Παραδείγματα:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις

Όταν λύνουμε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, προσπαθούμε να τη φέρουμε στη μορφή \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) και στη συνέχεια να κάνουμε τη μετάβαση στην ισότητα των δεικτών, δηλαδή:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Για παράδειγμα:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Σπουδαίος! Από την ίδια λογική, ακολουθούν δύο απαιτήσεις για μια τέτοια μετάβαση:
- αριθμός μέσα αριστερά και δεξιά πρέπει να είναι ίδια.
- οι μοίρες αριστερά και δεξιά πρέπει να είναι "καθαρές", δηλαδή να μην υπάρχουν, πολλαπλασιασμοί, διαιρέσεις κ.λπ.

Για παράδειγμα:

Για να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή \(a^(f(x))=a^(g(x))\) και χρησιμοποιούνται.

Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Λύση:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Γνωρίζουμε ότι \(27 = 3^3\). Με αυτό κατά νου, μετασχηματίζουμε την εξίσωση.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Με την ιδιότητα της ρίζας \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) παίρνουμε ότι \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα βαθμού \((a^b)^c=a^(bc)\), λαμβάνουμε \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Γνωρίζουμε επίσης ότι \(a^b a^c=a^(b+c)\). Εφαρμόζοντας αυτό στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Τώρα θυμηθείτε ότι: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί αντίστροφα: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Τότε \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Εφαρμόζοντας την ιδιότητα \((a^b)^c=a^(bc)\) στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Και τώρα έχουμε τις βάσεις ίσες και δεν υπάρχουν παρεμβαλλόμενοι συντελεστές κ.λπ. Μπορούμε λοιπόν να κάνουμε τη μετάβαση.
		Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Λύση: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Και πάλι χρησιμοποιούμε την ιδιότητα βαθμού \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) προς την αντίθετη κατεύθυνση. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Τώρα θυμηθείτε ότι \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού, μετασχηματίζουμε: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Εξετάζουμε προσεκτικά την εξίσωση και βλέπουμε ότι η αντικατάσταση \(t=2^x\) προτείνεται εδώ. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Ωστόσο, βρήκαμε τις τιμές \(t\) και χρειαζόμαστε \(x\). Επιστρέφουμε στο Χ, κάνοντας την αντίστροφη αλλαγή. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Μετασχηματίστε τη δεύτερη εξίσωση χρησιμοποιώντας την ιδιότητα αρνητικής ισχύος... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...και λύστε μέχρι την απάντηση. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Απάντηση : \(-1; 1\). Το ερώτημα παραμένει - πώς να καταλάβετε πότε να εφαρμόσετε ποια μέθοδο; Έρχεται με εμπειρία. Στο μεταξύ, δεν το έχετε κερδίσει, χρησιμοποιήστε γενική σύστασηγια να λύσετε σύνθετα προβλήματα - «αν δεν ξέρετε τι να κάνετε - κάντε ό,τι μπορείτε». Δηλαδή, ψάξτε πώς μπορείτε να μεταμορφώσετε την εξίσωση κατ' αρχήν και προσπαθήστε να το κάνετε - και αν βγει; Το κύριο πράγμα είναι να κάνουμε μόνο μαθηματικά αιτιολογημένους μετασχηματισμούς. εκθετικές εξισώσεις χωρίς λύσεις Ας δούμε δύο ακόμη καταστάσεις που συχνά μπερδεύουν τους μαθητές: - ένας θετικός αριθμός στη δύναμη ισούται με μηδέν, για παράδειγμα, \(2^x=0\); - θετικός αριθμός στη δύναμη ίσον αρνητικός αριθμός, για παράδειγμα, \(2^x=-4\). Ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε με ωμή βία. Εάν το x είναι θετικός αριθμός, τότε καθώς το x αυξάνεται, ολόκληρη η ισχύς \(2^x\) θα αυξάνεται μόνο: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Επίσης παρελθόν. Υπάρχουν αρνητικά x. Απομνημονεύοντας την ιδιότητα \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), ελέγχουμε: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Παρά το γεγονός ότι ο αριθμός γίνεται μικρότερος με κάθε βήμα, δεν θα φτάσει ποτέ στο μηδέν. Δεν μας έσωσε λοιπόν ούτε ο αρνητικός βαθμός. Καταλήγουμε σε ένα λογικό συμπέρασμα: Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη θα παραμείνει θετικός αριθμός. Έτσι, και οι δύο παραπάνω εξισώσεις δεν έχουν λύσεις. εκθετικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις Στην πράξη, μερικές φορές υπάρχουν εκθετικές εξισώσειςμε διαφορετικές βάσεις που δεν είναι αναγώγιμες μεταξύ τους, και ταυτόχρονα με τους ίδιους εκθέτες. Μοιάζουν με αυτό: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), όπου τα \(a\) και \(b\) είναι θετικοί αριθμοί. Για παράδειγμα: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Τέτοιες εξισώσεις μπορούν εύκολα να λυθούν με διαίρεση με οποιοδήποτε από τα μέρη της εξίσωσης (συνήθως διαιρώντας με τη δεξιά πλευρά, δηλαδή με \ (b ^ (f (x)) \). Μπορείτε να διαιρέσετε με αυτόν τον τρόπο, επειδή α Ο θετικός αριθμός είναι θετικός σε οποιοδήποτε βαθμό (δηλαδή, δεν διαιρούμε με το μηδέν.) Παίρνουμε: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Λύση: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Εδώ δεν μπορούμε να μετατρέψουμε ένα πέντε σε τρία ή το αντίστροφο (τουλάχιστον χωρίς χρήση). Άρα δεν μπορούμε να φτάσουμε στη μορφή \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Ταυτόχρονα, οι δείκτες είναι ίδιοι. Ας διαιρέσουμε την εξίσωση με τη δεξιά πλευρά, δηλαδή με το \(3^(x+7)\) (μπορούμε να το κάνουμε αυτό, γιατί γνωρίζουμε ότι το τριπλό δεν θα είναι μηδέν σε καμία μοίρα). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Τώρα θυμηθείτε την ιδιότητα \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) και χρησιμοποιήστε την από τα αριστερά προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στα δεξιά, απλώς μειώνουμε το κλάσμα. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Δεν φαινόταν να γίνεται καλύτερο. Αλλά θυμηθείτε μια άλλη ιδιότητα του βαθμού: \(a^0=1\), με άλλα λόγια: "οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με \(1\)". Το αντίστροφο ισχύει επίσης: "μια μονάδα μπορεί να αναπαρασταθεί ως οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωμένος στη δύναμη του μηδέν." Το χρησιμοποιούμε κάνοντας τη βάση στα δεξιά ίδια με αυτή στα αριστερά. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Απαλλαγούμε από τα θεμέλια. Γράφουμε την απάντηση. Απάντηση : \(-7\). Μερικές φορές η «ομοιότητα» των εκθετών δεν είναι εμφανής, αλλά η επιδέξια χρήση των ιδιοτήτων του πτυχίου λύνει αυτό το ζήτημα. Παράδειγμα . Λύστε την εκθετική εξίσωση \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Λύση: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Η εξίσωση φαίνεται πολύ λυπηρή ... Όχι μόνο αυτό, οι βάσεις δεν μπορούν να μειωθούν σε τον ίδιο αριθμό(το επτά δεν θα είναι ίσο με \(\frac(1)(3)\)), άρα και οι δείκτες είναι διαφορετικοί ... Ωστόσο, ας έχουμε ένα δυάρι στον δείκτη του αριστερού βαθμού. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Έχοντας υπόψη την ιδιότητα \((a^b)^c=a^(b c)\) , μετασχηματίστε στα αριστερά: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Τώρα, θυμόμαστε την ιδιότητα αρνητικής ισχύος \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), μετασχηματίζουμε στα δεξιά: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Αλληλούια! Οι βαθμολογίες είναι ίδιες! Ενεργώντας σύμφωνα με το ήδη γνωστό σε εμάς σχήμα, αποφασίζουμε πριν από την απάντηση. Απάντηση : \(2\).

