Ένα άλλο δημοφιλές πρόβλημα στη θεωρία πιθανοτήτων (μαζί με το πρόβλημα της ρίψης νομισμάτων) είναι πρόβλημα ρίψης ζαριών.
Συνήθως η εργασία ακούγεται ως εξής: ρίχνονται ένα ή περισσότερα ζάρια (συνήθως 2, σπάνια 3). Πρέπει να βρείτε την πιθανότητα ότι ο αριθμός των πόντων είναι 4, ή το άθροισμα των πόντων είναι 10, ή το γινόμενο του αριθμού των πόντων διαιρείται με το 2, ή οι αριθμοί των πόντων διαφέρουν κατά 3, κ.ο.κ.
Η κύρια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι η χρήση του κλασικού τύπου πιθανοτήτων, τον οποίο θα αναλύσουμε στα παρακάτω παραδείγματα.
Αφού εξοικειωθείτε με τις μεθόδους λύσης, μπορείτε να κατεβάσετε ένα εξαιρετικά χρήσιμο για τη ρίψη 2 ζαριών (με πίνακες και παραδείγματα).
Ένα ζάρι
Με ένα ζάρι, η κατάσταση είναι άσεμνα απλή. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η πιθανότητα βρίσκεται με τον τύπο $P=m/n$, όπου $n$ είναι ο αριθμός όλων των εξίσου πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του πειράματος με το πέταγμα μιας μήτρας ή μήτρας και $m$ είναι ο αριθμός από εκείνα τα αποτελέσματα που ευνοούν την εκδήλωση.
Παράδειγμα 1 Τα ζάρια ρίχνονται μια φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;
Αφού το ζάρι είναι κύβος (λένε κι αυτοί σωστά ζάρια, δηλαδή, η μήτρα είναι ισορροπημένη, άρα πέφτει σε όλες τις όψεις με την ίδια πιθανότητα), η μήτρα έχει 6 όψεις (με έναν αριθμό σημείων από το 1 έως το 6, που συνήθως υποδηλώνονται με τελείες), και στη συνέχεια ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων σε το πρόβλημα είναι $n=6$. Το γεγονός ευνοείται μόνο από τέτοια αποτελέσματα όταν ένα πρόσωπο με 2, 4 ή 6 πόντους (μόνο ζυγοί) πέσει έξω, τέτοιες όψεις είναι $m=3$. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με $P=3/6=1/2=0,5$.
Παράδειγμα 2 Ένα ζάρι ρίχνεται. Βρείτε την πιθανότητα να πάρετε τουλάχιστον 5 βαθμούς.
Διαφωνούμε με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Ο συνολικός αριθμός εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη ζάρια$n=6$, και η συνθήκη "τουλάχιστον 5 πόντοι έπεσαν έξω", δηλαδή "ή 5 ή 6 πόντοι έπεσαν έξω" ικανοποιείται από 2 αποτελέσματα, $m=2$. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με $P=2/6=1/3=0,333$.
Δεν βλέπω καν νόημα να δίνω περισσότερα παραδείγματα, ας περάσουμε σε δύο ζάρια, όπου όλα είναι πιο ενδιαφέροντα και πιο δύσκολα.
Δύο ζάρια
Όταν πρόκειται για προβλήματα με τη ρίψη 2 ζαριών, είναι πολύ βολικό στη χρήση πίνακας βαθμολογίας. Ας σχεδιάσουμε τον αριθμό των σημείων στην πρώτη μήτρα οριζόντια και τον αριθμό των σημείων της δεύτερης μήτρας κάθετα. Ας πάρουμε ένα τέτοιο κενό (συνήθως το κάνω στο Excel, μπορείτε να κάνετε λήψη του αρχείου):
Και τι γίνεται με τα κελιά του πίνακα, ρωτάτε; Και εξαρτάται από το τι πρόβλημα θα λύσουμε. Θα υπάρξει μια εργασία σχετικά με το άθροισμα των πόντων - θα γράψουμε το άθροισμα εκεί, για τη διαφορά - θα σημειώσουμε τη διαφορά, και ούτω καθεξής. Ξεκινάμε;
Παράδειγμα 3 Ρίξτε 2 ζάρια ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα το συνολικό ρολό να είναι μικρότερο από 5.
Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος. όταν βάλαμε ένα ζάρι, όλα ήταν προφανή, 6 πρόσωπα - 6 αποτελέσματα. Υπάρχουν ήδη δύο ζάρια εδώ, επομένως τα αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένα ζεύγη αριθμών της μορφής $(x,y)$, όπου $x$ - πόσοι πόντοι έπεσαν στο πρώτο ζάρι (από 1 έως 6), $ y$ - πόσοι πόντοι έπεσαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6). Προφανώς, θα υπάρχουν $n=6\cdot 6=36$ τέτοιων ζευγών αριθμών (και ακριβώς 36 κελιά στον πίνακα αποτελεσμάτων αντιστοιχούν σε αυτά).
