2 τύπος των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Τετραγωνικές εξισώσεις

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

Δεν έχουν ρίζες.
Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
Να έχεις δύο διαφορετική ρίζα.

Αυτή είναι η σημαντική διαφορά τετραγωνικές εξισώσειςαπό τα γραμμικά, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .

Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

Αν ο Δ< 0, корней нет;
Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση ισούται με μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολλές.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:

Αφού η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από το μη αρνητικός αριθμός, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c /a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:

Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
Αν (−c / a )< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:

Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

”, δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα, θα εξερευνήσουμε τι είναι μια τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.

Τι είναι η τετραγωνική εξίσωση

Σπουδαίος!

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.

Εάν ο μέγιστος βαθμός στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.

Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Σπουδαίος! Η γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" και "c" - δεδομένοι αριθμοί.

"α" - ο πρώτος ή ανώτερος συντελεστής.
"β" - ο δεύτερος συντελεστής.
Το "c" είναι ελεύθερο μέλος.

Για να βρείτε τα "a", "b" και "c" Πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών «α», «β» και «γ» σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Η εξίσωση	Πιθανότητα
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x2 + 0,25x = 0

α = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

α = 1
b = 0
c = −8

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις

Σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, μια ειδική εξίσωση χρησιμοποιείται για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. τύπος για την εύρεση ριζών.

Θυμάμαι!

Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:

φέρετε την τετραγωνική εξίσωση στο γενική εικόνα"ax 2 + bx + c = 0". Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
χρησιμοποιήστε τον τύπο για τις ρίζες:

Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα για να καταλάβουμε πώς να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση.

X 2 - 3x - 4 = 0

Η εξίσωση "x 2 - 3x - 4 = 0" έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c = 0" και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας ορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Με τη βοήθειά του λύνεται οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση.

Στον τύπο "x 1; 2 \u003d" η έκφραση ρίζας αντικαθίσταται συχνά
"b 2 − 4ac" στο γράμμα "D" και ονομάζεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού αναλύεται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.

x 2 + 9 + x = 7x

Σε αυτή τη μορφή, είναι μάλλον δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας φέρουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.

Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

x=3
Απάντηση: x = 3

Υπάρχουν φορές που δεν υπάρχουν ρίζες στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ένας αρνητικός αριθμός εμφανίζεται στον τύπο κάτω από τη ρίζα.

ΣΕ σύγχρονη κοινωνίαη ικανότητα λειτουργίας με εξισώσεις που περιέχουν μια τετραγωνική μεταβλητή μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί από τον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποτάμιων σκαφών, αεροσκαφών και πυραύλων. Με τη βοήθεια τέτοιων υπολογισμών, οι τροχιές κίνησης των περισσότερων διαφορετικά σώματα, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές κατασκήνωσης, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά τις αγορές και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση σε συνιστώσες

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η δεδομένη έκφραση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση.

Αν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε αυτές οι εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν η αριστερή πλευρά της έκφρασης αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή η μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (ο άγνωστος χωρίς το τετράγωνο με τον συντελεστή του) και c (η ελεύθερη συνιστώσα, δηλαδή κοινός αριθμός). Όλα αυτά είναι ίσα με 0 στη δεξιά πλευρά. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο δεν έχει έναν από τους συστατικούς όρους του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, στα οποία η τιμή των μεταβλητών δεν είναι δύσκολο να βρεθεί, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά της παράστασης, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, είναι πιο εύκολο να βρείτε το x τοποθετώντας τη μεταβλητή σε αγκύλες. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Επιπλέον, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό τη δράση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο, που λαμβάνεται ως αρχή. Εδώ παίρνει η μαθηματική σημειογραφία παρακάτω φόρμα: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε τον χρόνο που έχει περάσει από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά για αυτό θα μιλήσουμε αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις. Εξετάστε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετράγωνο τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, μετασχηματίζουμε την έκφραση και την αποσυνθέτουμε σε παράγοντες. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μια μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x + 1), (x-3) και (x + 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.

Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας

Μια άλλη περίπτωση ημιτελούς εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια έκφραση γραμμένη στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα συστατικά ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, μεταφέρεται ο ελεύθερος όρος σωστη πλευρα, και μετά από αυτό, η τετραγωνική ρίζα εξάγεται και από τις δύο πλευρές της ισότητας. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι ισότητες που δεν περιέχουν καθόλου τον όρο c, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και οι παραλλαγές των παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά αποδεικνύεται αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός της έκτασης της γης

Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους οφειλόταν σε μεγάλο βαθμό στην ανάγκη να καθοριστούν οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων με τη μεγαλύτερη ακρίβεια.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων που συντάσσονται με βάση προβλήματα αυτού του είδους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο κομμάτι γης, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας, εάν είναι γνωστό ότι η έκτασή της είναι 612 m 2.

