Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")
Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηλέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Σημαίνει ότι στην εξίσωση αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Εκτός από αυτό, στην εξίσωση μπορεί να υπάρχει (ή μπορεί να μην υπάρχει!) Μόλις x (στο πρώτο βαθμό) και μόνο ένας αριθμός (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν x σε βαθμό μεγαλύτερο από δύο.
Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ένα- κάθε άλλο παρά μηδέν. Για παράδειγμα:
Εδώ ένα =1; σι = 3; ντο = -4
Εδώ ένα =2; σι = -0,5; ντο = 2,2
Εδώ ένα =-3; σι = 6; ντο = -18
Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...
Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, στα αριστερά, υπάρχει πλήρες σετμέλη. x στο τετράγωνο με τον συντελεστή ένα, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σικαι ελεύθερο μέλος του
Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρης.
Κι αν σι= 0, τι θα πάρουμε; Εχουμε Το Χ θα εξαφανιστεί στον πρώτο βαθμό.Αυτό συμβαίνει από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Και τα λοιπά. Και αν και οι δύο συντελεστές σικαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Τέτοιες εξισώσεις, όπου κάτι λείπει, λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.
Με την ευκαιρία γιατί έναδεν μπορεί να είναι μηδέν; Και αντικαθιστάς έναμηδέν.) Το Χ στο τετράγωνο θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και γίνεται διαφορετικά...
Εδώ είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικές εξισώσεις. Πλήρης και ελλιπής.
Λύση τετραγωνικών εξισώσεων.
Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, χρειάζεστε δεδομένη εξίσωσηφέρτε στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:
Εάν η εξίσωση έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ένα, σικαι ντο.
Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:
ένα =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:
Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:
Αυτή είναι η απάντηση.
Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Μια λεπτομερής φόρμουλα με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:
Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1
Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.
Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα πέσει απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:
Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να ζωγραφίσεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο φαίνεται. Δοκίμασέ το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Ποιο είναι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να βάψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Απλώς θα αποδειχθεί σωστό. Ειδικά αν εφαρμόζετε πρακτικές τεχνικές, οι οποίες περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα θα λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!
Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:
Το ξέρατε;) Ναι! το ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.
Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.
Μπορούν επίσης να λυθούν με τον γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.
Συνειδητοποίησα? Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ένα ντο? Δεν υπάρχει καθόλου! Λοιπόν, ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο αντί για ντο,και όλα θα πάνε καλά για εμάς. Ομοίως με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο μηδέν δεν έχουμε εδώ Με, ένα σι !
Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία φόρμουλα. Θεωρήστε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.
Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν, και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν! Δεν πιστεύεις; Λοιπόν, καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Κάτι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.
Τα παντα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο ταιριάζουν. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τον γενικό τύπο. Σημειώνω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - είναι απολύτως αδιάφορο. Εύκολο να γράψεις με τη σειρά x 1- όποιο είναι λιγότερο x 2- αυτό που είναι περισσότερο.
Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μετακινούμε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:
Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:
επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.
Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε βγάζοντας το Χ από αγκύλες, είτε απλώς μεταφέροντας τον αριθμό στα δεξιά, ακολουθούμενο από εξαγωγή της ρίζας.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις μεθόδους. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από το Χ, κάτι που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητο, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες ...
Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.
Μαγική λέξη διακριτική ! Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και απροβλημάτιστο στον χειρισμό.) Σας θυμίζω τα περισσότερα γενικός τύποςγια λύσεις όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Η διάκριση συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:
D = b 2 - 4ac
Και τι το ιδιαίτερο έχει αυτή η έκφραση; Γιατί αξίζει ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι έννοια του διακρίνοντα;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν ονομάζουν συγκεκριμένα ... Γράμματα και γράμματα.
Το θέμα είναι αυτό. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.
1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η δευτεροβάθμια εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.
2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.
3. Η διάκριση είναι αρνητική.Από αρνητικός αριθμόςη τετραγωνική ρίζα δεν λαμβάνεται. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
Για να είμαι ειλικρινής, στο απλή λύσητετραγωνικές εξισώσεις, δεν απαιτείται ιδιαίτερα η έννοια του διακριτικού. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και θεωρούμε. Εκεί όλα αποδεικνύονται από μόνα τους, και δύο ρίζες, και μία, και όχι μία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και διακριτικός τύποςόχι αρκετά. Ειδικά - σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικάστο ΓΙΑ και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!)
Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθε, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να αναγνωρίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεκτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεκτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίεδώ - προσεκτικά?
Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Αυτά ακριβώς που οφείλονται σε απροσεξία… Για τα οποία είναι επώδυνο και προσβλητικό…
Πρώτη υποδοχή
. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:
Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:
Και πάλι, μην βιαστείτε! Το μείον πριν από το x στο τετράγωνο μπορεί να σας αναστατώσει πολύ. Το να το ξεχάσεις είναι εύκολο... Ξεφορτώσου το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.
Δεύτερη υποδοχή. Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα.
Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιΜε απεναντι απο
σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.
Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...
Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα ένα κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα για απλοποίηση. Σας παρακαλούμε! Να τος.
Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Αυτό είναι όλο! Το να αποφασίζεις είναι διασκεδαστικό!
Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.
1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.
2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.
3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.
4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!
Τώρα μπορείτε να αποφασίσετε.)
Επίλυση εξισώσεων:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Απαντήσεις (σε αταξία):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5
x - οποιοσδήποτε αριθμός
x 1 = -3
x 2 = 3
χωρίς λύσεις
x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5
Ταιριάζουν όλα; Εξοχος! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι δικές σας πονοκέφαλο. Τα τρία πρώτα βγήκαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.
Δεν λειτουργεί αρκετά; Ή δεν λειτουργεί καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Εκεί, όλα αυτά τα παραδείγματα ταξινομούνται κατά οστά. Επίδειξη κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, περιγράφεται και η εφαρμογή πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Η διάκριση, καθώς και οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αρχίζουν να μελετώνται στο μάθημα της άλγεβρας στην τάξη 8. Μπορείτε να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση μέσω του διαχωριστή και χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Η μεθοδολογία για τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων, καθώς και ο τύπος διάκρισης, είναι μάλλον ανεπιτυχώς ενσταλάσσεται στους μαθητές, όπως και στην πραγματική εκπαίδευση. Επομένως περάστε ΣΧΟΛΙΚΑ χρονια, η εκπαίδευση στις τάξεις 9-11 αντικαθιστά το " ανώτερη εκπαίδευση"Και όλοι κοιτάζουν ξανά - «Πώς να λύσω μια τετραγωνική εξίσωση;», «Πώς να βρείτε τις ρίζες μιας εξίσωσης;», «Πώς να βρείτε το διαχωριστικό;» και...
Διακριτική Φόρμουλα
Η διάκριση D της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a*x^2+bx+c=0 είναι D=b^2–4*a*c.
Οι ρίζες (λύσεις) της δευτεροβάθμιας εξίσωσης εξαρτώνται από το πρόσημο της διάκρισης (D):
D>0 - η εξίσωση έχει 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
D=0 - η εξίσωση έχει 1 ρίζα (2 ρίζες που συμπίπτουν):
ρε<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ο τύπος για τον υπολογισμό του διακριτικού είναι αρκετά απλός, έτσι πολλοί ιστότοποι προσφέρουν μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή διάκρισης. Δεν έχουμε καταλάβει ακόμα αυτού του είδους τα σενάρια, οπότε ποιος ξέρει πώς να το εφαρμόσει, παρακαλώ γράψτε στο mail Αυτή η διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου προστατεύεται από κακόβουλη χρήση. Πρέπει να έχετε ενεργοποιημένη τη JavaScript για προβολή. .
Γενικός τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
Οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται από τον τύπο 
Εάν ο συντελεστής της μεταβλητής στο τετράγωνο είναι ζευγαρωμένος, τότε καλό είναι να υπολογιστεί όχι ο διαχωριστής, αλλά το τέταρτο μέρος του
Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται από τον τύπο 
Ο δεύτερος τρόπος για να βρείτε ρίζες είναι το Θεώρημα του Βιέτα.
