Η έννοια του πτυχίου στα μαθηματικά εισάγεται ήδη από την 7η τάξη σε ένα μάθημα άλγεβρας. Και στο μέλλον, καθ 'όλη τη διάρκεια της μελέτης των μαθηματικών, αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ενεργά στις διάφορες μορφές της. Τα πτυχία είναι ένα αρκετά δύσκολο θέμα, που απαιτεί απομνημόνευση των αξιών και την ικανότητα σωστής και γρήγορης μέτρησης. Για πιο γρήγορα και ποιοτική δουλειάμε πτυχία μαθηματικών κατέληξε στις ιδιότητες ενός πτυχίου. Βοηθούν να περιορίσουμε τους μεγάλους υπολογισμούς, να μετατρέψουμε ένα τεράστιο παράδειγμα σε έναν μόνο αριθμό σε κάποιο βαθμό. Δεν υπάρχουν τόσες πολλές ιδιότητες, και όλες είναι εύκολο να τις θυμάστε και να τις εφαρμόσετε στην πράξη. Επομένως, το άρθρο εξετάζει τις κύριες ιδιότητες του πτυχίου, καθώς και πού εφαρμόζονται.
ιδιότητες βαθμού
Θα εξετάσουμε 12 ιδιότητες ενός βαθμού, συμπεριλαμβανομένων ιδιοτήτων δυνάμεων με την ίδια βάση, και θα δώσουμε ένα παράδειγμα για κάθε ιδιοκτησία. Κάθε μία από αυτές τις ιδιότητες θα σας βοηθήσει να επιλύσετε προβλήματα με βαθμούς πιο γρήγορα, καθώς και θα σας εξοικονομήσει από πολλά υπολογιστικά σφάλματα.
1η ιδιοκτησία.
Πολλοί άνθρωποι πολύ συχνά ξεχνούν αυτή την ιδιότητα, κάνουν λάθη, αντιπροσωπεύοντας έναν αριθμό στο μηδέν ως μηδέν.
2η ιδιοκτησία.
3η ιδιοκτησία.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο κατά τον πολλαπλασιασμό αριθμών, δεν λειτουργεί με το άθροισμα! Και δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι αυτή και οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν μόνο για δυνάμεις με την ίδια βάση.
4η ιδιοκτησία.
Αν ο αριθμός στον παρονομαστή αυξηθεί σε αρνητικό βαθμό, τότε κατά την αφαίρεση, ο βαθμός του παρονομαστή λαμβάνεται σε αγκύλες για τη σωστή αντικατάσταση του πρόσημου σε περαιτέρω υπολογισμούς.
Η ιδιότητα λειτουργεί μόνο κατά τη διαίρεση, όχι κατά την αφαίρεση!
5η ιδιοκτησία.
6η ιδιοκτησία.
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εφαρμοστεί και αντίστροφα. Μια μονάδα διαιρούμενη με έναν αριθμό σε κάποιο βαθμό είναι αυτός ο αριθμός σε αρνητική ισχύ.
7η ιδιοκτησία.
Αυτή η ιδιότητα δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε άθροισμα και διαφορά! Κατά την αύξηση ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς σε μια δύναμη, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού και όχι οι ιδιότητες της ισχύος.
8η ιδιοκτησία.
9η ιδιοκτησία.
Αυτή η ιδιότητα λειτουργεί για κάθε κλασματικό βαθμό με αριθμητή ίσο με ένα, ο τύπος θα είναι ο ίδιος, μόνο ο βαθμός της ρίζας θα αλλάξει ανάλογα με τον παρονομαστή του βαθμού.
Επίσης, αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά με αντίστροφη σειρά. Η ρίζα οποιασδήποτε δύναμης ενός αριθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως αυτός ο αριθμός στη δύναμη ενός διαιρούμενου με τη δύναμη της ρίζας. Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη σε περιπτώσεις όπου η ρίζα του αριθμού δεν εξάγεται.
10η ιδιοκτησία.
