Στην αρχή, υπενθυμίζουμε ότι ένα τρίγωνο είναι ένα πολύεδρο που έχει 3 γωνίες. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου εάν είναι γνωστές άλλες διαστάσεις του τριγώνου;

Εντολή

1. Τα μήκη των ποδιών είναι γνωστά. Σε αυτή την περίπτωση, η υποτείνουσα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό το θεώρημα ακούγεται ως εξής: το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι για να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας, είναι απαραίτητο να τετραγωνιστεί η τιμή κάθε σκέλους με τη σειρά. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν και εξαγάγετε από το συνολικό αποτέλεσμα Τετραγωνική ρίζα.
2. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα στο τρίγωνο KFB εάν το σκέλος (VC) και η γωνία που γειτνιάζει με αυτό είναι γνωστά; Σημειώνουμε τη γνωστή γωνία με α. Μία από τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η εξής: ο λόγος του μήκους του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της υποτείνουσας και αυτού του σκέλους. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: FB=BK*cos(α).
3. Ένα άλλο σκέλος (KF) είναι γνωστό και η ίδια γωνία α, Τώρα θα είναι απέναντι. Η υποτείνουσα μπορεί επίσης να βρεθεί εφαρμόζοντας τις ίδιες ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Εδώ παίρνουμε, ο λόγος του μήκους του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου προς το μήκος της υποτείνυσής του είναι ίσος με το ημίτονο της γωνίας απέναντι από το σκέλος. Γράφουμε: FB=KF*sin(α).
4. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου εάν περιγράφεται γύρω του ένας κύκλος, για τον οποίο είναι γνωστή η ακτίνα του. Από τις ιδιότητες ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, είναι γνωστό ότι ένας τέτοιος κύκλος έχει κέντρο που συμπίπτει με το σημείο της υποτείνουσας, το οποίο τον χωρίζει στο μισό. Με άλλα λόγια, η ακτίνα είναι ίση με τη μισή υποτείνουσα. Και αυτό σημαίνει ότι δύο ακτίνες αποτελούν την υποτείνουσα: FB=2*R.

Γνωρίζοντας τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου και το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας. Εάν εξακολουθείτε να δυσκολεύεστε να θυμάστε όλες τις ιδιότητες, τότε απλώς μάθετε έτοιμους τύπους στους οποίους είναι πολύ εύκολο να αντικαταστήσετε γνωστές τιμές για να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας.

Εντολή

Αφήστε ένα από τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου να είναι γνωστό. Έστω |π.Χ.| = β. Τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, σύμφωνα με την υποτείνουσα ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Από αυτή την εξίσωση βρίσκουμε το άγνωστο σκέλος |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Ας είναι γνωστή μια από τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, ας υποθέσουμε ∟α. Στη συνέχεια, τα AB και BC του ορθογώνιου τριγώνου ABC μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Άρα παίρνουμε: ημίτονο ∟α ισούται με την αναλογίααπέναντι σκέλος sin α = b / c, συνημίτονο ∟α ισούται με τον λόγο του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα cos α = a / c. Από εδώ βρίσκουμε τα απαιτούμενα μήκη πλευρών: |AB| = a = σ * cos α, |BC| \u003d b \u003d c * αμαρτία α.

Έστω γνωστός ο λόγος των ποδιών k = a / b. Επίσης λύνουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ο λόγος a / b δεν είναι παρά η συνεφαπτομένη ∟α: το διπλανό σκέλος ctg α = a / b. Στην περίπτωση αυτή, από αυτή την ισότητα εκφράζουμε a = b * ctg α. Και αντικαθιστούμε a^2 + b^2 = c^2 στο Πυθαγόρειο θεώρημα:

b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Βγάζουμε b^2 από αγκύλες, παίρνουμε b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. Και από εδώ παίρνουμε εύκολα το μήκος του ποδιού b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), όπου k είναι η δεδομένη αναλογία των ποδιών.

Κατ' αναλογία, εάν είναι γνωστός ο λόγος των σκελών b / a, λύνουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη tg α = b / a. Αντικαθιστούμε την τιμή b = a * tg α στο Πυθαγόρειο θεώρημα a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Επομένως a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), όπου k είναι η δεδομένη αναλογία των ποδιών.

Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις.

∟α = 30°. Τότε |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |π.Χ.| \u003d b \u003d c * sin α \u003d c / 2.

∟α = 45°. Τότε |AB| = |π.Χ.| = a = b = c * √2 / 2.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση

Οι τετραγωνικές ρίζες λαμβάνονται με θετικό πρόσημο, επειδή το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Φαίνεται προφανές, αλλά αυτό το σφάλμα είναι πολύ συνηθισμένο εάν λύσετε το πρόβλημα αυτόματα.

Χρήσιμες συμβουλές

Για να βρείτε τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τους τύπους μείωσης: sin β \u003d sin (90 ° - α) \u003d cos α. cos β = cos (90° - α) = αμαρτία α.

Πηγές:

• Πίνακες Bradis για την εύρεση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου καλύπτεται σε έναν κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται τριγωνομετρία. Για να βρείτε τις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, αρκεί να γνωρίζετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, τους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και να έχετε κάποια μέσα για την εύρεση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, για παράδειγμα, μια αριθμομηχανή ή πίνακες Bradis. Εξετάστε παρακάτω τις κύριες περιπτώσεις προβλημάτων εύρεσης των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Θα χρειαστείτε

• Αριθμομηχανή, πίνακες Bradis.

Εντολή

Εάν σας δοθεί μία από τις οξείες γωνίες, για παράδειγμα, η Α και η υποτείνουσα, τότε τα σκέλη μπορούν να βρεθούν από τους ορισμούς της βασικής τριγωνομετρίας:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Εάν δοθεί μία από τις οξείες γωνίες, για παράδειγμα, A, και ένα από τα σκέλη, για παράδειγμα, a, τότε η υποτείνουσα και το άλλο σκέλος υπολογίζονται από τις σχέσεις: b=a*tg(A), c=a *sin(A).

Χρήσιμες συμβουλές

Σε περίπτωση που δεν γνωρίζετε την τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας από τις γωνίες που είναι απαραίτητες για τον υπολογισμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους πίνακες Bradis, που παρέχουν τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για μεγάλο αριθμό γωνιών. Επιπλέον, οι περισσότεροι σύγχρονοι αριθμομηχανές είναι σε θέση να υπολογίσουν τα ημίτονο και συνημίτονο των γωνιών.

Πηγές:

• Πώς να υπολογίσετε την πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου το 2019

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε τη γωνία εάν είναι γνωστές οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου

Tre τετράγωνο, μία από τις γωνίες του οποίου είναι ορθή (ίση με 90 °), ονομάζεται ορθή γωνία. Η μακρύτερη πλευρά του βρίσκεται πάντα απέναντι ορθή γωνίακαι λέγεται υποτείνουσα, και τα άλλα δύο πλευρέςονομάζονται πατίνια. Εάν τα μήκη αυτών των τριών πλευρών είναι γνωστά, τότε βρείτε τις τιμές όλων των γωνιών του τριγώνου τετράγωνοκαι όχι δύσκολο, αφού στην πραγματικότητα χρειάζεται να υπολογίσετε μόνο μία από τις γωνίες. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Εντολή

Χρησιμοποιήστε για τον υπολογισμό των μεγεθών (α, β, γ) του ορισμού των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ως προς ένα ορθογώνιο τρί. Τέτοια, για παράδειγμα, για το ημίτονο οξείας γωνίας όπως ο λόγος του μήκους του απέναντι σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας. Έτσι, αν τα μήκη των ποδιών (Α και Β) και της υποτείνουσας (Γ), τότε μπορείτε να βρείτε, για παράδειγμα, το ημίτονο της γωνίας α, που βρίσκεται απέναντι από το σκέλος Α, διαιρώντας το μήκος πλευρέςΚαι για το μήκος πλευρέςΓ (υποτείνουσα): αμαρτία(α)=A/C. Έχοντας μάθει την τιμή του ημιτόνου αυτής της γωνίας, μπορείτε να βρείτε την τιμή του σε μοίρες χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου - το τόξο. Δηλαδή α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε την τιμή μιας οξείας γωνίας σε ένα τρίγωνο. τετράγωνοε, αλλά δεν είναι απαραίτητο. Αφού το άθροισμα όλων των γωνιών είναι τετράγωνοα είναι 180°, και σε τρ τετράγωνοΑν μία από τις γωνίες είναι ίση με 90°, τότε η τιμή της τρίτης γωνίας μπορεί να υπολογιστεί ως η διαφορά μεταξύ των 90° και της τιμής της γωνίας που βρέθηκε: β=180°-90°-α=90°-α.

Αντί να ορίσετε το ημίτονο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό του συνημιτονοειδούς οξείας γωνίας, ο οποίος διατυπώνεται ως ο λόγος του μήκους του σκέλους δίπλα στην επιθυμητή γωνία προς το μήκος της υποτείνουσας: cos(α)=B/ ΝΤΟ. Και εδώ, χρησιμοποιήστε την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση (αρκκοζίνη) για να βρείτε την τιμή της γωνίας σε μοίρες: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Μετά από αυτό, όπως και στο προηγούμενο βήμα, μένει να βρεθεί η τιμή της γωνίας που λείπει: β=90°-α.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια παρόμοια εφαπτομένη - εκφράζεται από τον λόγο του μήκους του σκέλους απέναντι από την επιθυμητή γωνία προς το μήκος του διπλανού σκέλους: tg(α)=A/B. Η τιμή της γωνίας σε μοίρες προσδιορίζεται και πάλι μέσω της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Ο τύπος γωνίας που λείπει θα παραμείνει αμετάβλητος: β=90°-α.

Σχετικά βίντεο

Συμβουλή 4: Πώς να βρείτε το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου

Ένα τρίγωνο θεωρείται ορθογώνιο εάν μια από τις γωνίες του είναι ορθή. Πλευρά τρίγωνοπου βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, και οι άλλες δύο πλευρές- καθετήρες. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τρίγωνο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί με διάφορους τρόπους.

Εντολή

Μπορείτε να μάθετε το τρίτο πλευρές, γνωρίζοντας τα μήκη των άλλων δύο πλευρών τρίγωνο. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι το τετράγωνο ενός ορθογωνίου τρίγωνοτο άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών του. (a² = b² + c²). Από αυτό μπορούμε να εκφράσουμε τα μήκη όλων των πλευρών ενός ορθογωνίου τρίγωνο:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο τρίγωνοΤο μήκος της υποτείνουσας a (18 cm) και του ενός σκέλους, για παράδειγμα c (14 cm), είναι γνωστά. Προς την μήκοςένα άλλο σκέλος, απαιτείται να εκτελέσετε 2 αλγεβρικές ενέργειες:
s² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Απάντηση: το μήκος του ποδιού είναι √128 cm ή περίπου 11,3 cm

Μπορείτε να καταφύγετε εάν γνωρίζετε το μήκος της υποτείνουσας και την τιμή ενός από τα πιο αιχμηρά ορθογώνια τρίγωνο. Έστω το μήκος c, μια από τις οξείες γωνίες είναι ίση με α. Σε αυτή την περίπτωση, βρείτε άλλα 2 πλευρέςορθογώνιος τρίγωνομπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους:
a = c*sina;
b = c*cosα.
Μπορείτε να δώσετε: το μήκος της υποτείνουσας είναι 15 cm, μία από τις οξείες γωνίες είναι 30 μοίρες. Για να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών, πρέπει να εκτελέσετε 2 βήματα:
a=15*sin30=15*0,5=7,5cm
b=15*cos30=(15*√3)/2=13cm(περίπου)

Ο πιο μη τετριμμένος τρόπος να βρεις μήκος πλευρέςορθογώνιος τρίγωνοείναι να το εκφράσουμε από την περίμετρο αυτού του σχήματος:
P = a + b + c, όπου P είναι η περίμετρος ενός ορθογωνίου τρίγωνο. Από αυτή την έκφραση είναι εύκολο να εκφραστεί μήκοςκάθε πλευρά του ορθογωνίου τρίγωνο.

Συμβουλή 5: Πώς να βρείτε τη γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, γνωρίζοντας όλες τις πλευρές

Γνώση και των τριών πλευρών σε ευθεία κάρβουνοΤο τρίγωνο είναι υπεραρκετό για τον υπολογισμό οποιασδήποτε από τις γωνίες του. Υπάρχουν τόσες πολλές από αυτές τις πληροφορίες που έχετε ακόμη και την ευκαιρία να επιλέξετε ποιο από τα μέρη θα χρησιμοποιήσετε στους υπολογισμούς, προκειμένου να χρησιμοποιήσετε την πιο ελκυστική τριγωνομετρική συνάρτηση για εσάς.

Εντολή

Εάν προτιμάτε να ασχοληθείτε με το τόξο, χρησιμοποιήστε το μήκος της υποτείνουσας (C) στον υπολογισμό - το μεγαλύτερο πλευρές- και εκείνο το σκέλος (Α), που βρίσκεται απέναντι από την επιθυμητή γωνία (α). Η διαίρεση του μήκους αυτού του σκέλους με το μήκος της υποτείνουσας θα δώσει την τιμή του ημιτόνου της επιθυμητής γωνίας και το αντίστροφο της ημιτονικής συνάρτησης - το τόξο - θα επαναφέρει την τιμή της γωνίας προς τα μέσα από την τιμή που προκύπτει. Επομένως, χρησιμοποιήστε αυτό στους υπολογισμούς: α = arcsin(A/C).

Για να αντικαταστήσετε το τόξο με το arccosine, χρησιμοποιήστε τα μήκη εκείνων των πλευρών που σχηματίζουν την επιθυμητή γωνία (α) στους υπολογισμούς. Το ένα από αυτά θα είναι η υποτείνουσα (Γ) και το άλλο το πόδι (Β). Εξ ορισμού, το συνημίτονο είναι το μήκος του σκέλους που βρίσκεται δίπλα στη γωνία ως προς το μήκος της υποτείνουσας και η γωνία από την τιμή του συνημιτόνου είναι η συνάρτηση αρκοσίνης. Χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο υπολογισμού: α = arccos(B/C).

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε υπολογισμούς. Για να γίνει αυτό, χρειάζεστε τα μήκη δύο κοντών πλευρών - ποδιών. Οξεία γωνία εφαπτομένης (α) στα δεξιά κάρβουνοΤο τρίγωνο καθορίζεται από την αναλογία του μήκους του ποδιού (Α), που βρίσκεται απέναντι του, προς το μήκος του διπλανού σκέλους (Β). Κατ' αναλογία με τις επιλογές που περιγράφονται παραπάνω, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο: α \u003d arctg (A / B).

Τύπος

Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο;

Υπάρχουν διάφοροι τύποι τριγώνων. Ορισμένες έχουν όλες τις αιχμηρές γωνίες, άλλες έχουν μια αμβλεία και δύο αιχμηρές, και άλλες έχουν δύο αιχμηρές και μια ευθεία. Σε αυτή τη βάση, κάθε είδος από αυτά γεωμετρικά σχήματακαι έλαβε το όνομα: οξεία γωνία, αμβλεία και ορθογώνια. Δηλαδή, ένα τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο, στο οποίο μία από τις γωνίες είναι 90 °. Υπάρχει ένα άλλο, παρόμοιο με το πρώτο. Ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο πλευρές που είναι κάθετες.

Υπόταση και πόδια

Στην οξεία και αμβλεία τρίγωνατα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές των γωνιών ονομάζονται απλώς πλευρές. Η πλευρά έχει άλλα ονόματα. Αυτά που βρίσκονται δίπλα στη σωστή γωνία ονομάζονται πόδια. Η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Μετάφραση από τα ελληνικά, η λέξη "hypotenuse" σημαίνει "τεντωμένο" και "πόδι" - "κάθετο".

Σχέσεις μεταξύ της υποτείνουσας και των ποδιών

Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου συνδέονται μεταξύ τους με ορισμένες αναλογίες, οι οποίες διευκολύνουν πολύ τους υπολογισμούς. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τις διαστάσεις των ποδιών, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας. Αυτή η αναλογία, που πήρε το όνομά της από αυτόν που την ανακάλυψε, ονομάστηκε Πυθαγόρειο θεώρημα και μοιάζει με αυτό:

c2=a2+b2, όπου c είναι η υποτείνουσα, τα a και b είναι σκέλη. Δηλαδή, η υποτείνουσα θα είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των ποδιών. Για να βρείτε κάποιο από τα σκέλη, αρκεί να αφαιρέσετε το τετράγωνο του άλλου σκέλους από το τετράγωνο της υποτείνουσας και να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα από τη διαφορά που προκύπτει.

Δίπλα και απέναντι πόδι

Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ACB. Το γράμμα C χρησιμοποιείται για να δηλώσει την κορυφή μιας ορθής γωνίας, το A και το B είναι οι κορυφές των οξειών γωνιών. Οι πλευρές απέναντι από κάθε γωνία ονομάζονται βολικά a, b και c, από τα ονόματα των γωνιών απέναντι τους. Εξετάστε τη γωνία Α. Σκέλος α γιατί θα είναι απέναντι, το σκέλος β - διπλανό. Ο λόγος του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα ονομάζεται . Αυτή η τριγωνομετρική συνάρτηση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: sinA=a/c. Η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα ονομάζεται συνημίτονο. Υπολογίζεται με τον τύπο: cosA=b/c.

Έτσι, γνωρίζοντας τη γωνία και τη μία από τις πλευρές, είναι δυνατός ο υπολογισμός της άλλης πλευράς χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους. Και τα δύο σκέλη συνδέονται επίσης με τριγωνομετρικές σχέσεις. Ο λόγος του αντιθέτου προς το παρακείμενο ονομάζεται εφαπτομένη και ο λόγος του παρακείμενου προς το αντίθετο ονομάζεται συνεφαπτομένη. Αυτές οι αναλογίες μπορούν να εκφραστούν με τους τύπους tgA=a/b ή ctgA=b/a.

"Και μας λένε ότι το πόδι είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα ..." Αυτές οι γραμμές είναι από διάσημο τραγούδι, που ακούστηκε στην ταινία μεγάλου μήκους «Οι περιπέτειες της Ηλεκτρονικής» είναι όντως σωστές ως προς τη γεωμετρία του Ευκλείδη. Εξάλλου, τα πόδια είναι δύο πλευρές που σχηματίζουν μια γωνία, μέτρο βαθμούπου ισούται με 90 μοίρες. Και η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη «τεντωμένη» πλευρά που συνδέει δύο πόδια κάθετα μεταξύ τους, και βρίσκεται απέναντι στη σωστή γωνία. Γι' αυτό είναι δυνατό να βρεθεί η υποτείνουσα κατά μήκος των ποδιών μόνο μέσα ορθογώνιο τρίγωνο, και αν το σκέλος ήταν μακρύτερο από την υποτείνουσα, τότε τέτοιο τρίγωνο δεν θα υπήρχε.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα εάν είναι γνωστά και τα δύο σκέλη

Το θεώρημα λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας δεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: x^2+y^2=z^2, όπου:

• x - το πρώτο σκέλος.
• y - δεύτερο σκέλος?
• z είναι η υποτείνουσα.

Αλλά χρειάζεται απλώς να βρείτε την υποτείνουσα, όχι το τετράγωνό της. Για να το κάνετε αυτό, εξαγάγετε τη ρίζα.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας από δύο γνωστά σκέλη:

• Προσδιορίστε μόνοι σας πού είναι τα πόδια και πού η υποτείνουσα.
• Τετράγωνο το πρώτο πόδι.
• Τετράγωνο το δεύτερο πόδι.
• Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.
• Πάρτε τη ρίζα του αριθμού που λήφθηκε στο βήμα 4.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω του ημιτονοειδούς, εάν το πόδι και η οξεία γωνία που βρίσκεται εναντίον του είναι γνωστά

Ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την οξεία γωνία που βρίσκεται απέναντι του είναι ίσος με την τιμή της υποτείνουσας: a/sin A = c. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του ημιτονοειδούς:

Η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα: sin A \u003d a / c, όπου:

• α - το πρώτο σκέλος.
• Το Α είναι μια οξεία γωνία απέναντι από το πόδι.
• c είναι η υποτείνουσα.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα:

• Ορίστε για τον εαυτό σας το γνωστό πόδι και τη γωνία απέναντι από αυτό.
• Χωρίστε το πόδι στην απέναντι γωνία.
• Πάρτε την υποτείνουσα.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω του συνημιτόνου, εάν είναι γνωστά το σκέλος και η οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του

Ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την οξεία περιλαμβανόμενη γωνία είναι ίσος με την τιμή της υποτείνουσας a/cos B = c. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του συνημιτόνου: η αναλογία του παρακείμενου σκέλους προς την υποτείνουσα: cos B \u003d a / s, όπου:

• α - το δεύτερο πόδι.
• Το B είναι μια οξεία γωνία δίπλα στο δεύτερο σκέλος.
• c είναι η υποτείνουσα.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου:

• Προσδιορίστε μόνοι σας το γνωστό πόδι και τη γωνία που γειτνιάζει με αυτό.
• Διαχωρίστε το πόδι σε μια γειτονική γωνία.
• Πάρτε την υποτείνουσα.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το "Αιγυπτιακό τρίγωνο"

Το "Αιγυπτιακό τρίγωνο" είναι ένα τρίγωνο αριθμών, γνωρίζοντας τους οποίους μπορείτε να εξοικονομήσετε χρόνο για να βρείτε την υποτείνουσα ή ακόμα και ένα άλλο άγνωστο σκέλος. Το τρίγωνο έχει ένα τέτοιο όνομα, αφού στην Αίγυπτο κάποιοι αριθμοί συμβόλιζαν τους Θεούς και αποτέλεσαν τη βάση για την κατασκευή των πυραμίδων και άλλων διαφόρων δομών.

• Η πρώτη τριάδα αριθμών: 3-4-5. Τα πόδια εδώ είναι ίσα με 3 και 4. Τότε η υποτείνουσα θα είναι απαραίτητα ίση με 5. Ελέγξτε: (9 + 16 = 25).
• Το δεύτερο τρίποντο των αριθμών: 5-12-13. Και εδώ τα σκέλη είναι 5 και 12. Επομένως, η υποτείνουσα θα είναι 13. Ελέγξτε: (25+144=169).

Τέτοιοι αριθμοί βοηθούν ακόμα και όταν διαιρούνται ή πολλαπλασιάζονται με κάποιο μοναδικό αριθμό. Εάν τα σκέλη είναι 3 και 4, τότε η υποτείνουσα θα είναι 5. Εάν πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς με 2, τότε η υποτείνουσα θα πολλαπλασιαστεί επί 2. Για παράδειγμα, το τριπλό των αριθμών 6-8-10 θα ταιριάζει επίσης στο Πυθαγόρειο θεώρημα και δεν μπορείτε να υπολογίσετε την υποτείνουσα εάν απομνημονεύσετε αυτές τις τριάδες αριθμών.



Έτσι, υπάρχουν 4 τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας γνωστά πόδια. κατά το πολύ η καλύτερη επιλογήείναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά επίσης δεν θα ήταν κακό να θυμάστε τις τριπλέτες αριθμών που συνθέτουν το «αιγυπτιακό τρίγωνο», γιατί μπορείτε να εξοικονομήσετε πολύ χρόνο αν συναντήσετε τέτοιες τιμές.

Αφού μελετήσουν το θέμα των ορθογωνίων τριγώνων, οι μαθητές συχνά πετούν όλες τις πληροφορίες για αυτά από το μυαλό τους. Συμπεριλαμβανομένου του τρόπου εύρεσης της υποτείνουσας, για να μην αναφέρουμε τι είναι.

Και μάταια. Γιατί στο μέλλον, η διαγώνιος του ορθογωνίου αποδεικνύεται ότι είναι αυτή ακριβώς η υποτείνουσα, και πρέπει να βρεθεί. Ή η διάμετρος του κύκλου συμπίπτει με τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, μία από τις γωνίες του οποίου είναι ορθή. Και είναι αδύνατο να το βρεις χωρίς αυτή τη γνώση.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου. Η επιλογή της μεθόδου εξαρτάται από το αρχικό σύνολο δεδομένων στο πρόβλημα των ποσοτήτων.

Μέθοδος αριθμός 1: δίνονται και τα δύο πόδια

Αυτή είναι η πιο αξιομνημόνευτη μέθοδος επειδή χρησιμοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Μόνο μερικές φορές οι μαθητές ξεχνούν ότι αυτός ο τύπος είναι το τετράγωνο της υποτείνουσας. Έτσι, για να βρείτε την ίδια την πλευρά, θα χρειαστεί να πάρετε την τετραγωνική ρίζα. Επομένως, ο τύπος για την υποτείνουσα, που συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα "c", θα μοιάζει με αυτό:

c = √ (a 2 + a 2), όπου τα γράμματα "α" και "β" γράφονται και τα δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Μέθοδος αριθμός 2: το σκέλος και η γωνία που γειτνιάζει με αυτό είναι γνωστά

Για να μάθετε πώς να βρίσκετε την υποτείνουσα, πρέπει να θυμάστε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Δηλαδή συνημίτονο. Για ευκολία, θα υποθέσουμε ότι δίνονται το σκέλος "a" και η γωνία α που γειτνιάζει με αυτό.

Τώρα πρέπει να θυμόμαστε ότι το συνημίτονο της γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με τον λόγο των δύο πλευρών. Ο αριθμητής θα είναι η τιμή του σκέλους και ο παρονομαστής θα είναι η υποτείνουσα. Από αυτό προκύπτει ότι το τελευταίο μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

c = a / cos α.

Μέθοδος αριθμός 3: δεδομένου του σκέλους και της γωνίας που βρίσκεται απέναντι του

Για να μην μπερδευτούμε στους τύπους, εισάγουμε τον προσδιορισμό για αυτή τη γωνία - β, και αφήνουμε την πλευρά ως "a". Σε αυτή την περίπτωση, απαιτείται μια άλλη τριγωνομετρική συνάρτηση - το ημίτονο.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, το ημίτονο είναι ίσο με την αναλογία του ποδιού προς την υποτείνουσα. Ο τύπος αυτής της μεθόδου μοιάζει με αυτό:

c \u003d a / αμαρτία β.

Για να μην μπερδεύεστε στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μπορείτε να θυμηθείτε έναν απλό μνημονικό κανόνα: εάν το πρόβλημα αφορά Οαπέναντι γωνία, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε με Καινους αν - ω πρ Καιψέματα, μετά να Οκόλπος. Δώστε προσοχή στα πρώτα φωνήεντα λέξεις-κλειδιά. Σχηματίζουν ζευγάρια Α καιή και περίπου.

Μέθοδος αριθμός 4: κατά μήκος της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου

Τώρα, για να μάθετε πώς μπορείτε να βρείτε την υποτείνουσα, πρέπει να θυμάστε την ιδιότητα του κύκλου, η οποία περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Διαβάζεται ως εξής. Το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με το μέσο της υποτείνουσας. Με άλλα λόγια, η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με τη διαγώνιο του κύκλου. Δηλαδή διπλάσια ακτίνα. Ο τύπος για αυτήν την εργασία θα μοιάζει με αυτό:

c = 2 * r, όπου r δηλώνει τη γνωστή ακτίνα.

Αυτά είναι όλα πιθανούς τρόπουςπώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου. Σε κάθε συγκεκριμένη εργασία, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο που είναι πιο κατάλληλη για το σύνολο δεδομένων.

Παράδειγμα εργασίας #1

Κατάσταση: σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι διάμεσοι έλκονται και στα δύο σκέλη. Το μήκος αυτού που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά είναι √52. Η άλλη διάμεσος έχει μήκος √73. Πρέπει να υπολογίσετε την υποτείνουσα.

Δεδομένου ότι οι διάμεσοι σχεδιάζονται σε ένα τρίγωνο, χωρίζουν τα σκέλη σε δύο ίσα τμήματα. Για την ευκολία του συλλογισμού και της εύρεσης του τρόπου εύρεσης της υποτείνουσας, πρέπει να εισαγάγετε αρκετούς συμβολισμούς. Αφήστε και τα δύο μισά του μεγαλύτερου ποδιού να σημειωθούν με το γράμμα "x" και το άλλο με "y".

Τώρα πρέπει να εξετάσουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα, οι υποτείνουσες των οποίων είναι γνωστές διάμεσες. Για αυτούς, πρέπει να γράψετε τον τύπο του Πυθαγόρειου θεωρήματος δύο φορές:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Αυτές οι δύο εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα με δύο άγνωστα. Έχοντας τα λύσει, θα είναι εύκολο να βρούμε τα σκέλη του αρχικού τριγώνου και την υποτείνησή του από αυτά.

Πρώτα πρέπει να ανεβάσετε τα πάντα σε δεύτερο βαθμό. Αποδεικνύεται:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Μπορεί να φανεί από τη δεύτερη εξίσωση ότι y 2 \u003d 73 - 4x 2. Αυτή η έκφραση πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη και να υπολογιστεί το "x":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Μετά τη μετατροπή:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 ή 15 x 2 \u003d 240.

Από την τελευταία παράσταση x = √16 = 4.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το "y":

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, αποδεικνύεται ότι τα σκέλη του αρχικού τριγώνου είναι 6 και 8. Έτσι, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο από την πρώτη μέθοδο και να βρείτε την υποτείνουσα:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Απάντηση: η υποτείνουσα είναι 10.

Παράδειγμα εργασίας #2

Προϋπόθεση: να υπολογίσετε τη διαγώνιο που σχεδιάζεται σε ένα παραλληλόγραμμο με μικρότερη πλευρά ίση με 41. Αν είναι γνωστό ότι διαιρεί τη γωνία σε αυτές που σχετίζονται ως 2 προς 1.

Σε αυτό το πρόβλημα, η διαγώνιος ενός ορθογωνίου είναι η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα τρίγωνο 90º. Όλα λοιπόν εξαρτώνται από το πώς να βρείτε την υποτείνουσα.

Το πρόβλημα αφορά τις γωνίες. Αυτό σημαίνει ότι θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν από τους τύπους στους οποίους υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Και πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε την τιμή μιας από τις οξείες γωνίες.

Έστω η μικρότερη από τις γωνίες που αναφέρονται στη συνθήκη συμβολίζεται με α. Τότε η ορθή γωνία, που διαιρείται με τη διαγώνιο, θα είναι ίση με 3α. Η μαθηματική σημειογραφία για αυτό μοιάζει με αυτό:

Από αυτή την εξίσωση είναι εύκολο να προσδιοριστεί το α. Θα είναι ίσο με 30º. Επιπλέον, θα βρίσκεται απέναντι από τη μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου. Επομένως, θα απαιτηθεί ο τύπος που περιγράφεται στη μέθοδο Νο. 3.

Η υποτείνουσα είναι ίση με την αναλογία του σκέλους προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας, δηλαδή:

41 / αμαρτία 30º = 41 / (0,5) = 82.

Απάντηση: Η υποτείνουσα είναι 82.

Σε μετάφραση από τα ελληνικά, η υποτείνουσα σημαίνει «σφιχτός». Για σωστή κατανόηση, φανταστείτε ένα κορδόνι τόξου που συνδέει τα δύο άκρα ενός εύκαμπτου ραβδιού. Ομοίως, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα, η οποία βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία. Λειτουργεί ως σύνδεσμος των άλλων δύο πλευρών, που ονομάζονται πόδια. Για να μάθετε πόσο μακριά είναι αυτή η "χορδή", πρέπει να έχετε τα μήκη των ποδιών ή την τιμή δύο οξειών γωνιών. Συνδυάζοντας αυτά τα δεδομένα, μπορείτε να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή χρησιμοποιώντας τύπους.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα με τα πόδια

Ο ευκολότερος τρόπος για να υπολογίσετε εάν γνωρίζετε την τιμή δύο ποδιών (ας συμβολίσουμε το ένα A, το δεύτερο B). Ο ίδιος ο Πυθαγόρας και το παγκοσμίου φήμης θεώρημά του έρχονται στη διάσωση. Μας λέει ότι αν τετραγωνίσουμε το μήκος των ποδιών και προσθέσουμε τις υπολογιζόμενες τιμές, τότε ως αποτέλεσμα θα μάθουμε την τιμή του μήκους της υποτείνουσας στο τετράγωνο. Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε: για να βρείτε την τιμή της υποτείνουσας, είναι απαραίτητο να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα του συνολικού αθροίσματος των τετραγώνων των ποδιών C \u003d √ (A² + B²). Παράδειγμα: πόδι A \u003d 10 cm, πόδι B \u003d 20 cm. Η υποτείνουσα είναι 22,36 cm. Ο υπολογισμός είναι ως εξής: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u0203d √3.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω μιας γωνίας

Είναι λίγο πιο δύσκολο να υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας ως προς προκαθορισμένη γωνία. Αν γνωρίζετε το μέγεθος ενός από τα δύο σκέλη (ας συμβολίσουμε το Α) και το μέγεθος της γωνίας (ας υποδηλώσουμε το α) που βρίσκεται απέναντι του, τότε το μέγεθος της υποτείνουσας βρίσκεται χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, και συγκεκριμένα το ημίτονο. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να διαιρέσετε την τιμή του γνωστού σκέλους με το ημίτονο της γωνίας. C=A/sin(α). Παράδειγμα: το μήκος του ποδιού είναι Α = 30 cm, η γωνία απέναντι του είναι 45 °, η υποτείνουσα θα είναι 42,25 εκ. Ο υπολογισμός είναι ως εξής: 30 / αμαρτία (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Ένας άλλος τρόπος είναι να βρείτε το μέγεθος της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το συνημίτονο. Χρησιμοποιείται αν γνωρίζετε το μέγεθος του ποδιού (ας συμβολίσουμε το Β) και την οξεία γωνία (ας δηλώσουμε α) που βρίσκεται δίπλα του. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να διαιρέσετε την τιμή του ποδιού με το ημίτονο της γωνίας. С=В/cos(α). Παράδειγμα: το μήκος του ποδιού είναι B = 30 cm, η γωνία απέναντι είναι 45 °, η υποτείνουσα θα είναι 42,25 cm. Ο υπολογισμός είναι ως εξής: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου

Κάθε μαθητής που σέβεται τον εαυτό του γνωρίζει ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, με την προϋπόθεση ότι δύο από τις τρεις πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλάγιες και αυτή που μένει είναι η βάση. Εάν μία από τις γωνίες είναι 90 °, τότε έχετε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

Η εύρεση της υποτείνουσας σε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι απλή, γιατί έχει αρκετές ιδιότητες που θα βοηθήσουν. Οι γωνίες δίπλα στη βάση είναι ίδιες σε τιμή, το συνολικό άθροισμα των γωνιών είναι 180°. Αυτό σημαίνει ότι η ορθή γωνία βρίσκεται απέναντι από τη βάση, που σημαίνει ότι η βάση είναι η υποτείνουσα, τα πόδια είναι οι πλευρές.