Μόλις. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο

απαραίτητη δεδομένη εξίσωσηφέρτε στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτή τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο. Το πιο σημαντικό είναι σωστό

καθορίσει όλους τους συντελεστές ένα, σικαι ντο.

Τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική . Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, εμείς

χρήση μόνο τα α, β και γ. Εκείνοι. πιθανότητες από τετραγωνική εξίσωση. Απλά εισάγετε προσεκτικά

αξίες α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Αντικατάσταση με δικα τουςσημάδια!

Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ένα =1; σι = 3; ντο = -4.

Αντικαταστήστε τις τιμές και γράψτε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτή είναι η απάντηση.

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, βκαι Με. Μάλλον με αντικατάσταση

αρνητικές τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ ο αναλυτικός τύπος αποθηκεύει

Με συγκεκριμένους αριθμούς. Αν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, κάντε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ζωγραφίζουμε τα πάντα με λεπτομέρεια, προσεκτικά, χωρίς να λείπει τίποτα με όλα τα σημάδια και τις αγκύλες:

Συχνά οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων.

Πρώτη υποδοχή. Μην είσαι τεμπέλης πριν επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσηςφέρτε το σε τυπική μορφή.

Τι σημαίνει αυτό?

Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.

Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Απαλλαγείτε από το μείον. Πως? Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα.

Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.

Δεύτερη υποδοχή.Ελέγξτε τις ρίζες σας! Με Το θεώρημα του Βιέτα.

Να λύσει το δεδομένο τετραγωνικές εξισώσεις, δηλ. αν ο συντελεστής

x2+bx+c=0,

έπειταx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−σι

Για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση στην οποία a≠1:

x 2 +σιx+ντο=0,

διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με ένα:

→ →

όπου x 1και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης.

Τρίτη υποδοχή. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάζω

εξίσωση για έναν κοινό παρονομαστή.

Συμπέρασμα. Πρακτικές Συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας τα πάντα

εξισώσεις για -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με την αντίστοιχη

παράγοντας.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με

Με αυτό το πρόγραμμα μαθηματικών μπορείτε λύσει την εξίσωση του δευτεροβάθμιου.

Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά εμφανίζει επίσης τη διαδικασία επίλυσης με δύο τρόπους:
- χρησιμοποιώντας το διακριτικό
- χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta (αν είναι δυνατόν).

Επιπλέον, η απάντηση εμφανίζεται ακριβής, όχι κατά προσέγγιση.
Για παράδειγμα, για την εξίσωση \(81x^2-16x-1=0\), η απάντηση εμφανίζεται με αυτή τη μορφή:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ αντί για αυτό: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Αυτό το πρόγραμμαμπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου κατά την προετοιμασία για εργασίες ελέγχουκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από τις εξετάσεις, οι γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε το συντομότερο δυνατό; εργασία για το σπίτιμαθηματικά ή άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με μια λεπτομερή λύση.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και την εκπαίδευσή σας μικρότερα αδέρφιαή αδελφές, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των εργασιών που επιλύονται.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες για την εισαγωγή ενός τετραγώνου πολυωνύμου, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.

Κανόνες εισαγωγής τετράγωνου πολυωνύμου

Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.
Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) κ.λπ.

Οι αριθμοί μπορούν να εισαχθούν ως ακέραιοι ή κλάσματα.
Επιπλέον, οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να εισαχθούν όχι μόνο με τη μορφή δεκαδικού, αλλά και με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος.

Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Στα δεκαδικά κλάσματα, το κλασματικό μέρος από τον ακέραιο μπορεί να διαχωριστεί είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα, μπορείτε να εισάγετε δεκαδικάοπότε: 2,5x - 3,5x^2

Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.

Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.

Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
ολόκληρο μέροςχωρίζεται από το κλάσμα με συμπλεκτικό σύμφωνο: &
Είσοδος: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Αποτέλεσμα: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Κατά την εισαγωγή μιας έκφρασης μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αγκύλες. Στην περίπτωση αυτή, κατά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, η εισαγόμενη έκφραση απλοποιείται πρώτα.
Για παράδειγμα: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Αποφασίζω

Διαπιστώθηκε ότι ορισμένα σενάρια που απαιτούνται για την επίλυση αυτής της εργασίας δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Έχετε απενεργοποιήσει τη JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Η JavaScript πρέπει να είναι ενεργοποιημένη για να εμφανιστεί η λύση.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που θέλουν να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας βρίσκεται στην ουρά.
Μετά από μερικά δευτερόλεπτα, η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Περίμενε Παρακαλώ δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε σχετικά στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Η τετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες της. Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Κάθε μια από τις εξισώσεις
\(-x^2+6x+1,4=0, \τετραπλό 8x^2-7x=0, \τετράδα x^2-\frac(4)(9)=0 \)
έχει τη μορφή
\(ax^2+bx+c=0, \)
όπου x είναι μια μεταβλητή, τα a, b και c είναι αριθμοί.
Στην πρώτη εξίσωση a = -1, b = 6 και c = 1,4, στη δεύτερη a = 8, b = -7 και c = 0, στην τρίτη a = 1, b = 0 και c = 4/9. Τέτοιες εξισώσεις λέγονται τετραγωνικές εξισώσεις.

Ορισμός.
τετραγωνική εξίσωσηκαλείται μια εξίσωση της μορφής ax 2 +bx+c=0, όπου x είναι μια μεταβλητή, a, b και c είναι κάποιοι αριθμοί και \(a \neq 0 \).

Οι αριθμοί α, β και γ είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ο αριθμός a ονομάζεται πρώτος συντελεστής, ο αριθμός b είναι ο δεύτερος συντελεστής και ο αριθμός c είναι η τομή.

Σε καθεμία από τις εξισώσεις της μορφής ax 2 +bx+c=0, όπου \(a \neq 0 \), η μεγαλύτερη ισχύς της μεταβλητής x είναι τετράγωνο. Εξ ου και το όνομα: τετραγωνική εξίσωση.

Σημειώστε ότι μια τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται και εξίσωση δεύτερου βαθμού, αφού η αριστερή της πλευρά είναι πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού.

Καλείται μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ο συντελεστής x 2 είναι 1 μειωμένη τετραγωνική εξίσωση. Για παράδειγμα, οι δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις είναι οι εξισώσεις
\(x^2-11x+30=0, \τετραπλό x^2-6x=0, \τετράδα x^2-8=0 \)

Αν στη δευτεροβάθμια εξίσωση ax 2 +bx+c=0 τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές b ή c είναι ίσος με μηδέν, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Άρα, οι εξισώσεις -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 είναι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στο πρώτο από αυτά b=0, στο δεύτερο c=0, στο τρίτο b=0 και c=0.

Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι τριών τύπων:
1) ax 2 +c=0, όπου \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, όπου \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Εξετάστε τη λύση των εξισώσεων καθενός από αυτούς τους τύπους.

Για να λυθεί μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +c=0 για \(c \neq 0 \), ο ελεύθερος όρος της μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και και τα δύο μέρη της εξίσωσης διαιρούνται με ένα:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Δεξί βέλος x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Αφού \(c \neq 0 \), τότε \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Αν \(-\frac(c)(a)>0 \), τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Αν \(-\frac(c)(a) Για να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0 για \(b \neq 0 \) παραγοντοποιήστε την αριστερή της πλευρά και λάβετε την εξίσωση
\(x(ax+b)=0 \Δεξί βέλος \αριστερά\( \αρχή(πίνακας)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(πίνακας) \δεξιά. \Δεξί βέλος \αριστερά\( \αρχή (πίνακας)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (πίνακας) \δεξιά. \)

Επομένως, μια ατελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0 για \(b \neq 0 \) έχει πάντα δύο ρίζες.

Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 \u003d 0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 \u003d 0 και επομένως έχει μια μοναδική ρίζα 0.

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας εξετάσουμε τώρα πώς λύνονται οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις στις οποίες και οι δύο συντελεστές των αγνώστων και ο ελεύθερος όρος είναι μη μηδενικοί.

Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση στο γενική εικόνακαι ως αποτέλεσμα παίρνουμε τον τύπο των ριζών. Τότε αυτός ο τύπος μπορεί να εφαρμοστεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c=0

Διαιρώντας και τα δύο μέρη του με το a, προκύπτει η ισοδύναμη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Μετασχηματίζουμε αυτήν την εξίσωση επισημαίνοντας το τετράγωνο του διωνύμου:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Δεξί βέλος \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Δεξί βέλος \) \(\αριστερά(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( γ)(α) \Δεξί βέλος \αριστερά(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Δεξί βέλος \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Δεξί βέλος x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Δεξί βέλος \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Η έκφραση ρίζας ονομάζεται διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ax 2 +bx+c=0 («διακριτικός» στα λατινικά - διακριτικό). Συμβολίζεται με το γράμμα Δ, δηλ.
\(D = b^2-4ac\)

Τώρα, χρησιμοποιώντας τη σημείωση του διαχωριστή, ξαναγράφουμε τον τύπο για τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), όπου \(D= b^2-4ac \)

Είναι προφανές ότι:
1) Αν D>0, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες.
2) Αν D=0, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μία ρίζα \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Αν D Έτσι, ανάλογα με την τιμή του διαχωριστή, η δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να έχει δύο ρίζες (για D > 0), μία ρίζα (για D = 0) ή καμία ρίζα (για D Όταν λύνουμε μια εξίσωση του τετραγωνικού χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο , συνιστάται να κάνετε τον εξής τρόπο:
1) υπολογίστε τη διάκριση και συγκρίνετε τη με το μηδέν.
2) εάν ο διαχωριστής είναι θετικός ή ίσος με μηδέν, χρησιμοποιήστε τον τύπο ρίζας, εάν ο διαχωριστής είναι αρνητικός, τότε σημειώστε ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση ax 2 -7x+10=0 έχει ρίζες 2 και 5. Το άθροισμα των ριζών είναι 7, και το γινόμενο είναι 10. Βλέπουμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται από αντίθετο σημάδι, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Κάθε ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση που έχει ρίζες έχει αυτή την ιδιότητα.

Το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Εκείνοι. Το θεώρημα του Vieta δηλώνει ότι οι ρίζες x 1 και x 2 της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0 έχουν την ιδιότητα:
\(\αριστερά\( \αρχή(πίνακας)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(πίνακας) \δεξιά. \)

ΣΤΟ σύγχρονη κοινωνίαη ικανότητα λειτουργίας με εξισώσεις που περιέχουν μια τετράγωνη μεταβλητή μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί από τον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποτάμιων σκαφών, αεροσκαφών και πυραύλων. Με τη βοήθεια τέτοιων υπολογισμών, οι τροχιές κίνησης των περισσότερων διαφορετικά σώματα, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές κατασκήνωσης, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά τις αγορές και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση σε συνιστώσες

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η δεδομένη έκφραση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση.

Αν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε αυτές οι εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν η αριστερή πλευρά της έκφρασης αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή η μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (ο άγνωστος χωρίς το τετράγωνο με τον συντελεστή του) και c (η ελεύθερη συνιστώσα, δηλαδή κοινός αριθμός). Όλα αυτά είναι ίσα με 0 στη δεξιά πλευρά. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο δεν έχει έναν από τους συστατικούς όρους του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, στα οποία η τιμή των μεταβλητών δεν είναι δύσκολο να βρεθεί, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά της παράστασης, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, είναι πιο εύκολο να βρείτε το x τοποθετώντας τη μεταβλητή σε αγκύλες. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Επιπλέον, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό τη δράση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο, που λαμβάνεται ως αρχή. Εδώ παίρνει η μαθηματική σημειογραφία παρακάτω φόρμα: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε τον χρόνο που έχει περάσει από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά για αυτό θα μιλήσουμε αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις. Εξετάστε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετράγωνο τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, μετασχηματίζουμε την έκφραση και την αποσυνθέτουμε σε παράγοντες. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μια μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x + 1), (x-3) και (x + 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -ένας; 3.

Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας

Μια άλλη περίπτωση ημιτελούς εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια έκφραση γραμμένη στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα συστατικά ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, μεταφέρεται ο ελεύθερος όρος σωστη πλευρα, και μετά από αυτό, και από τα δύο μέρη της ισότητας, Τετραγωνική ρίζα. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι ισότητες που δεν περιέχουν καθόλου τον όρο c, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και οι παραλλαγές των παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά αποδεικνύεται αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός της έκτασης της γης

Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους οφειλόταν σε μεγάλο βαθμό στην ανάγκη να καθοριστούν οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων με τη μεγαλύτερη ακρίβεια.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων που συντάσσονται με βάση προβλήματα αυτού του είδους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο κομμάτι γης, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας, εάν είναι γνωστό ότι η έκτασή της είναι 612 m 2.