Αυτή η ιδιοκτησία λειτουργεί όχι μόνο με τετραγωνική ρίζακαι δεύτερου βαθμού. Εάν ο βαθμός της ρίζας και ο βαθμός στον οποίο ανυψώνεται αυτή η ρίζα είναι ο ίδιος, τότε η απάντηση θα είναι μια ριζική έκφραση.
11η ιδιοκτησία.
Πρέπει να μπορείτε να δείτε έγκαιρα αυτήν την ιδιότητα όταν την λύνετε για να γλιτώσετε από τεράστιους υπολογισμούς.
12η ιδιοκτησία.
Κάθε μία από αυτές τις ιδιότητες θα σας συναντήσει περισσότερες από μία φορές σε εργασίες, μπορεί να δοθεί στην καθαρή της μορφή ή μπορεί να απαιτήσει κάποιους μετασχηματισμούς και τη χρήση άλλων τύπων. Ως εκ τούτου, για σωστή απόφασηδεν αρκεί να γνωρίζεις μόνο τις ιδιότητες, χρειάζεται να εξασκηθείς και να συνδέσεις τις υπόλοιπες μαθηματικές γνώσεις.
Εφαρμογή πτυχίων και ιδιοτήτων τους
Χρησιμοποιούνται ενεργά στην άλγεβρα και τη γεωμετρία. Τα πτυχία στα μαθηματικά έχουν ξεχωριστό, σημαντικό μέρος. Με τη βοήθειά τους, λύνονται εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις, καθώς και οι δυνάμεις συχνά περιπλέκουν εξισώσεις και παραδείγματα που σχετίζονται με άλλες ενότητες των μαθηματικών. Οι εκθέτες βοηθούν στην αποφυγή μεγάλων και μεγάλων υπολογισμών, είναι ευκολότερο να μειωθούν και να υπολογιστούν οι εκθέτες. Αλλά να δουλεύεις με μεγάλα πτυχία, ή με πτυχία μεγάλα νούμερα, πρέπει να γνωρίζετε όχι μόνο τις ιδιότητες του πτυχίου, αλλά και να εργάζεστε αρμοδίως με τις βάσεις, να μπορείτε να τις αποσυνθέσετε για να διευκολύνετε την εργασία σας. Για ευκολία, θα πρέπει επίσης να γνωρίζετε την έννοια των αριθμών που ανεβαίνουν σε δύναμη. Αυτό θα μειώσει τον χρόνο σας για επίλυση εξαλείφοντας την ανάγκη για μεγάλους υπολογισμούς.
Η έννοια του βαθμού παίζει ιδιαίτερο ρόλο στους λογάριθμους. Αφού ο λογάριθμος, στην ουσία, είναι η δύναμη ενός αριθμού.
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού είναι ένα άλλο παράδειγμα χρήσης δυνάμεων. Δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν τις ιδιότητες των βαθμών, αποσυντίθενται σύμφωνα με ειδικούς κανόνες, αλλά σε κάθε συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού υπάρχουν αμετάβλητα μοίρες.
Τα πτυχία χρησιμοποιούνται επίσης ενεργά στη φυσική και την επιστήμη των υπολογιστών. Όλες οι μεταφράσεις στο σύστημα SI γίνονται χρησιμοποιώντας βαθμούς και στο μέλλον, κατά την επίλυση προβλημάτων, εφαρμόζονται οι ιδιότητες του βαθμού. Στην επιστήμη των υπολογιστών, οι δυνάμεις των δύο χρησιμοποιούνται ενεργά, για την ευκολία της μέτρησης και την απλοποίηση της αντίληψης των αριθμών. Περαιτέρω υπολογισμοί για μετατροπές μονάδων μέτρησης ή υπολογισμοί προβλημάτων, όπως και στη φυσική, γίνονται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού.
Τα πτυχία είναι επίσης πολύ χρήσιμα στην αστρονομία, όπου σπάνια μπορείς να βρεις τη χρήση των ιδιοτήτων ενός βαθμού, αλλά οι ίδιες οι μοίρες χρησιμοποιούνται ενεργά για να συντομεύουν τη σημειογραφία διάφορα μεγέθηκαι αποστάσεις.