Περνώντας στη δουλειά, στην αρχή θα κάνουμε την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε το πλάτος του τμήματος ως x, τότε το μήκος του θα είναι (x + 16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι η περιοχή καθορίζεται από την παράσταση x (x + 16), η οποία, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x (x + 16) \u003d 612.

Η λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά του εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν είναι καθόλου ίσο με 0, επομένως χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα από όλα κάνουμε τις απαραίτητες μεταμορφώσεις, λοιπόν εμφάνισηαυτή η έκφραση θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση με τη μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.

Αυτό μπορεί να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων μέσω του διαχωριστή. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική τιμή όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των επιθυμητών τιμών στην εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει τον αριθμό επιλογές. Στην περίπτωση D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση είναι: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό δείχνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί το μέγεθος του οικοπέδου δεν μπορεί να μετρηθεί σε αρνητικές τιμές, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 μ. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18+16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Παραδείγματα και εργασίες

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερής λύση αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ας μεταφέρουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή παίρνουμε τη μορφή της εξίσωσης, που συνήθως ονομάζεται τυπική, και την εξισώνουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Έχοντας προσθέσει παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Άρα η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Τα υπολογίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο 1.

2) Τώρα θα αποκαλύψουμε αινίγματα διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν καθόλου ρίζες x 2 - 4x + 5 = 1 εδώ; Για να λάβουμε μια εξαντλητική απάντηση, φέρνουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη γνωστή μορφή και υπολογίζουμε τη διάκριση. Σε αυτό το παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η τετραγωνική εξίσωση, επειδή η ουσία του προβλήματος δεν βρίσκεται καθόλου σε αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, πράγμα που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις μέσω των παραπάνω τύπων και του διαχωριστικού, όταν η τετραγωνική ρίζα εξάγεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά του από έναν άνδρα που έζησε στη Γαλλία του 16ου αιώνα και είχε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Έχοντας κάνει έναν έλεγχο, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι τιμές των μεταβλητών ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα και εξίσωση παραβολής

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί προηγουμένως. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια εξάρτηση, σχεδιασμένη με τη μορφή γραφήματος, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο βγαίνουν τα κλαδιά της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν από τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b / 2a. Και, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής που ανήκει στον άξονα y.

Η τομή των κλάδων της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τα εξετάσουμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το y 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα μιας παραβολής, μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τις ρίζες. Ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι πιο εύκολο να σχεδιάσετε.

Από την ιστορία

Με τη βοήθεια εξισώσεων που περιέχουν μια τετραγωνισμένη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια, όχι μόνο έκαναν μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγαλειώδεις ανακαλύψεις στον τομέα της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για να κάνουν αστρολογικές προβλέψεις.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την έλευση της εποχής μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν θεμελιωδώς διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν επίσης εξοικειωμένοι με άλλες λεπτές αποχρώσεις εκείνων που ήταν γνωστές σε κανέναν μαθητή της εποχής μας.

Ίσως ακόμη και νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία, Baudhayama, ανέλαβε τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την έλευση της εποχής του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις παλιά. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στο έργο τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.

Συνεχίζουμε να μελετάμε το θέμα λύση εξισώσεων". Έχουμε ήδη γνωριστεί γραμμικές εξισώσειςκαι προχωρήστε στη γνωριμία τετραγωνικές εξισώσεις.

Αρχικά, θα συζητήσουμε τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση, πώς γράφεται σε γενική μορφή και θα δώσουμε σχετικούς ορισμούς. Μετά από αυτό, χρησιμοποιώντας παραδείγματα, θα αναλύσουμε λεπτομερώς πώς λύνονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, ας προχωρήσουμε στην επίλυση πλήρων εξισώσεων, ας πάρουμε τον τύπο για τις ρίζες, ας εξοικειωθούμε με τη διάκριση μιας τετραγωνικής εξίσωσης και ας εξετάσουμε λύσεις σε τυπικά παραδείγματα. Τέλος, ανιχνεύουμε τις συνδέσεις μεταξύ ριζών και συντελεστών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Τα είδη τους

Πρώτα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι είναι η τετραγωνική εξίσωση. Επομένως, είναι λογικό να αρχίσουμε να μιλάμε για τετραγωνικές εξισώσεις με τον ορισμό μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, καθώς και για ορισμούς που σχετίζονται με αυτήν. Μετά από αυτό, μπορείτε να εξετάσετε τους κύριους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων: μειωμένες και μη αναγωγικές, καθώς και πλήρεις και ημιτελείς εξισώσεις.

