Στο τελευταίο εκπαιδευτικό βίντεο, μάθαμε ότι ο βαθμός μιας ορισμένης βάσης είναι μια έκφραση που είναι το γινόμενο της βάσης και της ίδιας, που λαμβάνεται σε ποσότητα ίση με τον εκθέτη. Ας μελετήσουμε τώρα μερικές από τις πιο σημαντικές ιδιότητες και λειτουργίες των δυνάμεων.

Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε δύο διαφορετικές δυνάμεις με την ίδια βάση:

Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό το κομμάτι στο σύνολό του:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Υπολογίζοντας την τιμή αυτής της παράστασης, παίρνουμε τον αριθμό 32. Από την άλλη πλευρά, όπως φαίνεται από το ίδιο παράδειγμα, το 32 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο της ίδιας βάσης (δύο), που λαμβάνεται 5 φορές. Και πράγματι, αν μετρήσετε, τότε:

Έτσι, μπορεί να συναχθεί με ασφάλεια ότι:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Αυτός ο κανόνας λειτουργεί με επιτυχία για οποιουσδήποτε δείκτες και οποιονδήποτε λόγο. Αυτή η ιδιότητα πολλαπλασιασμού του βαθμού προκύπτει από τον κανόνα διατήρησης της σημασίας των εκφράσεων κατά τους μετασχηματισμούς στο γινόμενο. Για οποιαδήποτε βάση a, το γινόμενο δύο παραστάσεων (a) x και (a) y είναι ίσο με a (x + y). Με άλλα λόγια, όταν παράγονται οποιεσδήποτε εκφράσεις με την ίδια βάση, το τελικό μονώνυμο έχει έναν συνολικό βαθμό που σχηματίζεται με την προσθήκη του βαθμού της πρώτης και της δεύτερης έκφρασης.

Ο παρουσιαζόμενος κανόνας λειτουργεί επίσης εξαιρετικά κατά τον πολλαπλασιασμό πολλών εκφράσεων. Η βασική προϋπόθεση είναι οι βάσεις για όλους να είναι ίδιες. Για παράδειγμα:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Είναι αδύνατο να προσθέσετε μοίρες και γενικά να πραγματοποιήσετε οποιεσδήποτε ενέργειες αρθρώσεων ισχύος με δύο στοιχεία της έκφρασης, εάν οι βάσεις τους είναι διαφορετικές.
Όπως δείχνει το βίντεό μας, λόγω της ομοιότητας των διαδικασιών πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, οι κανόνες για την προσθήκη δυνάμεων κατά τη διάρκεια ενός γινόμενου μεταφέρονται τέλεια στη διαδικασία διαίρεσης. Εξετάστε αυτό το παράδειγμα:

Ας πραγματοποιήσουμε έναν μετασχηματισμό όρου προς όρο της έκφρασης σε πλήρη θέακαι ακυρώστε τα ίδια στοιχεία στο μέρισμα και στο διαιρέτη:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Το τελικό αποτέλεσμα αυτού του παραδείγματος δεν είναι τόσο ενδιαφέρον, γιατί ήδη κατά τη διάρκεια της επίλυσής του είναι σαφές ότι η τιμή της έκφρασης είναι ίση με το τετράγωνο του δύο. Και είναι το δίδυμο που προκύπτει αφαιρώντας το βαθμό της δεύτερης έκφρασης από το βαθμό της πρώτης.

Για τον προσδιορισμό του βαθμού του πηλίκου, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον βαθμό του διαιρέτη από τον βαθμό του μερίσματος. Ο κανόνας λειτουργεί με την ίδια βάση για όλες τις αξίες του και για όλες τις φυσικές δυνάμεις. Σε αφηρημένη μορφή έχουμε:

(α) x / (a) y = (α) x - y

Ο ορισμός για τον μηδενικό βαθμό προκύπτει από τον κανόνα για τη διαίρεση πανομοιότυπων βάσεων με δυνάμεις. Προφανώς, η ακόλουθη έκφραση είναι:

(α) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Από την άλλη πλευρά, αν διαιρέσουμε με πιο οπτικό τρόπο, παίρνουμε:

(α) 2 / (α) 2 = (α) (α) / (α) (α) = 1

Κατά την αναγωγή όλων των ορατών στοιχείων ενός κλάσματος, λαμβάνεται πάντα η έκφραση 1/1, δηλαδή ένα. Ως εκ τούτου, είναι γενικά αποδεκτό ότι οποιαδήποτε βάση ανυψώνεται στη μηδενική ισχύ είναι ίση με ένα:

Ανεξάρτητα από την τιμή του α.