Τα πτυχία χρησιμοποιούνται επίσης σε συνηθισμένη ζωή, κατά τον υπολογισμό περιοχών, όγκων, αποστάσεων.
Με τη βοήθεια πτυχίων, πολύ μεγάλες και πολύ μικρές αξίες γράφονται σε οποιονδήποτε τομέα της επιστήμης.
εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις
Τα πτυχία καταλαμβάνουν ιδιαίτερη θέση ακριβώς στο εκθετικές εξισώσειςκαι ανισότητες. Αυτές οι εργασίες είναι πολύ συνηθισμένες, τόσο στο σχολικό μάθημα όσο και στις εξετάσεις. Όλα αυτά λύνονται εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του πτυχίου. Το άγνωστο βρίσκεται πάντα στον ίδιο τον βαθμό, επομένως, γνωρίζοντας όλες τις ιδιότητες, δεν θα είναι δύσκολο να λυθεί μια τέτοια εξίσωση ή ανισότητα.
Στο τελευταίο εκπαιδευτικό βίντεο, μάθαμε ότι ο βαθμός μιας ορισμένης βάσης είναι μια έκφραση που είναι το γινόμενο της βάσης και της ίδιας, που λαμβάνεται σε ποσότητα ίση με τον εκθέτη. Ας μελετήσουμε τώρα μερικές από τις πιο σημαντικές ιδιότητες και λειτουργίες των δυνάμεων.
Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε δύο διαφορετικές δυνάμεις με την ίδια βάση:
Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό το κομμάτι στο σύνολό του:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Υπολογίζοντας την τιμή αυτής της παράστασης, παίρνουμε τον αριθμό 32. Από την άλλη πλευρά, όπως φαίνεται από το ίδιο παράδειγμα, το 32 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο της ίδιας βάσης (δύο), που λαμβάνεται 5 φορές. Και πράγματι, αν μετρήσετε, τότε:
Έτσι, μπορεί να συναχθεί με ασφάλεια ότι:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Αυτός ο κανόνας λειτουργεί με επιτυχία για οποιουσδήποτε δείκτες και οποιονδήποτε λόγο. Αυτή η ιδιότητα πολλαπλασιασμού του βαθμού προκύπτει από τον κανόνα διατήρησης της σημασίας των εκφράσεων κατά τους μετασχηματισμούς στο γινόμενο. Για οποιαδήποτε βάση a, το γινόμενο δύο παραστάσεων (a) x και (a) y είναι ίσο με a (x + y). Με άλλα λόγια, όταν παράγονται οποιεσδήποτε εκφράσεις με την ίδια βάση, το τελικό μονώνυμο έχει έναν συνολικό βαθμό που σχηματίζεται με την προσθήκη του βαθμού της πρώτης και της δεύτερης έκφρασης.
Ο παρουσιαζόμενος κανόνας λειτουργεί επίσης εξαιρετικά κατά τον πολλαπλασιασμό πολλών εκφράσεων. Η βασική προϋπόθεση είναι οι βάσεις για όλους να είναι ίδιες. Για παράδειγμα:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Είναι αδύνατο να προσθέσετε μοίρες και γενικά να πραγματοποιήσετε οποιεσδήποτε ενέργειες αρθρώσεων ισχύος με δύο στοιχεία της έκφρασης, εάν οι βάσεις τους είναι διαφορετικές.
Όπως δείχνει το βίντεό μας, λόγω της ομοιότητας των διαδικασιών πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, οι κανόνες για την προσθήκη δυνάμεων κατά τη διάρκεια ενός γινόμενου μεταφέρονται τέλεια στη διαδικασία διαίρεσης. Εξετάστε αυτό το παράδειγμα:
Ας πραγματοποιήσουμε έναν μετασχηματισμό όρου προς όρο της έκφρασης σε πλήρη θέακαι ακυρώστε τα ίδια στοιχεία στο μέρισμα και στο διαιρέτη:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Το τελικό αποτέλεσμα αυτού του παραδείγματος δεν είναι τόσο ενδιαφέρον, γιατί ήδη κατά τη διάρκεια της επίλυσής του είναι σαφές ότι η τιμή της έκφρασης είναι ίση με το τετράγωνο του δύο. Και είναι το δίδυμο που προκύπτει αφαιρώντας το βαθμό της δεύτερης έκφρασης από το βαθμό της πρώτης.