Ορισμός και παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

Ορισμός.

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής a x 2 +b x+c=0, όπου x είναι μια μεταβλητή, τα a , b και c είναι κάποιοι αριθμοί και ο a είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Ας πούμε αμέσως ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ονομάζονται συχνά εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Αυτό συμβαίνει γιατί η τετραγωνική εξίσωση είναι αλγεβρική εξίσωσηδευτέρου βαθμού.

Ο ηχητικός ορισμός μας επιτρέπει να δώσουμε παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων. Άρα 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, κ.λπ. είναι τετραγωνικές εξισώσεις.

Ορισμός.

Αριθμοί Τα α , β και γ λέγονται συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 + b x + c \u003d 0, και ο συντελεστής a ονομάζεται πρώτος ή ανώτερος ή συντελεστής x 2, b είναι ο δεύτερος συντελεστής ή συντελεστής x και c είναι ελεύθερο μέλος.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής 5 x 2 −2 x−3=0, εδώ ο κύριος συντελεστής είναι 5, ο δεύτερος συντελεστής είναι −2 και ο ελεύθερος όρος είναι −3. Σημειώστε ότι όταν οι συντελεστές b και/ή c είναι αρνητικοί, όπως στο παράδειγμα που μόλις δόθηκε, χρησιμοποιείται η σύντομη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης της μορφής 5 x 2 −2 x−3=0, όχι 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Αξίζει να σημειωθεί ότι όταν οι συντελεστές a και/ή b είναι ίσοι με 1 ή −1, τότε συνήθως δεν υπάρχουν ρητά στη σημειογραφία της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, κάτι που οφείλεται στις ιδιαιτερότητες της σημειογραφίας μιας τέτοιας . Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση y 2 −y+3=0, ο κύριος συντελεστής είναι ένας και ο συντελεστής στο y είναι −1.

Ανηγμένες και μη ανηγμένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις

Ανάλογα με την τιμή του προπορευόμενου συντελεστή, διακρίνονται ανηγμένες και μη ανηγμένες τετραγωνικές εξισώσεις. Ας δώσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς.

Ορισμός.

Καλείται μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ο κύριος συντελεστής είναι 1 μειωμένη τετραγωνική εξίσωση. Διαφορετικά, η τετραγωνική εξίσωση είναι μη μειωμένη.

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, κ.λπ. - μειωμένο, σε καθένα από αυτά ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με ένα. Και 5 x 2 −x−1=0, κ.λπ. - οι μη αναγωγικές τετραγωνικές εξισώσεις, οι συντελεστές προπορευομένων τους είναι διαφορετικοί από 1 .

Από οποιαδήποτε μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, διαιρώντας και τα δύο μέρη της με τον κύριο συντελεστή, μπορείτε να πάτε στη μειωμένη. Αυτή η ενέργεια είναι ισοδύναμο μετασχηματισμό, δηλαδή, η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο έχει τις ίδιες ρίζες με την αρχική μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση ή, όπως ακριβώς, δεν έχει ρίζες.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για το πώς πραγματοποιείται η μετάβαση από μια μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση σε μια ανηγμένη.

Παράδειγμα.

Από την εξίσωση 3 x 2 +12 x−7=0, πηγαίνετε στην αντίστοιχη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.

Λύση.

Αρκεί να εκτελέσουμε τη διαίρεση και των δύο μερών της αρχικής εξίσωσης με τον κύριο συντελεστή 3, είναι μη μηδενικός, οπότε μπορούμε να εκτελέσουμε αυτήν την ενέργεια. Έχουμε (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , που είναι ίδιο με το (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, και ούτω καθεξής (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , εξ ου και . Έτσι πήραμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση, η οποία είναι ισοδύναμη με την αρχική.

Απάντηση:

Πλήρεις και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Υπάρχει μια συνθήκη a≠0 στον ορισμό μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Αυτή η συνθήκη είναι απαραίτητη προκειμένου η εξίσωση a x 2 +b x+c=0 να είναι ακριβώς τετράγωνη, αφού με a=0 γίνεται στην πραγματικότητα γραμμική εξίσωση της μορφής b x+c=0 .

