Αντικατάσταση της βάσης του λογαρίθμου. Ορισμός λογάριθμου, βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό a για να λάβετε τον αριθμό b.

Αν τότε .

Ο λογάριθμος είναι εξαιρετικά σπουδαίος μαθηματική αξία , αφού ο λογαριθμικός λογισμός επιτρέπει όχι μόνο να λύσει εκθετικές εξισώσεις, αλλά και λειτουργούν με δείκτες, διαφοροποιούν τις εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις, τις ενσωματώνουν και οδηγούν σε μια πιο αποδεκτή μορφή που πρέπει να υπολογιστεί.

Σε επαφή με

Όλες οι ιδιότητες των λογαρίθμων σχετίζονται άμεσα με τις ιδιότητες εκθετικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι σημαίνει ότι:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, οι ιδιότητες των λογαρίθμων μπορεί να είναι πιο σημαντικές και χρήσιμες από τους κανόνες για την εργασία με δυνάμεις.

Εδώ είναι μερικές ταυτότητες:

Εδώ είναι οι κύριες αλγεβρικές εκφράσεις:

;

Προσοχή!μπορεί να υπάρχει μόνο για x>0, x≠1, y>0.

Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε το ερώτημα του τι είναι οι φυσικοί λογάριθμοι. Ξεχωριστό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν δύο τύπους- το πρώτο έχει τον αριθμό "10" στη βάση και ονομάζεται " δεκαδικός λογάριθμος". Το δεύτερο ονομάζεται φυσικό. Η βάση του φυσικού λογάριθμου είναι ο αριθμός e. Για αυτόν θα μιλήσουμε λεπτομερώς σε αυτό το άρθρο.

Ονομασίες:

lg x - δεκαδικό;
ln x - φυσικό.

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα, μπορούμε να δούμε ότι ln e = 1, καθώς και ότι lg 10=1.

φυσικό ημερολόγιο

Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση του φυσικού λογάριθμου με τον τυπικό κλασικό τρόπο κατά σημεία. Εάν θέλετε, μπορείτε να ελέγξετε εάν χτίζουμε σωστά μια συνάρτηση εξετάζοντας τη συνάρτηση. Ωστόσο, είναι λογικό να μάθετε πώς να το κατασκευάζετε "χειροκίνητα" για να ξέρετε πώς να υπολογίζετε σωστά τον λογάριθμο.

Συνάρτηση: y = log x. Ας γράψουμε έναν πίνακα σημείων από τα οποία θα περάσει το γράφημα:

Ας εξηγήσουμε γιατί επιλέξαμε τέτοιες τιμές του ορίσματος x. Όλα είναι θέμα ταυτότητας: Για έναν φυσικό λογάριθμο, αυτή η ταυτότητα θα μοιάζει με αυτό:

Για ευκολία, μπορούμε να πάρουμε πέντε σημεία αναφοράς:

;

Έτσι, η μέτρηση των φυσικών λογαρίθμων είναι μια αρκετά απλή εργασία, επιπλέον, απλοποιεί τον υπολογισμό των πράξεων με δυνάμεις, μετατρέποντάς τις σε κανονικό πολλαπλασιασμό.

Έχοντας δημιουργήσει ένα γράφημα ανά σημεία, παίρνουμε ένα κατά προσέγγιση γράφημα:

Ο τομέας του φυσικού λογάριθμου (δηλαδή, όλες οι έγκυρες τιμές του ορίσματος X) είναι όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι από το μηδέν.

Προσοχή!Το πεδίο ορισμού του φυσικού λογάριθμου περιλαμβάνει μόνο θετικούς αριθμούς! Το εύρος δεν περιλαμβάνει x=0. Αυτό είναι αδύνατο με βάση τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη του λογαρίθμου.

Το εύρος τιμών (δηλαδή όλες οι έγκυρες τιμές της συνάρτησης y = ln x) είναι όλοι οι αριθμοί στο διάστημα .

φυσικό όριο κορμού

Μελετώντας το γράφημα, τίθεται το ερώτημα - πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση όταν y<0.

Είναι προφανές ότι το γράφημα της συνάρτησης τείνει να διασχίσει τον άξονα y, αλλά δεν θα μπορέσει να το κάνει αυτό, αφού φυσικός λογάριθμοςστο x<0 не существует.

