Οι τύποι ή οι κανόνες μειωμένου πολλαπλασιασμού χρησιμοποιούνται στην αριθμητική, και πιο συγκεκριμένα στην άλγεβρα, για περισσότερα γρήγορη διαδικασίαυπολογισμός μεγάλων αλγεβρικών παραστάσεων. Οι ίδιοι οι τύποι προέρχονται από τους υπάρχοντες κανόνες στην άλγεβρα για τον πολλαπλασιασμό πολλών πολυωνύμων.
Η χρήση αυτών των τύπων παρέχει μια αρκετά γρήγορη λύση σε διάφορα μαθηματικά προβλήματα και βοηθά επίσης στην απλοποίηση των εκφράσεων. Οι κανόνες των αλγεβρικών μετασχηματισμών σάς επιτρέπουν να εκτελέσετε κάποιους χειρισμούς με εκφράσεις, μετά τους οποίους μπορείτε να πάρετε την έκφραση στην αριστερή πλευρά της ισότητας που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά ή να μετατρέψετε τη δεξιά πλευρά της ισότητας (για να λάβετε την έκφραση στο αριστερή πλευρά μετά το σύμβολο ίσου).
Είναι βολικό να γνωρίζετε τους τύπους που χρησιμοποιούνται για συντομευμένο πολλαπλασιασμό με μνήμη, καθώς χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων και εξισώσεων. Οι κύριοι τύποι που περιλαμβάνονται σε αυτήν τη λίστα και τα ονόματά τους παρατίθενται παρακάτω.
τετράγωνο αθροίσματος
Για να υπολογίσετε το τετράγωνο του αθροίσματος, πρέπει να βρείτε το άθροισμα που αποτελείται από το τετράγωνο του πρώτου όρου, το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου όρου και του δεύτερου, και το τετράγωνο του δεύτερου. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Το τετράγωνο της διαφοράς
Για να υπολογίσετε το τετράγωνο της διαφοράς, πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα που αποτελείται από το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού από το δεύτερο (παράγεται από αντίθετο σημάδι) και το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού. Σε μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Διαφορά τετραγώνων
Ο τύπος για τη διαφορά δύο αριθμών στο τετράγωνο είναι ίσος με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των αριθμών και της διαφοράς τους. Με τη μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
κύβος αθροίσματος
Για να υπολογίσετε τον κύβο του αθροίσματος δύο όρων, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το άθροισμα που αποτελείται από τον κύβο του πρώτου όρου, τριπλασιάστε το γινόμενο του τετραγώνου του πρώτου όρου και του δεύτερου, το τριπλό γινόμενο του πρώτου όρου και του δεύτερο τετράγωνο, και ο κύβος του δεύτερου όρου. Με τη μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Άθροισμα κύβων
Σύμφωνα με τον τύπο, ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των όρων και του ημιτελούς τετραγώνου της διαφοράς τους. Με τη μορφή έκφρασης, αυτός ο κανόνας μοιάζει με αυτό: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Παράδειγμα.Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του σχήματος, ο οποίος σχηματίζεται με την προσθήκη δύο κύβων. Μόνο τα μεγέθη των πλευρών τους είναι γνωστά.
Εάν οι τιμές των πλευρών είναι μικρές, τότε είναι εύκολο να κάνετε υπολογισμούς.
Εάν τα μήκη των πλευρών εκφράζονται σε δυσκίνητους αριθμούς, τότε σε αυτήν την περίπτωση είναι ευκολότερο να εφαρμοστεί ο τύπος "Άθροισμα κύβων", ο οποίος θα απλοποιήσει σημαντικά τους υπολογισμούς.
κύβος διαφοράς
Η έκφραση για την κυβική διαφορά ακούγεται ως εξής: ως άθροισμα της τρίτης δύναμης του πρώτου όρου, τριπλασιάστε το αρνητικό γινόμενο του τετραγώνου του πρώτου όρου με το δεύτερο, τριπλασιάστε το γινόμενο του πρώτου όρου με το τετράγωνο του δεύτερου , και τον αρνητικό κύβο του δεύτερου όρου. Με τη μορφή μαθηματικής έκφρασης, ο κύβος διαφοράς μοιάζει με αυτό: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Διαφορά των κύβων
Ο τύπος για τη διαφορά των κύβων διαφέρει από το άθροισμα των κύβων κατά ένα μόνο πρόσημο. Έτσι, η διαφορά των κύβων είναι ένας τύπος, ίσο με το γινόμενοτη διαφορά των δεδομένων αριθμών με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος. Στη μορφή, η διαφορά των κύβων μοιάζει με αυτό: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Παράδειγμα.Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του σχήματος που θα παραμείνει μετά την αφαίρεση του όγκου του μπλε κύβου από τον όγκο του σχήματος κίτρινο χρώμα, που είναι επίσης ένας κύβος. Είναι γνωστό μόνο το μέγεθος της πλευράς ενός μικρού και μεγάλου κύβου.