Για τον προσδιορισμό του βαθμού του πηλίκου, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον βαθμό του διαιρέτη από τον βαθμό του μερίσματος. Ο κανόνας λειτουργεί με την ίδια βάση για όλες τις αξίες του και για όλες τις φυσικές δυνάμεις. Σε αφηρημένη μορφή έχουμε:
(α) x / (a) y = (α) x - y
Ο ορισμός για τον μηδενικό βαθμό προκύπτει από τον κανόνα για τη διαίρεση πανομοιότυπων βάσεων με δυνάμεις. Προφανώς, η ακόλουθη έκφραση είναι:
(α) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Από την άλλη πλευρά, αν διαιρέσουμε με πιο οπτικό τρόπο, παίρνουμε:
(α) 2 / (α) 2 = (α) (α) / (α) (α) = 1
Κατά την αναγωγή όλων των ορατών στοιχείων ενός κλάσματος, λαμβάνεται πάντα η έκφραση 1/1, δηλαδή ένα. Ως εκ τούτου, είναι γενικά αποδεκτό ότι οποιαδήποτε βάση ανυψώνεται στη μηδενική ισχύ είναι ίση με ένα:
Ανεξάρτητα από την τιμή του α.
Ωστόσο, θα ήταν παράλογο εάν το 0 (το οποίο εξακολουθεί να δίνει 0 για κάθε πολλαπλασιασμό) είναι κατά κάποιο τρόπο ίσο με ένα, επομένως μια έκφραση όπως (0) 0 (μηδέν έως το μηδέν βαθμό) απλά δεν έχει νόημα και στον τύπο (α) 0 = 1 προσθέστε μια συνθήκη: "αν το a δεν είναι ίσο με 0".
Ας κάνουμε την άσκηση. Ας βρούμε την τιμή της έκφρασης:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Δεδομένου ότι η βάση είναι η ίδια παντού και ισούται με 34, η τελική τιμή θα έχει την ίδια βάση με ένα βαθμό (σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες):
Με άλλα λόγια:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Απάντηση: Η έκφραση ισούται με ένα.
Μάθημα με θέμα: "Κανόνες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης δυνάμεων με ίδιους και διαφορετικούς εκθέτες. Παραδείγματα"
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 7η τάξη
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Yu.N. Makarycheva Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο A.G. Μόρντκοβιτς
Σκοπός του μαθήματος: μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με δυνάμεις ενός αριθμού.
Αρχικά, ας θυμηθούμε την έννοια της "δύναμης ενός αριθμού". Μια έκφραση όπως $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $a^n$.
Το αντίστροφο ισχύει επίσης: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Αυτή η ισότητα ονομάζεται «καταγραφή του βαθμού ως γινόμενο». Θα μας βοηθήσει να καθορίσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε τις δυνάμεις.
Θυμάμαι:
ένα- η βάση του πτυχίου.
n- εκθέτης.
Αν ένα n=1, που σημαίνει τον αριθμό έναλαμβάνονται μία φορά και αντίστοιχα: $a^n= 1$.
Αν ένα n=0, τότε $a^0= 1$.
Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να μάθουμε όταν εξοικειωθούμε με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων.
κανόνες πολλαπλασιασμού
α) Αν πολλαπλασιαστούν οι δυνάμεις με την ίδια βάση.Στο $a^n * a^m$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Το σχήμα δείχνει ότι ο αριθμός έναέχουν πάρει n+mφορές, τότε $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Παράδειγμα.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Αυτή η ιδιότητα είναι βολική στη χρήση για την απλοποίηση της εργασίας κατά την αύξηση ενός αριθμού σε μεγάλη ισχύ.