Πρώτο επίπεδο

εκθετικές εξισώσεις. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γειά σου! Σήμερα θα συζητήσουμε μαζί σας πώς να λύσετε εξισώσεις που μπορεί να είναι τόσο στοιχειώδεις (και ελπίζω ότι αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο, σχεδόν όλες θα είναι έτσι για εσάς), όσο και εκείνες που συνήθως δίνονται "επιχώσεις". Προφανώς, να αποκοιμηθεί εντελώς. Αλλά θα προσπαθήσω να κάνω ό,τι καλύτερο μπορώ ώστε τώρα να μην μπείτε σε μπελάδες όταν αντιμετωπίζετε αυτό το είδος εξίσωσης. Δεν θα χτυπάω πλέον γύρω από τον θάμνο, αλλά θα αποκαλύψω αμέσως ένα μικρό μυστικό: σήμερα θα μελετήσουμε εκθετικές εξισώσεις.

Πριν προχωρήσετε σε μια ανάλυση των τρόπων επίλυσής τους, θα σας περιγράψω αμέσως έναν κύκλο ερωτήσεων (αρκετά μικρό) που θα πρέπει να επαναλάβετε πριν βιαστείτε να καταιγίσετε αυτό το θέμα. Έτσι, για να πάρετε καλύτερο αποτέλεσμα, σας παρακαλούμε, επαναλαμβάνω:

1. ιδιότητες και
2. Λύση και Εξισώσεις

Αλλεπάλληλος? Εκπληκτικός! Τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να παρατηρήσετε ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι ένας αριθμός. Είσαι σίγουρος ότι καταλαβαίνεις πώς το έκανα; Αλήθεια? Μετά συνεχίζουμε. Τώρα απαντήστε μου στην ερώτηση, τι ισούται με την τρίτη δύναμη; Εχεις απολυτο δικιο: . Οκτώ ποια είναι η δύναμη των δύο; Αυτό είναι σωστό - το τρίτο! Επειδή. Λοιπόν, τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το εξής πρόβλημα: Επιτρέψτε μου να πολλαπλασιάσω τον αριθμό μόνος του μία φορά και να πάρω το αποτέλεσμα. Το ερώτημα είναι πόσες φορές έχω πολλαπλασιαστεί μόνος μου; Μπορείτε φυσικά να το ελέγξετε απευθείας:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ευθυγραμμίζω)

Τότε μπορείς να συμπεράνεις ότι πολλαπλασίασα από μόνος του. Πώς αλλιώς μπορεί να επαληθευτεί αυτό; Και να πώς: απευθείας από τον ορισμό του πτυχίου: . Αλλά, πρέπει να παραδεχτείς, αν ρωτούσα πόσες φορές πρέπει να πολλαπλασιαστούν τα δύο από μόνο του για να πάρω, ας πούμε, θα μου έλεγες: Δεν θα κοροϊδεύω τον εαυτό μου και θα πολλαπλασιάζομαι μόνος μου μέχρι να γίνω μπλε στο πρόσωπο. Και θα είχε απόλυτο δίκιο. Γιατί πώς μπορείς καταγράψτε εν συντομία όλες τις ενέργειες(και η συντομία είναι η αδερφή του ταλέντου)

πού - αυτό είναι το πολύ "φορές"όταν πολλαπλασιάζεις από μόνος του.

Νομίζω ότι γνωρίζετε (και αν δεν ξέρετε, επειγόντως, πολύ επειγόντως επαναλάβετε τους βαθμούς!) ότι τότε το πρόβλημά μου θα γραφτεί στη μορφή:

Πώς μπορείτε να συμπεράνετε εύλογα ότι:

Έτσι, αθόρυβα, έγραψα τα πιο απλά εκθετική εξίσωση:

Και μάλιστα το βρήκε ρίζα. Δεν πιστεύετε ότι όλα είναι πολύ ασήμαντα; Αυτό ακριβώς σκέφτομαι και εγώ. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα για εσάς:

Αλλά τι να κάνουμε; Άλλωστε δεν μπορεί να γραφτεί ως βαθμός ενός (λογικού) αριθμού. Ας μην απελπιζόμαστε και ας σημειώσουμε ότι και οι δύο αυτοί αριθμοί εκφράζονται τέλεια ως προς τη δύναμη του ίδιου αριθμού. Τι? Σωστά: . Στη συνέχεια, η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή:

Από όπου, όπως ήδη καταλάβατε, . Ας μην τραβάμε άλλο και γράφουμε ορισμός:

Στην περίπτωσή μας μαζί σας: .

Αυτές οι εξισώσεις λύνονται με την αναγωγή τους στη μορφή:

με επακόλουθη λύση της εξίσωσης

Στην πραγματικότητα, κάναμε αυτό στο προηγούμενο παράδειγμα: το καταλάβαμε. Και λύσαμε μαζί σας την απλούστερη εξίσωση.

Δεν φαίνεται να είναι τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ας εξασκηθούμε πρώτα στα πιο απλά. παραδείγματα:

Βλέπουμε πάλι ότι η δεξιά και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να παριστάνονται ως δύναμη ενός αριθμού. Είναι αλήθεια ότι αυτό έχει ήδη γίνει στα αριστερά, αλλά στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός. Αλλά, είναι εντάξει, τελικά, και η εξίσωσή μου μεταμορφώνεται ως εκ θαύματος σε αυτό:

Τι έπρεπε να κάνω εδώ; Ποιος κανόνας; Κανόνας Power to Powerπου γράφει:

Κι αν:

Πριν απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας συμπληρώσουμε μαζί σας τον παρακάτω πίνακα:

Δεν είναι δύσκολο για εμάς να παρατηρήσουμε ότι όσο μικρότερη, τόσο μικρότερη είναι η τιμή, αλλά παρόλα αυτά όλες αυτές οι τιμές είναι μεγαλύτερες από το μηδέν. ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ!!! Η ίδια ιδιότητα ισχύει ΓΙΑ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΒΑΣΗ ΜΕ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΕΙΚΤΗ!! (για οποιαδήποτε και). Τότε τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την εξίσωση; Και εδώ είναι ένα: αυτό δεν έχει ρίζες! Όπως κάθε εξίσωση δεν έχει ρίζες. Τώρα ας εξασκηθούμε και Ας λύσουμε μερικά απλά παραδείγματα:

Ας ελέγξουμε:

1. Δεν απαιτείται τίποτα από εσάς εδώ, εκτός από τη γνώση των ιδιοτήτων των δυνάμεων (που, παρεμπιπτόντως, σας ζήτησα να επαναλάβετε!) Κατά κανόνα, όλα οδηγούν στη μικρότερη βάση: , . Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: Το μόνο που χρειάζομαι είναι να χρησιμοποιήσω τις ιδιότητες των δυνάμεων: κατά τον πολλαπλασιασμό αριθμών με την ίδια βάση, προστίθενται οι εκθέτες και κατά τη διαίρεση αφαιρούνται.Τότε θα πάρω: Λοιπόν, τώρα με ήσυχη τη συνείδησή μου θα περάσω από την εκθετική εξίσωση στη γραμμική: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(στοίχιση)

2. Στο δεύτερο παράδειγμα, πρέπει να είστε πιο προσεκτικοί: το πρόβλημα είναι ότι στην αριστερή πλευρά, δεν θα μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον ίδιο αριθμό ως δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση μερικές φορές είναι χρήσιμο αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς ως γινόμενο δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις, αλλά τους ίδιους εκθέτες:

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα έχει τη μορφή: Τι μας έδωσε αυτό; Και να τι: Αριθμοί με διαφορετικές βάσεις αλλά τον ίδιο εκθέτη μπορούν να πολλαπλασιαστούν.Σε αυτήν την περίπτωση, οι βάσεις πολλαπλασιάζονται, αλλά ο εκθέτης δεν αλλάζει:

Εφαρμόζεται στην κατάστασή μου, αυτό θα δώσει:

\αρχή(στοίχιση)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(στοίχιση)

Δεν είναι κακό, σωστά;

3. Δεν μου αρέσει όταν έχω δύο όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης και κανέναν στην άλλη (μερικές φορές, φυσικά, αυτό δικαιολογείται, αλλά δεν ισχύει τώρα). Μετακινήστε τον όρο μείον προς τα δεξιά:

Τώρα, όπως πριν, θα γράψω τα πάντα μέσα από τις δυνάμεις του τριπλού:

Προσθέτω τις δυνάμεις στα αριστερά και παίρνω μια ισοδύναμη εξίσωση

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τη ρίζα του:

4. Όπως στο παράδειγμα τρία, ο όρος με ένα μείον - μια θέση στη δεξιά πλευρά!

