Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται μέσος όρος. τυπική απόκλισηαπό τον μέσο όρο, ο οποίος υπολογίζεται ως εξής:
Ένας στοιχειώδης αλγεβρικός μετασχηματισμός του τύπου τυπικής απόκλισης τον φέρνει στην ακόλουθη μορφή:
Αυτός ο τύπος είναι συχνά πιο βολικός στην πρακτική των υπολογισμών.
Η τυπική απόκλιση, καθώς και η μέση γραμμική απόκλιση, δείχνει πόσο οι συγκεκριμένες τιμές του χαρακτηριστικού αποκλίνουν κατά μέσο όρο από τη μέση τιμή τους. Η τυπική απόκλιση είναι πάντα μεγαλύτερη από τη μέση γραμμική απόκλιση. Υπάρχει μια σχέση μεταξύ τους:
Γνωρίζοντας αυτή την αναλογία, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το άγνωστο από τους γνωστούς δείκτες, για παράδειγμα, αλλά (ΕΓΩ υπολογίζει και το αντίστροφο. Η τυπική απόκλιση μετρά το απόλυτο μέγεθος της διακύμανσης των χαρακτηριστικών και εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις τιμές των χαρακτηριστικών (ρούβλια, τόνοι, έτη κ.λπ.). Είναι ένα απόλυτο μέτρο διακύμανσης.
Για εναλλακτικά χαρακτηριστικά, πχ παρουσία ή απουσία ανώτερη εκπαίδευση, οι τύποι ασφάλισης, διακύμανσης και τυπικής απόκλισης είναι:
Θα δείξουμε τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης σύμφωνα με τα δεδομένα μιας διακριτής σειράς που χαρακτηρίζει την κατανομή των φοιτητών μιας από τις σχολές του πανεπιστημίου ανά ηλικία (Πίνακας 6.2).
Πίνακας 6.2.
Τα αποτελέσματα των βοηθητικών υπολογισμών δίνονται στις στήλες 2-5 του Πίνακα. 6.2.
Η μέση ηλικία ενός μαθητή, έτη, προσδιορίζεται από τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο (στήλη 2):
Τα τετράγωνα της απόκλισης της ατομικής ηλικίας του μαθητή από τον μέσο όρο περιλαμβάνονται στις στήλες 3-4 και τα γινόμενα των τετραγώνων των αποκλίσεων κατά τις αντίστοιχες συχνότητες βρίσκονται στη στήλη 5.
Η διασπορά της ηλικίας των μαθητών, έτη, βρίσκουμε με τον τύπο (6.2):
Τότε o \u003d l / 3,43 1,85 * oda, δηλ. κάθε συγκεκριμένη τιμή της ηλικίας του μαθητή αποκλίνει από τη μέση τιμή κατά 1,85 έτος.
Ο συντελεστής διακύμανσης
Στην απόλυτη τιμή της, η τυπική απόκλιση εξαρτάται όχι μόνο από τον βαθμό διακύμανσης του χαρακτηριστικού, αλλά και από τα απόλυτα επίπεδα των παραλλαγών και τον μέσο όρο. Επομένως, είναι αδύνατο να συγκριθούν άμεσα οι τυπικές αποκλίσεις των μεταβλητών σειρών με διαφορετικά μέσα επίπεδα. Για να μπορέσουμε να κάνουμε μια τέτοια σύγκριση, πρέπει να βρούμε την αναλογία της μέσης απόκλισης (γραμμική ή τετραγωνική) στον μέσο όρο αριθμητικός δείκτης, εκφρασμένο ως ποσοστό, δηλ. υπολογίζω σχετικοί δείκτες διακύμανσης.