Όσον αφορά τους συντελεστές b και c, μπορούν να είναι ίσοι με μηδέν, τόσο χωριστά όσο και μαζί. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ελλιπής.

Ορισμός.

Λέγεται η τετραγωνική εξίσωση a x 2 +b x+c=0 ατελής, αν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές b , c είναι ίσος με μηδέν.

Με τη σειρά του

Ορισμός.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία όλοι οι συντελεστές είναι διαφορετικοί από το μηδέν.

Αυτά τα ονόματα δεν δίνονται τυχαία. Αυτό θα φανεί από την παρακάτω συζήτηση.

Αν ο συντελεστής b είναι ίσος με μηδέν, τότε η τετραγωνική εξίσωση παίρνει τη μορφή a x 2 +0 x+c=0 , και είναι ισοδύναμη με την εξίσωση a x 2 +c=0 . Αν c=0 , δηλαδή η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη μορφή a x 2 +b x+0=0 , τότε μπορεί να ξαναγραφτεί ως x 2 +b x=0 . Και με b=0 και c=0 παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση a·x 2 =0. Οι εξισώσεις που προκύπτουν διαφέρουν από την πλήρη τετραγωνική εξίσωση στο ότι οι αριστερές τους πλευρές δεν περιέχουν ούτε όρο με τη μεταβλητή x ούτε έναν ελεύθερο όρο ή και τα δύο. Εξ ου και το όνομά τους - ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Άρα οι εξισώσεις x 2 +x+1=0 και −2 x 2 −5 x+0,2=0 είναι παραδείγματα πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 είναι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Από τις πληροφορίες της προηγούμενης παραγράφου προκύπτει ότι υπάρχει τρία είδη ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

a x 2 =0 , σε αυτό αντιστοιχούν οι συντελεστές b=0 και c=0.
a x 2 +c=0 όταν b=0 ;
και a x 2 +b x=0 όταν c=0 .

Ας αναλύσουμε με τη σειρά πώς λύνονται οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις καθενός από αυτούς τους τύπους.

a x 2 \u003d 0

Ας ξεκινήσουμε λύνοντας ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές b και c είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή με εξισώσεις της μορφής a x 2 =0. Εξίσωση a x 2 =0 ισοδυναμεί με την εξίσωση x 2 \u003d 0, το οποίο λαμβάνεται από το πρωτότυπο διαιρώντας και τα δύο μέρη του με έναν μη μηδενικό αριθμό α. Προφανώς, η ρίζα της εξίσωσης x 2 \u003d 0 είναι μηδέν, αφού 0 2 \u003d 0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, κάτι που εξηγείται, πράγματι, για οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό p, λαμβάνει χώρα η ανισότητα p 2 >0, πράγμα που σημαίνει ότι για p≠0, η ισότητα p 2 =0 δεν επιτυγχάνεται ποτέ.

Έτσι, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 \u003d 0 έχει μια μοναδική ρίζα x \u003d 0.

Ως παράδειγμα, δίνουμε τη λύση μιας ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης −4·x 2 =0. Είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 \u003d 0, η μόνη της ρίζα είναι x \u003d 0, επομένως, η αρχική εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα μηδέν.

Μια σύντομη λύση σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να εκδοθεί ως εξής:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Εξετάστε τώρα πώς λύνονται ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, στις οποίες ο συντελεστής b είναι ίσος με μηδέν, και c≠0, δηλαδή εξισώσεις της μορφής a x 2 +c=0. Γνωρίζουμε ότι η μεταφορά ενός όρου από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη με αντίθετο σημάδι, καθώς και διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό δίνουμε μια ισοδύναμη εξίσωση. Επομένως, μπορούν να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθοι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί της ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 +c=0:

μετακινήστε το c στη δεξιά πλευρά, που δίνει την εξίσωση a x 2 =−c,
και διαιρούμε και τα δύο μέρη του με a , παίρνουμε .

Η εξίσωση που προκύπτει μας επιτρέπει να βγάλουμε συμπεράσματα για τις ρίζες της. Ανάλογα με τις τιμές των a και c, η τιμή της παράστασης μπορεί να είναι αρνητική (για παράδειγμα, αν a=1 και c=2 , τότε ) ή θετική, (για παράδειγμα, εάν a=−2 και c=6 , τότε ), δεν ισούται με μηδέν , γιατί με συνθήκη c≠0 . Θα αναλύσουμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις και .

