Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αρνητικές διακρίσεις.

ΜΙΓΚΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ XI

§ 253. Εξαγωγή τετραγωνικών ριζών από αρνητικούς αριθμούς.
Λύση τετραγωνικές εξισώσειςμε αρνητικές διακρίσεις

Οπως γνωρίζουμε,

Εγώ 2 = - 1.

Ωστόσο,

(- Εγώ ) 2 = (- 1 Εγώ ) 2 = (- 1) 2 Εγώ 2 = -1.

Έτσι, υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές για την τετραγωνική ρίζα του - 1, δηλαδή Εγώ Και - Εγώ . Ίσως όμως να υπάρχουν και άλλα μιγαδικοί αριθμοί, ποιανού τα τετράγωνα είναι - 1;

Για να διευκρινιστεί αυτή η ερώτηση, ας υποθέσουμε ότι το τετράγωνο ενός μιγαδικού αριθμού α + δι ισούται - 1. Τότε

(α + δι ) 2 = - 1,

ΕΝΑ 2 + 2abi - σι 2 = - 1

Δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα πραγματικά τους μέρη και οι συντελεστές των φανταστικών μερών είναι ίσοι. Να γιατί

{	*ΕΝΑ* 2 - σι 2 = - 1 αβ = 0 (1)

Σύμφωνα με τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (1), τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς ΕΝΑ Και σι πρέπει να ισούται με μηδέν. Αν σι = 0, τότε προκύπτει η πρώτη εξίσωση ΕΝΑ 2 = - 1. Αριθμός ΕΝΑ πραγματικό και επομένως ΕΝΑ 2 > 0. Μη αρνητικός αριθμός ΕΝΑ Το 2 δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό - 1. Επομένως, ισότητα σι Το = 0 είναι αδύνατο σε αυτήν την περίπτωση. Μένει να αναγνωριστεί ότι ΕΝΑ = 0, αλλά τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήματος παίρνουμε: - σι 2 = - 1, σι = ± 1.

Επομένως, οι μόνοι μιγαδικοί αριθμοί των οποίων τα τετράγωνα είναι -1 είναι οι αριθμοί Εγώ Και - Εγώ , Αυτό γράφεται υπό όρους ως εξής:

√-1 = ± Εγώ .

Με παρόμοιο σκεπτικό, οι μαθητές μπορούν να επαληθεύσουν ότι υπάρχουν ακριβώς δύο αριθμοί των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα με έναν αρνητικό αριθμό - ΕΝΑ . Αυτοί οι αριθμοί είναι √ ένα Εγώ και -√ ένα Εγώ . Συμβατικά, γράφεται ως εξής:

√- ΕΝΑ = ± √ ένα Εγώ .

Κάτω από √ ένα εδώ εννοείται η αριθμητική, δηλαδή θετική, ρίζα. Για παράδειγμα, √4 = 2, √9 =.3; Να γιατί

√-4 = + 2Εγώ , √-9 = ± 3 Εγώ

Αν προηγουμένως, όταν εξετάζαμε τετραγωνικές εξισώσεις με αρνητικές διακρίσεις, λέγαμε ότι τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν ρίζες, τώρα δεν είναι πλέον δυνατό να το πούμε αυτό. Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις με αρνητικές διακρίσεις έχουν πολύπλοκες ρίζες. Αυτές οι ρίζες λαμβάνονται με γνωστούς σε εμάς τύπους. Έστω, για παράδειγμα, δεδομένης της εξίσωσης Χ 2 + 2Χ + 5 = 0; Επειτα

Χ 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 Εγώ .

Άρα αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: Χ 1 = - 1 +2Εγώ , Χ 2 = - 1 - 2Εγώ . Αυτές οι ρίζες είναι αμοιβαία συζευγμένες. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με - 2, και το γινόμενο είναι 5, επομένως το θεώρημα του Vieta πληρούται.

Γυμνάσια

2022. (Us tn o.) Λύστε τις εξισώσεις:

ΕΝΑ) Χ 2 = - 16; σι) Χ 2 = - 2; στις 3 Χ 2 = - 5.

2023. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα:

ΕΝΑ) Εγώ ; β) 1/2 - √ 3/2 Εγώ ;

2024. Λύστε τετραγωνικές εξισώσεις:

ΕΝΑ) Χ 2 - 2Χ + 2 = 0; β) 4 Χ 2 + 4Χ + 5 = 0; V) Χ 2 - 14Χ + 74 = 0.

Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (Αρ. 2025, 2026):

{	*x+y* = 6 xy = 45

{	2Χ- 3y = 1 xy = 1

2027. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές και αρνητική διάκριση είναι αμοιβαία συζυγείς.

2028. Αποδείξτε ότι το θεώρημα του Vieta ισχύει για οποιεσδήποτε δευτεροβάθμιες εξισώσεις, και όχι μόνο για εξισώσεις με μη αρνητική διάκριση.

2029. Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, οι ρίζες της οποίας είναι:

ένα) Χ 1 = 5 - Εγώ , Χ 2 = 5 + Εγώ ; σι) Χ 1 = 3Εγώ , Χ 2 = - 3Εγώ .

2030. Να συνθέσετε μια τετραγωνική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, η μία από τις ρίζες της οποίας είναι ίση με (3 - Εγώ ) (2Εγώ - 4).

2031. Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, της οποίας η μία ρίζα είναι 32 - Εγώ
1- 3Εγώ .

Ας δουλέψουμε με τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτές είναι πολύ δημοφιλείς εξισώσεις! Στο πολύ γενική εικόναη τετραγωνική εξίσωση μοιάζει με αυτό:

Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις;Εάν έχετε μια τετραγωνική εξίσωση σε αυτή τη μορφή, τότε όλα είναι απλά. Θυμηθείτε τη μαγική λέξη διακριτική . Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση. Έτσι, ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι η ίδια διακριτική. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και εξετάστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, για την πρώτη εξίσωση ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτό είναι όλο.

Ποιες περιπτώσεις είναι δυνατές όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο; Υπάρχουν μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν. Τότε έχετε μία λύση. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αυτό όμως παίζει ρόλο στις ανισότητες, όπου θα μελετήσουμε το θέμα πιο αναλυτικά.

3. Η διάκριση είναι αρνητική. Από αρνητικός αριθμός Τετραγωνική ρίζαδεν εξάγεται. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Μια λεπτομερής φόρμουλα με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ a = -6; b = -5; c=-1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα πέσει απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να ζωγραφίσεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο φαίνεται. Δοκίμασέ το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Ποιο είναι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να βάψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Απλώς θα αποδειχθεί σωστό. Ειδικά αν εφαρμόζετε πρακτικές τεχνικές, οι οποίες περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα θα λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμηθήκαμε. Ή μαθημένο, που είναι επίσης καλό. Μπορείς να προσδιορίσεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίΕδώ - προσεχτικά?

Ωστόσο, οι τετραγωνικές εξισώσεις συχνά φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις . Μπορούν επίσης να λυθούν μέσω του διαχωριστικού. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.

Συνειδητοποίησα? Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν υπάρχει καθόλου! Λοιπόν, ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο αντί για ντο,και όλα θα πάνε καλά για εμάς. Ομοίως με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο μηδέν δεν έχουμε εδώ Με, ΕΝΑ σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία διάκριση. Θεωρήστε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν, και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν! Δεν πιστεύεις; Λοιπόν, καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Κάτι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x = 0, ή x = 4

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μετακινούμε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:

επίσης δύο ρίζες . x = +3 και x = -3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε βγάζοντας το Χ από αγκύλες, είτε απλώς μεταφέροντας τον αριθμό στα δεξιά, ακολουθούμενο από εξαγωγή της ρίζας.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις μεθόδους. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από το Χ, κάτι που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητο, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες ...

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Αυτά ακριβώς που οφείλονται σε απροσεξία… Για τα οποία είναι επώδυνο και προσβλητικό…

Πρώτη υποδοχή. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιαστείτε! Το μείον πριν από το x στο τετράγωνο μπορεί να σας αναστατώσει πολύ. Το να το ξεχάσεις είναι εύκολο... Ξεφορτώσου το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.

Δεύτερη υποδοχή.Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα. Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιΜε απεναντι απο σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα. Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα ένα κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα για απλοποίηση. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η απόφαση είναι διασκεδαστική!

Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.

Πρακτικές Συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Κλασματικές εξισώσεις. ODZ.

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις εξισώσεις. Γνωρίζουμε ήδη πώς να δουλεύουμε με γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. Η τελευταία άποψη παραμένει κλασματικές εξισώσεις. Ή ονομάζονται επίσης πολύ πιο στερεά - κλασματικός ορθολογικές εξισώσεις . Είναι το ίδιο.