Τώρα ήρθε η ώρα να συμπληρώσετε τον πίνακα. Σε κάθε κελί θα εισάγουμε το άθροισμα του αριθμού των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι και θα έχουμε την παρακάτω εικόνα:
Τώρα αυτός ο πίνακας θα μας βοηθήσει να βρούμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν τα αποτελέσματα του συμβάντος "συνολικά λιγότερα από 5". Για να γίνει αυτό, μετράμε τον αριθμό των κελιών στα οποία η τιμή του αθροίσματος είναι μικρότερη από 5 (δηλαδή 2, 3 ή 4). Για λόγους σαφήνειας, ας ζωγραφίσουμε αυτά τα κελιά, θα είναι $m=6$:
Τότε η πιθανότητα είναι: $P=6/36=1/6$.
Παράδειγμα 4 Ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρείτε την πιθανότητα το γινόμενο του αριθμού των σημείων να διαιρείται με το 3.
Φτιάχνουμε πίνακα με τα γινόμενα των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι. Επιλέξτε αμέσως σε αυτό εκείνους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3:
Απομένει μόνο να σημειωθεί ότι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι $n=36$ (δείτε το προηγούμενο παράδειγμα, ο συλλογισμός είναι ο ίδιος) και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των γεμισμένων κελιών στον παραπάνω πίνακα) είναι $ m=20$. Τότε η πιθανότητα του συμβάντος θα είναι ίση με $P=20/36=5/9$.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτού του είδους οι εργασίες, με την κατάλληλη προετοιμασία (για να διευθετηθούν μερικές ακόμη εργασίες), μπορούν να λυθούν γρήγορα και εύκολα. Για αλλαγή, ας κάνουμε μια ακόμη εργασία με έναν άλλο πίνακα (όλοι οι πίνακες μπορούν να ληφθούν στο κάτω μέρος της σελίδας).
Παράδειγμα 5 Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα η διαφορά μεταξύ του αριθμού των πόντων στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι να είναι από 2 έως 5.
Ας γράψουμε τον πίνακα διαφορών βαθμολογίας, επιλέξτε τα κελιά σε αυτόν, στα οποία η τιμή της διαφοράς θα είναι μεταξύ 2 και 5:
Άρα, ο συνολικός αριθμός εξίσου δυνατών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι $n=36$ και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των γεμισμένων κελιών στον παραπάνω πίνακα) είναι $m=10$. Τότε η πιθανότητα του συμβάντος θα είναι ίση με $P=10/36=5/18$.
Έτσι, στην περίπτωση που πρόκειται να ρίξετε 2 ζάρια και ένα απλό γεγονός, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα, να επιλέξετε τα απαραίτητα κελιά σε αυτόν και να διαιρέσετε τον αριθμό τους με το 36, αυτή θα είναι η πιθανότητα. Εκτός από τις εργασίες για το άθροισμα, το γινόμενο και τη διαφορά στον αριθμό των πόντων, υπάρχουν επίσης εργασίες για το μέτρο της διαφοράς, τον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό πόντων που έχουν πέσει έξω (μπορείτε να βρείτε κατάλληλους πίνακες).
Άλλες εργασίες σχετικά με τα οστά και τους κύβους
Φυσικά, το θέμα δεν περιορίζεται στις δύο κατηγορίες προβλημάτων ρίψης ζαριών που συζητήθηκαν παραπάνω (απλώς είναι τα πιο συχνά που συναντώνται σε προβληματικά βιβλία και εγχειρίδια), υπάρχουν και άλλα. Για αλλαγή και κατανόηση της μεθόδου της κατά προσέγγιση λύσης, ας αναλύσουμε τρία ακόμη χαρακτηριστικά παραδείγματα: για τη ρίψη 3 ζαριών, για την υπό όρους πιθανότητα και για τον τύπο του Bernoulli.
Παράδειγμα 6 Ρίξτε 3 ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα ότι η συνολική έλαση είναι 15.
Στην περίπτωση των 3 ζαριών, τα τραπέζια συντάσσονται λιγότερο συχνά, αφού θα χρειαστούν έως και 6 κομμάτια (και όχι ένα, όπως παραπάνω), τα καταφέρνουν με μια απλή απαρίθμηση των απαραίτητων συνδυασμών.
Βρείτε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος. Τα αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένες τριάδες αριθμών της μορφής $(x,y,z)$, όπου $x$ - πόσοι πόντοι έπεσαν στον πρώτο ζάρι (από 1 έως 6), $y$ - πόσοι πόντοι έπεσαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6), $z$ - πόσοι πόντοι έπεσαν στο τρίτο ζάρι (από 1 έως 6). Προφανώς, θα υπάρχουν $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ από τέτοιες τριάδες αριθμών.
Τώρα θα επιλέξουμε τέτοια αποτελέσματα που δίνουν συνολικά 15 βαθμούς.
$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$
Πήραμε $m=3+6+1=10$ αποτελέσματα. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι $P=10/216=0,046$.
