αναλογικότητα
Αντίστροφη αναλογία- αυτή είναι μια λειτουργική εξάρτηση, στην οποία μια αύξηση της ανεξάρτητης τιμής (όρισμα) προκαλεί αναλογική μείωση της εξαρτημένης τιμής (συνάρτησης).
Μαθηματικά, η αντίστροφη αναλογικότητα γράφεται ως τύπος:
Ιδιότητες λειτουργίας:
Πηγές
Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .
Δείτε τι είναι η "Άμεση αναλογικότητα" σε άλλα λεξικά:
ευθεία αναλογικότητα- - [A.S. Goldberg. Αγγλικά Ρωσικά Ενεργειακό Λεξικό. 2006] Θέματα ενέργειας γενικά ΕΝ άμεση αναλογία… Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή
ευθεία αναλογικότητα- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ευθείας αναλογικότητας vok. direkte Proportionalitat, f rus. ευθεία αναλογικότητα, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
- (από το λατ. αναλογικός αναλογικός, αναλογικός). Αναλογικότητα. Λεξικό ξένες λέξειςπεριλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Chudinov A.N., 1910. ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ otlat. αναλογικός, αναλογικός. Αναλογικότητα. Επεξήγηση 25000…… Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας
PROPTIONALITY, αναλογικότητα, πληθ. όχι θηλυκό (Βιβλίο). 1. απόσπαση της προσοχής ουσιαστικό σε αναλογικό. Αναλογικότητα εξαρτημάτων. Αναλογικότητα σώματος. 2. Μια τέτοια σχέση μεταξύ των ποσοτήτων όταν είναι ανάλογες (βλ. αναλογική ... ΛεξικόΟ Ουσάκοφ
Δύο αμοιβαία εξαρτώμενα μεγέθη ονομάζονται αναλογικά εάν η αναλογία των τιμών τους παραμένει αμετάβλητη .. Περιεχόμενα 1 Παράδειγμα 2 Συντελεστής αναλογικότητας ... Wikipedia
ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ, και, συζύγους. 1. βλέπε αναλογικό. 2. Στα μαθηματικά: μια τέτοια σχέση μεταξύ των ποσοτήτων, όταν μια αύξηση σε ένα από αυτά συνεπάγεται μεταβολή του άλλου κατά το ίδιο ποσό. Άμεση σ. (όταν κόβεται με αύξηση σε μία τιμή ... ... Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov
ΚΑΙ; και. 1. προς Αναλογικό (1 ψηφίο). αναλογικότητα. Π. μέρη. Π. σωματική διάπλαση. Π. εκπροσώπηση στη βουλή. 2. Μαθηματικά. Εξάρτηση μεταξύ αναλογικά μεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Συντελεστής αναλογικότητας. Απευθείας σ. (Στην οποία με ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό
Βασικοί στόχοι:
- Εισαγωγή της έννοιας της άμεσης και αντιστρόφως αναλογικής εξάρτησης των ποσοτήτων·
- διδάξτε πώς να λύσετε προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτές τις εξαρτήσεις.
- προώθηση της ανάπτυξης δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων·
- εδραίωση της ικανότητας επίλυσης εξισώσεων χρησιμοποιώντας αναλογίες.
- επαναλάβετε τα βήματα με τα συνηθισμένα και δεκαδικά;
- αναπτύσσω λογική σκέψηΦοιτητές.
ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΕΓΩ. Αυτοδιάθεση στη δραστηριότητα(Ώρα διοργάνωσης)
- Παιδιά! Σήμερα στο μάθημα θα εξοικειωθούμε με τα προβλήματα που επιλύθηκαν χρησιμοποιώντας αναλογίες.
II. Επικαιροποίηση γνώσεων και διόρθωση δυσκολιών σε δραστηριότητες
2.1. προφορική εργασία (3 λεπτά)
- Βρείτε τη σημασία των εκφράσεων και βρείτε τη λέξη κρυπτογραφημένη στις απαντήσεις.
14 - s; 0,1 - και; 7 - l; 0,2 - α; 17 - σε; 25 - έως
- Βγήκε η λέξη - δύναμη. Μπράβο!
- Το σύνθημα του σημερινού μας μαθήματος: Η δύναμη είναι στη γνώση! Ψάχνω - άρα μαθαίνω!
- Κάντε μια αναλογία των αριθμών που προκύπτουν. (14:7=0,2:0,1 κ.λπ.)
2.2. Εξετάστε τη σχέση μεταξύ γνωστών ποσοτήτων (7 λεπτά)
- η διαδρομή που διένυσε το αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα και ο χρόνος της κίνησής του: S = v t(με αύξηση της ταχύτητας (χρόνος), η διαδρομή αυξάνεται).