Κλασματικές εξισώσεις.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές οι εξισώσεις περιέχουν απαραίτητα κλάσματα. Όχι όμως μόνο κλάσματα, αλλά κλάσματα που έχουν άγνωστο στον παρονομαστή. Τουλάχιστον σε ένα. Για παράδειγμα:

Να σας υπενθυμίσω, αν μόνο στους παρονομαστές αριθμοί, αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις.

Πώς να αποφασίσετε κλασματικές εξισώσεις? Πρώτα απ' όλα, ξεφορτωθείτε τα κλάσματα! Μετά από αυτό, η εξίσωση, τις περισσότερες φορές, μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική. Και μετά ξέρουμε τι πρέπει να κάνουμε... Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να μετατραπεί σε ταυτότητα, όπως 5=5 ή σε λανθασμένη έκφραση, όπως 7=2. Αλλά αυτό συμβαίνει σπάνια. Παρακάτω θα το αναφέρω.

Πώς όμως να απαλλαγείτε από τα κλάσματα!; Πολύ απλό. Εφαρμόζοντας όλους τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς.

Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με την ίδια έκφραση. Για να μειωθούν όλοι οι παρονομαστές! Όλα θα γίνουν αμέσως πιο εύκολα. Το εξηγώ με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:

Πώς διδάσκονταν στο δημοτικό; Μεταφέρουμε τα πάντα προς μια κατεύθυνση, τα ανάγουμε σε έναν κοινό παρονομαστή κ.λπ. Ξέχνα πώς φρικτό όνειρο! Αυτό πρέπει να κάνετε όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλασματικές εκφράσεις. Ή να εργαστείς με τις ανισότητες. Και στις εξισώσεις, πολλαπλασιάζουμε αμέσως και τα δύο μέρη με μια έκφραση που θα μας δώσει την ευκαιρία να μειώσουμε όλους τους παρονομαστές (δηλαδή, στην ουσία, με έναν κοινό παρονομαστή). Και ποια είναι αυτή η έκφραση;

Στην αριστερή πλευρά, για να μειώσετε τον παρονομαστή, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με x+2. Και στα δεξιά, απαιτείται πολλαπλασιασμός με το 2. Άρα, η εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2 (x+2). Πολλαπλασιάζουμε:

Αυτό συνηθισμένος πολλαπλασιασμόςκλάσματα, αλλά θα γράψω αναλυτικά:

Σημειώστε ότι δεν ανοίγω ακόμα την παρένθεση. (x + 2)! Το γράφω λοιπόν στο σύνολό του:

Στην αριστερή πλευρά, μειώνεται εντελώς (x+2), και στα δεξιά 2. Όπως απαιτείται! Μετά τη μείωση παίρνουμε γραμμικόςη εξίσωση:

Οποιοσδήποτε μπορεί να λύσει αυτήν την εξίσωση! x = 2.

Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα, λίγο πιο περίπλοκο:

Αν θυμηθούμε ότι 3 = 3/1, και 2x = 2x/ 1 μπορεί να γραφτεί:

Και πάλι απαλλαγούμε από αυτό που δεν μας αρέσει πραγματικά - από τα κλάσματα.

Βλέπουμε ότι για να μειωθεί ο παρονομαστής με x, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με (x - 2). Και οι μονάδες δεν αποτελούν εμπόδιο για εμάς. Λοιπόν, ας πολλαπλασιάσουμε. Ολααριστερή πλευρά και όλασωστη πλευρα:

Πάλι αγκύλες (x - 2)Δεν αποκαλύπτω. Δουλεύω με την αγκύλη στο σύνολό της, σαν να είναι ένας αριθμός! Αυτό πρέπει να γίνεται πάντα, διαφορετικά δεν θα μειωθεί τίποτα.

Με αίσθημα βαθιάς ικανοποίησης κόβουμε (x - 2)και παίρνουμε την εξίσωση χωρίς κλάσματα, σε χάρακα!

Και τώρα ανοίγουμε τις αγκύλες:

Δίνουμε παρόμοια, μεταφέρουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και παίρνουμε:

Κλασική τετραγωνική εξίσωση. Αλλά το μείον μπροστά δεν είναι καλό. Μπορείτε πάντα να το ξεφορτωθείτε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με -1. Αλλά αν κοιτάξετε προσεκτικά το παράδειγμα, θα παρατηρήσετε ότι είναι καλύτερο να διαιρέσετε αυτή την εξίσωση με -2! Με μια πτώση, το μείον θα εξαφανιστεί και οι συντελεστές θα γίνουν πιο όμορφοι! Διαιρούμε με -2. Στην αριστερή πλευρά - όρος με όρο και στα δεξιά - απλώς διαιρέστε το μηδέν με -2, μηδέν και λάβετε:

Επιλύουμε μέσω της διάκρισης και ελέγχουμε σύμφωνα με το θεώρημα Vieta. Παίρνουμε x=1 και x=3. Δύο ρίζες.