Αριστερά, σχεδόν όλα είναι καλά μαζί μου, εκτός από τι; Ναι, με ενοχλεί ο «λάθος βαθμός» του δίδυμου. Αλλά μπορώ εύκολα να το διορθώσω γράφοντας: . Eureka - στα αριστερά, όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές, αλλά όλες οι μοίρες είναι ίδιες! Πολλαπλασιαζόμαστε γρήγορα!

Εδώ πάλι όλα είναι ξεκάθαρα: (αν δεν καταλάβατε πόσο μαγικά πήρα την τελευταία ισοπαλία, κάντε ένα διάλειμμα, κάντε ένα διάλειμμα και διαβάστε ξανά τις ιδιότητες του πτυχίου πολύ προσεκτικά. Ποιος είπε ότι μπορείτε να παραλείψετε το πτυχίο με αρνητικός δείκτης? Λοιπόν, εδώ είμαι περίπου το ίδιο πράγμα που κανείς). Τώρα θα πάρω:

\αρχή(στοίχιση)
& ((2)^(4\αριστερά((x) -9 \δεξιά)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(στοίχιση)

Εδώ είναι οι εργασίες για να εξασκηθείτε, στις οποίες θα δώσω μόνο τις απαντήσεις (αλλά σε "μικτή" μορφή). Λύστε τα, ελέγξτε και θα συνεχίσουμε την έρευνά μας!

Ετοιμος? Απαντήσειςσαν αυτά:

1. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ

Εντάξει, εντάξει, αστειεύτηκα! Ακολουθούν οι περιγραφές των λύσεων (μερικές είναι πολύ σύντομες!)

Δεν πιστεύετε ότι δεν είναι τυχαίο ότι ένα κλάσμα στα αριστερά είναι ένα "ανεστραμμένο" άλλο; Θα ήταν αμαρτία να μην χρησιμοποιηθεί αυτό:

Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, θυμηθείτε τον καλά!

Τότε η αρχική εξίσωση γίνεται:

Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση, θα λάβετε τις ακόλουθες ρίζες:

2. Μια άλλη λύση: διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με την έκφραση στα αριστερά (ή δεξιά). Θα διαιρέσω με αυτό που βρίσκεται στα δεξιά και μετά θα πάρω:

Πού (γιατί;!)

3. Δεν θέλω καν να επαναλάβω τον εαυτό μου, όλα έχουν ήδη «μασηθεί» τόσο πολύ.

4. ισοδύναμο τετραγωνική εξίσωση, ρίζες

5. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που δίνεται στην πρώτη εργασία, τότε θα λάβετε ότι:

Η εξίσωση έχει μετατραπεί σε μια ασήμαντη ταυτότητα, κάτι που ισχύει για οποιονδήποτε. Τότε η απάντηση είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Λοιπόν, εδώ είστε και εξασκηθείτε για να αποφασίσετε οι απλούστερες εκθετικές εξισώσεις.Τώρα θέλω να σας δώσω μερικά παραδείγματα ζωής που θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε γιατί χρειάζονται καταρχήν. Εδώ θα δώσω δύο παραδείγματα. Το ένα από αυτά είναι αρκετά καθημερινό, αλλά το άλλο έχει περισσότερο επιστημονικό παρά πρακτικό ενδιαφέρον.

Παράδειγμα 1 (εμπορικό)Αφήστε να έχετε ρούβλια, αλλά θέλετε να τα μετατρέψετε σε ρούβλια. Η τράπεζα σας προσφέρει να πάρετε αυτά τα χρήματα από εσάς με ετήσιο επιτόκιο με μηνιαία κεφαλαιοποίηση τόκων (μηνιαίο δεδουλευμένο). Το ερώτημα είναι, για πόσους μήνες χρειάζεται να ανοίξετε μια κατάθεση για να εισπράξετε το επιθυμητό τελικό ποσό; Αρκετά εγκόσμιο έργο, έτσι δεν είναι; Ωστόσο, η επίλυσή του συνδέεται με την κατασκευή της αντίστοιχης εκθετικής εξίσωσης: Έστω - το αρχικό ποσό, - το τελικό ποσό, - επιτόκιοανά περίοδο, - ο αριθμός των περιόδων. Επειτα:

Στην περίπτωσή μας (αν το επιτόκιο είναι ετησίως, τότε υπολογίζεται ανά μήνα). Γιατί χωρίζεται σε; Εάν δεν γνωρίζετε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, θυμηθείτε το θέμα ""! Τότε παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση:

Αυτή η εκθετική εξίσωση μπορεί ήδη να λυθεί μόνο με μια αριθμομηχανή (του εμφάνισηυπαινίσσεται αυτό, και αυτό απαιτεί γνώση λογαρίθμων, με τους οποίους θα εξοικειωθούμε λίγο αργότερα), που θα κάνω: ... Έτσι, για να λάβουμε ένα εκατομμύριο, θα χρειαστεί να κάνουμε μια κατάθεση για ένα μήνα ( όχι πολύ γρήγορα, σωστά;).

Παράδειγμα 2 (μάλλον επιστημονικό).Παρά τη δική του, κάποια «απομόνωση», σας συνιστώ να τον προσέχετε: τακτικά «γλιστράει στις εξετάσεις!! (η εργασία λαμβάνεται από την «πραγματική» έκδοση) Κατά τη διάσπαση ενός ραδιενεργού ισοτόπου, η μάζα του μειώνεται σύμφωνα με το νόμο, όπου (mg) είναι η αρχική μάζα του ισοτόπου, (ελάχ.) είναι ο χρόνος που μεσολάβησε από το αρχική στιγμή, (ελάχ.) είναι ο χρόνος ημιζωής. Την αρχική χρονική στιγμή, η μάζα του ισοτόπου είναι mg. Ο χρόνος ημιζωής του είναι ελάχ. Σε πόσα λεπτά η μάζα του ισοτόπου θα είναι ίση με mg; Δεν πειράζει: απλώς λαμβάνουμε και αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο που μας προτείνεται:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά, «με την ελπίδα» ότι στα αριστερά θα έχουμε κάτι εύπεπτο:

Λοιπόν, είμαστε πολύ τυχεροί! Στέκεται στα αριστερά και, στη συνέχεια, ας προχωρήσουμε στην ισοδύναμη εξίσωση:

Όπου ελάχ.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι εκθετικές εξισώσεις έχουν πολύ πραγματική εφαρμογή στην πράξη. Τώρα θέλω να συζητήσω μαζί σας έναν άλλο (απλό) τρόπο επίλυσης εκθετικών εξισώσεων, ο οποίος βασίζεται στην αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες και στη συνέχεια στην ομαδοποίηση των όρων. Μη φοβάστε τα λόγια μου, αυτή τη μέθοδο την έχετε ήδη αντιμετωπίσει στην 7η δημοτικού όταν μελετούσατε πολυώνυμα. Για παράδειγμα, εάν έπρεπε να παραγοντοποιήσετε την έκφραση:

Ας ομαδοποιήσουμε: τον πρώτο και τον τρίτο όρο, καθώς και τον δεύτερο και τον τέταρτο. Είναι σαφές ότι το πρώτο και το τρίτο είναι η διαφορά των τετραγώνων:

και το δεύτερο και το τέταρτο έχουν κοινό παράγοντα 3:

Τότε η αρχική έκφραση είναι ισοδύναμη με αυτό:

Πού να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα δεν είναι πλέον δύσκολο:

Συνεπώς,

Έτσι θα ενεργούμε κατά προσέγγιση όταν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις: ψάξτε για "κοινότητα" μεταξύ των όρων και βγάλτε την από τις αγκύλες και μετά - ό,τι μπορεί, πιστεύω ότι θα είμαστε τυχεροί =)) Για παράδειγμα:

Στα δεξιά απέχει πολύ από την ισχύ των επτά (έλεγξα!) Και στα αριστερά - λίγο καλύτερα, μπορείτε, φυσικά, να "κόψετε" τον παράγοντα α από τον πρώτο όρο και από τον δεύτερο και στη συνέχεια να ασχοληθείτε με αυτό που λάβατε, αλλά ας κάνουμε πιο συνετά μαζί σας. Δεν θέλω να ασχοληθώ με τα κλάσματα που αναπόφευκτα παράγονται από την «επιλογή», ​​οπότε δεν θα έπρεπε να αντέξω καλύτερα; Τότε δεν θα έχω κλάσματα: όπως λένε, και οι λύκοι είναι γεμάτοι και τα πρόβατα είναι ασφαλή:

Μετρήστε την έκφραση σε αγκύλες. Μαγικά, μαγικά, αποδεικνύεται ότι (παραδόξως, αν και τι άλλο να περιμένουμε;).