- η ταχύτητα του αυτοκινήτου και ο χρόνος που πέρασε στο δρόμο: v=S:t(με αύξηση του χρόνου για να διανύσει το μονοπάτι, η ταχύτητα μειώνεται).
–
το κόστος των αγαθών που αγοράζονται σε μία τιμή και η ποσότητα του:
C \u003d a n (με αύξηση (μείωση) της τιμής, το κόστος αγοράς αυξάνεται (μειώνεται).
- η τιμή του προϊόντος και η ποσότητα του: a \u003d C: n (με αύξηση της ποσότητας, η τιμή μειώνεται)
- η περιοχή του ορθογωνίου και το μήκος του (πλάτος): S = a b (με αύξηση του μήκους (πλάτος), η περιοχή αυξάνεται.
- το μήκος του ορθογωνίου και το πλάτος: a = S: b (με αύξηση του μήκους, το πλάτος μειώνεται.
- ο αριθμός των εργαζομένων που εκτελούν κάποια εργασία με την ίδια παραγωγικότητα εργασίας και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας: t \u003d A: n (με αύξηση του αριθμού των εργαζομένων, ο χρόνος που αφιερώνεται στην εργασία μειώνεται) κ.λπ. .
Λάβαμε εξαρτήσεις στις οποίες, με αύξηση σε μια τιμή πολλές φορές, η άλλη αυξάνεται αμέσως κατά το ίδιο ποσό (που φαίνεται με βέλη για παραδείγματα) και εξαρτήσεις στις οποίες, με αύξηση σε μια τιμή πολλές φορές, η δεύτερη τιμή μειώνεται κατά ίδιες φορές.
Τέτοιες σχέσεις ονομάζονται ευθείες και αντίστροφες αναλογίες.
Ευθέως ανάλογη εξάρτηση- μια εξάρτηση στην οποία με αύξηση (μείωση) σε μια τιμή πολλές φορές, η δεύτερη τιμή αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό.
Αντιστρόφως αναλογική σχέση- μια εξάρτηση στην οποία με αύξηση (μείωση) σε μια τιμή πολλές φορές, η δεύτερη τιμή μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό.
III. σκαλωσιά μαθησιακό έργο
Ποιο είναι το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε; (Μάθετε να διακρίνετε τις ευθείες γραμμές και αντίστροφες εξαρτήσεις)
- Αυτό - στόχοςτο μάθημά μας. Τώρα διατυπώστε θέμαμάθημα. (Άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα).
- Μπράβο! Γράψτε το θέμα του μαθήματος στα τετράδιά σας. (Ο δάσκαλος γράφει το θέμα στον πίνακα.)
IV. «Ανακάλυψη» νέας γνώσης(10 λεπτά)
Ας αναλύσουμε τα προβλήματα 199.
1. Ο εκτυπωτής εκτυπώνει 27 σελίδες σε 4,5 λεπτά. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να εκτυπωθούν 300 σελίδες;
27 σελίδες - 4,5 λεπτά.
300 σελ. - x?
2. Υπάρχουν 48 πακέτα τσαγιού σε ένα κουτί, 250 g το καθένα. Πόσες συσκευασίες των 150g θα βγουν από αυτό το τσάι;
48 συσκευασίες - 250 γρ.
Χ? - 150 γρ.
3. Το αυτοκίνητο διένυσε 310 χλμ., έχοντας ξοδέψει 25 λίτρα βενζίνη. Πόσο μακριά μπορεί να διανύσει ένα αυτοκίνητο με γεμάτο ρεζερβουάρ 40 λίτρων;
310 km - 25 l
Χ? – 40 λίτρα
4. Το ένα από τα γρανάζια του συμπλέκτη έχει 32 δόντια και το άλλο έχει 40. Πόσες στροφές θα κάνει η δεύτερη ταχύτητα ενώ η πρώτη θα κάνει 215 στροφές;
32 δόντια - 315 σ.α.λ
40 δόντια - x;
Για να σχηματίσετε μια αναλογία, είναι απαραίτητη μια κατεύθυνση των βελών, γι 'αυτό, σε αντίστροφη αναλογία, μια αναλογία αντικαθίσταται από την αντίστροφη.
Στον πίνακα οι μαθητές βρίσκουν την αξία των ποσοτήτων, στο χωράφι οι μαθητές λύνουν ένα πρόβλημα της επιλογής τους.
– Διατύπωση κανόνα επίλυσης προβλημάτων με άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα.