Παράδειγμα 7 Ρίξτε 2 ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα να μην πέσει πάνω από 4 πόντοι στον πρώτο ζάρι, με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των πόντων είναι άρτιο.
Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το πρόβλημα είναι να χρησιμοποιήσετε ξανά τον πίνακα (όλα θα είναι ξεκάθαρα), όπως πριν. Γράφουμε τον πίνακα με τα αθροίσματα των σημείων και επιλέγουμε μόνο κελιά με ζυγές τιμές:
Λαμβάνουμε ότι σύμφωνα με την πειραματική συνθήκη, δεν υπάρχουν 36, αλλά $n=18$ αποτελέσματα (όταν το άθροισμα των βαθμών είναι ζυγό).
Τώρα από αυτά τα κύτταραας επιλέξουμε μόνο αυτά που αντιστοιχούν στο συμβάν "όχι περισσότεροι από 4 βαθμοί έπεσαν στον πρώτο ζάρι" - δηλαδή, στην πραγματικότητα, τα κελιά στις 4 πρώτες σειρές του πίνακα (επισημασμένα με πορτοκαλί), θα είναι $m= 12$.
Επιθυμητή πιθανότητα $P=12/18=2/3.$
Η ίδια εργασία μπορεί αποφασίσει διαφορετικάχρησιμοποιώντας τον τύπο πιθανοτήτων υπό όρους. Ας μπούμε στις εκδηλώσεις:
Α = Το άθροισμα των βαθμών είναι άρτιο
B = Όχι περισσότεροι από 4 πόντοι έλασης στο πρώτο ζάρι
ΑΒ = Το άθροισμα του αριθμού των πόντων είναι άρτιο και δεν έπεσαν πάνω από 4 πόντοι στον πρώτο ζάρι
Τότε ο τύπος για την επιθυμητή πιθανότητα είναι: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Βρείτε τις πιθανότητες. Ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι $n=36$, για το συμβάν Α ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (βλ. πίνακες παραπάνω) είναι $m(A)=18$ και για το συμβάν AB - $m(AB)=12$ . Παίρνουμε: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Ταίριαξε.
Παράδειγμα 8 Το ζάρι ρίχνεται 4 φορές. Βρείτε την πιθανότητα ένας ζυγός αριθμός να εμφανιστεί ακριβώς 3 φορές.
Όταν τα ζάρια πετάχτηκε πολλές φορές, και το συμβάν δεν αφορά το άθροισμα, το προϊόν κ.λπ. αναπόσπαστα χαρακτηριστικά, αλλά μόνο περίπου αριθμός πτώσεων ορισμένου τύπου, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε την πιθανότητα
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
Παιδαγωγικές τεχνολογίες : Τεχνολογία επεξηγηματικής-εικονογραφημένης μάθησης, τεχνολογία υπολογιστών, μαθητοκεντρική προσέγγιση στη μάθηση, τεχνολογίες εξοικονόμησης υγείας.
Είδος μαθήματος: μάθημα απόκτησης νέων γνώσεων.
Διάρκεια: 1 μάθημα.
Βαθμός: 8η τάξη.
Στόχοι μαθήματος:
Εκμάθηση:
- επαναλάβετε τις δεξιότητες εφαρμογής του τύπου για την εύρεση της πιθανότητας ενός γεγονότος και διδάξτε πώς να το εφαρμόσετε σε προβλήματα με ζάρια.
- διεξαγωγή συλλογιστικής βασισμένης σε στοιχεία κατά την επίλυση προβλημάτων, αξιολόγηση της λογικής ορθότητας του συλλογισμού, αναγνώριση λογικά εσφαλμένων συλλογισμών.
Ανάπτυξη:
- να αναπτύξουν τις δεξιότητες αναζήτησης, επεξεργασίας και παρουσίασης πληροφοριών·
- να αναπτύξουν την ικανότητα σύγκρισης, ανάλυσης, εξαγωγής συμπερασμάτων.
- να αναπτύξουν δεξιότητες παρατήρησης και επικοινωνίας.
Εκπαιδευτικός:
- καλλιεργήστε την προσοχή, την επιμονή.
- να σχηματίσουν μια κατανόηση της σημασίας των μαθηματικών ως τρόπου γνώσης του κόσμου γύρω.
Εξοπλισμός μαθήματος: υπολογιστής, πολυμέσα, μαρκαδόροι, συσκευή αντιγραφής mimio (ή διαδραστικός πίνακας), φάκελος (περιέχει μια εργασία για πρακτική εργασία, εργασίες για το σπίτι, τρεις κάρτες: κίτρινο, πράσινο, κόκκινο), μοντέλα ζαριών.
Πλάνο μαθήματος
Οργάνωση χρόνου.
Στο προηγούμενο μάθημα, γνωρίσαμε τον κλασικό τύπο πιθανοτήτων.
Η πιθανότητα P για την εμφάνιση ενός τυχαίου γεγονότος A είναι ο λόγος m προς n, όπου n είναι ο αριθμός όλων των πιθανών αποτελεσμάτων του πειράματος και m είναι ο αριθμός όλων των ευνοϊκών αποτελεσμάτων.
Ο τύπος είναι ο λεγόμενος κλασικός ορισμός της πιθανότητας σύμφωνα με τον Laplace, ο οποίος προήλθε από τον χώρο του τζόγου, όπου χρησιμοποιήθηκε η θεωρία των πιθανοτήτων για τον προσδιορισμό της προοπτικής νίκης. Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για πειράματα με πεπερασμένο αριθμό εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων.
Πιθανότητα συμβάντος = Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων / Αριθμός όλων των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων
Άρα η πιθανότητα είναι ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1.
Η πιθανότητα είναι 0 εάν το γεγονός είναι αδύνατο.
Η πιθανότητα είναι 1 εάν το γεγονός είναι βέβαιο.
Ας λύσουμε το πρόβλημα προφορικά: Υπάρχουν 20 βιβλία στο ράφι, 3 από αυτά είναι βιβλία αναφοράς. Ποια είναι η πιθανότητα ένα βιβλίο που έχει ληφθεί από ένα ράφι να μην είναι βιβλίο αναφοράς;
Λύση:
Ο συνολικός αριθμός των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων είναι 20
Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων - 20 - 3 = 17
Απάντηση: 0,85.
2. Απόκτηση νέων γνώσεων.
Και τώρα ας επιστρέψουμε στο θέμα του μαθήματός μας: «Πιθανότητα γεγονότων», ας το υπογράψουμε στο τετράδιό μας.
Σκοπός του μαθήματος: να μάθουμε πώς να λύνουμε προβλήματα για την εύρεση της πιθανότητας όταν ρίχνουμε ένα ζάρι ή 2 ζάρια.
Το σημερινό μας θέμα σχετίζεται με τα ζάρια ή λέγεται και ζάρια. Τα ζάρια ήταν γνωστά από την αρχαιότητα. Το παιχνίδι με ζάρια είναι ένα από τα παλαιότερα, τα πρώτα πρωτότυπα ζαριών βρέθηκαν στην Αίγυπτο, και χρονολογούνται στον 20ο αιώνα π.Χ. μι. Υπάρχουν πολλές ποικιλίες, από απλές (αυτοί που πετάνε έξω κερδίζουν μεγάλη ποσότηταπόντους) σε σύνθετα, στα οποία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικές τακτικές του παιχνιδιού.
Τα παλαιότερα οστά χρονολογούνται στον 20ο αιώνα π.Χ. ε., που βρέθηκε στη Θήβα. Αρχικά, τα οστά χρησίμευαν ως εργαλείο μαντικής. Σύμφωνα με αρχαιολογικές ανασκαφές, ζάρια παίζονταν παντού σε όλες τις γωνιές του πλανήτη. Το όνομα προέρχεται από το αρχικό υλικό - οστά ζώων.
Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι τα οστά εφευρέθηκαν από τους Λυδούς, φεύγοντας από την πείνα, για να απασχολήσουν τουλάχιστον κάτι το μυαλό τους.
Το παιχνίδι των ζαριών αντικατοπτρίστηκε στην αρχαία αιγυπτιακή, ελληνορωμαϊκή, βεδική μυθολογία. Αναφέρεται στη Βίβλο, την Ιλιάδα, την Οδύσσεια, τη Μαχαμπαράτα, τη συλλογή Βεδικών ύμνων Rigveda. Στα πάνθεον των θεών, τουλάχιστον ένας θεός ήταν ο κάτοχος των ζαριών ως αναπόσπαστο χαρακτηριστικό http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .
Μετά την πτώση της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας, το παιχνίδι εξαπλώθηκε σε όλη την Ευρώπη, ειδικά κατά τον Μεσαίωνα. Δεδομένου ότι τα ζάρια χρησιμοποιήθηκαν όχι μόνο για παιχνίδι, αλλά και για μαντεία, η εκκλησία προσπάθησε επανειλημμένα να απαγορεύσει το παιχνίδι, οι πιο περίπλοκες τιμωρίες επινοήθηκαν για το σκοπό αυτό, αλλά όλες οι προσπάθειες κατέληξαν σε αποτυχία.
Σύμφωνα με αρχαιολογικά δεδομένα, ζάρια παίζονταν και στην παγανιστική Ρωσία. Μετά το βάπτισμα, η Ορθόδοξη Εκκλησία προσπάθησε να εξαλείψει το παιχνίδι, αλλά στους απλούς ανθρώπους παρέμεινε δημοφιλές, σε αντίθεση με την Ευρώπη, όπου η υψηλότερη αριστοκρατία και ακόμη και ο κλήρος αμάρτησαν με ζάρια.
Πόλεμος που κήρυξαν οι αρχές διαφορετικές χώρεςΤο παιχνίδι των ζαριών έχει δημιουργήσει πολλά διαφορετικά κόλπα εξαπάτησης.
Στην εποχή του Διαφωτισμού, το πάθος για τα ζάρια σταδιακά μειώθηκε, οι άνθρωποι είχαν νέα χόμπι, άρχισαν να ενδιαφέρονται περισσότερο για τη λογοτεχνία, τη μουσική και τη ζωγραφική. Τώρα το παιχνίδι με τα ζάρια δεν είναι τόσο διαδεδομένο.
Τα κανονικά ζάρια παρέχουν τις ίδιες πιθανότητες να αποκτήσετε πρόσωπο. Για να γίνει αυτό, όλες οι όψεις πρέπει να είναι ίδιες: λείες, επίπεδες, να έχουν την ίδια περιοχή, φιλέτα (αν υπάρχουν), τρύπες πρέπει να τρυπηθούν στο ίδιο βάθος. Το άθροισμα των σημείων στις απέναντι όψεις είναι 7.
Το μαθηματικό ζάρι, το οποίο χρησιμοποιείται στη θεωρία πιθανοτήτων, είναι η μαθηματική αναπαράσταση ενός κανονικού ζαριού. Μαθηματικόςένα κόκκαλο δεν έχει μέγεθος, χρώμα, βάρος κ.λπ.
Όταν πετιέται παιχνίδι οστά(κύβος) οποιαδήποτε από τις έξι όψεις του μπορεί να πέσει έξω, δηλ. οποιοδήποτε από τα εκδηλώσεις- απώλεια από 1 έως 6 βαθμούς (πόντους). Αλλά κανένα δύοκαι περισσότερα πρόσωπα δεν μπορούν να εμφανιστούν ταυτόχρονα. Τέτοιος εξελίξειςονομάζονται ασυμβίβαστα.
Σκεφτείτε την περίπτωση που τυλίγεται 1 μήτρα. Ας κάνουμε τον αριθμό 2 σε μορφή πίνακα.
Τώρα εξετάστε την περίπτωση όπου ρίχνονται 2 ζάρια.
Αν ένας πόντος πέσει έξω στο πρώτο ζάρι, τότε μπορεί να πέσει 1, 2, 3, 4, 5, 6 στο δεύτερο. Παίρνουμε ζεύγη (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4) , (1;5), (1;6) και ούτω καθεξής με κάθε πρόσωπο. Όλες οι περιπτώσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως πίνακας με 6 σειρές και 6 στήλες:
Πίνακας στοιχειωδών εκδηλώσεων
Έχετε έναν φάκελο στο γραφείο σας.
Πάρτε το φύλλο εργασίας από το φάκελο.
Τώρα θα ολοκληρώσετε μια πρακτική εργασία χρησιμοποιώντας τον πίνακα των βασικών γεγονότων.
Εμφάνιση με σκίαση των συμβάντων που ευνοούν τα συμβάντα:
Εργασία 1. «Ο ίδιος αριθμός πόντων έπεσε έξω».
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Εργασία 2. «Το άθροισμα των βαθμών είναι 7».
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Εργασία 3. «Το άθροισμα των βαθμών δεν είναι μικρότερο από 7».
Τι σημαίνει «όχι λιγότερο»; (Η απάντηση είναι «μεγαλύτερη ή ίση»)
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Ας βρούμε τώρα τις πιθανότητες γεγονότων για τα οποία πρακτική δουλειάσκιάζονται ευνοϊκά γεγονότα.
Ας γράψουμε στα τετράδια Νο 3
Ασκηση 1.
Συνολικός αριθμός αποτελεσμάτων - 36
Απάντηση: 1/6.
Εργασία 2.
Συνολικός αριθμός αποτελεσμάτων - 36
Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων - 6
Απάντηση: 1/6.
Εργασία 3.
Συνολικός αριθμός αποτελεσμάτων - 36
Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων - 21
P \u003d 21/36 \u003d 7/12.
Απάντηση: 7/12.
№4. Η Σάσα και ο Βλαντ παίζουν ζάρια. Ο καθένας κυλάει το ζάρι δύο φορές. Αυτός με τους περισσότερους πόντους συνολικά κερδίζει. Αν τα σκορ είναι ίσα, το παιχνίδι λήγει ισόπαλο. Ο Σάσα ήταν ο πρώτος που έριξε τα ζάρια και έριξε 5 πόντους και 3 πόντους. Τώρα ο Βλαντ ρίχνει τα ζάρια.
α) Στον πίνακα των στοιχειωδών γεγονότων, υποδείξτε (σκιασμένα) στοιχειώδη γεγονότα που ευνοούν το γεγονός «Ο Βλαντ θα κερδίσει».
β) Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος «Ο Βλαντ θα κερδίσει».
3. Φυσική αγωγή.
Αν το συμβάν είναι αξιόπιστο, χειροκροτάμε όλοι μαζί,
Αν το συμβάν είναι αδύνατο - πατάμε όλοι μαζί,
Εάν το συμβάν είναι τυχαίο - κουνήστε το κεφάλι σας / δεξιά-αριστερά
«Υπάρχουν 3 μήλα στο καλάθι (2 κόκκινα, 1 πράσινα).
3 κόκκινα βγήκαν από το καλάθι - (αδύνατον)
Ένα κόκκινο μήλο τραβήχτηκε από το καλάθι - (τυχαία)
Ένα πράσινο μήλο τραβήχτηκε από το καλάθι - (τυχαία)
2 κόκκινα και 1 πράσινο βγήκαν από το καλάθι - (αυθεντικό)
Ας αποφασίσουμε τον επόμενο αριθμό.
Ένα έγκυρο ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Ποιο συμβάν είναι πιο πιθανό:
Α: "5 πόντοι κύλησαν και τις δύο φορές";
Ε: «Την πρώτη φορά έπεσαν 2 πόντοι, η δεύτερη 5 πόντοι»;
Α: «Ένας κύλισε 2 πόντους, ένας κύλησε 5 πόντους»;
Ας αναλύσουμε το γεγονός Α: ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 36, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι 1 (5; 5)
Ας αναλύσουμε το γεγονός Β: ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 36, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι 1 (2; 5)
Ας αναλύσουμε το γεγονός Γ: ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 36, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι 2 (2, 5 και 5, 2)
Απάντηση: Γεγονός Γ.
4. Δήλωση εργασίας για το σπίτι.
1. Κόψτε τη σάρωση, κολλήστε τους κύβους. Φέρτε το στο επόμενο μάθημα.
2. Εκτελέστε 25 βολές. Καταγράψτε τα αποτελέσματα σε έναν πίνακα: (στο επόμενο μάθημα, μπορείτε να εισαγάγετε την έννοια της συχνότητας)
3. Λύστε το πρόβλημα: Ρίξτε δύο ζάρια. Υπολογίστε την πιθανότητα:
α) «Το άθροισμα των βαθμών είναι 6»·
β) «Το άθροισμα των βαθμών δεν είναι μικρότερο από 5».
γ) «Υπάρχουν περισσότερα σημεία στο πρώτο κόκκαλο παρά στο δεύτερο».
Καθήκοντα για πιθανότητα ζαριώνόχι λιγότερο δημοφιλή από τα προβλήματα ρίψης νομισμάτων. Η συνθήκη ενός τέτοιου προβλήματος συνήθως ακούγεται ως εξής: όταν ρίχνετε ένα ή περισσότερα ζάρια (2 ή 3), ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των πόντων να είναι 10 ή ο αριθμός των πόντων είναι 4 ή το γινόμενο του αριθμός πόντων, ή διαιρείται με 2 το γινόμενο του αριθμού των πόντων κ.λπ.
Η εφαρμογή του κλασικού τύπου πιθανοτήτων είναι η κύρια μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου.
Ένας θάνατος, πιθανότητα.
Η κατάσταση είναι πολύ απλή με ένα ζάρι. καθορίζεται από τον τύπο: P=m/n, όπου m είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το συμβάν, και n είναι ο αριθμός όλων των στοιχειωδών εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος με την εκτίναξη μιας μήτρας ή μιας μήτρας.
Πρόβλημα 1. Ένα ζάρι ρίχνεται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;
Δεδομένου ότι το ζάρι είναι κύβος (ή ονομάζεται επίσης κανονικό ζάρι, ο κύβος θα πέσει σε όλα τα πρόσωπα με την ίδια πιθανότητα, αφού είναι ισορροπημένος), το ζάρι έχει 6 όψεις (ο αριθμός των πόντων από 1 έως 6, που συνήθως υποδεικνύονται με τελείες), που σημαίνει , ότι στην εργασία ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων: n=6. Το γεγονός ευνοείται μόνο από αποτελέσματα στα οποία μια όψη με ζυγά σημεία 2,4 και 6 πέφτει έξω, για έναν κύβο τέτοιων όψεων: m=3. Τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την επιθυμητή πιθανότητα ενός ζαριού: P=3/6=1/2=0,5.
Εργασία 2. Ένα ζάρι ρίχνεται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις τουλάχιστον 5 βαθμούς;
Ένα τέτοιο πρόβλημα επιλύεται κατ' αναλογία με το παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω. Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, ο συνολικός αριθμός εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων είναι: n=6, και ικανοποιεί την προϋπόθεση του προβλήματος (τουλάχιστον 5 πόντοι έπεσαν έξω, δηλαδή 5 ή 6 πόντοι έπεσαν έξω) μόνο 2 αποτελέσματα, που σημαίνει m =2. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την επιθυμητή πιθανότητα: P=2/6=1/3=0,333.
Δύο ζάρια, πιθανότητα.
Όταν λύνετε προβλήματα με τη ρίψη 2 ζαριών, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείτε έναν ειδικό πίνακα βαθμολογίας. Σε αυτό, ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο πρώτο ζάρι σχεδιάζεται οριζόντια και ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο δεύτερο ζάρι κατακόρυφα. Το τεμάχιο εργασίας μοιάζει με αυτό:
Όμως τίθεται το ερώτημα, τι θα υπάρχει στα άδεια κελιά του πίνακα; Εξαρτάται από την εργασία που πρέπει να λυθεί. Αν το πρόβλημα αφορά το άθροισμα των βαθμών, τότε το άθροισμα γράφεται εκεί, και αν είναι για τη διαφορά, τότε γράφεται η διαφορά κ.ο.κ.
Πρόβλημα 3. Ρίχνονται 2 ζάρια ταυτόχρονα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ένα άθροισμα μικρότερο από 5 βαθμούς;
Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε ποιος θα είναι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων του πειράματος. Όλα ήταν προφανή όταν ρίχναμε ένα ζάρι 6 όψεις της μήτρας - 6 αποτελέσματα του πειράματος. Αλλά όταν υπάρχουν ήδη δύο ζάρια, τότε τα πιθανά αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένα ζεύγη αριθμών της μορφής (x, y), όπου το x δείχνει πόσοι πόντοι έπεσαν στο πρώτο ζάρι (από το 1 έως το 6) και το y - πόσοι πόντοι έπεσαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6). Συνολικά θα υπάρχουν τέτοια αριθμητικά ζεύγη: n=6*6=36 (36 κελιά αντιστοιχούν σε αυτά στον πίνακα αποτελεσμάτων).
Τώρα μπορείτε να συμπληρώσετε τον πίνακα, για αυτό, ο αριθμός του αθροίσματος των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι εισάγεται σε κάθε κελί. Ο συμπληρωμένος πίνακας μοιάζει με αυτό:
Χάρη στον πίνακα, θα καθορίσουμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν τη διοργάνωση "πέφτει συνολικά λιγότερο από 5 βαθμούς". Ας μετρήσουμε τον αριθμό των κελιών, η τιμή του αθροίσματος στα οποία θα είναι μικρότερη από τον αριθμό 5 (αυτά είναι 2, 3 και 4). Για ευκολία, ζωγραφίζουμε πάνω από τέτοια κελιά, θα είναι m = 6:
Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα του πίνακα, πιθανότητα ζαριώνισούται με: P=6/36=1/6.
Πρόβλημα 4. Ρίχτηκαν δύο ζάρια. Να προσδιορίσετε την πιθανότητα το γινόμενο του αριθμού των σημείων να διαιρείται με το 3.
Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα φτιάξουμε έναν πίνακα με τα γινόμενα των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι. Σε αυτό, επιλέγουμε αμέσως αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3:
Καταγράφουμε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος n=36 (ο συλλογισμός είναι ίδιος με το προηγούμενο πρόβλημα) και τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των κελιών που σκιάζονται στον πίνακα) m=20. Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι: P=20/36=5/9.
Πρόβλημα 5. Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα η διαφορά μεταξύ του αριθμού των πόντων στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι να είναι μεταξύ 2 και 5;
Να καθορίσει πιθανότητα ζαριώνΑς γράψουμε τον πίνακα με τις διαφορές βαθμολογίας και ας επιλέξουμε εκείνα τα κελιά σε αυτόν, η τιμή της διαφοράς στα οποία θα είναι μεταξύ 2 και 5:
Ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των κελιών που σκιάζονται στον πίνακα) είναι ίσος με m=10, ο συνολικός αριθμός εξίσου πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων θα είναι n=36. Προσδιορίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος: P=10/36=5/18.
Στην περίπτωση ενός απλού γεγονότος και όταν ρίχνετε 2 ζάρια, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα, στη συνέχεια να επιλέξετε τα απαραίτητα κελιά σε αυτό και να διαιρέσετε τον αριθμό τους με το 36, αυτό θα θεωρείται πιθανότητα.
Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα μόνο ρολό μιας μήτρας θα έχει ως αποτέλεσμα ζυγό αριθμό;
54. Η Κάτια και η Άνυα γράφουν μια υπαγόρευση. Η πιθανότητα να κάνει λάθος η Κάτια είναι 60%, και η πιθανότητα λάθους της Άννας είναι 40%. Βρείτε την πιθανότητα και τα δύο κορίτσια να γράφουν την υπαγόρευση χωρίς λάθη.
55. Το εργοστάσιο παράγει το 15% των προϊόντων ασφάλιστρο, 25% - η πρώτη τάξη, 40% - η δεύτερη τάξη, και όλα τα άλλα είναι γάμος. Βρείτε την πιθανότητα το επιλεγμένο προϊόν να μην είναι ελαττωματικό.
Ποια είναι η πιθανότητα να γεννηθεί το μωρό στις 7;
57. Καθένας από τους τρεις σουτέρ σουτάρει στο στόχο μία φορά, με τον πρώτο σουτάρ να χτυπά 90%, τον δεύτερο να χτυπά 80% και τον τρίτο να χτυπά 70%. Ποια είναι η πιθανότητα και τα τρία βέλη να χτυπήσουν τον στόχο;
Υπάρχουν 7 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες σε ένα κουτί. Μια μπάλα κληρώνεται τυχαία και επιστρέφεται. Στη συνέχεια, η μπάλα βγαίνει ξανά. Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές;
Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανίζεται τουλάχιστον ένα εθνόσημο όταν πετάνε δύο νομίσματα;
Η εργαλειοθήκη περιέχει 15 τυπικά και 5 ελαττωματικά εξαρτήματα. Ένα κομμάτι τραβιέται τυχαία από το κουτί. Βρείτε την πιθανότητα ότι αυτό το εξάρτημα είναι στάνταρ
Η συσκευή διαθέτει τρεις ανεξάρτητα εγκατεστημένες συσκευές σηματοδότησης προβλημάτων. Η πιθανότητα ότι σε περίπτωση ατυχήματος ο πρώτος θα λειτουργήσει είναι 0,9, ο δεύτερος - 0,7, ο τρίτος - 0,8. Βρείτε την πιθανότητα να μην χτυπήσει κανένας από τους συναγερμούς κατά τη διάρκεια ενός ατυχήματος.
62. Ερμηνεύουν ο Νικολάι και ο Λεονίντ δοκιμή. Ο Νικολάι έχει 70% πιθανότητα λάθους στους υπολογισμούς και 30% για τον Λεονίντ. Βρείτε την πιθανότητα ο Λεονίντ να κάνει λάθος και ο Νικολάι όχι.
63. Το μουσικό σχολείο προσλαμβάνει μαθητές. Πιθανότητα να μην εγγραφείτε κατά την επαλήθευση μουσικό αυτίείναι 40%, και η αίσθηση του ρυθμού είναι 10%. Ποια είναι η πιθανότητα θετικού τεστ;
64. Καθένας από τους τρεις σκοπευτές πυροβολεί στον στόχο μία φορά και η πιθανότητα να χτυπήσει 1 σκοπευτή είναι 80%, ο δεύτερος - 70%, ο τρίτος - 60%. Βρείτε την πιθανότητα μόνο ο δεύτερος σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο.
65. Υπάρχουν φρούτα στο καλάθι, μεταξύ των οποίων το 30% είναι μπανάνες και το 60% είναι μήλα. Ποια είναι η πιθανότητα ένα φρούτο που επιλέγεται τυχαία να είναι μια μπανάνα ή ένα μήλο;
Ένα κουτί περιέχει 4 μπλε, 3 κόκκινες, 9 πράσινες, 6 κίτρινες μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα η επιλεγμένη μπάλα να μην είναι πράσινη;
Υπάρχουν 1000 εισιτήρια στην κλήρωση, εκ των οποίων τα 20 είναι κερδισμένα. Αγοράζεται ένα εισιτήριο. Ποια είναι η πιθανότητα να μην κερδίσει αυτό το δελτίο;
68. Υπάρχουν 6 σχολικά βιβλία, εκ των οποίων τα 3 είναι δεμένα. Πάρτε τυχαία 2 σχολικά βιβλία. Η πιθανότητα να είναι δεμένα και τα δύο σχολικά βιβλία είναι ... .
69. Στο μαγαζί δουλεύουν 7 άντρες και 3 γυναίκες. Επιλέγονται τυχαία 3 άτομα σύμφωνα με τον αριθμό προσωπικού. Η πιθανότητα όλοι οι επιλεγμένοι να είναι άνδρες είναι ….
70. Υπάρχουν 10 μπάλες σε ένα κουτί, 6 από τις οποίες είναι χρωματιστές. 4 μπάλες κληρώνονται τυχαία χωρίς να επιστραφούν. Η πιθανότητα να χρωματιστούν όλες οι τραβηγμένες μπάλες είναι ... .
71. Υπάρχουν 4 κόκκινες και 2 μπλε μπάλες σε ένα κουτί. Τρεις μπάλες βγαίνουν τυχαία από αυτό. Η πιθανότητα και οι τρεις αυτές μπάλες να είναι κόκκινες είναι ....
72. Ο μαθητής γνωρίζει 20 ερωτήσεις από 25 ερωτήσεις στον κλάδο. Του γίνονται 3 ερωτήσεις. Η πιθανότητα να τα γνωρίζει ο μαθητής είναι ... .
73. Υπάρχουν 4 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες σε μια λάρνακα. Δύο μπάλες κληρώνονται ταυτόχρονα. Η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές είναι ... .
74. Ρίξτε 3 ζάρια ταυτόχρονα. Η πιθανότητα να πέσουν 3 εξάρια είναι ... .
Ο γιατρός της περιοχής δέχθηκε 35 ασθενείς κατά τη διάρκεια της εβδομάδας, εκ των οποίων οι πέντε ασθενείς διαγνώστηκαν με έλκος στομάχου. Προσδιορίστε τη σχετική συχνότητα εμφάνισης στην υποδοχή ενός ασθενούς με στομαχική νόσο.