Στη συνέχεια μειώνουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον παράγοντα. Παίρνουμε: πού.

Εδώ είναι ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα (αρκετά, πραγματικά):

Εδώ είναι το πρόβλημα! Δεν έχουμε κοινό έδαφος εδώ! Δεν είναι απολύτως σαφές τι να κάνουμε τώρα. Και ας κάνουμε ό,τι μπορούμε: πρώτον, θα μετακινήσουμε τα «τέσσερα» προς τη μία κατεύθυνση και τα «πέντε» προς την άλλη:

Τώρα ας βγάλουμε το "κοινό" αριστερά και δεξιά:

Και τώρα τι? Ποιο είναι το όφελος μιας τέτοιας ανόητης ομαδοποίησης; Με την πρώτη ματιά, δεν φαίνεται καθόλου, αλλά ας το δούμε πιο βαθιά:

Λοιπόν, τώρα ας το κάνουμε έτσι ώστε στα αριστερά να έχουμε μόνο την έκφραση c, και στα δεξιά - όλα τα άλλα. Πώς μπορούμε να το κάνουμε; Και να πώς: Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης πρώτα με (έτσι απαλλαγούμε από τον εκθέτη στα δεξιά) και μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές με (άρα απαλλαγούμε από τον αριθμητικό παράγοντα στα αριστερά). Τελικά παίρνουμε:

Απίστευτος! Στα αριστερά έχουμε μια έκφραση, και στα δεξιά - ακριβώς. Τότε αμέσως συμπεραίνουμε ότι

Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα προς ενίσχυση:

θα τον φέρω σύντομη λύση(δεν μπαίνω στον κόπο να εξηγήσω), προσπαθήστε να καταλάβετε μόνοι σας όλες τις «λεπτότητες» της λύσης.

Τώρα η τελική ενοποίηση του υλικού που καλύπτεται. Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα. Θα δώσω μόνο σύντομες συστάσεις και συμβουλές για την επίλυσή τους:

1. Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:
2. Αντιπροσωπεύουμε την πρώτη έκφραση με τη μορφή: , διαιρέστε και τα δύο μέρη και λάβετε αυτό
3. , τότε η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή: Λοιπόν, τώρα μια υπόδειξη - ψάξτε πού έχουμε ήδη λύσει εσείς και εγώ αυτήν την εξίσωση!
4. Φανταστείτε πώς, πώς, αχ, καλά, μετά διαιρέστε και τα δύο μέρη με, ώστε να έχετε την απλούστερη εκθετική εξίσωση.
5. Βγάλτε το από αγκύλες.
6. Βγάλτε το από αγκύλες.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Υποθέτω ότι μετά την ανάγνωση του πρώτου άρθρου, το οποίο είπε τι είναι οι εκθετικές εξισώσεις και πώς να τις λύσουμε, έχετε κατακτήσει τις απαραίτητες ελάχιστες γνώσεις που απαιτούνται για την επίλυση των απλούστερων παραδειγμάτων.

Τώρα θα αναλύσω μια άλλη μέθοδο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, αυτή είναι

"μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής" (ή αντικατάσταση).Λύνει τα περισσότερα από τα «δύσκολα» προβλήματα, με θέμα τις εκθετικές εξισώσεις (και όχι μόνο τις εξισώσεις). Αυτή η μέθοδος είναι μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες στην πράξη. Αρχικά, σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με το θέμα.

Όπως καταλάβατε ήδη από το όνομα, η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να εισάγετε μια τέτοια αλλαγή μεταβλητής που η εκθετική σας εξίσωση θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε μια που μπορείτε ήδη να λύσετε εύκολα. Το μόνο που μένει για εσάς μετά την επίλυση αυτής της πολύ «απλοποιημένης εξίσωσης» είναι να κάνετε μια «αντίστροφη αντικατάσταση»: δηλαδή να επιστρέψετε από το αντικατασταθέν στο αντικατασταθέν. Ας δείξουμε αυτό που μόλις είπαμε με ένα πολύ απλό παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Αυτή η εξίσωση λύνεται με μια «απλή αντικατάσταση», όπως την αποκαλούν απαξιωτικά οι μαθηματικοί. Πράγματι, η αντικατάσταση εδώ είναι η πιο προφανής. Απλά πρέπει να φανεί αυτό

Τότε η αρχική εξίσωση γίνεται:

Εάν φανταστούμε επιπλέον πώς, τότε είναι αρκετά σαφές τι πρέπει να αντικατασταθεί: φυσικά, . Ποια γίνεται τότε η αρχική εξίσωση; Και να τι:

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τις ρίζες του μόνοι σας:. Τι πρέπει να κάνουμε τώρα? Ήρθε η ώρα να επιστρέψετε στην αρχική μεταβλητή. Τι ξέχασα να συμπεριλάβω; Δηλαδή: κατά την αντικατάσταση ενός ορισμένου βαθμού με μια νέα μεταβλητή (δηλαδή κατά την αντικατάσταση ενός τύπου), θα με ενδιαφέρει μόνο θετικές ρίζες!Εσείς οι ίδιοι μπορείτε εύκολα να απαντήσετε γιατί. Έτσι, δεν μας ενδιαφέρετε, αλλά η δεύτερη ρίζα είναι αρκετά κατάλληλη για εμάς:

Τότε πού.

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, στο προηγούμενο παράδειγμα, ο αντικαταστάτης ζητούσε τα χέρια μας. Δυστυχώς, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, ας μην πάμε κατευθείαν στο λυπηρό, αλλά ας εξασκηθούμε σε ένα ακόμη παράδειγμα με μια αρκετά απλή αντικατάσταση

Παράδειγμα 2

Είναι σαφές ότι πιθανότατα θα χρειαστεί αντικατάσταση (αυτή είναι η μικρότερη από τις δυνάμεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωσή μας), ωστόσο, πριν εισαγάγουμε μια αντικατάσταση, η εξίσωσή μας πρέπει να "προετοιμαστεί" γι 'αυτό, και συγκεκριμένα: , . Στη συνέχεια, μπορείτε να αντικαταστήσετε, ως αποτέλεσμα θα λάβω την ακόλουθη έκφραση:

Ω φρίκη: μια κυβική εξίσωση με απολύτως τρομερούς τύπους για τη λύση της (καλά, μιλώντας σε γενική εικόνα). Αλλά ας μην απελπιζόμαστε αμέσως, αλλά ας σκεφτούμε τι πρέπει να κάνουμε. Θα προτείνω την εξαπάτηση: ξέρουμε ότι για να λάβουμε μια "όμορφη" απάντηση, πρέπει να πάρουμε κάποια δύναμη τριών (γιατί θα ήταν έτσι, ε;). Και ας προσπαθήσουμε να μαντέψουμε τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσής μας (θα αρχίσω να μαντεύω από τις δυνάμεις των τριών).

Πρώτη εικασία. Δεν είναι ρίζα. Αλίμονο και αχ...

.
Η αριστερή πλευρά είναι ίση.
Δεξί μέρος: !
Υπάρχει! Μαντέψαμε την πρώτη ρίζα. Τώρα τα πράγματα θα γίνουν πιο εύκολα!