Αν , τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Αυτή η δήλωση προκύπτει από το γεγονός ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Από αυτό προκύπτει ότι όταν , τότε για οποιονδήποτε αριθμό p η ισότητα δεν μπορεί να είναι αληθής.

Αν , τότε η κατάσταση με τις ρίζες της εξίσωσης είναι διαφορετική. Σε αυτή την περίπτωση, αν θυμηθούμε, τότε η ρίζα της εξίσωσης γίνεται αμέσως προφανής, είναι ο αριθμός, αφού. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι ο αριθμός είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης, πράγματι, . Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, οι οποίες μπορούν να φανούν, για παράδειγμα, με αντίφαση. Ας το κάνουμε.

Ας υποδηλώσουμε τις μόλις φωνητικές ρίζες της εξίσωσης ως x 1 και −x 1 . Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει άλλη ρίζα x 2 διαφορετική από τις υποδεικνυόμενες ρίζες x 1 και −x 1 . Είναι γνωστό ότι η αντικατάσταση στην εξίσωση αντί του x των ριζών της μετατρέπει την εξίσωση στη σωστή αριθμητική ισότητα. Για x 1 και −x 1 έχουμε , και για x 2 έχουμε . Ιδιότητες αριθμητικών ισοτήτωνεπιτρέπεται να κάνουμε αφαίρεση κατά όρο των σωστών αριθμητικών ισοτήτων, οπότε η αφαίρεση των αντίστοιχων μερών των ισοτήτων δίνει x 1 2 − x 2 2 =0. Οι ιδιότητες των πράξεων με αριθμούς μας επιτρέπουν να ξαναγράψουμε την ισότητα που προκύπτει ως (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, από την ισότητα που προκύπτει προκύπτει ότι x 1 −x 2 =0 και/ή x 1 +x 2 =0 , που είναι το ίδιο, x 2 =x 1 και/ή x 2 = −x 1 . Άρα έχουμε φτάσει σε αντίφαση, αφού στην αρχή είπαμε ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 είναι διαφορετική από τα x 1 και −x 1 . Αυτό αποδεικνύει ότι η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες από και .

Ας συνοψίσουμε τις πληροφορίες σε αυτήν την παράγραφο. Η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 +c=0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση , η οποία

δεν έχει ρίζες αν,
έχει δύο ρίζες και αν .

Εξετάστε παραδείγματα επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής a·x 2 +c=0 .

Ας ξεκινήσουμε με την τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 +7=0 . Αφού μεταφερθεί ο ελεύθερος όρος στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, θα πάρει τη μορφή 9·x 2 =−7. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με το 9, καταλήγουμε στο . Εφόσον λαμβάνεται αρνητικός αριθμός στη δεξιά πλευρά, αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, επομένως, η αρχική ημιτελής τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 +7=0 δεν έχει ρίζες.

Ας λύσουμε μια ακόμη ημιτελή τετραγωνική εξίσωση −x 2 +9=0. Μεταφέρουμε τα εννέα στη δεξιά πλευρά: -x 2 \u003d -9. Τώρα διαιρούμε και τα δύο μέρη με −1, παίρνουμε x 2 =9. Η δεξιά πλευρά περιέχει έναν θετικό αριθμό, από τον οποίο συμπεραίνουμε ότι ή . Αφού γράψουμε την τελική απάντηση: η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση −x 2 +9=0 έχει δύο ρίζες x=3 ή x=−3.

a x 2 +b x=0

Απομένει να ασχοληθούμε με τη λύση του τελευταίου τύπου ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων για c=0 . Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις της μορφής a x 2 +b x=0 σας επιτρέπουν να λύσετε μέθοδος παραγοντοποίησης. Προφανώς, μπορούμε, που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, για την οποία αρκεί να βγάλουμε τον κοινό παράγοντα x από αγκύλες. Αυτό μας επιτρέπει να μετακινηθούμε από την αρχική ημιτελή τετραγωνική εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση της μορφής x·(a·x+b)=0. Και αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύνολο δύο εξισώσεων x=0 και μιας x+b=0 , η τελευταία από τις οποίες είναι γραμμική και έχει ρίζα x=−b/a .

Άρα, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 +b x=0 έχει δύο ρίζες x=0 και x=−b/a.

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε τη λύση ενός συγκεκριμένου παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση.

Λύση.

Βγάζουμε x από αγκύλες, αυτό δίνει την εξίσωση. Ισοδυναμεί με δύο εξισώσεις x=0 και . Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει: , και διαιρώντας τον μικτό αριθμό με κοινό κλάσμα, βρίσκουμε . Επομένως, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι x=0 και .