Γραμμικός συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο
Ο συντελεστής διακύμανσης καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:
Στους συντελεστές διακύμανσης, όχι μόνο η ασυμβατότητα που σχετίζεται με διάφορες μονάδεςμετρήσεις του υπό μελέτη γνωρίσματος, αλλά και ασυμβατότητα που προκύπτει από διαφορές στην τιμή των αριθμητικών μέσων. Επιπλέον, οι δείκτες διακύμανσης δίνουν ένα χαρακτηριστικό της ομοιογένειας του πληθυσμού. Το σύνολο θεωρείται ομοιογενές εάν ο συντελεστής διακύμανσης δεν υπερβαίνει το 33%.
Σύμφωνα με τον Πίνακα. 6.2 και τα αποτελέσματα των υπολογισμών που ελήφθησαν παραπάνω, προσδιορίζουμε τον συντελεστή διακύμανσης,%, σύμφωνα με τον τύπο (6.3):
Εάν ο συντελεστής διακύμανσης υπερβαίνει το 33%, τότε αυτό υποδηλώνει την ετερογένεια του πληθυσμού που μελετήθηκε. Η τιμή που προκύπτει στην περίπτωσή μας δείχνει ότι ο πληθυσμός των μαθητών ανά ηλικία είναι ομοιογενής ως προς τη σύνθεση. Έτσι, μια σημαντική λειτουργία των γενικευμένων δεικτών διακύμανσης είναι η αξιολόγηση της αξιοπιστίας των μέσων όρων. Το λιγότερο c1, α2 και V, τόσο πιο ομοιογενές είναι το σύνολο φαινομένων που προκύπτει και τόσο πιο αξιόπιστος ο μέσος όρος που προκύπτει. Σύμφωνα με τον «κανόνα των τριών σίγμα» που θεωρείται από τις μαθηματικές στατιστικές, σε κανονικά κατανεμημένες ή κοντά σε αυτές σειρές, αποκλίσεις από τον αριθμητικό μέσο όρο, που δεν υπερβαίνουν το ± 3ο, εμφανίζονται σε 997 περιπτώσεις από τις 1000. Έτσι, γνωρίζοντας Χ και α, μπορείτε να πάρετε μια γενική αρχική ιδέα για τη σειρά παραλλαγής. Εάν, για παράδειγμα, ο μέσος μισθός ενός υπαλλήλου στην εταιρεία ήταν 25.000 ρούβλια και το a είναι 100 ρούβλια, τότε με πιθανότητα σχεδόν βεβαιότητα, μπορεί να υποστηριχθεί ότι ο μισθός των εργαζομένων της εταιρείας ποικίλλει εντός (25.000 ± 3 x 100 ) δηλ. από 24.700 έως 25.300 ρούβλια.
Κατά τον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, κατά τη μέτρηση μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών.
Τυπική απόκλιση:
Τυπική απόκλιση(εκτίμηση της τυπικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής Δάπεδο, τοίχοι γύρω μας και η οροφή, Χσε σχέση με τη μαθηματική του προσδοκία που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσής του):
όπου - διακύμανση; - Το πάτωμα, οι τοίχοι γύρω μας και η οροφή, Εγώ-ο δείγμα στοιχείου? - το μέγεθος του δείγματος; - αριθμητικός μέσος όρος του δείγματος:
Πρέπει να σημειωθεί ότι και οι δύο εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές. Στη γενική περίπτωση, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια αμερόληπτη εκτίμηση. Ωστόσο, μια εκτίμηση που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση διακύμανσης είναι συνεπής.
κανόνας τριών σίγμα
κανόνας τριών σίγμα() - σχεδόν όλες οι τιμές μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο διάστημα . Πιο αυστηρά - με βεβαιότητα τουλάχιστον 99,7%, η τιμή μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται στο καθορισμένο διάστημα (με την προϋπόθεση ότι η τιμή είναι αληθής και δεν λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας του δείγματος).