Ωστόσο, θα ήταν παράλογο εάν το 0 (το οποίο εξακολουθεί να δίνει 0 για κάθε πολλαπλασιασμό) είναι κατά κάποιο τρόπο ίσο με ένα, επομένως μια έκφραση όπως (0) 0 (μηδέν έως το μηδέν βαθμό) απλά δεν έχει νόημα και στον τύπο (α) 0 = 1 προσθέστε μια συνθήκη: "αν το a δεν είναι ίσο με 0".

Ας κάνουμε την άσκηση. Ας βρούμε την τιμή της έκφρασης:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Δεδομένου ότι η βάση είναι η ίδια παντού και ισούται με 34, η τελική τιμή θα έχει την ίδια βάση με ένα βαθμό (σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες):

Με άλλα λόγια:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Απάντηση: Η έκφραση ισούται με ένα.

Τύποι ισχύοςχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναπότε:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, οι δείκτες τους αθροίζονται:

είμαιa n = a m + n .

2. Στη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση αφαιρούνται οι δείκτες τους:

3. Ο βαθμός του γινομένου του 2 ή περισσότεροοι παράγοντες είναι ίσοι με το γινόμενο των δυνάμεων αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(am) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω είναι σωστός στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα της σχέσης ισούται με την αναλογίαδιαιρετέος και διαιρέτης των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ανέβασε σε nΗ ισχύς είναι ένας αριθμός ρίζας, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nρίζα ταυτόχρονα nου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Πτυχίο γ αρνητικός δείκτης. Ο βαθμός ενός αριθμού με μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τον βαθμό του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:

Τύπος είμαι:a n = a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και στο Μ< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα είμαι:a n = a m - nέγινε δίκαιη στο m=n, χρειάζεστε την παρουσία του μηδενικού βαθμού.

Βαθμός με μηδενικό εκθέτη.Η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό έναεώς ένα βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μη δύναμη αυτού του αριθμού ένα.

Μάθημα με θέμα: "Κανόνες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης δυνάμεων με ίδιους και διαφορετικούς εκθέτες. Παραδείγματα"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 7η τάξη
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Yu.N. Makarycheva Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο A.G. Μόρντκοβιτς

Σκοπός του μαθήματος: μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με δυνάμεις ενός αριθμού.

Αρχικά, ας θυμηθούμε την έννοια της "δύναμης ενός αριθμού". Μια έκφραση όπως $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $a^n$.

Το αντίστροφο ισχύει επίσης: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Αυτή η ισότητα ονομάζεται «καταγραφή του βαθμού ως γινόμενο». Θα μας βοηθήσει να καθορίσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε τις δυνάμεις.
Θυμάμαι:
ένα- η βάση του πτυχίου.
n- εκθέτης.
Αν ένα n=1, που σημαίνει τον αριθμό έναλαμβάνονται μία φορά και αντίστοιχα: $a^n= 1$.
Αν ένα n=0, τότε $a^0= 1$.

Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να μάθουμε όταν εξοικειωθούμε με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων.

κανόνες πολλαπλασιασμού

α) Αν πολλαπλασιαστούν οι δυνάμεις με την ίδια βάση.
Στο $a^n * a^m$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Το σχήμα δείχνει ότι ο αριθμός έναέχουν πάρει n+mφορές, τότε $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Παράδειγμα.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Αυτή η ιδιότητα είναι βολική στη χρήση για την απλοποίηση της εργασίας κατά την αύξηση ενός αριθμού σε μεγάλη ισχύ.
Παράδειγμα.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

β) Αν οι δυνάμεις πολλαπλασιαστούν με διαφορετική βάση, αλλά τον ίδιο εκθέτη.
Στο $a^n * b^n$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Αν ανταλλάξουμε τους παράγοντες και μετρήσουμε τα ζεύγη που προκύπτουν, παίρνουμε: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Άρα $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Παράδειγμα.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

κανόνες διαίρεσης

α) Η βάση του βαθμού είναι ίδια, οι εκθέτες είναι διαφορετικοί.
Εξετάστε τη διαίρεση ενός βαθμού με έναν μεγαλύτερο εκθέτη διαιρώντας έναν βαθμό με έναν μικρότερο εκθέτη.

Άρα, είναι απαραίτητο $\frac(a^n)(a^m)$, όπου n>m.

Γράφουμε τους βαθμούς ως κλάσμα:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Για ευκολία γράφουμε τη διαίρεση ως απλό κλάσμα.

Τώρα ας μειώσουμε το κλάσμα.