Ένας πίνακας εμφανίζεται στον πίνακα:
V. Πρωτογενής εμπέδωση στον εξωτερικό λόγο(10 λεπτά)
Εργασίες στα φύλλα:
- Από 21 κιλά βαμβακόσπορου προέκυψαν 5,1 κιλά λάδι. Πόσο λάδι θα ληφθεί από 7 κιλά βαμβακόσπορου;
- Για την κατασκευή του γηπέδου, 5 μπουλντόζες καθάρισαν το χώρο σε 210 λεπτά. Πόσο καιρό θα χρειάζονταν 7 μπουλντόζες για να καθαρίσουν αυτήν την περιοχή;
VI. Ανεξάρτητη εργασίαμε αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο(5 λεπτά)
Δύο μαθητές ολοκληρώνουν μόνοι τους τις εργασίες Νο. 225 σε κρυφούς πίνακες και οι υπόλοιποι σε τετράδια. Στη συνέχεια ελέγχουν την εργασία σύμφωνα με τον αλγόριθμο και τη συγκρίνουν με τη λύση στον πίνακα. Τα λάθη διορθώνονται, οι αιτίες τους διευκρινίζονται. Εάν η εργασία ολοκληρωθεί, σωστά, τότε δίπλα στους μαθητές βάλτε ένα σύμβολο "+" για τον εαυτό τους.
Οι μαθητές που κάνουν λάθη στην ανεξάρτητη εργασία μπορούν να χρησιμοποιήσουν συμβούλους.
VII. Ένταξη στο σύστημα γνώσης και επανάληψη№ 271, № 270.
Έξι άτομα δουλεύουν στον πίνακα. Μετά από 3–4 λεπτά, οι μαθητές που εργάστηκαν στον πίνακα παρουσιάζουν τις λύσεις τους και οι υπόλοιποι ελέγχουν τις εργασίες και συμμετέχουν στη συζήτησή τους.
VIII. Αντανάκλαση δραστηριότητας (το αποτέλεσμα του μαθήματος)
- Τι καινούργιο μάθατε στο μάθημα;
- Τι επανέλαβες;
Ποιος είναι ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων αναλογίας;
Έχουμε φτάσει στο στόχο μας;
- Πώς βαθμολογείτε τη δουλειά σας;
Οι δύο ποσότητες ονομάζονται ευθέως ανάλογο, αν όταν το ένα από αυτά αυξηθεί πολλές φορές, το άλλο αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Αντίστοιχα, όταν ένα από αυτά μειώνεται κατά πολλές φορές, το άλλο μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.
Η σχέση μεταξύ τέτοιων ποσοτήτων είναι ευθέως αναλογική. Παραδείγματα ευθείας αναλογικής σχέσης:
1) σε σταθερή ταχύτητα, η απόσταση που διανύθηκε είναι ευθέως ανάλογη του χρόνου.
2) η περίμετρος ενός τετραγώνου και η πλευρά του είναι ευθέως ανάλογες.
3) το κόστος ενός εμπορεύματος που αγοράζεται σε μία τιμή είναι ευθέως ανάλογο με την ποσότητα του.
Για να διακρίνετε μια ευθεία αναλογική σχέση από μια αντίστροφη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την παροιμία: "Όσο πιο μακριά στο δάσος, τόσο περισσότερα καυσόξυλα".
Είναι βολικό να λύνουμε προβλήματα για άμεσα ανάλογα μεγέθη χρησιμοποιώντας αναλογίες.
1) Για την κατασκευή 10 εξαρτημάτων χρειάζονται 3,5 κιλά μέταλλο. Πόσο μέταλλο θα χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή 12 τέτοιων εξαρτημάτων;
(Μαλώνουμε ως εξής:
1. Στη συμπληρωμένη στήλη, βάλτε το βέλος προς την κατεύθυνση από τον μεγαλύτερο αριθμό προς τον μικρότερο.
2. Όσο περισσότερα μέρη, τόσο περισσότερο μέταλλο χρειάζεται για την κατασκευή τους. Άρα είναι μια ευθέως αναλογική σχέση.
Έστω x κιλά μετάλλου για την κατασκευή 12 μερών. Δημιουργούμε την αναλογία (στην κατεύθυνση από την αρχή του βέλους μέχρι το τέλος του):
12:10=x:3,5
Για να βρούμε , πρέπει να διαιρέσουμε το γινόμενο των ακραίων όρων με τον γνωστό μεσαίο όρο:
Αυτό σημαίνει ότι θα απαιτηθούν 4,2 κιλά μετάλλου.
Απάντηση: 4,2 κιλά.
2) Πληρώθηκαν 1680 ρούβλια για 15 μέτρα υφάσματος. Πόσο κοστίζουν 12 μέτρα τέτοιου υφάσματος;
(1. Στη συμπληρωμένη στήλη, τοποθετήστε το βέλος προς την κατεύθυνση από τον μεγαλύτερο αριθμό προς τον μικρότερο.
2. Όσο λιγότερο ύφασμα αγοράζετε, τόσο λιγότερα πρέπει να πληρώσετε για αυτό. Άρα είναι μια ευθέως αναλογική σχέση.
3. Επομένως, το δεύτερο βέλος κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με το πρώτο).