Εάν οι τιμές των πλευρών είναι μικρές, τότε οι υπολογισμοί είναι αρκετά απλοί. Και αν τα μήκη των πλευρών εκφράζονται σε σημαντικούς αριθμούς, τότε αξίζει να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο με τίτλο "Διαφορά κύβων" (ή "Κύβος διαφοράς"), ο οποίος θα απλοποιήσει πολύ τους υπολογισμούς.
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού.
Μελετώντας τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων. διαφορά τετραγώνων δύο παραστάσεων. ο κύβος του αθροίσματος και ο κύβος της διαφοράς δύο παραστάσεων. αθροίσματα και διαφορές κύβων δύο παραστάσεων.
Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Για την απλοποίηση των εκφράσεων, την παραγοντοποίηση πολυωνύμων και τη μείωση των πολυωνύμων σε τυπική μορφή, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού που πρέπει να γνωρίζετε από καρδιάς.
Έστω a, b R. Τότε:
1. Το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων είναιτο τετράγωνο της πρώτης παράστασης συν το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων είναιτο τετράγωνο της πρώτης παράστασης μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.
(α - β) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Διαφορά τετραγώνωνδύο εκφράσεις ισούνται με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων και το άθροισμά τους.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. κύβος αθροίσματοςδύο παραστάσεων ισούται με τον κύβο της πρώτης παράστασης συν το τριπλάσιο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης επί τη δεύτερη συν τρεις φορές το γινόμενο της πρώτης παράστασης επί το τετράγωνο της δεύτερης συν τον κύβο της δεύτερης παράστασης.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. κύβος διαφοράςδύο παραστάσεων ισούται με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον το τριπλάσιο του γινόμενου του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν τρεις φορές το γινόμενο της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης μείον τον κύβο της δεύτερης παράστασης.
(α - β) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Άθροισμα κύβωνδύο παραστάσεις ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Διαφορά των κύβωνδύο παραστάσεων ισούται με το γινόμενο της διαφοράς της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων από το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος αυτών των παραστάσεων.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα 1
Υπολογίζω
α) Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων, έχουμε
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
β) Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την τετραγωνική διαφορά δύο παραστάσεων, παίρνουμε
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Παράδειγμα 2
Υπολογίζω
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων δύο παραστάσεων, παίρνουμε
Παράδειγμα 3
Απλοποίηση έκφρασης
(x - y) 2 + (x + y) 2
Χρησιμοποιούμε τους τύπους για το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού σε έναν πίνακα:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(α - β) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(α - β) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού (FSU) χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό και τον πολλαπλασιασμό αριθμών και παραστάσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι σάς επιτρέπουν να κάνετε υπολογισμούς πιο συμπαγή και γρήγορα.
Σε αυτό το άρθρο, θα απαριθμήσουμε τους κύριους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό, θα τους ομαδοποιήσουμε σε έναν πίνακα, θα εξετάσουμε παραδείγματα χρήσης αυτών των τύπων και θα σταθούμε επίσης στις αρχές για την απόδειξη συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
Για πρώτη φορά εξετάζεται το θέμα του FSU στα πλαίσια του μαθήματος «Άλγεβρα» για την 7η τάξη. Παρακάτω είναι 7 βασικοί τύποι.
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού
- τύπος αθροίσματος τετραγώνου: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- τετράγωνος τύπος διαφοράς: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- τύπος κύβου αθροίσματος: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- τύπος κύβου διαφοράς: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- τύπος διαφοράς τετραγώνων: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- τύπος για το άθροισμα των κύβων: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- τύπος διαφοράς κύβου: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Τα γράμματα a, b, c σε αυτές τις εκφράσεις μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, μεταβλητές ή εκφράσεις. Για ευκολία στη χρήση, είναι καλύτερο να μάθετε τις επτά βασικές φόρμουλες από την καρδιά. Τα συνοψίζουμε σε έναν πίνακα και τα δίνουμε παρακάτω, κυκλώνοντάς τα με ένα κουτί.
Οι τέσσερις πρώτοι τύποι σας επιτρέπουν να υπολογίσετε, αντίστοιχα, το τετράγωνο ή τον κύβο του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο παραστάσεων.
Ο πέμπτος τύπος υπολογίζει τη διαφορά των τετραγώνων των παραστάσεων πολλαπλασιάζοντας το άθροισμα και τη διαφορά τους.