Εάν η πραγματική τιμή είναι άγνωστη, τότε δεν πρέπει να χρησιμοποιήσετε, αλλά το πάτωμα, τους τοίχους γύρω μας και την οροφή, μικρό. Έτσι, ο κανόνας των τριών σίγμα μεταφράζεται στον κανόνα των τριών ορόφων, των τοίχων γύρω μας και της οροφής, μικρό .
Ερμηνεία της τιμής της τυπικής απόκλισης
Μια μεγάλη τιμή της τυπικής απόκλισης δείχνει μια μεγάλη διασπορά τιμών στο παρουσιαζόμενο σύνολο συν μέση τιμήσκηνικά; μια μικρή τιμή, αντίστοιχα, δείχνει ότι οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μέση τιμή.
Για παράδειγμα, έχουμε τρία σύνολα αριθμών: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) και (6, 6, 8, 8). Και τα τρία σύνολα έχουν μέσες τιμές 7 και τυπικές αποκλίσεις 7, 5 και 1, αντίστοιχα. Το τελευταίο σύνολο έχει μια μικρή τυπική απόκλιση επειδή οι τιμές στο σύνολο συγκεντρώνονται γύρω από το μέσο όρο. το πρώτο σετ έχει τα περισσότερα μεγάλης σημασίαςτυπική απόκλιση - οι τιμές εντός του συνόλου αποκλίνουν έντονα από τη μέση τιμή.
Σε γενικές γραμμές, η τυπική απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο αβεβαιότητας. Για παράδειγμα, στη φυσική, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του σφάλματος μιας σειράς διαδοχικών μετρήσεων κάποιας ποσότητας. Αυτή η τιμή είναι πολύ σημαντική για τον προσδιορισμό της αληθοφάνειας του υπό μελέτη φαινομένου σε σύγκριση με την τιμή που προβλέπεται από τη θεωρία: εάν η μέση τιμή των μετρήσεων είναι πολύ διαφορετική από τις τιμές που προβλέπονται από τη θεωρία (μεγάλη τυπική απόκλιση), τότε οι λαμβανόμενες τιμές ή η μέθοδος απόκτησής τους θα πρέπει να επανελεγχθούν.
Πρακτική χρήση
Στην πράξη, η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε πόσο οι τιμές στο σετ μπορούν να διαφέρουν από τη μέση τιμή.
Κλίμα
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο πόλεις με την ίδια μέση ημερήσια μέγιστη θερμοκρασία, αλλά η μία βρίσκεται στην ακτή και η άλλη στην ενδοχώρα. Οι παράκτιες πόλεις είναι γνωστό ότι έχουν πολλές διαφορετικές ημερήσιες μέγιστες θερμοκρασίες χαμηλότερες από τις πόλεις της ενδοχώρας. Επομένως, η τυπική απόκλιση των μέγιστων ημερήσιων θερμοκρασιών για την παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από τη δεύτερη πόλη, παρά το γεγονός ότι έχουν την ίδια μέση τιμή αυτής της τιμής, πράγμα που στην πράξη σημαίνει ότι η πιθανότητα Μέγιστη θερμοκρασίαΟ αέρας κάθε συγκεκριμένης ημέρας του έτους θα διαφέρει περισσότερο από τη μέση τιμή, υψηλότερη για μια πόλη που βρίσκεται εντός της ηπείρου.
Αθλημα
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πολλά ποδοσφαιρικές ομάδες, οι οποίες αξιολογούνται από ορισμένες παραμέτρους, για παράδειγμα, τον αριθμό των γκολ που σημειώθηκαν και δέχθηκαν, τις ευκαιρίες για γκολ κ.λπ. Το πιο πιθανό είναι ότι η καλύτερη ομάδα αυτού του ομίλου θα έχει καλύτερες αξίεςεπί περισσότεροΠαράμετροι. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση της ομάδας για κάθε μία από τις παραμέτρους που παρουσιάζονται, τόσο πιο προβλέψιμο είναι το αποτέλεσμα της ομάδας, τέτοιες ομάδες είναι ισορροπημένες. Από την άλλη, η ομάδα με μεγάλη αξίαΗ τυπική απόκλιση είναι δύσκολο να προβλεφθεί το αποτέλεσμα, το οποίο με τη σειρά του εξηγείται από την ανισορροπία, για παράδειγμα, ισχυρή άμυνα, αλλά αδύναμη επίθεση.