Παράδειγμα.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
β) Αν οι δυνάμεις πολλαπλασιαστούν με διαφορετική βάση, αλλά τον ίδιο εκθέτη.
Στο $a^n * b^n$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Αν ανταλλάξουμε τους παράγοντες και μετρήσουμε τα ζεύγη που προκύπτουν, παίρνουμε: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Άρα $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Παράδειγμα.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
κανόνες διαίρεσης
α) Η βάση του βαθμού είναι ίδια, οι εκθέτες είναι διαφορετικοί.Εξετάστε τη διαίρεση ενός βαθμού με έναν μεγαλύτερο εκθέτη διαιρώντας έναν βαθμό με έναν μικρότερο εκθέτη.
Άρα, είναι απαραίτητο $\frac(a^n)(a^m)$, όπου n>m.
Γράφουμε τους βαθμούς ως κλάσμα:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Για ευκολία γράφουμε τη διαίρεση ως απλό κλάσμα.Τώρα ας μειώσουμε το κλάσμα.
Αποδεικνύεται: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Που σημαίνει, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Αυτή η ιδιότητα θα σας βοηθήσει να εξηγήσετε την κατάσταση με την αύξηση ενός αριθμού σε δύναμη μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι n=m, τότε $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Παραδείγματα.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
β) Άλλες οι βάσεις του βαθμού, οι δείκτες ίδιοι.
Ας υποθέσουμε ότι χρειάζεστε $\frac(a^n)(b^n)$. Γράφουμε τις δυνάμεις των αριθμών ως κλάσμα:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Ας φανταστούμε για ευκολία.
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των κλασμάτων, χωρίζουμε ένα μεγάλο κλάσμα σε γινόμενο μικρών, παίρνουμε.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Αντίστοιχα: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Παράδειγμα.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Αν χρειαστεί να φτιάξετε μερικά συγκεκριμένο αριθμόως ένα βαθμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε . Τώρα θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά ιδιότητες των εξουσιών.
Εκθετικοί αριθμοίανοίγουν μεγάλες δυνατότητες, μας επιτρέπουν να μετατρέψουμε τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση και η πρόσθεση είναι πολύ πιο εύκολη από τον πολλαπλασιασμό.
Για παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 16 με το 64. Το γινόμενο του πολλαπλασιασμού αυτών των δύο αριθμών είναι 1024. Αλλά το 16 είναι 4x4 και το 64 είναι 4x4x4. Άρα 16 φορές 64=4x4x4x4x4 που είναι επίσης 1024.
Ο αριθμός 16 μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως 2x2x2x2 και το 64 ως 2x2x2x2x2x2, και αν πολλαπλασιάσουμε, παίρνουμε πάλι 1024.
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα. 16=4 2 , ή 2 4 , 64=4 3 , ή 2 6 , ενώ 1024=6 4 =4 5 , ή 2 10 .
Επομένως, το πρόβλημά μας μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο: 4 2 x4 3 =4 5 ή 2 4 x2 6 =2 10, και κάθε φορά παίρνουμε 1024.
Μπορούμε να λύσουμε μια σειρά από παρόμοια παραδείγματα και να δούμε ότι ο πολλαπλασιασμός των αριθμών με δυνάμεις μειώνεται σε προσθήκη εκθετών, ή εκθέτη, φυσικά, με την προϋπόθεση ότι οι βάσεις των παραγόντων είναι ίσες.
Έτσι, μπορούμε, χωρίς να πολλαπλασιάσουμε, να πούμε αμέσως ότι 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης κατά τη διαίρεση αριθμών με δυνάμεις, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, π.χ ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος. Έτσι, 2 5:2 3 =2 2 , που σε κανονικούς αριθμούςισούται με 32:8=4, δηλαδή 2 2 . Ας συνοψίσουμε:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, όπου m και n είναι ακέραιοι αριθμοί.
Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμών με δυνάμειςδεν είναι πολύ βολικό, γιατί πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε τον αριθμό σε εκθετική μορφή. Δεν είναι δύσκολο να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς 8 και 16 σε αυτή τη μορφή, δηλαδή 2 3 και 2 4, αλλά πώς να το κάνουμε αυτό με τους αριθμούς 7 και 17; Ή τι να κάνετε σε εκείνες τις περιπτώσεις που ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε εκθετική μορφή, αλλά οι βάσεις των εκθετικών εκφράσεων των αριθμών είναι πολύ διαφορετικές. Για παράδειγμα, το 8×9 είναι 2 3 x 3 2, οπότε δεν μπορούμε να αθροίσουμε τους εκθέτες. Ούτε το 2 5 ούτε το 3 5 είναι η απάντηση, ούτε η απάντηση μεταξύ των δύο.
Τότε αξίζει να ασχοληθείτε καθόλου με αυτή τη μέθοδο; Σίγουρα αξίζει τον κόπο. Παρέχει τεράστια πλεονεκτήματα, ειδικά για πολύπλοκους και χρονοβόρους υπολογισμούς.
Κάθε αριθμητική πράξη μερικές φορές γίνεται πολύ περίπλοκη για να καταγραφεί και προσπαθούν να την απλοποιήσουν. Κάποτε το ίδιο συνέβαινε με την πράξη προσθήκης. Ήταν απαραίτητο για τους ανθρώπους να πραγματοποιήσουν επαναλαμβανόμενες προσθήκες του ίδιου τύπου, για παράδειγμα, να υπολογίσουν το κόστος εκατό περσικών χαλιών, το κόστος των οποίων είναι 3 χρυσά νομίσματα για το καθένα. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Λόγω του όγκου, θεωρήθηκε ότι η σημείωση θα μειωθεί σε 3 * 100 = 300. Στην πραγματικότητα, ο συμβολισμός "τρεις φορές εκατό" σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε εκατό τριπλάσια και προσθέστε τα μαζί. Ο πολλαπλασιασμός ρίζωσε, κέρδισε γενική δημοτικότητα. Αλλά ο κόσμος δεν στέκεται ακίνητος και στον Μεσαίωνα έγινε απαραίτητο να πραγματοποιηθεί επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός του ίδιου τύπου. Θυμάμαι έναν παλιό ινδικό γρίφο για έναν σοφό που ζήτησε κόκκους σιταριού ως ανταμοιβή για τη δουλειά που έγινε στην εξής ποσότητα: για το πρώτο κελί σκακιέραζήτησε ένα σιτάρι, για το δεύτερο - δύο, το τρίτο - τέσσερα, το πέμπτο - οκτώ, και ούτω καθεξής. Έτσι εμφανίστηκε ο πρώτος πολλαπλασιασμός των δυνάμεων, γιατί ο αριθμός των κόκκων ήταν ίσος με δύο με τη δύναμη του αριθμού των κυττάρων. Για παράδειγμα, στο τελευταίο κελί θα υπήρχαν 2*2*2*…*2 = 2^63 κόκκοι, που ισούται με έναν αριθμό μήκους 18 χαρακτήρων, που, στην πραγματικότητα, είναι η έννοια του γρίφου.