Ο έκτος και ο έβδομος τύπος είναι, αντίστοιχα, ο πολλαπλασιασμός του αθροίσματος και της διαφοράς των παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς και το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος.
Ο συντετμημένος τύπος πολλαπλασιασμού ονομάζεται μερικές φορές και συντετμημένες ταυτότητες πολλαπλασιασμού. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, αφού κάθε ισότητα είναι μια ταυτότητα.
Κατά την επίλυση πρακτικών παραδειγμάτων, οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού χρησιμοποιούνται συχνά με αναδιαταγμένα αριστερά και δεξιά μέρη. Αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου.
Πρόσθετοι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού
Δεν θα περιοριστούμε στο μάθημα της 7ης τάξης στην άλγεβρα και θα προσθέσουμε μερικούς ακόμη τύπους στον πίνακα FSU μας.
Αρχικά, εξετάστε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Εδώ C n k είναι οι διωνυμικοί συντελεστές που βρίσκονται στον αριθμό n της γραμμής στο τρίγωνο του Pascal. Οι διωνυμικοί συντελεστές υπολογίζονται με τον τύπο:
C nk = n ! κ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Όπως μπορείτε να δείτε, το FSU για το τετράγωνο και τον κύβο της διαφοράς και του αθροίσματος είναι μια ειδική περίπτωση του διωνυμικού τύπου του Νεύτωνα για n=2 και n=3, αντίστοιχα.
Αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν περισσότεροι από δύο όροι στο άθροισμα που πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη; Ο τύπος για το τετράγωνο του αθροίσματος τριών, τεσσάρων ή περισσότερων όρων θα είναι χρήσιμος.
α 1 + α 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ένας άλλος τύπος που μπορεί να σας φανεί χρήσιμος είναι ο τύπος για τη διαφορά των ντων δυνάμεων δύο όρων.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Αυτός ο τύπος συνήθως χωρίζεται σε δύο τύπους - αντίστοιχα για ζυγούς και περιττούς βαθμούς.
Για ζυγούς εκθέτες 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Για περιττούς εκθέτες 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Οι τύποι για τη διαφορά των τετραγώνων και τη διαφορά των κύβων, το μαντέψατε, είναι ειδικές περιπτώσεις αυτού του τύπου για n = 2 και n = 3, αντίστοιχα. Για τη διαφορά των κύβων, το b αντικαθίσταται επίσης από - b .
Πώς να διαβάσετε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού;
Θα δώσουμε τα αντίστοιχα σκευάσματα για κάθε τύπο, αλλά πρώτα θα ασχοληθούμε με την αρχή της ανάγνωσης τύπων. Ο ευκολότερος τρόπος για να γίνει αυτό είναι με ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε τον πρώτο τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Λένε: το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων α και β είναι ίσο με το άθροισμα του τετραγώνου της πρώτης παράστασης, διπλάσιο του γινόμενου των παραστάσεων και του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης.
Όλοι οι άλλοι τύποι διαβάζονται παρόμοια. Για την τετραγωνική διαφορά a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 γράφουμε:
το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων α και β είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των παραστάσεων μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων.
Ας διαβάσουμε τον τύπο a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ο κύβος του αθροίσματος δύο παραστάσεων α και β είναι ίσος με το άθροισμα των κύβων αυτών των παραστάσεων, τρεις φορές το γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης και τριπλάσιο του γινόμενου του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης και η πρώτη έκφραση.
Προχωράμε στην ανάγνωση του τύπου για τη διαφορά των κύβων a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ο κύβος της διαφοράς δύο παραστάσεων a και b είναι ίσος με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον το τριπλάσιο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης, συν τριπλάσιο του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης και της πρώτης παράστασης, μείον τον κύβο της δεύτερης έκφρασης.
Ο πέμπτος τύπος a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (διαφορά τετραγώνων) έχει ως εξής: η διαφορά των τετραγώνων δύο παραστάσεων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς και το άθροισμα των δύο παραστάσεων.
Εκφράσεις όπως a 2 + a b + b 2 και a 2 - a b + b 2 για ευκολία ονομάζονται, αντίστοιχα, το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος και το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς.
Έχοντας αυτό υπόψη, οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων διαβάζονται ως εξής:
Το άθροισμα των κύβων δύο παραστάσεων είναι ίσο με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των παραστάσεων και το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς τους.
Η διαφορά των κύβων δύο παραστάσεων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος τους.
Απόδειξη FSU
Η απόδειξη του FSU είναι αρκετά απλή. Με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, θα πραγματοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό των μερών των τύπων σε αγκύλες.