Το θεώρημα διατυπώνεται όχι μόνο για τετραγωνικές εξισώσεις, αλλά και για πολυώνυμα. Μπορείτε να το διαβάσετε στη Wikipedia ή σε άλλες ηλεκτρονικές πηγές. Ωστόσο, για να απλοποιήσουμε, θεωρήστε εκείνο το τμήμα του που αφορά τις ανηγμένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, δηλαδή τις εξισώσεις της μορφής (a=1)
Η ουσία των τύπων Vieta είναι ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον συντελεστή της μεταβλητής, που λαμβάνεται από αντίθετο σημάδι. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Οι τύποι του θεωρήματος του Βιέτα έχουν σημειογραφία.
Η παραγωγή του τύπου Vieta είναι αρκετά απλή. Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση ως προς τους πρώτους παράγοντες 
Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε έξυπνο είναι ταυτόχρονα απλό. Είναι αποτελεσματικό να χρησιμοποιείτε τον τύπο Vieta όταν η διαφορά στο μέτρο των ριζών ή η διαφορά στο μέτρο των ριζών είναι 1, 2. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες εξισώσεις, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, έχουν ρίζες
Η ανάλυση έως και 4 εξισώσεων θα πρέπει να μοιάζει με αυτό. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι 6, επομένως οι ρίζες μπορεί να είναι οι τιμές (1, 6) και (2, 3) ή ζεύγη με το αντίθετο πρόσημο. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 (ο συντελεστής της μεταβλητής με το αντίθετο πρόσημο). Από εδώ συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ίσες με x=2; x=3.
Είναι ευκολότερο να επιλέξετε τις ρίζες της εξίσωσης μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου, διορθώνοντας το πρόσημό τους προκειμένου να εκπληρωθούν οι τύποι Vieta. Στην αρχή, αυτό φαίνεται δύσκολο να γίνει, αλλά με εξάσκηση σε έναν αριθμό δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αυτή η τεχνική θα είναι πιο αποτελεσματική από τον υπολογισμό της διάκρισης και την εύρεση των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης με τον κλασικό τρόπο.
Όπως μπορείτε να δείτε, η σχολική θεωρία της μελέτης της διάκρισης και των τρόπων εύρεσης λύσεων στην εξίσωση στερείται πρακτικής σημασίας - «Γιατί χρειάζονται οι μαθητές μια τετραγωνική εξίσωση;», «Ποια είναι η φυσική έννοια του διακρίνοντα;».
Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε τι περιγράφει η διάκριση;
Στο μάθημα της άλγεβρας μελετούν συναρτήσεις, σχήματα μελέτης συναρτήσεων και σχεδίαση συναρτήσεων. Από όλες τις συναρτήσεις, μια σημαντική θέση καταλαμβάνει μια παραβολή, η εξίσωση της οποίας μπορεί να γραφτεί με τη μορφή 
Άρα η φυσική έννοια της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα μηδενικά της παραβολής, δηλαδή τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα της τετμημένης Ox
Σας ζητώ να θυμάστε τις ιδιότητες των παραβολών που περιγράφονται παρακάτω. Θα έρθει η ώρα να κάνετε εξετάσεις, τεστ ή εισαγωγικές εξετάσεις και θα είστε ευγνώμονες για το υλικό αναφοράς. Το πρόσημο της μεταβλητής στο τετράγωνο αντιστοιχεί στο αν οι κλάδοι της παραβολής στο γράφημα θα ανέβουν (a>0),
ή μια παραβολή με κλαδιά προς τα κάτω (α<0)
.
Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στη μέση μεταξύ των ριζών
Η φυσική έννοια της διάκρισης:
Εάν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (D>0), η παραβολή έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα Ox. 
Αν η διάκριση είναι ίση με μηδέν (D=0), τότε η παραβολή στην κορυφή αγγίζει τον άξονα x. 
Και η τελευταία περίπτωση όταν η διάκριση λιγότερο από το μηδέν(ΡΕ<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Με αυτό το πρόγραμμα μαθηματικών μπορείτε λύσει την εξίσωση του δευτεροβάθμιου.
Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά εμφανίζει επίσης τη διαδικασία επίλυσης με δύο τρόπους:
- χρησιμοποιώντας το διακριτικό
- χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta (αν είναι δυνατόν).
Επιπλέον, η απάντηση εμφανίζεται ακριβής, όχι κατά προσέγγιση.
Για παράδειγμα, για την εξίσωση \(81x^2-16x-1=0\), η απάντηση εμφανίζεται με αυτή τη μορφή:
Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου στην προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις, κατά τη δοκιμή γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να ολοκληρώσετε την εργασία σας στα μαθηματικά ή την άλγεβρα όσο το δυνατόν γρηγορότερα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με μια λεπτομερή λύση.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και την εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των εργασιών που πρέπει να επιλυθούν.
Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες για την εισαγωγή ενός τετραγώνου πολυωνύμου, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.
Κανόνες εισαγωγής τετράγωνου πολυωνύμου
Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.
Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) κ.λπ.
Οι αριθμοί μπορούν να εισαχθούν ως ακέραιοι ή κλάσματα.
Επιπλέον, οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να εισαχθούν όχι μόνο με τη μορφή δεκαδικού, αλλά και με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος.
Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Στα δεκαδικά κλάσματα, το κλασματικό μέρος από τον ακέραιο μπορεί να διαχωριστεί είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα, μπορείτε να εισάγετε δεκαδικά ψηφία ως εξής: 2,5x - 3,5x^2
Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.
Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.
Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Το ακέραιο μέρος χωρίζεται από το κλάσμα με συμπλεκτικό σύμφωνο: &
Είσοδος: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Αποτέλεσμα: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Κατά την εισαγωγή μιας έκφρασης μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αγκύλες. Στην περίπτωση αυτή, κατά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, η εισαγόμενη έκφραση απλοποιείται πρώτα.
Για παράδειγμα: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Αποφασίζω
Διαπιστώθηκε ότι ορισμένα σενάρια που απαιτούνται για την επίλυση αυτής της εργασίας δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.
Η JavaScript πρέπει να είναι ενεργοποιημένη για να εμφανιστεί η λύση.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που θέλουν να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας βρίσκεται στην ουρά.
Μετά από μερικά δευτερόλεπτα, η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Περίμενε Παρακαλώ δευτερόλεπτο...
Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε σχετικά στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.
Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:
Λίγη θεωρία.
Η τετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες της. Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Κάθε μια από τις εξισώσεις
\(-x^2+6x+1,4=0, \τετραπλό 8x^2-7x=0, \τετράδα x^2-\frac(4)(9)=0 \)
έχει τη μορφή
\(ax^2+bx+c=0, \)
όπου x είναι μια μεταβλητή, τα a, b και c είναι αριθμοί.
Στην πρώτη εξίσωση a = -1, b = 6 και c = 1,4, στη δεύτερη a = 8, b = -7 και c = 0, στην τρίτη a = 1, b = 0 και c = 4/9. Τέτοιες εξισώσεις λέγονται τετραγωνικές εξισώσεις.
Ορισμός.
τετραγωνική εξίσωσηκαλείται μια εξίσωση της μορφής ax 2 +bx+c=0, όπου x είναι μια μεταβλητή, a, b και c είναι κάποιοι αριθμοί και \(a \neq 0 \).
Οι αριθμοί α, β και γ είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ο αριθμός a ονομάζεται πρώτος συντελεστής, ο αριθμός b είναι ο δεύτερος συντελεστής και ο αριθμός c είναι η τομή.
Σε καθεμία από τις εξισώσεις της μορφής ax 2 +bx+c=0, όπου \(a \neq 0 \), η μεγαλύτερη ισχύς της μεταβλητής x είναι τετράγωνο. Εξ ου και το όνομα: τετραγωνική εξίσωση.
Σημειώστε ότι μια τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται και εξίσωση δεύτερου βαθμού, αφού η αριστερή της πλευρά είναι πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού.
