Λογαριθμικές εξισώσεις. Συνεχίζουμε να εξετάζουμε εργασίες από το μέρος Β της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά. Έχουμε ήδη εξετάσει τις λύσεις ορισμένων εξισώσεων στα άρθρα "", "". Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε λογαριθμικές εξισώσεις. Πρέπει να πω αμέσως ότι δεν θα υπάρξουν σύνθετοι μετασχηματισμοί κατά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων στο USE. Είναι απλοί.
Αρκεί να γνωρίζουμε και να κατανοούμε τα βασικά λογαριθμική ταυτότητα, γνωρίζουν τις ιδιότητες του λογάριθμου. Δώστε προσοχή στο γεγονός ότι μετά την απόφαση, είναι ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΟ να κάνετε έλεγχο - να αντικαταστήσετε την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση και να υπολογίσετε, ως αποτέλεσμα, να προκύψει η σωστή ισότητα.
Ορισμός:
Ο λογάριθμος του αριθμού a στη βάση b είναι ο εκθέτης,στο οποίο πρέπει να ανυψωθεί το b για να ληφθεί το α.
Για παράδειγμα:
Καταγραφή 3 9 = 2 αφού 3 2 = 9
Ιδιότητες λογαρίθμων:
Ειδικές περιπτώσεις λογαρίθμων:
Λύνουμε προβλήματα. Στο πρώτο παράδειγμα, θα κάνουμε έναν έλεγχο. Κάντε μόνοι σας τον παρακάτω έλεγχο.
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 3 (4–x) = 4
Αφού log b a = x b x = a, τότε
3 4 \u003d 4 - x
x = 4 - 81
x = -77
Εξέταση:
ημερολόγιο 3 (4–(–77)) = 4
ημερολόγιο 3 81 = 4
3 4 = 81 Σωστό.
Απάντηση: - 77
Αποφασίστε μόνοι σας:
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 2 (4 - x) = 7
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 5(4 + x) = 2
Χρησιμοποιούμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα.
Αφού log a b = x b x = a, τότε
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x=21
Εξέταση:
ημερολόγιο 5 (4 + 21) = 2
ημερολόγιο 5 25 = 2
5 2 = 25 Σωστό.
Απάντηση: 21
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 3 (14 - x) = log 3 5.
Πραγματοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα, η σημασία της είναι η εξής: αν στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης έχουμε λογάριθμους με την ίδια βάση, τότε μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις κάτω από τα πρόσημα των λογαρίθμων.
14 - x = 5
x=9
Κάντε έναν έλεγχο.
Απάντηση: 9
Αποφασίστε μόνοι σας:
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 5 (5 - x) = log 5 3.
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).
Αν log c a = log c b, τότε a = b
x + 3 = 4x - 15
3x = 18
x=6
Κάντε έναν έλεγχο.
Απάντηση: 6
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 1/8 (13 - x) = - 2.
(1/8) -2 = 13 - x
8 2 \u003d 13 - x
x = 13 - 64
x = -51
Κάντε έναν έλεγχο.
Μια μικρή προσθήκη - εδώ χρησιμοποιείται το ακίνητο
βαθμός().
Απάντηση: - 51
Αποφασίστε μόνοι σας:
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 1/7 (7 - x) = - 2
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.
Ας μεταμορφώσουμε τη δεξιά πλευρά. χρησιμοποιήστε το ακίνητο:
log a b m = m∙ log a b
log 2 (4 - x) = log 2 5 2
Αν log c a = log c b, τότε a = b
4 – x = 5 2
4 - x = 25
x = -21
Κάντε έναν έλεγχο.
Απάντηση: - 21
Αποφασίστε μόνοι σας:
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3
Λύστε την εξίσωση log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Αν log c a = log c b, τότε a = b
x2 + 4x = x2 + 11
4x = 11
x=2,75
Κάντε έναν έλεγχο.