Για παράδειγμα, εξετάστε τον τύπο για το τετράγωνο της διαφοράς.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Για να αυξηθεί μια έκφραση στη δεύτερη δύναμη, η έκφραση πρέπει να πολλαπλασιαστεί από μόνη της.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Η φόρμουλα έχει αποδειχθεί. Τα άλλα FSOs αποδεικνύονται παρόμοια.
Παραδείγματα εφαρμογής του FSO
Ο σκοπός της χρήσης τύπων μειωμένου πολλαπλασιασμού είναι ο γρήγορος και συνοπτικός πολλαπλασιασμός και η εκθέτηση παραστάσεων. Ωστόσο, αυτό δεν είναι ολόκληρο το πεδίο εφαρμογής του FSO. Χρησιμοποιούνται ευρέως στη μείωση των εκφράσεων, στη μείωση των κλασμάτων, στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Ας δώσουμε παραδείγματα.
Παράδειγμα 1. FSO
Ας απλοποιήσουμε την έκφραση 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Εφαρμόστε τον τύπο του αθροίσματος τετραγώνων και λάβετε:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Παράδειγμα 2. FSO
Μειώστε το κλάσμα 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Παρατηρούμε ότι η έκφραση στον αριθμητή είναι η διαφορά των κύβων και στον παρονομαστή - η διαφορά των τετραγώνων.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Μειώνουμε και παίρνουμε:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Τα FSU βοηθούν επίσης στον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων. Το κύριο πράγμα είναι να μπορείτε να παρατηρήσετε πού να εφαρμόσετε τον τύπο. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας τετραγωνίσουμε τον αριθμό 79. Αντί για δυσκίνητους υπολογισμούς, γράφουμε:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Φαίνεται ότι ένας πολύπλοκος υπολογισμός πραγματοποιήθηκε γρήγορα με τη χρήση μόνο συντετμημένων τύπων πολλαπλασιασμού και πίνακα πολλαπλασιασμού.
Αλλο σημαντικό σημείο- επιλογή του τετραγώνου του διωνύμου. Η έκφραση 4 x 2 + 4 x - 3 μπορεί να μετατραπεί σε 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Τέτοιοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στην ολοκλήρωση.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Σε προηγούμενα μαθήματα, εξετάσαμε δύο τρόπους παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου: να αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες και τη μέθοδο ομαδοποίησης.
Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.
Σας συνιστούμε να γράφετε κάθε τύπο τουλάχιστον 12 φορές. Για καλύτερη απομνημόνευση, γράψτε όλους τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού για τον εαυτό σας σε ένα μικρό φύλλο εξαπάτησης.
Θυμηθείτε πώς μοιάζει ο τύπος για τη διαφορά των κύβων.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Η φόρμουλα για τη διαφορά των κύβων δεν είναι πολύ εύκολο να θυμηθεί κανείς, γι' αυτό συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε έναν ειδικό τρόπο για να τον θυμάστε.
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι οποιοσδήποτε συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού λειτουργεί επίσης αντιθετη πλευρα.
(α − β)(α 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Εξετάστε ένα παράδειγμα. Είναι απαραίτητο να παραγοντοποιήσουμε τη διαφορά των κύβων.
Σημειώστε ότι το "27a 3" είναι "(3a) 3", που σημαίνει ότι για τον τύπο για τη διαφορά των κύβων, αντί για "a", χρησιμοποιούμε "3a".
Χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη διαφορά των κύβων. Στη θέση του "a 3", έχουμε "27a 3", και στη θέση του "b 3", όπως στον τύπο, υπάρχει "b 3".
Εφαρμογή διαφοράς κύβου αντίστροφα
Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα. Απαιτείται η μετατροπή του γινόμενου πολυωνύμων στη διαφορά των κύβων χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού.
Σημειώστε ότι το γινόμενο των πολυωνύμων "(x − 1) (x 2 + x + 1)" μοιάζει με τη δεξιά πλευρά του τύπου για τη διαφορά των κύβων "", μόνο αντί για "a" είναι " x", Και σε η θέση του «β» είναι «1» .
Για το “(x − 1)(x 2 + x + 1)”, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη διαφορά των κύβων προς την αντίθετη κατεύθυνση.
Ας εξετάσουμε ένα πιο δύσκολο παράδειγμα. Απαιτείται η απλοποίηση του γινομένου των πολυωνύμων.
Αν συγκρίνουμε το "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" με τη δεξιά πλευρά του τύπου για τη διαφορά των κύβων
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", τότε μπορείτε να καταλάβετε ότι στη θέση του "a" από την πρώτη αγκύλη είναι "y 2, και στη θέση του "b" είναι "1".