Παραδείγματα υπολογισμού λογαρίθμων. Φυσικός λογάριθμος, ln x συνάρτηση

Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b * a c = a b + c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους δείκτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου απαιτείται να απλοποιηθεί ο περίπλοκος πολλαπλασιασμός σε απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Απλή και προσιτή γλώσσα.

Ορισμός στα μαθηματικά

Ο λογάριθμος είναι έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" σύμφωνα με τη βάση του "a" θεωρείται η δύναμη του "c », στην οποία είναι απαραίτητο να αυξηθεί η βάση "a", έτσι ώστε στο τέλος να ληφθεί η τιμή "b". Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρεις τέτοιο βαθμό ώστε από το 2 στον απαιτούμενο βαθμό να παίρνεις 8. Έχοντας κάνει κάποιους υπολογισμούς στο μυαλό σου, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και δικαίως, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει τον αριθμό 8 στην απάντηση.

Ποικιλίες λογαρίθμων

Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα, οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρεις ξεχωριστοί τύποι λογαριθμικές εκφράσεις:

Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
Ο λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.

Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να ληφθούν οι σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και τη σειρά των ενεργειών στις αποφάσεις τους.

Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί

Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι αληθινοί. Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να διαιρέσετε αριθμούς με το μηδέν και είναι επίσης αδύνατο να πάρετε μια άρτια ρίζα από αρνητικούς αριθμούς. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε πώς να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:

η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και ταυτόχρονα να μην είναι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
αν a > 0, τότε a b > 0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Πώς να λύσετε λογάριθμους;

Για παράδειγμα, δόθηκε η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x \u003d 100. Είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια τέτοια ισχύ, αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο παίρνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 \u003d 100.

Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση ως λογαριθμική. Λαμβάνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν στην εύρεση του βαθμού στον οποίο πρέπει να εισαχθεί η βάση του λογαρίθμου για να ληφθεί ένας δεδομένος αριθμός.

Για έναν χωρίς σφάλματα προσδιορισμό της τιμής άγνωστο πτυχίοπρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με έναν πίνακα πτυχίων. Μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνική νοοτροπία και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, για μεγάλες αξίεςχρειάζεστε έναν πίνακα πτυχίων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και από όσους δεν καταλαβαίνουν απολύτως τίποτα σε πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c, στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στην τομή στα κελιά προσδιορίζονται οι τιμές των αριθμών που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!

Εξισώσεις και ανισώσεις

Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες, ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική εξίσωση. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο λογάριθμος του 81 στη βάση 3, που είναι τέσσερα (log 3 81 = 4). Για τις αρνητικές δυνάμεις, οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα εξετάσουμε λίγο χαμηλότερα, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.

Δίνεται έκφραση της ακόλουθης μορφής: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή "x" βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές στην απάντηση, ενώ κατά την επίλυση της ανισότητας, τόσο το εύρος αποδεκτές τιμές και τα σημεία που σπάζουν αυτή τη συνάρτηση. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση της εξίσωσης, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.

Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους

Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών για την εύρεση των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα εξοικειωθούμε με παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, ας αναλύσουμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.

Η βασική ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο εάν το a είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα, και το Β είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Επιπλέον, προαπαιτούμενοείναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον τύπο των λογαρίθμων, με παραδείγματα και μια λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2 , μετά a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Παίρνουμε ότι s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες βαθμού ), και περαιτέρω εξ ορισμού: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά στηρίζονται σε κανονικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.

Έστω log a b \u003d t, αποδεικνύεται t \u003d b. Αν σηκώσετε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;

αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n , άρα log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι λογαρίθμων προβλημάτων είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία, ενώ περιλαμβάνονται και στο υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων στα μαθηματικά. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές δοκιμασίες στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να λύσετε σωστά τέτοιες εργασίες.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, ωστόσο, κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση μπορεί να εφαρμοστεί ορισμένους κανόνες. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να περιοριστεί σε γενική εικόνα. Μπορείτε να απλοποιήσετε μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις εάν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητές τους. Ας τους γνωρίσουμε σύντομα.

Κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τι είδους λογάριθμο έχουμε μπροστά μας: ένα παράδειγμα μιας παράστασης μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.

Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να προσδιορίσετε τον βαθμό στον οποίο η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για λύσεις φυσικών λογαρίθμων, πρέπει να εφαρμοστούν λογαριθμικές ταυτότητες ή οι ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις

Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των κύριων θεωρημάτων στους λογαρίθμους.

Η ιδιότητα του λογάριθμου του προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να επεκταθεί μεγάλης σημασίαςτους αριθμούς β σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου, καταφέραμε να λύσουμε με την πρώτη ματιά μια σύνθετη και άλυτη έκφραση. Είναι απαραίτητο μόνο να παραγοντοποιήσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές των εκθετών από το πρόσημο του λογαρίθμου.

Εργασίες από τις εξετάσεις

Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως αυτές οι εργασίες υπάρχουν όχι μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο τεστ της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (τις πιο δύσκολες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση συνεπάγεται ακριβή και άρτια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».

Παραδείγματα και λύσεις προβλημάτων λαμβάνονται από επίσημους Επιλογές ΧΡΗΣΗΣ. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.

Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2 , με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4 , άρα 2x = 17; x = 8,5.

Όλοι οι λογάριθμοι ανάγεται καλύτερα στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι περίπλοκη και μπερδεμένη.
Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν αφαιρούμε τον εκθέτη του εκθέτη της έκφρασης, ο οποίος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και ως βάση του, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.

βασικές ιδιότητες.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ίδιους λόγους

log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

4. Οπου .

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά αφού οι λογάριθμοι δεν είναι πραγματικά συνηθισμένους αριθμούς, υπάρχουν κανόνες εδώ, που λέγονται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - χωρίς αυτούς, ούτε ένας σοβαρός λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Σημείωση: βασική στιγμήΕδώ - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Με βάση αυτό το γεγονός πολλοί χαρτιά δοκιμής. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι είναι παραδείγματα λύσεων.

Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η κύρια λογαριθμική ταυτότηταμερικές φορές είναι η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση α δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια τέτοια ισχύ x () στην οποία η ισότητα είναι αληθής

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Οι παραπάνω ιδιότητες πρέπει να είναι γνωστές, αφού, στη βάση τους, σχεδόν όλα τα προβλήματα και τα παραδείγματα επιλύονται βάσει λογαρίθμων. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν με μαθηματικούς χειρισμούς με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντώνται αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι έστω και δέκα, εκθετική ή δευτερεύουσα.
Ο λογάριθμος της βάσης δέκα ονομάζεται συνήθως λογάριθμος βάσης δέκα και συμβολίζεται απλώς lg(x).

Από την καταγραφή φαίνεται ότι τα βασικά δεν γράφονται στο αρχείο. Για παράδειγμα

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο εκθέτης (συμβολίζεται ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος βάσης δύο είναι

Η παράγωγος του λογάριθμου της συνάρτησης ισούται με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από την εξάρτηση

Το παραπάνω υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για λόγους κατανόησης του υλικού, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς των λογαρίθμων, έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση που χρησιμοποιεί μια σειρά κανόνων απλοποιείται στη φόρμα

Εύρεση τιμών λογαρίθμου

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό εφαρμόζουμε τις ιδιότητες 5 και 13 μέχρι τον τελευταίο όρο

Αντικαταστήστε στο δίσκο και θρηνήστε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Πάρτε τον λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψετε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτήσατε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας για ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες ...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Μετάβαση σε νέα βάση

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο. Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, τότε μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία πρέπει να σηκώσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

Ο λογάριθμος στη βάση a του ορίσματος x είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί ο αριθμός x.

Σημείωση: log a x \u003d b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι στην πραγματικότητα αυτό με το οποίο ισούται ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Μπορεί επίσης να καταγράψει 2 64 = 6 επειδή 2 6 = 64 .