Γνωρίζετε για το σχήμα διαίρεσης «γωνιακό»; Φυσικά ξέρετε, το χρησιμοποιείτε όταν διαιρείτε έναν αριθμό με τον άλλο. Λίγοι όμως γνωρίζουν ότι το ίδιο μπορεί να γίνει και με τα πολυώνυμα. Υπάρχει ένα υπέροχο θεώρημα:

Εφαρμόσιμο στην περίπτωσή μου, μου λέει τι διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με. Πώς γίνεται η διαίρεση; Ετσι:

Κοιτάζω ποιο μονώνυμο πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω Clear και μετά:

Αφαιρώ την έκφραση που προκύπτει και παίρνω:

Τώρα, τι πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω; Είναι σαφές ότι στις, τότε θα πάρω:

και πάλι αφαιρέστε την παράσταση που προκύπτει από την υπόλοιπη:

Λοιπόν, το τελευταίο βήμα, πολλαπλασιάζω με και αφαιρώ από την υπόλοιπη έκφραση:

Ωραία, η διαίρεση τελείωσε! Τι έχουμε συσσωρεύσει ιδιωτικά; Από μόνο του: .

Τότε πήραμε την ακόλουθη επέκταση του αρχικού πολυωνύμου:

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση:

Έχει ρίζες:

Τότε η αρχική εξίσωση:

έχει τρεις ρίζες:

Φυσικά, απορρίπτουμε την τελευταία ρίζα, αφού αυτή λιγότερο από το μηδέν. Και τα δύο πρώτα μετά την αντίστροφη αντικατάσταση θα μας δώσουν δύο ρίζες:

Απάντηση:..

Με αυτό το παράδειγμα, δεν ήθελα καθόλου να σας τρομάξω· μάλλον, θέλησα να δείξω ότι τουλάχιστον είχαμε αρκετά απλή αντικατάσταση, ωστόσο οδήγησε σε μια αρκετά περίπλοκη εξίσωση, η λύση της οποίας απαιτούσε κάποιες ειδικές δεξιότητες από εμάς. Λοιπόν, κανείς δεν είναι απρόσβλητος από αυτό. Αλλά η αλλαγή σε αυτή την περίπτωση ήταν αρκετά εμφανής.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα με μια ελαφρώς λιγότερο προφανή αντικατάσταση:

Δεν είναι καθόλου σαφές τι πρέπει να κάνουμε: το πρόβλημα είναι ότι στην εξίσωσή μας υπάρχουν δύο διαφορετικές βάσεις και η μία βάση δεν μπορεί να ληφθεί από την άλλη ανεβάζοντάς την σε οποιοδήποτε (λογικό, φυσικά) βαθμό. Ωστόσο, τι βλέπουμε; Και οι δύο βάσεις διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο και το γινόμενο τους είναι η διαφορά των τετραγώνων ίση με ένα:

Ορισμός:

Έτσι, οι αριθμοί που είναι βάσεις στο παράδειγμά μας είναι συζυγείς.

Σε αυτή την περίπτωση, η έξυπνη κίνηση θα ήταν πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συζευγμένο αριθμό.

Για παράδειγμα, on, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα γίνει ίση και η δεξιά πλευρά. Εάν κάνουμε μια αντικατάσταση, τότε η αρχική μας εξίσωση με εσάς θα γίνει ως εξής:

Οι ρίζες του, λοιπόν, αλλά με το να το θυμόμαστε αυτό, το καταλαβαίνουμε.

Απάντηση: , .

Κατά κανόνα, η μέθοδος αντικατάστασης είναι αρκετή για την επίλυση των περισσότερων εκθετικών εξισώσεων «σχολείων». Οι παρακάτω εργασίες προέρχονται από το USE C1 ( ανυψωμένο επίπεδοδυσκολίες). Είστε ήδη αρκετά μορφωμένοι για να λύσετε μόνοι σας αυτά τα παραδείγματα. Θα δώσω μόνο την απαιτούμενη αντικατάσταση.

1. Λύστε την εξίσωση:
2. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
3. Λύστε την εξίσωση: . Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα:

Τώρα για μερικές γρήγορες εξηγήσεις και απαντήσεις:

1. Εδώ αρκεί να σημειώσουμε ότι και. Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με αυτήν: Αυτή η εξίσωση λύνεται αντικαθιστώντας το Κάντε μόνοι σας τους ακόλουθους υπολογισμούς. Στο τέλος, η εργασία σας θα περιοριστεί στην επίλυση του απλούστερου τριγωνομετρικού (ανάλογα με το ημίτονο ή το συνημίτονο). Θα συζητήσουμε τη λύση τέτοιων παραδειγμάτων σε άλλες ενότητες.
2. Εδώ μπορείτε να κάνετε ακόμη και χωρίς αντικατάσταση: απλώς μετακινήστε το υπόστρωμα προς τα δεξιά και αναπαραστήστε και τις δύο βάσεις με δυνάμεις δύο: και μετά πηγαίνετε αμέσως στην εξίσωση του τετραγωνικού.
3. Η τρίτη εξίσωση λύνεται επίσης με έναν μάλλον τυπικό τρόπο: φανταστείτε πώς. Τότε, αντικαθιστώντας, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση: τότε,

   Γνωρίζετε ήδη τι είναι λογάριθμος; Δεν? Τότε διαβάστε επειγόντως το θέμα!

   Η πρώτη ρίζα, προφανώς, δεν ανήκει στο τμήμα, και η δεύτερη είναι ακατανόητη! Θα το μάθουμε όμως πολύ σύντομα! Αφού, λοιπόν (αυτή είναι ιδιότητα του λογάριθμου!) Ας συγκρίνουμε:

   Αφαιρούμε και από τα δύο μέρη και παίρνουμε:

   Η αριστερή πλευρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

   πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με:

   μπορεί να πολλαπλασιαστεί με, τότε

   Τότε ας συγκρίνουμε:

   από τότε:

   Τότε η δεύτερη ρίζα ανήκει στο επιθυμητό διάστημα

   Απάντηση:

Οπως βλέπεις, η επιλογή των ριζών των εκθετικών εξισώσεων απαιτεί μια αρκετά βαθιά γνώση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων, γι' αυτό σας συμβουλεύω να είστε όσο το δυνατόν πιο προσεκτικοί όταν λύνετε εκθετικές εξισώσεις. Όπως γνωρίζετε, στα μαθηματικά όλα είναι αλληλένδετα! Όπως έλεγε η δασκάλα μου στα μαθηματικά: «Δεν μπορείς να διαβάσεις μαθηματικά όπως την ιστορία από τη μια μέρα στην άλλη».

Κατά κανόνα, όλα η δυσκολία στην επίλυση προβλημάτων Γ1 είναι ακριβώς η επιλογή των ριζών της εξίσωσης.Ας εξασκηθούμε με ένα άλλο παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι η ίδια η εξίσωση λύνεται πολύ απλά. Έχοντας κάνει την αντικατάσταση, μειώνουμε την αρχική μας εξίσωση στο εξής:

Ας δούμε πρώτα την πρώτη ρίζα. Συγκρίνετε και: από τότε. (ιδιότητα της λογαριθμικής συνάρτησης, at). Τότε είναι ξεκάθαρο ότι ούτε η πρώτη ρίζα ανήκει στο μεσοδιάστημά μας. Τώρα η δεύτερη ρίζα: . Είναι σαφές ότι (αφού η συνάρτηση αυξάνεται). Μένει να συγκρίνουμε και

αφού, λοιπόν, ταυτόχρονα. Έτσι, μπορώ να "οδηγήσω ένα μανταλάκι" μεταξύ και. Αυτό το μανταλάκι είναι ένας αριθμός. Η πρώτη έκφραση είναι μικρότερη από και η δεύτερη είναι μεγαλύτερη από. Τότε η δεύτερη έκφραση είναι μεγαλύτερη από την πρώτη και η ρίζα ανήκει στο διάστημα.

Απάντηση: .

Εν κατακλείδι, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα εξίσωσης όπου η αντικατάσταση είναι μάλλον μη τυπική:

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με το τι μπορείτε να κάνετε και τι - κατ 'αρχήν, μπορείτε, αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνετε. Είναι δυνατό - να αναπαραστήσετε τα πάντα μέσω των δυνάμεων των τριών, δύο και έξι. Πού οδηγεί; Ναι, και δεν θα οδηγήσει σε τίποτα: ένα κουκούτσι πτυχίων, μερικά από τα οποία θα είναι αρκετά δύσκολο να απαλλαγούμε. Τι χρειάζεται τότε; Ας σημειώσουμε ότι ένα Και τι θα μας δώσει; Και το γεγονός ότι μπορούμε να αναγάγουμε τη λύση αυτού του παραδείγματος στη λύση μιας αρκετά απλής εκθετικής εξίσωσης! Αρχικά, ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας ως εξής:

Τώρα χωρίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει σε:

Εύρηκα! Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε, παίρνουμε:

Λοιπόν, τώρα είναι η σειρά σας να λύσετε προβλήματα για επίδειξη, και θα τους δώσω μόνο σύντομα σχόλια για να μην παραστρατήσετε! Καλή τύχη!

1. Το πιο δύσκολο! Το να βλέπεις έναν αντικαταστάτη εδώ είναι ω, πόσο άσχημο! Ωστόσο, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί πλήρως χρησιμοποιώντας επιλογή πλήρους τετραγώνου. Για την επίλυσή του, αρκεί να σημειώσουμε ότι:

Ορίστε λοιπόν ο αντικαταστάτης σας:

(Σημειώστε ότι εδώ, με την αντικατάστασή μας, δεν μπορούμε να απορρίψουμε την αρνητική ρίζα!!! Και γιατί, τι πιστεύετε;)

Τώρα, για να λύσετε το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε δύο εξισώσεις:

Και τα δύο λύνονται με την "τυπική αντικατάσταση" (αλλά το δεύτερο σε ένα παράδειγμα!)

2. Παρατηρήστε το και κάντε μια αντικατάσταση.

3. Αναπτύξτε τον αριθμό σε συνπρωτικούς παράγοντες και απλοποιήστε την παράσταση που προκύπτει.

4. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με (ή αν προτιμάτε) και κάντε την αντικατάσταση ή.

5. Σημειώστε ότι οι αριθμοί και είναι συζυγείς.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Επιπλέον, ας δούμε έναν άλλο τρόπο - επίλυση εκθετικών εξισώσεων με τη μέθοδο του λογάριθμου. Δεν μπορώ να πω ότι η λύση των εκθετικών εξισώσεων με αυτή τη μέθοδο είναι πολύ δημοφιλής, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μόνο μπορεί να μας οδηγήσει σε σωστή απόφασηη εξίσωσή μας. Ειδικά συχνά χρησιμοποιείται για την επίλυση του λεγόμενου " μικτές εξισώσεις': δηλαδή εκείνα όπου υπάρχουν συναρτήσεις διαφορετικών τύπων.

Για παράδειγμα, μια εξίσωση όπως:

στη γενική περίπτωση, μπορεί να λυθεί μόνο λαμβάνοντας τον λογάριθμο και των δύο μερών (για παράδειγμα, με βάση), όπου η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στο εξής:

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι μας ενδιαφέρει μόνο το ODZ της λογαριθμικής συνάρτησης. Αυτό όμως προκύπτει όχι μόνο από το ODZ του λογαρίθμου, αλλά για έναν άλλο λόγο. Νομίζω ότι δεν θα σας είναι δύσκολο να μαντέψετε ποια.

Ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσής μας στη βάση:

Όπως μπορείτε να δείτε, λαμβάνοντας τον λογάριθμο της αρχικής μας εξίσωσης μας οδήγησε γρήγορα στη σωστή (και όμορφη!) απάντηση. Ας εξασκηθούμε με ένα άλλο παράδειγμα:

Και εδώ, δεν υπάρχει τίποτα ανησυχητικό: παίρνουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης ως προς τη βάση, τότε παίρνουμε:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:

Ωστόσο κάτι μας έλειψε! Προσέξατε πού έκανα λάθος; Άλλωστε, λοιπόν:

που δεν ικανοποιεί την απαίτηση (σκέψου από πού προήλθε!)

Απάντηση:

Προσπαθήστε να γράψετε τη λύση των παρακάτω εκθετικών εξισώσεων:

Τώρα ελέγξτε τη λύση σας με αυτό:

1. Λογάριθμα και τα δύο μέρη στη βάση, δεδομένου ότι:

(η δεύτερη ρίζα δεν μας ταιριάζει λόγω αντικατάστασης)

2. Λογάριθμος προς τη βάση:

Ας μετατρέψουμε την έκφραση που προκύπτει στην ακόλουθη μορφή:

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

εκθετική εξίσωση

Εξίσωση τύπου:

που ονομάζεται η απλούστερη εκθετική εξίσωση.

Ιδιότητες πτυχίου

Προσεγγίσεις Λύσης

• Αναγωγή στην ίδια βάση
• Casting σε τον ίδιο δείκτηβαθμός
• Μεταβλητή αντικατάσταση
• Απλοποιήστε την έκφραση και εφαρμόστε ένα από τα παραπάνω.

Στο αυτό το μάθημαθα εξετάσουμε τη λύση πιο περίπλοκων εκθετικών εξισώσεων, υπενθυμίζουμε τις κύριες θεωρητικές διατάξεις που αφορούν εκθετικη συναρτηση.

1. Ορισμός και ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης, μια τεχνική για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων

Θυμηθείτε τον ορισμό και τις κύριες ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης. Στις ιδιότητες βασίζεται η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Εκθετικη συναρτησηείναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, ένα όρισμα. y - εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.

Ρύζι. 1. Γράφημα της εκθετικής συνάρτησης

Το γράφημα δείχνει έναν αυξανόμενο και φθίνοντα εκθέτη, απεικονίζοντας την εκθετική συνάρτηση σε βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία, αλλά μεγαλύτερη από μηδέν, αντίστοιχα.

Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης:

Τομέα: ;

Εύρος τιμών: ;

Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται όσο , μειώνεται ως .

Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της με μία μόνο τιμή του ορίσματος.

Όταν το όρισμα αυξάνεται από μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν, συμπεριλαμβανομένου, στο συν άπειρο. Αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν, συμπεριλαμβανομένου.

2. Λύση τυπικών εκθετικών εξισώσεων

Θυμηθείτε πώς να λύσετε τις απλούστερες εκθετικές εξισώσεις. Η επίλυσή τους βασίζεται στη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης. Σχεδόν όλες οι μιγαδικές εκθετικές εξισώσεις ανάγονται σε τέτοιες εξισώσεις.

Ισότητα εκθετών στο ίσους λόγουςλόγω της ιδιότητας της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή της μονοτονίας της.

Μέθοδος λύσης:

Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.

Εξισώστε τους εκθέτες.

Ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες εκθετικές εξισώσεις, στόχος μας είναι να αναγάγουμε καθεμία από αυτές στην απλούστερη.

Ας απαλλαγούμε από τη ρίζα στην αριστερή πλευρά και ας μειώσουμε τις μοίρες στην ίδια βάση:

Προκειμένου να αναχθεί μια σύνθετη εκθετική εξίσωση σε μια απλή, χρησιμοποιείται συχνά μια αλλαγή μεταβλητών.

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα πτυχίου:

Παρουσιάζουμε μια αντικατάσταση. Αφήστε τότε

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση που προκύπτει επί δύο και μεταφέρουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το διάστημα των τιμών y, την απορρίπτουμε. Παίρνουμε:

Ας φέρουμε τους βαθμούς στον ίδιο δείκτη:

Παρουσιάζουμε μια αντικατάσταση:

Αφήστε τότε . Με μια τέτοια αντικατάσταση, είναι προφανές ότι το y παίρνει αυστηρά θετικές αξίες. Παίρνουμε:

Γνωρίζουμε πώς να λύνουμε παρόμοιες τετραγωνικές εξισώσεις, γράφουμε την απάντηση:

Για να βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες βρίσκονται σωστά, μπορείτε να ελέγξετε σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, δηλαδή να βρείτε το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο τους και να ελέγξετε με τους αντίστοιχους συντελεστές της εξίσωσης.