Αφού λάβετε την απαραίτητη πρακτική, οι λύσεις τέτοιων εξισώσεων μπορούν να γραφούν εν συντομία:

Απάντηση:

x=0, .

Διακριτικός τύπος των ριζών τετραγωνικής εξίσωσης

Για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, υπάρχει ένας τύπος ρίζας. Ας γράψουμε ο τύπος των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: , Οπου D=b 2 −4 a γ- τα λεγόμενα διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ο συμβολισμός ουσιαστικά σημαίνει ότι .

Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς προέκυψε ο τύπος ρίζας και πώς εφαρμόζεται στην εύρεση των ριζών των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Ας ασχοληθούμε με αυτό.

Παραγωγή του τύπου των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας χρειαστεί να λύσουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση a·x 2 +b·x+c=0 . Ας κάνουμε μερικά ισοδύναμους μετασχηματισμούς :

Μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη αυτής της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό α, με αποτέλεσμα να έχουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση.
Τώρα ξεχωρίζουν πλήρες τετράγωνο στην αριστερή του πλευρά: . Μετά από αυτό, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή .
Σε αυτό το στάδιο, είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί η μεταφορά των δύο τελευταίων όρων στη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο, έχουμε .
Και ας μεταμορφώσουμε επίσης την έκφραση στη δεξιά πλευρά: .

Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην εξίσωση , η οποία είναι ισοδύναμη με την αρχική τετραγωνική εξίσωση a·x 2 +b·x+c=0 .

Έχουμε ήδη λύσει εξισώσεις παρόμοιες σε μορφή στις προηγούμενες παραγράφους όταν αναλύσαμε. Αυτό μας επιτρέπει να βγάλουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης:

αν , τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις.
αν , τότε η εξίσωση έχει τη μορφή, άρα, , από την οποία φαίνεται η μόνη της ρίζα.
αν , τότε ή , που είναι ίδιο με το ή , δηλαδή, η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Έτσι, η παρουσία ή η απουσία των ριζών της εξίσωσης, και ως εκ τούτου της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης, εξαρτάται από το πρόσημο της έκφρασης στη δεξιά πλευρά. Με τη σειρά του, το πρόσημο αυτής της παράστασης καθορίζεται από το πρόσημο του αριθμητή, αφού ο παρονομαστής 4 a 2 είναι πάντα θετικός, δηλαδή το πρόσημο της παράστασης b 2 −4 a c . Αυτή η έκφραση b 2 −4 a c ονομάζεται διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσηςκαι σημειώνεται με το γράμμα ρε. Από εδώ, η ουσία της διάκρισης είναι ξεκάθαρη - από την αξία και το πρόσημά της, συμπεραίνεται αν η τετραγωνική εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αν ναι, ποιος είναι ο αριθμός τους - ένα ή δύο.

Επιστρέφουμε στην εξίσωση , την ξαναγράφουμε χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του διαχωριστή: . Και καταλήγουμε στο συμπέρασμα:

αν Δ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
αν D=0, τότε αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα.
τέλος, αν D>0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες ή , οι οποίες μπορούν να ξαναγραφτούν με τη μορφή ή , και μετά την επέκταση και τη μείωση των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε .

Έτσι, εξάγαμε τους τύπους για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μοιάζουν με , όπου η διάκριση D υπολογίζεται με τον τύπο D=b 2 −4 a c .

Με τη βοήθειά τους, με μια θετική διάκριση, μπορείτε να υπολογίσετε και τις δύο πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, και οι δύο τύποι δίνουν την ίδια τιμή ρίζας που αντιστοιχεί στη μόνη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Και πότε αρνητική διάκρισηόταν προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την εξαγωγή τετραγωνική ρίζααπό έναν αρνητικό αριθμό, που μας βγάζει από το κουτί και σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Με αρνητική διάκριση, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, αλλά έχει ένα ζεύγος σύνθετο συζυγέςρίζες, οι οποίες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους ρίζας που αποκτήσαμε.

Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση ριζικών τύπων

Στην πράξη, όταν λύνετε μια τετραγωνική εξίσωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αμέσως τον τύπο ρίζας, με τον οποίο θα υπολογίσετε τις τιμές τους. Αλλά αυτό είναι περισσότερο για την εύρεση πολύπλοκων ριζών.

Ωστόσο, σε ένα σχολικό μάθημα άλγεβρας, συνήθως δεν μιλάμε για σύνθετες, αλλά για πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, συνιστάται πρώτα να βρείτε το διαχωριστικό πριν χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, βεβαιωθείτε ότι είναι μη αρνητικό (αλλιώς, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες) και μετά υπολογίστε τις τιμές των ριζών.