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται λογάριθμος. Ας προσθέσουμε λοιπόν μια νέα σειρά στον πίνακά μας:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ημερολόγιο 2 2 = 1	ημερολόγιο 2 4 = 2	ημερολόγιο 2 8 = 3	ημερολόγιο 2 16 = 4	ημερολόγιο 2 32 = 5	ημερολόγιο 2 64 = 6

Δυστυχώς, δεν εξετάζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5 . Ο αριθμός 5 δεν είναι στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο τμήμα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' αόριστον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε ως εξής: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ο λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (βάση και όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογαρίθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι η δύναμη, στο οποίο πρέπει να ανεβάσετε τη βάση για να λάβετε το επιχείρημα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - στην εικόνα επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω αυτόν τον υπέροχο κανόνα στους μαθητές μου στο πρώτο μάθημα - και δεν υπάρχει σύγχυση.

Καταλάβαμε τον ορισμό - μένει να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:

Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός του λογάριθμου.
Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μονάδα, αφού μια μονάδα σε οποιαδήποτε δύναμη εξακολουθεί να είναι μια μονάδα. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται έγκυρο εύρος(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (η τιμή του λογάριθμου) δεν επιβάλλεται. Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 \u003d -1, επειδή 0,5 = 2 −1 .

Ωστόσο, προς το παρόν εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται η γνώση του ODZ του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους μεταγλωττιστές των προβλημάτων. Όταν όμως πάνε λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες, οι απαιτήσεις DHS θα καταστούν υποχρεωτικές. Πράγματι, στη βάση και το επιχείρημα μπορεί να υπάρχουν πολύ ισχυρές κατασκευές, οι οποίες δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.

Τώρα εξετάστε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με τη μικρότερη δυνατή βάση μεγαλύτερη του ενός. Στην πορεία, είναι καλύτερο να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα.
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα φανεί ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σχετική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Παρόμοιο με δεκαδικά: αν τα μεταφράσετε αμέσως σε συνηθισμένα, θα υπάρξουν πολλαπλάσια λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα με συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Έλαβε απάντηση: 2.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Λάβαμε απάντηση: 3.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Λήψη απάντησης: 0.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν αναπαρίσταται ως δύναμη του επτά, επειδή το 7 1< 14 < 7 2 ;
Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν λαμβάνεται υπόψη.
Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς να βεβαιωθείτε ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Πολύ απλό - απλώς αποσυνθέστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν υπάρχουν τουλάχιστον δύο διακριτοί παράγοντες στην επέκταση, ο αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.

Εργο. Μάθετε αν οι ακριβείς δυνάμεις του αριθμού είναι: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ο ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 δεν είναι ακριβής ισχύς γιατί υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 5 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.
14 \u003d 7 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.

Σημειώνουμε επίσης ότι εμείς πρώτοι αριθμοίείναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδική ονομασία και ονομασία.

Ο δεκαδικός λογάριθμος του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος βάσης 10, δηλ. τη δύναμη στην οποία πρέπει να σηκώσετε τον αριθμό 10 για να πάρετε τον αριθμό x. Ονομασία: lg x .

Για παράδειγμα, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως «Βρείτε το lg 0.01» στο σχολικό βιβλίο, να ξέρετε ότι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε συνηθισμένοι σε έναν τέτοιο χαρακτηρισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς.

φυσικός λογάριθμος

Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του σημείωση. Κατά μία έννοια, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Αυτός είναι ο φυσικός λογάριθμος.

Ο φυσικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος βάσης e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x .

Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος άλλος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός, η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να βρεθεί και να γραφτεί. Εδώ είναι μόνο οι πρώτοι αριθμοί:
e = 2,718281828459...

Δεν θα εμβαθύνουμε στο τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x

Έτσι ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός φυσικά από την ενότητα: ln 1 = 0.

Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Εργασίες, η λύση των οποίων είναι μετατροπή λογαριθμικών παραστάσεων, αρκετά συχνά βρίσκεται στις εξετάσεις.

Για την επιτυχή αντιμετώπιση τους με ελάχιστη δαπάνη χρόνου, εκτός από τις βασικές λογαριθμικές ταυτότητες, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και να χρησιμοποιούμε σωστά ορισμένους ακόμη τύπους.