Η χρήση της τυπικής απόκλισης των παραμέτρων της ομάδας επιτρέπει σε κάποιον να προβλέψει το αποτέλεσμα του αγώνα μεταξύ δύο ομάδων σε κάποιο βαθμό, αξιολογώντας τα δυνατά σημεία και αδύναμες πλευρέςεντολές, και ως εκ τούτου οι επιλεγμένες μέθοδοι αγώνα.
Τεχνική ανάλυση
δείτε επίσης
Βιβλιογραφία
| Αυτό το άρθρο προτείνεται για διαγραφή.
Μια εξήγηση των λόγων και μια αντίστοιχη συζήτηση μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Wikipedia:Θα διαγραφεί/17 Δεκεμβρίου 2012. |
* Borovikov, V.ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Η τέχνη της ανάλυσης δεδομένων υπολογιστή: Για επαγγελματίες / V. Borovikov. - Αγία Πετρούπολη. : Peter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1.
| Στατιστικοί δείκτες | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| περιγραφικός στατιστική |
|
||||||||||
| Στατιστικός απόσυρση και εξέταση υποθέσεις |
| ||||||||||
Το πρόγραμμα Excel εκτιμάται ιδιαίτερα τόσο από επαγγελματίες όσο και από ερασιτέχνες, επειδή ένας χρήστης οποιουδήποτε επιπέδου εκπαίδευσης μπορεί να συνεργαστεί με αυτό. Για παράδειγμα, όποιος έχει ελάχιστες δεξιότητες «επικοινωνίας» με το Excel μπορεί να σχεδιάσει ένα απλό γράφημα, να κάνει ένα αξιοπρεπές σημάδι κ.λπ.
Ωστόσο, αυτό το πρόγραμμα σας επιτρέπει ακόμη και να εκτελέσετε διάφορα είδηυπολογισμοί, για παράδειγμα, υπολογισμοί, αλλά αυτό απαιτεί ήδη ένα ελαφρώς διαφορετικό επίπεδο εκπαίδευσης. Ωστόσο, εάν μόλις ξεκινήσατε μια στενή γνωριμία με αυτό το πρόγραμμα και ενδιαφέρεστε για όλα όσα θα σας βοηθήσουν να γίνετε πιο προχωρημένος χρήστης, αυτό το άρθρο είναι για εσάς. Σήμερα θα σας πω ποιος είναι ο μέσος όρος τυπική απόκλισητύπος στο excel, γιατί χρειάζεται καθόλου και, μάλιστα, πότε χρησιμοποιείται. Πηγαίνω!
Τι είναι
Ας ξεκινήσουμε με τη θεωρία. Η τυπική απόκλιση ονομάζεται συνήθως τετραγωνική ρίζα, που λαμβάνεται από τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των τετραγωνικών διαφορών μεταξύ των διαθέσιμων τιμών, καθώς και από τον αριθμητικό μέσο όρο τους. Παρεμπιπτόντως, αυτή η τιμή ονομάζεται συνήθως το ελληνικό γράμμα "σίγμα". Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο STDEV, αντίστοιχα, το πρόγραμμα το κάνει για τον ίδιο τον χρήστη.
Το θέμα είναι αυτή η έννοιαείναι να αποκαλύψει τον βαθμό μεταβλητότητας του οργάνου, δηλαδή είναι, με τον δικό του τρόπο, ένας δείκτης περιγραφικά στατιστικά. Αποκαλύπτει αλλαγές στη μεταβλητότητα του οργάνου σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο. Χρησιμοποιώντας τύπους STDEV, μπορείτε να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση ενός δείγματος, ενώ οι τιμές boolean και κειμένου αγνοούνται.