Απάντηση: 2,75
Αποφασίστε μόνοι σας:
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Λύστε την εξίσωση log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.
Απαιτείται με σωστη πλευραεξισώσεις για να πάρετε μια έκφραση της μορφής:
ημερολόγιο 2 (......)
Αντιπροσωπεύοντας το 1 ως λογάριθμο βάσης 2:
1 = ημερολόγιο 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2
Παίρνουμε:
log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)
Αν log c a = log c b, τότε a = b, τότε
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x=0,4
Κάντε έναν έλεγχο.
Απάντηση: 0,4
Αποφασίστε μόνοι σας: Στη συνέχεια, πρέπει να αποφασίσετε τετραγωνική εξίσωση. Παρεμπιπτόντως,
οι ρίζες είναι 6 και -4.
Ρίζα "-Το 4" δεν είναι λύση, αφού η βάση του λογαρίθμου πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και με "– 4" ισούται με " – 5". Η λύση είναι η ρίζα 6.Κάντε έναν έλεγχο.
Απάντηση: 6.
R φάτε μόνοι σας:
Λύστε την εξίσωση log x –5 49 = 2. Αν η εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, απαντήστε στη μικρότερη.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν σύνθετοι μετασχηματισμοί με λογαριθμικές εξισώσειςόχι. Αρκεί να γνωρίζουμε τις ιδιότητες του λογαρίθμου και να μπορούμε να τις εφαρμόζουμε. Στις εργασίες USE που σχετίζονται με τον μετασχηματισμό λογαριθμικών παραστάσεων, εκτελούνται πιο σοβαροί μετασχηματισμοί και απαιτούνται βαθύτερες δεξιότητες επίλυσης. Θα εξετάσουμε τέτοια παραδείγματα, μην το χάσετε!Σου εύχομαι επιτυχία!!!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Στο αυτό το μάθημαθα επαναλάβουμε τα βασικά θεωρητικά δεδομένα για τους λογάριθμους και θα εξετάσουμε τη λύση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων.
Θυμηθείτε τον κεντρικό ορισμό - τον ορισμό του λογαρίθμου. Σχετίζεται με την απόφαση εκθετική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα, ονομάζεται λογάριθμος του b στη βάση a:
Ορισμός:
Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί η βάση a για να ληφθεί ο αριθμός b.
Ανάκληση βασική λογαριθμική ταυτότητα.
Η έκφραση (έκφραση 1) είναι η ρίζα της εξίσωσης (έκφραση 2). Αντικαθιστούμε την τιμή του x από την παράσταση 1 αντί για x στην παράσταση 2 και παίρνουμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα:
Βλέπουμε λοιπόν ότι σε κάθε τιμή εκχωρείται μια τιμή. Συμβολίζουμε b για x (), c για y, και έτσι παίρνουμε τη λογαριθμική συνάρτηση:
Για παράδειγμα: 
Θυμηθείτε τις βασικές ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης.
Ας προσέξουμε για άλλη μια φορά, εδώ, γιατί κάτω από τον λογάριθμο μπορεί να υπάρχει μια αυστηρά θετική έκφραση, ως βάση του λογαρίθμου.
Ρύζι. 1. Γράφημα της λογαριθμικής συνάρτησης για διάφορες βάσεις
Το γράφημα της συνάρτησης στο εμφανίζεται με μαύρο χρώμα. Ρύζι. 1. Εάν το όρισμα αυξηθεί από το μηδέν στο άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο.
Το γράφημα της συνάρτησης στο εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Ρύζι. ένας.
Ιδιότητες αυτής της συνάρτησης:
Τομέα: ;
Εύρος τιμών: ;
Η συνάρτηση είναι μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού της. Για μονότονες (αυστηρά) αυξήσεις, μεγαλύτερη αξίαΤο όρισμα αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Όταν μειώνεται μονοτονικά (αυστηρά), η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Οι ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης είναι το κλειδί για την επίλυση διαφόρων λογαριθμικών εξισώσεων.
