Κλάσμα. Πολλαπλασιασμός κοινών, δεκαδικών, μικτών κλασμάτων

Συνεχίζουμε να μελετάμε ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα. Τώρα στο επίκεντρο πολλαπλασιασμός συνηθισμένα κλάσματα . Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε έναν κανόνα για τον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων, εξετάστε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Ας σταθούμε επίσης στον πολλαπλασιασμό ενός συνηθισμένου κλάσματος με φυσικός αριθμός. Συμπερασματικά, σκεφτείτε πώς ο πολλαπλασιασμός των τριών και περισσότεροκλάσματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κοινό κλάσμα

Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση κανόνες για τον πολλαπλασιασμό κοινών κλασμάτων: πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα προκύπτει ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσο με το γινόμενοαριθμητές των πολλαπλασιασμένων κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών.

Δηλαδή, ο τύπος αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων a / b και c / d.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που επεξηγεί τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των συνηθισμένων κλασμάτων. Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά 1 μονάδα. , ενώ το εμβαδόν του είναι 1 μονάδα 2 . Ας χωρίσουμε αυτό το τετράγωνο σε ίσα ορθογώνιαμε πλευρές 1/4 μονάδες. και 1/8 μονάδες. , ενώ το αρχικό τετράγωνο θα αποτελείται από 4 8 = 32 ορθογώνια, επομένως, το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου είναι το 1/32 του εμβαδού του αρχικού τετραγώνου, δηλαδή είναι ίσο με το 1/32 μονάδες 2. Τώρα ας ζωγραφίσουμε μέρος του αρχικού τετραγώνου. Όλες οι ενέργειές μας αντικατοπτρίζονται στο παρακάτω σχήμα.

Οι πλευρές του γεμάτου ορθογωνίου είναι 5/8 μονάδες. και 3/4 μονάδες. , που σημαίνει ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το γινόμενο των κλασμάτων 5/8 και 3/4, δηλαδή των μονάδων 2. Όμως το γεμάτο παραλληλόγραμμο αποτελείται από 15 «μικρά» ορθογώνια, άρα το εμβαδόν του είναι 15/32 μονάδες 2 . Ως εκ τούτου, . Αφού 5 3=15 και 8 4=32 , η τελευταία ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως , που επιβεβαιώνει τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων της μορφής .

Σημειώστε ότι με τη βοήθεια του κανόνα πολλαπλασιασμού με φωνή, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τόσο κανονικά όσο και ακατάλληλα κλάσματα, και κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές και κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.

Σκεφτείτε παραδείγματα πολλαπλασιασμού κοινών κλασμάτων.

Πολλαπλασιάστε το κοινό κλάσμα 7/11 με το κοινό κλάσμα 9/8.

Το γινόμενο των αριθμητών των πολλαπλασιασμένων κλασμάτων 7 και 9 είναι 63 και το γινόμενο των παρονομαστών του 11 και του 8 είναι 88. Έτσι, πολλαπλασιάζοντας τα κοινά κλάσματα 7/11 και 9/8 προκύπτει το κλάσμα 63/88.

Εδώ σύντομη είσοδοςλύσεις: .

Δεν πρέπει να ξεχνάμε τη μείωση του προκύπτοντος κλάσματος, εάν ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού προκύπτει ένα αναγώγιμο κλάσμα και την επιλογή ολόκληρου του τμήματος από ένα ακατάλληλο κλάσμα.

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα 4/15 και 55/6.

Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των συνηθισμένων κλασμάτων: .

Προφανώς, το κλάσμα που προκύπτει είναι αναγωγίσιμο (το πρόσημο της διαιρετότητας με το 10 μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος 220/90 έχουν κοινό παράγοντα 10). Ας μειώσουμε το κλάσμα 220/90: GCD(220, 90)=10 και . Απομένει να επιλέξετε το ακέραιο μέρος από το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει: .

Σημειώστε ότι η αναγωγή κλασμάτων μπορεί να πραγματοποιηθεί πριν από τον υπολογισμό των γινομένων των αριθμητών και των γινομένων των παρονομαστών των πολλαπλασιασμένων κλασμάτων, δηλαδή όταν το κλάσμα έχει τη μορφή . Για αυτόν τον αριθμό τα a , b , c και d αντικαθίστανται από τις επεκτάσεις τους σε πρωταρχικούς παράγοντες, μετά την οποία μειώνονται οι ίδιοι συντελεστές αριθμητή και παρονομαστή.

Για να διευκρινίσουμε, ας επιστρέψουμε στο προηγούμενο παράδειγμα.

Να υπολογίσετε το γινόμενο των κλασμάτων της μορφής .

Με τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, έχουμε .

Αφού 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 και 6=2 3 , τότε . Τώρα ακυρώνουμε τους κοινούς πρώτους παράγοντες: .

Απομένει μόνο να υπολογίσουμε τα γινόμενα στον αριθμητή και στον παρονομαστή και, στη συνέχεια, να επιλέξουμε το ακέραιο μέρος από το ακατάλληλο κλάσμα: .

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων χαρακτηρίζεται από μια μεταθετική ιδιότητα, δηλαδή, τα πολλαπλασιασμένα κλάσματα μπορούν να εναλλάσσονται: .

Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό

Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ενός κοινού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό δίνει ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο του αριθμητή του πολλαπλασιασμένου κλάσματος με τον φυσικό αριθμό και ο παρονομαστής είναι ίσος με τον παρονομαστή του πολλαπλασιασμένου κλάσματος.

Με τη βοήθεια γραμμάτων, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος a/b με έναν φυσικό αριθμό n έχει τη μορφή .

Ο τύπος προκύπτει από τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό δύο συνηθισμένων κλασμάτων της μορφής . Πράγματι, αντιπροσωπεύοντας έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, λαμβάνουμε .

Εξετάστε παραδείγματα πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Πολλαπλασιάστε το κλάσμα 2/27 με 5.

Ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή 2 με τον αριθμό 5 δίνει το 10, επομένως, δυνάμει του κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, το γινόμενο του 2/27 επί 5 είναι ίσο με το κλάσμα 10/27.

Η όλη λύση μπορεί εύκολα να γραφτεί ως εξής: .

Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, το κλάσμα που προκύπτει συχνά πρέπει να μειωθεί, και αν είναι επίσης λανθασμένο, τότε να το αναπαραστήσετε ως μικτό αριθμό.

Πολλαπλασιάστε το κλάσμα 5/12 με τον αριθμό 8.

Σύμφωνα με τον τύπο πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, έχουμε . Προφανώς, το κλάσμα που προκύπτει είναι αναγωγίσιμο (το πρόσημο της διαιρετότητας με το 2 δείχνει έναν κοινό διαιρέτη 2 του αριθμητή και του παρονομαστή). Ας μειώσουμε το κλάσμα 40/12: αφού LCM(40, 12)=4, τότε . Απομένει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος: .

Εδώ είναι ολόκληρη η λύση: .

Σημειώστε ότι η αναγωγή θα μπορούσε να γίνει αντικαθιστώντας τους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή από τις επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση θα μοιάζει με αυτό:

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, σημειώνουμε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό έχει τη μεταθετική ιδιότητα, δηλαδή το γινόμενο ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό είναι ίσο με το γινόμενο αυτού του φυσικού αριθμού κατά ένα κλάσμα: .

Πολλαπλασιάστε τρία ή περισσότερα κλάσματα

Ο τρόπος που ορίσαμε τα συνηθισμένα κλάσματα και η δράση του πολλαπλασιασμού με αυτά μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών ισχύουν για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.

Οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού καθιστούν δυνατό τον μοναδικό προσδιορισμό πολλαπλασιάζοντας τρία ή περισσότερα κλάσματα και φυσικούς αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή, όλα συμβαίνουν κατ' αναλογία με τον πολλαπλασιασμό τριών ή περισσότερων φυσικών αριθμών. Ειδικότερα, τα κλάσματα και οι φυσικοί αριθμοί στο γινόμενο μπορούν να αναδιαταχθούν για ευκολία στον υπολογισμό, και ελλείψει αγκύλων που υποδεικνύουν τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες, μπορούμε να τακτοποιήσουμε μόνοι μας τις αγκύλες με οποιονδήποτε από τους επιτρεπόμενους τρόπους.

Εξετάστε παραδείγματα πολλαπλασιασμού πολλών κλασμάτων και φυσικών αριθμών.

Πολλαπλασιάστε τρία κοινά κλάσματα 1/20, 12/5, 3/7 και 5/8.

Ας γράψουμε το γινόμενο που πρέπει να υπολογίσουμε . Δυνάμει του κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, το γραπτό γινόμενο είναι ίσο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών όλων των κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών: .

Πριν υπολογίσετε τα γινόμενα στον αριθμητή και στον παρονομαστή, συνιστάται να αντικαταστήσετε όλους τους παράγοντες με τις επεκτάσεις τους σε πρώτους συντελεστές και να μειώσετε (φυσικά, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα μετά τον πολλαπλασιασμό, αλλά σε πολλές περιπτώσεις αυτό απαιτεί μεγάλη υπολογιστική προσπάθεια): .

Πολλαπλασιάστε πέντε αριθμούς .

Σε αυτό το προϊόν, είναι βολικό να ομαδοποιήσετε το κλάσμα 7/8 με τον αριθμό 8 και τον αριθμό 12 με το κλάσμα 5/36, αυτό θα απλοποιήσει τους υπολογισμούς, αφού με μια τέτοια ομαδοποίηση η μείωση είναι προφανής. Εχουμε
.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων με διάφορους πιθανούς τρόπους.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα

Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση, στην οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνες πολλαπλασιασμού κλασμάτων.

Προς την πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, απαραίτητη:

πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον αριθμητή του νέου κλάσματος.
πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον παρονομαστή του νέου κλάσματος.

Πριν πολλαπλασιάσουμε αριθμητές και παρονομαστές, ελέγξτε αν τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν. Η μείωση των κλασμάτων στους υπολογισμούς θα διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς σας.

Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό

Σε κλάσμα πολλαπλασιάστε με έναν φυσικό αριθμόπρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος.

Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, μην ξεχάσετε να το μετατρέψετε σε μικτό αριθμό, δηλαδή επιλέξτε ολόκληρο το μέρος.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών

Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό

Μερικές φορές στους υπολογισμούς είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια διαφορετική μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτήν την έκδοση του κανόνα εάν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών: κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών. Αρχικά, θα εκφράσουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και θα εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Στη συνέχεια, θα μιλήσουμε για τον πολλαπλασιασμό ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού. Τέλος, θα μάθουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε έναν μικτό αριθμό και ένα συνηθισμένο κλάσμα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμώνμπορεί να αναχθεί στον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μετατρέψετε μεικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.

Ας γράψουμε κανόνας πολλαπλασιασμού για μεικτούς αριθμούς:

Πρώτον, οι μικτοί αριθμοί που πρόκειται να πολλαπλασιαστούν πρέπει να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα.
Δεύτερον, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Εξετάστε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό ενός μικτού αριθμού με έναν μικτό αριθμό.

Εκτελέστε πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και .

Αρχικά, αντιπροσωπεύουμε τους πολλαπλασιασμένους μικτούς αριθμούς στη φόρμα ακατάλληλα κλάσματα: Και . Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών με τον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων: . Εφαρμόζοντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, παίρνουμε . Το κλάσμα που προκύπτει είναι μη αναγώγιμο (βλ. αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα), αλλά είναι λανθασμένο (βλ. κανονικά και ακατάλληλα κλάσματα), επομένως, για να λάβουμε την τελική απάντηση, μένει να εξαγάγουμε το ακέραιο μέρος από το ακατάλληλο κλάσμα: .

Ας γράψουμε ολόκληρη τη λύση σε μια γραμμή: .

Για να εμπεδώσετε τις δεξιότητες του πολλαπλασιασμού μικτών αριθμών, εξετάστε τη λύση ενός άλλου παραδείγματος.

Κάντε τον πολλαπλασιασμό.

Αστείοι αριθμοί και είναι ίσοι με τα κλάσματα 13/5 και 10/9, αντίστοιχα. Επειτα . Σε αυτό το στάδιο, είναι καιρός να θυμηθούμε τη μείωση του κλάσματος: θα αντικαταστήσουμε όλους τους αριθμούς του κλάσματος με τις επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες και θα πραγματοποιήσουμε τη μείωση των ίδιων παραγόντων.

Πολλαπλασιασμός μικτού και φυσικού αριθμού

Μετά την αντικατάσταση του μικτού αριθμού με ένα ακατάλληλο κλάσμα, πολλαπλασιάζοντας έναν μικτό και έναν φυσικό αριθμόανάγεται στον πολλαπλασιασμό ενός συνηθισμένου κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού.

Πολλαπλασιάστε τον μεικτό αριθμό και τον φυσικό αριθμό 45 .

Ένας μεικτός αριθμός είναι κλάσμα, λοιπόν . Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στο κλάσμα που προκύπτει με τις επεκτάσεις τους σε πρώτους συντελεστές, κάνουμε μια μείωση, μετά την οποία επιλέγουμε το ακέραιο μέρος: .

Ο πολλαπλασιασμός ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού μερικές φορές γίνεται εύκολα χρησιμοποιώντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση. Στην περίπτωση αυτή, το γινόμενο ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων του ακέραιου μέρους με τον δεδομένο φυσικό αριθμό και του κλασματικού μέρους με τον δεδομένο φυσικό αριθμό, δηλαδή .

Υπολογίστε το προϊόν.

Αντικαθιστούμε τον μικτό αριθμό με το άθροισμα των ακέραιων και κλασματικών μερών και μετά εφαρμόζουμε την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: .

Πολλαπλασιασμός μικτού αριθμού και κοινού κλάσματοςείναι πιο βολικό να ανάγεται στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, αντιπροσωπεύοντας τον πολλαπλασιασμένο μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα.

Πολλαπλασιάστε τον μικτό αριθμό με το κοινό κλάσμα 4/15.

Αντικαθιστώντας τον μικτό αριθμό με ένα κλάσμα, παίρνουμε .

Πολλαπλασιασμός κλασματικών αριθμών

§ 140. Ορισμοί. 1) Ο πολλαπλασιασμός ενός κλασματικού αριθμού με έναν ακέραιο ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων, δηλαδή: ο πολλαπλασιασμός κάποιου αριθμού (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει ότι δημιουργείται ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Άρα πολλαπλασιάζοντας με το 5 σημαίνει ότι βρίσκουμε το άθροισμα:
2) Ο πολλαπλασιασμός κάποιου αριθμού (πολλαπλασιαστής) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει να βρεθεί αυτό το κλάσμα του πολλαπλασιαστή.

Έτσι, βρίσκοντας ένα κλάσμα ενός δεδομένου αριθμού, που εξετάσαμε προηγουμένως, τώρα θα ονομάσουμε πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα.

3) Για να πολλαπλασιάσουμε κάποιον αριθμό (πολλαπλασιαστή) με έναν μικτό αριθμό (συντελεστή) σημαίνει να πολλαπλασιάσουμε τον πολλαπλασιαστή πρώτα με τον ακέραιο του παράγοντα, μετά με το κλάσμα του παράγοντα, και να προσθέσουμε τα αποτελέσματα αυτών των δύο πολλαπλασιασμών μαζί.

Για παράδειγμα:

Ο αριθμός που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό καλείται σε όλες αυτές τις περιπτώσεις δουλειά, δηλαδή, με τον ίδιο τρόπο όπως κατά τον πολλαπλασιασμό ακεραίων.

Από αυτούς τους ορισμούς είναι σαφές ότι ο πολλαπλασιασμός των κλασματικών αριθμών είναι μια ενέργεια που είναι πάντα δυνατή και πάντα μονοσήμαντη.

§ 141. Σκοπιμότητα των ορισμών αυτών.Για να κατανοήσουμε τη σκοπιμότητα της εισαγωγής των δύο τελευταίων ορισμών του πολλαπλασιασμού στην αριθμητική, ας πάρουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

Εργο. Το τρένο, κινούμενο ομοιόμορφα, ταξιδεύει 40 χλμ. την ώρα. πώς να μάθετε πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει αυτό το τρένο σε έναν δεδομένο αριθμό ωρών;

Αν παραμέναμε με τον ίδιο ορισμό του πολλαπλασιασμού, που υποδεικνύεται στην αριθμητική των ακεραίων (προσθήκη ίσων όρων), τότε το πρόβλημά μας θα είχε τρεις διαφορετικές λύσεις, δηλαδή:

Εάν ο δεδομένος αριθμός ωρών είναι ακέραιος (για παράδειγμα, 5 ώρες), τότε για να λυθεί το πρόβλημα, 40 km πρέπει να πολλαπλασιαστούν με αυτόν τον αριθμό ωρών.

Εάν ένας δεδομένος αριθμός ωρών εκφράζεται ως κλάσμα (για παράδειγμα, ώρες), τότε θα πρέπει να βρείτε την τιμή αυτού του κλάσματος από 40 km.

Τέλος, εάν αναμειχθεί ο δεδομένος αριθμός ωρών (για παράδειγμα, ώρες), τότε θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσουμε 40 km με έναν ακέραιο που περιέχεται στον μικτό αριθμό και να προσθέσουμε στο αποτέλεσμα ένα τέτοιο κλάσμα από 40 km όπως είναι στο μικτός αριθμός.

Οι ορισμοί που δώσαμε μας επιτρέπουν να δώσουμε μια γενική απάντηση σε όλες αυτές τις πιθανές περιπτώσεις:

Τα 40 km πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τον δεδομένο αριθμό ωρών, όποια κι αν είναι αυτή.

Έτσι, εάν η εργασία παρουσιάζεται στο γενική εικόναΕτσι:

Ένα τρένο που κινείται ομοιόμορφα ταξιδεύει v km ανά ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει το τρένο σε t ώρες;

τότε, όποιοι κι αν είναι οι αριθμοί v και t, μπορούμε να εκφράσουμε μια απάντηση: ο επιθυμητός αριθμός εκφράζεται με τον τύπο v · t.

Σημείωση. Η εύρεση κάποιου κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, σύμφωνα με τον ορισμό μας, σημαίνει το ίδιο πράγμα με τον πολλαπλασιασμό ενός δεδομένου αριθμού με αυτό το κλάσμα. Επομένως, για παράδειγμα, το να βρούμε το 5% (δηλαδή τα πεντακοσστά) ενός δεδομένου αριθμού σημαίνει το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό του δεδομένου αριθμού με ή με. Η εύρεση του 125% ενός δεδομένου αριθμού είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό αυτού του αριθμού με ή με , κ.λπ.

§ 142. Σημείωση για το πότε αυξάνεται και πότε μειώνεται από τον πολλαπλασιασμό.

Από τον πολλαπλασιασμό με ένα σωστό κλάσμα, ο αριθμός μειώνεται και από τον πολλαπλασιασμό με ένα ακατάλληλο κλάσμα, ο αριθμός αυξάνεται εάν αυτό το ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα και παραμένει αμετάβλητο εάν είναι ίσο με ένα.
Σχόλιο. Κατά τον πολλαπλασιασμό κλασματικών αριθμών, καθώς και ακεραίων, το γινόμενο λαμβάνεται ίσο με μηδέν εάν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν, άρα,.

§ 143. Παραγωγή κανόνων πολλαπλασιασμού.

1) Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο. Αφήστε το κλάσμα να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό σημαίνει να αυξηθεί κατά 5 φορές. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα κατά 5, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμητή του ή να μειώσετε τον παρονομαστή του κατά 5 φορές (§ 127).

Να γιατί:
Κανόνας 1. Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο. Αντίθετα, μπορείτε επίσης να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με τον δεδομένο ακέραιο (αν είναι δυνατόν) και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

Σχόλιο. Το γινόμενο ενός κλάσματος και του παρονομαστή του είναι ίσο με τον αριθμητή του.

Ετσι:
Κανόνας 2. Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος ως παρονομαστή.
Κανόνας 3. Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο παρονομαστή του γινομένου.

Σχόλιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν ακέραιο και ενός ακέραιου με ένα κλάσμα, αν θεωρήσουμε μόνο τον ακέραιο ως κλάσμα με παρονομαστή το ένα. Ετσι:

Έτσι, οι τρεις κανόνες που αναφέρονται τώρα περιέχονται σε έναν, ο οποίος μπορεί να εκφραστεί με γενικούς όρους ως εξής:
4) Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.

Κανόνας 4. Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων. Για παράδειγμα:
§ 144. Αναγωγή στον πολλαπλασιασμό. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, εάν είναι δυνατόν, θα πρέπει να γίνει μια προκαταρκτική μείωση, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα:

Μια τέτοια μείωση μπορεί να γίνει επειδή η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής μειωθούν σε τον ίδιο αριθμόμια φορά.

§ 145. Αλλαγή προϊόντος με μεταβολή συντελεστών.Όταν αλλάζουν οι παράγοντες, το γινόμενο των κλασματικών αριθμών θα αλλάξει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως το γινόμενο των ακεραίων (§ 53), δηλαδή: εάν αυξήσετε (ή μειώσετε) οποιονδήποτε παράγοντα πολλές φορές, τότε το γινόμενο θα αυξηθεί (ή θα μειωθεί) κατά το ίδιο ποσό.

Έτσι, αν στο παράδειγμα:
Για να πολλαπλασιάσουμε πολλά κλάσματα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές τους μεταξύ τους και τους παρονομαστές μεταξύ τους και να κάνουμε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο παρονομαστή του γινομένου.

Σχόλιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε τέτοια προϊόντα στα οποία ορισμένοι συντελεστές του αριθμού είναι ακέραιοι ή μικτοί, αν θεωρήσουμε τον ακέραιο αριθμό ως κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι ένα και μετατρέψουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα. Για παράδειγμα:
§ 147. Βασικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού.Στον πολλαπλασιασμό των κλασματικών αριθμών ανήκουν και αυτές οι ιδιότητες πολλαπλασιασμού που υποδείξαμε για τους ακέραιους αριθμούς (§ 56, 57, 59). Ας προσδιορίσουμε αυτές τις ιδιότητες.

1) Το προϊόν δεν αλλάζει από την αλλαγή των θέσεων των παραγόντων.

Για παράδειγμα:

Πράγματι, σύμφωνα με τον κανόνα της προηγούμενης παραγράφου, το πρώτο γινόμενο είναι ίσο με το κλάσμα και το δεύτερο ίσο με το κλάσμα. Αλλά αυτά τα κλάσματα είναι τα ίδια, επειδή τα μέλη τους διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των ακεραίων παραγόντων και το γινόμενο των ακεραίων δεν αλλάζει όταν οι παράγοντες αλλάζουν θέσεις.

2) Το προϊόν δεν θα αλλάξει εάν οποιαδήποτε ομάδα παραγόντων αντικατασταθεί από το προϊόν τους.

Για παράδειγμα:

Τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.

Από αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορεί κανείς να συναγάγει το ακόλουθο συμπέρασμα:

για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα γινόμενο, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με τον πρώτο παράγοντα, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό που προκύπτει με το δεύτερο και ούτω καθεξής.

Για παράδειγμα:
3) Ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού (σε σχέση με την πρόσθεση). Για να πολλαπλασιάσετε το άθροισμα με κάποιον αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο με αυτόν τον αριθμό χωριστά και να προσθέσετε τα αποτελέσματα.

Αυτός ο νόμος έχει εξηγηθεί από εμάς (§ 59) όπως εφαρμόζεται σε ακέραιους αριθμούς. Παραμένει αληθές χωρίς καμία αλλαγή για τους κλασματικούς αριθμούς.

Ας δείξουμε, μάλιστα, ότι η ισότητα

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση) παραμένει αληθής ακόμη και όταν τα γράμματα σημαίνουν κλασματικούς αριθμούς. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις.

1) Έστω πρώτα ότι ο παράγοντας m είναι ακέραιος, για παράδειγμα m = 3 (a, b, c είναι οποιοιδήποτε αριθμοί). Σύμφωνα με τον ορισμό του πολλαπλασιασμού με έναν ακέραιο, μπορεί κανείς να γράψει (περιορίζεται για απλότητα σε τρεις όρους):

(α + β + γ) * 3 = (α + β + γ) + (α + β + γ) + (α + β + γ).

Με βάση τον συνειρμικό νόμο της πρόσθεσης, μπορούμε να παραλείψουμε όλες τις αγκύλες στη δεξιά πλευρά. Εφαρμόζοντας τον μεταθετικό νόμο της πρόσθεσης, και μετά πάλι τον νόμο του συνδυασμού, μπορούμε προφανώς να ξαναγράψουμε τη δεξιά πλευρά ως εξής:

(α + α + α) + (β + β + β) + (γ + γ + γ).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Ως εκ τούτου, ο διανεμητικός νόμος σε αυτή την περίπτωση επιβεβαιώνεται.

Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό

Ενότητες:Μαθηματικά

Τ τύπος τάξης: ONZ (ανακάλυψη νέας γνώσης - σύμφωνα με την τεχνολογία της μεθόδου δραστηριότητας διδασκαλίας).

Εξαγωγή μεθόδων διαίρεσης ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Να σχηματίσει την ικανότητα να εκτελέσει τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Επαναλάβετε και ενοποιήστε τη διαίρεση των κλασμάτων.
Εκπαιδεύστε την ικανότητα μείωσης κλασμάτων, ανάλυσης και επίλυσης προβλημάτων.

Υλικό επίδειξης εξοπλισμού:

1. Εργασίες ενημέρωσης γνώσεων:

2. Δοκιμαστική (ατομική) εργασία.

1. Εκτελέστε διαίρεση:

2. Εκτελέστε τη διαίρεση χωρίς να εκτελέσετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών: .

Όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

Εάν ο αριθμητής διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό, τότε όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με αυτόν τον αριθμό, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

I. Κίνητρο (αυτοδιάθεση) για να μαθησιακές δραστηριότητες.

Οργανώστε την πραγματοποίηση των απαιτήσεων για τον μαθητή από την πλευρά των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων («πρέπει»).
Οργανώστε τις δραστηριότητες των μαθητών για τη δημιουργία ενός θεματικού πλαισίου («μπορώ»).
Να δημιουργηθούν συνθήκες ώστε ο μαθητής να έχει εσωτερική ανάγκη ένταξης σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες («θέλω»).

Οργάνωση εκπαιδευτική διαδικασίαστο στάδιο Ι.

Γειά σου! Χαίρομαι που σας βλέπω όλους στο μάθημα των μαθηματικών. Ελπίζω να είναι αμοιβαίο.

Παιδιά, τι νέες γνώσεις αποκτήσατε στο τελευταίο μάθημα; (Διαιρέστε τα κλάσματα).

Σωστά. Τι σας βοηθά να διαιρέσετε τα κλάσματα; (Κανόνας, ιδιότητες).

Πού χρειαζόμαστε αυτή τη γνώση; (Σε παραδείγματα, εξισώσεις, εργασίες).

Μπράβο! Τα πήγες καλά στο τελευταίο μάθημα. Θα θέλατε να ανακαλύψετε μόνοι σας νέες γνώσεις σήμερα; (Ναί).

Τοτε ΠΗΓΑΙΝΕ! Και το σύνθημα του μαθήματος είναι η δήλωση «Τα μαθηματικά δεν μαθαίνονται παρακολουθώντας πώς τα κάνει ο διπλανός σου!».

II. Πραγματοποίηση γνώσης και καθήλωση ατομικής δυσκολίας σε δοκιμαστική δράση.

Να οργανώσει την πραγματοποίηση των μελετημένων μεθόδων δράσης, επαρκείς για την οικοδόμηση νέας γνώσης. Διορθώστε αυτές τις μεθόδους προφορικά (στον λόγο) και συμβολικά (τυπικό) και γενικεύστε τις.
Οργανώστε την ενημέρωση νοητικές λειτουργίεςΚαι γνωστικές διαδικασίες, επαρκές για την οικοδόμηση νέας γνώσης.
κίνητρο για μια δοκιμαστική ενέργεια και την ανεξάρτητη εφαρμογή και αιτιολόγησή της.
Παρουσιάστε μια μεμονωμένη εργασία για μια δοκιμαστική ενέργεια και αναλύστε την προκειμένου να εντοπίσετε νέο εκπαιδευτικό περιεχόμενο.
Οργανώστε τη στερέωση του εκπαιδευτικού στόχου και του θέματος του μαθήματος.
Οργανώστε την υλοποίηση μιας δοκιμαστικής δράσης και διορθώστε τη δυσκολία.
Οργανώστε μια ανάλυση των απαντήσεων που ελήφθησαν και καταγράψτε μεμονωμένες δυσκολίες στην εκτέλεση μιας δοκιμαστικής ενέργειας ή στην αιτιολόγησή της.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο II.

Μπροστά, με χρήση tablet (ατομικοί πίνακες).

1. Συγκρίνετε εκφράσεις:

(Αυτές οι εκφράσεις είναι ίσες)

Τι ενδιαφέροντα πράγματα προσέξατε; (Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του μερίσματος, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρέτη σε κάθε παράσταση αυξάνονται κατά τον ίδιο αριθμό φορές. Έτσι, τα μερίσματα και οι διαιρέτες στις εκφράσεις παριστάνονται με κλάσματα που είναι ίσα μεταξύ τους).

Βρείτε τη σημασία της έκφρασης και σημειώστε την στο tablet. (2)

Πώς να γράψετε αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα;

Πώς εκτελέσατε τη δράση της διαίρεσης; (Τα παιδιά προφέρουν τον κανόνα, ο δάσκαλος κρεμάει γράμματα στον πίνακα)

2. Υπολογίστε και καταγράψτε μόνο τα αποτελέσματα:

3. Προσθέστε τα αποτελέσματά σας και γράψτε την απάντησή σας. (2)

Ποιο είναι το όνομα του αριθμού που λήφθηκε στην εργασία 3; (Φυσικός)

Πιστεύετε ότι μπορείτε να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ναι, θα προσπαθήσουμε)

Δοκιμάστε αυτό.

4. Ατομική (δοκιμαστική) εργασία.

Κάντε τη διαίρεση: (μόνο για παράδειγμα)

Ποιον κανόνα χρησιμοποιήσατε για να διαιρέσετε; (Σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης ενός κλάσματος με ένα κλάσμα)

Τώρα διαιρέστε το κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλό τρόπο, χωρίς να πραγματοποιηθεί ολόκληρη η αλυσίδα υπολογισμών: (παράδειγμα β). Σας δίνω 3 δευτερόλεπτα για αυτό.

Ποιος απέτυχε να ολοκληρώσει την εργασία σε 3 δευτερόλεπτα;

Ποιος το έκανε? (δεν υπάρχουν τέτοια)

Γιατί; (Δεν ξέρουμε τον τρόπο)

Τι πήρες? (Δυσκολία)

Τι πιστεύετε ότι θα κάνουμε στην τάξη; (Διαιρέστε τα κλάσματα με φυσικούς αριθμούς)

Σωστά, ανοίξτε τα τετράδιά σας και σημειώστε το θέμα του μαθήματος «Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό».

Γιατί αυτό το θέμα ακούγεται νέο όταν ξέρετε ήδη πώς να διαιρείτε τα κλάσματα; (Χρειάζομαι νέος τρόπος)

Σωστά. Σήμερα θα καθιερώσουμε μια τεχνική που απλοποιεί τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

III. Προσδιορισμός της θέσης και της αιτίας της δυσκολίας.

Οργανώστε την αποκατάσταση των ολοκληρωμένων λειτουργιών και καθορίστε (λεκτικό και συμβολικό) μέρος - βήμα, λειτουργία, όπου προέκυψε η δυσκολία.
Να οργανώσει τη συσχέτιση των ενεργειών των μαθητών με τη μέθοδο (αλγόριθμο) που χρησιμοποιήθηκε και την καθήλωση στην εξωτερική ομιλία της αιτίας της δυσκολίας - εκείνες τις συγκεκριμένες γνώσεις, δεξιότητες ή ικανότητες που δεν επαρκούν για να λύσουν το αρχικό πρόβλημα αυτού του τύπου.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο III.

Ποια εργασία έπρεπε να ολοκληρώσετε; (Διαιρέστε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χωρίς να κάνετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών)

Τι σας δυσκόλεψε; (Δεν μπορούσα να αποφασίσω για για λίγογρήγορος τρόπος)

Ποιος είναι ο σκοπός του μαθήματος μας; (Εύρημα γρήγορο τρόποδιαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό)

Τι θα σε βοηθήσει; (Ήδη γνωστός κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων)

IV. Κατασκευή του έργου εξόδου από δυσκολία.

Διευκρίνιση του σκοπού του έργου.
Επιλογή μεθόδου (διευκρίνιση).
Ορισμός κεφαλαίων (αλγόριθμος);
Χτίζοντας ένα σχέδιο για την επίτευξη του στόχου.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο IV.

Ας επιστρέψουμε στη δοκιμαστική περίπτωση. Είπατε ότι διαιρήσατε με τον κανόνα της διαίρεσης των κλασμάτων; (Ναί)

Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε έναν φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα; (Ναί)

Ποιο βήμα(α) πιστεύετε ότι μπορείτε να παραλείψετε;

(Η αλυσίδα της λύσης είναι ανοιχτή στον πίνακα:

Αναλύστε και βγάλτε συμπέρασμα. (Βήμα 1)

Εάν δεν υπάρχει απάντηση, τότε συνοψίζουμε μέσα από τις ερωτήσεις:

Πού πήγε ο φυσικός διαιρέτης; (στον παρονομαστή)

Έχει αλλάξει ο αριθμητής; (Οχι)

Ποιο βήμα λοιπόν μπορεί να «παραληφθεί»; (Βήμα 1)

Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Ο αριθμητής δεν αλλάζει.
Παίρνουμε ένα νέο κλάσμα.

V. Υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου.

Οργάνωση επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης για την υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου με στόχο την απόκτηση της γνώσης που λείπει.
Οργανώστε τη στερέωση της κατασκευασμένης μεθόδου δράσης στην ομιλία και τα σημάδια (με τη βοήθεια ενός προτύπου).
Οργανώστε τη λύση του αρχικού προβλήματος και καταγράψτε την υπέρβαση της δυσκολίας.
Κανονίστε διευκρίνιση γενικόςνέα γνώση.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο V.

Τώρα εκτελέστε γρήγορα τη δοκιμαστική θήκη με τον νέο τρόπο.

Μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία γρήγορα τώρα; (Ναί)

Εξηγήστε πώς το κάνατε; (Τα παιδιά μιλούν)

Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει νέα γνώση: τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Μπράβο! Πείτε το ανά δύο.

Στη συνέχεια ένας μαθητής μιλάει στην τάξη. Διορθώνουμε τον κανόνα-αλγόριθμο προφορικά και με τη μορφή προτύπου στον πίνακα.

Τώρα εισάγετε τους χαρακτηρισμούς των γραμμάτων και σημειώστε τον τύπο για τον κανόνα μας.

Ο μαθητής γράφει στον πίνακα, προφέροντας τον κανόνα: όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

(Όλοι γράφουν τον τύπο σε τετράδια).

Και τώρα αναλύστε για άλλη μια φορά την αλυσίδα επίλυσης της δοκιμαστικής εργασίας, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στην απάντηση. Τι έκαναν? (Ο αριθμητής του κλάσματος 15 διαιρέθηκε (μειώθηκε) με τον αριθμό 3)

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Φυσικό, διαιρέτης)

Πώς αλλιώς μπορείτε λοιπόν να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ελέγξτε: εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με αυτόν τον φυσικό αριθμό, τότε μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με αυτόν τον αριθμό, να γράψετε το αποτέλεσμα στον αριθμητή του νέου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο)

Γράψτε αυτή τη μέθοδο με τη μορφή τύπου. (Ο μαθητής σημειώνει τον κανόνα στον πίνακα. Όλοι σημειώνουν τον τύπο σε τετράδια.)

Ας επιστρέψουμε στην πρώτη μέθοδο. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν a:n; (Ναι αυτο γενικό τρόπο)

Και πότε είναι βολική η δεύτερη μέθοδος; (Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο)

VI. Πρωτογενής εμπέδωση με προφορά στον εξωτερικό λόγο.

Να οργανώσει την αφομοίωση από τα παιδιά μιας νέας μεθόδου δράσης κατά την επίλυση τυπικών προβλημάτων με την προφορά τους στην εξωτερική ομιλία (μετωπικά, σε ζευγάρια ή ομάδες).

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VI.

Υπολογίστε με νέο τρόπο:

Αρ. 363 (α; δ) - εκτελέστε στον μαυροπίνακα, προφέροντας τον κανόνα.
Νο. 363 (δ, στ) - σε ζεύγη με έλεγχο στο δείγμα.

VII. Ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο.

Να οργανώσει την ανεξάρτητη εκπλήρωση των καθηκόντων των μαθητών για έναν νέο τρόπο δράσης.
Οργανώστε τον αυτοέλεγχο με βάση τη σύγκριση με το πρότυπο.
Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της υλοποίησης ανεξάρτητη εργασίαοργανώσει μια αντανάκλαση της αφομοίωσης ενός νέου τρόπου δράσης.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VII.

Υπολογίστε με νέο τρόπο:

Οι μαθητές ελέγχουν το πρότυπο, σημειώνουν την ορθότητα της απόδοσης. Τα αίτια των σφαλμάτων αναλύονται και τα λάθη διορθώνονται.

Ο δάσκαλος ρωτά όσους μαθητές έκαναν λάθη, ποιος είναι ο λόγος;

Σε αυτό το στάδιο, είναι σημαντικό κάθε μαθητής να ελέγχει ανεξάρτητα την εργασία του.

Πριν λύσετε την εργασία 8) εξετάστε ένα παράδειγμα από το σχολικό βιβλίο:

IX. Αντανάκλαση μαθησιακών δραστηριοτήτων στην τάξη.

Οργανώστε τη στερέωση του νέου περιεχομένου που μελετάται στο μάθημα.
Οργανώστε μια στοχαστική ανάλυση των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων όσον αφορά την εκπλήρωση των απαιτήσεων που είναι γνωστές στους μαθητές.
Οργανώστε την αξιολόγηση των μαθητών για τις δικές τους δραστηριότητες στο μάθημα.
Οργανώστε τη στερέωση των ανεπίλυτων δυσκολιών στο μάθημα ως κατεύθυνση για μελλοντικές μαθησιακές δραστηριότητες.
Οργανώστε συζήτηση και καταγραφή των εργασιών για το σπίτι.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο ΙΧ.

Παιδιά, τι νέα γνώση ανακαλύψατε σήμερα; (Μάθαμε να διαιρούμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλό τρόπο)

Διατυπώστε έναν γενικό τρόπο. (Λένε)

Με ποιον τρόπο και σε ποιες περιπτώσεις μπορείτε ακόμα να το χρησιμοποιήσετε; (Λένε)

Ποιο είναι το πλεονέκτημα της νέας μεθόδου;

Έχουμε φτάσει στο στόχο του μαθήματος; (Ναί)

Ποιες γνώσεις χρησιμοποιήσατε για να πετύχετε τον στόχο; (Λένε)

Τα κατάφερες;

Ποιες ήταν οι δυσκολίες;

Για να πολλαπλασιάσετε σωστά ένα κλάσμα με ένα κλάσμα ή ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να γνωρίζετε απλούς κανόνες. Τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς αυτούς τους κανόνες.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και επίσης πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ φορές 3)(7 \ φορές 3) = \frac(4)(7)\\\)

Το κλάσμα \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) έχει μειωθεί κατά 3.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό.

Ας ξεκινήσουμε με τον κανόνα οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) μετατράπηκε σε μικτό κλάσμα.

Με άλλα λόγια, Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή.Παράδειγμα:

\(\frac(2)(5) \φορές 3 = \frac(2 \χρόνες 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Για να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα, πρέπει πρώτα να αναπαραστήσετε κάθε μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα πολλαπλασιασμού. Ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον αριθμητή, ο παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή.

Παράδειγμα:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \χρόνες 23) (4 \ φορές 6) = \frac(3 \ φορές \χρώμα (κόκκινο) (3) \ φορές 23) (4 \ φορές 2 \ φορές \χρώμα(κόκκινο) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Πολλαπλασιασμός αντίστροφων κλασμάτων και αριθμών.

Το κλάσμα \(\bf \frac(a)(b)\) είναι το αντίστροφο του κλάσματος \(\bf \frac(b)(a)\), με την προϋπόθεση a≠0,b≠0.
Τα κλάσματα \(\bf \frac(a)(b)\) και \(\bf \frac(b)(a)\) ονομάζονται αντίστροφα. Το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Παράδειγμα:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;
Απάντηση: το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων είναι ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή με τον αριθμητή, ο παρονομαστής με τον παρονομαστή. Για να πάρετε το γινόμενο μικτών κλασμάτων, πρέπει να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλο κλάσμα και να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες.

Πώς να πολλαπλασιάσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: δεν έχει σημασία αν είναι ίδιοι ή διαφορετικούς παρονομαστέςγια τα κλάσματα, ο πολλαπλασιασμός συμβαίνει σύμφωνα με τον κανόνα εύρεσης του γινομένου του αριθμητή με τον αριθμητή, του παρονομαστή με τον παρονομαστή.

Πώς να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να βρείτε το γινόμενο σύμφωνα με τους κανόνες του πολλαπλασιασμού.

Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα;
Απάντηση: Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο.

Παράδειγμα #1:
Υπολογίστε το γινόμενο: α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Λύση:
α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( κόκκινο) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Παράδειγμα #2:
Υπολογίστε το γινόμενο ενός αριθμού και ενός κλάσματος: α) \(3 \φορές \frac(17)(23)\) β) \(\frac(2)(3) \χρόνες 11\)

Λύση:
α) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
β) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \φορές 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Παράδειγμα #3:
Γράψτε το αντίστροφο του \(\frac(1)(3)\);
Απάντηση: \(\frac(3)(1) = 3\)

Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το γινόμενο δύο αμοιβαίων κλασμάτων: α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Λύση:
α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Παράδειγμα #5:
Τα αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα μπορούν να είναι:
α) και τα δύο σωστά κλάσματα.
β) ταυτόχρονα ακατάλληλα κλάσματα.
γ) φυσικοί αριθμοί ταυτόχρονα;

Λύση:
α) Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση. Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι σωστό, η αμοιβαία του θα είναι ίση με \(\frac(3)(2)\) - ένα ακατάλληλο κλάσμα. Απάντηση: όχι.

β) σε όλες σχεδόν τις απαριθμήσεις κλασμάτων, αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, αλλά υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που πληρούν την προϋπόθεση να είναι ταυτόχρονα ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, το ακατάλληλο κλάσμα είναι \(\frac(3)(3)\) , το αντίστροφό του είναι \(\frac(3)(3)\). Παίρνουμε δύο ακατάλληλα κλάσματα. Απάντηση: όχι πάντα υπό ορισμένες συνθήκες, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι.

γ) φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε, για παράδειγμα, 1, 2, 3, .... Αν πάρουμε τον αριθμό \(3 = \frac(3)(1)\), τότε το αντίστροφό του θα είναι \(\frac(1)(3)\). Το κλάσμα \(\frac(1)(3)\) δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν περάσουμε από όλους τους αριθμούς, το αντίστροφο είναι πάντα κλάσμα, εκτός από το 1. Αν πάρουμε τον αριθμό 1, τότε η αμοιβαία του θα είναι \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Ο αριθμός 1 είναι φυσικός αριθμός. Απάντηση: μπορούν να είναι ταυτόχρονα φυσικοί αριθμοί μόνο σε μία περίπτωση, αν αυτός ο αριθμός είναι 1.

Παράδειγμα #6:
Εκτελέστε το γινόμενο μικτών κλασμάτων: α) \(4 \πλάσιο 2\frac(4)(5)\) β) \(1\frac(1)(4) \χρόνες 3\frac(2)(7)\ )

Λύση:
α) \(4 \φορές 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
β) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Παράδειγμα #7:
Μπορούν δύο αμοιβαίοι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα μικτοί;

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα μικτό κλάσμα \(1\frac(1)(2)\), να βρούμε το αντίστροφό του, για αυτό το μεταφράζουμε σε ακατάλληλο κλάσμα \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Το αντίστροφό του θα είναι ίσο με \(\frac(2)(3)\) . Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι ένα σωστό κλάσμα. Απάντηση: Δύο αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα δεν μπορούν να αναμειγνύονται ταυτόχρονα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.

Ας γράψουμε κανόνας πολλαπλασιασμού για μεικτούς αριθμούς:

Πρώτον, οι μικτοί αριθμοί που πρόκειται να πολλαπλασιαστούν πρέπει να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα.
Δεύτερον, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Εκτελέστε πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και .

Πρώτον, αντιπροσωπεύουμε τους πολλαπλασιασμένους μικτούς αριθμούς ως ακατάλληλα κλάσματα: Και . Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών με τον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων: . Εφαρμόζοντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, παίρνουμε . Το κλάσμα που προκύπτει είναι μη αναγώγιμο (βλ. αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα), αλλά είναι λανθασμένο (βλ. κανονικά και ακατάλληλα κλάσματα), επομένως, για να λάβουμε την τελική απάντηση, μένει να εξαγάγουμε το ακέραιο μέρος από το ακατάλληλο κλάσμα: .

Ας γράψουμε ολόκληρη τη λύση σε μια γραμμή: .

Κάντε τον πολλαπλασιασμό.

Πολλαπλασιασμός μικτού και φυσικού αριθμού

Πολλαπλασιάστε τον μεικτό αριθμό και τον φυσικό αριθμό 45 .

Υπολογίστε το προϊόν.

Πολλαπλασιάστε τον μικτό αριθμό με το κοινό κλάσμα 4/15.

Αντικαθιστώντας τον μικτό αριθμό με ένα κλάσμα, παίρνουμε .

www.cleverstudents.ru

Πολλαπλασιασμός κλασματικών αριθμών

Για παράδειγμα:

Οι ορισμοί που δώσαμε μας επιτρέπουν να δώσουμε μια γενική απάντηση σε όλες αυτές τις πιθανές περιπτώσεις:

Τα 40 km πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τον δεδομένο αριθμό ωρών, όποια κι αν είναι αυτή.

Έτσι, εάν το πρόβλημα παρουσιάζεται σε γενική μορφή ως εξής:

Ένα τρένο που κινείται ομοιόμορφα ταξιδεύει v km ανά ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει το τρένο σε t ώρες;

§ 142. Σημείωση για το πότε αυξάνεται και πότε μειώνεται από τον πολλαπλασιασμό.

§ 143. Παραγωγή κανόνων πολλαπλασιασμού.

Σχόλιο. Το γινόμενο ενός κλάσματος και του παρονομαστή του είναι ίσο με τον αριθμητή του.

Μια τέτοια μείωση μπορεί να γίνει επειδή η τιμή ενός κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό φορές.

1) Το προϊόν δεν αλλάζει από την αλλαγή των θέσεων των παραγόντων.

Για παράδειγμα:

2) Το προϊόν δεν θα αλλάξει εάν οποιαδήποτε ομάδα παραγόντων αντικατασταθεί από το προϊόν τους.

Για παράδειγμα:

Τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.

Από αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορεί κανείς να συναγάγει το ακόλουθο συμπέρασμα:

Ας δείξουμε, μάλιστα, ότι η ισότητα

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(α + β + γ) * 3 = (α + β + γ) + (α + β + γ) + (α + β + γ).

(α + α + α) + (β + β + β) + (γ + γ + γ).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Ως εκ τούτου, ο διανεμητικός νόμος σε αυτή την περίπτωση επιβεβαιώνεται.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (δείτε το μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων»). Πλέον δύσκολη στιγμήσε εκείνες τις ενέργειες ήταν η αναγωγή των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμα πιο εύκολες από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, εξετάστε την απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διακεκριμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται σε πολλαπλασιασμό. Για να αναστρέψετε ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, ολόκληρο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα μειωμένο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν, μετά από όλες τις μειώσεις, το κλάσμα αποδείχθηκε λανθασμένο, θα πρέπει να διακρίνεται ολόκληρο το τμήμα σε αυτό. Αλλά αυτό που ακριβώς δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρούμενες μεθόδους, μέγιστους συντελεστές και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ακέραιο μέρος και αρνητικά κλάσματα

Αν υπάρχει σε κλάσματα ολόκληρο μέρος, πρέπει να μετατραπούν σε λανθασμένα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν υπάρχει μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τα όρια πολλαπλασιασμού ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Συν φορές το μείον δίνει μείον?
Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες συναντώνται μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν απαιτούνταν να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα προϊόν, μπορούν να γενικευθούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:

Σταυρώνουμε ανά δύο τα μειονεκτήματα μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε μια ακραία περίπτωση, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό που δεν βρήκε ταίριασμα.
Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Αν δεν διαγραφεί το τελευταίο μείον, αφού δεν βρήκε ζεύγος, το βγάζουμε από τα όρια πολλαπλασιασμού. Παίρνεις αρνητικό κλάσμα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μεταφράζουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά βγάζουμε τα μείον έξω από τα όρια πολλαπλασιασμού. Ό,τι απομένει πολλαπλασιάζεται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που έρχεται πριν από ένα κλάσμα με τονισμένο ακέραιο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο στο ακέραιο μέρος του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).

Προσοχή επίσης αρνητικούς αριθμούς: Όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε παρένθεση. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει πιο ακριβής η όλη σημειογραφία.

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πολύ επίπονη πράξη. Οι αριθμοί εδώ είναι αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε την εργασία, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε ακόμη περισσότερο το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι έχει απομείνει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Οι μονάδες παρέμειναν στη θέση τους, οι οποίες, σε γενικές γραμμές, μπορούν να παραλειφθούν. Στο δεύτερο παράδειγμα, δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί πλήρης μείωση, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Ωστόσο, σε καμία περίπτωση μην χρησιμοποιείτε αυτήν την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι κατά την προσθήκη ενός κλάσματος, το άθροισμα εμφανίζεται στον αριθμητή ενός κλάσματος και όχι στο γινόμενο των αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, καθώς αυτή η ιδιότητα ασχολείται ειδικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Απλώς δεν υπάρχει άλλος λόγος να μειωθούν τα κλάσματα, έτσι σωστή λύσηη προηγούμενη εργασία μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν και τόσο όμορφη. Γενικά, να είστε προσεκτικοί.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό.

Ας ξεκινήσουμε με τον κανόνα οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα \(\bf n = \frac \) .

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό.

Το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) μετατράπηκε σε μικτό κλάσμα.

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Πολλαπλασιασμός αντίστροφων κλασμάτων και αριθμών.

Πώς να πολλαπλασιάσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: δεν έχει σημασία αν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίδιοι ή διαφορετικοί, ο πολλαπλασιασμός συμβαίνει σύμφωνα με τον κανόνα για την εύρεση του γινόμενου του αριθμητή με τον αριθμητή, του παρονομαστή με τον παρονομαστή.

Παράδειγμα #1:
Υπολογίστε το γινόμενο: α) \(\frac \times \frac \) β) \(\frac \times \frac \)

Παράδειγμα #2:
Υπολογίστε το γινόμενο ενός αριθμού και ενός κλάσματος: α) \(3 \φορές \frac \) β) \(\frac \times 11\)

Παράδειγμα #3:
Γράψτε το αντίστροφο του κλάσματος \(\frac \);
Απάντηση: \(\frac = 3\)

Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το γινόμενο δύο αντίστροφων: α) \(\frac \times \frac \)

Λύση:
α) Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση. Το κλάσμα \(\frac \) είναι σωστό, η αμοιβαία του θα είναι ίση με \(\frac \) - ένα ακατάλληλο κλάσμα. Απάντηση: όχι.

β) σε όλες σχεδόν τις απαριθμήσεις κλασμάτων, αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, αλλά υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που πληρούν την προϋπόθεση να είναι ταυτόχρονα ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, το ακατάλληλο κλάσμα είναι \(\frac \) , το αντίστροφό του είναι \(\frac \). Παίρνουμε δύο ακατάλληλα κλάσματα. Απάντηση: όχι πάντα υπό ορισμένες συνθήκες, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι.

γ) φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε, για παράδειγμα, 1, 2, 3, .... Αν πάρουμε τον αριθμό \(3 = \frac \), τότε το αντίστροφό του θα είναι \(\frac \). Το κλάσμα \(\frac \) δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν περάσουμε από όλους τους αριθμούς, το αντίστροφο είναι πάντα κλάσμα, εκτός από το 1. Αν πάρουμε τον αριθμό 1, τότε το αντίστροφό του θα είναι \(\frac = \frac = 1\). Ο αριθμός 1 είναι φυσικός αριθμός. Απάντηση: μπορούν να είναι ταυτόχρονα φυσικοί αριθμοί μόνο σε μία περίπτωση, αν αυτός ο αριθμός είναι 1.

Παράδειγμα #6:
Εκτελέστε το γινόμενο των μικτών κλασμάτων: α) \(4 \φορές 2\frac \) β) \(1\frac \ φορές 3\frac \)

Λύση:
α) \(4 \ φορές 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
β) \(1\frac \ φορές 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Παράδειγμα #7:
Μπορούν δύο αμοιβαίοι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα μικτοί;

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα μικτό κλάσμα \(1\frac \), να βρούμε το αντίστροφό του, για αυτό το μεταφράζουμε σε ακατάλληλο κλάσμα \(1\frac = \frac \) . Το αντίστροφό του θα είναι ίσο με \(\frac \) . Το κλάσμα \(\frac \) είναι ένα σωστό κλάσμα. Απάντηση: Δύο αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα δεν μπορούν να αναμειγνύονται ταυτόχρονα.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με φυσικό αριθμό

Παρουσίαση για το μάθημα

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Με διασκεδαστικό τρόπο, εισαγάγετε στους μαθητές τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με μια μονάδα bit και τον κανόνα της έκφρασης ενός δεκαδικού κλάσματος ως ποσοστό. Να αναπτύξουν την ικανότητα εφαρμογής των γνώσεων που αποκτήθηκαν στην επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.
Ανάπτυξη και ενεργοποίηση λογική σκέψημαθητές, ικανότητα αναγνώρισης προτύπων και γενίκευσής τους, ενίσχυση της μνήμης, ικανότητα συνεργασίας, παροχής βοήθειας, αξιολόγησης της εργασίας τους και της εργασίας του άλλου.
Να καλλιεργήσουν ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, δραστηριότητα, κινητικότητα, ικανότητα επικοινωνίας.

Εξοπλισμός: διαδραστικός πίνακας, αφίσα με cyphergram, αφίσες με δηλώσεις μαθηματικών.

Οργάνωση χρόνου.
Η προφορική καταμέτρηση είναι μια γενίκευση του προηγουμένως μελετημένου υλικού, προετοιμασία για τη μελέτη νέου υλικού.
Επεξήγηση νέου υλικού.
Εργασία για το σπίτι.
Μαθηματική φυσική αγωγή.
Γενίκευση και συστηματοποίηση της αποκτηθείσας γνώσης στο φόρμα παιχνιδιούχρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή.
Βαθμολόγηση.

2. Παιδιά, σήμερα το μάθημά μας θα είναι κάπως ασυνήθιστο, γιατί δεν θα το περάσω μόνος μου, αλλά με τον φίλο μου. Και ο φίλος μου είναι επίσης ασυνήθιστος, τώρα θα τον δείτε. (Ένας υπολογιστής κινουμένων σχεδίων εμφανίζεται στην οθόνη.) Ο φίλος μου έχει όνομα και μπορεί να μιλήσει. Πώς σε λένε φίλε; Ο Κομπόσα απαντά: «Με λένε Κομπόσα». Είστε έτοιμοι να με βοηθήσετε σήμερα; ΝΑΙ! Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε το μάθημα.

Σήμερα έλαβα ένα κρυπτογραφημένο cyphergram, παιδιά, το οποίο πρέπει να λύσουμε και να αποκρυπτογραφήσουμε μαζί. (Μια αφίσα έχει αναρτηθεί στον πίνακα με προφορικό λογαριασμό για πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, με αποτέλεσμα τα παιδιά να παίρνουν τον παρακάτω κωδικό 523914687. )

Το Komposha βοηθά στην αποκρυπτογράφηση του λαμβανόμενου κώδικα. Ως αποτέλεσμα της αποκωδικοποίησης, προκύπτει η λέξη ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ. Ο πολλαπλασιασμός είναι λέξη-κλειδίθέματα του σημερινού μαθήματος. Το θέμα του μαθήματος εμφανίζεται στην οθόνη: "Πολλαπλασιάζοντας ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό"

Παιδιά, ξέρουμε πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών. Σήμερα θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών αριθμών με έναν φυσικό αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των όρων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με αυτό το δεκαδικό κλάσμα και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με αυτόν τον φυσικό αριθμό. Για παράδειγμα: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Άρα 5,21 3 = 15,63. Αντιπροσωπεύοντας το 5,21 ως ένα συνηθισμένο κλάσμα ενός φυσικού αριθμού, παίρνουμε

Και σε αυτή την περίπτωση, πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα 15,63. Τώρα, αγνοώντας το κόμμα, ας πάρουμε τον αριθμό 521 αντί για τον αριθμό 5,21 και ας πολλαπλασιάσουμε με τον δεδομένο φυσικό αριθμό. Εδώ πρέπει να θυμόμαστε ότι σε έναν από τους παράγοντες το κόμμα μετακινείται δύο θέσεις προς τα δεξιά. Πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς 5, 21 και 3, παίρνουμε γινόμενο ίσο με 15,63. Τώρα, σε αυτό το παράδειγμα, θα μετακινήσουμε το κόμμα προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία. Έτσι, κατά πόσες φορές αυξήθηκε ένας από τους παράγοντες, το προϊόν μειώθηκε κατά τόσες φορές. Με βάση τα παρόμοια σημεία αυτών των μεθόδων, καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα.

Να πολλαπλασιαστούν δεκαδικόςσε έναν φυσικό αριθμό, χρειάζεστε:
1) αγνοώντας το κόμμα, εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών.
2) στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε με κόμμα στα δεξιά όσους χαρακτήρες υπάρχουν σε ένα δεκαδικό κλάσμα.

Στην οθόνη εμφανίζονται τα ακόλουθα παραδείγματα, τα οποία αναλύουμε μαζί με την Komposha και τα παιδιά: 5,21 3 = 15,63 και 7,624 15 = 114,34. Αφού δείξω τον πολλαπλασιασμό με έναν στρογγυλό αριθμό 12,6 50 \u003d 630. Στη συνέχεια, στρέφομαι στον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με μια μονάδα bit. Δείχνω τα ακόλουθα παραδείγματα: 7.423 100 \u003d 742.3 και 5.2 1000 \u003d 5200. Έτσι, εισάγω τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με μια μονάδα bit:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με τις μονάδες bit 10, 100, 1000, κ.λπ., είναι απαραίτητο να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά σε αυτό το κλάσμα με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στην εγγραφή της μονάδας bit.

Τελειώνω την εξήγηση με την έκφραση ενός δεκαδικού κλάσματος ως ποσοστό. Εισάγω τον κανόνα:

Για να εκφράσετε ένα δεκαδικό ως ποσοστό, πολλαπλασιάστε το επί 100 και προσθέστε το σύμβολο %.

Δίνω ένα παράδειγμα σε υπολογιστή 0,5 100 = 50 ή 0,5 = 50%.

4. Στο τέλος της εξήγησης, δίνω τα παιδιά εργασία για το σπίτι, το οποίο εμφανίζεται επίσης στην οθόνη του υπολογιστή: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Για να ξεκουραστούν λίγο τα παιδιά, να εμπεδώσουμε το θέμα, κάνουμε μια συνεδρία μαθηματικής φυσικής αγωγής μαζί με τον Komposha. Όλοι σηκώνονται όρθιοι, δείχνουν στην τάξη τα λυμένα παραδείγματα και πρέπει να απαντήσουν αν το παράδειγμα είναι σωστό ή λάθος. Αν το παράδειγμα λυθεί σωστά, τότε σηκώνουν τα χέρια τους πάνω από τα κεφάλια τους και χτυπούν τις παλάμες τους. Εάν το παράδειγμα δεν λυθεί σωστά, τα παιδιά τεντώνουν τα χέρια τους στα πλάγια και ζυμώνουν τα δάχτυλά τους.

6. Και τώρα έχετε λίγη ξεκούραση, μπορείτε να λύσετε τις εργασίες. Ανοίξτε το σχολικό σας βιβλίο στη σελίδα 205, № 1029. σε αυτήν την εργασία είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Οι εργασίες εμφανίζονται στον υπολογιστή. Καθώς επιλύονται, εμφανίζεται μια εικόνα με την εικόνα ενός σκάφους, το οποίο, όταν συναρμολογηθεί πλήρως, φεύγει μακριά.

Επιλύοντας αυτήν την εργασία σε έναν υπολογιστή, ο πύραυλος αναπτύσσεται σταδιακά, λύνοντας το τελευταίο παράδειγμα, ο πύραυλος πετά μακριά. Ο δάσκαλος δίνει λίγες πληροφορίες στους μαθητές: «Κάθε χρόνο από τη γη του Καζακστάν από το κοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ απογειώνονται στα αστέρια διαστημόπλοια. Κοντά στο Μπαϊκονούρ, το Καζακστάν κατασκευάζει το νέο του κοσμοδρόμιο Baiterek.

Πόσο μακριά θα διανύσει ένα αυτοκίνητο σε 4 ώρες εάν η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι 74,8 km/h.

Δωροεπιταγή Δεν ξέρετε τι να δώσετε στους σημαντικούς σας άλλους, φίλους, υπαλλήλους, συγγενείς; Επωφεληθείτε από την ειδική προσφορά μας: "Δωροεπιταγή του Blue Osoka Country Hotel". Το πιστοποιητικό […]

Αντικατάσταση μετρητή αερίου: κανόνες κόστους και αντικατάστασης, διάρκεια ζωής, λίστα εγγράφων Κάθε ιδιοκτήτης ακινήτου ενδιαφέρεται για την απόδοση υψηλής ποιότητας ενός μετρητή αερίου. Εάν δεν το αντικαταστήσετε εγκαίρως, τότε [...]

Επιδόματα τέκνων στο Κρασνοντάρ και Επικράτεια Κρασνοντάρτο 2018 Ο πληθυσμός του θερμού (σε σύγκριση με πολλές άλλες περιοχές της Ρωσίας) Κουμπάν αυξάνεται συνεχώς λόγω της μετανάστευσης και της αύξησης του ποσοστού γεννήσεων. Ωστόσο, οι αρχές του θέματος […]

Σύνταξη αναπηρίας στρατιωτικού προσωπικού το 2018 Η στρατιωτική θητεία είναι μια δραστηριότητα που χαρακτηρίζεται από ιδιαίτερους κινδύνους για την υγεία. Γιατί ο νόμος Ρωσική Ομοσπονδίαυπό την προϋπόθεση Ειδικές καταστάσειςσυντήρηση ατόμων με αναπηρία, […]

Επιδόματα τέκνων στη Σαμαρά και Περιοχή Σαμάρατο 2018 Τα επιδόματα ανηλίκων στην περιοχή Σαμάρα προορίζονται για πολίτες που μεγαλώνουν παιδιά προσχολικής ηλικίας και μαθητές. Κατά την κατανομή κεφαλαίων, όχι μόνο […]

Παροχή συντάξεων για τους κατοίκους του Κρασνοντάρ και της Επικράτειας του Κρασνοντάρ το 2018 Τα άτομα με αναπηρία που αναγνωρίζονται ως τέτοια από το νόμο λαμβάνουν υλική υποστήριξη από το κράτος. Αίτηση για τον προϋπολογισμό […]

Παροχή συντάξεων για τους κατοίκους του Τσελιάμπινσκ και Περιφέρεια Τσελιάμπινσκτο 2018 Σε κάποια ηλικία οι πολίτες δικαιούνται συντάξεις. Είναι διαφορετικό και οι προϋποθέσεις του ραντεβού ποικίλλουν. Π.χ, […]

Επιδόματα παιδιού στην περιοχή της Μόσχας το 2018 Η κοινωνική πολιτική της περιοχής της Μόσχας στοχεύει στον εντοπισμό οικογενειών που χρειάζονται πρόσθετη υποστήριξη από το ταμείο. Ομοσπονδιακά μέτρα στήριξης για οικογένειες με παιδιά το 2018 […]

Ο πολλαπλασιασμός ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα είναι μια απλή εργασία. Υπάρχουν όμως λεπτές αποχρώσεις που μάλλον καταλάβατε στο σχολείο, αλλά έκτοτε τις έχετε ξεχάσει.

Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα - μερικούς όρους

Αν θυμάστε τι είναι ο αριθμητής και ο παρονομαστής και πώς διαφέρει ένα σωστό κλάσμα από ένα ακατάλληλο, παραλείψτε αυτήν την παράγραφο. Είναι για όσους έχουν ξεχάσει εντελώς τη θεωρία.

Ο αριθμητής είναι πάνω μέροςτα κλάσματα είναι αυτά που χωρίζουμε. Ο παρονομαστής είναι ο κάτω. Αυτό μοιραζόμαστε.
Σωστό κλάσμα είναι εκείνο του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Ακατάλληλο κλάσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου με ένα κλάσμα είναι πολύ απλός - πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον ακέραιο και δεν αγγίζουμε τον παρονομαστή. Για παράδειγμα: δύο πολλαπλασιαζόμενα επί ένα πέμπτο - παίρνουμε δύο πέμπτα. Τέσσερις φορές τρία δέκατα έκτα είναι δώδεκα δέκατα έκτα.

Μείωση

Στο δεύτερο παράδειγμα, το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να μειωθεί.
Τι σημαίνει? Σημειώστε ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος διαιρούνται με το τέσσερα. Η διαίρεση και των δύο αριθμών με έναν κοινό διαιρέτη ονομάζεται μείωση του κλάσματος. Παίρνουμε τρία τέταρτα.

Ακατάλληλα κλάσματα

Ας υποθέσουμε όμως ότι πολλαπλασιάζουμε τέσσερις φορές δύο πέμπτα. Πήρε οκτώ πέμπτα. Αυτό είναι το λάθος κλάσμα.
Πρέπει να φέρει τη σωστή μορφή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να επιλέξετε ένα ολόκληρο μέρος από αυτό.
Εδώ πρέπει να χρησιμοποιήσετε διαίρεση με υπόλοιπο. Παίρνουμε ένα και τρία στο υπόλοιπο.
Ένα ολόκληρο και τρία πέμπτα είναι το σωστό μας κλάσμα.

Η διόρθωση των τριάντα πέντε όγδοων είναι λίγο πιο δύσκολη.Ο πλησιέστερος αριθμός στο τριάντα επτά που διαιρείται με το οκτώ είναι τριάντα δύο. Όταν χωρίσουμε, παίρνουμε τέσσερα. Αφαιρούμε τριάντα δύο από τα τριάντα πέντε - παίρνουμε τρία. Αποτέλεσμα: τέσσερα ολόκληρα και τρία όγδοα.

Ισότητα αριθμητή και παρονομαστή. Και εδώ όλα είναι πολύ απλά και όμορφα. Όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα.

) και ο παρονομαστής με τον παρονομαστή (παίρνουμε τον παρονομαστή του προϊόντος).

Τύπος πολλαπλασιασμού κλασμάτων:

Για παράδειγμα:

Πριν προχωρήσετε στον πολλαπλασιασμό αριθμητών και παρονομαστών, είναι απαραίτητο να ελέγξετε για τη δυνατότητα μείωσης του κλάσματος. Εάν καταφέρετε να μειώσετε το κλάσμα, τότε θα είναι πιο εύκολο για σας να συνεχίσετε να κάνετε υπολογισμούς.

Διαίρεση συνηθισμένου κλάσματος με κλάσμα.

Διαίρεση κλασμάτων που περιλαμβάνουν φυσικό αριθμό.

Δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο φαίνεται. Όπως και στην περίπτωση της πρόσθεσης, μετατρέπουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα με μονάδα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων (μικτοί):

μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα.
πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων.
μειώνουμε το κλάσμα?
αν πάρουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσετε ένα μικτό κλάσμα με ένα άλλο μικτό κλάσμα, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ο δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσουμε τον αριθμητή αμετάβλητο.

Από το παραπάνω παράδειγμα, είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή είναι πιο βολική για χρήση όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Πολυεπίπεδα κλάσματα.

Στο γυμνάσιο, συχνά συναντώνται τριώροφα (ή περισσότερα) κλάσματα. Παράδειγμα:

Για να φέρει ένα τέτοιο κλάσμα στη συνηθισμένη του μορφή, χρησιμοποιείται διαίρεση σε 2 σημεία:

Σημείωση!Κατά τη διαίρεση των κλασμάτων, η σειρά διαίρεσης είναι πολύ σημαντική. Προσέξτε, είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Σημείωση, Για παράδειγμα:

Κατά τη διαίρεση ενός με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο:

Πρακτικές συμβουλές για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση κλασμάτων:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα στην εργασία με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή. Κάντε όλους τους υπολογισμούς προσεκτικά και με ακρίβεια, συγκεντρωμένα και καθαρά. Είναι καλύτερα να γράψετε μερικές επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδευτείτε στους υπολογισμούς στο κεφάλι σας.

2. Σε εργασίες με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε στη μορφή συνηθισμένων κλασμάτων.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να μην είναι πλέον δυνατή η μείωση.

4. Φέρνουμε κλασματικές εκφράσεις πολλαπλών επιπέδων σε συνηθισμένες, χρησιμοποιώντας διαίρεση σε 2 σημεία.

5. Χωρίζουμε τη μονάδα σε κλάσμα στο μυαλό μας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.