Τύπος
Βοηθά στον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης στον τύπο excel, ο οποίος παρέχεται αυτόματα στο Excel. Για να το βρείτε, πρέπει να βρείτε την ενότητα τύπου στο Excel και ήδη εκεί επιλέξτε αυτό που έχει το όνομα STDEV, οπότε είναι πολύ απλό.
Μετά από αυτό, θα εμφανιστεί ένα παράθυρο μπροστά σας στο οποίο θα πρέπει να εισαγάγετε δεδομένα για τον υπολογισμό. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να εισαχθούν δύο αριθμοί σε ειδικά πεδία, μετά τα οποία το πρόγραμμα θα υπολογίζει αυτόματα την τυπική απόκλιση για το δείγμα.
Αναμφίβολα, οι μαθηματικοί τύποι και οι υπολογισμοί είναι ένα αρκετά περίπλοκο ζήτημα και δεν μπορούν όλοι οι χρήστες να το αντιμετωπίσουν αμέσως. Ωστόσο, αν σκάψετε λίγο πιο βαθιά και κατανοήσετε το θέμα λίγο πιο αναλυτικά, αποδεικνύεται ότι δεν είναι όλα τόσο λυπηρά. Ελπίζω να πειστείτε για αυτό με το παράδειγμα του υπολογισμού της τυπικής απόκλισης.
Βίντεο για βοήθεια
Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσω για πώς να βρείτε την τυπική απόκλιση. Αυτό το υλικό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την πλήρη κατανόηση των μαθηματικών, επομένως ένας καθηγητής μαθηματικών θα πρέπει να αφιερώσει ένα ξεχωριστό μάθημα ή ακόμα και πολλά στη μελέτη του. Σε αυτό το άρθρο, θα βρείτε έναν σύνδεσμο προς ένα λεπτομερές και κατανοητό εκπαιδευτικό βίντεο που εξηγεί ποια είναι η τυπική απόκλιση και πώς να την βρείτε.
τυπική απόκλισηκαθιστά δυνατή την εκτίμηση της εξάπλωσης των τιμών που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της μέτρησης μιας συγκεκριμένης παραμέτρου. Συμβολίζεται με ένα σύμβολο (ελληνικό γράμμα «σίγμα»).
Ο τύπος για τον υπολογισμό είναι αρκετά απλός. Για να βρείτε την τυπική απόκλιση, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Τώρα λοιπόν πρέπει να ρωτήσετε, «Τι είναι η διακύμανση;»
Τι είναι η διασπορά
Ο ορισμός της διακύμανσης είναι ο ακόλουθος. Η διασπορά είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών από τον μέσο όρο.
Για να βρείτε τη διακύμανση, εκτελέστε τους ακόλουθους υπολογισμούς διαδοχικά:
- Προσδιορίστε τον μέσο όρο (απλός αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς τιμών).
- Στη συνέχεια, αφαιρέστε τον μέσο όρο από καθεμία από τις τιμές και τετραγωνίστε τη διαφορά που προκύπτει (πήραμε διαφορά στο τετράγωνο).
- Το επόμενο βήμα είναι να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο των τετραγώνων των διαφορών που προέκυψαν (Μπορείτε να μάθετε γιατί ακριβώς τα τετράγωνα είναι παρακάτω).
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι εσείς και οι φίλοι σας αποφασίσατε να μετρήσετε το ύψος των σκύλων σας (σε χιλιοστά). Ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, λάβατε τις ακόλουθες μετρήσεις ύψους (στο ακρώμιο): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm και 300 mm.
Ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.