Εξετάστε την απλούστερη λογαριθμική εξίσωση· όλες οι άλλες λογαριθμικές εξισώσεις, κατά κανόνα, ανάγονται σε αυτήν τη μορφή.
Εφόσον οι βάσεις των λογαρίθμων και οι ίδιοι οι λογάριθμοι είναι ίσες, οι συναρτήσεις κάτω από τον λογάριθμο είναι επίσης ίσες, αλλά δεν πρέπει να χάσουμε το πεδίο ορισμού. Μόνο ένας θετικός αριθμός μπορεί να σταθεί κάτω από τον λογάριθμο, έχουμε:
Ανακαλύψαμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες, επομένως αρκεί να επιλέξουμε οποιαδήποτε ανισότητα για να συμμορφωθούμε με το ODZ.
Έτσι, έχουμε ένα μικτό σύστημα στο οποίο υπάρχει μια εξίσωση και μια ανισότητα:
Η ανισότητα, κατά κανόνα, δεν είναι απαραίτητη για να λυθεί, αρκεί να λυθεί η εξίσωση και να αντικατασταθούν οι ρίζες που βρέθηκαν στην ανισότητα, κάνοντας έτσι έναν έλεγχο.
Ας διατυπώσουμε μια μέθοδο για την επίλυση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων:
Να εξισωθούν οι βάσεις των λογαρίθμων.
Εξίσωση υπολογαριθμικών συναρτήσεων.
Κάντε έναν έλεγχο.
Ας εξετάσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1 - λύστε την εξίσωση:
Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι αρχικά ίσες.
Παράδειγμα 2 - λύστε την εξίσωση:
Αυτή η εξίσωση διαφέρει από την προηγούμενη στο ότι οι βάσεις των λογαρίθμων είναι μικρότερες από μία, αλλά αυτό δεν επηρεάζει τη λύση με κανέναν τρόπο:
Ας βρούμε τη ρίζα και ας την αντικαταστήσουμε με την ανισότητα:
Πήραμε μια λανθασμένη ανισότητα, που σημαίνει ότι η ρίζα που βρέθηκε δεν ικανοποιεί το ODZ.
Παράδειγμα 3 - λύστε την εξίσωση:
Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι αρχικά ίσες.
Ας βρούμε τη ρίζα και ας την αντικαταστήσουμε με την ανισότητα:
Προφανώς, μόνο η πρώτη ρίζα ικανοποιεί το ODZ.
Όλοι γνωρίζουμε τις εξισώσεις. δημοτικό σχολείο. Ακόμα κι εκεί μάθαμε να λύνουμε τα πιο απλά παραδείγματα, και πρέπει να ομολογήσουμε ότι βρίσκουν την εφαρμογή τους ακόμα και στα ανώτερα μαθηματικά. Όλα είναι απλά με τις εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων των τετραγώνων. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτό το θέμα, σας συνιστούμε να το δοκιμάσετε ξανά.
Λογάριθμους μάλλον έχετε ήδη περάσει και εσείς. Παρόλα αυτά, θεωρούμε σημαντικό να πούμε τι είναι για όσους δεν γνωρίζουν ακόμα. Ο λογάριθμος ισοδυναμεί με την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός στα δεξιά του πρόσημου του λογαρίθμου. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα, βάσει του οποίου, όλα θα σας ξεκαθαρίσουν.
Αν σηκώσετε το 3 στην τέταρτη δύναμη, παίρνετε 81. Τώρα αντικαταστήστε τους αριθμούς με αναλογία και τελικά θα καταλάβετε πώς λύνονται οι λογάριθμοι. Τώρα μένει μόνο να συνδυαστούν οι δύο εξεταζόμενες έννοιες. Αρχικά, η κατάσταση φαίνεται εξαιρετικά δύσκολη, αλλά μετά από πιο προσεκτική εξέταση, το βάρος μπαίνει στη θέση του. Είμαστε σίγουροι ότι μετά από αυτό το σύντομο άρθρο δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα σε αυτό το μέρος της εξέτασης.