Αυτό είναι: a log a b = b, όπου a, b > 0, a ≠ 1 (Απάγεται απευθείας από τον ορισμό του λογάριθμου).

log a b = log c b / log c a ή log a b = 1/log b a
όπου a, b, c > 0; α, γ ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |β|
όπου a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

α ημερολόγιο c b = b ημερολόγιο c α
όπου a, b, c > 0 και a, b, c ≠ 1

Για να δείξουμε την εγκυρότητα της τέταρτης ισότητας, παίρνουμε τον λογάριθμο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς στη βάση α. Παίρνουμε log a (a log c b) = log a (b log c a) ή log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log με b = log με β.

Αποδείξαμε την ισότητα των λογαρίθμων, που σημαίνει ότι οι εκφράσεις κάτω από τους λογάριθμους είναι επίσης ίσες. Η Formula 4 είναι αποδεδειγμένη.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε 81 log 27 5 log 5 4 .

Λύση.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Επομένως,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Τότε 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Μπορείτε να ολοκληρώσετε την παρακάτω εργασία μόνοι σας.

Υπολογίστε (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Ως υπόδειξη, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 2

Υπολογισμός (√11) κούτσουρο √3 9 log 121 81 .

Λύση.

Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (χρησιμοποιήθηκε ο τύπος 3).

Στη συνέχεια (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το ημερολόγιο 2 24 / ημερολόγιο 96 2 - ημερολόγιο 2 192 / ημερολόγιο 12 2.

Λύση.

Θα αντικαταστήσουμε τους λογάριθμους που περιέχονται στο παράδειγμα με λογάριθμους με βάση 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Στη συνέχεια log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + ημερολόγιο 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και μειώσουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε τον αριθμό 3. (Κατά την απλοποίηση της παράστασης, το log 2 3 μπορεί να συμβολιστεί με n και να απλοποιηθεί η παράσταση

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Απάντηση: 3.

Μπορείτε να κάνετε τα εξής μόνοι σας:

Υπολογισμός (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Εδώ είναι απαραίτητο να γίνει μετάβαση σε λογάριθμους στη βάση 3 και αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες μεγάλων αριθμών.

Απάντηση: 1/2

Παράδειγμα 4

Δίνονται τρεις αριθμοί A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Τακτοποιήστε τους με αύξουσα σειρά.

Λύση.

Ας μετατρέψουμε τους αριθμούς A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Ας τα συγκρίνουμε

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 και log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Ή 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Απάντηση. Επομένως, η σειρά τοποθέτησης των αριθμών: C; ΕΝΑ; ΣΕ.

Παράδειγμα 5

Πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν στο διάστημα (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Λύση.

Ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες δυνάμεις του αριθμού 3 είναι ο αριθμός 1/16. Παίρνουμε 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Εφόσον η συνάρτηση y \u003d log 3 x αυξάνεται, τότε το αρχείο καταγραφής 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Συγκρίνετε το αρχείο καταγραφής 6 (4 / 3) και 1 / 5 . Και για αυτό συγκρίνουμε τους αριθμούς 4 / 3 και 6 1/5. Ανεβάστε και τους δύο αριθμούς στην 5η δύναμη. Παίρνουμε (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

ημερολόγιο 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Επομένως, το διάστημα (log 3 1 / 16 ; log 6 48) περιλαμβάνει το διάστημα [-2; 4] και ακέραιοι -2 τοποθετούνται σε αυτό. -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Απάντηση: 7 ακέραιοι.

Παράδειγμα 6

Υπολογίστε 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.

Λύση.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Τότε 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Απάντηση: -1.

Παράδειγμα 7

Είναι γνωστό ότι log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Βρείτε το log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Λύση.

Αριθμοί (√3 + 1) και (√3 - 1); (√6 - 2) και (√6 + 2) είναι συζευγμένα.

Ας πραγματοποιήσουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό των εκφράσεων

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Στη συνέχεια log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Μητρώο 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - ημερολόγιο 2 (√3 + 1) - ημερολόγιο 2 (√6 - 2) = 2 - Α.

Απάντηση: 2 - Α.

Παράδειγμα 8.

Απλοποιήστε και βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της παράστασης (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Λύση.

Μειώνουμε όλους τους λογάριθμους σε μια κοινή βάση του 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (Η κατά προσέγγιση τιμή του lg 2 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, έναν κανόνα διαφανειών ή μια αριθμομηχανή).