Ο παραπάνω συλλογισμός μας επιτρέπει να γράψουμε αλγόριθμος για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης. Για να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x + c \u003d 0, χρειάζεστε:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο διάκρισης D=b 2 −4 a c υπολογίστε την τιμή του.
Καταλήξτε στο συμπέρασμα ότι η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες εάν η διάκριση είναι αρνητική.
Υπολογίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο εάν D=0 ;
Βρείτε δύο πραγματικές ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο της ρίζας εάν η διάκριση είναι θετική.

Εδώ σημειώνουμε μόνο ότι εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί, θα δώσει την ίδια τιμή με το .

Μπορείτε να προχωρήσετε σε παραδείγματα εφαρμογής του αλγορίθμου για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Εξετάστε λύσεις τριών τετραγωνικών εξισώσεων με θετική, αρνητική και μηδενική διάκριση. Έχοντας ασχοληθεί με τη λύση τους, κατ' αναλογία θα είναι δυνατή η επίλυση οποιασδήποτε άλλης τετραγωνικής εξίσωσης. Ας αρχίσουμε.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 +2 x−6=0 .

Λύση.

Στην περίπτωση αυτή, έχουμε τους παρακάτω συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a=1 , b=2 και c=−6 . Σύμφωνα με τον αλγόριθμο, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τη διάκριση, για αυτό αντικαθιστούμε τα υποδεικνυόμενα a, b και c στον τύπο διάκρισης, έχουμε D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Εφόσον 28>0, δηλαδή, η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα βρούμε με τον τύπο των ριζών , παίρνουμε , εδώ μπορούμε να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις που λαμβάνονται κάνοντας λαμβάνοντας υπόψη το σημάδι της ρίζαςακολουθούμενη από μείωση κλασμάτων:

Απάντηση:

Ας περάσουμε στο επόμενο χαρακτηριστικό παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση −4 x 2 +28 x−49=0 .

Λύση.

Ξεκινάμε βρίσκοντας τη διάκριση: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Επομένως, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα, την οποία βρίσκουμε ως , δηλαδή,

Απάντηση:

x=3,5 .

Μένει να εξετάσουμε τη λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων με αρνητική διάκριση.

Παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση 5 y 2 +6 y+2=0 .

Λύση.

Εδώ είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a=5 , b=6 και c=2 . Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο διάκρισης, έχουμε D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Η διάκριση είναι αρνητική, επομένως, αυτή η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Εάν είναι απαραίτητο να υποδείξουμε σύνθετες ρίζες, τότε χρησιμοποιούμε γνωστός τύποςρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης , και εκτελέστε δράσεις με μιγαδικοί αριθμοί :

Απάντηση:

δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, οι σύνθετες ρίζες είναι: .

Για άλλη μια φορά, σημειώνουμε ότι εάν η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης είναι αρνητική, τότε το σχολείο συνήθως σημειώνει αμέσως την απάντηση, στην οποία υποδεικνύουν ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και δεν βρίσκουν σύνθετες ρίζες.

Τύπος ρίζας για ακόμη και δεύτερους συντελεστές

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης , όπου D=b 2 −4 a c σας επιτρέπει να πάρετε έναν πιο συμπαγή τύπο που σας επιτρέπει να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις με άρτιο συντελεστή στο x (ή απλά με έναν συντελεστή που μοιάζει με 2 n , για παράδειγμα, ή 14 ln5=2 7 ln5 ). Ας τη βγάλουμε.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής a x 2 +2 n x + c=0 . Ας βρούμε τις ρίζες του χρησιμοποιώντας τον γνωστό σε εμάς τύπο. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τη διάκριση D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο ρίζας:

Να χαρακτηρίσετε την παράσταση n 2 −a c ως D 1 (μερικές φορές συμβολίζεται με D ") Στη συνέχεια ο τύπος για τις ρίζες της εξεταζόμενης τετραγωνικής εξίσωσης με τον δεύτερο συντελεστή 2 n παίρνει τη μορφή , όπου D 1 =n 2 −a c .

Είναι εύκολο να δούμε ότι D=4·D 1 , ή D 1 =D/4 . Με άλλα λόγια, το D 1 είναι το τέταρτο μέρος της διάκρισης. Είναι σαφές ότι το πρόσημο του D 1 είναι το ίδιο με το πρόσημο του D . Δηλαδή, το πρόσημο D 1 είναι επίσης δείκτης παρουσίας ή απουσίας των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης.