Σήμερα, υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης τέτοιων δομών. Θα μιλήσουμε για τις πιο απλές, αποτελεσματικές και πιο εφαρμόσιμες στην περίπτωση των εργασιών USE. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να ξεκινά από την αρχή. ένα απλό παράδειγμα. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις αποτελούνται από μια συνάρτηση και μια μεταβλητή σε αυτήν.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το x βρίσκεται μέσα στο όρισμα. Τα Α και β πρέπει να είναι αριθμοί. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε απλά να εκφράσετε τη συνάρτηση με όρους αριθμού σε δύναμη. Μοιάζει με αυτό.
Φυσικά, η επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης με αυτόν τον τρόπο θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση. Το πρόβλημα όμως της συντριπτικής πλειοψηφίας των μαθητών σε αυτή την περίπτωση είναι ότι δεν καταλαβαίνουν από τι και από πού προέρχεται. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να υπομένετε τα λάθη και να μην πάρετε τους επιθυμητούς βαθμούς. Το πιο προσβλητικό λάθος θα είναι αν ανακατεύετε τα γράμματα κατά τόπους. Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να απομνημονεύσετε αυτόν τον τυπικό σχολικό τύπο, γιατί είναι δύσκολο να τον κατανοήσετε.
Για να το κάνετε πιο εύκολο, μπορείτε να καταφύγετε σε μια άλλη μέθοδο - την κανονική μορφή. Η ιδέα είναι εξαιρετικά απλή. Δώστε ξανά προσοχή στην εργασία. Θυμηθείτε ότι το γράμμα a είναι αριθμός, όχι συνάρτηση ή μεταβλητή. Το Α δεν είναι ίσο με ένα και είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Δεν υπάρχουν περιορισμοί στο β. Τώρα από όλους τους τύπους, θυμόμαστε έναν. Το Β μπορεί να εκφραστεί ως εξής.
Από αυτό προκύπτει ότι όλες οι αρχικές εξισώσεις με λογάριθμους μπορούν να παρασταθούν ως:
Τώρα μπορούμε να απορρίψουμε τους λογάριθμους. Το αποτέλεσμα είναι μια απλή κατασκευή, την οποία έχουμε ήδη δει νωρίτερα.
Η ευκολία αυτής της φόρμουλας έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διάφορες περιπτώσεις, και όχι μόνο για τα πιο απλά σχέδια.
Μην ανησυχείτε για το OOF!
Πολλοί έμπειροι μαθηματικοί θα παρατηρήσουν ότι δεν έχουμε δώσει προσοχή στον τομέα του ορισμού. Ο κανόνας συνοψίζεται στο γεγονός ότι το F(x) είναι απαραίτητα μεγαλύτερο από 0. Όχι, δεν έχουμε χάσει αυτό το σημείο. Τώρα μιλάμε για ένα άλλο σοβαρό πλεονέκτημα της κανονικής μορφής.
Δεν θα υπάρχουν επιπλέον ρίζες εδώ. Εάν η μεταβλητή εμφανίζεται μόνο σε ένα μέρος, τότε το πεδίο εφαρμογής δεν είναι απαραίτητο. Εκτελείται αυτόματα. Για να επαληθεύσετε αυτήν την κρίση, εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε μερικά απλά παραδείγματα.
Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις
Αυτές είναι ήδη πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις και η προσέγγιση της επίλυσής τους θα πρέπει να είναι ειδική. Εδώ σπάνια είναι δυνατόν να περιοριστούμε στην περιβόητη κανονική μορφή. Ας ξεκινήσουμε τη λεπτομερή ιστορία μας. Έχουμε την παρακάτω κατασκευή.