Αφήστε τα x ρούβλια να κοστίζουν 12 μέτρα ύφασμα. Δημιουργούμε την αναλογία (από την αρχή του βέλους μέχρι το τέλος του):
15:12=1680:x
Για να βρούμε το άγνωστο ακραίο μέλος της αναλογίας, διαιρούμε το γινόμενο των μεσαίων όρων με το γνωστό ακραίο μέλος της αναλογίας:
Έτσι, τα 12 μέτρα κοστίζουν 1344 ρούβλια.
Απάντηση: 1344 ρούβλια.
I. Τιμές ευθέως ανάλογες.
Αφήστε την τιμή yεξαρτάται από το μέγεθος Χ. Αν με αύξηση Χαρκετές φορές το μέγεθος στοαυξάνεται κατά τον ίδιο παράγοντα, τότε τέτοιες τιμές Χκαι στοονομάζονται ευθέως αναλογικά.
Παραδείγματα.
1 . Η ποσότητα των αγορασθέντων αγαθών και το κόστος αγοράς (σε σταθερή τιμή μιας μονάδας εμπορευμάτων - 1 τεμάχιο ή 1 κιλό κ.λπ.) Πόσες φορές περισσότερο προϊόναγόρασε, τόσες φορές περισσότερο και πλήρωσε.
2 . Η απόσταση που διανύθηκε και ο χρόνος που δαπανήθηκε σε αυτήν (με σταθερή ταχύτητα). Πόσες φορές περισσότερο το μονοπάτι, πόσες φορές περισσότερο χρόνο θα αφιερώσουμε σε αυτό.
3 . Ο όγκος ενός σώματος και η μάζα του. ( Αν το ένα καρπούζι είναι 2 φορές μεγαλύτερο από το άλλο, τότε η μάζα του θα είναι 2 φορές μεγαλύτερη)
II. Η ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας των ποσοτήτων.
Εάν δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες, τότε η αναλογία δύο αυθαίρετων τιμών της πρώτης ποσότητας είναι ίση με την αναλογία των δύο αντίστοιχων τιμών της δεύτερης ποσότητας.
Εργασία 1.Για μαρμελάδα βατόμουροέχουν πάρει 12 κιλάσμέουρα και 8 κιλάΣαχάρα. Πόση ζάχαρη θα χρειαστεί εάν ληφθεί 9 κιλάσμέουρα;
Λύση.
Μαλώνουμε ως εξής: ας είναι απαραίτητο x kgζάχαρη επάνω 9 κιλάσμέουρα. Η μάζα των σμέουρων και η μάζα της ζάχαρης είναι ευθέως ανάλογες: πόσες φορές λιγότερα σμέουρα, χρειάζεται η ίδια ποσότητα ζάχαρης. Επομένως, η αναλογία των λαμβανόμενων (κατά βάρος) σμέουρων ( 12:9 ) θα είναι ίση με την αναλογία της ζάχαρης που λαμβάνεται ( 8:χ). Παίρνουμε την αναλογία:
12: 9=8: Χ;
x=9 · 8: 12;
x=6. Απάντηση:στο 9 κιλάσμέουρα για να πάρετε 6 κιλάΣαχάρα.
Η λύση του προβλήματοςθα μπορούσε να γίνει έτσι:
Άσε 9 κιλάσμέουρα για να πάρετε x kgΣαχάρα.
(Τα βέλη στο σχήμα κατευθύνονται προς μία κατεύθυνση και δεν έχει σημασία πάνω ή κάτω. Σημασία: πόσες φορές ο αριθμός 12 περισσότερος αριθμός 9 , τον ίδιο αριθμό 8 περισσότερος αριθμός Χ, δηλαδή, υπάρχει μια άμεση εξάρτηση εδώ).
Απάντηση:στο 9 κιλάσμέουρα για να πάρετε 6 κιλάΣαχάρα.
Εργασία 2.αυτοκίνητο για 3 ώρεςδιανυθείσα απόσταση 264 χλμ. Πόσο καιρό θα του πάρει 440 χλμαν ταξιδεύει με την ίδια ταχύτητα;
Λύση.
Αφήστε για x ώρεςτο αυτοκίνητο θα καλύψει την απόσταση 440 χλμ.
Απάντηση:το αυτοκίνητο θα περάσει 440 χλμ σε 5 ώρες.
Εργασία 3.Το νερό εισέρχεται στην πισίνα από το σωλήνα. Ανά 2 ώρεςγεμίζει αυτή 1/5 πισίνα. Για ποιο μέρος της πισίνας γεμίζει νερό 5 η ώρα?
Λύση.
Απαντάμε στην ερώτηση της εργασίας: για 5 η ώραγεμίσουν 1/xμέρος της πισίνας. (Ολόκληρη η πισίνα λαμβάνεται ως ένα σύνολο).