Η λειτουργία της αύξησης σε μια δύναμη ρίζωσε αρκετά γρήγορα, και επίσης έγινε γρήγορα απαραίτητο να πραγματοποιηθούν πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμός μοιρών. Το τελευταίο αξίζει να εξεταστεί με περισσότερες λεπτομέρειες. Οι τύποι για την προσθήκη δυνάμεων είναι απλοί και εύκολο να θυμάστε. Επιπλέον, είναι πολύ εύκολο να καταλάβουμε από πού προέρχονται εάν η λειτουργία ισχύος αντικατασταθεί από πολλαπλασιασμό. Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη ορολογία. Η έκφραση a ^ b (διαβάζεται "a στη δύναμη του b") σημαίνει ότι ο αριθμός a πρέπει να πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του b φορές, και το "a" ονομάζεται βάση του βαθμού και το "b" είναι ο εκθέτης. Εάν οι βάσεις των δυνάμεων είναι ίδιες, τότε οι τύποι προκύπτουν πολύ απλά. Συγκεκριμένο παράδειγμα: βρείτε την τιμή της παράστασης 2^3 * 2^4. Για να μάθετε τι πρέπει να συμβεί, θα πρέπει να μάθετε την απάντηση στον υπολογιστή πριν ξεκινήσετε τη λύση. Εισάγοντας αυτήν την έκφραση σε οποιαδήποτε ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μηχανή αναζήτησης, πληκτρολογώντας "πολλαπλασιασμός δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις και ίδια" ή ένα μαθηματικό πακέτο, η έξοδος θα είναι 128. Τώρα ας γράψουμε αυτήν την έκφραση: 2^3 = 2*2*2, και 2^4 = 2 *2*2*2. Αποδεικνύεται ότι 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Αποδεικνύεται ότι το γινόμενο των δυνάμεων με την ίδια βάση είναι ίσο με τη βάση που ανυψώνεται σε δύναμη ίση με το άθροισμα των δύο προηγούμενων δυνάμεων.
Μπορεί να νομίζετε ότι πρόκειται για ατύχημα, αλλά όχι: οποιοδήποτε άλλο παράδειγμα μπορεί μόνο να επιβεβαιώσει αυτόν τον κανόνα. Έτσι, σε γενική εικόναο τύπος μοιάζει με αυτό: a^n * a^m = a^(n+m) . Υπάρχει επίσης ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. Εδώ θα πρέπει να θυμόμαστε τον κανόνα των αρνητικών δυνάμεων: a^(-n) = 1 / a^n. Δηλαδή, αν 2^3 = 8, τότε 2^(-3) = 1/8. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, μπορούμε να αποδείξουμε την ισότητα a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , Το a^ (n) μπορεί να μειωθεί και παραμένει ένα. Από αυτό προκύπτει ο κανόνας ότι το πηλίκο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με αυτή τη βάση σε βαθμό ίσο με το πηλίκο του μερίσματος και του διαιρέτη: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Παράδειγμα: Απλοποιήστε την παράσταση 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ο πολλαπλασιασμός είναι μια αντισταθμιστική πράξη, επομένως οι εκθέτες πολλαπλασιασμού πρέπει πρώτα να προστεθούν: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Στη συνέχεια, θα πρέπει να αντιμετωπίσετε τη διαίρεση σε αρνητικό βαθμό. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον εκθέτη διαιρέτη από τον εκθέτη μερίσματος: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. αποδεικνύεται ότι η πράξη της διαίρεσης με έναν αρνητικό βαθμό ταυτίζεται με τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού με έναν παρόμοιο θετικό εκθέτη. Άρα η τελική απάντηση είναι 8.
Υπάρχουν παραδείγματα όπου λαμβάνει χώρα μη κανονικός πολλαπλασιασμός δυνάμεων. Ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις είναι πολύ συχνά πολύ πιο δύσκολος, και μερικές φορές ακόμη και αδύνατος. Θα πρέπει να δοθούν αρκετά παραδείγματα διαφόρων πιθανών προσεγγίσεων. Παράδειγμα: απλοποιήστε την έκφραση 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Προφανώς, υπάρχει πολλαπλασιασμός δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις. Αλλά, πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές δυνάμεις ενός τριπλού. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα (a^n) ^m = a^(n*m) , θα πρέπει να ξαναγράψετε την έκφραση σε περισσότερα βολική μορφή: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12-10+6) = 3^(11) . Απάντηση: 3^11. Σε περιπτώσεις όπου διάφορους λόγους, ο κανόνας a^n * b^n = (a*b) ^n λειτουργεί για ίσους δείκτες. Για παράδειγμα, 3^3 * 7^3 = 21^3. Διαφορετικά, όταν υπάρχουν διαφορετικές βάσεις και δείκτες, είναι αδύνατο να γίνει πλήρης πολλαπλασιασμός. Μερικές φορές μπορείτε να απλοποιήσετε εν μέρει ή να καταφύγετε στη βοήθεια της τεχνολογίας υπολογιστών.