Παρατηρήστε το κλάσμα. Περιέχει τον λογάριθμο. Αν το δείτε αυτό στην εργασία, αξίζει να θυμηθείτε ένα ενδιαφέρον κόλπο.
Τι σημαίνει? Κάθε λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως πηλίκο δύο λογαρίθμων με βολική βάση. Και αυτός ο τύπος έχει μια ειδική περίπτωση που είναι εφαρμόσιμη σε αυτό το παράδειγμα (εννοούμε αν c=b).
Αυτό ακριβώς βλέπουμε στο παράδειγμά μας. Με αυτόν τον τρόπο.
Μάλιστα, γύρισαν το κλάσμα και πήραν μια πιο βολική έκφραση. Θυμηθείτε αυτόν τον αλγόριθμο!
Τώρα χρειαζόμαστε ότι η λογαριθμική εξίσωση δεν περιείχε διαφορετικούς λόγους. Ας παραστήσουμε τη βάση ως κλάσμα.
Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας κανόνας, βάσει του οποίου, μπορείτε να βγάλετε το πτυχίο από τη βάση. Αποδεικνύεται η ακόλουθη κατασκευή.
Φαίνεται ότι τώρα τι μας εμποδίζει να μετατρέψουμε την έκφρασή μας σε κανονική μορφή και στοιχειωδώς να τη λύσουμε; Όχι τόσο απλό. Δεν πρέπει να υπάρχουν κλάσματα πριν από τον λογάριθμο. Ας φτιάξουμε αυτή την κατάσταση! Ένα κλάσμα επιτρέπεται να βγαίνει ως βαθμός.
Αντίστοιχα.
Εάν οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να αφαιρέσουμε τους λογάριθμους και να εξισώσουμε τις ίδιες τις παραστάσεις. Έτσι η κατάσταση θα γίνει πολλές φορές πιο εύκολη από ό,τι ήταν. Θα υπάρξει μια στοιχειώδης εξίσωση που ο καθένας μας ήξερε να λύσει στην 8η ή και στην 7η δημοτικού. Μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς μόνοι σας.
Πήραμε τη μόνη αληθινή ρίζα αυτής της λογαριθμικής εξίσωσης. Τα παραδείγματα επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης είναι αρκετά απλά, σωστά; Τώρα θα είστε σε θέση να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα ακόμη και τις πιο δύσκολες εργασίες για την προετοιμασία και την επιτυχία της εξέτασης.
Ποιο είναι το αποτέλεσμα?
Στην περίπτωση οποιωνδήποτε λογαριθμικών εξισώσεων, ξεκινάμε από ένα πολύ σημαντικός κανόνας. Είναι απαραίτητο να ενεργήσετε με τέτοιο τρόπο ώστε να φέρετε την έκφραση στο μέγιστο κοινή θέα. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχετε περισσότερες πιθανότητες όχι μόνο να λύσετε σωστά το πρόβλημα, αλλά και να το κάνετε με τον πιο απλό και λογικό τρόπο. Έτσι δουλεύουν πάντα οι μαθηματικοί.
Δεν συνιστούμε ανεπιφύλακτα να αναζητήσετε δύσκολα μονοπάτια, ειδικά σε αυτή την περίπτωση. Θυμηθείτε μερικά απλούς κανόνες, που θα σας επιτρέψει να μεταμορφώσετε οποιαδήποτε έκφραση. Για παράδειγμα, φέρτε δύο ή τρεις λογάριθμους στην ίδια βάση ή πάρτε μια δύναμη από τη βάση και κερδίστε σε αυτήν.
Αξίζει επίσης να θυμάστε ότι κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να εκπαιδεύεστε συνεχώς. Σταδιακά, θα προχωρήσετε σε όλο και πιο περίπλοκες δομές και αυτό θα σας οδηγήσει να λύσετε με σιγουριά όλες τις επιλογές για προβλήματα στις εξετάσεις. Προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις σας πολύ νωρίτερα και καλή τύχη!
Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Μέρος 1.
Λογαριθμική εξίσωσηονομάζεται εξίσωση στην οποία το άγνωστο περιέχεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου (ιδιαίτερα, στη βάση του λογαρίθμου).
Πρωτόζωα λογαριθμική εξίσωσημοιάζει με:
Επίλυση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσηςπεριλαμβάνει τη μετάβαση από τους λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο των λογαρίθμων. Ωστόσο, αυτή η ενέργεια επεκτείνει το εύρος των έγκυρων τιμών της εξίσωσης και μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση εξωτερικών ριζών. Για να αποφύγετε την εμφάνιση ξένων ριζώνμπορείτε να το κάνετε με έναν από τους τρεις τρόπους:
1. Κάντε μια ισοδύναμη μετάβασηαπό την αρχική εξίσωση σε ένα σύστημα που περιλαμβάνει
ανάλογα με ποια ανισότητα ή ευκολότερη.
Αν η εξίσωση περιέχει έναν άγνωστο στη βάση του λογαρίθμου:
μετά πηγαίνουμε στο σύστημα:
2. Βρείτε χωριστά το εύρος των αποδεκτών τιμών της εξίσωσης, στη συνέχεια λύστε την εξίσωση και ελέγξτε αν οι λύσεις που βρέθηκαν ικανοποιούν την εξίσωση.
3. Λύστε την εξίσωση και μετά κάνε έναν έλεγχο:αντικαταστήστε τις λύσεις που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση και ελέγξτε αν έχουμε τη σωστή ισότητα.
Μια λογαριθμική εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας πάντα τελικά ανάγεται στην απλούστερη λογαριθμική εξίσωση.
Όλες οι λογαριθμικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις τύπους:
1 . Εξισώσεις που περιέχουν λογάριθμους μόνο στην πρώτη δύναμη. Με τη βοήθεια μετασχηματισμών και χρήσης, μειώνονται στη μορφή
Παράδειγμα. Ας λύσουμε την εξίσωση:
Εξισώστε τις εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου:
Ας ελέγξουμε αν η ρίζα της εξίσωσης μας ικανοποιεί:
Ναι, ικανοποιεί.
Απάντηση: x=5
2 . Εξισώσεις που περιέχουν λογάριθμους σε ισχύ διαφορετική από το 1 (ιδίως στον παρονομαστή ενός κλάσματος). Αυτές οι εξισώσεις λύνονται χρησιμοποιώντας εισάγοντας μια αλλαγή μεταβλητής.
Παράδειγμα.Ας λύσουμε την εξίσωση:
Ας βρούμε την εξίσωση ODZ:
Η εξίσωση περιέχει λογάριθμους στο τετράγωνο, επομένως λύνεται χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητής.
Σπουδαίος! Πριν εισάγετε μια αντικατάσταση, πρέπει να "τραβήξετε" τους λογάριθμους που αποτελούν μέρος της εξίσωσης σε "τούβλα" χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων.
Όταν «τραβάς» λογάριθμους, είναι σημαντικό να εφαρμόζεις πολύ προσεκτικά τις ιδιότητες των λογαρίθμων:
Επιπλέον, υπάρχει ένα ακόμη λεπτό μέρος εδώ, και για να αποφύγουμε ένα κοινό λάθος, θα χρησιμοποιήσουμε μια ενδιάμεση ισότητα: γράφουμε το βαθμό του λογάριθμου με αυτή τη μορφή:
Επίσης,
Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες εκφράσεις στην αρχική εξίσωση. Παίρνουμε:
Τώρα βλέπουμε ότι ο άγνωστος περιέχεται στην εξίσωση ως μέρος του . Παρουσιάζουμε την αντικατάσταση: . Δεδομένου ότι μπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, δεν επιβάλλουμε περιορισμούς στη μεταβλητή.