Παίρνουμε:

3. Τεχνική επίλυσης ομογενών εκθετικών εξισώσεων δεύτερου βαθμού

Ας μελετήσουμε τον ακόλουθο σημαντικό τύπο εκθετικών εξισώσεων:

Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται ομοιογενείς του δεύτερου βαθμού ως προς τις συναρτήσεις f και g. Στην αριστερή του πλευρά υπάρχει ένα τετράγωνο τριώνυμο ως προς την f με παράμετρο g ή ένα τετράγωνο τριώνυμο ως προς το g με την παράμετρο f.

Μέθοδος λύσης:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ως τετραγωνική, αλλά είναι πιο εύκολο να γίνει το αντίστροφο. Πρέπει να εξεταστούν δύο περιπτώσεις:

Στην πρώτη περίπτωση, παίρνουμε

Στη δεύτερη περίπτωση, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε με τον υψηλότερο βαθμό και παίρνουμε:

Θα πρέπει να εισάγετε μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση για το y:

Σημειώστε ότι οι συναρτήσεις f και g μπορεί να είναι αυθαίρετες, αλλά μας ενδιαφέρει η περίπτωση που πρόκειται για εκθετικές συναρτήσεις.

4. Παραδείγματα επίλυσης ομοιογενών εξισώσεων

Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Δεδομένου ότι οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που:

Παίρνουμε:

Παρουσιάζουμε μια αντικατάσταση: (σύμφωνα με τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης)

Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση:

Καθορίζουμε τις ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα Vieta:

Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το διάστημα των τιμών y, την απορρίπτουμε, παίρνουμε:

Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του βαθμού και ας μειώσουμε όλους τους βαθμούς σε απλές βάσεις:

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε τις συναρτήσεις f και g:

Δεδομένου ότι οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που .

Διάλεξη: «Μέθοδοι επίλυσης εκθετικών εξισώσεων».

1 . εκθετικές εξισώσεις.

Οι εξισώσεις που περιέχουν άγνωστους στον εκθέτη ονομάζονται εκθετικές εξισώσεις. Η απλούστερη από αυτές είναι η εξίσωση ax = b, όπου a > 0 και a ≠ 1.

1) Για β< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Για b > 0, χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της συνάρτησης και το θεώρημα της ρίζας, η εξίσωση έχει μία ρίζα. Για να το βρείτε, το b πρέπει να παριστάνεται ως b = aс, ax = bс ó x = c ή x = logab.

Οι εκθετικές εξισώσεις, μέσω αλγεβρικών μετασχηματισμών, οδηγούν σε τυπικές εξισώσεις, οι οποίες επιλύονται με τις ακόλουθες μεθόδους:

1) μέθοδος αναγωγής σε μία βάση.

2) μέθοδος αξιολόγησης.

3) γραφική μέθοδος?

4) η μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών.

5) μέθοδος παραγοντοποίησης?

6) εκθετικές - εξισώσεις ισχύος.

7) εκθετική με παράμετρο.

2 . Μέθοδος μείωσης σε μία βάση.

Η μέθοδος βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των μοιρών: εάν δύο μοίρες είναι ίσες και οι βάσεις τους είναι ίσες, τότε οι εκθέτες τους είναι ίσοι, δηλ., η εξίσωση θα πρέπει να προσπαθήσει να αναχθεί στη μορφή

Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση:

1 . 3x=81;

Ας αναπαραστήσουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με τη μορφή 81 = 34 και ας γράψουμε την εξίσωση που ισοδυναμεί με την αρχική 3 x = 34. x = 4. Απάντηση: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> και μεταβείτε στην εξίσωση για τους εκθέτες 3x+1 = 3 – 5x, 8x = 4; x = 0,5 Απάντηση: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Σημειώστε ότι οι αριθμοί 0,2, 0,04, √5 και 25 είναι δυνάμεις του 5. Ας εκμεταλλευτούμε αυτό και ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση ως εξής:

, απ' όπου 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, από την οποία βρίσκουμε τη λύση x = -1. Απάντηση: -1.

5. 3x = 5. Εξ ορισμού του λογαρίθμου, x = log35. Απάντηση: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, δηλαδή..png" width="181" height="49 src="> Εξ ου και x - 4 =0, x = 4. Απάντηση: τέσσερα.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων γράφουμε την εξίσωση με τη μορφή ε. x+1 = 2, x =1. Απάντηση: 1.

Τράπεζα εργασιών Νο. 1.

Λύστε την εξίσωση:

Αριθμός δοκιμής 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
Α3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) χωρίς ρίζες
	1) 7;1 2) χωρίς ρίζες 3) -7;1 4) -1;-7
Α5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
Α6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Δοκιμή #2

Α'1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
Α2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
Α3	1) 2;-1 2) χωρίς ρίζες 3) 0 4) -2;1
Α4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
Α5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Μέθοδος αξιολόγησης.

Το θεώρημα της ρίζας: αν η συνάρτηση f (x) αυξάνεται (μειώνεται) στο διάστημα I, ο αριθμός a είναι οποιαδήποτε τιμή που λαμβάνεται από τη f σε αυτό το διάστημα, τότε η εξίσωση f (x) = a έχει μία ρίζα στο διάστημα I.

Κατά την επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο εκτίμησης, χρησιμοποιείται αυτό το θεώρημα και οι ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης.

Παραδείγματα. Επίλυση εξισώσεων: 1. 4x = 5 - x.

Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως 4x + x = 5.

1. αν x \u003d 1, τότε 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 είναι αληθές, τότε το 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Η συνάρτηση f(x) = 4x αυξάνεται στο R και g(x) = x αυξάνεται στο R => h(x)= f(x)+g(x) αυξάνεται στο R ως το άθροισμα των αυξανόμενων συναρτήσεων, οπότε x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης 4x = 5 – x. Απάντηση: 1.

2.

Λύση. Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα .

1. αν x = -1, τότε , 3 = 3-true, άρα x = -1 είναι η ρίζα της εξίσωσης.

2. αποδείξει ότι είναι μοναδικό.

3. Η συνάρτηση f(x) = - μειώνεται στο R, και η g(x) = - x - μειώνεται στο R => h(x) = f(x) + g(x) - μειώνεται στο R, ως το άθροισμα φθίνουσες συναρτήσεις. Άρα από το θεώρημα της ρίζας, x = -1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: -1.

Τράπεζα εργασιών Νο. 2. λύσει την εξίσωση

α) 4x + 1 = 6 - x;

σι)

γ) 2x – 2 =1 – x;

4. Μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών.

Η μέθοδος περιγράφεται στην ενότητα 2.1. Η εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής (υποκατάσταση) πραγματοποιείται συνήθως μετά από μετασχηματισμούς (απλούστευση) των όρων της εξίσωσης. Εξετάστε παραδείγματα.

Παραδείγματα. Rεξίσωση φαγητού: 1. .

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση διαφορετικά: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> δηλαδή..png" width="210" ύψος = "45">

Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση διαφορετικά:

Σημειώστε https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - δεν είναι κατάλληλο.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> είναι μια παράλογη εξίσωση. Σημειώστε ότι

Η λύση της εξίσωσης είναι x = 2,5 ≤ 4, άρα 2,5 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: 2.5.

Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη μορφή και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με 56x+6 ≠ 0. Παίρνουμε την εξίσωση

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, οπότε..png" width="118" height="56">

Οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης - t1 = 1 και t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Λύση . Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα

και σημειώστε ότι είναι ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού.

Διαιρέστε την εξίσωση με 42x, παίρνουμε

Αντικαταστήστε τη https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Απάντηση: 0; 0,5.

Τράπεζα εργασιών #3. λύσει την εξίσωση

σι)

ΣΟΛ)

Δοκιμή #3 με επιλογή απαντήσεων. Ελάχιστο επίπεδο.

Α'1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) χωρίς ρίζες 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) χωρίς ρίζες 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Δοκιμή #4 με επιλογή απαντήσεων. Γενικό επίπεδο.

Α'1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
Α5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) χωρίς ρίζες

5. Μέθοδος παραγοντοποίησης.