Ας βρούμε πρώτα τον μέσο όρο. Όπως ήδη γνωρίζετε, για αυτό πρέπει να προσθέσετε όλες τις μετρούμενες τιμές και να διαιρέσετε με τον αριθμό των μετρήσεων. Πρόοδος υπολογισμού:
Μέσος όρος mm.
Άρα, ο μέσος όρος (αριθμητικός μέσος όρος) είναι 394 mm.
Τώρα πρέπει να ορίσουμε απόκλιση του ύψους καθενός από τους σκύλους από τον μέσο όρο:
Τελικά, για τον υπολογισμό της διακύμανσης, καθεμία από τις λαμβανόμενες διαφορές είναι τετράγωνο και, στη συνέχεια, βρίσκουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αποτελεσμάτων που προέκυψαν:
Διασπορά mm 2 .
Έτσι, η διασπορά είναι 21704 mm2.
Πώς να βρείτε την τυπική απόκλιση
Πώς να υπολογίσετε τώρα την τυπική απόκλιση, γνωρίζοντας τη διακύμανση; Όπως θυμόμαστε, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του. Δηλαδή, η τυπική απόκλιση είναι:
mm (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό σε mm).
Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, διαπιστώσαμε ότι ορισμένα σκυλιά (για παράδειγμα, τα ροτβάιλερ) είναι πολύ μεγάλα σκυλιά. Υπάρχουν όμως και πολύ μικρά σκυλιά (για παράδειγμα, dachshunds, αλλά δεν πρέπει να τους το πείτε αυτό).
Το πιο ενδιαφέρον πράγμα είναι ότι η τυπική απόκλιση φέρει ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ. Τώρα μπορούμε να δείξουμε ποια από τα ληφθέντα αποτελέσματα της μέτρησης της ανάπτυξης βρίσκονται εντός του διαστήματος που λαμβάνουμε, αν παραμερίσουμε από τον μέσο όρο (και στις δύο πλευρές του) την τυπική απόκλιση.
Δηλαδή, χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση, παίρνουμε μια "τυπική" μέθοδο που σας επιτρέπει να μάθετε ποιες από τις τιμές είναι κανονικές (στατιστικός μέσος όρος) και ποιες είναι εξαιρετικά μεγάλες ή, αντίθετα, μικρές.
Τι είναι η τυπική απόκλιση
Αλλά ... τα πράγματα θα είναι λίγο διαφορετικά αν αναλύσουμε δειγματοληψίαδεδομένα. Στο παράδειγμά μας, εξετάσαμε ο γενικός πληθυσμός.Δηλαδή τα 5 σκυλιά μας ήταν τα μόνα σκυλιά στον κόσμο που μας ενδιέφεραν.
Αλλά εάν τα δεδομένα είναι δείγμα (τιμές που επιλέχθηκαν από μεγάλο πληθυσμό), τότε οι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν διαφορετικά.
Εάν υπάρχουν τιμές, τότε:
Όλοι οι άλλοι υπολογισμοί γίνονται με τον ίδιο τρόπο, συμπεριλαμβανομένου του προσδιορισμού του μέσου όρου.
Για παράδειγμα, εάν τα πέντε σκυλιά μας είναι απλώς ένα δείγμα ενός πληθυσμού σκύλων (όλα τα σκυλιά στον πλανήτη), πρέπει να διαιρέσουμε με 4 αντί για 5και συγκεκριμένα:
Διακύμανση δείγματος = 
mm 2 .
Στην περίπτωση αυτή, η τυπική απόκλιση για το δείγμα είναι ίση με 
mm (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό).
Μπορούμε να πούμε ότι κάναμε κάποια «διόρθωση» στην περίπτωση που οι αξίες μας είναι απλώς ένα μικρό δείγμα.