Αποδεικνύεται: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Που σημαίνει, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Αυτή η ιδιότητα θα σας βοηθήσει να εξηγήσετε την κατάσταση με την αύξηση ενός αριθμού σε δύναμη μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι n=m, τότε $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Παραδείγματα.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

β) Άλλες οι βάσεις του βαθμού, οι δείκτες ίδιοι.
Ας υποθέσουμε ότι χρειάζεστε $\frac(a^n)(b^n)$. Γράφουμε τις δυνάμεις των αριθμών ως κλάσμα:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Ας φανταστούμε για ευκολία.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των κλασμάτων, χωρίζουμε ένα μεγάλο κλάσμα σε γινόμενο μικρών, παίρνουμε.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Αντίστοιχα: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Παράδειγμα.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Αν χρειαστεί να φτιάξετε μερικά συγκεκριμένο αριθμόως ένα βαθμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε . Τώρα θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά ιδιότητες των εξουσιών.

Εκθετικοί αριθμοίανοίγουν μεγάλες δυνατότητες, μας επιτρέπουν να μετατρέψουμε τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση και η πρόσθεση είναι πολύ πιο εύκολη από τον πολλαπλασιασμό.

Για παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 16 με το 64. Το γινόμενο του πολλαπλασιασμού αυτών των δύο αριθμών είναι 1024. Αλλά το 16 είναι 4x4 και το 64 είναι 4x4x4. Άρα 16 φορές 64=4x4x4x4x4 που είναι επίσης 1024.

Ο αριθμός 16 μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως 2x2x2x2 και το 64 ως 2x2x2x2x2x2, και αν πολλαπλασιάσουμε, παίρνουμε πάλι 1024.

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα. 16=4 2 , ή 2 4 , 64=4 3 , ή 2 6 , ενώ 1024=6 4 =4 5 , ή 2 10 .

Επομένως, το πρόβλημά μας μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο: 4 2 x4 3 =4 5 ή 2 4 x2 6 =2 10, και κάθε φορά παίρνουμε 1024.

Μπορούμε να λύσουμε μια σειρά από παρόμοια παραδείγματα και να δούμε ότι ο πολλαπλασιασμός των αριθμών με δυνάμεις μειώνεται σε προσθήκη εκθετών, ή εκθέτη, φυσικά, με την προϋπόθεση ότι οι βάσεις των παραγόντων είναι ίσες.

Έτσι, μπορούμε, χωρίς να πολλαπλασιάσουμε, να πούμε αμέσως ότι 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης κατά τη διαίρεση αριθμών με δυνάμεις, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, π.χ ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος. Έτσι, 2 5:2 3 =2 2 , που σε συνηθισμένους αριθμούςισούται με 32:8=4, δηλαδή 2 2 . Ας συνοψίσουμε:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, όπου m και n είναι ακέραιοι αριθμοί.

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμών με δυνάμειςδεν είναι πολύ βολικό, γιατί πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε τον αριθμό σε εκθετική μορφή. Δεν είναι δύσκολο να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς 8 και 16 σε αυτή τη μορφή, δηλαδή 2 3 και 2 4, αλλά πώς να το κάνουμε αυτό με τους αριθμούς 7 και 17; Ή τι να κάνετε σε εκείνες τις περιπτώσεις που ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε εκθετική μορφή, αλλά οι βάσεις των εκθετικών εκφράσεων των αριθμών είναι πολύ διαφορετικές. Για παράδειγμα, το 8×9 είναι 2 3 x 3 2, οπότε δεν μπορούμε να αθροίσουμε τους εκθέτες. Ούτε το 2 5 ούτε το 3 5 είναι η απάντηση, ούτε η απάντηση μεταξύ των δύο.

Τότε αξίζει να ασχοληθείτε καθόλου με αυτή τη μέθοδο; Σίγουρα αξίζει τον κόπο. Παρέχει τεράστια πλεονεκτήματα, ειδικά για πολύπλοκους και χρονοβόρους υπολογισμούς.

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού τα χρειάζεστε; Γιατί χρειάζεται να αφιερώσετε χρόνο στη μελέτη τους;

Για να μάθετε τα πάντα για τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας Καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά σε έναν επιτυχημένο περνώντας το OGEή την Ενιαία Κρατική Εξέταση και να μπεις στο πανεπιστήμιο των ονείρων σου.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκθετικότητα είναι η ίδια μαθηματική πράξη με την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση.