1. Λύστε την εξίσωση: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Λύση..png" width="169" height="69"> , από όπου

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Λύση. Ας βγάλουμε 6x στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και 2x στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε την εξίσωση 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Επειδή 2x >0 για όλα τα x, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 2x χωρίς να φοβόμαστε ότι θα χάσουμε λύσεις. Παίρνουμε 3x = 1 x = 0.

3.

Λύση. Λύνουμε την εξίσωση με παραγοντοποίηση.

Επιλέγουμε το τετράγωνο του διωνύμου

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Εξίσωση x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Δοκιμή #6 Γενικό επίπεδο.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
Α2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
Α3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
Α4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
Α5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Εκθετικές - εξισώσεις ισχύος.

Οι εκθετικές εξισώσεις συνδέονται με τις λεγόμενες εξισώσεις εκθετικής ισχύος, δηλαδή εξισώσεις της μορφής (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Αν είναι γνωστό ότι f(x)>0 και f(x) ≠ 1, τότε η εξίσωση, όπως και η εκθετική, λύνεται εξισώνοντας τους εκθέτες g(x) = f(x).

Εάν η συνθήκη δεν αποκλείει την πιθανότητα f(x)=0 και f(x)=1, τότε πρέπει να λάβουμε υπόψη αυτές τις περιπτώσεις κατά την επίλυση της εξίσωσης εκθετικής ισχύος.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Λύση. x2 +2x-8 - έχει νόημα για οποιοδήποτε x, επειδή ένα πολυώνυμο, άρα η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύνολο

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

σι)

7. Εκθετικές εξισώσεις με παραμέτρους.

1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου p έχει μοναδική λύση η εξίσωση 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1);

Λύση. Ας εισάγουμε την αλλαγή 2x = t, t > 0, τότε η εξίσωση (1) θα πάρει τη μορφή t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Η διάκριση της εξίσωσης (2) είναι D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Η εξίσωση (1) έχει μια μοναδική λύση εάν η εξίσωση (2) έχει μια θετική ρίζα. Αυτό είναι δυνατό στις ακόλουθες περιπτώσεις.

1. Αν D = 0, δηλαδή p = 1, τότε η εξίσωση (2) θα πάρει τη μορφή t2 – 2t + 1 = 0, άρα t = 1, επομένως, η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση x = 0.

2. Αν p1, τότε 9(p – 1)2 > 0, τότε η εξίσωση (2) έχει δύο διαφορετική ρίζα t1 = p, t2 = 4p – 3. Η συνθήκη του προβλήματος ικανοποιείται από το σύνολο των συστημάτων

Αντικαθιστώντας τα t1 και t2 στα συστήματα, έχουμε

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Λύση. Αφήνω τότε η εξίσωση (3) θα πάρει τη μορφή t2 – 6t – a = 0. (4)

Ας βρούμε τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης (4) ικανοποιεί τη συνθήκη t > 0.

Ας εισάγουμε τη συνάρτηση f(t) = t2 – 6t – a. Οι ακόλουθες περιπτώσεις είναι πιθανές.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Περίπτωση 2. Η εξίσωση (4) έχει μοναδική θετική λύση αν

D = 0, εάν a = – 9, τότε η εξίσωση (4) θα πάρει τη μορφή (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Περίπτωση 3. Η εξίσωση (4) έχει δύο ρίζες, αλλά η μία από αυτές δεν ικανοποιεί την ανισότητα t > 0. Αυτό είναι δυνατό αν

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Έτσι, στο a 0 η εξίσωση (4) έχει μία μόνο θετική ρίζα . Τότε η εξίσωση (3) έχει μια μοναδική λύση

Για ένα< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

αν ένα< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
αν a = – 9, τότε x = – 1;

αν a  0, τότε

Ας συγκρίνουμε τις μεθόδους για την επίλυση των εξισώσεων (1) και (3). Σημειώστε ότι κατά την επίλυση της εξίσωσης (1) ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, η διάκριση της οποίας είναι ένα πλήρες τετράγωνο. Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης (2) υπολογίστηκαν αμέσως με τον τύπο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και στη συνέχεια εξήχθησαν συμπεράσματα σχετικά με αυτές τις ρίζες. Η εξίσωση (3) έχει αναχθεί στην δευτεροβάθμια εξίσωση (4), της οποίας η διάκριση δεν είναι πλήρες τετράγωνο, επομένως, κατά την επίλυση της εξίσωσης (3), συνιστάται η χρήση θεωρημάτων για τη θέση των ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου και ενός γραφικού μοντέλου. Σημειώστε ότι η εξίσωση (4) μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta.

Ας λύσουμε πιο σύνθετες εξισώσεις.

Εργασία 3. Λύστε την εξίσωση

Λύση. ODZ: x1, x2.

Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση. Έστω 2x = t, t > 0, τότε ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών η εξίσωση θα πάρει τη μορφή t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Ας βρούμε τις τιμές του a για τις οποίες τουλάχιστον μία ρίζα του η εξίσωση (*) ικανοποιεί τη συνθήκη t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Απάντηση: αν a > - 13, a  11, a  5, τότε αν a - 13,

a = 11, a = 5, τότε δεν υπάρχουν ρίζες.

Βιβλιογραφία.

1. Guzeev θεμέλια της εκπαιδευτικής τεχνολογίας.

2. Τεχνολογία Guzeev: από τη λήψη στη φιλοσοφία.

Μ. «Διευθυντής» Νο. 4, 1996

3. Guzeev και οργανωτικές μορφές εκπαίδευσης.

4. Guzeev και η πρακτική της ολοκληρωμένης εκπαιδευτικής τεχνολογίας.

Μ. «Λαϊκή εκπαίδευση», 2001

5. Guzeev από τα έντυπα του μαθήματος - σεμιναρίου.

Τα μαθηματικά στο σχολείο Νο 2, 1987, σελ. 9 - 11.

6. Εκπαιδευτικές τεχνολογίες Selevko.

Μ. «Λαϊκή εκπαίδευση», 1998

7. Οι μαθητές του Episheva μαθαίνουν μαθηματικά.

Μ. «Διαφωτισμός», 1990

8. Ο Ιβάνοφ να ετοιμάζει μαθήματα – εργαστήρια.

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο. 6, 1990, σελ. 37-40.

9. Μοντέλο διδασκαλίας μαθηματικών Smirnov.

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 1, 1997, σελ. 32-36.

10. Tarasenko τρόποι οργάνωσης πρακτικής εργασίας.

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 1, 1993, σελ. 27 - 28.

11. Σχετικά με ένα από τα είδη ατομικής εργασίας.

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 2, 1994, σελ. 63 - 64.

12. Δημιουργικές ικανότητες Khazankin των μαθητών.

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 2, 1989, σελ. δέκα.

13. Σκανάβι. Εκδότης, 1997

14. et al. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Διδακτικό υλικόΓια

15. Εργασίες Krivonogov στα μαθηματικά.

Μ. «Πρωτο Σεπτέμβρη», 2002

16. Τσερκάσοφ. Εγχειρίδιο για μαθητές γυμνασίου και

εισαγωγή στα πανεπιστήμια. "A S T - σχολή τύπου", 2002

17. Zhevnyak για αιτούντες σε πανεπιστήμια.

Minsk and RF "Review", 1996

18. Γραπτή Δ. Προετοιμασία για την εξέταση στα μαθηματικά. M. Rolf, 1999

19. και άλλα Μαθαίνοντας να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις.

Μ. «Διάνοια – Κέντρο», 2003

20. και άλλα.Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία για το E G E.

Μ. «Διάνοια – Κέντρο», 2003 και 2004

21 και άλλα.Παραλλαγές CMM. Κέντρο δοκιμών του Υπουργείου Άμυνας της Ρωσικής Ομοσπονδίας, 2002, 2003

22. Εξισώσεις Goldberg. «Quantum» Νο. 3, 1971

23. Volovich M. Πώς να διδάξετε με επιτυχία μαθηματικά.

Μαθηματικά, 1997 Νο. 3.

24 Okunev για το μάθημα, παιδιά! Μ. Διαφωτισμός, 1988

25. Yakimanskaya - προσανατολισμένη εκπαίδευση στο σχολείο.

26. Liimets δουλειά στο μάθημα. M. Knowledge, 1975