Καλείται μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ο συντελεστής x 2 είναι 1 μειωμένη τετραγωνική εξίσωση. Για παράδειγμα, οι δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις είναι οι εξισώσεις
\(x^2-11x+30=0, \τετραπλό x^2-6x=0, \τετράδα x^2-8=0 \)
Αν στη δευτεροβάθμια εξίσωση ax 2 +bx+c=0 τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές b ή c είναι ίσος με μηδέν, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Άρα, οι εξισώσεις -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 είναι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στο πρώτο από αυτά b=0, στο δεύτερο c=0, στο τρίτο b=0 και c=0.
Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι τριών τύπων:
1) ax 2 +c=0, όπου \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, όπου \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Εξετάστε τη λύση των εξισώσεων καθενός από αυτούς τους τύπους.
Για να λυθεί μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +c=0 για \(c \neq 0 \), ο ελεύθερος όρος της μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και και τα δύο μέρη της εξίσωσης διαιρούνται με ένα:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Δεξί βέλος x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Αφού \(c \neq 0 \), τότε \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Αν \(-\frac(c)(a)>0 \), τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Αν \(-\frac(c)(a) Για να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0 για \(b \neq 0 \) παραγοντοποιήστε την αριστερή της πλευρά και λάβετε την εξίσωση
\(x(ax+b)=0 \Δεξί βέλος \αριστερά\( \αρχή(πίνακας)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(πίνακας) \δεξιά. \Δεξί βέλος \αριστερά\( \αρχή (πίνακας)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (πίνακας) \δεξιά. \)
Επομένως, μια ατελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0 για \(b \neq 0 \) έχει πάντα δύο ρίζες.
Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 \u003d 0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 \u003d 0 και επομένως έχει μια μοναδική ρίζα 0.
Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Ας εξετάσουμε τώρα πώς λύνονται οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις στις οποίες και οι δύο συντελεστές των αγνώστων και ο ελεύθερος όρος είναι μη μηδενικοί.
Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση στο γενική εικόνακαι ως αποτέλεσμα παίρνουμε τον τύπο των ριζών. Τότε αυτός ο τύπος μπορεί να εφαρμοστεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c=0
Διαιρώντας και τα δύο μέρη του με το a, προκύπτει η ισοδύναμη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Μετασχηματίζουμε αυτήν την εξίσωση επισημαίνοντας το τετράγωνο του διωνύμου:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Δεξί βέλος \)
Η έκφραση ρίζας ονομάζεται διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ax 2 +bx+c=0 («διακριτικός» στα λατινικά - διακριτικό). Συμβολίζεται με το γράμμα Δ, δηλ.
\(D = b^2-4ac\)
Τώρα, χρησιμοποιώντας τη σημείωση του διαχωριστή, ξαναγράφουμε τον τύπο για τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), όπου \(D= b^2-4ac \)
Είναι προφανές ότι:
1) Αν D>0, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες.
2) Αν D=0, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μία ρίζα \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Αν D Έτσι, ανάλογα με την τιμή του διαχωριστή, η δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να έχει δύο ρίζες (για D > 0), μία ρίζα (για D = 0) ή καμία ρίζα (για D Όταν λύνουμε μια εξίσωση του τετραγωνικού χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο , συνιστάται να κάνετε τον εξής τρόπο:
1) υπολογίστε τη διάκριση και συγκρίνετε τη με το μηδέν.
2) εάν ο διαχωριστής είναι θετικός ή ίσος με μηδέν, χρησιμοποιήστε τον τύπο ρίζας, εάν ο διαχωριστής είναι αρνητικός, τότε σημειώστε ότι δεν υπάρχουν ρίζες.
Το θεώρημα του Βιέτα
Η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση ax 2 -7x+10=0 έχει ρίζες 2 και 5. Το άθροισμα των ριζών είναι 7, και το γινόμενο είναι 10. Βλέπουμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Κάθε ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση που έχει ρίζες έχει αυτή την ιδιότητα.
Το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.
Εκείνοι. Το θεώρημα του Vieta δηλώνει ότι οι ρίζες x 1 και x 2 της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0 έχουν την ιδιότητα:
\(\αριστερά\( \αρχή(πίνακας)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(πίνακας) \δεξιά. \)
ΣΤΟ σύγχρονη κοινωνίαη ικανότητα λειτουργίας με εξισώσεις που περιέχουν μια τετραγωνική μεταβλητή μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί από τον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποτάμιων σκαφών, αεροσκαφών και πυραύλων. Με τη βοήθεια τέτοιων υπολογισμών, οι τροχιές κίνησης των περισσότερων διαφορετικά σώματα, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές κατασκήνωσης, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά τις αγορές και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.