Τώρα θα εξηγήσω τα πάντα στην ανθρώπινη γλώσσα σε πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Κάθε ένα έχει δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με την κόλα μπορεί να γραφτεί με διαφορετικό τρόπο: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Πρώτα παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Και ποια άλλα δύσκολα κόλπα μέτρησης βρήκαν οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι. Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο μυαλό τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε μόνο θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται το δεύτερο πτυχίο τετράγωνοαριθμούς και το τρίτο κύβος? Τι σημαίνει? Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα που μετράει μέτρα ανά μέτρα. Η πισίνα βρίσκεται στην αυλή σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Αλλά ... πισίνα χωρίς πάτο! Είναι απαραίτητο να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή του πυθμένα της πισίνας.

Μπορείτε απλά να μετρήσετε πατώντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν τα πλακάκια σας είναι μέτρο με μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα πού είδες τέτοιο πλακάκι; Το πλακάκι θα είναι μάλλον εκατοστά εκ. Και μετά θα σε βασανίζουν «μετρώντας με το δάχτυλό σου». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάζοντας με, λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζεται ο ίδιος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της εκθέσεως. (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση σε μια ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και επίσης υπάρχουν λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα έως το δεύτερο βαθμό θα είναι (). Ή μπορείτε να πείτε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς, μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού ... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να μετρήσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή ... αν το παρατηρήσετε Σκακιέραείναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε οκτώ. Αποκτήστε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ένα πάτο σε μέγεθος ένα μέτρο και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο με ένα μέτρο θα μπουν στο δικό σας πισίνα.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα… είκοσι δύο, είκοσι τρία… Πόσο βγήκε; Δεν χάθηκες; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ισούται με κύβους… Πιο εύκολο σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το κάνουν πολύ εύκολο. Μείωσε τα πάντα σε μία ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Και τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με ένα δάχτυλο, το κάνουν με μία ενέργεια: τρία σε έναν κύβο είναι ίσα. Είναι γραμμένο έτσι:

Παραμένει μόνο απομνημονεύστε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσουμε επιτέλους ότι τα πτυχία τα εφευρέθηκαν αργόσχολοι και πονηροί για να λύσουν τα προβλήματα της ζωής τους και όχι για να σας δημιουργήσουν προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε άλλο ένα εκατομμύριο για κάθε εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε ένα από τα εκατομμύρια σας στην αρχή κάθε έτους διπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν τώρα κάθεσαι και «μετράς με το δάχτυλό σου», τότε είσαι πολύ εργατικός άνθρωπος και .. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Έτσι, τον πρώτο χρόνο - δύο φορές δύο ... τον δεύτερο χρόνο - τι έγινε, από δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο ... Σταματήστε! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται μόνος του μία φορά. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε διαγωνισμό και αυτός που υπολογίζει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια ... Αξίζει να θυμάστε τους βαθμούς των αριθμών, τι πιστεύετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε δύο περισσότερα για κάθε εκατομμύριο. Είναι υπέροχο σωστά; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο ... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα η τέταρτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη, θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες ... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται "στην κορυφή" της ισχύος του αριθμού. Δεν είναι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλός είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο κάτω μέρος, στη βάση.

Εδώ είναι μια φωτογραφία για να είστε σίγουροι.

Λοιπόν και μέσα γενική εικόναγια να γενικεύσουμε και να θυμάστε καλύτερα ... Ένας βαθμός με βάση "" και εκθέτη "" διαβάζεται ως "στο βαθμό" και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον το μαντέψατε ήδη: γιατί ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση κατά την καταχώριση στοιχείων: ένα, δύο, τρία ... Όταν μετράμε στοιχεία, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε ούτε «ένα τρίτο» ή «μηδέν πόντος πέντε δέκατα». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Ποιοι πιστεύετε ότι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και έναν αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - αυτό είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Και τι σημαίνουν αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να δηλώσουν χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε ρούβλια στον χειριστή.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν αρκετούς φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί… Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Με λίγα λόγια, ατελείωτο δεκαδικός. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, τότε παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια του βαθμού, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

1. Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει πολλαπλασιασμός του από τον εαυτό του:
3. Ο κύβος ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη είναι να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό με τον εαυτό του φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίου

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σου δείξω τώρα.

Ας δούμε τι είναι και ?

Εξ ορισμού:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε παράγοντες στους παράγοντες και το αποτέλεσμα είναι παράγοντες.

Αλλά εξ ορισμού, αυτός είναι ο βαθμός ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας αναγκαίωςπρέπει να είναι ο ίδιος λόγος!
Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψετε αυτό.