Ας εξετάσουμε ορισμένους τύπους λογαριθμικών εξισώσεων που δεν εξετάζονται τόσο συχνά στα μαθήματα μαθηματικών στο σχολείο, αλλά χρησιμοποιούνται ευρέως στην προετοιμασία ανταγωνιστικών εργασιών, συμπεριλαμβανομένης της ΧΡΗΣΗΣ.
1. Εξισώσεις που επιλύονται με τη λογαριθμική μέθοδο
Κατά την επίλυση εξισώσεων που περιέχουν μια μεταβλητή τόσο στη βάση όσο και στον εκθέτη, χρησιμοποιείται η μέθοδος του λογάριθμου. Εάν, επιπλέον, ο εκθέτης περιέχει έναν λογάριθμο, τότε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να λογαριθμηθούν στη βάση αυτού του λογάριθμου.
Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση: x log 2 x + 2 = 8.
Λύση.
Παίρνουμε τον λογάριθμο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης στη βάση 2. Παίρνουμε
log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,
(ημερολόγιο 2 x + 2) ημερολόγιο 2 x = 3.
Έστω log 2 x = t.
Τότε (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t - 3 = 0.
D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.
Λοιπόν log 2 x \u003d 1 και x 1 \u003d 2 ή log 2 x \u003d -3 και x 2 \u003d 1/8
Απάντηση: 1/8; 2.
2. Ομογενείς λογαριθμικές εξισώσεις.
Παράδειγμα 2
Λύστε την εξίσωση log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0
Λύση.
Τομέας εξίσωσης
(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
log 3 (x + 5) = 0 για x = -4. Ελέγχοντας, προσδιορίζουμε ότι η δεδομένη τιμή του x δεν είναι 
είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το log 2 3 (x + 5).
Λαμβάνουμε log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.
Έστω log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Τότε t 2 - 3 t + 2 = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι 1; 2. Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή, λαμβάνουμε ένα σύνολο δύο εξισώσεων
Λαμβάνοντας όμως υπόψη την ύπαρξη του λογάριθμου, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη μόνο οι τιμές του (0; 9). Αυτό σημαίνει ότι η έκφραση στην αριστερή πλευρά παίρνει υψηλότερη τιμή 2 για x = 1. Θεωρήστε τώρα τη συνάρτηση y = 2 x-1 + 2 1-x. Εάν πάρουμε t \u003d 2 x -1, τότε θα έχει τη μορφή y \u003d t + 1 / t, όπου t\u003e 0. Υπό τέτοιες συνθήκες, έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο t \u003d 1. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο. Y vin \u003d 2. Και επιτυγχάνεται στο x \u003d 1.
Είναι πλέον προφανές ότι τα γραφήματα των εξεταζόμενων συναρτήσεων μπορούν να τέμνονται μόνο μία φορά στο σημείο (1; 2). Αποδεικνύεται ότι το x \u003d 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης που επιλύεται.
Απάντηση: x = 1.
Παράδειγμα 5. Λύστε την εξίσωση log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x
Λύση.
Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση για το log 2 x. Έστω log 2 x = t. Στη συνέχεια t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.
D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.
Παίρνουμε την εξίσωση log 2 x \u003d -2 ή log 2 x \u003d 3 - x.
Η ρίζα της πρώτης εξίσωσης είναι x 1 = 1/4. 
Η ρίζα του αρχείου καταγραφής εξίσωσης 2 x \u003d 3 - x θα βρεθεί με επιλογή. Αυτός ο αριθμός είναι 2. Αυτή η ρίζα είναι μοναδική, καθώς η συνάρτηση y \u003d log 2 x αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού και η συνάρτηση y \u003d 3 - x μειώνεται.
Με τον έλεγχο είναι εύκολο να βεβαιωθείτε ότι και οι δύο αριθμοί είναι οι ρίζες της εξίσωσης
Απάντηση: 1/4; 2.
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.