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση, η εξίσωση μετά τον μετασχηματισμό έγινε γραμμική και εδώ είναι τετραγωνική. Συμβαίνει ότι αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, όλα τα x μειώνονται. Έχει μείνει κάτι, όπως 5=5. Αυτό σημαίνει ότι Το x μπορεί να είναι οτιδήποτε. Ό,τι κι αν είναι, θα μειώνεται. Και θα βγει καθαρή αλήθεια, 5=5. Αλλά, αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, μπορεί να αποδειχθεί εντελώς αναληθής, όπως 2=7. Και αυτό σημαίνει ότι χωρίς λύσεις! Με οποιοδήποτε x, αποδεικνύεται ψευδές.

Συνειδητοποίησα κύριος τρόποςλύσεις κλασματικές εξισώσεις? Είναι απλό και λογικό. Αλλάζουμε την αρχική έκφραση έτσι ώστε να εξαφανιστεί ό,τι δεν μας αρέσει. Ή να παρέμβεις. Σε αυτή την περίπτωση, είναι κλάσματα. Θα κάνουμε το ίδιο με κάθε είδους σύνθετα παραδείγματα με λογάριθμους, ημίτονο και άλλα φρικτά. Εμείς Πάνταθα απαλλαγούμε από όλα αυτά.

Ωστόσο, πρέπει να αλλάξουμε την αρχική έκφραση προς την κατεύθυνση που χρειαζόμαστε σύμφωνα με τους κανόνες, ναι ... Η ανάπτυξη του οποίου είναι η προετοιμασία για την εξέταση στα μαθηματικά. Εδώ μαθαίνουμε.

Τώρα θα μάθουμε πώς να παρακάμψουμε ένα από τα οι κύριες ενέδρες στις εξετάσεις! Αλλά πρώτα, ας δούμε αν πέσεις σε αυτό ή όχι;

Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα:

Το θέμα είναι ήδη γνωστό, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη επί (x - 2), παίρνουμε:

Θυμηθείτε, με αγκύλες (x - 2)δουλεύουμε σαν με μια, ολοκληρωμένη έκφραση!

Εδώ δεν έγραψα πια το ένα στους παρονομαστές, αναξιοπρεπές ... Και δεν τράβηξα αγκύλες στους παρονομαστές, εκτός από x - 2δεν υπάρχει τίποτα, δεν μπορείτε να σχεδιάσετε. Συντομεύουμε:

Ανοίγουμε τις αγκύλες, μετακινούμε τα πάντα προς τα αριστερά, δίνουμε παρόμοια:

Λύνουμε, ελέγχουμε, παίρνουμε δύο ρίζες. x = 2Και x = 3. Εξαιρετική.

Ας υποθέσουμε ότι η εργασία λέει να γράψετε τη ρίζα ή το άθροισμά τους, εάν υπάρχουν περισσότερες από μία ρίζες. Τι θα γράψουμε;

Εάν αποφασίσετε ότι η απάντηση είναι 5, εσείς έπεσαν σε ενέδρα. Και η εργασία δεν θα μετρηθεί για εσάς. Μάταια δούλεψαν ... Η σωστή απάντηση είναι 3.

Τι συμβαίνει?! Και προσπαθείς να ελέγξεις. Αντικαταστήστε τις τιμές του αγνώστου σε αρχικόςπαράδειγμα. Και αν σε x = 3όλα μεγαλώνουν μαζί υπέροχα, παίρνουμε 9 = 9, μετά με x = 2διαιρέστε με το μηδέν! Αυτό που απολύτως δεν μπορεί να γίνει. Που σημαίνει x = 2δεν είναι λύση και δεν λαμβάνεται υπόψη στην απάντηση. Αυτή είναι η λεγόμενη εξωγενής ή επιπλέον ρίζα. Απλώς το απορρίπτουμε. Υπάρχει μόνο μία τελική ρίζα. x = 3.

Πως και έτσι?! Ακούω αγανακτισμένα επιφωνήματα. Μας έμαθαν ότι μια εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μια έκφραση! Αυτή είναι η ίδια μεταμόρφωση!