2. δηλαδή -η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Πτυχίο με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε μοίρες από φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΑΛΛΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, βγαίνει.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Εάν ανταλλάσσονταν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή λαμβάνονται με το πρόσημο «») και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, αναρωτιόμαστε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Σκεφτείτε λίγη δύναμη με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε τον ίδιο όπως ήταν -. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μια πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιοδήποτε βαθμό - όσο κι αν πολλαπλασιάσετε το μηδέν με τον εαυτό του, εξακολουθείτε να παίρνετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στον μηδενικό βαθμό, πρέπει να είναι ίσος. Ποια είναι λοιπόν η αλήθεια αυτού; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός βαθμός, ας κάνουμε το ίδιο με την προηγούμενη φορά: πολλαπλασιάζουμε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο σε αρνητικό βαθμό:

Από εδώ είναι ήδη εύκολο να εκφράσουμε το επιθυμητό:

Τώρα επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Ας διαμορφώσουμε λοιπόν τον κανόνα:

Ένας αριθμός σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη. Αλλα ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται σε περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν είναι ίσος με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Ανάλυση εργασιών για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις πρέπει να είσαι έτοιμος για όλα! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τη λύση τους αν δεν μπορούσατε να τη λύσετε και θα μάθετε πώς να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε τον κύκλο των αριθμών «κατάλληλων» ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: όλα όσα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι, επιπλέον.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός"Ας εξετάσουμε ένα κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα θυμηθείτε τον κανόνα "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, είναι ίσος.

Δηλαδή, η ρίζα του ου βαθμού είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς, αυτή η ειδική περίπτωση μπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέστε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί με τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς!

Και αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική ισχύ με άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, μειωμένα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, και πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Μόλις όμως γράψουμε τον δείκτη με διαφορετικό τρόπο, ξαναμπαίνουμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγετε τέτοια παράδοξα, σκεφτείτε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη είναι πολύ χρήσιμες για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα - το πιο δύσκολο. Τώρα θα αναλύσουμε βαθμό με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των μοιρών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για τους βαθμούς με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Πράγματι, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...μηδενική ισχύς- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από μόνος του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει ακόμη εμφανιστεί - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας ορισμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή τον αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος εκθέτης- είναι σαν να έχει λάβει χώρα μια συγκεκριμένη «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον ήδη συνηθισμένο κανόνα για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό:

Δείτε τώρα το σκορ. Σας θυμίζει κάτι; Υπενθυμίζουμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτήν την περίπτωση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Φέρνουμε κλάσματα σε εκθέτες στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κοινά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι έκφραση της μορφής: , όπου:

• — βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό εκθέτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Ισχύς με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

ανέγερση σε μηδενική ισχύ:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι ακέραιος αρνητικόςαριθμός:

(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Για άλλη μια φορά για τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίου

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

Εξ ορισμού:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης, προκύπτει το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με έναν εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας αναγκαίωςπρέπει να έχουν την ίδια βάση. Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

Μια άλλη σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας - μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψω.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας το αναδιατάξουμε ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η -η δύναμη του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:!

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο τι θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε μοίρες από φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΑΛΛΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε -.

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό, το πρόσημο θα αλλάζει. Είναι δυνατό να διατυπωθεί τέτοια απλούς κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Αρνητικός αριθμός, ανεγέρθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμόμαστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση λιγότερο από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε ο ένας στον άλλο, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν αναλύσουμε τον τελευταίο κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορεί να αντικατασταθεί αλλάζοντας μόνο ένα απαράδεκτο μείον για εμάς!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Λοιπόν τώρα ο τελευταίος κανόνας:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκτείνουμε την έννοια του πτυχίου και ας απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα θα είναι; φορές με πολλαπλασιαστές - πώς μοιάζει; Αυτό δεν είναι παρά ο ορισμός μιας πράξης πολλαπλασιασμός: συνολικά αποδείχθηκαν πολλαπλασιαστές. Δηλαδή, είναι εξ ορισμού δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το πτυχίο με έναν παράλογο δείκτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ορθολογικούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στον μηδέν βαθμό είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα ορισμένη «προετοιμασία ενός αριθμού», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό δείκτη - είναι σαν να έχει συμβεί μια συγκεκριμένη "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Μάλλον, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

1)

2)

3)

Απαντήσεις:

1. Θυμηθείτε τη διαφορά των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Φέρνουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

βαθμός, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

εκθέτης του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίου

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΛΟΓΙΑ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Ενημερώστε με στα σχόλια παρακάτω αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας με τις ιδιότητες ισχύος.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!