Σημείωση. Γιατί ακριβώς τα τετράγωνα των διαφορών;
Γιατί όμως παίρνουμε τα τετράγωνα των διαφορών κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης; Ας παραδεχτούμε κατά τη μέτρηση κάποιας παραμέτρου, λάβατε το ακόλουθο σύνολο τιμών: 4; τέσσερα? -τέσσερα; - τέσσερα. Αν προσθέσουμε απλώς τις απόλυτες αποκλίσεις από τον μέσο όρο (διαφορά) μεταξύ τους ... οι αρνητικές τιμές ακυρώνονται με τις θετικές:
.
Αποδεικνύεται ότι αυτή η επιλογή είναι άχρηστη. Τότε ίσως αξίζει να δοκιμάσετε τις απόλυτες τιμές των αποκλίσεων (δηλαδή τις ενότητες αυτών των τιμών);
Με την πρώτη ματιά, αποδεικνύεται ότι δεν είναι κακό (η τιμή που προκύπτει, παρεμπιπτόντως, ονομάζεται μέση απόλυτη απόκλιση), αλλά όχι σε όλες τις περιπτώσεις. Ας δοκιμάσουμε ένα άλλο παράδειγμα. Αφήστε τη μέτρηση να έχει ως αποτέλεσμα το ακόλουθο σύνολο τιμών: 7; ένας; -6; -2. Τότε η μέση απόλυτη απόκλιση είναι:
Blimey! Πήραμε πάλι το αποτέλεσμα 4, αν και οι διαφορές έχουν πολύ μεγαλύτερη εξάπλωση.
Τώρα ας δούμε τι θα συμβεί αν τετραγωνίσουμε τις διαφορές (και μετά πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος τους).
Για το πρώτο παράδειγμα, λαμβάνετε:
.
Για το δεύτερο παράδειγμα, λαμβάνετε:
Τώρα είναι τελείως διαφορετικό θέμα! Η απόκλιση ρίζας-μέσος τετραγώνου είναι όσο μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερη είναι η εξάπλωση των διαφορών ... για το οποίο προσπαθούσαμε.
Στην πραγματικότητα, σε αυτή τη μέθοδοχρησιμοποιείται η ίδια ιδέα όπως στον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ των σημείων, εφαρμόζεται μόνο με διαφορετικό τρόπο.
Και από μαθηματική άποψη, η χρήση των τετραγώνων και τετραγωνικές ρίζεςδίνει μεγαλύτερη τιμή από ό,τι θα μπορούσαμε να πάρουμε από τις απόλυτες τιμές των αποκλίσεων, λόγω των οποίων η τυπική απόκλιση είναι εφαρμόσιμη σε άλλα μαθηματικά προβλήματα.
Ο Sergey Valerievich σας είπε πώς να βρείτε την τυπική απόκλιση
Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση
Ας μετρήσουμε μια τυχαία μεταβλητή Νφορές, για παράδειγμα, μετράμε την ταχύτητα του ανέμου δέκα φορές και θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή. Πώς σχετίζεται η μέση τιμή με τη συνάρτηση κατανομής;
θα ρίξουμε ζάρια ένας μεγάλος αριθμός απόμια φορά. Ο αριθμός των πόντων που θα πέσει στο ζάρι κατά τη διάρκεια κάθε ρίψης είναι μια τυχαία μεταβλητή και μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε φυσικές τιμές από 1 έως 6. Νφιλοδοξεί να συγκεκριμένο αριθμό- μαθηματική προσδοκία Μχ. Σε αυτήν την περίπτωση Μχ = 3,5.
Πώς προέκυψε αυτή η τιμή; Αφήνω μέσα ΝΟι δοκιμές μία φορά έπεσαν έξω 1 βαθμό, μία φορά - 2 βαθμούς και ούτω καθεξής. Επειτα Ν→ ∞ ο αριθμός των αποτελεσμάτων στα οποία έπεσε ένας βαθμός, Ομοίως, Από εδώ
Μοντέλο 4.5. Ζάρια
Ας υποθέσουμε τώρα ότι γνωρίζουμε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή γνωρίζουμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει αξίες Χ 1 , Χ 2 , ..., x kμε πιθανότητες Π 1 , Π 2 , ..., σελ κ.