Απάντηση: 0,3010.

Παράδειγμα 9.

Υπολογίστε το log a 2 b 3 √(a 11 b -3) εάν το log √ a b 3 = 1. (Σε αυτό το παράδειγμα, το a 2 b 3 είναι η βάση του λογαρίθμου).

Λύση.

Αν log √ a b 3 = 1, τότε 3/(0,5 log a b = 1. Και log a b = 1/6.

Στη συνέχεια καταγράψτε a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) ότι το log και b = 1/6 παίρνουμε (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Απάντηση: 2.1.

Μπορείτε να κάνετε τα εξής μόνοι σας:

Υπολογίστε το log √3 6 √2,1 εάν το log 0,7 27 = a.

Απάντηση: (3 + α) / (3α).

Παράδειγμα 10

Υπολογίστε 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Λύση.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (τύπος 4))

Παίρνουμε 9 + 6 = 15.

Απάντηση: 15.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να βρείτε την τιμή μιας λογαριθμικής παράστασης;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Ας ξεκινήσουμε με ιδιότητες του λογάριθμου της ενότητας. Η διατύπωσή του έχει ως εξής: ο λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή καταγράψτε ένα 1=0για οποιοδήποτε a>0 , a≠1 . Η απόδειξη είναι απλή: αφού a 0 =1 για κάθε a που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες a>0 και a≠1, τότε το αποδεδειγμένο log ισότητας a 1=0 προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του λογαρίθμου.

Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της εξεταζόμενης ιδιότητας: log 3 1=0 , lg1=0 και .

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο ακίνητο: λογάριθμος ενός αριθμού ίσο με τη βάση, ισούται με ένα, αυτό είναι, καταγραφή a a=1για a>0, a≠1. Πράγματι, αφού a 1 =a για οποιοδήποτε a , τότε με τον ορισμό του λογαρίθμου log a a=1 .

Παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων είναι log 5 5=1 , log 5.6 5.6 και lne=1 .

Για παράδειγμα, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 και .

Λογάριθμος του γινομένου δύο θετικών αριθμών x και y είναι ίσο με το γινόμενολογάριθμοι αυτών των αριθμών: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Ας αποδείξουμε την ιδιότητα του λογαρίθμου του γινομένου. Λόγω των ιδιοτήτων του πτυχίου a log a x+log a y =a log a x a log a y, και δεδομένου ότι από την κύρια λογαριθμική ταυτότητα ένα log a x =x και ένα log a y =y , τότε ένα log a x a log a y =x y . Έτσι, a log a x+log a y =x y , από όπου η απαιτούμενη ισότητα ακολουθεί ο ορισμός του λογάριθμου.

Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας του λογάριθμου του γινομένου: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 και .

Η ιδιότητα του λογάριθμου γινομένου μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού n θετικών αριθμών x 1 , x 2 , …, x n ως log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Αυτή η ισότητα αποδεικνύεται εύκολα.

Για παράδειγμα, ο φυσικός λογάριθμος ενός προϊόντος μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα τριών φυσικών λογαρίθμων των αριθμών 4 , e , και .

Λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών x και y ισούται με τη διαφοράλογάριθμους αυτών των αριθμών. Η ιδιότητα του πηλίκου του λογάριθμου αντιστοιχεί σε έναν τύπο της μορφής , όπου a>0 , a≠1 , x και y είναι κάποιοι θετικοί αριθμοί. Η εγκυρότητα αυτού του τύπου αποδεικνύεται όπως ο τύπος για τον λογάριθμο του γινομένου: αφού , τότε με τον ορισμό του λογάριθμου .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας του λογάριθμου: .

Ας προχωρήσουμε στο ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού. Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και το λογάριθμο του συντελεστή μέτρησης της βάσης αυτού του βαθμού. Γράφουμε αυτήν την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού με τη μορφή ενός τύπου: log a b p =p log a |b|, όπου a>0 , a≠1 , b και p είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο βαθμός του b p έχει νόημα και ο b p >0 .