Ας χωρίσουμε την έκφραση σε συνιστώσες
Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η δεδομένη έκφραση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση.
Αν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε αυτές οι εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν η αριστερή πλευρά της έκφρασης αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή η μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (ο άγνωστος χωρίς το τετράγωνο με τον συντελεστή του) και c (η ελεύθερη συνιστώσα, δηλαδή κοινός αριθμός). Όλα αυτά είναι ίσα με 0 στη δεξιά πλευρά. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο δεν έχει έναν από τους συστατικούς όρους του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, στα οποία η τιμή των μεταβλητών δεν είναι δύσκολο να βρεθεί, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.
Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά της παράστασης, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, είναι πιο εύκολο να βρείτε το x τοποθετώντας τη μεταβλητή σε αγκύλες. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Επιπλέον, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.
Παράδειγμα
x=0 ή 8x - 3 = 0
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.
Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό τη δράση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο, που λαμβάνεται ως αρχή. Εδώ παίρνει η μαθηματική σημειογραφία παρακάτω φόρμα: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε τον χρόνο που έχει περάσει από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά για αυτό θα μιλήσουμε αργότερα.
Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης
Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις. Εξετάστε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.
X2 - 33x + 200 = 0
Αυτό το τετράγωνο τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, μετασχηματίζουμε την έκφραση και την αποσυνθέτουμε σε παράγοντες. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.
Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.
Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μια μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x + 1), (x-3) και (x + 3).
Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -ένας; 3.
Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας
Μια άλλη περίπτωση ημιτελούς εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια έκφραση γραμμένη στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα συστατικά ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, μεταφέρεται ο ελεύθερος όρος σωστη πλευρα, και μετά από αυτό, και από τα δύο μέρη της ισότητας, Τετραγωνική ρίζα. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι ισότητες που δεν περιέχουν καθόλου τον όρο c, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και οι παραλλαγές των παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά αποδεικνύεται αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.
Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.
Υπολογισμός της έκτασης της γης
Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους οφειλόταν σε μεγάλο βαθμό στην ανάγκη να καθοριστούν οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων με τη μεγαλύτερη ακρίβεια.
Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων που συντάσσονται με βάση προβλήματα αυτού του είδους.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο κομμάτι γης, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας, εάν είναι γνωστό ότι η έκτασή της είναι 612 m 2.
Περνώντας στη δουλειά, στην αρχή θα κάνουμε την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε το πλάτος του τμήματος ως x, τότε το μήκος του θα είναι (x + 16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι η περιοχή καθορίζεται από την παράσταση x (x + 16), η οποία, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x (x + 16) \u003d 612.
Η λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά του εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν είναι καθόλου ίσο με 0, επομένως χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι εδώ.
Διακριτικός
Πρώτα από όλα κάνουμε τις απαραίτητες μεταμορφώσεις, λοιπόν εμφάνισηαυτή η έκφραση θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση με τη μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.
Αυτό μπορεί να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων μέσω του διαχωριστή. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική τιμή όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των επιθυμητών τιμών στην εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει τον αριθμό επιλογές. Στην περίπτωση D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους
Στην περίπτωσή μας, η διάκριση είναι: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό δείχνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.
Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί το μέγεθος του οικοπέδου δεν μπορεί να μετρηθεί σε αρνητικές τιμές, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 μ. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18+16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18) = 104 (m 2).
Παραδείγματα και εργασίες
Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερής λύση αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Ας μεταφέρουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή παίρνουμε τη μορφή της εξίσωσης, που συνήθως ονομάζεται τυπική, και την εξισώνουμε με το μηδέν.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Έχοντας προσθέσει παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Άρα η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Τα υπολογίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο 1.
2) Τώρα θα αποκαλύψουμε αινίγματα διαφορετικού είδους.