Αναμενόμενη αξία Μχτυχαία μεταβλητή Χισούται με:
Απάντηση. 2,8.
Η μαθηματική προσδοκία δεν είναι πάντα μια λογική εκτίμηση κάποιας τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο μισθοίΕίναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται η έννοια του διάμεσου, δηλαδή τέτοιας τιμής ώστε ο αριθμός των ατόμων που λαμβάνουν λιγότερο από τον διάμεσο μισθό και περισσότερο, να είναι ο ίδιος.
διάμεσοςμια τυχαία μεταβλητή ονομάζεται αριθμός Χ 1/2 τέτοιο που Π (Χ < Χ 1/2) = 1/2.
Με άλλα λόγια, η πιθανότητα Π 1 ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα είναι λιγότερο Χ 1/2 , και η πιθανότητα Π 2 ότι μια τυχαία μεταβλητή Χθα είναι μεγαλύτερη ΧΤο 1/2 είναι ίδιο και ίσο με 1/2. Η διάμεσος δεν καθορίζεται μοναδικά για όλες τις κατανομές.
Επιστροφή στην τυχαία μεταβλητή Χ, το οποίο μπορεί να πάρει τις τιμές Χ 1 , Χ 2 , ..., x kμε πιθανότητες Π 1 , Π 2 , ..., σελ κ.
διασποράτυχαία μεταβλητή Χείναι η μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:
Παράδειγμα 2
Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος, υπολογίστε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.
Απάντηση. 0,16, 0,4.
Μοντέλο 4.6. σκοποβολή
Παράδειγμα 3
Βρείτε την κατανομή πιθανότητας του αριθμού των σημείων που κυλήθηκαν στο ζάρι από την πρώτη ρίψη, τη διάμεσο, τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και τυπική απόκλιση.
Η πτώση οποιουδήποτε προσώπου είναι εξίσου πιθανή, επομένως η κατανομή θα μοιάζει με αυτό:
Τυπική απόκλιση Μπορεί να φανεί ότι η απόκλιση της τιμής από τη μέση τιμή είναι πολύ μεγάλη.
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
- Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμά τους μαθηματικές προσδοκίες:
Παράδειγμα 4
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος και του γινόμενου των πόντων που ρίχνονται σε δύο ζάρια.
Στο παράδειγμα 3, βρήκαμε ότι για έναν κύβο Μ (Χ) = 3,5. Έτσι για δύο κύβους
Ιδιότητες διασποράς:
- Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων:
D x + y = D x + Dy.
Αφήστε για Νζάρια yσημεία. Επειτα
Αυτό το αποτέλεσμα δεν ισχύει μόνο για τα ζάρια. Σε πολλές περιπτώσεις, καθορίζει την ακρίβεια της μέτρησης της μαθηματικής προσδοκίας εμπειρικά. Μπορεί να φανεί ότι με αύξηση του αριθμού των μετρήσεων Νη εξάπλωση των τιμών γύρω από τον μέσο όρο, δηλαδή την τυπική απόκλιση, μειώνεται αναλογικά
Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται με τη μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου αυτής της τυχαίας μεταβλητής με την ακόλουθη σχέση:
Ας βρούμε τις μαθηματικές προσδοκίες και των δύο μερών αυτής της ισότητας. Εξ ορισμού,
Η μαθηματική προσδοκία της δεξιάς πλευράς της ισότητας, σύμφωνα με την ιδιότητα των μαθηματικών προσδοκιών, είναι ίση με
Τυπική απόκλιση
τυπική απόκλισηισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
Κατά τον προσδιορισμό της τυπικής απόκλισης για έναν αρκετά μεγάλο όγκο του πληθυσμού που μελετήθηκε (n> 30), χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:
Παρόμοιες πληροφορίες.