Φυσικό όριο κούτσουρομπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τύπος για την αλλαγή της βάσης ενός λογάριθμου

Η ενασχόληση με έναν φυσικό λογάριθμο είναι πολύ πιο εύκολη από την αντιμετώπιση ενός λογάριθμου που έχει αυθαίρετη βάση. Γι' αυτό θα προσπαθήσουμε να μάθουμε πώς να ανάγουμε οποιονδήποτε λογάριθμο σε φυσικό ή να τον εκφράζουμε σε αυθαίρετη βάση μέσω φυσικών λογαρίθμων.

Ας ξεκινήσουμε με τη λογαριθμική ταυτότητα:

Τότε οποιοσδήποτε αριθμός ή μεταβλητή y μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

όπου x είναι οποιοσδήποτε αριθμός (θετικός σύμφωνα με τις ιδιότητες του λογαρίθμου).

Αυτή η έκφραση μπορεί να λογαριθμηθεί και στις δύο πλευρές. Ας το κάνουμε αυτό με μια αυθαίρετη βάση z:

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα (μόνο αντί για "με" έχουμε μια έκφραση):

Από εδώ παίρνουμε τον καθολικό τύπο:

Ειδικότερα, αν z=e, τότε:

Καταφέραμε να αναπαραστήσουμε τον λογάριθμο σε μια αυθαίρετη βάση μέσω του λόγου δύο φυσικών λογαρίθμων.

Λύνουμε προβλήματα

Για καλύτερη πλοήγηση σε φυσικούς λογάριθμους, εξετάστε παραδείγματα πολλών προβλημάτων.

Εργασία 1. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση ln x = 3.

Λύση:Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου: αν , τότε , παίρνουμε:

Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Λύση: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου: αν , τότε , παίρνουμε:

Για άλλη μια φορά, εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογάριθμου:

Ετσι:

Μπορείτε να υπολογίσετε την απάντηση κατά προσέγγιση ή μπορείτε να την αφήσετε σε αυτή τη φόρμα.

Εργασία 3.Λύστε την εξίσωση.

Λύση:Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: t = ln x. Τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Ας βρούμε τη διάκρισή του:

Πρώτη ρίζα της εξίσωσης:

Δεύτερη ρίζα της εξίσωσης:

Αν θυμηθούμε ότι κάναμε την αντικατάσταση t = ln x, παίρνουμε:

Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, τα λογαριθμικά μεγέθη είναι πολύ κοινά. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή ο αριθμός e - συχνά αντανακλά τον ρυθμό αύξησης των εκθετικών τιμών.

Στην επιστήμη των υπολογιστών, στον προγραμματισμό και στη θεωρία των υπολογιστών, οι λογάριθμοι είναι αρκετά συνηθισμένοι, για παράδειγμα, για την αποθήκευση N bits στη μνήμη.

Στις θεωρίες των φράκταλ και των διαστάσεων χρησιμοποιούνται συνεχώς λογάριθμοι, αφού οι διαστάσεις των φράκταλ καθορίζονται μόνο με τη βοήθειά τους.

Στη μηχανική και τη φυσικήδεν υπάρχει τμήμα όπου δεν χρησιμοποιήθηκαν λογάριθμοι. Η βαρομετρική κατανομή, όλες οι αρχές της στατιστικής θερμοδυναμικής, η εξίσωση Tsiolkovsky και ούτω καθεξής είναι διαδικασίες που μπορούν να περιγραφούν μόνο μαθηματικά χρησιμοποιώντας λογάριθμους.

Στη χημεία, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται στις εξισώσεις Nernst, περιγραφές διεργασιών οξειδοαναγωγής.

Περιέργως, ακόμη και στη μουσική, για να μάθουμε τον αριθμό των μερών μιας οκτάβας, χρησιμοποιούνται λογάριθμοι.

Φυσικός λογάριθμος Συνάρτηση y=ln x ιδιότητές του

Απόδειξη της κύριας ιδιότητας του φυσικού λογάριθμου

(από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») αριθμοί σιαπό τον λόγο ένα(ημερολόγιο α σι) ονομάζεται τέτοιος αριθμός ντο, Και σι= μετα Χριστον, δηλαδή log α σι=ντοΚαι b=aντοείναι ισοδύναμα. Ο λογάριθμος έχει νόημα εάν a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Με άλλα λόγια λογάριθμοςαριθμοί σιαπό τον λόγο ΕΝΑδιατυπώνεται ως εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ένας αριθμός έναγια να πάρετε τον αριθμό σι(ο λογάριθμος υπάρχει μόνο για θετικούς αριθμούς).

Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει ότι ο υπολογισμός x= log α σι, ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης a x =b.

Για παράδειγμα:

log 2 8 = 3 γιατί 8=2 3 .

Σημειώνουμε ότι η υποδεικνυόμενη διατύπωση του λογαρίθμου καθιστά δυνατό τον άμεσο προσδιορισμό τιμή λογάριθμουόταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι μια ορισμένη δύναμη της βάσης. Πράγματι, η διατύπωση του λογάριθμου καθιστά δυνατό να δικαιολογηθεί ότι αν b=a γ, τότε ο λογάριθμος του αριθμού σιαπό τον λόγο έναισοδυναμεί Με. Είναι επίσης σαφές ότι το θέμα του λογάριθμου συνδέεται στενά με το θέμα βαθμός του αριθμού.

Αναφέρεται ο υπολογισμός του λογάριθμου λογάριθμος. Ο λογάριθμος είναι η μαθηματική πράξη λήψης ενός λογάριθμου. Κατά τη λήψη ενός λογάριθμου, τα γινόμενα των παραγόντων μετατρέπονται σε αθροίσματα όρων.

Ενίσχυσηείναι η μαθηματική πράξη αντίστροφη προς τον λογάριθμο. Κατά την ενίσχυση, η δεδομένη βάση ανυψώνεται στην ισχύ της έκφρασης στην οποία εκτελείται η ενίσχυση. Στην περίπτωση αυτή, τα αθροίσματα των όρων μετατρέπονται σε γινόμενο παραγόντων.

Αρκετά συχνά, χρησιμοποιούνται πραγματικοί λογάριθμοι με βάσεις 2 (δυαδικός), αριθμός Euler e ≈ 2,718 (φυσικός λογάριθμος) και 10 (δεκαδικός).

Σε αυτό το στάδιο, αξίζει να εξεταστεί δείγματα λογαρίθμωνημερολόγιο 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Και οι εγγραφές lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 δεν έχουν νόημα, αφού στο πρώτο από αυτά τοποθετείται αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, στο δεύτερο - ένας αρνητικός αριθμόςστη βάση, και στην τρίτη - και έναν αρνητικό αριθμό κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και μια μονάδα στη βάση.

Προϋποθέσεις για τον προσδιορισμό του λογάριθμου.

Αξίζει να εξεταστούν χωριστά οι συνθήκες a > 0, a ≠ 1, b > 0. ορισμός λογάριθμου.Ας εξετάσουμε γιατί λαμβάνονται αυτοί οι περιορισμοί. Αυτό θα μας βοηθήσει με μια ισότητα της μορφής x = log α σι, που ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα, η οποία προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του λογάριθμου που δόθηκε παραπάνω.

Πάρτε τον όρο a≠1. Εφόσον το ένα είναι ίσο με ένα σε οποιαδήποτε δύναμη, τότε η ισότητα x=log α σιμπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=1, αλλά το αρχείο καταγραφής 1 1 θα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να εξαλείψουμε αυτή την ασάφεια, παίρνουμε a≠1.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα της συνθήκης α>0. Στο a=0σύμφωνα με τη διατύπωση του λογάριθμου, μπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=0. Και μετά ανάλογα ημερολόγιο 0 0μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, αφού το μηδέν σε οποιαδήποτε μη μηδενική ισχύς είναι μηδέν. Για να εξαλειφθεί αυτή η ασάφεια, η προϋπόθεση a≠0. Και πότε ένα<0 θα έπρεπε να απορρίψουμε την ανάλυση των ορθολογικών και ανορθολογικών τιμών του λογαρίθμου, αφού ο εκθέτης με ορθολογικό και παράλογο εκθέτη ορίζεται μόνο για μη αρνητικές βάσεις. Είναι γι' αυτό το λόγο η συνθήκη α>0.

Και η τελευταία προϋπόθεση b>0προκύπτει από την ανισότητα α>0, αφού x=log α σι, και την τιμή του πτυχίου με θετική βάση έναπάντα θετικός.

Χαρακτηριστικά των λογαρίθμων.