Αρχικά αποδεικνύουμε αυτή την ιδιότητα για θετικό b . Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά b p =(a log a b) p , και η παράσταση που προκύπτει, λόγω της ιδιότητας ισχύος, είναι ίση με a p log a b . Φτάνουμε λοιπόν στην ισότητα b p =a p log a b , από την οποία, με τον ορισμό του λογάριθμου, συμπεραίνουμε ότι log a b p =p log a b .

Απομένει να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα για αρνητικό b . Εδώ σημειώνουμε ότι η έκφραση log a b p για αρνητικό b έχει νόημα μόνο για άρτιους εκθέτες p (καθώς η τιμή του βαθμού b p πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, διαφορετικά ο λογάριθμος δεν θα έχει νόημα), και σε αυτή την περίπτωση b p =|b| Π . Επειτα b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, απ' όπου log a b p =p log a |b| .

Για παράδειγμα, και ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Προκύπτει από το προηγούμενο ακίνητο ιδιότητα του λογάριθμου από τη ρίζα: ο λογάριθμος της ρίζας του nου βαθμού είναι ίσος με το γινόμενο του κλάσματος 1/n και τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης, δηλαδή, , όπου a>0 , a≠1 , n – φυσικός αριθμός, μεγαλύτερο από ένα, b>0 .

Η απόδειξη βασίζεται στην ισότητα (βλ. ), που ισχύει για κάθε θετικό b , και στην ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας: .

Τώρα ας αποδείξουμε τύπος μετατροπής στη νέα βάση του λογαρίθμουείδος . Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδειχθεί η εγκυρότητα του log ισότητας c b=log a b log c a . Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά το log c b=log c a log a b . Απομένει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: log c a log a b = log a b log c α. Έτσι, αποδεικνύεται το log ισότητας c b=log a b log c a, που σημαίνει ότι αποδεικνύεται και ο τύπος για τη μετάβαση σε νέα βάση του λογάριθμου.

Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων: και .

Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση σάς επιτρέπει να προχωρήσετε στην εργασία με λογάριθμους που έχουν «βολική» βάση. Για παράδειγμα, με τη βοήθειά του μπορείτε να μεταβείτε σε φυσικό ή δεκαδικούς λογάριθμουςώστε να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή του λογαρίθμου από τον πίνακα των λογαρίθμων. Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου επιτρέπει επίσης σε ορισμένες περιπτώσεις την εύρεση της τιμής ενός δεδομένου λογαρίθμου, όταν είναι γνωστές οι τιμές ορισμένων λογαρίθμων με άλλες βάσεις.

Συχνά χρησιμοποιείται μια ειδική περίπτωση του τύπου για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου για c=b της μορφής . Αυτό δείχνει ότι το log a b και το log b a – . Π.χ, .

Επίσης συχνά χρησιμοποιείται η φόρμουλα , το οποίο είναι χρήσιμο για την εύρεση τιμών λογαρίθμου. Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται η τιμή του λογάριθμου της φόρμας χρησιμοποιώντας αυτήν. Εχουμε . Για να αποδείξουμε τον τύπο αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μετάβασης στη νέα βάση του λογάριθμου α: .

Μένει να αποδείξουμε τις ιδιότητες σύγκρισης των λογαρίθμων.

Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς b 1 και b 2 , b 1 log a b 2 , και για a>1, η ανισότητα log a b 1

Τέλος, μένει να αποδείξουμε την τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των λογαρίθμων. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη του πρώτου μέρους του, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι αν ένα 1 >1 , ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b>log a 2 b . Οι υπόλοιπες δηλώσεις αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων αποδεικνύονται με παρόμοια αρχή.

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι για ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 log a 1 b≤log a 2 b είναι αληθές. Με τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτές οι ανισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν ως Και αντίστοιχα, και από αυτά προκύπτει ότι το log b a 1 ≤log b a 2 και το log b a 1 ≥log b a 2, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, από τις ιδιότητες των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, πρέπει να ικανοποιούνται οι ισότητες b log b a 1 ≥b log b a 2 και b log b a 1 ≥b log b a 2, δηλαδή a 1 ≥a 2 . Έτσι, καταλήξαμε σε μια αντίφαση με την συνθήκη a 1

Βιβλιογραφία.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).