Περνώντας στη δουλειά, στην αρχή θα κάνουμε την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε το πλάτος του τμήματος ως x, τότε το μήκος του θα είναι (x + 16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι η περιοχή καθορίζεται από την παράσταση x (x + 16), η οποία, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x (x + 16) \u003d 612.

Η λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά του εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν είναι καθόλου ίσο με 0, επομένως χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα από όλα κάνουμε τις απαραίτητες μεταμορφώσεις, λοιπόν εμφάνισηαυτή η έκφραση θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση με τη μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.

Αυτό μπορεί να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων μέσω του διαχωριστή. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική τιμή όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των επιθυμητών τιμών στην εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει τον αριθμό επιλογές. Στην περίπτωση D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση είναι: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό δείχνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί οι διαστάσεις οικόπεδοδεν μπορεί να μετρηθεί σε αρνητικές τιμές, πράγμα που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος της τοποθεσίας) είναι 18 μ. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18 + 16 = 34, και την περίμετρο 2 (34 + 18) = 104 ( m 2).

Παραδείγματα και εργασίες

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερής λύση αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ας μεταφέρουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή παίρνουμε τη μορφή της εξίσωσης, που συνήθως ονομάζεται τυπική, και την εξισώνουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Έχοντας προσθέσει παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Άρα η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Τα υπολογίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο 1.

2) Τώρα θα αποκαλύψουμε αινίγματα διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν καθόλου ρίζες x 2 - 4x + 5 = 1 εδώ; Για να λάβουμε μια εξαντλητική απάντηση, φέρνουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη γνωστή μορφή και υπολογίζουμε τη διάκριση. Σε αυτό το παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η τετραγωνική εξίσωση, επειδή η ουσία του προβλήματος δεν βρίσκεται καθόλου σε αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, πράγμα που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις μέσω των παραπάνω τύπων και του διαχωριστικού, όταν η τετραγωνική ρίζα εξάγεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά του από έναν άνδρα που έζησε στη Γαλλία του 16ου αιώνα και είχε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Έχοντας κάνει έναν έλεγχο, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι τιμές των μεταβλητών ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα και εξίσωση παραβολής

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί προηγουμένως. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια εξάρτηση, σχεδιασμένη με τη μορφή γραφήματος, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο βγαίνουν τα κλαδιά της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν από τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b / 2a. Και, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής που ανήκει στον άξονα y.

Η τομή των κλάδων της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τα εξετάσουμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το y 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα μιας παραβολής, μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τις ρίζες. Ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι πιο εύκολο να σχεδιάσετε.

Από την ιστορία

Με τη βοήθεια εξισώσεων που περιέχουν μια τετραγωνισμένη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια, όχι μόνο έκαναν μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγαλειώδεις ανακαλύψεις στον τομέα της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την έλευση της εποχής μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν θεμελιωδώς διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν επίσης εξοικειωμένοι με άλλες λεπτές αποχρώσεις εκείνων που ήταν γνωστές σε κανέναν μαθητή της εποχής μας.

Ίσως ακόμη και νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία, Baudhayama, ανέλαβε τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την έλευση της εποχής του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις παλιά. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στο έργο τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.

Πρώτο επίπεδο

Τετραγωνικές εξισώσεις. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση» η λέξη κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο X) στο τετράγωνο, και ταυτόχρονα δεν πρέπει να υπάρχουν Xs στον τρίτο (ή μεγαλύτερο) βαθμό.

Η λύση πολλών εξισώσεων ανάγεται στη λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, και όχι κάποια άλλη.

Παράδειγμα 1

Απαλλαγείτε από τον παρονομαστή και πολλαπλασιάστε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και ας τακτοποιήσουμε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x

Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετράγωνο!