Λογάριθμοιχαρακτηρίζεται από διακριτικό χαρακτηριστικά, γεγονός που οδήγησε στην ευρεία χρήση τους για να διευκολυνθούν πολύ οι επίπονοι υπολογισμοί. Στη μετάβαση "στον κόσμο των λογαρίθμων", ο πολλαπλασιασμός μετατρέπεται σε πολύ πιο εύκολη πρόσθεση, η διαίρεση σε αφαίρεση και η αύξηση σε δύναμη και η λήψη ρίζας μετατρέπονται σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με έναν εκθέτη, αντίστοιχα.

Η διατύπωση των λογαρίθμων και ένας πίνακας των τιμών τους (για τριγωνομετρικές συναρτήσεις) δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1614 από τον Σκωτσέζο μαθηματικό John Napier. Οι λογαριθμικοί πίνακες, μεγεθυσμένοι και λεπτομερείς από άλλους επιστήμονες, χρησιμοποιήθηκαν ευρέως σε επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς και παρέμειναν σχετικοί μέχρι να αρχίσουν να χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικές αριθμομηχανές και υπολογιστές.

βασικές ιδιότητες.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ίδιους λόγους

log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Παραδείγματα για λογάριθμους

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

4. Οπου .

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά αφού οι λογάριθμοι δεν είναι πραγματικά συνηθισμένους αριθμούς, υπάρχουν κανόνες εδώ, που λέγονται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - χωρίς αυτούς, ούτε ένας σοβαρός λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Σημείωση: κομβική στιγμήΕδώ - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε λογαριθμική έκφρασηακόμη και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη του (δείτε το μάθημα «Τι είναι λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Με βάση αυτό το γεγονός πολλοί δοκιμαστικά χαρτιά. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι είναι παραδείγματα λύσεων.

Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτές οι φόρμουλες σπάνια βρίσκονται σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογήσετε πόσο βολικές είναι μόνο όταν αποφασίζετε λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση α δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια τέτοια ισχύ x () στην οποία η ισότητα είναι αληθής

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Οι παραπάνω ιδιότητες πρέπει να είναι γνωστές, αφού, στη βάση τους, σχεδόν όλα τα προβλήματα και τα παραδείγματα επιλύονται βάσει λογαρίθμων. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν με μαθηματικούς χειρισμούς με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντώνται αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι έστω και δέκα, εκθετική ή δευτερεύουσα.
Ο λογάριθμος της βάσης δέκα ονομάζεται συνήθως λογάριθμος βάσης δέκα και συμβολίζεται απλώς lg(x).

Από την καταγραφή φαίνεται ότι τα βασικά δεν γράφονται στο αρχείο. Για παράδειγμα

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο εκθέτης (συμβολίζεται ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος βάσης δύο είναι

Η παράγωγος του λογάριθμου της συνάρτησης ισούται με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από την εξάρτηση

Το παραπάνω υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για λόγους κατανόησης του υλικού, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι πανεπιστήμια.

Παραδείγματα για λογάριθμους

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς των λογαρίθμων, έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση που χρησιμοποιεί μια σειρά κανόνων απλοποιείται στη φόρμα

Εύρεση τιμών λογαρίθμου

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό εφαρμόζουμε τις ιδιότητες 5 και 13 μέχρι τον τελευταίο όρο

Αντικαταστήστε στο δίσκο και θρηνήστε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Πάρτε τον λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψετε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτήσατε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας για ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες ...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Μετάβαση σε νέα βάση

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Το επίκεντρο αυτού του άρθρου είναι λογάριθμος. Εδώ θα δώσουμε τον ορισμό του λογάριθμου, θα δείξουμε τον αποδεκτό συμβολισμό, θα δώσουμε παραδείγματα λογαρίθμων και θα μιλήσουμε για φυσικούς και δεκαδικούς λογάριθμους. Μετά από αυτό, εξετάστε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμός λογάριθμου

Η έννοια του λογάριθμου προκύπτει όταν επιλύετε ένα πρόβλημα με μια ορισμένη έννοια αντίστροφα, όταν πρέπει να βρείτε τον εκθέτη από μια γνωστή τιμή του βαθμού και μια γνωστή βάση.

Αρκετό όμως προοίμιο, ήρθε η ώρα να απαντήσουμε στο ερώτημα «τι είναι λογάριθμος»; Ας δώσουμε έναν κατάλληλο ορισμό.

Ορισμός.

Λογάριθμος του β στη βάση α, όπου a>0 , a≠1 και b>0 είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό a για να πάρετε το b ως αποτέλεσμα.