Έτσι, για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση με τον δεύτερο συντελεστή 2 n, χρειάζεστε

Υπολογίστε D 1 =n 2 −a·c ;
Αν Δ 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Εάν D 1 =0, τότε υπολογίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο.
Αν D 1 >0, τότε βρείτε δύο πραγματικές ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Εξετάστε τη λύση του παραδείγματος χρησιμοποιώντας τον τύπο ρίζας που λαμβάνεται σε αυτήν την παράγραφο.

Παράδειγμα.

Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση 5 x 2 −6 x−32=0 .

Λύση.

Ο δεύτερος συντελεστής αυτής της εξίσωσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως 2·(−3) . Δηλαδή, μπορείτε να ξαναγράψετε την αρχική τετραγωνική εξίσωση με τη μορφή 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , εδώ a=5 , n=−3 και c=−32 , και να υπολογίσετε το τέταρτο μέρος του διακριτικός: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Εφόσον η τιμή της είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Τα βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο ρίζας:

Σημειώστε ότι ήταν δυνατό να χρησιμοποιηθεί ο συνήθης τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, θα έπρεπε να γίνει περισσότερη υπολογιστική εργασία.

Απάντηση:

Απλοποίηση της μορφής των τετραγωνικών εξισώσεων

Μερικές φορές, πριν ξεκινήσετε τον υπολογισμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τύπους, δεν βλάπτει να θέσετε την ερώτηση: "Είναι δυνατόν να απλοποιηθεί η μορφή αυτής της εξίσωσης"; Συμφωνήστε ότι από πλευράς υπολογισμών θα είναι ευκολότερο να λύσετε την εξίσωση του δευτεροβάθμιου 11 x 2 −4 x −6=0 παρά 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Συνήθως, η απλοποίηση της μορφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές της με κάποιο αριθμό. Για παράδειγμα, στην προηγούμενη παράγραφο, καταφέραμε να επιτύχουμε μια απλοποίηση της εξίσωσης 1100 x 2 −400 x −600=0 διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 100 .

Παρόμοιος μετασχηματισμός πραγματοποιείται με τετραγωνικές εξισώσεις, οι συντελεστές των οποίων δεν είναι . Σε αυτή την περίπτωση, και τα δύο μέρη της εξίσωσης συνήθως διαιρούνται με τις απόλυτες τιμές των συντελεστών της. Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 −42 x+48=0. απόλυτες τιμές των συντελεστών του: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Διαιρώντας και τα δύο μέρη της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης με 6 , καταλήγουμε στην ισοδύναμη τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 −7 x+8=0 .

Και ο πολλαπλασιασμός και των δύο μερών της τετραγωνικής εξίσωσης γίνεται συνήθως για να απαλλαγούμε από τους κλασματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή, ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιείται στους παρονομαστές των συντελεστών του. Για παράδειγμα, αν και τα δύο μέρη μιας τετραγωνικής εξίσωσης πολλαπλασιαστούν με LCM(6, 3, 1)=6 , τότε θα πάρει απλούστερη μορφή x 2 +4 x−18=0 .

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, σημειώνουμε ότι σχεδόν πάντα απαλλαγείτε από το μείον στον κύριο συντελεστή της τετραγωνικής εξίσωσης αλλάζοντας τα πρόσημα όλων των όρων, που αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό (ή διαίρεση) και των δύο μερών με −1. Για παράδειγμα, συνήθως από την δευτεροβάθμια εξίσωση −2·x 2 −3·x+7=0 πηγαίνετε στη λύση 2·x 2 +3·x−7=0 .

Σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης εκφράζει τις ρίζες μιας εξίσωσης ως προς τους συντελεστές της. Με βάση τον τύπο των ριζών, μπορείτε να λάβετε άλλες σχέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών.

Οι πιο γνωστοί και εφαρμόσιμοι τύποι είναι από Τα θεωρήματα του Βιέτατύπος και . Συγκεκριμένα, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ο ελεύθερος όρος. Για παράδειγμα, με τη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3 x 2 −7 x+22=0, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι 7/3 και το γινόμενο των ριζών είναι 22/3.

Χρησιμοποιώντας τους ήδη γραμμένους τύπους, μπορείτε να πάρετε μια σειρά από άλλες σχέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της τετραγωνικής εξίσωσης. Για παράδειγμα, μπορείτε να εκφράσετε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης ως προς τους συντελεστές της: .

Βιβλιογραφία.

Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Βιβλίο μαθητή Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Mnemozina, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.