Ας μάθουμε αν υπάρχουν καθόλου ρίζες x 2 - 4x + 5 = 1 εδώ; Για να λάβουμε μια εξαντλητική απάντηση, φέρνουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη γνωστή μορφή και υπολογίζουμε τη διάκριση. Σε αυτό το παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η τετραγωνική εξίσωση, επειδή η ουσία του προβλήματος δεν βρίσκεται καθόλου σε αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, πράγμα που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.
Το θεώρημα του Βιέτα
Είναι βολικό να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις μέσω των παραπάνω τύπων και του διαχωριστικού, όταν η τετραγωνική ρίζα εξάγεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά του από έναν άνδρα που έζησε στη Γαλλία του 16ου αιώνα και είχε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.
Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.
Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.
3x2 + 21x - 54 = 0
Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:
x 2 + 7x - 18 = 0
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Έχοντας κάνει έναν έλεγχο, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι τιμές των μεταβλητών ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.
Γράφημα και εξίσωση παραβολής
Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί προηγουμένως. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια εξάρτηση, σχεδιασμένη με τη μορφή γραφήματος, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο βγαίνουν τα κλαδιά της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν από τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b / 2a. Και, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής που ανήκει στον άξονα y.
Η τομή των κλάδων της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τα εξετάσουμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το y 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Από το γράφημα μιας παραβολής, μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τις ρίζες. Ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι πιο εύκολο να σχεδιάσετε.
Από την ιστορία
Με τη βοήθεια εξισώσεων που περιέχουν μια τετραγωνισμένη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια, όχι μόνο έκαναν μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγαλειώδεις ανακαλύψεις στον τομέα της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για να κάνουν αστρολογικές προβλέψεις.
Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την έλευση της εποχής μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν θεμελιωδώς διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν επίσης εξοικειωμένοι με άλλες λεπτές αποχρώσεις εκείνων που ήταν γνωστές σε κανέναν μαθητή της εποχής μας.
Ίσως ακόμη και νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία, Baudhayama, ανέλαβε τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την έλευση της εποχής του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις παλιά. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στο έργο τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.
”, δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα, θα εξερευνήσουμε τι είναι μια τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.
Τι είναι η τετραγωνική εξίσωση
Σπουδαίος!
Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.
Εάν ο μέγιστος βαθμός στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.
Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων
- 5x2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Σπουδαίος! Η γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" και "c" - δεδομένοι αριθμοί.- "α" - ο πρώτος ή ανώτερος συντελεστής.
- "β" - ο δεύτερος συντελεστής.
- Το "c" είναι ελεύθερο μέλος.
Για να βρείτε τα "a", "b" και "c" Πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης "ax 2 + bx + c \u003d 0".
Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών «α», «β» και «γ» σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
| Η εξίσωση | Πιθανότητα | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- γ =
1 3
- α = 1
- b = 0,25
- c = 0
- α = 1
- b = 0
- c = −8
Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις
Σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, μια ειδική εξίσωση χρησιμοποιείται για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. τύπος για την εύρεση ριζών.
Θυμάμαι!
Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:
- φέρτε την τετραγωνική εξίσωση στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c \u003d 0". Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
- χρησιμοποιήστε τον τύπο για τις ρίζες:
Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα για να καταλάβουμε πώς να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση.
X 2 - 3x - 4 = 0
Η εξίσωση "x 2 - 3x - 4 = 0" έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c = 0" και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Ας ορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Με τη βοήθειά του λύνεται οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση.
Στον τύπο "x 1; 2 \u003d" η έκφραση ρίζας αντικαθίσταται συχνά
"b 2 − 4ac" στο γράμμα "D" και ονομάζεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού αναλύεται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».
Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.
x 2 + 9 + x = 7x
Σε αυτή τη μορφή, είναι μάλλον δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας φέρουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c \u003d 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.
Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=
| 6 |
| 2 |
x=3
Απάντηση: x = 3
Υπάρχουν φορές που δεν υπάρχουν ρίζες στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ένας αρνητικός αριθμός εμφανίζεται στον τύπο κάτω από τη ρίζα.