Σε αυτό το στάδιο, σημειώνουμε ότι η προφορική λέξη "λογάριθμος" θα πρέπει να εγείρει αμέσως δύο επακόλουθα ερωτήματα: "ποιος αριθμός" και "σε ποια βάση". Με άλλα λόγια, απλά δεν υπάρχει λογάριθμος, αλλά υπάρχει μόνο ο λογάριθμος ενός αριθμού σε κάποια βάση.

Θα εισαγάγουμε αμέσως λογαριθμική σημειογραφία: ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a συνήθως συμβολίζεται ως log a b . Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση e και ο λογάριθμος στη βάση 10 έχουν τους δικούς τους ειδικούς χαρακτηρισμούς lnb και lgb αντίστοιχα, δηλαδή γράφουν όχι log e b , αλλά lnb , και όχι log 10 b , αλλά lgb .

Τώρα μπορείτε να φέρετε: .
Και τα ρεκόρ δεν έχουν νόημα, αφού στο πρώτο από αυτά υπάρχει ένας αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, στο δεύτερο - ένας αρνητικός αριθμός στη βάση, και στο τρίτο - και οι δύο αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και μια μονάδα στη βάση.

Τώρα ας μιλήσουμε για κανόνες για την ανάγνωση λογαρίθμων. Η καταχώρηση log a b διαβάζεται ως "λογάριθμος του b στη βάση a". Για παράδειγμα, το log 2 3 είναι ο λογάριθμος του τρία στη βάση 2 και είναι ο λογάριθμος δύο σημείων δύο τρίτων στη βάση Τετραγωνική ρίζαστα πέντε. Ο λογάριθμος στη βάση e ονομάζεται φυσικός λογάριθμος, και ο συμβολισμός lnb διαβάζεται ως "ο φυσικός λογάριθμος του b". Για παράδειγμα, ο ln7 είναι ο φυσικός λογάριθμος του επτά, και θα τον διαβάσουμε ως τον φυσικό λογάριθμο του pi. Ο λογάριθμος στη βάση 10 έχει επίσης ένα ειδικό όνομα - δεκαδικός λογάριθμος, και ο συμβολισμός lgb διαβάζεται ως "δεκαδικός λογάριθμος b". Για παράδειγμα, ο lg1 είναι ο δεκαδικός λογάριθμος του ενός και ο lg2.75 είναι ο δεκαδικός λογάριθμος δύο σημείων εβδομήντα πέντε εκατοστών.

Αξίζει να σταθούμε χωριστά στις συνθήκες a>0, a≠1 και b>0, υπό τις οποίες δίνεται ο ορισμός του λογάριθμου. Ας εξηγήσουμε από πού προέρχονται αυτοί οι περιορισμοί. Για να το κάνουμε αυτό, θα μας βοηθήσει μια ισότητα της μορφής, που ονομάζεται , η οποία προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του λογάριθμου που δόθηκε παραπάνω.

Ας ξεκινήσουμε με a≠1 . Εφόσον το ένα είναι ίσο με ένα σε οποιαδήποτε δύναμη, τότε η ισότητα μπορεί να ισχύει μόνο για b=1, αλλά το log 1 1 μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να αποφευχθεί αυτή η ασάφεια, γίνεται αποδεκτό το a≠1.

Ας τεκμηριώσουμε τη σκοπιμότητα της συνθήκης α>0 . Με a=0, με τον ορισμό του λογάριθμου, θα είχαμε ισότητα , η οποία είναι δυνατή μόνο με b=0 . Αλλά τότε το log 0 0 μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, αφού το μηδέν σε οποιαδήποτε μη μηδενική ισχύς είναι μηδέν. Αυτή η ασάφεια μπορεί να αποφευχθεί με τη συνθήκη a≠0 . Και για ένα<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Τέλος, η συνθήκη b>0 προκύπτει από την ανίσωση a>0 , αφού , και η τιμή του βαθμού με θετική βάση a είναι πάντα θετική.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, λέμε ότι ο εκφρασμένος ορισμός του λογαρίθμου σάς επιτρέπει να υποδείξετε αμέσως την τιμή του λογαρίθμου όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου είναι ένας ορισμένος βαθμός βάσης. Πράγματι, ο ορισμός του λογάριθμου μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι αν b=a p , τότε ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a είναι ίσος με p . Δηλαδή, το ημερολόγιο ισότητας a a p =p είναι αληθές. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι 2 3 =8 , μετά log 2 8=3 . Θα μιλήσουμε περισσότερα για αυτό στο άρθρο.

Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού b στη βάση a (a>0, a δεν είναι ίσος με 1) είναι ένας αριθμός c τέτοιος ώστε a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Σημειώστε ότι ο λογάριθμος ενός μη θετικού αριθμού δεν ορίζεται. Επίσης, η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι θετικός αριθμός, όχι ίσος με 1. Για παράδειγμα, αν τετραγωνίσουμε το -2, παίρνουμε τον αριθμό 4, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι ο λογάριθμος βάσης -2 του 4 είναι 2.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Είναι σημαντικό οι τομείς ορισμού του δεξιού και του αριστερού μέρους αυτού του τύπου να είναι διαφορετικοί. Η αριστερή πλευρά ορίζεται μόνο για b>0, a>0 και a ≠ 1. Η δεξιά πλευρά ορίζεται για οποιοδήποτε b και δεν εξαρτάται καθόλου από το a. Έτσι, η εφαρμογή της βασικής λογαριθμικής «ταυτότητας» στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή του DPV.

Δύο προφανείς συνέπειες του ορισμού του λογάριθμου

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Πράγματι, όταν ανεβάζουμε τον αριθμό a στην πρώτη δύναμη, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό, και όταν τον ανεβάζουμε στη μηδενική ισχύ, παίρνουμε ένα.

Ο λογάριθμος του γινομένου και ο λογάριθμος του πηλίκου

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Θα ήθελα να προειδοποιήσω τους μαθητές για την αλόγιστη χρήση αυτών των τύπων κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όταν χρησιμοποιούνται "από αριστερά προς τα δεξιά", το ODZ στενεύει και όταν μετακινείται από το άθροισμα ή τη διαφορά των λογαρίθμων στον λογάριθμο του γινομένου ή του πηλίκου, το ODZ διευρύνεται.

Πράγματι, η έκφραση log a (f (x) g (x)) ορίζεται σε δύο περιπτώσεις: όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι αυστηρά θετικές ή όταν η f(x) και η g(x) είναι και οι δύο μικρότερες από το μηδέν.

Μετατρέποντας αυτήν την έκφραση στο άθροισμα log a f (x) + log a g (x) , αναγκαζόμαστε να περιοριστούμε μόνο στην περίπτωση που f(x)>0 και g(x)>0. Υπάρχει μια στένωση του εύρους των αποδεκτών τιμών, και αυτό είναι κατηγορηματικά απαράδεκτο, καθώς μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια λύσεων. Παρόμοιο πρόβλημα υπάρχει για τον τύπο (6).

Ο βαθμός μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Και πάλι θα ήθελα να ζητήσω ακρίβεια. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Η αριστερή πλευρά της ισότητας ορίζεται προφανώς για όλες τις τιμές του f(x) εκτός από το μηδέν. Η δεξιά πλευρά είναι μόνο για f(x)>0! Βγάζοντας την ισχύ από τον λογάριθμο, περιορίζουμε ξανά το ODZ. Η αντίστροφη διαδικασία οδηγεί σε διεύρυνση του εύρους των αποδεκτών τιμών. Όλες αυτές οι παρατηρήσεις ισχύουν όχι μόνο για τη δύναμη του 2, αλλά και για οποιαδήποτε άρτια δύναμη.

Φόρμουλα για μετάβαση σε νέα βάση

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Αυτή η σπάνια περίπτωση όταν το ODZ δεν αλλάζει κατά τη μετατροπή. Εάν έχετε επιλέξει τη βάση c με σύνεση (θετική και όχι ίση με 1), η φόρμουλα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση είναι απολύτως ασφαλής.

Εάν επιλέξουμε τον αριθμό b ως νέα βάση c, λαμβάνουμε μια σημαντική συγκεκριμένη περίπτωση του τύπου (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Μερικά απλά παραδείγματα με λογάριθμους

Παράδειγμα 1 Υπολογίστε: lg2 + lg50.
Λύση. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων (5) και τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου.

Παράδειγμα 2 Υπολογίστε: lg125/lg5.
Λύση. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Χρησιμοποιήσαμε τον νέο τύπο μετάβασης βάσης (8).

Πίνακας τύπων που σχετίζονται με λογάριθμους

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)