Παράδειγμα 3

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός? Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα ... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4

Φαίνεται να είναι, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει συρρικνωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν υπό όρους όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχουν δεδομένοςείναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένος!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί λείπει κάποιο στοιχείο από αυτά. Αλλά η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο !!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια τετραγωνική, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Μια τέτοια διαίρεση οφείλεται στις μεθόδους λύσης. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι των τύπων:

1. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει πάντα να γνωρίζετε και να θυμάστε ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την Εξίσωση

Τώρα μένει να εξαγάγετε τη ρίζα από το αριστερό και το δεξί μέρος. Τελικά, θυμάστε πώς να εξαγάγετε τις ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την Εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την Εξίσωση

Ωχ! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις στις οποίες δεν υπάρχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την Εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Με αυτόν τον τρόπο,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Εδώ θα κάνουμε χωρίς παραδείγματα.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι η πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρους τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο περίπλοκη (λίγο λίγο) από αυτές που δίνονται.

Θυμάμαι, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κυριαρχήστε τη λύση χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στο βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο μια ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την Εξίσωση

Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση του θεωρήματος Vieta.

Αν θυμάστε, τότε υπάρχει ένας τέτοιος τύπος εξισώσεων που ονομάζονται μειωμένες (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Το άθροισμα των ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την Εξίσωση

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν είναι:

Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την Εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, επιπλέον.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ένα - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Διότι αν, η εξίσωση θα γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την εξίσωση κοπράνων ονομάζεται ημιτελής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, θα αναλύσουμε τις μεθόδους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:

I. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα εξετάστε τη λύση καθενός από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας αριθμός στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να γράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το κενό εικονίδιο συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρίσκουμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Προσέξατε τη ρίζα του διακριτικού στον τύπο ρίζας; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα:
• Αν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η οποία είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα x (άξονα). Η παραβολή μπορεί να μην διασχίζει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή σε δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, και αν - τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Η χρήση του θεωρήματος Vieta είναι πολύ εύκολη: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν είναι:

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο, και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Λύση:

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και μετά ελέγχουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνω συνολικά.

και: δίνω συνολικά. Για να το αποκτήσετε, απλά πρέπει να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το έργο.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Άρα το άθροισμα των ριζών είναι διαφορές των ενοτήτων τους.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι - δεν είναι κατάλληλη.

και: - ακατάλληλο.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, τότε η ρίζα, που είναι μικρότερη σε απόλυτη τιμή, πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, καθορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο ρίζες και είναι κατάλληλα για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες είναι μείον.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό - να εφεύρουμε ρίζες από το στόμα, αντί να μετράμε αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να είναι επικερδής η χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, λύστε άλλα πέντε παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις για εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το προϊόν:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το γινόμενο είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν έπρεπε, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι;

Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Ναι, σταματήστε! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να φέρεις την εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να το αναφέρετε, αφήστε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να φέρετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή προπορευόμενου ίσο με:

Εξοχος. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο.

Είναι πιο εύκολο να το μαζέψεις εδώ: τελικά - έναν πρώτο αριθμό (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός. Τι το ιδιαίτερο έχει; Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών ζωδίων. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά μεταξύ των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το γινόμενο.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με ένα μείον. Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με ένα μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Εάν η εξίσωση δεν δίνεται ή δεν βρέθηκε κατάλληλο ζεύγος παραγόντων του ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διαχωριστή).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται ως όροι από τους τύπους του συντετμημένου πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αλλαγή των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ημιτελής τετραγωνική εξίσωση του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Είναι η διάκριση! Ακριβώς έτσι προέκυψε ο τύπος διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν είναι ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση έχει τη μορφή: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Εκφράστε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση της διάκρισης

1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: ,

2) Υπολογίστε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης (εξίσωση της μορφής, όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ένα.

2.3. Πλήρης τετράγωνη λύση

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηλέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Σημαίνει ότι στην εξίσωση αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Εκτός από αυτό, στην εξίσωση μπορεί να υπάρχει (ή μπορεί να μην υπάρχει!) Μόλις x (στο πρώτο βαθμό) και μόνο ένας αριθμός (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν x σε βαθμό μεγαλύτερο από δύο.

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ένα- κάθε άλλο παρά μηδέν. Για παράδειγμα:

Εδώ ένα =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ένα =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ένα =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...

Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, στα αριστερά, υπάρχει πλήρες σετμέλη. x στο τετράγωνο με τον συντελεστή ένα, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σικαι ελεύθερο μέλος του

Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρης.

Κι αν σι= 0, τι θα πάρουμε; Εχουμε Το Χ θα εξαφανιστεί στον πρώτο βαθμό.Αυτό συμβαίνει από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Και τα λοιπά. Και αν και οι δύο συντελεστές σικαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Τέτοιες εξισώσεις, όπου κάτι λείπει, λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.

Με την ευκαιρία γιατί έναδεν μπορεί να είναι μηδέν; Και αντικαθιστάς έναμηδέν.) Το Χ στο τετράγωνο θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και γίνεται διαφορετικά...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:

Εάν η εξίσωση έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ένα, σικαι ντο.

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο τα α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ένα =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτή είναι η απάντηση.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Εδώ, αποθηκεύεται μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα πέσει απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να ζωγραφίσεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο φαίνεται. Δοκίμασέ το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Ποιο είναι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να βάψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Απλώς θα αποδειχθεί σωστό. Ειδικά αν εφαρμόζετε πρακτικές τεχνικές, οι οποίες περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα θα λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το ξέρατε;) Ναι! το ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Μπορούν επίσης να λυθούν με τον γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.

Συνειδητοποίησα? Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ένα ντο? Δεν υπάρχει καθόλου! Λοιπόν, ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο αντί για ντο,και όλα θα πάνε καλά για εμάς. Ομοίως με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο μηδέν δεν έχουμε εδώ Με, ένα σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία φόρμουλα. Θεωρήστε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν, και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν! Δεν πιστεύεις; Λοιπόν, καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Κάτι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.

Τα παντα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο ταιριάζουν. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τον γενικό τύπο. Σημειώνω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - είναι απολύτως αδιάφορο. Εύκολο να γράψεις με τη σειρά x 1- όποιο είναι λιγότερο x 2- αυτό που είναι περισσότερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μετακινούμε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:

επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε βγάζοντας το Χ από αγκύλες, είτε απλώς μεταφέροντας τον αριθμό στα δεξιά, ακολουθούμενο από εξαγωγή της ρίζας.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις μεθόδους. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από το Χ, κάτι που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητο, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες ...

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη διακριτική ! Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Η διάκριση συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι το ιδιαίτερο έχει αυτή η έκφραση; Γιατί αξίζει ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι έννοια της διάκρισης;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν ονομάζουν συγκεκριμένα ... Γράμματα και γράμματα.

Το θέμα είναι αυτό. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Ένας αρνητικός αριθμός δεν παίρνει την τετραγωνική ρίζα. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Για να είμαστε ειλικρινείς, με μια απλή λύση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, η έννοια του διαχωριστή δεν απαιτείται πραγματικά. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και θεωρούμε. Εκεί όλα αποδεικνύονται από μόνα τους, και δύο ρίζες, και μία, και όχι μία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και διακριτική φόρμουλαόχι αρκετά. Ειδικά - σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για το GIA και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθε, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να αναγνωρίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεκτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεκτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλάβατε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι - προσεκτικά?

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Αυτά ακριβώς που οφείλονται σε απροσεξία… Για τα οποία είναι επώδυνο και προσβλητικό…

Πρώτη υποδοχή . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιαστείτε! Το μείον πριν από το x στο τετράγωνο μπορεί να σας αναστατώσει πολύ. Το να το ξεχάσεις είναι εύκολο... Ξεφορτώσου το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.

Δεύτερη υποδοχή. Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα.

Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιΜε απεναντι απο σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα ένα κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα για απλοποίηση. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η απόφαση είναι διασκεδαστική!

Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Τώρα μπορείτε να αποφασίσετε.)

Επίλυση εξισώσεων:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ταιριάζουν όλα; Εξοχος! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι ο πονοκέφαλος σου. Τα τρία πρώτα βγήκαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν λειτουργεί αρκετά; Ή δεν λειτουργεί καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Εκεί, όλα αυτά τα παραδείγματα ταξινομούνται κατά οστά. Επίδειξη κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, περιγράφεται και η εφαρμογή πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.