Ναι, πανομοιότυπο. Στο μικρή κατάσταση- η έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζουμε (διαιρούμε) - διαφορετικό από το μηδέν. ΕΝΑ x - 2στο x = 2ισούται με μηδέν! Άρα είναι όλα δίκαια.

Και τώρα τι μπορώ να κάνω;! Να μην πολλαπλασιάζονται με έκφραση; Ελέγχετε κάθε φορά; Και πάλι ασαφές!

Ήρεμα! Κανένας πανικός!

Σε αυτή τη δύσκολη κατάσταση, τρία μαγικά γράμματα θα μας σώσουν. Ξέρω τι σκεφτόσουν. Σωστά! Αυτό ODZ . Περιοχή έγκυρων αξιών.

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηλέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Σημαίνει ότι στην εξίσωση Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Εκτός από αυτό, στην εξίσωση μπορεί να υπάρχει (ή μπορεί να μην υπάρχει!) Μόλις x (στο πρώτο βαθμό) και μόνο ένας αριθμός (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν x σε βαθμό μεγαλύτερο από δύο.

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ΕΝΑ- κάθε άλλο παρά μηδέν. Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...

Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, στα αριστερά, υπάρχει πλήρες σετμέλη. x στο τετράγωνο με τον συντελεστή ΕΝΑ, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι ελεύθερο μέλος του

Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρης.

Κι αν σι= 0, τι θα πάρουμε; Εχουμε Το Χ θα εξαφανιστεί στον πρώτο βαθμό.Αυτό συμβαίνει από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Και ούτω καθεξής. Και αν και οι δύο συντελεστές σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Τέτοιες εξισώσεις, όπου κάτι λείπει, λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.

Με την ευκαιρία γιατί ΕΝΑδεν μπορεί να είναι μηδέν; Και αντικαθιστάς ΕΝΑμηδέν.) Το Χ στο τετράγωνο θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και γίνεται διαφορετικά...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, χρειάζεστε δεδομένη εξίσωσηφέρτε στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:

Εάν η εξίσωση έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ΕΝΑ, σιΚαι ντο.

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτή είναι η απάντηση.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Εδώ, αποθηκεύεται μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το ξέρατε;) Ναι! Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Μπορούν επίσης να λυθούν με τον γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία φόρμουλα. Θεωρήστε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο ταιριάζουν. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τον γενικό τύπο. Σημειώνω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - είναι απολύτως αδιάφορο. Εύκολο να γράψεις με τη σειρά x 1- όποιο είναι λιγότερο x 2- αυτό που είναι περισσότερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μετακινούμε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:

επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη διακριτική ! Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και απροβλημάτιστο στον χειρισμό.) Σας θυμίζω τα περισσότερα γενικός τύποςγια λύσεις όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Η διάκριση συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι το ιδιαίτερο έχει αυτή η έκφραση; Γιατί αξίζει ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι έννοια του διακρίνοντα;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν ονομάζουν συγκεκριμένα ... Γράμματα και γράμματα.

Το θέμα είναι αυτό. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Ένας αρνητικός αριθμός δεν παίρνει την τετραγωνική ρίζα. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Για να είμαι ειλικρινής, στο απλή λύσητετραγωνικές εξισώσεις, δεν απαιτείται ιδιαίτερα η έννοια του διακριτικού. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και θεωρούμε. Εκεί όλα αποδεικνύονται από μόνα τους, και δύο ρίζες, και μία, και όχι μία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και διακριτικός τύποςόχι αρκετά. Ειδικά - σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικάστο ΓΙΑ και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθε, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να αναγνωρίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλάβατε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι - προσεχτικά?

Πρώτη υποδοχή . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Δεύτερη υποδοχή. Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα.

Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιΜε απεναντι απο σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...

Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η απόφαση είναι διασκεδαστική!

Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

Τώρα μπορείτε να αποφασίσετε.)

Επίλυση εξισώσεων:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ταιριάζουν όλα; Εξαιρετική! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι δικές σας πονοκέφαλο. Τα τρία πρώτα βγήκαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν λειτουργεί αρκετά; Ή δεν λειτουργεί καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Εκεί, όλα αυτά τα παραδείγματα ταξινομούνται κατά οστά. Επίδειξη κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, περιγράφεται και η εφαρμογή πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

Δεν έχουν ρίζες.
Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
Να έχεις δύο διαφορετική ρίζα.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .

Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

Αν ο Δ< 0, корней нет;
Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση ισούται με μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολλές.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο όταν (−c / a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:

Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
Αν (−c / a )< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι υπάρχει στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:

Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΆλγεβρα ένα από τα πιο ογκώδη θέματα είναι το θέμα των τετραγωνικών εξισώσεων. Σε αυτή την περίπτωση, μια τετραγωνική εξίσωση νοείται ως εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c \u003d 0, όπου a ≠ 0 (διαβάζει: πολλαπλασιασμός επί x στο τετράγωνο συν το x συν ce ισούται με μηδέν, όπου ένα δεν ισούται με μηδέν). Σε αυτήν την περίπτωση, την κύρια θέση καταλαμβάνουν οι τύποι για την εύρεση του διαχωριστικού μιας τετραγωνικής εξίσωσης του καθορισμένου τύπου, η οποία νοείται ως έκφραση που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την παρουσία ή την απουσία ριζών σε μια τετραγωνική εξίσωση, καθώς και τον αριθμό τους (εάν υπάρχει).

Τύπος (εξίσωση) της διάκρισης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Ο γενικά αποδεκτός τύπος για τη διάκριση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι ο εξής: D \u003d b 2 - 4ac. Υπολογίζοντας τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον υποδεικνυόμενο τύπο, μπορεί κανείς όχι μόνο να προσδιορίσει την παρουσία και τον αριθμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά και να επιλέξει μια μέθοδο για την εύρεση αυτών των ριζών, από τις οποίες υπάρχουν αρκετές ανάλογα με τον τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης.

Τι σημαίνει αν ο διαχωριστής είναι μηδέν \ Τύπος των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης αν ο διαχωριστής είναι μηδέν

Η διάκριση, όπως προκύπτει από τον τύπο, συμβολίζεται Λατινικό γράμμαΔ. Στην περίπτωση που η διάκριση είναι ίση με μηδέν, θα πρέπει να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου a ≠ 0, έχει μόνο μία ρίζα, η οποία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν απλοποιημένο τύπο . Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο όταν ο διαχωριστής είναι μηδέν και μοιάζει με αυτό: x = –b/2a, όπου x είναι η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης, b και a είναι οι αντίστοιχες μεταβλητές της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να βρεθεί η ρίζα μιας τετραγωνικής εξίσωσης, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί η αρνητική τιμή της μεταβλητής b με το διπλάσιο της τιμής της μεταβλητής a. Η παράσταση που προκύπτει θα είναι η λύση μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης μέσω της διάκρισης

Εάν, κατά τον υπολογισμό της διάκρισης σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, αποδειχθεί θετική αξία(Το D είναι μεγαλύτερο από το μηδέν), τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες, οι οποίες υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) / 2a. Τις περισσότερες φορές, το διακριτικό δεν υπολογίζεται ξεχωριστά, αλλά η έκφραση ρίζας με τη μορφή ενός τύπου διακρίσεως απλώς αντικαθίσταται στην τιμή D, από την οποία εξάγεται η ρίζα. Εάν η μεταβλητή b έχει άρτια τιμή, τότε για να υπολογίσετε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου a ≠ 0, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους τύπους: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, όπου k = b/2.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, για την πρακτική λύση των τετραγωνικών εξισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta, το οποίο λέει ότι για το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης της μορφής x 2 + px + q \u003d 0, η τιμή x 1 + x 2 \u003d -p θα είναι αληθές και για το γινόμενο των ριζών της καθορισμένης εξίσωσης - έκφραση x 1 x x 2 = q.

Μπορεί η διάκριση να είναι μικρότερη από το μηδέν;

Κατά τον υπολογισμό της τιμής του διαχωριστή, μπορεί κανείς να συναντήσει μια κατάσταση που δεν εμπίπτει σε καμία από τις περιγραφόμενες περιπτώσεις - όταν η διάκριση έχει αρνητική τιμή (δηλ. λιγότερο από το μηδέν). Σε αυτή την περίπτωση, θεωρείται ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου a ≠ 0, δεν έχει πραγματικές ρίζες, επομένως, η επίλυσή της θα περιοριστεί στον υπολογισμό της διάκρισης και οι παραπάνω τύποι για οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης σε αυτή την περίπτωση δεν θα ισχύουν βούληση. Παράλληλα, στην απάντηση στην δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται ότι «η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες».

Επεξηγητικό βίντεο: