Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Η προσθήκη κλασμάτων είναι δύο τύπων:
- Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
- Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:
Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα και .
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι όχι κατάλληλο κλάσμα. Εάν έρθει το τέλος της εργασίας, τότε είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας ολόκληρο μέροςξεχωρίζει εύκολα - δύο διαιρούμενα με δύο ισούται με ένα:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:
Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .
Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε πίτσες:
Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.
Όπως μπορείτε να δείτε, η προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι δύσκολη. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Τώρα θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν ταυτόχρονα, επειδή αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.
Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι αναζητείται πρώτα (LCM) από τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.
Τότε οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα και
Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6
LCM (2 και 3) = 6
Τώρα πίσω στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.
Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώνουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.
Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:
Τώρα είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Έτσι τελειώνει το παράδειγμα. Για να προσθέσω αποδεικνύεται.
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο της πίτσας:
Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).
Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Συνδυάζοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως έχουμε επισημάνει το ακέραιο μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μία ολόκληρη πίτσα και άλλη έκτη πίτσα).
Σημειώστε ότι έχουμε ζωγραφίσει αυτό το παράδειγμα με πάρα πολλές λεπτομέρειες. ΣΤΟ Εκπαιδευτικά ιδρύματαδεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόσο λεπτομερή τρόπο. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν από τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:
Υπάρχει όμως και η άλλη όψη του νομίσματος. Εάν δεν γίνονται αναλυτικές σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε ερωτήσεις του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.
Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:
- Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
- Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
- Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω οδηγίες.
Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων
Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4
Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Πήραμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Πήραμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές σας
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές μας:
Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτω:
Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.
Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος σε αυτό
Η απάντησή μας είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να ξεχωρίσουμε ολόκληρο το κομμάτι του. Τονίζουμε:
Πήρε μια απάντηση
Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:
- Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
- Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες:
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
- Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά ένα κλάσμα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο δεύτερο κλάσμα.
Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Αρχικά, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12
LCM (3 και 4) = 12
Τώρα πίσω στα κλάσματα και
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο πρώτο κλάσμα:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τριπλό στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα είμαστε όλοι έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Πήρε μια απάντηση
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες.
Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Όντας στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με πιο σύντομο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:
Η αναγωγή των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν στα ίδια κλάσματα (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):
Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:
Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.
Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:
Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο εύκολο. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα.
Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (gcd) τους αριθμούς 20 και 30.
Έτσι, βρίσκουμε το GCD των αριθμών 20 και 30:
Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το GCD που βρέθηκε, δηλαδή με το 10
Πήρε μια απάντηση
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με τον αριθμό 1.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1
Η είσοδος μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη μισού 1 χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα 1 φορά, θα πάρετε πίτσα
Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού, γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής ανταλλάσσονται, τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:
Αυτή η καταχώρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη του μισού της μονάδας. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσες 4 φορές, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες.
Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε θέσεις, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.
Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Πήρε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:
Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:
Θα πάρουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει μια πίτσα χωρισμένη σε τρία μέρη:
Μια φέτα από αυτή την πίτσα και οι δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:
Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η αξία της έκφρασης είναι
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα είναι καλό αν μειωθεί. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.
Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD που βρήκαμε τώρα, δηλαδή, με το 15
Αναπαράσταση ακέραιου ως κλάσματος
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Από αυτό, το πέντε δεν θα αλλάξει το νόημά του, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:
Αντίστροφοι αριθμοί
Τώρα θα εξοικειωθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».
Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει μια μονάδα.
Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μια μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:
Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει μια μονάδα.
Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε το πέντε ως κλάσμα:
Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:
Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα από αυτό; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:
Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιαστεί με ένα, προκύπτει ένα.
Το αντίστροφο μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.
Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αναποδογυρίσετε.
Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό
Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόσες πίτσες θα πάρει ο καθένας;
Μπορεί να φανεί ότι μετά το χωρισμό της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.
Η διαίρεση των κλασμάτων γίνεται με τη χρήση αντίστροφων. Τα αντίστροφα σάς επιτρέπουν να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό.
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, θα γράψουμε τη διαίρεση της μισής μας πίτσας σε δύο μέρη.
Επομένως, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με τον αριθμό 2. Εδώ το μέρισμα είναι κλάσμα και ο διαιρέτης είναι 2.
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με τον αριθμό 2, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη 2. Το αντίστροφο του διαιρέτη 2 είναι ένα κλάσμα. Πρέπει λοιπόν να πολλαπλασιάσετε με
Οι συνηθισμένοι κλασματικοί αριθμοί συναντούν για πρώτη φορά μαθητές της 5ης τάξης και τους συνοδεύουν σε όλη τους τη ζωή, αφού στην καθημερινή ζωή είναι συχνά απαραίτητο να εξετάσουμε ή να χρησιμοποιήσουμε κάποιο αντικείμενο όχι εντελώς, αλλά σε ξεχωριστά κομμάτια. Η αρχή της μελέτης αυτού του θέματος - κοινή χρήση. Οι μετοχές είναι ίσα μέρηστο οποίο χωρίζεται ένα αντικείμενο. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να εκφραστεί, για παράδειγμα, το μήκος ή η τιμή ενός προϊόντος ως ακέραιος· θα πρέπει να ληφθούν υπόψη μέρη ή μερίδια οποιουδήποτε μέτρου. Σχηματίστηκε από το ρήμα "συντρίβω" - χωρίζω σε μέρη και έχοντας αραβικές ρίζες, τον VIII αιώνα η ίδια η λέξη "κλάσμα" εμφανίστηκε στα ρωσικά.
Οι κλασματικές εκφράσεις θεωρούνται από καιρό το πιο δύσκολο τμήμα των μαθηματικών. Τον 17ο αιώνα, όταν εμφανίστηκαν τα πρώτα σχολικά βιβλία στα μαθηματικά, ονομάζονταν «σπασμένοι αριθμοί», κάτι που ήταν πολύ δύσκολο να εμφανιστεί στην κατανόηση των ανθρώπων.
μοντέρνα εμφάνισηαπλά κλασματικά υπολείμματα, μέρη των οποίων χωρίζονται με ακρίβεια με μια οριζόντια γραμμή, συνεισέφεραν για πρώτη φορά στο Fibonacci - Leonardo της Πίζας. Τα γραπτά του χρονολογούνται στο 1202. Όμως ο σκοπός αυτού του άρθρου είναι να εξηγήσει απλά και ξεκάθαρα στον αναγνώστη πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ποικιλίες κλασμάτων:
- σωστός;
- λανθασμένος;
- μικτός.
Στη συνέχεια, πρέπει να θυμάστε πώς πολλαπλασιάζονται οι κλασματικοί αριθμοί με τους ίδιους παρονομαστές. Ο ίδιος ο κανόνας αυτής της διαδικασίας είναι εύκολο να διατυπωθεί ανεξάρτητα: το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού απλών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές είναι μια κλασματική έκφραση, ο αριθμητής της οποίας είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων . Δηλαδή, στην πραγματικότητα, ο νέος παρονομαστής είναι το τετράγωνο ενός από τα υπάρχοντα αρχικά.
Κατά τον πολλαπλασιασμό απλά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστέςγια δύο ή περισσότερους παράγοντες, ο κανόνας δεν αλλάζει:
ένα/σι * ντο/ρε = μετα Χριστον / β*δ.
Η μόνη διαφορά είναι ότι ο αριθμός που σχηματίζεται κάτω από την κλασματική ευθεία θα είναι το γινόμενο διαφορετικών αριθμών και, φυσικά, το τετράγωνο του ενός αριθμητική παράστασηείναι αδύνατο να το ονομάσουμε.
Αξίζει να εξεταστεί ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές χρησιμοποιώντας παραδείγματα:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Τα παραδείγματα χρησιμοποιούν τρόπους μείωσης των κλασματικών εκφράσεων. Μπορείτε να μειώσετε μόνο τους αριθμούς του αριθμητή με τους αριθμούς του παρονομαστή· οι παρακείμενοι παράγοντες πάνω ή κάτω από την κλασματική γραμμή δεν μπορούν να μειωθούν.
Μαζί με τους απλούς κλασματικούς αριθμούς, υπάρχει η έννοια των μικτών κλασμάτων. Ένας μικτός αριθμός αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος, δηλαδή είναι το άθροισμα αυτών των αριθμών:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Πώς λειτουργεί ο πολλαπλασιασμός;
Πολλά παραδείγματα παρέχονται προς εξέταση.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Το παράδειγμα χρησιμοποιεί τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με συνηθισμένο κλασματικό μέρος, μπορείτε να γράψετε τον κανόνα για αυτήν την ενέργεια με τον τύπο:
ένα * σι/ντο = α*β /ντο.
Στην πραγματικότητα, ένα τέτοιο γινόμενο είναι το άθροισμα των πανομοιότυπων κλασματικών υπολειμμάτων και ο αριθμός των όρων δείχνει αυτό φυσικός αριθμός. Ειδική περίπτωση:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Υπάρχει μια άλλη επιλογή για την επίλυση του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με ένα κλασματικό υπόλοιπο. Απλά πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό:
ρε* μι/φά = μι/στ: δ.
Είναι χρήσιμο να χρησιμοποιήσετε αυτήν την τεχνική όταν ο παρονομαστής διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο ή, όπως λένε, εντελώς.
Μετατρέψτε μεικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα και λάβετε το γινόμενο με τον τρόπο που περιγράφηκε προηγουμένως:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Αυτό το παράδειγμα περιλαμβάνει μια μέθοδο αναπαράστασης μικτό κλάσμασε λάθος, μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως γενικός τύπος:
ένα σιντο = α*β+ c / c, όπου ο παρονομαστής του νέου κλάσματος σχηματίζεται πολλαπλασιάζοντας το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή και προσθέτοντάς το στον αριθμητή του αρχικού κλασματικού υπολοίπου και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.
Αυτή η διαδικασία λειτουργεί και αντίστροφα. Για να επιλέξετε το ακέραιο μέρος και το κλασματικό υπόλοιπο, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή ενός ακατάλληλου κλάσματος με τον παρονομαστή του με μια "γωνία".
Πολλαπλασιασμός ακατάλληλων κλασμάτωνπαράγονται με τον συνήθη τρόπο. Όταν η καταχώριση πηγαίνει κάτω από μια κλασματική γραμμή, όπως είναι απαραίτητο, πρέπει να μειώσετε τα κλάσματα για να μειώσετε τους αριθμούς χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο και είναι ευκολότερο να υπολογίσετε το αποτέλεσμα.
Υπάρχουν πολλοί βοηθοί στο Διαδίκτυο για την επίλυση ακόμη και πολύπλοκων μαθηματικών προβλημάτων σε διάφορες παραλλαγές προγραμμάτων. Ένας επαρκής αριθμός τέτοιων υπηρεσιών προσφέρει τη βοήθειά τους στον υπολογισμό του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων με διαφορετικούς αριθμούς στους παρονομαστές - τους λεγόμενους διαδικτυακούς υπολογιστές για τον υπολογισμό των κλασμάτων. Είναι σε θέση όχι μόνο να πολλαπλασιάζουν, αλλά και να εκτελούν όλες τις άλλες απλές αριθμητικές πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα και μεικτούς αριθμούς. Δεν είναι δύσκολο να δουλέψετε μαζί του, τα αντίστοιχα πεδία συμπληρώνονται στη σελίδα του ιστότοπου, επιλέγεται το σύμβολο της μαθηματικής ενέργειας και πατιέται το "υπολογισμός". Το πρόγραμμα μετράει αυτόματα.
Το θέμα των αριθμητικών πράξεων με κλασματικούς αριθμούς είναι σχετικό σε όλη την εκπαίδευση των μαθητών μέσης και ανώτερης ηλικίας. Στο γυμνάσιο, δεν εξετάζουν πλέον τα πιο απλά είδη, αλλά ακέραιες κλασματικές εκφράσεις, αλλά η γνώση των κανόνων μετασχηματισμού και υπολογισμών, που αποκτήθηκαν νωρίτερα, εφαρμόζεται στην αρχική της μορφή. Οι καλά μαθημένες βασικές γνώσεις δίνουν πλήρη εμπιστοσύνη στην επιτυχή επίλυση των πιο περίπλοκων εργασιών.
Εν κατακλείδι, είναι λογικό να παραθέσουμε τα λόγια του Λέοντος Τολστόι, ο οποίος έγραψε: «Ο άνθρωπος είναι ένα κλάσμα. Δεν είναι στη δύναμη του ανθρώπου να αυξήσει τον αριθμητή του - τα δικά του πλεονεκτήματα, αλλά ο καθένας μπορεί να μειώσει τον παρονομαστή του - τη γνώμη του για τον εαυτό του, και με αυτή τη μείωση να πλησιάσει την τελειότητά του.
Με τα κλάσματα, μπορείτε να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης. Αυτό το άρθρο δείχνει τη διαίρεση συνηθισμένα κλάσματα. Θα δοθούν ορισμοί, θα εξεταστούν παραδείγματα. Ας σταθούμε στη διαίρεση των κλασμάτων με τους φυσικούς αριθμούς και το αντίστροφο. Θα ληφθεί υπόψη η διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν μικτό αριθμό.
Διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων
Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Κατά τη διαίρεση, ο άγνωστος παράγοντας βρίσκεται στο γνωστό γινόμενο και ένας άλλος παράγοντας, όπου η δεδομένη σημασία του διατηρείται με συνηθισμένα κλάσματα.
Εάν είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το συνηθισμένο κλάσμα a b με c d, τότε για να προσδιορίσετε έναν τέτοιο αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τον διαιρέτη c d, αυτό θα δώσει τελικά το μέρισμα a b. Ας πάρουμε έναν αριθμό και ας τον γράψουμε a b · d c , όπου d c είναι το αντίστροφο του c d αριθμού. Οι ισότητες μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, δηλαδή: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , όπου η παράσταση a b d c είναι το πηλίκο της διαίρεσης του a b με το c d .
Από εδώ λαμβάνουμε και διατυπώνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:
Ορισμός 1
Για να διαιρέσουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα a b με c d, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Ας γράψουμε τον κανόνα ως έκφραση: α β: γ δ = α β δ γ
Οι κανόνες της διαίρεσης ανάγονται σε πολλαπλασιασμό. Για να τηρήσετε αυτό, πρέπει να είστε καλά γνώστες στον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων.
Ας περάσουμε στη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων.
Παράδειγμα 1
Εκτελέστε διαίρεση 9 7 επί 5 3 . Γράψε το αποτέλεσμα ως κλάσμα.
Λύση
Ο αριθμός 5 3 είναι ο αντίστροφος του 3 5 . Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Γράφουμε αυτήν την έκφραση ως εξής: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Απάντηση: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Όταν μειώνετε τα κλάσματα, θα πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος εάν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Παράδειγμα 2
Διαιρέστε 8 15: 24 65 . Γράψε την απάντηση ως κλάσμα.
Λύση
Η λύση είναι η μετάβαση από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Το γράφουμε με αυτή τη μορφή: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Είναι απαραίτητο να κάνετε μια μείωση και αυτό γίνεται ως εξής: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Επιλέγουμε το ακέραιο μέρος και παίρνουμε 13 9 = 1 4 9 .
Απάντηση: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Διαίρεση έκτακτου κλάσματος με φυσικό αριθμό
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαίρεσης ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: για να διαιρέσετε το b με έναν φυσικό αριθμό n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε μόνο τον παρονομαστή με το n. Από εδώ παίρνουμε την έκφραση: a b: n = a b · n .
Ο κανόνας της διαίρεσης είναι συνέπεια του κανόνα του πολλαπλασιασμού. Επομένως, η αναπαράσταση ενός φυσικού αριθμού ως κλάσματος θα δώσει μια ισότητα αυτού του τύπου: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Θεωρήστε αυτή τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό.
Παράδειγμα 3
Διαιρέστε το κλάσμα 1645 με τον αριθμό 12.
Λύση
Εφαρμόστε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό. Λαμβάνουμε μια έκφραση όπως 16 45: 12 = 16 45 12 .
Ας μειώσουμε το κλάσμα. Παίρνουμε 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Απάντηση: 16 45: 12 = 4 135 .
Διαίρεση φυσικού αριθμού με κοινό κλάσμα
Ο κανόνας της διαίρεσης είναι παρόμοιος σχετικά μεο κανόνας της διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα: για να διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό n με ένα συνηθισμένο a b, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό n με το αντίστροφο του κλάσματος a b .
Με βάση τον κανόνα, έχουμε n: a b \u003d n b a, και χάρη στον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα, παίρνουμε την έκφρασή μας με τη μορφή n: a b \u003d n b a. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αυτή τη διαίρεση με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 4
Διαιρέστε το 25 με το 15 28 .
Λύση
Πρέπει να περάσουμε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Γράφουμε με τη μορφή έκφρασης 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Ας μειώσουμε το κλάσμα και ας πάρουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή κλάσματος 46 2 3 .
Απάντηση: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Διαίρεση κοινού κλάσματος με μικτό αριθμό
Όταν διαιρείτε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν μικτό αριθμό, μπορείτε εύκολα να λάμψετε στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Πρέπει να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα.
Παράδειγμα 5
Διαιρέστε το κλάσμα 35 16 με το 3 1 8 .
Λύση
Επειδή το 3 1 8 είναι μικτός αριθμός, ας τον παραστήσουμε ως ακατάλληλο κλάσμα. Τότε παίρνουμε 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Τώρα ας διαιρέσουμε τα κλάσματα. Παίρνουμε 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Απάντηση: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Η διαίρεση ενός μικτού αριθμού γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Τ τύπος τάξης: ONZ (ανακάλυψη νέας γνώσης - σύμφωνα με την τεχνολογία της μεθόδου δραστηριότητας διδασκαλίας).
Βασικοί στόχοι:
- Εξαγωγή μεθόδων διαίρεσης ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
- Να σχηματίσει την ικανότητα να εκτελέσει τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
- Επαναλάβετε και ενοποιήστε τη διαίρεση των κλασμάτων.
- Εκπαιδεύστε την ικανότητα μείωσης κλασμάτων, ανάλυσης και επίλυσης προβλημάτων.
Υλικό επίδειξης εξοπλισμού:
1. Εργασίες ενημέρωσης γνώσεων:
Συγκρίνετε εκφράσεις:
Αναφορά:
2. Δοκιμαστική (ατομική) εργασία.
1. Εκτελέστε διαίρεση:
2. Εκτελέστε τη διαίρεση χωρίς να εκτελέσετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών: .
Βιβλιογραφικές αναφορές:
- Όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
- Εάν ο αριθμητής διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό, τότε όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με αυτόν τον αριθμό, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
I. Κίνητρο (αυτοδιάθεση) για να μαθησιακές δραστηριότητες.
Σκοπός της σκηνής:
- Οργανώστε την πραγματοποίηση των απαιτήσεων για τον μαθητή από την πλευρά των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων («πρέπει»).
- Οργανώστε τις δραστηριότητες των μαθητών για τη δημιουργία ενός θεματικού πλαισίου («μπορώ»).
- Να δημιουργηθούν συνθήκες ώστε ο μαθητής να έχει εσωτερική ανάγκη ένταξης σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες («θέλω»).
Οργάνωση εκπαιδευτική διαδικασίαστο στάδιο Ι.
Γειά σου! Χαίρομαι που σας βλέπω όλους στο μάθημα των μαθηματικών. Ελπίζω να είναι αμοιβαίο.
Παιδιά, τι νέες γνώσεις αποκτήσατε στο τελευταίο μάθημα; (Διαιρέστε τα κλάσματα).
Σωστά. Τι σας βοηθά να διαιρέσετε τα κλάσματα; (Κανόνας, ιδιότητες).
Πού χρειαζόμαστε αυτή τη γνώση; (Σε παραδείγματα, εξισώσεις, εργασίες).
Μπράβο! Τα πήγες καλά στο τελευταίο μάθημα. Θα θέλατε να ανακαλύψετε μόνοι σας νέες γνώσεις σήμερα; (Ναί).
Τοτε ΠΗΓΑΙΝΕ! Και το σύνθημα του μαθήματος είναι η δήλωση «Τα μαθηματικά δεν μαθαίνονται παρακολουθώντας πώς τα κάνει ο διπλανός σου!».
II. Πραγματοποίηση γνώσης και καθήλωση ατομικής δυσκολίας σε δοκιμαστική δράση.
Σκοπός της σκηνής:
- Να οργανώσει την πραγματοποίηση των μελετημένων μεθόδων δράσης, επαρκείς για την οικοδόμηση νέας γνώσης. Διορθώστε αυτές τις μεθόδους προφορικά (στον λόγο) και συμβολικά (τυπικό) και γενικεύστε τις.
- Οργανώστε την πραγματοποίηση νοητικών λειτουργιών και γνωστικές διαδικασίες, επαρκές για την οικοδόμηση νέας γνώσης.
- κίνητρο για μια δοκιμαστική ενέργεια και την ανεξάρτητη εφαρμογή και αιτιολόγησή της.
- Παρουσιάστε μια μεμονωμένη εργασία για μια δοκιμαστική ενέργεια και αναλύστε την προκειμένου να εντοπίσετε νέο εκπαιδευτικό περιεχόμενο.
- Οργανώστε τη στερέωση του εκπαιδευτικού στόχου και του θέματος του μαθήματος.
- Οργανώστε την υλοποίηση μιας δοκιμαστικής δράσης και διορθώστε τη δυσκολία.
- Οργανώστε μια ανάλυση των απαντήσεων που ελήφθησαν και καταγράψτε μεμονωμένες δυσκολίες στην εκτέλεση μιας δοκιμαστικής ενέργειας ή στην αιτιολόγησή της.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο II.
Μπροστά, με χρήση tablet (ατομικοί πίνακες).
1. Συγκρίνετε εκφράσεις:
(Αυτές οι εκφράσεις είναι ίσες)
Τι ενδιαφέροντα πράγματα προσέξατε; (Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του μερίσματος, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρέτη σε κάθε παράσταση αυξάνονται κατά τον ίδιο αριθμό φορές. Έτσι, τα μερίσματα και οι διαιρέτες στις εκφράσεις παριστάνονται με κλάσματα που είναι ίσα μεταξύ τους).
Βρείτε τη σημασία της έκφρασης και σημειώστε την στο tablet. (2)
Πώς να γράψετε αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα;
Πώς εκτελέσατε τη δράση της διαίρεσης; (Τα παιδιά προφέρουν τον κανόνα, ο δάσκαλος κρεμάει γράμματα στον πίνακα)
2. Υπολογίστε και καταγράψτε μόνο τα αποτελέσματα:
3. Προσθέστε τα αποτελέσματά σας και γράψτε την απάντησή σας. (2)
Ποιο είναι το όνομα του αριθμού που λήφθηκε στην εργασία 3; (Φυσικός)
Πιστεύετε ότι μπορείτε να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ναι, θα προσπαθήσουμε)
Δοκιμάστε αυτό.
4. Ατομική (δοκιμαστική) εργασία.
Κάντε τη διαίρεση: (μόνο για παράδειγμα)
Ποιον κανόνα χρησιμοποιήσατε για να διαιρέσετε; (Σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης ενός κλάσματος με ένα κλάσμα)
Τώρα διαιρέστε το κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλό τρόπο, χωρίς να πραγματοποιηθεί ολόκληρη η αλυσίδα υπολογισμών: (παράδειγμα β). Σας δίνω 3 δευτερόλεπτα για αυτό.
Ποιος απέτυχε να ολοκληρώσει την εργασία σε 3 δευτερόλεπτα;
Ποιος το έκανε? (δεν υπάρχουν τέτοια)
Γιατί; (Δεν ξέρουμε τον τρόπο)
Τι πήρες? (Δυσκολία)
Τι πιστεύετε ότι θα κάνουμε στην τάξη; (Διαιρέστε τα κλάσματα με φυσικούς αριθμούς)
Σωστά, ανοίξτε τα τετράδιά σας και σημειώστε το θέμα του μαθήματος «Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό».
Γιατί αυτό το θέμα ακούγεται νέο όταν ξέρετε ήδη πώς να διαιρείτε τα κλάσματα; (Χρειάζομαι έναν νέο τρόπο)
Σωστά. Σήμερα θα καθιερώσουμε μια τεχνική που απλοποιεί τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
III. Προσδιορισμός της θέσης και της αιτίας της δυσκολίας.
Σκοπός της σκηνής:
- Οργανώστε την αποκατάσταση των ολοκληρωμένων λειτουργιών και καθορίστε (λεκτικό και συμβολικό) μέρος - βήμα, λειτουργία, όπου προέκυψε η δυσκολία.
- Να οργανώσει τη συσχέτιση των ενεργειών των μαθητών με τη μέθοδο (αλγόριθμο) που χρησιμοποιήθηκε και την καθήλωση στην εξωτερική ομιλία της αιτίας της δυσκολίας - εκείνες τις συγκεκριμένες γνώσεις, δεξιότητες ή ικανότητες που δεν επαρκούν για να λύσουν το αρχικό πρόβλημα αυτού του τύπου.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο III.
Ποια εργασία έπρεπε να ολοκληρώσετε; (Διαιρέστε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χωρίς να κάνετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών)
Τι σας δυσκόλεψε; (Δεν μπορούσα να αποφασίσω για για λίγογρήγορος τρόπος)
Ποιος είναι ο σκοπός του μαθήματος μας; (Εύρημα γρήγορο τρόποδιαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό)
Τι θα σε βοηθήσει; (Ήδη γνωστός κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων)
IV. Κατασκευή του έργου εξόδου από δυσκολία.
Σκοπός της σκηνής:
- Διευκρίνιση του σκοπού του έργου.
- Επιλογή μεθόδου (διευκρίνιση).
- Ορισμός μέσων (αλγόριθμος);
- Χτίζοντας ένα σχέδιο για την επίτευξη του στόχου.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο IV.
Ας επιστρέψουμε στη δοκιμαστική περίπτωση. Είπατε ότι διαιρήσατε με τον κανόνα της διαίρεσης των κλασμάτων; (Ναί)
Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε έναν φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα; (Ναί)
Ποιο βήμα(α) πιστεύετε ότι μπορείτε να παραλείψετε;
(Η αλυσίδα της λύσης είναι ανοιχτή στον πίνακα: 
Αναλύστε και βγάλτε συμπέρασμα. (Βήμα 1)
Εάν δεν υπάρχει απάντηση, τότε συνοψίζουμε μέσα από τις ερωτήσεις:
Πού πήγε ο φυσικός διαιρέτης; (στον παρονομαστή)
Έχει αλλάξει ο αριθμητής; (Δεν)
Ποιο βήμα λοιπόν μπορεί να «παραληφθεί»; (Βήμα 1)
Σχέδιο δράσης:
- Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
- Ο αριθμητής δεν αλλάζει.
- Παίρνουμε ένα νέο κλάσμα.
V. Υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου.
Σκοπός της σκηνής:
- Οργάνωση επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης για την υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου με στόχο την απόκτηση της γνώσης που λείπει.
- Οργανώστε τη στερέωση της κατασκευασμένης μεθόδου δράσης στην ομιλία και τα σημάδια (με τη βοήθεια ενός προτύπου).
- Οργανώστε τη λύση του αρχικού προβλήματος και καταγράψτε την υπέρβαση της δυσκολίας.
- Κανονίστε διευκρίνιση γενικόςνέα γνώση.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο V.
Τώρα εκτελέστε γρήγορα τη δοκιμαστική θήκη με τον νέο τρόπο.
Μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία γρήγορα τώρα; (Ναί)
Εξηγήστε πώς το κάνατε; (Τα παιδιά μιλούν)
Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει νέα γνώση: τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Μπράβο! Πείτε το ανά δύο.
Στη συνέχεια ένας μαθητής μιλάει στην τάξη. Διορθώνουμε τον κανόνα-αλγόριθμο προφορικά και με τη μορφή προτύπου στον πίνακα.
Τώρα εισάγετε τους χαρακτηρισμούς των γραμμάτων και σημειώστε τον τύπο για τον κανόνα μας.
Ο μαθητής γράφει στον πίνακα, προφέροντας τον κανόνα: όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
(Όλοι γράφουν τον τύπο σε τετράδια).
Και τώρα αναλύστε για άλλη μια φορά την αλυσίδα επίλυσης της δοκιμαστικής εργασίας, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στην απάντηση. Τι έκαναν? (Ο αριθμητής του κλάσματος 15 διαιρέθηκε (μειώθηκε) με τον αριθμό 3)
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Φυσικό, διαιρέτης)
Πώς αλλιώς μπορείτε λοιπόν να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ελέγξτε: εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με αυτόν τον φυσικό αριθμό, τότε μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με αυτόν τον αριθμό, να γράψετε το αποτέλεσμα στον αριθμητή του νέου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο)
Γράψτε αυτή τη μέθοδο με τη μορφή τύπου. (Ο μαθητής σημειώνει τον κανόνα στον πίνακα. Όλοι σημειώνουν τον τύπο σε τετράδια.)
Ας επιστρέψουμε στην πρώτη μέθοδο. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν a:n; (Ναι αυτο γενικό τρόπο)
Και πότε είναι βολική η δεύτερη μέθοδος; (Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο)
VI. Πρωτογενής εμπέδωση με προφορά στον εξωτερικό λόγο.
Σκοπός της σκηνής:
- Να οργανώσει την αφομοίωση από τα παιδιά μιας νέας μεθόδου δράσης κατά την επίλυση τυπικών προβλημάτων με την προφορά τους στην εξωτερική ομιλία (μετωπικά, σε ζευγάρια ή ομάδες).
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VI.
Υπολογίστε με νέο τρόπο:
- Αρ. 363 (α; δ) - εκτελέστε στον μαυροπίνακα, προφέροντας τον κανόνα.
- Νο. 363 (δ, στ) - σε ζεύγη με έλεγχο στο δείγμα.
VII. Ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο.
Σκοπός της σκηνής:
- Να οργανώσει την ανεξάρτητη εκπλήρωση των καθηκόντων των μαθητών για έναν νέο τρόπο δράσης.
- Οργανώστε τον αυτοέλεγχο με βάση τη σύγκριση με το πρότυπο.
- Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της υλοποίησης ανεξάρτητη εργασίαοργανώσει μια αντανάκλαση της αφομοίωσης ενός νέου τρόπου δράσης.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VII.
Υπολογίστε με νέο τρόπο:
- Νο. 363 (β; γ)
Οι μαθητές ελέγχουν το πρότυπο, σημειώνουν την ορθότητα της απόδοσης. Τα αίτια των σφαλμάτων αναλύονται και τα λάθη διορθώνονται.
Ο δάσκαλος ρωτά όσους μαθητές έκαναν λάθη, ποιος είναι ο λόγος;
Σε αυτό το στάδιο, είναι σημαντικό κάθε μαθητής να ελέγχει ανεξάρτητα την εργασία του.
VIII. Ένταξη στο σύστημα της γνώσης και της επανάληψης.
Σκοπός της σκηνής:
- Οργανώστε τον προσδιορισμό των ορίων της εφαρμογής της νέας γνώσης.
- Οργανώστε την επανάληψη του εκπαιδευτικού περιεχομένου που είναι απαραίτητο για την εξασφάλιση ουσιαστικής συνέχειας.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VIII.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο ΙΧ.
1. Διάλογος:
Παιδιά, τι νέα γνώση ανακαλύψατε σήμερα; (Μάθαμε να διαιρούμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλό τρόπο)
Διατυπώστε έναν γενικό τρόπο. (Λένε)
Με ποιον τρόπο και σε ποιες περιπτώσεις μπορείτε ακόμα να το χρησιμοποιήσετε; (Λένε)
Ποιο είναι το πλεονέκτημα της νέας μεθόδου;
Έχουμε φτάσει στο στόχο του μαθήματος; (Ναί)
Ποιες γνώσεις χρησιμοποιήσατε για να πετύχετε τον στόχο; (Λένε)
Τα κατάφερες;
Ποιες ήταν οι δυσκολίες;
2. Εργασία για το σπίτι: ρήτρα 3.2.4. Νο. 365 (l, n, o, p); Νο. 370.
3. Δάσκαλος:Χαίρομαι που σήμερα όλοι ήταν ενεργοί, κατάφεραν να βρουν διέξοδο από τη δυσκολία. Και το κυριότερο, δεν ήταν γείτονες όταν άνοιξε και εδραιώθηκε νέο. Ευχαριστώ για το μάθημα παιδιά!
Για να λύσει διάφορες εργασίες από το μάθημα των μαθηματικών, η φυσική πρέπει να διαιρέσει κλάσματα. Αυτό είναι πολύ εύκολο να το κάνετε αν γνωρίζετε ορισμένους κανόνεςεκτελέστε αυτή τη μαθηματική πράξη.
Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση ενός κανόνα σχετικά με τον τρόπο διαίρεσης των κλασμάτων, ας θυμηθούμε μερικούς μαθηματικούς όρους:
- Το πάνω μέρος ενός κλάσματος ονομάζεται αριθμητής και το κάτω μέρος ονομάζεται παρονομαστής.
- Κατά τη διαίρεση, οι αριθμοί καλούνται ως εξής: μέρισμα: διαιρέτης \u003d πηλίκο
Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα: απλά κλάσματα
Για να διαιρέσετε δύο απλά κλάσματα, πολλαπλασιάστε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη. Αυτό το κλάσμα ονομάζεται επίσης ανεστραμμένο με άλλο τρόπο, επειδή προκύπτει ως αποτέλεσμα της εναλλαγής αριθμητή και παρονομαστή. Για παράδειγμα:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα: μικτά κλάσματα
Εάν πρέπει να διαιρέσουμε μικτά κλάσματα, τότε όλα είναι επίσης αρκετά απλά και ξεκάθαρα εδώ. Πρώτα, μετατρέψτε το μικτό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο ακατάλληλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή ενός τέτοιου κλάσματος με έναν ακέραιο και προσθέτουμε τον αριθμητή στο γινόμενο που προκύπτει. Ως αποτέλεσμα, έχουμε έναν νέο αριθμητή του μικτού κλάσματος και ο παρονομαστής του θα παραμείνει αμετάβλητος. Η περαιτέρω διαίρεση των κλασμάτων θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως η διαίρεση των απλών κλασμάτων. Για παράδειγμα:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Πώς να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να διαιρέσουμε ένα απλό κλάσμα με έναν αριθμό, ο τελευταίος θα πρέπει να γραφεί ως κλάσμα (ακατάλληλο). Αυτό είναι πολύ εύκολο να γίνει: αυτός ο αριθμός γράφεται στη θέση του αριθμητή και ο παρονομαστής ενός τέτοιου κλάσματος είναι ίσος με ένα. Πραγματοποιείται περαιτέρω διαίρεση με τον συνηθισμένο τρόπο. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά
Συχνά, ένας ενήλικας δυσκολεύεται, εάν είναι απαραίτητο, χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής, να διαιρέσει έναν ακέραιο ή ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα.
Έτσι για να γίνει η διαίρεση δεκαδικά κλάσματα, απλά πρέπει να διαγράψετε το κόμμα στον διαιρέτη και να σταματήσετε να δίνετε προσοχή σε αυτό. Στο διαιρετέο, το κόμμα πρέπει να μετακινηθεί προς τα δεξιά ακριβώς όσοι χαρακτήρες ήταν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη, προσθέτοντας μηδενικά αν χρειάζεται. Και συνεχίστε να παράγετε συνηθισμένη διαίρεσησε έναν ακέραιο αριθμό. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, ας πάρουμε το ακόλουθο παράδειγμα.